Basic invariants
| Dimension: | $2$ |
| Group: | $D_{30}$ |
| Conductor: | \(3639\)\(\medspace = 3 \cdot 1213 \) |
| Frobenius-Schur indicator: | $1$ |
| Root number: | $1$ |
| Artin number field: | Galois closure of 30.2.86618284683850782149418819696007456920853807515055533.1 |
| Galois orbit size: | $4$ |
| Smallest permutation container: | $D_{30}$ |
| Parity: | odd |
| Projective image: | $D_{15}$ |
| Projective field: | Galois closure of 15.1.8450344007000266933623879.1 |
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 31 }$ to precision 10.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 31 }$:
\( x^{15} + 30x^{6} + 29x^{5} + 12x^{4} + 13x^{3} + 23x^{2} + 25x + 28 \)
![Copy content]()
![Toggle raw display]()
Roots:
| $r_{ 1 }$ | $=$ |
\( 5 a^{14} + 13 a^{13} + 6 a^{12} + 4 a^{11} + 23 a^{9} + a^{8} + 13 a^{7} + 4 a^{6} + a^{5} + 15 a^{4} + 24 a^{3} + 24 a^{2} + 20 a + 30 + \left(a^{14} + 6 a^{13} + 21 a^{12} + 10 a^{11} + 3 a^{10} + 12 a^{9} + 27 a^{8} + 29 a^{7} + 8 a^{6} + 7 a^{5} + 25 a^{4} + 6 a^{3} + a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 31 + \left(14 a^{14} + 4 a^{13} + 22 a^{12} + 8 a^{11} + 29 a^{10} + 25 a^{9} + 20 a^{8} + 3 a^{7} + 10 a^{6} + 14 a^{4} + 8 a^{3} + 13 a^{2} + 26 a + 27\right)\cdot 31^{2} + \left(8 a^{14} + 2 a^{13} + 12 a^{12} + 5 a^{11} + 25 a^{10} + 27 a^{9} + 11 a^{8} + 8 a^{7} + 6 a^{6} + 18 a^{5} + 19 a^{3} + 2 a^{2} + 22 a + 27\right)\cdot 31^{3} + \left(11 a^{14} + 2 a^{12} + 8 a^{11} + 14 a^{10} + 6 a^{9} + 14 a^{8} + 17 a^{7} + 9 a^{6} + 19 a^{5} + 2 a^{4} + 8 a^{3} + a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 31^{4} + \left(2 a^{14} + 25 a^{13} + 24 a^{12} + 28 a^{11} + 19 a^{10} + 18 a^{9} + 24 a^{8} + 29 a^{7} + a^{6} + 30 a^{5} + 10 a^{4} + 18 a^{3} + 12 a^{2} + 12 a + 27\right)\cdot 31^{5} + \left(11 a^{14} + 28 a^{13} + 28 a^{12} + 8 a^{11} + 7 a^{10} + a^{9} + 6 a^{8} + 15 a^{7} + 22 a^{6} + 8 a^{5} + 8 a^{4} + 9 a^{3} + 17 a^{2} + 29 a + 5\right)\cdot 31^{6} + \left(15 a^{14} + 23 a^{13} + 8 a^{12} + 26 a^{11} + 10 a^{10} + a^{9} + 26 a^{8} + 25 a^{7} + 13 a^{6} + 7 a^{5} + 17 a^{4} + 18 a^{3} + 28 a + 2\right)\cdot 31^{7} + \left(24 a^{14} + 27 a^{12} + 27 a^{11} + 30 a^{10} + 24 a^{9} + 5 a^{8} + 14 a^{7} + a^{6} + 24 a^{5} + 12 a^{4} + 23 a^{3} + 9 a^{2} + 17 a + 4\right)\cdot 31^{8} + \left(19 a^{14} + a^{13} + 15 a^{12} + 8 a^{11} + 22 a^{10} + 4 a^{9} + 16 a^{8} + 4 a^{7} + 8 a^{6} + 2 a^{5} + 18 a^{4} + 6 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a + 24\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 2 }$ | $=$ |
\( 15 a^{14} + 20 a^{13} + 25 a^{12} + 15 a^{11} + 6 a^{10} + 17 a^{9} + 19 a^{8} + 13 a^{7} + 9 a^{6} + 5 a^{5} + 7 a^{4} + 14 a^{3} + 13 a^{2} + 28 a + 15 + \left(a^{14} + 16 a^{13} + 26 a^{12} + 6 a^{11} + 17 a^{10} + 29 a^{9} + 5 a^{8} + 7 a^{7} + 10 a^{6} + 13 a^{5} + 10 a^{4} + 23 a^{3} + 29 a^{2} + 20 a + 14\right)\cdot 31 + \left(7 a^{14} + 9 a^{12} + 14 a^{11} + 17 a^{10} + 21 a^{9} + 11 a^{8} + 10 a^{7} + 7 a^{6} + 12 a^{5} + 13 a^{4} + 5 a^{3} + 17 a^{2} + 18 a + 25\right)\cdot 31^{2} + \left(11 a^{13} + 10 a^{12} + 4 a^{11} + 13 a^{10} + 16 a^{9} + 24 a^{8} + 6 a^{7} + 13 a^{6} + 15 a^{5} + 29 a^{4} + 29 a^{3} + 12 a^{2} + 18 a + 14\right)\cdot 31^{3} + \left(6 a^{14} + 17 a^{13} + 24 a^{11} + 17 a^{10} + 13 a^{9} + 14 a^{8} + 26 a^{7} + 19 a^{6} + 9 a^{5} + 11 a^{4} + 5 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 30\right)\cdot 31^{4} + \left(21 a^{14} + 9 a^{13} + 14 a^{12} + 12 a^{11} + 28 a^{10} + 4 a^{9} + 10 a^{8} + 5 a^{7} + 5 a^{6} + 14 a^{5} + 26 a^{4} + 23 a^{3} + 16 a^{2} + 25 a + 14\right)\cdot 31^{5} + \left(21 a^{14} + 19 a^{13} + 8 a^{12} + 11 a^{11} + 9 a^{10} + 16 a^{9} + 23 a^{8} + 30 a^{7} + 15 a^{5} + 28 a^{4} + 15 a^{3} + 27 a^{2} + 17 a + 9\right)\cdot 31^{6} + \left(24 a^{14} + a^{13} + 7 a^{12} + 4 a^{11} + 10 a^{10} + 28 a^{9} + 17 a^{8} + 28 a^{7} + 16 a^{6} + 19 a^{5} + 19 a^{4} + 19 a^{3} + 22 a^{2} + 3 a + 30\right)\cdot 31^{7} + \left(2 a^{14} + 16 a^{12} + 24 a^{11} + 18 a^{10} + 7 a^{9} + 22 a^{8} + 3 a^{7} + 26 a^{6} + 24 a^{5} + 16 a^{4} + 6 a^{3} + 24 a^{2} + 7 a + 26\right)\cdot 31^{8} + \left(19 a^{14} + 19 a^{13} + 24 a^{12} + 9 a^{11} + 24 a^{10} + 13 a^{9} + 23 a^{8} + 9 a^{7} + 18 a^{6} + 22 a^{5} + 30 a^{4} + 7 a^{3} + 13 a^{2} + 28 a + 4\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 3 }$ | $=$ |
\( 2 a^{14} + 3 a^{13} + 15 a^{12} + 28 a^{11} + 23 a^{10} + 23 a^{9} + 8 a^{8} + 8 a^{7} + 10 a^{6} + 8 a^{5} + 17 a^{3} + 20 a^{2} + 5 a + 10 + \left(29 a^{14} + 27 a^{13} + 7 a^{12} + 21 a^{11} + 3 a^{10} + 4 a^{9} + 24 a^{8} + 2 a^{7} + 3 a^{6} + 19 a^{5} + 6 a^{4} + 23 a^{3} + a^{2} + 17 a + 26\right)\cdot 31 + \left(27 a^{14} + 16 a^{13} + a^{12} + 21 a^{11} + 13 a^{10} + a^{9} + 6 a^{8} + 17 a^{7} + 13 a^{6} + 23 a^{5} + 8 a^{4} + 23 a^{3} + 14 a^{2} + 11 a + 17\right)\cdot 31^{2} + \left(23 a^{14} + 2 a^{13} + 14 a^{12} + 7 a^{11} + 17 a^{10} + 22 a^{9} + 6 a^{8} + 5 a^{7} + 21 a^{6} + 4 a^{5} + 12 a^{4} + 2 a^{3} + 20 a^{2} + 15 a + 1\right)\cdot 31^{3} + \left(9 a^{14} + 21 a^{13} + 8 a^{12} + 4 a^{11} + 9 a^{10} + 25 a^{9} + 13 a^{8} + 3 a^{7} + 8 a^{6} + 20 a^{5} + 25 a^{4} + 6 a^{3} + 23 a^{2} + 27 a + 22\right)\cdot 31^{4} + \left(2 a^{14} + 29 a^{13} + 9 a^{12} + 5 a^{11} + 14 a^{10} + 16 a^{9} + 11 a^{8} + 16 a^{7} + 10 a^{6} + 8 a^{5} + 24 a^{4} + 22 a^{3} + 18 a^{2} + 16 a + 29\right)\cdot 31^{5} + \left(19 a^{14} + 17 a^{13} + 24 a^{12} + 2 a^{11} + 6 a^{10} + 10 a^{9} + 27 a^{8} + 25 a^{7} + 26 a^{6} + 8 a^{5} + 23 a^{4} + 18 a^{3} + 20 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 31^{6} + \left(8 a^{14} + 6 a^{13} + a^{12} + 5 a^{11} + 23 a^{9} + 18 a^{8} + 26 a^{7} + 25 a^{6} + 17 a^{5} + 20 a^{4} + 13 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 31^{7} + \left(2 a^{14} + 21 a^{13} + 20 a^{12} + 7 a^{11} + 27 a^{10} + 6 a^{9} + 5 a^{8} + 28 a^{7} + 6 a^{6} + 15 a^{5} + 21 a^{4} + 16 a^{3} + 4 a^{2} + 20 a + 25\right)\cdot 31^{8} + \left(17 a^{14} + 28 a^{13} + 24 a^{12} + 22 a^{11} + 23 a^{10} + 25 a^{9} + 21 a^{8} + 22 a^{7} + 29 a^{6} + 14 a^{5} + 11 a^{4} + 16 a^{3} + 17 a^{2} + a + 20\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 4 }$ | $=$ |
\( 8 a^{14} + 23 a^{13} + 16 a^{12} + 27 a^{11} + 25 a^{10} + 12 a^{9} + 27 a^{8} + 18 a^{7} + 15 a^{6} + 28 a^{5} + 30 a^{4} + 22 a^{3} + a^{2} + 16 a + 21 + \left(22 a^{14} + 29 a^{13} + 13 a^{12} + 5 a^{11} + 28 a^{10} + 7 a^{9} + 24 a^{7} + 10 a^{6} + 19 a^{5} + 23 a^{4} + 4 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 20\right)\cdot 31 + \left(4 a^{14} + a^{13} + 7 a^{12} + 29 a^{11} + 26 a^{10} + 7 a^{9} + 7 a^{8} + 24 a^{7} + 12 a^{6} + 4 a^{4} + 25 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 30\right)\cdot 31^{2} + \left(29 a^{14} + 25 a^{13} + 24 a^{12} + a^{11} + 2 a^{10} + 20 a^{9} + 21 a^{8} + 14 a^{7} + 25 a^{6} + 7 a^{5} + 3 a^{4} + 16 a^{3} + 15 a^{2} + 30 a + 18\right)\cdot 31^{3} + \left(27 a^{14} + 5 a^{13} + 2 a^{12} + 28 a^{11} + 5 a^{10} + 15 a^{9} + 6 a^{8} + 16 a^{7} + 27 a^{6} + 2 a^{5} + 15 a^{4} + 29 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 22\right)\cdot 31^{4} + \left(2 a^{14} + 24 a^{13} + 24 a^{12} + 10 a^{11} + 24 a^{10} + 14 a^{9} + 4 a^{8} + 20 a^{7} + 16 a^{6} + 21 a^{5} + 8 a^{4} + 11 a^{3} + 7 a^{2} + 16\right)\cdot 31^{5} + \left(19 a^{14} + 11 a^{13} + 28 a^{12} + 25 a^{11} + 7 a^{10} + 24 a^{9} + 21 a^{8} + 10 a^{7} + 28 a^{6} + 25 a^{5} + 2 a^{4} + 9 a^{2} + 20 a + 26\right)\cdot 31^{6} + \left(2 a^{14} + 16 a^{13} + 29 a^{12} + 17 a^{11} + 23 a^{10} + 26 a^{9} + 18 a^{8} + 15 a^{7} + 4 a^{6} + 6 a^{5} + 9 a^{4} + a^{3} + 20 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 31^{7} + \left(13 a^{14} + 10 a^{13} + 4 a^{12} + 27 a^{11} + 25 a^{10} + 4 a^{9} + 15 a^{8} + 11 a^{7} + 29 a^{6} + 22 a^{5} + 11 a^{4} + 28 a^{3} + 26 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 31^{8} + \left(9 a^{14} + 9 a^{13} + 23 a^{11} + 24 a^{10} + 7 a^{9} + 15 a^{8} + 13 a^{7} + 12 a^{6} + 20 a^{5} + a^{4} + 7 a^{3} + 25 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 5 }$ | $=$ |
\( 14 a^{14} + 2 a^{13} + 12 a^{12} + 8 a^{11} + 28 a^{10} + 26 a^{8} + 3 a^{7} + 30 a^{6} + 27 a^{4} + 8 a^{3} + 17 a^{2} + a + 8 + \left(a^{14} + 17 a^{13} + 25 a^{12} + 5 a^{11} + 13 a^{10} + 6 a^{9} + 22 a^{8} + 10 a^{7} + 26 a^{5} + 15 a^{4} + 6 a^{3} + 28 a^{2} + a + 11\right)\cdot 31 + \left(9 a^{14} + 22 a^{13} + 12 a^{12} + 16 a^{11} + 2 a^{10} + 4 a^{9} + 18 a^{8} + 18 a^{7} + 16 a^{6} + 2 a^{5} + 16 a^{4} + 4 a^{3} + 30 a^{2} + 15\right)\cdot 31^{2} + \left(21 a^{14} + 2 a^{13} + 19 a^{12} + 12 a^{11} + 25 a^{10} + 21 a^{9} + 12 a^{8} + 5 a^{7} + 3 a^{6} + 18 a^{5} + 23 a^{4} + 21 a^{3} + 2 a^{2} + 23 a + 21\right)\cdot 31^{3} + \left(21 a^{13} + 8 a^{12} + 14 a^{11} + 8 a^{10} + 13 a^{9} + 15 a^{8} + 28 a^{7} + 26 a^{6} + 25 a^{5} + 4 a^{4} + 11 a^{3} + 28 a^{2} + 20 a + 23\right)\cdot 31^{4} + \left(2 a^{14} + 12 a^{13} + 11 a^{12} + 13 a^{11} + 30 a^{10} + 13 a^{9} + 21 a^{8} + 5 a^{7} + 11 a^{6} + 4 a^{5} + 28 a^{4} + 28 a^{3} + 19 a^{2} + 22 a + 17\right)\cdot 31^{5} + \left(2 a^{14} + 24 a^{13} + 7 a^{12} + 10 a^{11} + 3 a^{10} + 23 a^{9} + 3 a^{8} + 7 a^{7} + 5 a^{6} + 18 a^{5} + 21 a^{4} + 25 a^{3} + 16 a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 31^{6} + \left(23 a^{14} + 9 a^{13} + 16 a^{12} + 20 a^{11} + 7 a^{10} + 16 a^{9} + 15 a^{8} + 25 a^{7} + 27 a^{6} + 26 a^{5} + 7 a^{4} + 25 a^{3} + 3 a^{2} + 21 a + 30\right)\cdot 31^{7} + \left(29 a^{14} + a^{13} + 11 a^{11} + 2 a^{10} + 30 a^{9} + 19 a^{8} + 26 a^{7} + 30 a^{6} + 27 a^{5} + 5 a^{4} + 16 a^{3} + 8 a^{2} + 12 a + 21\right)\cdot 31^{8} + \left(12 a^{14} + 17 a^{13} + a^{12} + a^{11} + 3 a^{10} + 30 a^{9} + 19 a^{8} + 12 a^{7} + 13 a^{6} + 29 a^{5} + 3 a^{4} + 4 a^{3} + 11 a^{2} + 21 a + 4\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 6 }$ | $=$ |
\( 19 a^{14} + 17 a^{13} + 17 a^{12} + 4 a^{11} + 19 a^{10} + 8 a^{9} + 14 a^{7} + 22 a^{5} + 5 a^{4} + 20 a^{3} + 20 a^{2} + 2 a + 24 + \left(5 a^{14} + 12 a^{13} + 28 a^{12} + 29 a^{11} + 12 a^{10} + 29 a^{9} + 4 a^{8} + 23 a^{7} + 28 a^{6} + 6 a^{5} + 10 a^{4} + 8 a^{3} + 24 a^{2} + a + 28\right)\cdot 31 + \left(28 a^{14} + 8 a^{13} + 29 a^{12} + 15 a^{11} + 30 a^{10} + 14 a^{9} + 30 a^{8} + 9 a^{7} + 27 a^{6} + 8 a^{5} + 24 a^{4} + 3 a^{3} + 7 a^{2} + 28 a + 10\right)\cdot 31^{2} + \left(15 a^{14} + 6 a^{13} + 3 a^{12} + 16 a^{11} + 14 a^{10} + a^{8} + 22 a^{6} + 14 a^{5} + 25 a^{4} + 3 a^{3} + 8 a^{2} + 24 a + 28\right)\cdot 31^{3} + \left(6 a^{14} + 26 a^{13} + 22 a^{12} + 10 a^{11} + 28 a^{10} + 7 a^{9} + 25 a^{8} + 4 a^{6} + 27 a^{5} + 27 a^{4} + 25 a^{3} + 15 a^{2} + 22 a + 26\right)\cdot 31^{4} + \left(6 a^{14} + 19 a^{12} + 5 a^{11} + 21 a^{10} + 7 a^{9} + 21 a^{8} + 30 a^{7} + 16 a^{6} + 30 a^{5} + 16 a^{3} + 2 a^{2} + 29 a + 14\right)\cdot 31^{5} + \left(12 a^{14} + 4 a^{12} + 5 a^{11} + 26 a^{10} + 26 a^{9} + 22 a^{8} + 17 a^{7} + 2 a^{6} + 6 a^{5} + 11 a^{4} + 19 a^{3} + 12 a^{2} + 22 a + 3\right)\cdot 31^{6} + \left(9 a^{14} + 29 a^{13} + 19 a^{12} + 21 a^{11} + 20 a^{10} + 15 a^{9} + 7 a^{8} + 27 a^{7} + 21 a^{6} + 8 a^{5} + 28 a^{3} + 25 a^{2} + 22 a + 7\right)\cdot 31^{7} + \left(25 a^{14} + 4 a^{13} + 5 a^{12} + 29 a^{11} + 15 a^{10} + 28 a^{9} + 20 a^{8} + 15 a^{7} + 12 a^{6} + 26 a^{5} + 19 a^{4} + 16 a^{3} + 7 a^{2} + 20 a + 14\right)\cdot 31^{8} + \left(29 a^{14} + 13 a^{13} + 21 a^{12} + 4 a^{11} + 14 a^{10} + 23 a^{9} + 3 a^{8} + 28 a^{7} + 30 a^{6} + 3 a^{5} + 27 a^{4} + 25 a^{3} + 10 a^{2} + 19 a + 27\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 7 }$ | $=$ |
\( 10 a^{14} + 8 a^{13} + 4 a^{12} + 7 a^{11} + 28 a^{10} + 29 a^{9} + 3 a^{8} + 26 a^{7} + 14 a^{6} + 28 a^{5} + 5 a^{4} + 24 a^{3} + 5 a^{2} + 16 a + 22 + \left(22 a^{14} + 22 a^{13} + 4 a^{12} + 6 a^{11} + 11 a^{10} + 20 a^{9} + 20 a^{8} + 30 a^{7} + 24 a^{6} + 16 a^{5} + 27 a^{4} + 13 a^{3} + 7 a^{2} + 24 a + 9\right)\cdot 31 + \left(18 a^{14} + 9 a^{13} + 18 a^{12} + 15 a^{11} + 3 a^{10} + 6 a^{9} + 26 a^{8} + 26 a^{7} + 19 a^{6} + 5 a^{5} + 17 a^{4} + 22 a^{3} + 2 a^{2} + 21 a + 18\right)\cdot 31^{2} + \left(a^{14} + 7 a^{13} + 2 a^{12} + 28 a^{11} + 4 a^{10} + 17 a^{9} + 14 a^{8} + 10 a^{7} + 20 a^{6} + 3 a^{5} + 29 a^{4} + 16 a^{3} + 12 a^{2} + 27 a + 27\right)\cdot 31^{3} + \left(6 a^{14} + 14 a^{13} + 16 a^{12} + 16 a^{11} + 20 a^{10} + 9 a^{9} + 7 a^{8} + 23 a^{7} + 18 a^{6} + 12 a^{5} + 11 a^{4} + 26 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 16\right)\cdot 31^{4} + \left(14 a^{14} + 12 a^{13} + 27 a^{12} + 17 a^{11} + 17 a^{10} + 9 a^{9} + 30 a^{8} + 30 a^{7} + 29 a^{6} + 28 a^{5} + 30 a^{4} + 19 a^{3} + 10 a^{2} + 11 a + 28\right)\cdot 31^{5} + \left(a^{14} + 20 a^{13} + 4 a^{12} + 21 a^{11} + 25 a^{10} + 28 a^{9} + 24 a^{8} + 22 a^{7} + 18 a^{6} + 15 a^{5} + 3 a^{4} + 3 a^{3} + 24 a^{2} + 15 a + 6\right)\cdot 31^{6} + \left(10 a^{14} + 18 a^{13} + 30 a^{12} + 13 a^{11} + 23 a^{10} + 8 a^{9} + 23 a^{8} + 24 a^{7} + 15 a^{6} + 14 a^{5} + 3 a^{4} + 25 a^{3} + 5 a^{2} + 29 a + 8\right)\cdot 31^{7} + \left(14 a^{14} + 6 a^{13} + 7 a^{12} + 26 a^{11} + 22 a^{10} + 21 a^{9} + 20 a^{8} + 15 a^{7} + 3 a^{6} + a^{5} + 8 a^{4} + 16 a^{3} + 29 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 31^{8} + \left(17 a^{14} + 24 a^{13} + 9 a^{12} + 13 a^{11} + 13 a^{10} + a^{9} + 26 a^{8} + 25 a^{7} + 10 a^{6} + 24 a^{5} + 17 a^{4} + 4 a^{3} + 18 a^{2} + 24 a + 11\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 8 }$ | $=$ |
\( 29 a^{14} + 11 a^{13} + 30 a^{12} + 15 a^{11} + 27 a^{10} + 5 a^{9} + 24 a^{8} + 26 a^{7} + 21 a^{6} + 3 a^{5} + 2 a^{4} + 30 a^{3} + 26 a^{2} + 28 a + 24 + \left(19 a^{14} + 13 a^{13} + 29 a^{12} + a^{11} + 7 a^{10} + 12 a^{9} + 13 a^{8} + a^{7} + 4 a^{6} + 11 a^{5} + 3 a^{4} + 5 a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 19\right)\cdot 31 + \left(8 a^{14} + 26 a^{13} + a^{12} + 10 a^{11} + 8 a^{10} + 26 a^{9} + 29 a^{8} + 4 a^{7} + 20 a^{6} + 26 a^{5} + 8 a^{4} + 23 a^{3} + 14 a^{2} + 16 a + 2\right)\cdot 31^{2} + \left(28 a^{14} + 29 a^{13} + 28 a^{12} + 10 a^{11} + 21 a^{10} + 15 a^{9} + 7 a^{8} + 25 a^{7} + 30 a^{6} + a^{5} + 11 a^{4} + 12 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 31^{3} + \left(28 a^{14} + 9 a^{13} + 14 a^{12} + 14 a^{11} + 14 a^{10} + 5 a^{9} + 20 a^{7} + 20 a^{6} + 17 a^{5} + 14 a^{4} + 6 a^{3} + 26 a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 31^{4} + \left(4 a^{14} + 26 a^{13} + 4 a^{12} + 20 a^{11} + a^{10} + 12 a^{9} + 2 a^{8} + 18 a^{7} + 22 a^{6} + 8 a^{5} + 6 a^{4} + a^{3} + a^{2} + 23 a + 6\right)\cdot 31^{5} + \left(16 a^{14} + 30 a^{13} + 18 a^{12} + 6 a^{11} + 22 a^{10} + 29 a^{9} + 7 a^{8} + 17 a^{7} + 30 a^{6} + 30 a^{5} + a^{4} + 4 a^{3} + 10 a^{2} + 28 a + 12\right)\cdot 31^{6} + \left(19 a^{14} + 24 a^{13} + 19 a^{12} + 16 a^{11} + 10 a^{10} + 27 a^{9} + 13 a^{8} + 18 a^{7} + 4 a^{6} + 28 a^{5} + 4 a^{4} + 22 a^{3} + 15 a^{2} + 8 a + 30\right)\cdot 31^{7} + \left(a^{14} + 7 a^{13} + 6 a^{12} + 6 a^{11} + 20 a^{10} + 3 a^{9} + 16 a^{8} + 9 a^{7} + 13 a^{6} + 6 a^{5} + 22 a^{4} + 30 a^{3} + 16 a^{2} + 11 a + 20\right)\cdot 31^{8} + \left(4 a^{14} + 20 a^{13} + 21 a^{12} + 30 a^{11} + 29 a^{10} + 16 a^{9} + 13 a^{7} + 14 a^{6} + 4 a^{5} + 5 a^{4} + 10 a^{3} + 20 a^{2} + 25 a + 29\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 9 }$ | $=$ |
\( 18 a^{14} + a^{13} + 5 a^{12} + 14 a^{11} + 4 a^{10} + 2 a^{9} + 20 a^{8} + 17 a^{7} + 27 a^{6} + 25 a^{5} + 9 a^{4} + 19 a^{3} + 26 a^{2} + 5 a + 24 + \left(6 a^{13} + 30 a^{12} + 28 a^{11} + 24 a^{10} + 24 a^{9} + 20 a^{8} + 27 a^{7} + 19 a^{6} + 12 a^{5} + 19 a^{4} + 30 a^{3} + 2 a^{2} + 14 a + 24\right)\cdot 31 + \left(11 a^{14} + 5 a^{13} + 15 a^{11} + 20 a^{10} + 13 a^{9} + 16 a^{8} + 12 a^{7} + 4 a^{6} + 7 a^{5} + 18 a^{4} + 27 a^{3} + 8 a^{2} + a + 21\right)\cdot 31^{2} + \left(4 a^{14} + 13 a^{13} + 14 a^{12} + 26 a^{11} + 9 a^{10} + 13 a^{9} + 14 a^{8} + 7 a^{7} + 16 a^{6} + 4 a^{5} + 27 a^{4} + 4 a^{3} + 23 a^{2} + 19 a + 6\right)\cdot 31^{3} + \left(8 a^{14} + 7 a^{13} + 25 a^{12} + 21 a^{11} + 18 a^{9} + 24 a^{8} + 18 a^{7} + 9 a^{6} + 25 a^{5} + 4 a^{4} + 21 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 29\right)\cdot 31^{4} + \left(24 a^{14} + 12 a^{13} + 4 a^{12} + 27 a^{11} + 26 a^{10} + 26 a^{9} + 24 a^{8} + 27 a^{7} + 22 a^{6} + 29 a^{5} + 14 a^{4} + 17 a^{3} + 26 a + 18\right)\cdot 31^{5} + \left(5 a^{14} + 10 a^{12} + 5 a^{11} + 21 a^{10} + 9 a^{9} + 3 a^{8} + 28 a^{7} + 24 a^{6} + 7 a^{5} + 28 a^{4} + 3 a^{3} + 28 a^{2} + 3 a + 21\right)\cdot 31^{6} + \left(13 a^{14} + 11 a^{13} + 22 a^{12} + 29 a^{11} + 4 a^{10} + 28 a^{9} + 26 a^{8} + 17 a^{7} + a^{6} + 17 a^{5} + 7 a^{4} + 16 a^{3} + 16 a^{2} + 20 a + 27\right)\cdot 31^{7} + \left(14 a^{14} + 6 a^{13} + 11 a^{12} + 10 a^{11} + 20 a^{10} + 23 a^{9} + 10 a^{8} + 4 a^{7} + 13 a^{6} + 20 a^{5} + 9 a^{4} + 11 a^{3} + 11 a^{2} + 27 a + 25\right)\cdot 31^{8} + \left(6 a^{14} + 13 a^{13} + 8 a^{12} + 21 a^{11} + 25 a^{10} + 2 a^{9} + 25 a^{8} + 11 a^{7} + 6 a^{6} + 15 a^{5} + 4 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 23\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 10 }$ | $=$ |
\( 22 a^{14} + 16 a^{13} + 5 a^{12} + 24 a^{11} + 2 a^{10} + 23 a^{9} + 28 a^{8} + 8 a^{7} + 6 a^{6} + 6 a^{5} + 2 a^{4} + 16 a^{3} + 13 a^{2} + 12 a + 17 + \left(4 a^{13} + 30 a^{12} + 21 a^{11} + 30 a^{10} + 27 a^{9} + 11 a^{8} + 12 a^{7} + 20 a^{6} + 21 a^{5} + 12 a^{4} + 26 a^{3} + 12 a^{2} + 22 a + 20\right)\cdot 31 + \left(26 a^{14} + 18 a^{13} + 16 a^{12} + 21 a^{11} + 25 a^{10} + 26 a^{9} + 27 a^{8} + 9 a^{7} + 5 a^{6} + 8 a^{5} + 21 a^{4} + 18 a^{3} + 6 a^{2} + 27 a + 30\right)\cdot 31^{2} + \left(6 a^{14} + 20 a^{13} + 24 a^{12} + 21 a^{11} + 15 a^{10} + 14 a^{9} + 10 a^{8} + 18 a^{7} + 11 a^{6} + a^{5} + 30 a^{4} + 14 a^{3} + 17 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 31^{3} + \left(17 a^{14} + 12 a^{13} + 30 a^{12} + 25 a^{11} + 3 a^{10} + 5 a^{9} + 5 a^{8} + 12 a^{7} + 19 a^{6} + 22 a^{5} + 7 a^{4} + 27 a^{3} + 27 a^{2} + 18 a + 7\right)\cdot 31^{4} + \left(22 a^{14} + 7 a^{13} + 20 a^{12} + 19 a^{11} + 20 a^{10} + 21 a^{9} + 12 a^{8} + 9 a^{7} + 6 a^{6} + 8 a^{5} + 15 a^{4} + 7 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 20\right)\cdot 31^{5} + \left(28 a^{14} + 29 a^{13} + 3 a^{12} + 20 a^{11} + 7 a^{9} + 9 a^{8} + 6 a^{7} + 9 a^{6} + 9 a^{5} + 18 a^{4} + 10 a^{3} + a^{2} + 16 a + 5\right)\cdot 31^{6} + \left(23 a^{14} + 27 a^{13} + 6 a^{12} + 15 a^{11} + 12 a^{10} + 10 a^{9} + 26 a^{8} + 6 a^{7} + 27 a^{6} + 14 a^{5} + 12 a^{4} + 3 a^{3} + 2 a^{2} + 19 a + 14\right)\cdot 31^{7} + \left(3 a^{14} + 20 a^{13} + 26 a^{12} + 18 a^{11} + 13 a^{10} + 9 a^{9} + 15 a^{8} + 6 a^{7} + 11 a^{6} + 27 a^{5} + 12 a^{4} + 15 a^{3} + 12 a + 25\right)\cdot 31^{8} + \left(11 a^{14} + 26 a^{13} + 29 a^{12} + 9 a^{11} + 19 a^{10} + 27 a^{9} + 22 a^{8} + 16 a^{7} + 29 a^{6} + 5 a^{5} + 5 a^{4} + 9 a^{3} + 3 a^{2} + 17 a + 27\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 11 }$ | $=$ |
\( 19 a^{14} + 11 a^{13} + 8 a^{12} + 12 a^{10} + 15 a^{9} + 7 a^{8} + 7 a^{7} + 27 a^{6} + 16 a^{5} + 21 a^{4} + 21 a^{3} + 16 a^{2} + 17 a + 6 + \left(4 a^{14} + 2 a^{13} + 24 a^{12} + 13 a^{11} + 23 a^{10} + 5 a^{9} + 4 a^{8} + 12 a^{7} + 6 a^{6} + 28 a^{5} + 28 a^{4} + 28 a^{3} + 6 a^{2} + 9 a + 20\right)\cdot 31 + \left(27 a^{14} + 16 a^{13} + 27 a^{12} + 10 a^{11} + 17 a^{10} + 6 a^{9} + 14 a^{8} + 15 a^{7} + 15 a^{6} + 15 a^{5} + 10 a^{4} + a^{3} + 25 a^{2} + 15 a + 11\right)\cdot 31^{2} + \left(6 a^{14} + 19 a^{13} + 13 a^{12} + 10 a^{11} + 6 a^{10} + 3 a^{9} + 17 a^{8} + 5 a^{7} + 17 a^{6} + 18 a^{5} + 26 a^{4} + 24 a^{3} + 11 a^{2} + 20 a\right)\cdot 31^{3} + \left(3 a^{14} + 16 a^{13} + 10 a^{12} + 4 a^{11} + 4 a^{10} + 2 a^{9} + 28 a^{8} + 29 a^{7} + 23 a^{6} + 10 a^{5} + 2 a^{4} + 7 a^{3} + 11 a^{2} + 27 a + 30\right)\cdot 31^{4} + \left(9 a^{14} + 21 a^{13} + 7 a^{12} + 12 a^{11} + 24 a^{10} + 9 a^{9} + 20 a^{8} + 5 a^{7} + 2 a^{6} + 21 a^{5} + 2 a^{4} + 28 a^{3} + 30 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 31^{5} + \left(16 a^{14} + 12 a^{13} + 16 a^{12} + a^{11} + 25 a^{10} + 26 a^{9} + 26 a^{8} + 25 a^{7} + 19 a^{6} + 5 a^{5} + 13 a^{3} + 23 a^{2} + 11 a + 25\right)\cdot 31^{6} + \left(14 a^{14} + 5 a^{13} + 17 a^{12} + 9 a^{11} + a^{10} + 30 a^{9} + 16 a^{8} + 5 a^{7} + 25 a^{6} + 16 a^{5} + 21 a^{4} + 7 a^{2} + 11 a + 13\right)\cdot 31^{7} + \left(17 a^{14} + 25 a^{13} + 21 a^{12} + 25 a^{11} + 6 a^{10} + 7 a^{9} + 17 a^{8} + 17 a^{7} + 17 a^{6} + 24 a^{5} + 16 a^{4} + 19 a^{3} + 7 a^{2} + 22 a + 9\right)\cdot 31^{8} + \left(26 a^{14} + 28 a^{13} + 26 a^{12} + 10 a^{11} + 2 a^{10} + 10 a^{9} + 17 a^{8} + 18 a^{7} + 16 a^{6} + 12 a^{5} + 21 a^{4} + 4 a^{3} + 6 a^{2} + 22 a + 4\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 12 }$ | $=$ |
\( 6 a^{14} + 2 a^{13} + 20 a^{12} + 4 a^{11} + 16 a^{10} + 27 a^{9} + 14 a^{7} + 18 a^{6} + 28 a^{5} + 2 a^{4} + 15 a^{3} + 30 a^{2} + 19 a + 20 + \left(a^{14} + 30 a^{13} + 22 a^{12} + 5 a^{11} + 25 a^{10} + 28 a^{9} + 22 a^{8} + 12 a^{7} + 5 a^{6} + 3 a^{5} + 17 a^{4} + 23 a^{3} + 8 a + 25\right)\cdot 31 + \left(21 a^{14} + 18 a^{13} + 20 a^{12} + 20 a^{10} + 23 a^{9} + 16 a^{8} + 18 a^{7} + 29 a^{6} + 15 a^{5} + 27 a^{4} + 19 a^{3} + 17 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 31^{2} + \left(11 a^{14} + 21 a^{13} + 18 a^{12} + 7 a^{11} + a^{10} + 16 a^{9} + 3 a^{8} + 8 a^{7} + 20 a^{6} + 6 a^{5} + 26 a^{4} + 17 a^{3} + 26 a^{2} + 29 a + 22\right)\cdot 31^{3} + \left(8 a^{14} + 28 a^{13} + 10 a^{12} + 26 a^{11} + 20 a^{10} + 17 a^{9} + 30 a^{8} + 4 a^{7} + 12 a^{6} + 11 a^{5} + 19 a^{4} + 3 a^{3} + 11 a^{2} + 25 a + 5\right)\cdot 31^{4} + \left(8 a^{13} + 28 a^{12} + 3 a^{11} + 6 a^{10} + 29 a^{9} + 19 a^{8} + 25 a^{7} + 22 a^{6} + 16 a^{5} + 7 a^{4} + 18 a^{3} + 18 a^{2} + 12 a + 16\right)\cdot 31^{5} + \left(15 a^{14} + 27 a^{13} + 30 a^{12} + 23 a^{11} + 13 a^{10} + 18 a^{9} + 7 a^{8} + 25 a^{7} + 12 a^{6} + 26 a^{5} + 25 a^{4} + 4 a^{3} + 8 a^{2} + 13 a + 23\right)\cdot 31^{6} + \left(7 a^{14} + 2 a^{13} + a^{12} + 25 a^{11} + 12 a^{10} + 3 a^{9} + 11 a^{8} + 2 a^{7} + 21 a^{6} + 13 a^{5} + 13 a^{4} + 29 a^{3} + 18 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 31^{7} + \left(24 a^{14} + 23 a^{13} + 22 a^{12} + 23 a^{11} + 6 a^{10} + 25 a^{9} + 26 a^{8} + 23 a^{7} + 13 a^{6} + 19 a^{5} + 30 a^{4} + 28 a^{3} + 2 a^{2} + 30 a + 9\right)\cdot 31^{8} + \left(7 a^{14} + 28 a^{13} + 28 a^{12} + 4 a^{11} + 22 a^{10} + 3 a^{9} + 2 a^{8} + 23 a^{7} + 20 a^{6} + 26 a^{5} + 16 a^{4} + 19 a^{3} + 5 a^{2} + 26 a + 20\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 13 }$ | $=$ |
\( 21 a^{14} + 24 a^{13} + 8 a^{12} + 3 a^{11} + 2 a^{10} + 13 a^{8} + 28 a^{7} + 24 a^{6} + 19 a^{5} + 2 a^{4} + 3 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 3 + \left(3 a^{14} + 21 a^{13} + 5 a^{12} + 10 a^{10} + 19 a^{9} + 22 a^{8} + 29 a^{7} + 13 a^{6} + 18 a^{5} + 30 a^{4} + 30 a^{3} + 5 a^{2} + 20 a\right)\cdot 31 + \left(28 a^{14} + 5 a^{13} + 20 a^{12} + 7 a^{11} + 30 a^{10} + 16 a^{9} + 10 a^{7} + a^{6} + 9 a^{5} + 26 a^{4} + 11 a^{3} + 16 a^{2} + a + 21\right)\cdot 31^{2} + \left(7 a^{14} + 10 a^{13} + 19 a^{12} + 26 a^{11} + 14 a^{10} + 10 a^{9} + 17 a^{8} + 18 a^{7} + 22 a^{6} + 13 a^{4} + 4 a^{3} + 22 a^{2} + 30 a + 24\right)\cdot 31^{3} + \left(9 a^{14} + 12 a^{13} + 15 a^{12} + 23 a^{11} + 2 a^{10} + 7 a^{9} + 11 a^{8} + 9 a^{7} + 26 a^{6} + 12 a^{5} + 16 a^{4} + 14 a^{3} + 14 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 31^{4} + \left(30 a^{14} + 5 a^{13} + 16 a^{12} + 2 a^{11} + 7 a^{10} + 5 a^{9} + a^{7} + 8 a^{6} + 18 a^{5} + 23 a^{4} + 29 a^{3} + 26 a^{2} + 26 a + 18\right)\cdot 31^{5} + \left(27 a^{14} + 25 a^{13} + 15 a^{12} + 28 a^{11} + 19 a^{10} + 5 a^{9} + 28 a^{8} + a^{7} + 6 a^{6} + 15 a^{5} + 20 a^{4} + 27 a^{3} + 11 a^{2} + 13 a + 27\right)\cdot 31^{6} + \left(29 a^{14} + 21 a^{13} + 22 a^{12} + 25 a^{11} + 5 a^{10} + 16 a^{9} + 11 a^{8} + 12 a^{7} + 12 a^{6} + 7 a^{5} + 20 a^{4} + 3 a^{3} + 25 a^{2} + 13 a + 1\right)\cdot 31^{7} + \left(20 a^{14} + 14 a^{13} + 23 a^{12} + 15 a^{11} + 14 a^{10} + 12 a^{9} + 20 a^{8} + 27 a^{7} + 8 a^{6} + 30 a^{5} + 16 a^{4} + 16 a^{3} + 20 a^{2} + 14 a + 29\right)\cdot 31^{8} + \left(22 a^{14} + 26 a^{13} + 29 a^{12} + 5 a^{11} + 30 a^{10} + 10 a^{9} + 20 a^{8} + 28 a^{7} + 24 a^{6} + 8 a^{4} + 23 a^{3} + 18 a^{2} + 9 a + 18\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 14 }$ | $=$ |
\( 9 a^{14} + 3 a^{13} + 11 a^{12} + 27 a^{11} + 2 a^{10} + 17 a^{9} + 2 a^{8} + 26 a^{7} + 5 a^{6} + a^{5} + 14 a^{4} + 2 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 14 + \left(22 a^{14} + 3 a^{13} + 2 a^{12} + 20 a^{11} + 6 a^{10} + 12 a^{9} + 11 a^{8} + 13 a^{7} + 12 a^{6} + 22 a^{5} + 2 a^{4} + 18 a^{3} + 29 a^{2} + 9 a + 27\right)\cdot 31 + \left(11 a^{14} + 22 a^{13} + 28 a^{12} + 18 a^{11} + 11 a^{10} + 27 a^{9} + 29 a^{8} + 25 a^{7} + 24 a^{6} + 23 a^{4} + 2 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 15\right)\cdot 31^{2} + \left(18 a^{14} + 20 a^{13} + 16 a^{12} + 25 a^{11} + 9 a^{10} + 6 a^{9} + 24 a^{8} + 24 a^{7} + 19 a^{6} + 12 a^{5} + 12 a^{4} + 16 a^{3} + 22 a^{2} + 22\right)\cdot 31^{3} + \left(30 a^{14} + 22 a^{13} + 4 a^{12} + 17 a^{11} + 15 a^{10} + a^{9} + 9 a^{8} + 5 a^{7} + 15 a^{6} + 29 a^{5} + 30 a^{4} + 25 a^{3} + 29 a^{2} + a + 15\right)\cdot 31^{4} + \left(8 a^{14} + 8 a^{13} + 18 a^{12} + 20 a^{11} + a^{10} + 5 a^{9} + 18 a^{8} + 21 a^{7} + 23 a^{6} + 10 a^{5} + 22 a^{4} + 23 a^{3} + 24 a^{2} + 12 a + 17\right)\cdot 31^{5} + \left(2 a^{14} + 30 a^{13} + 28 a^{12} + 12 a^{11} + 27 a^{10} + 9 a^{9} + 20 a^{8} + 8 a^{7} + 19 a^{6} + 26 a^{5} + 19 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 31^{6} + \left(16 a^{14} + 15 a^{13} + a^{12} + 14 a^{11} + 17 a^{10} + 8 a^{9} + 8 a^{8} + 17 a^{7} + 15 a^{6} + 15 a^{5} + 19 a^{4} + 7 a^{3} + 22 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 31^{7} + \left(24 a^{14} + 3 a^{13} + 26 a^{12} + 27 a^{11} + 22 a^{10} + 9 a^{9} + 6 a^{8} + 26 a^{7} + 7 a^{6} + 10 a^{5} + 26 a^{4} + 23 a^{3} + 10 a^{2} + 25 a + 28\right)\cdot 31^{8} + \left(29 a^{14} + a^{13} + 9 a^{12} + 22 a^{11} + 2 a^{10} + a^{9} + 22 a^{8} + 10 a^{7} + 8 a^{6} + 25 a^{5} + 14 a^{4} + 7 a^{3} + 6 a^{2} + 21 a + 3\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 15 }$ | $=$ |
\( 25 a^{14} + 16 a^{12} + 4 a^{11} + 21 a^{10} + 17 a^{9} + 28 a^{8} + 27 a^{7} + 2 a^{6} + 12 a^{5} + 15 a^{4} + 11 a^{3} + 22 a^{2} + 28 a + 3 + \left(26 a^{14} + 18 a^{13} + 16 a^{12} + 12 a^{11} + 10 a^{10} + 22 a^{9} + 29 a^{8} + 25 a^{7} + 4 a^{6} + 18 a^{5} + 30 a^{4} + 28 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 15\right)\cdot 31 + \left(6 a^{14} + 4 a^{13} + 23 a^{12} + 22 a^{11} + 21 a^{10} + 9 a^{9} + 23 a^{8} + 29 a^{7} + 20 a^{6} + 6 a^{5} + a^{4} + 3 a^{2} + 15 a + 24\right)\cdot 31^{2} + \left(5 a^{14} + 14 a^{13} + 16 a^{12} + 26 a^{11} + 10 a^{9} + 26 a^{8} + 13 a^{7} + 23 a^{6} + 14 a^{5} + 20 a^{3} + 27 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 31^{3} + \left(8 a^{14} + 2 a^{13} + 17 a^{12} + 25 a^{11} + 28 a^{10} + 24 a^{8} + a^{7} + 9 a^{6} + 9 a^{5} + 21 a^{4} + 15 a^{3} + 16 a^{2} + 12 a + 15\right)\cdot 31^{4} + \left(14 a^{14} + 8 a^{13} + 29 a^{12} + 16 a^{11} + a^{10} + 5 a^{9} + 22 a^{8} + 22 a^{7} + 5 a^{6} + 13 a^{5} + 9 a^{4} + 3 a^{3} + 14 a^{2} + 15 a + 22\right)\cdot 31^{5} + \left(9 a^{14} + 16 a^{13} + 12 a^{12} + 19 a^{11} + 26 a^{10} + 18 a^{8} + 14 a^{7} + 24 a^{6} + 2 a^{5} + 18 a^{4} + 18 a^{3} + 17 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 31^{6} + \left(17 a^{14} + a^{13} + 8 a^{12} + 4 a^{11} + 10 a^{10} + 28 a^{9} + 24 a^{8} + 19 a^{7} + 16 a^{6} + 28 a^{5} + 20 a^{4} + 19 a^{3} + 22 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 31^{7} + \left(13 a^{14} + 10 a^{13} + 11 a^{12} + 8 a^{11} + 6 a^{10} + 27 a^{9} + 18 a^{8} + 15 a^{7} + 26 a^{6} + 6 a^{5} + 15 a^{4} + 18 a^{3} + 28 a^{2} + 16\right)\cdot 31^{8} + \left(29 a^{14} + 15 a^{13} + 2 a^{12} + 30 a^{11} + 4 a^{10} + 11 a^{9} + 4 a^{8} + 20 a^{7} + 20 a^{6} + 10 a^{5} + 10 a^{4} + 23 a^{3} + 27 a^{2} + 18 a + 22\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 16 }$ | $=$ |
\( 13 a^{14} + 15 a^{13} + 6 a^{12} + 16 a^{11} + 4 a^{10} + 8 a^{9} + 28 a^{8} + 18 a^{7} + a^{6} + 9 a^{5} + 19 a^{4} + 4 a^{3} + 2 a^{2} + 13 a + \left(25 a^{14} + 8 a^{13} + a^{12} + 29 a^{11} + 27 a^{10} + 10 a^{9} + 20 a^{8} + 18 a^{7} + 26 a^{6} + 25 a^{5} + 3 a^{4} + a^{3} + 6 a^{2} + 27 a + 22\right)\cdot 31 + \left(4 a^{14} + 2 a^{13} + 29 a^{12} + 10 a^{11} + 28 a^{10} + 15 a^{9} + 15 a^{8} + 5 a^{7} + 5 a^{6} + 26 a^{5} + 15 a^{4} + 25 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 31^{2} + \left(9 a^{14} + 29 a^{13} + 29 a^{12} + 20 a^{11} + 9 a^{10} + 14 a^{9} + 3 a^{8} + 29 a^{7} + 3 a^{6} + 7 a^{5} + 6 a^{4} + 27 a^{3} + 19 a^{2} + 26 a + 21\right)\cdot 31^{3} + \left(7 a^{14} + 23 a^{13} + 20 a^{12} + 11 a^{11} + 3 a^{10} + 10 a^{9} + 24 a^{8} + 11 a^{7} + 30 a^{6} + 12 a^{5} + 26 a^{4} + 14 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 13\right)\cdot 31^{4} + \left(12 a^{14} + 26 a^{13} + a^{12} + 20 a^{11} + 6 a^{10} + 26 a^{9} + 10 a^{8} + 9 a^{7} + 21 a^{6} + 21 a^{5} + 22 a^{4} + 19 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 31^{5} + \left(9 a^{14} + 6 a^{13} + 4 a^{12} + 24 a^{11} + 26 a^{10} + 3 a^{9} + 21 a^{8} + 11 a^{7} + 19 a^{6} + 20 a^{5} + 4 a^{4} + 23 a^{3} + 13 a^{2} + 23 a + 23\right)\cdot 31^{6} + \left(29 a^{14} + 26 a^{13} + 21 a^{12} + 12 a^{10} + 20 a^{9} + 4 a^{8} + 14 a^{7} + 2 a^{6} + 6 a^{5} + 27 a^{4} + 29 a^{3} + 16 a^{2} + 16 a + 28\right)\cdot 31^{7} + \left(18 a^{14} + 6 a^{13} + 29 a^{12} + 30 a^{11} + 16 a^{10} + 14 a^{9} + 17 a^{8} + 7 a^{7} + 28 a^{6} + 16 a^{5} + 25 a^{4} + 2 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 31^{8} + \left(22 a^{14} + 11 a^{13} + 30 a^{12} + 4 a^{11} + 19 a^{10} + a^{9} + 14 a^{8} + 23 a^{7} + 24 a^{6} + 8 a^{5} + 2 a^{4} + 4 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 17 }$ | $=$ |
\( 26 a^{14} + 22 a^{13} + 28 a^{12} + 20 a^{10} + 13 a^{9} + 22 a^{8} + 23 a^{7} + 4 a^{6} + 27 a^{5} + 26 a^{4} + 25 a^{3} + 24 a^{2} + 24 a + 25 + \left(14 a^{14} + a^{13} + 16 a^{12} + 25 a^{11} + 20 a^{10} + 8 a^{9} + 18 a^{8} + 5 a^{7} + 9 a^{6} + 28 a^{5} + 20 a^{4} + 20 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 24\right)\cdot 31 + \left(2 a^{14} + 11 a^{13} + 22 a^{12} + 7 a^{11} + 24 a^{10} + 9 a^{9} + 13 a^{8} + 30 a^{7} + 7 a^{6} + 17 a^{5} + 26 a^{4} + 26 a^{3} + 16 a^{2} + 23 a + 5\right)\cdot 31^{2} + \left(9 a^{14} + 6 a^{13} + 24 a^{12} + 25 a^{11} + 13 a^{10} + 3 a^{9} + 25 a^{8} + 13 a^{7} + 30 a^{6} + 21 a^{5} + 11 a^{4} + 29 a^{3} + 25 a^{2} + 13 a + 1\right)\cdot 31^{3} + \left(17 a^{14} + 5 a^{13} + 27 a^{12} + 21 a^{11} + 13 a^{10} + 26 a^{9} + 17 a^{8} + 24 a^{7} + 28 a^{6} + 5 a^{5} + 5 a^{4} + 4 a^{3} + 13 a^{2} + 24 a + 9\right)\cdot 31^{4} + \left(14 a^{14} + 17 a^{13} + 11 a^{12} + 6 a^{11} + 10 a^{10} + 8 a^{9} + 24 a^{8} + a^{7} + 28 a^{6} + 10 a^{5} + 6 a^{3} + 6 a^{2} + 25 a + 10\right)\cdot 31^{5} + \left(19 a^{14} + 21 a^{13} + 8 a^{12} + 11 a^{11} + 2 a^{10} + 3 a^{9} + 15 a^{8} + 29 a^{7} + 12 a^{6} + 25 a^{5} + 17 a^{4} + 4 a^{3} + 30 a^{2} + 29 a + 2\right)\cdot 31^{6} + \left(17 a^{14} + 22 a^{13} + 21 a^{12} + 17 a^{11} + 12 a^{10} + 6 a^{9} + 5 a^{8} + 12 a^{7} + 14 a^{6} + a^{5} + 16 a^{4} + 10 a^{3} + 16 a^{2} + 30 a\right)\cdot 31^{7} + \left(16 a^{14} + 2 a^{13} + 25 a^{12} + 11 a^{11} + 27 a^{10} + 8 a^{9} + 25 a^{8} + 5 a^{7} + 23 a^{6} + 9 a^{5} + 20 a^{4} + 30 a^{3} + 27 a^{2} + 24 a + 30\right)\cdot 31^{8} + \left(27 a^{14} + 16 a^{13} + 28 a^{12} + 24 a^{11} + 18 a^{10} + 8 a^{8} + 16 a^{7} + a^{6} + a^{5} + 25 a^{4} + 26 a^{3} + 11 a^{2} + 23 a + 7\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 18 }$ | $=$ |
\( 27 a^{14} + 7 a^{13} + 14 a^{12} + 24 a^{11} + 28 a^{10} + 29 a^{9} + 13 a^{8} + 16 a^{7} + 26 a^{6} + 19 a^{5} + 2 a^{4} + 15 a^{3} + 28 a^{2} + 14 a + 22 + \left(15 a^{14} + 25 a^{13} + 4 a^{12} + 28 a^{11} + 30 a^{10} + 18 a^{9} + 11 a^{8} + 23 a^{7} + 6 a^{6} + 6 a^{5} + 30 a^{4} + 19 a^{3} + 15 a^{2} + 11 a + 25\right)\cdot 31 + \left(10 a^{14} + 19 a^{13} + 18 a^{12} + 15 a^{11} + 27 a^{9} + 12 a^{8} + 28 a^{7} + 30 a^{6} + 3 a^{5} + 7 a^{4} + a^{3} + 24 a^{2} + 15 a + 11\right)\cdot 31^{2} + \left(15 a^{14} + 11 a^{13} + 27 a^{12} + 26 a^{10} + 16 a^{9} + 14 a^{8} + 15 a^{7} + a^{6} + 28 a^{5} + 7 a^{4} + 30 a^{3} + 13 a^{2} + 25 a + 6\right)\cdot 31^{3} + \left(11 a^{14} + 11 a^{13} + 30 a^{12} + 23 a^{11} + 18 a^{10} + 22 a^{9} + a^{8} + 23 a^{7} + 10 a^{6} + 3 a^{5} + 20 a^{4} + 20 a^{3} + 28 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 31^{4} + \left(12 a^{14} + 15 a^{13} + 18 a^{12} + 13 a^{11} + 17 a^{10} + 14 a^{9} + 2 a^{8} + 27 a^{7} + 3 a^{6} + 23 a^{5} + 14 a^{4} + 24 a^{3} + 10 a^{2} + 26 a + 4\right)\cdot 31^{5} + \left(10 a^{13} + 8 a^{12} + 27 a^{11} + 30 a^{10} + 28 a^{9} + 26 a^{8} + 28 a^{7} + a^{6} + 28 a^{5} + 19 a^{4} + 15 a^{3} + 13 a^{2} + 20 a + 10\right)\cdot 31^{6} + \left(12 a^{14} + 12 a^{13} + 21 a^{12} + 21 a^{11} + 8 a^{10} + 13 a^{9} + a^{8} + 6 a^{6} + 8 a^{5} + 22 a^{4} + 10 a^{3} + a^{2} + 26 a + 29\right)\cdot 31^{7} + \left(10 a^{14} + 28 a^{13} + 3 a^{12} + 4 a^{11} + 5 a^{10} + 18 a^{9} + 4 a^{8} + 3 a^{6} + 26 a^{5} + 16 a^{4} + 27 a^{3} + 2 a^{2} + 27 a + 1\right)\cdot 31^{8} + \left(19 a^{14} + 18 a^{13} + a^{12} + 21 a^{11} + 2 a^{10} + 4 a^{8} + 26 a^{7} + 20 a^{6} + 9 a^{5} + 28 a^{4} + 19 a^{3} + 6 a^{2} + 21 a + 6\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 19 }$ | $=$ |
\( 9 a^{14} + 5 a^{13} + 18 a^{12} + 10 a^{11} + 26 a^{10} + 28 a^{9} + 19 a^{8} + 9 a^{7} + 13 a^{6} + 20 a^{5} + 6 a^{4} + 19 a^{2} + 15 a + 17 + \left(18 a^{14} + 6 a^{13} + 15 a^{12} + 9 a^{11} + 18 a^{10} + 13 a^{9} + 29 a^{8} + 15 a^{7} + 18 a^{5} + 10 a^{2} + 24 a + 25\right)\cdot 31 + \left(27 a^{14} + 23 a^{13} + 16 a^{12} + 29 a^{11} + 26 a^{10} + 16 a^{9} + 9 a^{8} + 27 a^{7} + a^{6} + 2 a^{5} + 20 a^{4} + 10 a^{3} + 4 a^{2} + 23 a + 10\right)\cdot 31^{2} + \left(6 a^{14} + 8 a^{13} + 23 a^{12} + 21 a^{11} + 22 a^{10} + 14 a^{9} + 11 a^{8} + 6 a^{7} + 11 a^{6} + 29 a^{5} + 28 a^{4} + 13 a^{3} + 7 a^{2} + 17 a + 15\right)\cdot 31^{3} + \left(2 a^{14} + 7 a^{13} + 17 a^{12} + 16 a^{11} + 28 a^{10} + 27 a^{8} + 14 a^{7} + 8 a^{6} + 30 a^{5} + 17 a^{4} + 13 a^{3} + 16 a^{2} + 14 a + 30\right)\cdot 31^{4} + \left(12 a^{14} + 2 a^{13} + 10 a^{12} + 15 a^{11} + 3 a^{10} + 17 a^{9} + 21 a^{6} + 21 a^{5} + 5 a^{4} + 17 a^{3} + 28 a^{2} + 28 a + 20\right)\cdot 31^{5} + \left(15 a^{14} + 2 a^{13} + 11 a^{12} + 13 a^{10} + 3 a^{9} + 4 a^{8} + a^{7} + 27 a^{6} + 11 a^{5} + 12 a^{4} + 9 a^{3} + 29 a^{2} + 27 a + 11\right)\cdot 31^{6} + \left(11 a^{14} + 16 a^{13} + 17 a^{12} + 5 a^{11} + 10 a^{10} + 11 a^{9} + 30 a^{8} + 26 a^{7} + 11 a^{6} + 3 a^{5} + 10 a^{4} + 20 a^{3} + 7 a^{2} + 22\right)\cdot 31^{7} + \left(17 a^{14} + 27 a^{13} + 3 a^{12} + 22 a^{11} + 28 a^{10} + 15 a^{9} + 21 a^{8} + 16 a^{7} + 21 a^{6} + 28 a^{5} + 14 a^{4} + 12 a^{3} + 3 a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 31^{8} + \left(3 a^{14} + 27 a^{13} + 26 a^{12} + 9 a^{11} + 15 a^{10} + 19 a^{9} + 14 a^{8} + 15 a^{7} + 19 a^{6} + 24 a^{5} + a^{4} + 10 a^{3} + 15 a^{2} + 23 a + 3\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 20 }$ | $=$ |
\( 4 a^{14} + 30 a^{13} + 21 a^{12} + 29 a^{11} + a^{10} + 16 a^{9} + 23 a^{8} + 29 a^{7} + 27 a^{6} + 5 a^{5} + 2 a^{4} + 24 a^{3} + 21 a^{2} + 6 a + 30 + \left(16 a^{14} + 17 a^{13} + 19 a^{12} + 5 a^{11} + 28 a^{10} + 21 a^{9} + 19 a^{8} + 24 a^{7} + 27 a^{6} + 4 a^{5} + 24 a^{4} + 8 a^{3} + 20 a^{2} + 30 a + 8\right)\cdot 31 + \left(6 a^{14} + 7 a^{13} + 4 a^{12} + 29 a^{11} + 22 a^{10} + 11 a^{9} + 23 a^{8} + 28 a^{7} + 30 a^{6} + 25 a^{5} + 20 a^{4} + 8 a^{3} + 9 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 31^{2} + \left(28 a^{14} + 17 a^{13} + 25 a^{12} + 20 a^{11} + 28 a^{10} + 4 a^{9} + 18 a^{8} + a^{7} + 2 a^{6} + 7 a^{5} + 6 a^{4} + 3 a^{3} + 19 a^{2} + 13 a + 9\right)\cdot 31^{3} + \left(4 a^{14} + 15 a^{13} + 28 a^{12} + 9 a^{11} + 28 a^{10} + 30 a^{9} + 26 a^{8} + 4 a^{7} + 16 a^{6} + 24 a^{5} + 2 a^{4} + 30 a^{3} + 12 a^{2} + 10 a + 22\right)\cdot 31^{4} + \left(4 a^{14} + 27 a^{13} + 9 a^{12} + 21 a^{11} + 14 a^{10} + 17 a^{9} + 9 a^{8} + 12 a^{7} + 28 a^{6} + 16 a^{5} + 17 a^{4} + 20 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 31^{5} + \left(20 a^{14} + 7 a^{13} + 19 a^{11} + 7 a^{10} + 23 a^{9} + 19 a^{8} + 5 a^{7} + 9 a^{6} + a^{5} + 27 a^{4} + 21 a^{3} + 30 a^{2} + 9 a\right)\cdot 31^{6} + \left(24 a^{14} + 21 a^{13} + 19 a^{12} + 26 a^{11} + 15 a^{10} + 28 a^{9} + 5 a^{8} + 16 a^{7} + 20 a^{6} + 18 a^{5} + 6 a^{4} + 2 a^{3} + 18 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 31^{7} + \left(28 a^{14} + 3 a^{13} + 21 a^{12} + a^{11} + 6 a^{10} + 17 a^{9} + 23 a^{8} + 16 a^{7} + 18 a^{6} + 25 a^{5} + 2 a^{4} + 30 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 21\right)\cdot 31^{8} + \left(5 a^{14} + 16 a^{13} + 11 a^{12} + 8 a^{11} + 8 a^{10} + 16 a^{9} + 20 a^{8} + 27 a^{7} + 30 a^{6} + 9 a^{5} + 17 a^{4} + 21 a^{3} + 27 a^{2} + 28 a + 3\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 21 }$ | $=$ |
\( 15 a^{14} + 28 a^{13} + 14 a^{12} + 3 a^{11} + 7 a^{10} + 26 a^{9} + 6 a^{8} + 15 a^{7} + 29 a^{6} + 12 a^{5} + 21 a^{4} + 23 a^{3} + 20 a^{2} + 17 a + 18 + \left(9 a^{14} + 26 a^{13} + 30 a^{12} + a^{11} + 26 a^{10} + 8 a^{9} + 5 a^{7} + 21 a^{6} + 2 a^{5} + a^{4} + 18 a^{3} + 30 a^{2} + 27 a + 30\right)\cdot 31 + \left(25 a^{14} + 29 a^{13} + 22 a^{12} + 8 a^{11} + 21 a^{10} + 13 a^{9} + 9 a^{8} + 10 a^{7} + 27 a^{6} + 29 a^{5} + 3 a^{4} + 27 a^{3} + 10 a^{2} + 15 a + 15\right)\cdot 31^{2} + \left(21 a^{14} + 29 a^{13} + 2 a^{12} + 17 a^{11} + 28 a^{10} + 6 a^{9} + 12 a^{8} + 3 a^{7} + 24 a^{6} + 10 a^{5} + 9 a^{4} + 24 a^{3} + 4 a^{2} + 29 a + 8\right)\cdot 31^{3} + \left(22 a^{14} + 3 a^{13} + 10 a^{12} + 3 a^{11} + 24 a^{10} + 9 a^{9} + 23 a^{8} + 21 a^{7} + 4 a^{5} + 16 a^{4} + 7 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 31^{4} + \left(a^{14} + 9 a^{13} + 16 a^{12} + 17 a^{11} + 10 a^{10} + 18 a^{9} + 11 a^{8} + 19 a^{7} + 28 a^{6} + 15 a^{5} + 3 a^{4} + 22 a^{3} + 20 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 31^{5} + \left(14 a^{14} + 4 a^{13} + 10 a^{12} + 28 a^{11} + 18 a^{10} + 7 a^{9} + 21 a^{8} + 29 a^{7} + 4 a^{6} + 9 a^{5} + 24 a^{4} + 2 a^{3} + 19 a^{2} + 11 a + 17\right)\cdot 31^{6} + \left(27 a^{14} + 9 a^{13} + a^{12} + 4 a^{11} + 21 a^{10} + 4 a^{9} + 29 a^{8} + 18 a^{7} + 9 a^{6} + 29 a^{5} + 24 a^{4} + 25 a^{3} + 28 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 31^{7} + \left(16 a^{14} + 14 a^{13} + 11 a^{12} + 10 a^{11} + 29 a^{10} + 10 a^{9} + 20 a^{8} + 25 a^{7} + 26 a^{6} + 29 a^{5} + 3 a^{4} + 9 a^{3} + 23 a^{2} + 30 a + 5\right)\cdot 31^{8} + \left(8 a^{14} + 19 a^{13} + 15 a^{12} + 18 a^{11} + 18 a^{10} + 12 a^{8} + 27 a^{7} + 9 a^{6} + 26 a^{5} + 10 a^{4} + 3 a^{3} + 22 a^{2} + 8 a + 24\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 22 }$ | $=$ |
\( 21 a^{14} + 22 a^{13} + 28 a^{12} + 19 a^{11} + 14 a^{10} + 7 a^{9} + a^{8} + 20 a^{7} + 17 a^{6} + 23 a^{5} + 27 a^{4} + a^{3} + 2 a^{2} + 14 a + 21 + \left(17 a^{14} + 9 a^{13} + 10 a^{12} + 15 a^{11} + 21 a^{10} + 2 a^{9} + 2 a^{8} + 30 a^{7} + a^{6} + 26 a^{5} + 12 a^{4} + 16 a^{3} + 10 a^{2} + 30 a + 11\right)\cdot 31 + \left(21 a^{14} + 11 a^{13} + 5 a^{12} + 29 a^{11} + 12 a^{10} + 16 a^{9} + 30 a^{8} + 9 a^{7} + a^{6} + 23 a^{5} + 25 a^{4} + 19 a^{3} + 27 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 31^{2} + \left(27 a^{14} + 27 a^{12} + 29 a^{11} + 22 a^{10} + 12 a^{9} + 13 a^{8} + 30 a^{7} + 14 a^{5} + 15 a^{4} + 20 a^{3} + 2 a^{2} + 28 a + 6\right)\cdot 31^{3} + \left(6 a^{14} + 30 a^{13} + 28 a^{12} + 24 a^{11} + 14 a^{10} + 6 a^{9} + 25 a^{8} + 5 a^{7} + 28 a^{6} + 21 a^{5} + 5 a^{4} + 12 a^{3} + 24 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 31^{4} + \left(16 a^{14} + 8 a^{13} + 12 a^{12} + 12 a^{11} + 11 a^{10} + 16 a^{9} + 23 a^{8} + 7 a^{7} + 16 a^{6} + 15 a^{5} + 19 a^{4} + 27 a^{3} + 2 a^{2} + 16 a + 26\right)\cdot 31^{5} + \left(a^{14} + 20 a^{13} + 17 a^{12} + 2 a^{11} + 15 a^{10} + 16 a^{9} + 28 a^{8} + 2 a^{7} + 5 a^{6} + 29 a^{5} + 12 a^{4} + 21 a^{3} + 19 a^{2} + 13 a + 25\right)\cdot 31^{6} + \left(26 a^{14} + 6 a^{13} + 7 a^{12} + 25 a^{11} + 15 a^{10} + 8 a^{7} + 30 a^{5} + 9 a^{4} + 19 a^{3} + a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 31^{7} + \left(17 a^{14} + 22 a^{13} + 27 a^{12} + 8 a^{11} + 16 a^{10} + 15 a^{9} + 8 a^{8} + 19 a^{7} + 15 a^{6} + 6 a^{5} + 14 a^{4} + 28 a^{3} + 7 a^{2} + 25 a + 15\right)\cdot 31^{8} + \left(19 a^{14} + 29 a^{13} + 7 a^{12} + 27 a^{11} + 8 a^{10} + 18 a^{9} + 9 a^{8} + a^{7} + 14 a^{6} + 3 a^{5} + 20 a^{4} + 8 a^{3} + 13 a^{2} + 17 a + 29\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 23 }$ | $=$ |
\( 18 a^{14} + 3 a^{13} + 7 a^{12} + 27 a^{11} + 5 a^{10} + 4 a^{9} + 24 a^{8} + 14 a^{7} + 3 a^{6} + 23 a^{5} + 12 a^{4} + 3 a^{3} + 16 a^{2} + 12 a + 25 + \left(21 a^{14} + 24 a^{13} + 8 a^{12} + 29 a^{11} + 22 a^{10} + 19 a^{9} + 13 a^{8} + 12 a^{7} + 23 a^{6} + 5 a^{5} + 10 a^{4} + 25 a^{3} + 30 a^{2} + 11 a + 19\right)\cdot 31 + \left(27 a^{14} + 21 a^{13} + 10 a^{12} + 23 a^{10} + 22 a^{9} + 6 a^{8} + 6 a^{7} + 9 a^{6} + 15 a^{5} + 22 a^{4} + 28 a^{3} + 9 a^{2} + 30 a + 29\right)\cdot 31^{2} + \left(5 a^{14} + 22 a^{13} + 2 a^{12} + 13 a^{11} + 11 a^{10} + 19 a^{9} + 2 a^{8} + 21 a^{7} + 5 a^{6} + 18 a^{5} + 8 a^{4} + 17 a^{3} + 13 a^{2} + 23 a + 21\right)\cdot 31^{3} + \left(11 a^{14} + 26 a^{13} + 28 a^{12} + 15 a^{11} + 9 a^{10} + 12 a^{9} + 23 a^{8} + 27 a^{7} + 20 a^{6} + 29 a^{5} + 10 a^{4} + 30 a^{3} + 16 a^{2} + 24 a + 26\right)\cdot 31^{4} + \left(17 a^{14} + 23 a^{13} + 13 a^{12} + 30 a^{11} + 4 a^{10} + 20 a^{9} + 6 a^{7} + 29 a^{6} + 17 a^{5} + 27 a^{4} + 26 a^{3} + 14 a^{2} + 16 a + 26\right)\cdot 31^{5} + \left(16 a^{14} + 23 a^{13} + 5 a^{12} + 5 a^{11} + 21 a^{10} + 12 a^{9} + 28 a^{8} + 14 a^{7} + 18 a^{6} + 18 a^{5} + 12 a^{4} + 6 a^{3} + 28 a^{2} + 27 a + 18\right)\cdot 31^{6} + \left(20 a^{14} + a^{13} + 25 a^{12} + 17 a^{11} + 18 a^{10} + 4 a^{9} + 13 a^{8} + 2 a^{7} + 24 a^{6} + 13 a^{5} + 27 a^{4} + 13 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 22\right)\cdot 31^{7} + \left(19 a^{14} + 27 a^{13} + 2 a^{12} + 24 a^{11} + 4 a^{9} + 11 a^{8} + 30 a^{7} + 7 a^{6} + 2 a^{5} + 27 a^{3} + 4 a^{2} + 17 a + 29\right)\cdot 31^{8} + \left(26 a^{14} + 9 a^{13} + 13 a^{12} + 22 a^{11} + 5 a^{10} + 8 a^{9} + 3 a^{8} + 17 a^{7} + 23 a^{6} + 16 a^{5} + 14 a^{4} + 19 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 19\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 24 }$ | $=$ |
\( 13 a^{14} + 8 a^{13} + 13 a^{12} + 26 a^{11} + 2 a^{10} + 24 a^{9} + 13 a^{8} + 15 a^{7} + 12 a^{6} + a^{5} + 30 a^{4} + 26 a^{3} + 14 a^{2} + 8 a + 4 + \left(11 a^{14} + 12 a^{13} + 21 a^{12} + 12 a^{11} + 4 a^{10} + 10 a^{9} + 16 a^{7} + 3 a^{6} + 21 a^{5} + 4 a^{4} + 19 a^{3} + 14 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 31 + \left(4 a^{14} + 28 a^{13} + 13 a^{12} + 18 a^{11} + 14 a^{10} + 21 a^{9} + 4 a^{8} + 19 a^{7} + 2 a^{6} + 14 a^{5} + 11 a^{4} + 17 a^{3} + 28 a^{2} + 15 a + 28\right)\cdot 31^{2} + \left(24 a^{13} + 22 a^{12} + 6 a^{11} + 29 a^{10} + 9 a^{9} + 10 a^{8} + 6 a^{7} + 28 a^{6} + 6 a^{5} + 28 a^{4} + a^{3} + 19 a^{2} + 19 a + 5\right)\cdot 31^{3} + \left(13 a^{14} + 26 a^{13} + 9 a^{12} + 22 a^{11} + 8 a^{10} + 24 a^{9} + 27 a^{8} + 12 a^{7} + 13 a^{6} + 29 a^{5} + 5 a^{4} + 4 a^{3} + 23 a^{2} + 25 a + 15\right)\cdot 31^{4} + \left(20 a^{14} + 21 a^{13} + 9 a^{12} + 25 a^{11} + 22 a^{10} + 17 a^{9} + 18 a^{8} + 22 a^{7} + 17 a^{6} + 27 a^{5} + 25 a^{4} + 14 a^{3} + 26 a^{2} + 25 a + 2\right)\cdot 31^{5} + \left(22 a^{14} + 6 a^{13} + 3 a^{12} + 12 a^{11} + 30 a^{10} + 6 a^{9} + 16 a^{8} + 3 a^{7} + 13 a^{6} + 25 a^{5} + 18 a^{4} + 26 a^{3} + 2 a^{2} + a + 11\right)\cdot 31^{6} + \left(22 a^{14} + 27 a^{13} + 30 a^{12} + 9 a^{11} + 9 a^{10} + 16 a^{9} + 15 a^{8} + 10 a^{7} + 2 a^{6} + 5 a^{5} + 14 a^{4} + 30 a^{3} + 2 a^{2} + a + 17\right)\cdot 31^{7} + \left(14 a^{14} + 8 a^{13} + 28 a^{11} + 3 a^{10} + 22 a^{9} + 27 a^{8} + 17 a^{7} + 2 a^{6} + 4 a^{5} + 7 a^{4} + 19 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 31^{8} + \left(5 a^{14} + 27 a^{13} + 5 a^{12} + 9 a^{11} + 12 a^{10} + 20 a^{9} + 10 a^{8} + 12 a^{7} + 8 a^{6} + 26 a^{5} + 26 a^{4} + 27 a^{3} + 28 a^{2} + 23 a + 21\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 25 }$ | $=$ |
\( 4 a^{14} + 2 a^{13} + 2 a^{12} + 5 a^{11} + 30 a^{10} + 23 a^{9} + 2 a^{8} + 2 a^{7} + 3 a^{6} + 12 a^{5} + 11 a^{4} + 2 a^{3} + 3 a^{2} + 20 a + 6 + \left(10 a^{14} + 9 a^{13} + 8 a^{12} + 2 a^{11} + 19 a^{10} + a^{9} + 3 a^{8} + 5 a^{7} + 12 a^{6} + 15 a^{5} + 12 a^{4} + 15 a^{3} + 14 a^{2} + 28 a + 3\right)\cdot 31 + \left(22 a^{13} + 29 a^{12} + 30 a^{11} + 18 a^{10} + 22 a^{9} + 10 a^{8} + 11 a^{7} + 18 a^{6} + 2 a^{5} + 11 a^{4} + 23 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 31^{2} + \left(7 a^{14} + 25 a^{13} + 2 a^{12} + 28 a^{11} + 16 a^{10} + 27 a^{8} + 27 a^{7} + 15 a^{6} + 16 a^{5} + 27 a^{4} + 5 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 31^{3} + \left(16 a^{14} + 20 a^{13} + 23 a^{12} + 6 a^{11} + 25 a^{10} + 30 a^{9} + 24 a^{8} + 2 a^{7} + 10 a^{6} + 9 a^{5} + 21 a^{4} + 10 a^{3} + 18 a^{2} + 3 a + 27\right)\cdot 31^{4} + \left(17 a^{14} + 7 a^{12} + 27 a^{11} + 7 a^{10} + 6 a^{9} + 25 a^{8} + 25 a^{6} + 3 a^{5} + 10 a^{4} + 12 a^{3} + 19 a^{2} + 5 a + 20\right)\cdot 31^{5} + \left(4 a^{14} + a^{13} + 5 a^{12} + 11 a^{11} + a^{10} + 23 a^{9} + a^{8} + 23 a^{7} + 12 a^{6} + 8 a^{5} + 11 a^{4} + 16 a^{3} + 22 a^{2} + 6 a + 27\right)\cdot 31^{6} + \left(21 a^{14} + 6 a^{13} + 15 a^{12} + 17 a^{11} + 25 a^{10} + 11 a^{9} + 17 a^{8} + 27 a^{7} + 28 a^{6} + 18 a^{5} + 11 a^{4} + 26 a^{3} + a^{2} + 23 a + 3\right)\cdot 31^{7} + \left(23 a^{14} + 10 a^{13} + 2 a^{12} + 10 a^{11} + 4 a^{10} + 18 a^{9} + 28 a^{8} + 26 a^{7} + 27 a^{6} + a^{5} + a^{4} + 20 a^{3} + 5 a^{2} + 14 a + 19\right)\cdot 31^{8} + \left(3 a^{14} + 12 a^{13} + 6 a^{12} + 8 a^{11} + 24 a^{10} + 30 a^{9} + 11 a^{8} + 26 a^{7} + 21 a^{6} + 26 a^{5} + 27 a^{4} + 3 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 22\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 26 }$ | $=$ |
\( a^{14} + 19 a^{13} + 16 a^{12} + 30 a^{11} + 26 a^{10} + 10 a^{9} + 17 a^{7} + 24 a^{6} + 28 a^{5} + 5 a^{4} + 27 a^{3} + 23 a^{2} + 13 a + 15 + \left(18 a^{14} + 20 a^{12} + 5 a^{11} + 21 a^{10} + 12 a^{9} + 13 a^{8} + 4 a^{7} + 24 a^{6} + 24 a^{5} + 9 a^{4} + 4 a^{3} + 16 a^{2} + 9 a + 28\right)\cdot 31 + \left(7 a^{14} + 3 a^{13} + 27 a^{12} + 27 a^{11} + 23 a^{10} + 29 a^{9} + 4 a^{8} + 23 a^{7} + 28 a^{6} + 4 a^{5} + a^{4} + 23 a^{3} + 24 a^{2} + 13 a + 27\right)\cdot 31^{2} + \left(13 a^{14} + 20 a^{13} + 2 a^{12} + 26 a^{11} + 26 a^{10} + 23 a^{9} + 15 a^{8} + 26 a^{7} + 19 a^{6} + 30 a^{5} + 3 a^{4} + 29 a^{3} + 25 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 31^{3} + \left(28 a^{14} + 12 a^{13} + 7 a^{12} + 5 a^{11} + 22 a^{10} + 5 a^{9} + 20 a^{8} + 22 a^{7} + 18 a^{6} + 3 a^{5} + 13 a^{4} + 7 a^{3} + a^{2} + 20 a + 20\right)\cdot 31^{4} + \left(16 a^{14} + 13 a^{13} + 12 a^{12} + 14 a^{11} + 17 a^{10} + 19 a^{9} + 14 a^{8} + 6 a^{7} + 6 a^{6} + 3 a^{5} + 26 a^{4} + 25 a^{3} + 21 a^{2} + 21 a\right)\cdot 31^{5} + \left(18 a^{14} + 2 a^{13} + 4 a^{12} + 14 a^{11} + 13 a^{10} + 23 a^{9} + 9 a^{8} + 9 a^{7} + 28 a^{6} + 17 a^{5} + 5 a^{4} + 13 a^{3} + 29 a^{2} + 15 a + 19\right)\cdot 31^{6} + \left(19 a^{14} + 10 a^{13} + 24 a^{12} + 27 a^{11} + 13 a^{10} + 3 a^{9} + 12 a^{8} + 16 a^{6} + 30 a^{5} + 10 a^{4} + 12 a^{3} + a^{2} + 13 a + 25\right)\cdot 31^{7} + \left(19 a^{14} + 28 a^{13} + 20 a^{12} + 24 a^{11} + 18 a^{10} + 25 a^{9} + 5 a^{8} + 26 a^{7} + 25 a^{6} + 27 a^{5} + 27 a^{4} + 3 a^{2} + 21 a + 17\right)\cdot 31^{8} + \left(21 a^{14} + 23 a^{13} + 11 a^{12} + 30 a^{11} + 27 a^{10} + 25 a^{9} + 20 a^{8} + 9 a^{7} + 29 a^{6} + 26 a^{5} + 28 a^{4} + 8 a^{3} + 18 a^{2} + a + 3\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 27 }$ | $=$ |
\( 30 a^{14} + a^{13} + 14 a^{12} + 27 a^{11} + 28 a^{10} + 20 a^{9} + a^{8} + 25 a^{7} + 20 a^{6} + a^{5} + 13 a^{4} + 12 a^{3} + 8 a^{2} + 11 a + 29 + \left(3 a^{14} + 24 a^{13} + 28 a^{12} + 6 a^{11} + 13 a^{10} + 19 a^{9} + 9 a^{8} + 2 a^{7} + 20 a^{6} + 12 a^{5} + 2 a^{4} + 16 a^{3} + 20 a^{2} + 18 a + 16\right)\cdot 31 + \left(22 a^{14} + 4 a^{13} + 4 a^{12} + 12 a^{11} + 24 a^{10} + 11 a^{9} + 13 a^{8} + 17 a^{7} + 2 a^{6} + 20 a^{5} + a^{4} + 27 a^{3} + 13 a^{2} + 16 a + 3\right)\cdot 31^{2} + \left(a^{14} + 17 a^{13} + 19 a^{12} + a^{11} + 25 a^{10} + 13 a^{9} + 15 a^{8} + 30 a^{7} + 22 a^{6} + 14 a^{5} + 6 a^{4} + 22 a^{3} + 4 a^{2} + 28 a + 10\right)\cdot 31^{3} + \left(3 a^{14} + 14 a^{13} + 12 a^{12} + 15 a^{11} + 5 a^{10} + 13 a^{9} + 27 a^{8} + 30 a^{7} + 24 a^{6} + 5 a^{5} + 14 a^{4} + 21 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 31^{4} + \left(23 a^{14} + 13 a^{13} + 24 a^{12} + 2 a^{11} + 19 a^{10} + 20 a^{9} + 25 a^{8} + 13 a^{7} + 3 a^{6} + 8 a^{5} + 16 a^{4} + 11 a^{3} + 16 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 31^{5} + \left(5 a^{14} + 10 a^{13} + 3 a^{12} + 17 a^{11} + 19 a^{10} + 10 a^{9} + 2 a^{8} + 17 a^{7} + 18 a^{5} + 21 a^{4} + 20 a^{3} + 20 a^{2} + 28\right)\cdot 31^{6} + \left(11 a^{14} + 18 a^{13} + 23 a^{12} + 29 a^{11} + 18 a^{10} + 29 a^{9} + 18 a^{8} + 15 a^{7} + 2 a^{6} + 16 a^{5} + 6 a^{4} + 23 a^{3} + a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 31^{7} + \left(26 a^{14} + 8 a^{13} + 22 a^{12} + a^{11} + 17 a^{10} + 28 a^{9} + 11 a^{8} + 16 a^{7} + 29 a^{6} + 25 a^{5} + 26 a^{4} + 14 a^{3} + 28 a + 12\right)\cdot 31^{8} + \left(22 a^{14} + 23 a^{13} + 29 a^{12} + 5 a^{11} + 25 a^{10} + 4 a^{9} + 30 a^{8} + 25 a^{7} + 3 a^{6} + 22 a^{5} + 21 a^{4} + 14 a^{3} + 27 a^{2} + 15 a + 22\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 28 }$ | $=$ |
\( 26 a^{14} + 25 a^{13} + 28 a^{12} + 23 a^{11} + 11 a^{10} + 29 a^{8} + 10 a^{7} + 3 a^{6} + 7 a^{5} + 14 a^{4} + 20 a^{3} + 17 a^{2} + 24 a + 28 + \left(5 a^{14} + 28 a^{13} + 9 a^{12} + 25 a^{11} + 10 a^{10} + 26 a^{9} + 15 a^{8} + 29 a^{7} + 9 a^{6} + 11 a^{5} + 18 a^{4} + 18 a^{3} + 15 a^{2} + 21 a + 25\right)\cdot 31 + \left(12 a^{14} + 26 a^{13} + 11 a^{12} + 7 a^{11} + 12 a^{10} + 25 a^{9} + 12 a^{8} + 5 a^{7} + 30 a^{6} + 5 a^{5} + 13 a^{4} + 3 a^{3} + 16 a^{2} + 29 a + 20\right)\cdot 31^{2} + \left(20 a^{14} + 4 a^{13} + 21 a^{12} + 29 a^{11} + 18 a^{10} + 14 a^{9} + 28 a^{8} + 16 a^{7} + 27 a^{6} + 22 a^{5} + 22 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a + 15\right)\cdot 31^{3} + \left(21 a^{14} + 18 a^{13} + 2 a^{12} + 17 a^{11} + 16 a^{10} + 21 a^{9} + 12 a^{7} + 22 a^{6} + 29 a^{5} + 11 a^{4} + 2 a^{2} + 24 a + 22\right)\cdot 31^{4} + \left(23 a^{13} + 13 a^{12} + 29 a^{10} + 28 a^{9} + 4 a^{8} + 20 a^{7} + 23 a^{6} + 27 a^{5} + a^{4} + 13 a^{3} + 18 a^{2} + 2 a + 28\right)\cdot 31^{5} + \left(30 a^{14} + 30 a^{12} + 15 a^{11} + 25 a^{10} + 23 a^{9} + 30 a^{8} + 2 a^{7} + 8 a^{6} + 16 a^{5} + 16 a^{4} + 23 a^{3} + 26 a^{2} + 28 a + 27\right)\cdot 31^{6} + \left(a^{14} + 5 a^{13} + 16 a^{12} + 15 a^{11} + 21 a^{10} + 14 a^{9} + 25 a^{8} + 2 a^{7} + 6 a^{6} + 13 a^{5} + 2 a^{4} + 9 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 26\right)\cdot 31^{7} + \left(24 a^{14} + 28 a^{13} + 16 a^{12} + 11 a^{11} + 21 a^{10} + 8 a^{9} + 17 a^{8} + 3 a^{7} + 8 a^{6} + 28 a^{5} + 8 a^{4} + 4 a^{3} + 14 a^{2} + 10 a\right)\cdot 31^{8} + \left(29 a^{14} + 18 a^{13} + 20 a^{12} + 15 a^{11} + 4 a^{10} + 23 a^{9} + 2 a^{8} + 10 a^{7} + 30 a^{6} + 27 a^{5} + 25 a^{4} + 12 a^{3} + 18 a^{2} + 23 a\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 29 }$ | $=$ |
\( 5 a^{14} + 12 a^{13} + 5 a^{12} + 11 a^{11} + 20 a^{10} + 25 a^{9} + 23 a^{8} + 29 a^{7} + 5 a^{6} + 14 a^{5} + 29 a^{4} + a^{3} + 24 a^{2} + 29 a + 21 + \left(16 a^{14} + 29 a^{13} + 17 a^{12} + 23 a^{11} + 10 a^{10} + 8 a^{9} + 24 a^{8} + 21 a^{7} + 20 a^{6} + 12 a^{5} + 8 a^{4} + 9 a^{3} + 18 a^{2} + 24 a + 20\right)\cdot 31 + \left(12 a^{14} + 28 a^{13} + 8 a^{12} + 11 a^{11} + 16 a^{10} + 15 a^{9} + 26 a^{8} + 11 a^{7} + 29 a^{6} + 10 a^{5} + 22 a^{4} + 9 a^{3} + 13 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 31^{2} + \left(12 a^{14} + 26 a^{13} + 7 a^{12} + 30 a^{11} + 12 a^{10} + 8 a^{9} + 24 a^{8} + a^{6} + 25 a^{5} + 25 a^{4} + 18 a^{3} + 5 a^{2} + 23 a + 12\right)\cdot 31^{3} + \left(27 a^{14} + 13 a^{13} + 8 a^{12} + 8 a^{11} + 20 a^{10} + 6 a^{9} + 21 a^{8} + 13 a^{7} + 16 a^{6} + 28 a^{5} + 9 a^{4} + 21 a^{3} + 24 a^{2} + 6 a + 23\right)\cdot 31^{4} + \left(8 a^{14} + 13 a^{13} + 24 a^{12} + 8 a^{11} + 20 a^{10} + 21 a^{9} + 16 a^{8} + 11 a^{7} + 20 a^{6} + a^{5} + 23 a^{4} + 11 a^{3} + 2 a^{2} + 20 a + 2\right)\cdot 31^{5} + \left(2 a^{14} + 26 a^{13} + 5 a^{12} + 19 a^{11} + 23 a^{10} + 17 a^{9} + 24 a^{8} + 10 a^{7} + 11 a^{6} + 24 a^{5} + 23 a^{4} + 15 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 13\right)\cdot 31^{6} + \left(19 a^{14} + a^{13} + 16 a^{12} + 9 a^{11} + 9 a^{10} + 8 a^{9} + 22 a^{8} + 25 a^{7} + 15 a^{6} + 7 a^{5} + 20 a^{4} + 13 a^{3} + 2 a^{2} + 26 a + 5\right)\cdot 31^{7} + \left(28 a^{14} + 11 a^{13} + 16 a^{12} + 2 a^{11} + 30 a^{10} + 30 a^{9} + 13 a^{8} + 7 a^{7} + 12 a^{6} + 27 a^{5} + 3 a^{4} + 22 a^{3} + 6 a^{2} + 27 a + 4\right)\cdot 31^{8} + \left(14 a^{14} + 30 a^{13} + 24 a^{12} + 26 a^{11} + 11 a^{10} + 12 a^{9} + 3 a^{8} + 3 a^{7} + 17 a^{6} + 7 a^{5} + 8 a^{4} + 15 a^{3} + 22 a^{2} + 26 a + 14\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 30 }$ | $=$ |
\( 19 a^{13} + 22 a^{12} + 28 a^{10} + 14 a^{9} + 24 a^{8} + 6 a^{7} + 4 a^{6} + 30 a^{4} + 5 a^{3} + a^{2} + 11 a + 2 + \left(4 a^{14} + 9 a^{13} + 25 a^{12} + 24 a^{11} + 21 a^{10} + 19 a^{9} + 10 a^{8} + 15 a^{7} + 23 a^{6} + 4 a^{5} + 11 a^{4} + 23 a^{3} + 29 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 31 + \left(29 a^{14} + 11 a^{13} + 28 a^{12} + 29 a^{11} + 6 a^{10} + 5 a^{9} + 24 a^{8} + 22 a^{7} + 11 a^{6} + 26 a^{5} + 24 a^{4} + 12 a^{3} + a + 11\right)\cdot 31^{2} + \left(2 a^{14} + 12 a^{13} + 16 a^{12} + 22 a^{11} + 18 a^{10} + 22 a^{9} + 25 a^{8} + 29 a^{7} + 25 a^{6} + 9 a^{5} + 5 a^{4} + 4 a^{3} + 6 a^{2} + 27 a + 10\right)\cdot 31^{3} + \left(27 a^{14} + 15 a^{13} + 17 a^{12} + 25 a^{11} + 29 a^{10} + 2 a^{9} + 2 a^{8} + 20 a^{7} + 24 a^{6} + 3 a^{5} + 6 a^{4} + 18 a^{3} + 28 a + 24\right)\cdot 31^{4} + \left(27 a^{14} + 3 a^{13} + 17 a^{12} + 30 a^{11} + 22 a^{10} + 13 a^{9} + 29 a^{8} + 3 a^{7} + 13 a^{6} + 15 a^{5} + 20 a^{4} + 3 a^{3} + 24 a^{2} + 20 a + 3\right)\cdot 31^{5} + \left(13 a^{14} + 25 a^{13} + 9 a^{12} + 19 a^{11} + 2 a^{10} + 22 a^{9} + 24 a^{8} + 18 a^{7} + 7 a^{6} + 16 a^{5} + 23 a^{4} + 16 a^{3} + 25 a^{2} + 18 a + 13\right)\cdot 31^{6} + \left(26 a^{14} + 22 a^{12} + 18 a^{11} + 17 a^{10} + 16 a^{9} + 24 a^{8} + 9 a^{7} + 23 a^{6} + 17 a^{5} + 24 a^{4} + 13 a^{3} + 13 a^{2} + 30 a + 7\right)\cdot 31^{7} + \left(10 a^{14} + 18 a^{13} + 27 a^{12} + 11 a^{11} + 17 a^{10} + 14 a^{9} + 16 a^{8} + 29 a^{7} + 23 a^{6} + 9 a^{5} + 16 a^{4} + 17 a^{3} + 18 a^{2} + 18 a\right)\cdot 31^{8} + \left(30 a^{13} + 9 a^{12} + 12 a^{11} + 28 a^{10} + 28 a^{9} + 23 a^{8} + 22 a^{7} + 6 a^{6} + 6 a^{5} + 13 a^{4} + 28 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 26\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 30 }$
| Cycle notation |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on $r_1, \ldots, r_{ 30 }$ | Character values | |||
| $c1$ | $c2$ | $c3$ | $c4$ | |||
| $1$ | $1$ | $()$ | $2$ | $2$ | $2$ | $2$ |
| $1$ | $2$ | $(1,11)(2,14)(3,21)(4,24)(5,29)(6,26)(7,20)(8,25)(9,16)(10,30)(12,23)(13,18)(15,27)(17,19)(22,28)$ | $-2$ | $-2$ | $-2$ | $-2$ |
| $15$ | $2$ | $(1,17)(2,5)(3,7)(4,28)(6,30)(8,27)(9,23)(10,26)(11,19)(12,16)(14,29)(15,25)(20,21)(22,24)$ | $0$ | $0$ | $0$ | $0$ |
| $15$ | $2$ | $(1,19)(2,29)(3,20)(4,22)(5,14)(6,10)(7,21)(8,15)(9,12)(11,17)(13,18)(16,23)(24,28)(25,27)(26,30)$ | $0$ | $0$ | $0$ | $0$ |
| $2$ | $3$ | $(1,13,17)(2,28,10)(3,8,9)(4,5,26)(6,24,29)(7,23,27)(11,18,19)(12,15,20)(14,22,30)(16,21,25)$ | $-1$ | $-1$ | $-1$ | $-1$ |
| $2$ | $5$ | $(1,21,14,6,12)(2,26,23,11,3)(4,27,18,8,28)(5,7,19,9,10)(13,25,22,24,15)(16,30,29,20,17)$ | $-\zeta_{15}^{7} + \zeta_{15}^{3} - \zeta_{15}^{2}$ | $-\zeta_{15}^{7} + \zeta_{15}^{3} - \zeta_{15}^{2}$ | $\zeta_{15}^{7} - \zeta_{15}^{3} + \zeta_{15}^{2} - 1$ | $\zeta_{15}^{7} - \zeta_{15}^{3} + \zeta_{15}^{2} - 1$ |
| $2$ | $5$ | $(1,14,12,21,6)(2,23,3,26,11)(4,18,28,27,8)(5,19,10,7,9)(13,22,15,25,24)(16,29,17,30,20)$ | $\zeta_{15}^{7} - \zeta_{15}^{3} + \zeta_{15}^{2} - 1$ | $\zeta_{15}^{7} - \zeta_{15}^{3} + \zeta_{15}^{2} - 1$ | $-\zeta_{15}^{7} + \zeta_{15}^{3} - \zeta_{15}^{2}$ | $-\zeta_{15}^{7} + \zeta_{15}^{3} - \zeta_{15}^{2}$ |
| $2$ | $6$ | $(1,18,17,11,13,19)(2,22,10,14,28,30)(3,25,9,21,8,16)(4,29,26,24,5,6)(7,12,27,20,23,15)$ | $1$ | $1$ | $1$ | $1$ |
| $2$ | $10$ | $(1,3,14,26,12,11,21,2,6,23)(4,15,18,25,28,24,27,13,8,22)(5,20,19,16,10,29,7,17,9,30)$ | $\zeta_{15}^{7} - \zeta_{15}^{3} + \zeta_{15}^{2}$ | $\zeta_{15}^{7} - \zeta_{15}^{3} + \zeta_{15}^{2}$ | $-\zeta_{15}^{7} + \zeta_{15}^{3} - \zeta_{15}^{2} + 1$ | $-\zeta_{15}^{7} + \zeta_{15}^{3} - \zeta_{15}^{2} + 1$ |
| $2$ | $10$ | $(1,26,21,23,14,11,6,3,12,2)(4,25,27,22,18,24,8,15,28,13)(5,16,7,30,19,29,9,20,10,17)$ | $-\zeta_{15}^{7} + \zeta_{15}^{3} - \zeta_{15}^{2} + 1$ | $-\zeta_{15}^{7} + \zeta_{15}^{3} - \zeta_{15}^{2} + 1$ | $\zeta_{15}^{7} - \zeta_{15}^{3} + \zeta_{15}^{2}$ | $\zeta_{15}^{7} - \zeta_{15}^{3} + \zeta_{15}^{2}$ |
| $2$ | $15$ | $(1,25,30,6,15,17,21,22,29,12,13,16,14,24,20)(2,4,7,11,8,10,26,27,19,3,28,5,23,18,9)$ | $2 \zeta_{15}^{7} - \zeta_{15}^{5} + \zeta_{15}^{4} - \zeta_{15}^{3} + \zeta_{15} - 1$ | $-\zeta_{15}^{7} + \zeta_{15}^{5} - \zeta_{15}^{4} + \zeta_{15}^{2} - \zeta_{15} + 1$ | $-\zeta_{15}^{6} + \zeta_{15}^{4} - \zeta_{15}$ | $-\zeta_{15}^{7} + \zeta_{15}^{6} - \zeta_{15}^{4} + \zeta_{15}^{3} - \zeta_{15}^{2} + \zeta_{15} + 1$ |
| $2$ | $15$ | $(1,30,15,21,29,13,14,20,25,6,17,22,12,16,24)(2,7,8,26,19,28,23,9,4,11,10,27,3,5,18)$ | $-\zeta_{15}^{7} + \zeta_{15}^{6} - \zeta_{15}^{4} + \zeta_{15}^{3} - \zeta_{15}^{2} + \zeta_{15} + 1$ | $-\zeta_{15}^{6} + \zeta_{15}^{4} - \zeta_{15}$ | $2 \zeta_{15}^{7} - \zeta_{15}^{5} + \zeta_{15}^{4} - \zeta_{15}^{3} + \zeta_{15} - 1$ | $-\zeta_{15}^{7} + \zeta_{15}^{5} - \zeta_{15}^{4} + \zeta_{15}^{2} - \zeta_{15} + 1$ |
| $2$ | $15$ | $(1,15,29,14,25,17,12,24,30,21,13,20,6,22,16)(2,8,19,23,4,10,3,18,7,26,28,9,11,27,5)$ | $-\zeta_{15}^{7} + \zeta_{15}^{5} - \zeta_{15}^{4} + \zeta_{15}^{2} - \zeta_{15} + 1$ | $2 \zeta_{15}^{7} - \zeta_{15}^{5} + \zeta_{15}^{4} - \zeta_{15}^{3} + \zeta_{15} - 1$ | $-\zeta_{15}^{7} + \zeta_{15}^{6} - \zeta_{15}^{4} + \zeta_{15}^{3} - \zeta_{15}^{2} + \zeta_{15} + 1$ | $-\zeta_{15}^{6} + \zeta_{15}^{4} - \zeta_{15}$ |
| $2$ | $15$ | $(1,22,20,21,24,17,14,15,16,6,13,30,12,25,29)(2,27,9,26,18,10,23,8,5,11,28,7,3,4,19)$ | $-\zeta_{15}^{6} + \zeta_{15}^{4} - \zeta_{15}$ | $-\zeta_{15}^{7} + \zeta_{15}^{6} - \zeta_{15}^{4} + \zeta_{15}^{3} - \zeta_{15}^{2} + \zeta_{15} + 1$ | $-\zeta_{15}^{7} + \zeta_{15}^{5} - \zeta_{15}^{4} + \zeta_{15}^{2} - \zeta_{15} + 1$ | $2 \zeta_{15}^{7} - \zeta_{15}^{5} + \zeta_{15}^{4} - \zeta_{15}^{3} + \zeta_{15} - 1$ |
| $2$ | $30$ | $(1,8,30,26,15,19,21,28,29,23,13,9,14,4,20,11,25,10,6,27,17,3,22,5,12,18,16,2,24,7)$ | $-2 \zeta_{15}^{7} + \zeta_{15}^{5} - \zeta_{15}^{4} + \zeta_{15}^{3} - \zeta_{15} + 1$ | $\zeta_{15}^{7} - \zeta_{15}^{5} + \zeta_{15}^{4} - \zeta_{15}^{2} + \zeta_{15} - 1$ | $\zeta_{15}^{6} - \zeta_{15}^{4} + \zeta_{15}$ | $\zeta_{15}^{7} - \zeta_{15}^{6} + \zeta_{15}^{4} - \zeta_{15}^{3} + \zeta_{15}^{2} - \zeta_{15} - 1$ |
| $2$ | $30$ | $(1,28,20,3,24,19,14,27,16,26,13,10,12,8,29,11,22,7,21,4,17,2,15,9,6,18,30,23,25,5)$ | $\zeta_{15}^{6} - \zeta_{15}^{4} + \zeta_{15}$ | $\zeta_{15}^{7} - \zeta_{15}^{6} + \zeta_{15}^{4} - \zeta_{15}^{3} + \zeta_{15}^{2} - \zeta_{15} - 1$ | $\zeta_{15}^{7} - \zeta_{15}^{5} + \zeta_{15}^{4} - \zeta_{15}^{2} + \zeta_{15} - 1$ | $-2 \zeta_{15}^{7} + \zeta_{15}^{5} - \zeta_{15}^{4} + \zeta_{15}^{3} - \zeta_{15} + 1$ |
| $2$ | $30$ | $(1,9,22,26,20,18,21,10,24,23,17,8,14,5,15,11,16,28,6,7,13,3,30,4,12,19,25,2,29,27)$ | $\zeta_{15}^{7} - \zeta_{15}^{5} + \zeta_{15}^{4} - \zeta_{15}^{2} + \zeta_{15} - 1$ | $-2 \zeta_{15}^{7} + \zeta_{15}^{5} - \zeta_{15}^{4} + \zeta_{15}^{3} - \zeta_{15} + 1$ | $\zeta_{15}^{7} - \zeta_{15}^{6} + \zeta_{15}^{4} - \zeta_{15}^{3} + \zeta_{15}^{2} - \zeta_{15} - 1$ | $\zeta_{15}^{6} - \zeta_{15}^{4} + \zeta_{15}$ |
| $2$ | $30$ | $(1,4,16,23,22,19,6,8,20,2,13,5,21,27,30,11,24,9,12,28,17,26,25,7,14,18,29,3,15,10)$ | $\zeta_{15}^{7} - \zeta_{15}^{6} + \zeta_{15}^{4} - \zeta_{15}^{3} + \zeta_{15}^{2} - \zeta_{15} - 1$ | $\zeta_{15}^{6} - \zeta_{15}^{4} + \zeta_{15}$ | $-2 \zeta_{15}^{7} + \zeta_{15}^{5} - \zeta_{15}^{4} + \zeta_{15}^{3} - \zeta_{15} + 1$ | $\zeta_{15}^{7} - \zeta_{15}^{5} + \zeta_{15}^{4} - \zeta_{15}^{2} + \zeta_{15} - 1$ |