LMFDB - Galois orbit of Artin representations 2.3645.18t16.b

Basic invariants

Dimension:	$2$
Group:	$C_9\times S_3$
Conductor:	$3645$$\medspace = 3^{6} \cdot 5 $
Artin number field:	Galois closure of 18.0.5770142004982097067662109375.2
Galois orbit size:	$6$
Smallest permutation container:	$C_9\times S_3$
Parity:	odd
Projective image:	$S_3$
Projective field:	Galois closure of 3.1.135.1

Galois action

Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 23 }$ to precision 10.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 23 }$: $ x^{9} + 3x^{3} + 8x^{2} + 9x + 18 $

Roots:

$r_{ 1 }$	$=$	\( 12 a^{8} + 9 a^{7} + 10 a^{6} + 16 a^{5} + 6 a^{4} + 13 a^{3} + 7 a^{2} + 11 a + 11 + \left(20 a^{8} + 2 a^{7} + 19 a^{6} + 19 a^{5} + 22 a^{4} + 11 a^{2} + 21 a + 13\right)\cdot 23 + \left(2 a^{8} + 2 a^{7} + 13 a^{6} + 4 a^{5} + 14 a^{4} + 13 a^{3} + 6 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 23^{2} + \left(11 a^{8} + 3 a^{7} + 2 a^{6} + 20 a^{5} + 19 a^{4} + 6 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 23^{3} + \left(4 a^{8} + 10 a^{7} + 6 a^{6} + 13 a^{5} + 15 a^{4} + 15 a^{3} + 19 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 23^{4} + \left(11 a^{8} + 7 a^{7} + 8 a^{6} + 3 a^{5} + 15 a^{4} + 10 a^{3} + 19 a^{2} + 8 a + 22\right)\cdot 23^{5} + \left(19 a^{8} + 10 a^{7} + 7 a^{6} + 17 a^{5} + 11 a^{4} + 11 a^{3} + 5 a^{2} + 19 a + 9\right)\cdot 23^{6} + \left(21 a^{8} + 21 a^{7} + 9 a^{6} + 14 a^{5} + 16 a^{4} + 6 a^{3} + 18 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 23^{7} + \left(3 a^{8} + 11 a^{7} + 7 a^{5} + 9 a^{4} + 21 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 22\right)\cdot 23^{8} + \left(4 a^{8} + 3 a^{7} + a^{6} + 19 a^{5} + 20 a^{4} + 3 a^{3} + 16 a^{2} + 6 a + 18\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 12a^8 + 9a^7 + 10a^6 + 16a^5 + 6a^4 + 13a^3 + 7a^2 + 11a + 11 + (20a^8 + 2a^7 + 19a^6 + 19a^5 + 22a^4 + 11a^2 + 21a + 13)23 + (2a^8 + 2a^7 + 13a^6 + 4a^5 + 14a^4 + 13a^3 + 6a^2 + 9a + 2)23^2 + (11a^8 + 3a^7 + 2a^6 + 20a^5 + 19a^4 + 6a^3 + 7a^2 + 8a + 6)23^3 + (4a^8 + 10a^7 + 6a^6 + 13a^5 + 15a^4 + 15a^3 + 19a^2 + 7a + 1)23^4 + (11a^8 + 7a^7 + 8a^6 + 3a^5 + 15a^4 + 10a^3 + 19a^2 + 8a + 22)23^5 + (19a^8 + 10a^7 + 7a^6 + 17a^5 + 11a^4 + 11a^3 + 5a^2 + 19a + 9)23^6 + (21a^8 + 21a^7 + 9a^6 + 14a^5 + 16a^4 + 6a^3 + 18a^2 + 7a + 7)23^7 + (3a^8 + 11a^7 + 7a^5 + 9a^4 + 21a^3 + 12a^2 + 4a + 22)23^8 + (4a^8 + 3a^7 + a^6 + 19a^5 + 20a^4 + 3a^3 + 16a^2 + 6a + 18)23^9+O(23^10)
$r_{ 2 }$	$=$	\( 6 a^{8} + 3 a^{6} + 13 a^{5} + 14 a^{4} + 10 a^{3} + a^{2} + 2 a + 8 + \left(7 a^{8} + 12 a^{7} + 13 a^{6} + 12 a^{5} + 13 a^{4} + 17 a^{3} + 11 a^{2} + 22 a + 13\right)\cdot 23 + \left(6 a^{8} + 12 a^{7} + 5 a^{6} + 5 a^{5} + 20 a^{4} + 3 a^{3} + 11 a^{2} + 22 a + 1\right)\cdot 23^{2} + \left(16 a^{8} + 11 a^{7} + 4 a^{6} + 22 a^{5} + 11 a^{4} + 21 a^{2} + 20 a + 6\right)\cdot 23^{3} + \left(18 a^{8} + 9 a^{7} + 22 a^{6} + a^{5} + a^{4} + 7 a^{3} + 17 a + 5\right)\cdot 23^{4} + \left(12 a^{8} + 16 a^{7} + 12 a^{5} + 17 a^{4} + 3 a^{3} + 9 a^{2} + 14 a + 7\right)\cdot 23^{5} + \left(a^{8} + a^{7} + 3 a^{6} + 2 a^{5} + 18 a^{4} + 22 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 23^{6} + \left(8 a^{8} + 10 a^{7} + 2 a^{6} + 17 a^{5} + 3 a^{4} + 22 a^{3} + 17 a^{2} + 10 a + 16\right)\cdot 23^{7} + \left(2 a^{8} + 11 a^{7} + 6 a^{6} + 14 a^{5} + 9 a^{4} + 2 a^{3} + 6 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 23^{8} + \left(7 a^{8} + 14 a^{7} + 14 a^{6} + 4 a^{5} + 19 a^{4} + 15 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 6a^8 + 3a^6 + 13a^5 + 14a^4 + 10a^3 + a^2 + 2a + 8 + (7a^8 + 12a^7 + 13a^6 + 12a^5 + 13a^4 + 17a^3 + 11a^2 + 22a + 13)23 + (6a^8 + 12a^7 + 5a^6 + 5a^5 + 20a^4 + 3a^3 + 11a^2 + 22a + 1)23^2 + (16a^8 + 11a^7 + 4a^6 + 22a^5 + 11a^4 + 21a^2 + 20a + 6)23^3 + (18a^8 + 9a^7 + 22a^6 + a^5 + a^4 + 7a^3 + 17a + 5)23^4 + (12a^8 + 16a^7 + 12a^5 + 17a^4 + 3a^3 + 9a^2 + 14a + 7)23^5 + (a^8 + a^7 + 3a^6 + 2a^5 + 18a^4 + 22a^3 + 7a^2 + 2a + 11)23^6 + (8a^8 + 10a^7 + 2a^6 + 17a^5 + 3a^4 + 22a^3 + 17a^2 + 10a + 16)23^7 + (2a^8 + 11a^7 + 6a^6 + 14a^5 + 9a^4 + 2a^3 + 6a^2 + 11a + 12)23^8 + (7a^8 + 14a^7 + 14a^6 + 4a^5 + 19a^4 + 15a^3 + 7a^2 + 2a + 14)23^9+O(23^10)
$r_{ 3 }$	$=$	$ 21 a^{8} + 9 a^{7} + 19 a^{6} + 2 a^{5} + 14 a^{4} + 12 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 9 + \left(9 a^{8} + 12 a^{7} + 5 a^{6} + 6 a^{5} + 8 a^{4} + 15 a^{3} + 15 a^{2} + 21 a + 22\right)\cdot 23 + \left(17 a^{8} + 17 a^{7} + 3 a^{6} + 14 a^{5} + 4 a^{4} + 22 a^{3} + 16 a^{2} + 10 a + 19\right)\cdot 23^{2} + \left(4 a^{8} + 4 a^{7} + 6 a^{5} + 20 a^{4} + 5 a^{3} + 2 a^{2} + 18 a + 16\right)\cdot 23^{3} + \left(8 a^{7} + 15 a^{6} + 13 a^{4} + 14 a^{3} + 8 a^{2} + 21 a + 13\right)\cdot 23^{4} + \left(3 a^{8} + 16 a^{7} + 7 a^{6} + 15 a^{5} + 11 a^{4} + 16 a^{3} + 5 a^{2} + 21 a\right)\cdot 23^{5} + \left(3 a^{8} + 6 a^{7} + a^{6} + 12 a^{5} + 3 a^{4} + 14 a^{2} + a + 3\right)\cdot 23^{6} + \left(7 a^{8} + a^{7} + 8 a^{6} + 11 a^{5} + 8 a^{4} + 9 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 23^{7} + \left(4 a^{8} + 10 a^{7} + a^{6} + 10 a^{5} + 6 a^{4} + 6 a^{3} + 18 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 23^{8} + \left(13 a^{8} + 5 a^{7} + 16 a^{6} + 4 a^{5} + 17 a^{4} + 19 a^{3} + 13 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})$ 21a^8 + 9a^7 + 19a^6 + 2a^5 + 14a^4 + 12a^3 + 9a^2 + 7a + 9 + (9a^8 + 12a^7 + 5a^6 + 6a^5 + 8a^4 + 15a^3 + 15a^2 + 21a + 22)23 + (17a^8 + 17a^7 + 3a^6 + 14a^5 + 4a^4 + 22a^3 + 16a^2 + 10a + 19)23^2 + (4a^8 + 4a^7 + 6a^5 + 20a^4 + 5a^3 + 2a^2 + 18a + 16)23^3 + (8a^7 + 15a^6 + 13a^4 + 14a^3 + 8a^2 + 21a + 13)23^4 + (3a^8 + 16a^7 + 7a^6 + 15a^5 + 11a^4 + 16a^3 + 5a^2 + 21a)23^5 + (3a^8 + 6a^7 + a^6 + 12a^5 + 3a^4 + 14a^2 + a + 3)23^6 + (7a^8 + a^7 + 8a^6 + 11a^5 + 8a^4 + 9a^3 + 3a^2 + 9a + 7)23^7 + (4a^8 + 10a^7 + a^6 + 10a^5 + 6a^4 + 6a^3 + 18a^2 + 4a + 10)23^8 + (13a^8 + 5a^7 + 16a^6 + 4a^5 + 17a^4 + 19a^3 + 13a^2 + 12a + 10)*23^9+O(23^10)
$r_{ 4 }$	$=$	\( 16 a^{8} + 18 a^{7} + 2 a^{6} + 6 a^{5} + 16 a^{4} + 12 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 14 + \left(14 a^{8} + 13 a^{7} + 19 a^{6} + 10 a^{5} + 4 a^{4} + 19 a^{3} + 20 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 23 + \left(17 a^{8} + 12 a^{7} + 10 a^{6} + 11 a^{5} + 5 a^{4} + 6 a^{3} + 11 a^{2} + 13\right)\cdot 23^{2} + \left(7 a^{8} + 6 a^{7} + 13 a^{6} + 5 a^{5} + 10 a^{4} + 4 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 23^{3} + \left(18 a^{8} + 18 a^{7} + a^{6} + 3 a^{5} + 15 a^{4} + 4 a^{3} + 2 a^{2} + 19 a + 13\right)\cdot 23^{4} + \left(7 a^{8} + a^{7} + 2 a^{6} + 21 a^{5} + 8 a^{4} + 7 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 23^{5} + \left(10 a^{8} + 12 a^{7} + 13 a^{6} + 9 a^{5} + 9 a^{4} + 22 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 23^{6} + \left(18 a^{8} + 21 a^{7} + 11 a^{6} + 17 a^{5} + 13 a^{4} + 6 a^{3} + 22 a^{2} + 18 a + 8\right)\cdot 23^{7} + \left(16 a^{8} + 2 a^{7} + 18 a^{6} + 14 a^{5} + 22 a^{4} + 7 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 23^{8} + \left(7 a^{8} + 18 a^{7} + 2 a^{6} + 12 a^{5} + 16 a^{4} + 6 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 16a^8 + 18a^7 + 2a^6 + 6a^5 + 16a^4 + 12a^3 + 4a^2 + 8a + 14 + (14a^8 + 13a^7 + 19a^6 + 10a^5 + 4a^4 + 19a^3 + 20a^2 + 9a + 16)23 + (17a^8 + 12a^7 + 10a^6 + 11a^5 + 5a^4 + 6a^3 + 11a^2 + 13)23^2 + (7a^8 + 6a^7 + 13a^6 + 5a^5 + 10a^4 + 4a^2 + 12a + 4)23^3 + (18a^8 + 18a^7 + a^6 + 3a^5 + 15a^4 + 4a^3 + 2a^2 + 19a + 13)23^4 + (7a^8 + a^7 + 2a^6 + 21a^5 + 8a^4 + 7a^3 + 9a^2 + 8a + 3)23^5 + (10a^8 + 12a^7 + 13a^6 + 9a^5 + 9a^4 + 22a^3 + 9a^2 + 2a + 5)23^6 + (18a^8 + 21a^7 + 11a^6 + 17a^5 + 13a^4 + 6a^3 + 22a^2 + 18a + 8)23^7 + (16a^8 + 2a^7 + 18a^6 + 14a^5 + 22a^4 + 7a^3 + 5a^2 + 3a + 13)23^8 + (7a^8 + 18a^7 + 2a^6 + 12a^5 + 16a^4 + 6a^2 + 5a + 11)23^9+O(23^10)
$r_{ 5 }$	$=$	\( 3 a^{8} + 18 a^{7} + 21 a^{6} + 21 a^{5} + 9 a^{4} + 14 a^{3} + 22 a^{2} + 15 a + 17 + \left(11 a^{8} + 12 a^{7} + 19 a^{6} + 18 a^{5} + 12 a^{4} + 3 a^{3} + 3 a^{2} + 19 a + 16\right)\cdot 23 + \left(2 a^{8} + 7 a^{7} + a^{6} + 8 a^{5} + 5 a^{4} + 6 a^{3} + 14 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 23^{2} + \left(10 a^{8} + 10 a^{7} + 7 a^{6} + 16 a^{5} + 8 a^{4} + 11 a^{3} + 8 a^{2} + 17 a + 21\right)\cdot 23^{3} + \left(15 a^{8} + 15 a^{7} + 17 a^{6} + 21 a^{5} + 9 a^{4} + 11 a^{3} + 18 a^{2} + 19 a + 8\right)\cdot 23^{4} + \left(12 a^{8} + 7 a^{7} + 12 a^{6} + 20 a^{5} + 20 a^{4} + 11 a^{3} + a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 23^{5} + \left(19 a^{8} + 5 a^{7} + 13 a^{6} + 4 a^{5} + 20 a^{4} + 22 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 23^{6} + \left(7 a^{8} + a^{6} + 8 a^{5} + 11 a^{4} + 17 a^{3} + 11 a^{2} + 16\right)\cdot 23^{7} + \left(21 a^{8} + 5 a^{7} + 11 a^{6} + 6 a^{5} + 13 a^{4} + 17 a^{3} + 22 a^{2} + 22 a + 1\right)\cdot 23^{8} + \left(7 a^{8} + 18 a^{7} + 13 a^{6} + 11 a^{5} + 22 a^{4} + 22 a^{3} + 8 a^{2} + 19 a + 12\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 3a^8 + 18a^7 + 21a^6 + 21a^5 + 9a^4 + 14a^3 + 22a^2 + 15a + 17 + (11a^8 + 12a^7 + 19a^6 + 18a^5 + 12a^4 + 3a^3 + 3a^2 + 19a + 16)23 + (2a^8 + 7a^7 + a^6 + 8a^5 + 5a^4 + 6a^3 + 14a^2 + 16a + 6)23^2 + (10a^8 + 10a^7 + 7a^6 + 16a^5 + 8a^4 + 11a^3 + 8a^2 + 17a + 21)23^3 + (15a^8 + 15a^7 + 17a^6 + 21a^5 + 9a^4 + 11a^3 + 18a^2 + 19a + 8)23^4 + (12a^8 + 7a^7 + 12a^6 + 20a^5 + 20a^4 + 11a^3 + a^2 + 6a + 3)23^5 + (19a^8 + 5a^7 + 13a^6 + 4a^5 + 20a^4 + 22a^3 + 4a^2 + 9a + 7)23^6 + (7a^8 + a^6 + 8a^5 + 11a^4 + 17a^3 + 11a^2 + 16)23^7 + (21a^8 + 5a^7 + 11a^6 + 6a^5 + 13a^4 + 17a^3 + 22a^2 + 22a + 1)23^8 + (7a^8 + 18a^7 + 13a^6 + 11a^5 + 22a^4 + 22a^3 + 8a^2 + 19a + 12)23^9+O(23^10)
$r_{ 6 }$	$=$	\( 10 a^{8} + a^{7} + 14 a^{6} + 8 a^{5} + 20 a^{4} + 7 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 12 + \left(10 a^{8} + 6 a^{7} + 10 a^{6} + 4 a^{5} + 16 a^{4} + a^{3} + 22 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 23 + \left(6 a^{8} + 10 a^{7} + 10 a^{6} + 13 a^{5} + 5 a^{4} + 4 a^{3} + 8 a^{2} + 18 a + 8\right)\cdot 23^{2} + \left(17 a^{8} + 16 a^{7} + 13 a^{6} + 3 a^{4} + 15 a^{3} + 14 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 23^{3} + \left(17 a^{8} + 8 a^{7} + 21 a^{6} + 13 a^{5} + a^{4} + a^{3} + 10 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 23^{4} + \left(4 a^{8} + 15 a^{7} + 11 a^{6} + 16 a^{5} + 16 a^{4} + 8 a^{3} + 2 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 23^{5} + \left(19 a^{8} + 19 a^{7} + 7 a^{6} + 10 a^{5} + 6 a^{4} + 2 a^{3} + 19 a^{2} + 18 a + 20\right)\cdot 23^{6} + \left(2 a^{8} + 10 a^{7} + 13 a^{6} + 3 a^{5} + 5 a^{4} + 7 a^{3} + 15 a^{2} + 18 a + 1\right)\cdot 23^{7} + \left(11 a^{8} + 22 a^{6} + 3 a^{5} + 18 a^{4} + 16 a^{3} + 10 a + 22\right)\cdot 23^{8} + \left(6 a^{8} + 22 a^{7} + 18 a^{6} + 6 a^{5} + 16 a^{4} + 14 a^{3} + 21 a^{2} + 22 a + 1\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 10a^8 + a^7 + 14a^6 + 8a^5 + 20a^4 + 7a^3 + 4a^2 + 11a + 12 + (10a^8 + 6a^7 + 10a^6 + 4a^5 + 16a^4 + a^3 + 22a^2 + 6a + 14)23 + (6a^8 + 10a^7 + 10a^6 + 13a^5 + 5a^4 + 4a^3 + 8a^2 + 18a + 8)23^2 + (17a^8 + 16a^7 + 13a^6 + 3a^4 + 15a^3 + 14a^2 + 12a + 9)23^3 + (17a^8 + 8a^7 + 21a^6 + 13a^5 + a^4 + a^3 + 10a^2 + 15a + 9)23^4 + (4a^8 + 15a^7 + 11a^6 + 16a^5 + 16a^4 + 8a^3 + 2a^2 + 15a + 4)23^5 + (19a^8 + 19a^7 + 7a^6 + 10a^5 + 6a^4 + 2a^3 + 19a^2 + 18a + 20)23^6 + (2a^8 + 10a^7 + 13a^6 + 3a^5 + 5a^4 + 7a^3 + 15a^2 + 18a + 1)23^7 + (11a^8 + 22a^6 + 3a^5 + 18a^4 + 16a^3 + 10a + 22)23^8 + (6a^8 + 22a^7 + 18a^6 + 6a^5 + 16a^4 + 14a^3 + 21a^2 + 22a + 1)23^9+O(23^10)
$r_{ 7 }$	$=$	\( 14 a^{8} + 5 a^{7} + 22 a^{6} + 12 a^{5} + 22 a^{3} + 6 a + 21 + \left(4 a^{8} + 21 a^{7} + 12 a^{6} + 14 a^{5} + 20 a^{4} + a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 15\right)\cdot 23 + \left(14 a^{8} + 2 a^{7} + 15 a^{6} + 8 a^{5} + 19 a^{4} + 13 a^{3} + 20 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 23^{2} + \left(19 a^{8} + a^{7} + 11 a^{6} + 7 a^{5} + 2 a^{4} + 11 a^{3} + 15 a^{2} + 7 a + 18\right)\cdot 23^{3} + \left(11 a^{8} + 21 a^{7} + 6 a^{6} + 22 a^{5} + 12 a^{4} + 4 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 23^{4} + \left(20 a^{8} + 21 a^{7} + 9 a^{6} + 12 a^{5} + 8 a^{4} + 8 a^{3} + 12 a^{2} + a + 12\right)\cdot 23^{5} + \left(a^{8} + 15 a^{7} + 6 a^{6} + 15 a^{5} + 6 a^{4} + a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 23^{6} + \left(7 a^{8} + 12 a^{7} + 19 a^{6} + 20 a^{5} + 7 a^{4} + 5 a^{3} + 17 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 23^{7} + \left(22 a^{8} + 6 a^{7} + 5 a^{6} + a^{5} + 2 a^{3} + 16 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 23^{8} + \left(7 a^{8} + 13 a^{7} + 18 a^{6} + 7 a^{5} + 4 a^{4} + 8 a^{3} + 6 a^{2} + 19\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 14a^8 + 5a^7 + 22a^6 + 12a^5 + 22a^3 + 6a + 21 + (4a^8 + 21a^7 + 12a^6 + 14a^5 + 20a^4 + a^3 + 8a^2 + 4a + 15)23 + (14a^8 + 2a^7 + 15a^6 + 8a^5 + 19a^4 + 13a^3 + 20a^2 + 6a + 14)23^2 + (19a^8 + a^7 + 11a^6 + 7a^5 + 2a^4 + 11a^3 + 15a^2 + 7a + 18)23^3 + (11a^8 + 21a^7 + 6a^6 + 22a^5 + 12a^4 + 4a^3 + 3a^2 + 8a + 8)23^4 + (20a^8 + 21a^7 + 9a^6 + 12a^5 + 8a^4 + 8a^3 + 12a^2 + a + 12)23^5 + (a^8 + 15a^7 + 6a^6 + 15a^5 + 6a^4 + a^3 + 11a^2 + 11a + 4)23^6 + (7a^8 + 12a^7 + 19a^6 + 20a^5 + 7a^4 + 5a^3 + 17a^2 + 12a + 13)23^7 + (22a^8 + 6a^7 + 5a^6 + a^5 + 2a^3 + 16a^2 + 12a + 8)23^8 + (7a^8 + 13a^7 + 18a^6 + 7a^5 + 4a^4 + 8a^3 + 6a^2 + 19)*23^9+O(23^10)
$r_{ 8 }$	$=$	$ 6 a^{8} + 2 a^{6} + 16 a^{5} + 18 a^{4} + 6 a^{3} + 12 a^{2} + 21 a + 6 + \left(9 a^{8} + 7 a^{7} + 4 a^{6} + 20 a^{5} + 16 a^{3} + a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 23 + \left(14 a^{8} + 22 a^{7} + 16 a^{6} + 4 a^{5} + 5 a^{4} + a^{3} + 20 a^{2} + 18 a + 10\right)\cdot 23^{2} + \left(6 a^{8} + 14 a^{7} + 3 a^{5} + 6 a^{4} + 13 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 23^{3} + \left(19 a^{8} + 2 a^{7} + 22 a^{6} + 19 a^{5} + 2 a^{4} + 16 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a\right)\cdot 23^{4} + \left(a^{8} + 19 a^{7} + 22 a^{6} + 8 a^{5} + 8 a^{4} + 18 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 16\right)\cdot 23^{5} + \left(11 a^{8} + 14 a^{7} + 3 a^{6} + 13 a^{5} + 13 a^{4} + 14 a^{3} + 5 a^{2} + 22 a + 17\right)\cdot 23^{6} + \left(4 a^{8} + 17 a^{7} + 8 a^{6} + 3 a^{5} + 7 a^{2} + 11 a + 13\right)\cdot 23^{7} + \left(6 a^{8} + 18 a^{7} + 10 a^{6} + 6 a^{5} + 16 a^{4} + 13 a^{3} + 11 a + 5\right)\cdot 23^{8} + \left(2 a^{8} + 10 a^{7} + 5 a^{6} + 9 a^{5} + 16 a^{4} + 3 a^{3} + 21 a^{2} + 17 a + 22\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})$ 6a^8 + 2a^6 + 16a^5 + 18a^4 + 6a^3 + 12a^2 + 21a + 6 + (9a^8 + 7a^7 + 4a^6 + 20a^5 + 16a^3 + a^2 + 10a + 8)23 + (14a^8 + 22a^7 + 16a^6 + 4a^5 + 5a^4 + a^3 + 20a^2 + 18a + 10)23^2 + (6a^8 + 14a^7 + 3a^5 + 6a^4 + 13a^3 + 3a^2 + 3a + 4)23^3 + (19a^8 + 2a^7 + 22a^6 + 19a^5 + 2a^4 + 16a^3 + 5a^2 + 10a)23^4 + (a^8 + 19a^7 + 22a^6 + 8a^5 + 8a^4 + 18a^3 + 5a^2 + 7a + 16)23^5 + (11a^8 + 14a^7 + 3a^6 + 13a^5 + 13a^4 + 14a^3 + 5a^2 + 22a + 17)23^6 + (4a^8 + 17a^7 + 8a^6 + 3a^5 + 7a^2 + 11a + 13)23^7 + (6a^8 + 18a^7 + 10a^6 + 6a^5 + 16a^4 + 13a^3 + 11a + 5)23^8 + (2a^8 + 10a^7 + 5a^6 + 9a^5 + 16a^4 + 3a^3 + 21a^2 + 17a + 22)23^9+O(23^10)
$r_{ 9 }$	$=$	\( 9 a^{8} + 9 a^{7} + 13 a^{6} + 10 a^{5} + 12 a^{4} + 10 a^{3} + 22 a^{2} + 6 a + 16 + \left(10 a^{8} + 2 a^{7} + 15 a^{6} + a^{5} + 5 a^{4} + 11 a^{3} + 20 a^{2} + 15 a + 16\right)\cdot 23 + \left(9 a^{8} + 8 a^{7} + 22 a^{6} + 21 a^{5} + 7 a^{4} + 22 a^{3} + 10 a^{2} + 14 a + 2\right)\cdot 23^{2} + \left(5 a^{8} + 13 a^{7} + 19 a^{6} + 14 a^{5} + 3 a^{4} + 5 a^{2} + 16 a + 18\right)\cdot 23^{3} + \left(5 a^{8} + 6 a^{7} + 15 a^{6} + 16 a^{5} + 17 a^{4} + 3 a^{3} + 13 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 23^{4} + \left(7 a^{8} + 10 a^{7} + 2 a^{6} + 3 a^{5} + 17 a^{4} + 20 a^{3} + 6 a^{2} + 21 a + 22\right)\cdot 23^{5} + \left(10 a^{8} + 10 a^{7} + 7 a^{6} + 20 a^{5} + 22 a^{4} + 15 a^{3} + 17 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 23^{6} + \left(9 a^{8} + 13 a^{7} + 15 a^{6} + 10 a^{5} + a^{4} + 13 a^{3} + 14 a^{2} + 17 a + 8\right)\cdot 23^{7} + \left(12 a^{8} + 5 a^{7} + 21 a^{5} + 19 a^{4} + 3 a^{3} + 5 a^{2} + 21 a + 20\right)\cdot 23^{8} + \left(14 a^{8} + 5 a^{7} + 9 a^{6} + 12 a^{5} + 3 a^{4} + 8 a^{3} + 21 a^{2} + 12 a\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 9a^8 + 9a^7 + 13a^6 + 10a^5 + 12a^4 + 10a^3 + 22a^2 + 6a + 16 + (10a^8 + 2a^7 + 15a^6 + a^5 + 5a^4 + 11a^3 + 20a^2 + 15a + 16)23 + (9a^8 + 8a^7 + 22a^6 + 21a^5 + 7a^4 + 22a^3 + 10a^2 + 14a + 2)23^2 + (5a^8 + 13a^7 + 19a^6 + 14a^5 + 3a^4 + 5a^2 + 16a + 18)23^3 + (5a^8 + 6a^7 + 15a^6 + 16a^5 + 17a^4 + 3a^3 + 13a^2 + 7a + 9)23^4 + (7a^8 + 10a^7 + 2a^6 + 3a^5 + 17a^4 + 20a^3 + 6a^2 + 21a + 22)23^5 + (10a^8 + 10a^7 + 7a^6 + 20a^5 + 22a^4 + 15a^3 + 17a^2 + 4a + 10)23^6 + (9a^8 + 13a^7 + 15a^6 + 10a^5 + a^4 + 13a^3 + 14a^2 + 17a + 8)23^7 + (12a^8 + 5a^7 + 21a^5 + 19a^4 + 3a^3 + 5a^2 + 21a + 20)23^8 + (14a^8 + 5a^7 + 9a^6 + 12a^5 + 3a^4 + 8a^3 + 21a^2 + 12a)*23^9+O(23^10)
$r_{ 10 }$	$=$	\( 18 a^{8} + 11 a^{7} + 19 a^{6} + 14 a^{5} + 10 a^{4} + a^{3} + 4 a^{2} + 12 a + \left(7 a^{8} + 2 a^{7} + 11 a^{6} + 12 a^{5} + 15 a^{4} + 7 a^{3} + 10 a^{2} + 14 a + 17\right)\cdot 23 + \left(7 a^{8} + 6 a^{7} + 16 a^{6} + 17 a^{5} + 15 a^{4} + 5 a^{3} + 10 a + 14\right)\cdot 23^{2} + \left(10 a^{8} + 4 a^{7} + 10 a^{6} + 17 a^{4} + 19 a^{3} + 8 a^{2} + 12 a + 20\right)\cdot 23^{3} + \left(11 a^{8} + 22 a^{7} + 20 a^{6} + 12 a^{5} + 3 a^{4} + 14 a^{3} + 2 a^{2} + 21 a + 9\right)\cdot 23^{4} + \left(12 a^{8} + 19 a^{7} + 2 a^{6} + 18 a^{5} + 21 a^{4} + 18 a^{3} + 16 a^{2} + 5 a + 20\right)\cdot 23^{5} + \left(a^{8} + 12 a^{7} + 13 a^{6} + 13 a^{5} + 14 a^{4} + 6 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 13\right)\cdot 23^{6} + \left(13 a^{8} + 18 a^{7} + 11 a^{6} + 12 a^{5} + a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 23^{7} + \left(18 a^{8} + 20 a^{7} + 3 a^{6} + 14 a^{5} + 17 a^{4} + 15 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 23^{8} + \left(19 a^{8} + 21 a^{7} + 12 a^{6} + 3 a^{5} + 22 a^{4} + 12 a^{3} + 11 a^{2} + 14 a + 7\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 18a^8 + 11a^7 + 19a^6 + 14a^5 + 10a^4 + a^3 + 4a^2 + 12a + (7a^8 + 2a^7 + 11a^6 + 12a^5 + 15a^4 + 7a^3 + 10a^2 + 14a + 17)23 + (7a^8 + 6a^7 + 16a^6 + 17a^5 + 15a^4 + 5a^3 + 10a + 14)23^2 + (10a^8 + 4a^7 + 10a^6 + 17a^4 + 19a^3 + 8a^2 + 12a + 20)23^3 + (11a^8 + 22a^7 + 20a^6 + 12a^5 + 3a^4 + 14a^3 + 2a^2 + 21a + 9)23^4 + (12a^8 + 19a^7 + 2a^6 + 18a^5 + 21a^4 + 18a^3 + 16a^2 + 5a + 20)23^5 + (a^8 + 12a^7 + 13a^6 + 13a^5 + 14a^4 + 6a^3 + 2a^2 + 2a + 13)23^6 + (13a^8 + 18a^7 + 11a^6 + 12a^5 + a^3 + 8a^2 + 6a + 10)23^7 + (18a^8 + 20a^7 + 3a^6 + 14a^5 + 17a^4 + 15a^3 + 5a^2 + 6a + 6)23^8 + (19a^8 + 21a^7 + 12a^6 + 3a^5 + 22a^4 + 12a^3 + 11a^2 + 14a + 7)*23^9+O(23^10)
$r_{ 11 }$	$=$	\( 21 a^{8} + 18 a^{7} + 16 a^{6} + 18 a^{5} + 13 a^{4} + 9 a^{3} + 12 a^{2} + 18 a + 13 + \left(12 a^{8} + 21 a^{7} + 3 a^{6} + 8 a^{5} + a^{4} + 3 a^{3} + a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 23 + \left(5 a^{7} + 10 a^{6} + 3 a^{5} + 10 a^{4} + 2 a^{3} + 19 a^{2} + 18 a + 18\right)\cdot 23^{2} + \left(a^{8} + 6 a^{7} + 11 a^{6} + 19 a^{5} + 18 a^{4} + 19 a^{3} + 22 a^{2} + 21 a + 13\right)\cdot 23^{3} + \left(14 a^{8} + 3 a^{7} + 22 a^{6} + 3 a^{5} + 14 a^{4} + 10 a^{3} + 20 a^{2} + 17 a + 11\right)\cdot 23^{4} + \left(15 a^{8} + 4 a^{7} + 19 a^{6} + 15 a^{5} + 9 a^{4} + a^{3} + a^{2} + a + 1\right)\cdot 23^{5} + \left(16 a^{8} + 19 a^{6} + 21 a^{5} + 16 a^{4} + 18 a^{3} + 8 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 23^{6} + \left(12 a^{8} + 5 a^{7} + 5 a^{6} + 22 a^{5} + 11 a^{4} + 6 a^{3} + a^{2} + 18 a + 4\right)\cdot 23^{7} + \left(7 a^{8} + 4 a^{7} + 16 a^{6} + 20 a^{5} + 6 a^{4} + 17 a^{3} + 8 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 23^{8} + \left(6 a^{8} + 8 a^{7} + 14 a^{5} + 12 a^{3} + 22 a^{2} + 18 a + 21\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 21a^8 + 18a^7 + 16a^6 + 18a^5 + 13a^4 + 9a^3 + 12a^2 + 18a + 13 + (12a^8 + 21a^7 + 3a^6 + 8a^5 + a^4 + 3a^3 + a^2 + 6a + 8)23 + (5a^7 + 10a^6 + 3a^5 + 10a^4 + 2a^3 + 19a^2 + 18a + 18)23^2 + (a^8 + 6a^7 + 11a^6 + 19a^5 + 18a^4 + 19a^3 + 22a^2 + 21a + 13)23^3 + (14a^8 + 3a^7 + 22a^6 + 3a^5 + 14a^4 + 10a^3 + 20a^2 + 17a + 11)23^4 + (15a^8 + 4a^7 + 19a^6 + 15a^5 + 9a^4 + a^3 + a^2 + a + 1)23^5 + (16a^8 + 19a^6 + 21a^5 + 16a^4 + 18a^3 + 8a^2 + 13a + 3)23^6 + (12a^8 + 5a^7 + 5a^6 + 22a^5 + 11a^4 + 6a^3 + a^2 + 18a + 4)23^7 + (7a^8 + 4a^7 + 16a^6 + 20a^5 + 6a^4 + 17a^3 + 8a^2 + 15a + 4)23^8 + (6a^8 + 8a^7 + 14a^5 + 12a^3 + 22a^2 + 18a + 21)23^9+O(23^10)
$r_{ 12 }$	$=$	$ 16 a^{8} + 3 a^{7} + 17 a^{6} + 16 a^{5} + 7 a^{4} + 9 a^{3} + 12 a^{2} + 12 + \left(17 a^{8} + 18 a^{7} + 14 a^{6} + 13 a^{5} + 8 a^{4} + 15 a^{3} + a^{2} + 10 a + 15\right)\cdot 23 + \left(12 a^{8} + 14 a^{7} + 15 a^{6} + 15 a^{4} + 4 a^{3} + 16 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 23^{2} + \left(a^{8} + 15 a^{7} + 9 a^{6} + 2 a^{5} + 8 a^{4} + 20 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 19\right)\cdot 23^{3} + \left(7 a^{8} + 13 a^{7} + 19 a^{6} + 20 a^{5} + 3 a^{4} + 15 a^{3} + a^{2} + 17 a + 11\right)\cdot 23^{4} + \left(22 a^{8} + 18 a^{7} + 11 a^{6} + 9 a^{4} + 16 a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 23^{5} + \left(a^{8} + 22 a^{7} + 2 a^{6} + 15 a^{5} + 19 a^{4} + 4 a^{3} + 14 a^{2} + a + 22\right)\cdot 23^{6} + \left(11 a^{8} + 5 a^{7} + 2 a^{6} + 18 a^{5} + 5 a^{4} + 15 a^{3} + 19 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 23^{7} + \left(13 a^{7} + 19 a^{6} + 19 a^{4} + 9 a^{3} + 4 a^{2} + 12 a + 17\right)\cdot 23^{8} + \left(22 a^{8} + 20 a^{7} + 9 a^{6} + 2 a^{4} + 6 a^{3} + 18 a^{2} + 2 a + 19\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})$ 16a^8 + 3a^7 + 17a^6 + 16a^5 + 7a^4 + 9a^3 + 12a^2 + 12 + (17a^8 + 18a^7 + 14a^6 + 13a^5 + 8a^4 + 15a^3 + a^2 + 10a + 15)23 + (12a^8 + 14a^7 + 15a^6 + 15a^4 + 4a^3 + 16a^2 + 2a + 5)23^2 + (a^8 + 15a^7 + 9a^6 + 2a^5 + 8a^4 + 20a^3 + 7a^2 + 2a + 19)23^3 + (7a^8 + 13a^7 + 19a^6 + 20a^5 + 3a^4 + 15a^3 + a^2 + 17a + 11)23^4 + (22a^8 + 18a^7 + 11a^6 + 9a^4 + 16a^3 + 10a^2 + 8a + 3)23^5 + (a^8 + 22a^7 + 2a^6 + 15a^5 + 19a^4 + 4a^3 + 14a^2 + a + 22)23^6 + (11a^8 + 5a^7 + 2a^6 + 18a^5 + 5a^4 + 15a^3 + 19a^2 + 9a + 4)23^7 + (13a^7 + 19a^6 + 19a^4 + 9a^3 + 4a^2 + 12a + 17)23^8 + (22a^8 + 20a^7 + 9a^6 + 2a^4 + 6a^3 + 18a^2 + 2a + 19)23^9+O(23^10)
$r_{ 13 }$	$=$	\( 7 a^{8} + 22 a^{7} + 7 a^{6} + 22 a^{5} + 8 a^{4} + 10 a^{3} + 7 a^{2} + 14 a + 5 + \left(3 a^{8} + 9 a^{7} + 8 a^{6} + 20 a^{5} + 5 a^{4} + 5 a^{3} + 22 a^{2} + 5 a\right)\cdot 23 + \left(2 a^{8} + 13 a^{7} + 19 a^{6} + 4 a^{5} + 12 a^{4} + 17 a^{3} + 16 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 23^{2} + \left(22 a^{8} + 14 a^{7} + 8 a^{6} + 19 a^{5} + 13 a^{4} + 17 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 23^{3} + \left(8 a^{8} + 11 a^{7} + 2 a^{6} + 13 a^{5} + 19 a^{4} + 4 a^{3} + 7 a^{2} + 20 a + 13\right)\cdot 23^{4} + \left(16 a^{8} + 11 a^{7} + 11 a^{6} + 20 a^{5} + 21 a^{4} + 19 a^{3} + 15 a^{2} + 22 a + 2\right)\cdot 23^{5} + \left(15 a^{8} + 11 a^{7} + 11 a^{6} + 21 a^{5} + 2 a^{4} + 5 a^{3} + 21 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 23^{6} + \left(15 a^{8} + 17 a^{7} + a^{6} + 15 a^{5} + 17 a^{4} + 15 a^{3} + 22 a^{2} + 15 a + 7\right)\cdot 23^{7} + \left(5 a^{8} + 3 a^{7} + 13 a^{6} + 13 a^{5} + 11 a^{4} + 16 a^{3} + 21 a^{2} + 18\right)\cdot 23^{8} + \left(14 a^{8} + 13 a^{7} + 21 a^{6} + 7 a^{5} + 12 a^{4} + 4 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 21\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 7a^8 + 22a^7 + 7a^6 + 22a^5 + 8a^4 + 10a^3 + 7a^2 + 14a + 5 + (3a^8 + 9a^7 + 8a^6 + 20a^5 + 5a^4 + 5a^3 + 22a^2 + 5a)23 + (2a^8 + 13a^7 + 19a^6 + 4a^5 + 12a^4 + 17a^3 + 16a^2 + 9a + 4)23^2 + (22a^8 + 14a^7 + 8a^6 + 19a^5 + 13a^4 + 17a^3 + 4a^2 + 6a + 9)23^3 + (8a^8 + 11a^7 + 2a^6 + 13a^5 + 19a^4 + 4a^3 + 7a^2 + 20a + 13)23^4 + (16a^8 + 11a^7 + 11a^6 + 20a^5 + 21a^4 + 19a^3 + 15a^2 + 22a + 2)23^5 + (15a^8 + 11a^7 + 11a^6 + 21a^5 + 2a^4 + 5a^3 + 21a^2 + 4a + 8)23^6 + (15a^8 + 17a^7 + a^6 + 15a^5 + 17a^4 + 15a^3 + 22a^2 + 15a + 7)23^7 + (5a^8 + 3a^7 + 13a^6 + 13a^5 + 11a^4 + 16a^3 + 21a^2 + 18)23^8 + (14a^8 + 13a^7 + 21a^6 + 7a^5 + 12a^4 + 4a^3 + 3a^2 + 6a + 21)*23^9+O(23^10)
$r_{ 14 }$	$=$	\( 14 a^{8} + 11 a^{7} + 7 a^{6} + 16 a^{5} + a^{4} + 4 a^{3} + 13 a^{2} + 15 a + 13 + \left(5 a^{8} + 6 a^{7} + 13 a^{6} + 7 a^{5} + 5 a^{3} + 17 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 23 + \left(a^{8} + 3 a^{7} + 11 a^{6} + 20 a^{5} + 15 a^{4} + 13 a^{3} + 20 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 23^{2} + \left(4 a^{8} + 21 a^{7} + 8 a^{6} + 5 a^{5} + 18 a^{4} + 5 a^{3} + 20 a^{2} + 22 a + 2\right)\cdot 23^{3} + \left(10 a^{8} + 20 a^{7} + 7 a^{6} + 11 a^{5} + 19 a^{4} + 11 a^{3} + 15 a^{2} + 20 a + 9\right)\cdot 23^{4} + \left(3 a^{8} + 19 a^{7} + 6 a^{6} + 22 a^{5} + 3 a^{4} + 11 a^{3} + 13 a^{2} + 15 a + 18\right)\cdot 23^{5} + \left(9 a^{8} + 18 a^{7} + 14 a^{6} + 21 a^{5} + 3 a^{4} + 15 a^{3} + 15 a + 19\right)\cdot 23^{6} + \left(8 a^{8} + 19 a^{7} + 13 a^{6} + 3 a^{5} + 6 a^{3} + 12 a^{2} + 22 a + 15\right)\cdot 23^{7} + \left(16 a^{8} + 4 a^{7} + 22 a^{6} + 5 a^{5} + 6 a^{4} + a^{3} + 21 a^{2} + 10 a + 14\right)\cdot 23^{8} + \left(12 a^{8} + 19 a^{7} + 12 a^{6} + 22 a^{5} + 19 a^{4} + 8 a^{3} + 13 a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 14a^8 + 11a^7 + 7a^6 + 16a^5 + a^4 + 4a^3 + 13a^2 + 15a + 13 + (5a^8 + 6a^7 + 13a^6 + 7a^5 + 5a^3 + 17a^2 + 15a + 9)23 + (a^8 + 3a^7 + 11a^6 + 20a^5 + 15a^4 + 13a^3 + 20a^2 + 6a + 2)23^2 + (4a^8 + 21a^7 + 8a^6 + 5a^5 + 18a^4 + 5a^3 + 20a^2 + 22a + 2)23^3 + (10a^8 + 20a^7 + 7a^6 + 11a^5 + 19a^4 + 11a^3 + 15a^2 + 20a + 9)23^4 + (3a^8 + 19a^7 + 6a^6 + 22a^5 + 3a^4 + 11a^3 + 13a^2 + 15a + 18)23^5 + (9a^8 + 18a^7 + 14a^6 + 21a^5 + 3a^4 + 15a^3 + 15a + 19)23^6 + (8a^8 + 19a^7 + 13a^6 + 3a^5 + 6a^3 + 12a^2 + 22a + 15)23^7 + (16a^8 + 4a^7 + 22a^6 + 5a^5 + 6a^4 + a^3 + 21a^2 + 10a + 14)23^8 + (12a^8 + 19a^7 + 12a^6 + 22a^5 + 19a^4 + 8a^3 + 13a^2 + 14a + 14)*23^9+O(23^10)
$r_{ 15 }$	$=$	\( 9 a^{8} + 19 a^{7} + 14 a^{6} + 22 a^{5} + 21 a^{4} + 21 a^{3} + 13 a^{2} + a + 1 + \left(14 a^{8} + 14 a^{7} + 6 a^{6} + 11 a^{5} + 19 a^{4} + 16 a^{3} + 10 a^{2} + 15 a + 11\right)\cdot 23 + \left(6 a^{8} + 19 a^{7} + 12 a^{6} + 6 a^{5} + 4 a^{4} + 21 a^{3} + 10 a\right)\cdot 23^{2} + \left(15 a^{8} + a^{7} + 14 a^{6} + 9 a^{5} + 19 a^{4} + 19 a^{3} + 20 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 23^{3} + \left(2 a^{8} + 6 a^{7} + 5 a^{6} + 21 a^{5} + 16 a^{4} + 7 a^{3} + 17 a^{2} + 11 a + 19\right)\cdot 23^{4} + \left(22 a^{8} + 9 a^{7} + 14 a^{6} + 5 a^{5} + 17 a^{4} + 22 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 22\right)\cdot 23^{5} + \left(3 a^{8} + 6 a^{7} + 22 a^{6} + 10 a^{5} + 4 a^{4} + 16 a^{2} + 19 a + 11\right)\cdot 23^{6} + \left(19 a^{8} + 6 a^{7} + 7 a^{6} + 20 a^{5} + 21 a^{4} + 22 a^{3} + 17 a^{2} + 6\right)\cdot 23^{7} + \left(20 a^{8} + 18 a^{7} + 12 a^{6} + 8 a^{5} + 7 a^{4} + 12 a^{3} + 16 a^{2} + 5 a + 16\right)\cdot 23^{8} + \left(2 a^{8} + 11 a^{7} + 16 a^{6} + 14 a^{5} + 15 a^{4} + 22 a^{3} + 12 a^{2} + 21 a + 14\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 9a^8 + 19a^7 + 14a^6 + 22a^5 + 21a^4 + 21a^3 + 13a^2 + a + 1 + (14a^8 + 14a^7 + 6a^6 + 11a^5 + 19a^4 + 16a^3 + 10a^2 + 15a + 11)23 + (6a^8 + 19a^7 + 12a^6 + 6a^5 + 4a^4 + 21a^3 + 10a)23^2 + (15a^8 + a^7 + 14a^6 + 9a^5 + 19a^4 + 19a^3 + 20a^2 + 9a + 7)23^3 + (2a^8 + 6a^7 + 5a^6 + 21a^5 + 16a^4 + 7a^3 + 17a^2 + 11a + 19)23^4 + (22a^8 + 9a^7 + 14a^6 + 5a^5 + 17a^4 + 22a^3 + 2a^2 + 11a + 22)23^5 + (3a^8 + 6a^7 + 22a^6 + 10a^5 + 4a^4 + 16a^2 + 19a + 11)23^6 + (19a^8 + 6a^7 + 7a^6 + 20a^5 + 21a^4 + 22a^3 + 17a^2 + 6)23^7 + (20a^8 + 18a^7 + 12a^6 + 8a^5 + 7a^4 + 12a^3 + 16a^2 + 5a + 16)23^8 + (2a^8 + 11a^7 + 16a^6 + 14a^5 + 15a^4 + 22a^3 + 12a^2 + 21a + 14)23^9+O(23^10)
$r_{ 16 }$	$=$	$ 16 a^{8} + 19 a^{7} + 17 a^{6} + 18 a^{5} + 21 a^{4} + 4 a^{3} + 12 a^{2} + 22 a + 17 + \left(22 a^{8} + 21 a^{7} + 3 a^{6} + 12 a^{5} + 15 a^{4} + 8 a^{3} + 20\right)\cdot 23 + \left(12 a^{8} + 8 a^{7} + 13 a^{6} + 21 a^{5} + 5 a^{4} + 21 a^{3} + 16 a^{2} + 13 a + 1\right)\cdot 23^{2} + \left(16 a^{8} + 3 a^{7} + 14 a^{6} + 11 a^{5} + a^{4} + 2 a^{3} + 17 a^{2} + 7 a + 14\right)\cdot 23^{3} + \left(3 a^{8} + 13 a^{7} + 7 a^{6} + 2 a^{5} + 14 a^{4} + 9 a^{3} + 11 a^{2} + 20 a + 1\right)\cdot 23^{4} + \left(8 a^{7} + 4 a^{5} + 18 a^{4} + a^{3} + 14 a^{2} + 22 a + 22\right)\cdot 23^{5} + \left(19 a^{8} + 12 a^{7} + 19 a^{6} + 4 a^{5} + 6 a^{4} + 12 a^{3} + 20 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 23^{6} + \left(4 a^{7} + a^{6} + 12 a^{5} + 9 a^{4} + 2 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 23^{7} + \left(3 a^{8} + 13 a^{7} + 6 a^{6} + 3 a^{5} + 20 a^{4} + 2 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 21\right)\cdot 23^{8} + \left(2 a^{8} + 9 a^{7} + 13 a^{6} + 18 a^{5} + 18 a^{4} + 2 a^{3} + 2 a^{2} + 14 a\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})$ 16a^8 + 19a^7 + 17a^6 + 18a^5 + 21a^4 + 4a^3 + 12a^2 + 22a + 17 + (22a^8 + 21a^7 + 3a^6 + 12a^5 + 15a^4 + 8a^3 + 20)23 + (12a^8 + 8a^7 + 13a^6 + 21a^5 + 5a^4 + 21a^3 + 16a^2 + 13a + 1)23^2 + (16a^8 + 3a^7 + 14a^6 + 11a^5 + a^4 + 2a^3 + 17a^2 + 7a + 14)23^3 + (3a^8 + 13a^7 + 7a^6 + 2a^5 + 14a^4 + 9a^3 + 11a^2 + 20a + 1)23^4 + (8a^7 + 4a^5 + 18a^4 + a^3 + 14a^2 + 22a + 22)23^5 + (19a^8 + 12a^7 + 19a^6 + 4a^5 + 6a^4 + 12a^3 + 20a^2 + 4a + 8)23^6 + (4a^7 + a^6 + 12a^5 + 9a^4 + 2a^3 + 6a^2 + 10a + 10)23^7 + (3a^8 + 13a^7 + 6a^6 + 3a^5 + 20a^4 + 2a^3 + 9a^2 + 8a + 21)23^8 + (2a^8 + 9a^7 + 13a^6 + 18a^5 + 18a^4 + 2a^3 + 2a^2 + 14a)*23^9+O(23^10)
$r_{ 17 }$	$=$	\( 9 a^{8} + 19 a^{7} + 2 a^{6} + 15 a^{5} + 16 a^{4} + 22 a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + \left(21 a^{8} + 19 a^{7} + 21 a^{6} + 6 a^{5} + 9 a^{4} + 10 a^{3} + 10 a^{2} + 15 a + 7\right)\cdot 23 + \left(10 a^{8} + 15 a^{7} + 8 a^{6} + 20 a^{5} + 13 a^{4} + 16 a^{3} + 17 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 23^{2} + \left(10 a^{8} + 11 a^{7} + 9 a^{6} + 10 a^{5} + 15 a^{4} + 16 a^{3} + 15 a^{2} + 15 a + 1\right)\cdot 23^{3} + \left(4 a^{8} + 19 a^{7} + 6 a^{6} + 19 a^{5} + 16 a^{4} + 4 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 19\right)\cdot 23^{4} + \left(12 a^{8} + 4 a^{7} + 13 a^{6} + 9 a^{5} + 2 a^{4} + 22 a^{3} + 8 a^{2} + 15 a + 18\right)\cdot 23^{5} + \left(9 a^{8} + 4 a^{7} + 8 a^{6} + 10 a^{4} + 22 a^{3} + 22 a^{2} + 18 a + 14\right)\cdot 23^{6} + \left(20 a^{8} + 3 a^{6} + 17 a^{5} + a^{4} + 6 a^{3} + 19 a^{2} + 18 a + 7\right)\cdot 23^{7} + \left(a^{8} + 10 a^{7} + 3 a^{6} + 20 a^{5} + 17 a^{4} + 9 a^{3} + 21 a^{2} + 14 a + 22\right)\cdot 23^{8} + \left(2 a^{8} + 22 a^{7} + 4 a^{6} + 5 a^{5} + 11 a^{4} + 3 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 9a^8 + 19a^7 + 2a^6 + 15a^5 + 16a^4 + 22a^3 + 10a^2 + 8a + (21a^8 + 19a^7 + 21a^6 + 6a^5 + 9a^4 + 10a^3 + 10a^2 + 15a + 7)23 + (10a^8 + 15a^7 + 8a^6 + 20a^5 + 13a^4 + 16a^3 + 17a^2 + 11a + 12)23^2 + (10a^8 + 11a^7 + 9a^6 + 10a^5 + 15a^4 + 16a^3 + 15a^2 + 15a + 1)23^3 + (4a^8 + 19a^7 + 6a^6 + 19a^5 + 16a^4 + 4a^3 + 12a^2 + 4a + 19)23^4 + (12a^8 + 4a^7 + 13a^6 + 9a^5 + 2a^4 + 22a^3 + 8a^2 + 15a + 18)23^5 + (9a^8 + 4a^7 + 8a^6 + 10a^4 + 22a^3 + 22a^2 + 18a + 14)23^6 + (20a^8 + 3a^6 + 17a^5 + a^4 + 6a^3 + 19a^2 + 18a + 7)23^7 + (a^8 + 10a^7 + 3a^6 + 20a^5 + 17a^4 + 9a^3 + 21a^2 + 14a + 22)23^8 + (2a^8 + 22a^7 + 4a^6 + 5a^5 + 11a^4 + 3a^3 + 2a^2 + 5a)*23^9+O(23^10)
$r_{ 18 }$	$=$	$ 16 a^{7} + 2 a^{6} + 8 a^{5} + a^{4} + 21 a^{3} + 20 a^{2} + 7 a + 9 + \left(3 a^{8} + a^{7} + 3 a^{6} + 3 a^{5} + 3 a^{4} + 17 a^{2} + 15 a + 2\right)\cdot 23 + \left(15 a^{8} + 22 a^{6} + 19 a^{5} + 3 a^{4} + 11 a^{3} + a^{2} + 5 a + 20\right)\cdot 23^{2} + \left(3 a^{8} + 22 a^{6} + 7 a^{5} + 8 a^{4} + 20 a^{3} + 5 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 23^{3} + \left(10 a^{8} + 19 a^{7} + 9 a^{6} + 13 a^{5} + 9 a^{4} + 3 a^{3} + 12 a^{2} + 13 a + 17\right)\cdot 23^{4} + \left(20 a^{8} + 16 a^{7} + 2 a^{6} + 17 a^{5} + a^{4} + 12 a^{3} + 6 a^{2} + 18 a + 4\right)\cdot 23^{5} + \left(9 a^{8} + 20 a^{7} + 9 a^{6} + 13 a^{5} + 15 a^{4} + 6 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 14\right)\cdot 23^{6} + \left(18 a^{8} + 19 a^{7} + a^{6} + 21 a^{5} + a^{4} + 17 a^{3} + 16 a^{2} + 22 a\right)\cdot 23^{7} + \left(8 a^{8} + 22 a^{7} + 11 a^{6} + 8 a^{5} + 9 a^{4} + 8 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 23^{8} + \left(7 a^{8} + 14 a^{7} + 16 a^{6} + 9 a^{5} + 11 a^{4} + 15 a^{3} + 19 a^{2} + 10 a + 16\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})$ 16a^7 + 2a^6 + 8a^5 + a^4 + 21a^3 + 20a^2 + 7a + 9 + (3a^8 + a^7 + 3a^6 + 3a^5 + 3a^4 + 17a^2 + 15a + 2)23 + (15a^8 + 22a^6 + 19a^5 + 3a^4 + 11a^3 + a^2 + 5a + 20)23^2 + (3a^8 + 22a^6 + 7a^5 + 8a^4 + 20a^3 + 5a^2 + 14a + 13)23^3 + (10a^8 + 19a^7 + 9a^6 + 13a^5 + 9a^4 + 3a^3 + 12a^2 + 13a + 17)23^4 + (20a^8 + 16a^7 + 2a^6 + 17a^5 + a^4 + 12a^3 + 6a^2 + 18a + 4)23^5 + (9a^8 + 20a^7 + 9a^6 + 13a^5 + 15a^4 + 6a^3 + 6a^2 + 10a + 14)23^6 + (18a^8 + 19a^7 + a^6 + 21a^5 + a^4 + 17a^3 + 16a^2 + 22a)23^7 + (8a^8 + 22a^7 + 11a^6 + 8a^5 + 9a^4 + 8a^3 + 7a^2 + 6a + 15)23^8 + (7a^8 + 14a^7 + 16a^6 + 9a^5 + 11a^4 + 15a^3 + 19a^2 + 10a + 16)*23^9+O(23^10)

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 18 }$

Cycle notation
$(1,13,11,10,8,9,12,6,16)(2,15,17,5,18,3,7,14,4)$
$(1,10,12)(6,13,8)(9,16,11)$
$(1,18)(2,9)(3,13)(4,8)(5,16)(6,17)(7,11)(10,14)(12,15)$
$(2,5,7)(3,4,17)(14,15,18)$

Character values on conjugacy classes

Size	Order	Action on $r_1, \ldots, r_{ 18 }$	Character values
			$c1$	$c2$	$c3$	$c4$	$c5$	$c6$
$1$	$1$	$()$	$2$	$2$	$2$	$2$	$2$	$2$
$3$	$2$	$(1,18)(2,9)(3,13)(4,8)(5,16)(6,17)(7,11)(10,14)(12,15)$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
$1$	$3$	$(1,10,12)(2,5,7)(3,4,17)(6,13,8)(9,16,11)(14,15,18)$	$-2 \zeta_{9}^{3} - 2$	$2 \zeta_{9}^{3}$	$-2 \zeta_{9}^{3} - 2$	$2 \zeta_{9}^{3}$	$-2 \zeta_{9}^{3} - 2$	$2 \zeta_{9}^{3}$
$1$	$3$	$(1,12,10)(2,7,5)(3,17,4)(6,8,13)(9,11,16)(14,18,15)$	$2 \zeta_{9}^{3}$	$-2 \zeta_{9}^{3} - 2$	$2 \zeta_{9}^{3}$	$-2 \zeta_{9}^{3} - 2$	$2 \zeta_{9}^{3}$	$-2 \zeta_{9}^{3} - 2$
$2$	$3$	$(1,10,12)(6,13,8)(9,16,11)$	$-\zeta_{9}^{3}$	$\zeta_{9}^{3} + 1$	$-\zeta_{9}^{3}$	$\zeta_{9}^{3} + 1$	$-\zeta_{9}^{3}$	$\zeta_{9}^{3} + 1$
$2$	$3$	$(1,12,10)(6,8,13)(9,11,16)$	$\zeta_{9}^{3} + 1$	$-\zeta_{9}^{3}$	$\zeta_{9}^{3} + 1$	$-\zeta_{9}^{3}$	$\zeta_{9}^{3} + 1$	$-\zeta_{9}^{3}$
$2$	$3$	$(1,12,10)(2,5,7)(3,4,17)(6,8,13)(9,11,16)(14,15,18)$	$-1$	$-1$	$-1$	$-1$	$-1$	$-1$
$3$	$6$	$(1,14,12,18,10,15)(2,16,7,9,5,11)(3,8,17,13,4,6)$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
$3$	$6$	$(1,15,10,18,12,14)(2,11,5,9,7,16)(3,6,4,13,17,8)$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
$1$	$9$	$(1,13,11,10,8,9,12,6,16)(2,15,17,5,18,3,7,14,4)$	$2 \zeta_{9}^{2}$	$-2 \zeta_{9}^{4} - 2 \zeta_{9}$	$2 \zeta_{9}^{5}$	$2 \zeta_{9}$	$-2 \zeta_{9}^{5} - 2 \zeta_{9}^{2}$	$2 \zeta_{9}^{4}$
$1$	$9$	$(1,11,8,12,16,13,10,9,6)(2,17,18,7,4,15,5,3,14)$	$2 \zeta_{9}^{4}$	$2 \zeta_{9}^{5}$	$2 \zeta_{9}$	$2 \zeta_{9}^{2}$	$-2 \zeta_{9}^{4} - 2 \zeta_{9}$	$-2 \zeta_{9}^{5} - 2 \zeta_{9}^{2}$
$1$	$9$	$(1,8,16,10,6,11,12,13,9)(2,18,4,5,14,17,7,15,3)$	$-2 \zeta_{9}^{5} - 2 \zeta_{9}^{2}$	$2 \zeta_{9}$	$2 \zeta_{9}^{2}$	$2 \zeta_{9}^{4}$	$2 \zeta_{9}^{5}$	$-2 \zeta_{9}^{4} - 2 \zeta_{9}$
$1$	$9$	$(1,9,13,12,11,6,10,16,8)(2,3,15,7,17,14,5,4,18)$	$2 \zeta_{9}$	$-2 \zeta_{9}^{5} - 2 \zeta_{9}^{2}$	$-2 \zeta_{9}^{4} - 2 \zeta_{9}$	$2 \zeta_{9}^{5}$	$2 \zeta_{9}^{4}$	$2 \zeta_{9}^{2}$
$1$	$9$	$(1,6,9,10,13,16,12,8,11)(2,14,3,5,15,4,7,18,17)$	$2 \zeta_{9}^{5}$	$2 \zeta_{9}^{4}$	$-2 \zeta_{9}^{5} - 2 \zeta_{9}^{2}$	$-2 \zeta_{9}^{4} - 2 \zeta_{9}$	$2 \zeta_{9}^{2}$	$2 \zeta_{9}$
$1$	$9$	$(1,16,6,12,9,8,10,11,13)(2,4,14,7,3,18,5,17,15)$	$-2 \zeta_{9}^{4} - 2 \zeta_{9}$	$2 \zeta_{9}^{2}$	$2 \zeta_{9}^{4}$	$-2 \zeta_{9}^{5} - 2 \zeta_{9}^{2}$	$2 \zeta_{9}$	$2 \zeta_{9}^{5}$
$2$	$9$	$(1,8,16,10,6,11,12,13,9)(2,15,17,5,18,3,7,14,4)$	$-\zeta_{9}^{5}$	$-\zeta_{9}^{4}$	$\zeta_{9}^{5} + \zeta_{9}^{2}$	$\zeta_{9}^{4} + \zeta_{9}$	$-\zeta_{9}^{2}$	$-\zeta_{9}$
$2$	$9$	$(1,16,6,12,9,8,10,11,13)(2,17,18,7,4,15,5,3,14)$	$-\zeta_{9}$	$\zeta_{9}^{5} + \zeta_{9}^{2}$	$\zeta_{9}^{4} + \zeta_{9}$	$-\zeta_{9}^{5}$	$-\zeta_{9}^{4}$	$-\zeta_{9}^{2}$
$2$	$9$	$(1,6,9,10,13,16,12,8,11)(2,18,4,5,14,17,7,15,3)$	$-\zeta_{9}^{2}$	$\zeta_{9}^{4} + \zeta_{9}$	$-\zeta_{9}^{5}$	$-\zeta_{9}$	$\zeta_{9}^{5} + \zeta_{9}^{2}$	$-\zeta_{9}^{4}$
$2$	$9$	$(1,11,8,12,16,13,10,9,6)(2,3,15,7,17,14,5,4,18)$	$\zeta_{9}^{4} + \zeta_{9}$	$-\zeta_{9}^{2}$	$-\zeta_{9}^{4}$	$\zeta_{9}^{5} + \zeta_{9}^{2}$	$-\zeta_{9}$	$-\zeta_{9}^{5}$
$2$	$9$	$(1,13,11,10,8,9,12,6,16)(2,14,3,5,15,4,7,18,17)$	$\zeta_{9}^{5} + \zeta_{9}^{2}$	$-\zeta_{9}$	$-\zeta_{9}^{2}$	$-\zeta_{9}^{4}$	$-\zeta_{9}^{5}$	$\zeta_{9}^{4} + \zeta_{9}$
$2$	$9$	$(1,9,13,12,11,6,10,16,8)(2,4,14,7,3,18,5,17,15)$	$-\zeta_{9}^{4}$	$-\zeta_{9}^{5}$	$-\zeta_{9}$	$-\zeta_{9}^{2}$	$\zeta_{9}^{4} + \zeta_{9}$	$\zeta_{9}^{5} + \zeta_{9}^{2}$
$3$	$18$	$(1,3,11,14,8,2,12,17,16,18,13,7,10,4,9,15,6,5)$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
$3$	$18$	$(1,2,13,15,11,17,10,5,8,18,9,3,12,7,6,14,16,4)$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
$3$	$18$	$(1,17,9,14,13,5,12,4,11,18,6,2,10,3,16,15,8,7)$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
$3$	$18$	$(1,7,8,15,16,3,10,2,6,18,11,4,12,5,13,14,9,17)$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
$3$	$18$	$(1,4,16,14,6,7,12,3,9,18,8,5,10,17,11,15,13,2)$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
$3$	$18$	$(1,5,6,15,9,4,10,7,13,18,16,17,12,2,8,14,11,3)$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Related objects

Downloads

Learn more

Basic invariants

Galois action

Roots of defining polynomial

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 18 }$

Character values on conjugacy classes

This project is supported by grants from the US National Science Foundation, the UK Engineering and Physical Sciences Research Council, and the Simons Foundation.

Label	2.3645.18t16.b
Dimension	$2$
Group	$C_9\times S_3$
Conductor	$3645$
Indicator	$0$