# Properties

 Label 2.3583.29t2.a.n Dimension $2$ Group $D_{29}$ Conductor $3583$ Root number $1$ Indicator $1$

# Related objects

## Basic invariants

 Dimension: $2$ Group: $D_{29}$ Conductor: $$3583$$ Frobenius-Schur indicator: $1$ Root number: $1$ Artin stem field: 29.1.57471868152223727924656865491755923007187161136129.1 Galois orbit size: $14$ Smallest permutation container: $D_{29}$ Parity: odd Determinant: 1.3583.2t1.a.a Projective image: $D_{29}$ Projective stem field: 29.1.57471868152223727924656865491755923007187161136129.1

## Defining polynomial

 $f(x)$ $=$ $$x^{29} - x^{28} + 18 x^{27} + 12 x^{26} + 179 x^{25} + 123 x^{24} + 1662 x^{23} - 196 x^{22} + 11119 x^{21} - 9104 x^{20} + 47466 x^{19} - 44547 x^{18} + 83114 x^{17} - 23886 x^{16} - 121329 x^{15} + 248495 x^{14} - 275546 x^{13} - 188738 x^{12} + 573921 x^{11} - 476142 x^{10} + 379865 x^{9} - 32019 x^{8} + 20658 x^{7} - 6163 x^{6} - 27930 x^{5} + 2012 x^{4} - 1404 x^{3} + 2898 x^{2} - 594 x + 81$$  .

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 41 }$ to precision 5.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 41 }$: $$x^{29} + 13 x + 35$$

Roots:
 $r_{ 1 }$ $=$ $$3 a^{28} + 7 a^{27} + 37 a^{26} + 21 a^{25} + 12 a^{24} + 6 a^{23} + 40 a^{22} + 3 a^{21} + 34 a^{20} + 15 a^{19} + 35 a^{18} + 36 a^{17} + 14 a^{16} + 28 a^{15} + 19 a^{13} + 28 a^{12} + 32 a^{11} + 20 a^{10} + 15 a^{9} + 19 a^{8} + 31 a^{7} + 19 a^{6} + 9 a^{5} + 16 a^{4} + 30 a^{3} + 31 a^{2} + 7 a + 8 + \left(40 a^{28} + 12 a^{27} + 8 a^{26} + 29 a^{24} + 9 a^{23} + a^{22} + 37 a^{20} + 14 a^{19} + 36 a^{18} + 17 a^{17} + 37 a^{16} + 23 a^{15} + 40 a^{14} + 19 a^{12} + 2 a^{11} + 18 a^{10} + 40 a^{9} + 30 a^{8} + 14 a^{7} + 26 a^{6} + 22 a^{5} + 30 a^{4} + 13 a^{3} + 29 a^{2} + 20 a + 32\right)\cdot 41 + \left(25 a^{28} + 18 a^{27} + 4 a^{26} + 8 a^{25} + 10 a^{24} + 20 a^{23} + 33 a^{22} + 32 a^{21} + 26 a^{20} + 22 a^{19} + 12 a^{18} + 30 a^{17} + 20 a^{16} + 18 a^{15} + 27 a^{14} + 8 a^{13} + 6 a^{12} + 16 a^{11} + 22 a^{9} + 20 a^{8} + 25 a^{7} + 21 a^{6} + 15 a^{5} + 24 a^{4} + 15 a^{3} + 30 a^{2} + 36 a + 10\right)\cdot 41^{2} + \left(24 a^{28} + 32 a^{27} + a^{26} + 21 a^{25} + 14 a^{24} + 17 a^{23} + 23 a^{22} + 10 a^{21} + 39 a^{20} + 8 a^{19} + 3 a^{18} + 39 a^{16} + 5 a^{15} + 39 a^{14} + 14 a^{13} + 10 a^{12} + 6 a^{11} + 40 a^{10} + 9 a^{9} + 18 a^{8} + 19 a^{7} + 21 a^{6} + 7 a^{5} + 28 a^{4} + 3 a^{3} + 10 a^{2} + 25 a + 29\right)\cdot 41^{3} + \left(10 a^{28} + 38 a^{27} + 14 a^{26} + 39 a^{25} + 36 a^{24} + 33 a^{23} + 10 a^{22} + 6 a^{21} + 18 a^{20} + 31 a^{19} + 39 a^{18} + 23 a^{17} + 32 a^{16} + 25 a^{15} + 6 a^{14} + 37 a^{13} + 32 a^{12} + 14 a^{11} + 11 a^{10} + 25 a^{9} + 19 a^{8} + 40 a^{7} + 5 a^{6} + 5 a^{5} + 9 a^{4} + 39 a^{3} + a^{2} + 22 a + 15\right)\cdot 41^{4} +O(41^{5})$$ $r_{ 2 }$ $=$ $$4 a^{28} + 22 a^{27} + 23 a^{26} + 22 a^{25} + 37 a^{24} + 33 a^{23} + 28 a^{22} + 5 a^{21} + 36 a^{20} + 11 a^{19} + 10 a^{17} + 16 a^{16} + 32 a^{15} + 34 a^{14} + 19 a^{13} + 27 a^{11} + 9 a^{10} + 39 a^{9} + 3 a^{8} + 6 a^{7} + 40 a^{6} + 33 a^{5} + 40 a^{4} + 39 a^{3} + 16 a^{2} + 26 a + 5 + \left(8 a^{27} + 25 a^{26} + 31 a^{25} + 14 a^{24} + 17 a^{23} + 2 a^{22} + 29 a^{21} + 21 a^{20} + 32 a^{19} + 38 a^{18} + 39 a^{17} + 30 a^{16} + 19 a^{15} + 33 a^{14} + 27 a^{13} + 8 a^{12} + 23 a^{11} + 15 a^{10} + 14 a^{9} + 37 a^{8} + a^{7} + 40 a^{6} + 16 a^{5} + 38 a^{4} + 33 a^{3} + 10 a^{2} + 35 a + 11\right)\cdot 41 + \left(26 a^{28} + 6 a^{27} + 40 a^{26} + 19 a^{25} + 10 a^{24} + 38 a^{23} + 35 a^{22} + 11 a^{21} + 16 a^{20} + 19 a^{19} + 12 a^{18} + 10 a^{17} + 36 a^{16} + 2 a^{15} + 18 a^{14} + 27 a^{13} + 23 a^{12} + 14 a^{11} + 9 a^{10} + 11 a^{9} + 4 a^{8} + 11 a^{7} + 22 a^{6} + 39 a^{4} + 21 a^{3} + 2 a^{2} + 33 a + 8\right)\cdot 41^{2} + \left(33 a^{28} + 18 a^{27} + 15 a^{26} + 40 a^{24} + 11 a^{23} + 20 a^{22} + 15 a^{21} + 18 a^{19} + 7 a^{18} + 8 a^{17} + 5 a^{16} + 38 a^{15} + 30 a^{14} + 36 a^{13} + 32 a^{12} + 29 a^{11} + 12 a^{10} + 23 a^{9} + 33 a^{8} + 24 a^{7} + 20 a^{6} + 11 a^{5} + 21 a^{4} + 3 a^{3} + 28 a^{2} + 10 a + 36\right)\cdot 41^{3} + \left(6 a^{28} + 39 a^{27} + 30 a^{26} + 28 a^{25} + 15 a^{24} + 40 a^{23} + 23 a^{22} + 13 a^{21} + 20 a^{20} + 5 a^{19} + 20 a^{18} + 2 a^{17} + 8 a^{16} + 12 a^{15} + 25 a^{14} + 40 a^{13} + 20 a^{12} + 8 a^{11} + 3 a^{10} + 7 a^{9} + 19 a^{8} + 19 a^{7} + 13 a^{6} + 23 a^{5} + 8 a^{4} + 9 a^{3} + 40 a^{2} + 18 a + 31\right)\cdot 41^{4} +O(41^{5})$$ $r_{ 3 }$ $=$ $$5 a^{28} + 2 a^{27} + 15 a^{26} + 15 a^{25} + 35 a^{24} + 39 a^{23} + 26 a^{22} + 15 a^{21} + 19 a^{19} + 8 a^{18} + 15 a^{16} + 39 a^{15} + 33 a^{14} + 17 a^{13} + 36 a^{12} + 31 a^{11} + 9 a^{10} + 21 a^{9} + 29 a^{8} + 12 a^{7} + 33 a^{6} + 11 a^{5} + 30 a^{4} + 16 a^{3} + 7 a^{2} + 36 a + 2 + \left(34 a^{27} + 9 a^{26} + 15 a^{25} + 13 a^{24} + a^{23} + 13 a^{22} + 14 a^{21} + 29 a^{20} + 11 a^{19} + 35 a^{18} + 34 a^{17} + 2 a^{16} + 19 a^{15} + 37 a^{14} + 27 a^{13} + 25 a^{12} + 22 a^{11} + 18 a^{10} + 23 a^{9} + 27 a^{8} + 21 a^{7} + 26 a^{6} + 5 a^{5} + 35 a^{4} + 5 a^{3} + 18 a^{2} + 32 a + 34\right)\cdot 41 + \left(15 a^{28} + 20 a^{27} + 22 a^{26} + 37 a^{25} + 31 a^{24} + 16 a^{23} + 13 a^{22} + 15 a^{21} + 29 a^{20} + 34 a^{19} + 17 a^{18} + 18 a^{17} + 15 a^{16} + 20 a^{15} + 38 a^{14} + 10 a^{13} + 4 a^{12} + 12 a^{11} + 8 a^{10} + a^{9} + 38 a^{8} + 38 a^{7} + 35 a^{6} + 6 a^{5} + 17 a^{4} + 21 a^{3} + 23 a^{2} + 29 a + 15\right)\cdot 41^{2} + \left(13 a^{28} + 29 a^{27} + 11 a^{26} + 31 a^{25} + 23 a^{24} + 37 a^{23} + a^{22} + 15 a^{19} + 29 a^{18} + 34 a^{17} + 16 a^{16} + 22 a^{15} + 10 a^{14} + 19 a^{13} + 27 a^{12} + 40 a^{11} + 34 a^{10} + 11 a^{9} + 16 a^{8} + 29 a^{7} + 3 a^{6} + 31 a^{5} + 10 a^{4} + 16 a^{3} + 19 a^{2} + 35 a + 26\right)\cdot 41^{3} + \left(13 a^{28} + 34 a^{27} + 9 a^{26} + 10 a^{25} + 2 a^{24} + 23 a^{23} + 15 a^{22} + 29 a^{21} + 5 a^{20} + 24 a^{19} + 30 a^{18} + 22 a^{17} + 26 a^{16} + 5 a^{15} + 16 a^{14} + 10 a^{13} + 31 a^{12} + 11 a^{11} + 3 a^{10} + 18 a^{9} + 35 a^{8} + 9 a^{7} + 40 a^{5} + 2 a^{4} + 37 a^{3} + 36 a^{2} + 22 a + 21\right)\cdot 41^{4} +O(41^{5})$$ $r_{ 4 }$ $=$ $$5 a^{28} + 33 a^{27} + 15 a^{26} + 11 a^{25} + 5 a^{24} + 35 a^{22} + 37 a^{21} + 7 a^{20} + 29 a^{18} + 29 a^{17} + 3 a^{16} + 31 a^{15} + 33 a^{14} + 25 a^{13} + 25 a^{12} + 29 a^{11} + 25 a^{10} + 16 a^{9} + 39 a^{8} + 26 a^{7} + 26 a^{6} + 14 a^{5} + 15 a^{4} + 21 a^{3} + 35 a^{2} + 6 a + 2 + \left(2 a^{27} + 3 a^{26} + 9 a^{25} + 32 a^{24} + 12 a^{23} + 7 a^{22} + 39 a^{21} + 3 a^{20} + 32 a^{19} + 18 a^{18} + 37 a^{17} + 18 a^{16} + a^{15} + 4 a^{14} + 20 a^{13} + 22 a^{12} + 33 a^{11} + 27 a^{10} + 17 a^{9} + 10 a^{8} + 34 a^{7} + 36 a^{6} + 8 a^{5} + 18 a^{4} + 22 a^{3} + 35 a^{2} + 35 a + 34\right)\cdot 41 + \left(26 a^{28} + 31 a^{27} + 20 a^{26} + 26 a^{25} + 34 a^{24} + 15 a^{23} + 39 a^{21} + 29 a^{20} + 38 a^{19} + 5 a^{18} + 15 a^{16} + 15 a^{15} + 20 a^{14} + 6 a^{13} + 4 a^{12} + 36 a^{11} + 16 a^{10} + 7 a^{9} + 28 a^{8} + 4 a^{7} + 12 a^{6} + 26 a^{5} + a^{4} + 14 a^{3} + 29 a^{2} + 16 a + 23\right)\cdot 41^{2} + \left(20 a^{28} + 2 a^{27} + 8 a^{26} + 14 a^{25} + 21 a^{24} + 29 a^{23} + 30 a^{22} + 8 a^{21} + 11 a^{20} + 30 a^{19} + 39 a^{18} + 31 a^{17} + 24 a^{16} + 27 a^{15} + 4 a^{13} + 24 a^{12} + 29 a^{11} + 11 a^{10} + 33 a^{9} + 31 a^{8} + 18 a^{7} + 22 a^{6} + a^{5} + 9 a^{4} + 17 a^{3} + 34 a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 41^{3} + \left(27 a^{28} + 33 a^{27} + 40 a^{26} + 5 a^{25} + 5 a^{24} + 35 a^{23} + 12 a^{22} + 22 a^{21} + 7 a^{20} + 8 a^{19} + 30 a^{18} + 18 a^{17} + 12 a^{16} + 37 a^{15} + 18 a^{14} + 4 a^{13} + 16 a^{12} + 37 a^{11} + 2 a^{10} + 10 a^{9} + 11 a^{8} + 36 a^{7} + 21 a^{6} + 7 a^{5} + 22 a^{4} + 36 a^{3} + 26 a^{2} + 14 a + 24\right)\cdot 41^{4} +O(41^{5})$$ $r_{ 5 }$ $=$ $$8 a^{28} + 22 a^{27} + 7 a^{26} + 2 a^{25} + 26 a^{24} + 23 a^{23} + 39 a^{22} + 19 a^{21} + 14 a^{20} + 19 a^{19} + 16 a^{18} + a^{17} + 17 a^{16} + 23 a^{15} + 31 a^{14} + 5 a^{13} + 34 a^{12} + 3 a^{11} + 9 a^{10} + 34 a^{9} + 34 a^{8} + 36 a^{7} + 38 a^{6} + 9 a^{5} + 36 a^{4} + 2 a^{3} + 35 a^{2} + 8 a + 34 + \left(2 a^{28} + 8 a^{27} + 17 a^{26} + 24 a^{25} + 36 a^{24} + 39 a^{23} + 2 a^{22} + 2 a^{21} + 32 a^{20} + 37 a^{19} + 21 a^{18} + 23 a^{17} + 11 a^{16} + 19 a^{15} + 20 a^{14} + 26 a^{13} + 4 a^{12} + 33 a^{11} + 36 a^{10} + 16 a^{9} + 31 a^{8} + 3 a^{7} + 12 a^{6} + 26 a^{5} + 26 a^{4} + 38 a^{3} + 6 a^{2} + 27 a + 14\right)\cdot 41 + \left(3 a^{28} + 5 a^{27} + 21 a^{26} + 37 a^{25} + 40 a^{24} + 37 a^{23} + 18 a^{22} + 15 a^{21} + 2 a^{20} + 24 a^{19} + 4 a^{18} + 13 a^{17} + 31 a^{16} + 6 a^{15} + 25 a^{14} + 15 a^{13} + 35 a^{12} + 13 a^{11} + 23 a^{10} + 15 a^{9} + 23 a^{8} + a^{7} + 28 a^{6} + 22 a^{5} + 14 a^{4} + 25 a^{3} + 33 a^{2} + 13 a + 21\right)\cdot 41^{2} + \left(14 a^{28} + 16 a^{27} + 23 a^{26} + 7 a^{25} + 40 a^{23} + 36 a^{22} + 21 a^{21} + 5 a^{20} + 3 a^{19} + 11 a^{18} + 39 a^{17} + 3 a^{16} + 15 a^{15} + 36 a^{14} + 33 a^{13} + 24 a^{12} + 38 a^{11} + 32 a^{10} + 6 a^{8} + 14 a^{7} + 10 a^{6} + 40 a^{5} + 26 a^{4} + 28 a^{3} + 16 a^{2} + 26 a + 39\right)\cdot 41^{3} + \left(25 a^{28} + 10 a^{27} + 30 a^{26} + 38 a^{25} + 4 a^{24} + 13 a^{23} + 10 a^{22} + 26 a^{21} + 23 a^{20} + 39 a^{19} + 6 a^{18} + 29 a^{17} + 26 a^{16} + 29 a^{15} + 9 a^{14} + 33 a^{13} + 27 a^{11} + a^{10} + 29 a^{9} + 14 a^{8} + 36 a^{7} + 23 a^{6} + 29 a^{5} + 38 a^{4} + 8 a^{3} + 38 a^{2} + 13 a + 16\right)\cdot 41^{4} +O(41^{5})$$ $r_{ 6 }$ $=$ $$8 a^{28} + 40 a^{27} + 24 a^{26} + 28 a^{25} + 28 a^{24} + 13 a^{23} + 28 a^{22} + 38 a^{21} + 4 a^{20} + 5 a^{19} + 32 a^{18} + 8 a^{17} + 17 a^{16} + a^{15} + 5 a^{14} + 23 a^{13} + 25 a^{12} + 31 a^{11} + 36 a^{10} + 7 a^{8} + 36 a^{7} + 31 a^{6} + 18 a^{5} + 18 a^{4} + 15 a^{3} + 8 a^{2} + 25 a + 34 + \left(32 a^{28} + 9 a^{27} + 36 a^{26} + 22 a^{25} + 9 a^{24} + 2 a^{23} + 5 a^{22} + 24 a^{21} + 34 a^{20} + 25 a^{19} + 5 a^{18} + 28 a^{17} + 5 a^{16} + 14 a^{15} + 16 a^{14} + 11 a^{13} + 10 a^{12} + 8 a^{11} + 37 a^{10} + 7 a^{9} + 13 a^{8} + 11 a^{7} + 28 a^{6} + 7 a^{5} + 19 a^{4} + 34 a^{2} + 15 a + 6\right)\cdot 41 + \left(30 a^{28} + a^{27} + 35 a^{26} + 36 a^{25} + 6 a^{24} + 5 a^{23} + 10 a^{22} + 10 a^{21} + 36 a^{20} + 22 a^{19} + 2 a^{18} + 14 a^{17} + 35 a^{16} + 21 a^{15} + 31 a^{14} + 36 a^{13} + a^{12} + 6 a^{11} + 15 a^{10} + 4 a^{9} + 34 a^{8} + 13 a^{7} + 16 a^{6} + 29 a^{5} + 17 a^{4} + a^{3} + 37 a^{2} + 27 a + 13\right)\cdot 41^{2} + \left(23 a^{28} + 31 a^{27} + 32 a^{26} + 14 a^{25} + 24 a^{24} + 21 a^{23} + 17 a^{22} + a^{21} + 36 a^{20} + 31 a^{19} + 16 a^{18} + 40 a^{17} + 36 a^{16} + 21 a^{15} + 28 a^{14} + 21 a^{13} + 6 a^{12} + 38 a^{11} + 39 a^{10} + 38 a^{9} + 18 a^{8} + 32 a^{7} + 35 a^{6} + 11 a^{5} + 21 a^{4} + 38 a^{3} + 22 a^{2} + 40 a + 32\right)\cdot 41^{3} + \left(29 a^{28} + 19 a^{27} + 7 a^{26} + 37 a^{25} + 15 a^{24} + 33 a^{23} + 37 a^{22} + 15 a^{21} + 3 a^{20} + 37 a^{19} + 23 a^{18} + 5 a^{17} + 28 a^{16} + 19 a^{14} + 28 a^{13} + 20 a^{12} + 21 a^{11} + 22 a^{10} + 2 a^{9} + 14 a^{8} + 37 a^{7} + 23 a^{6} + a^{5} + 20 a^{4} + 10 a^{3} + 16 a^{2} + 39 a + 34\right)\cdot 41^{4} +O(41^{5})$$ $r_{ 7 }$ $=$ $$11 a^{28} + 27 a^{27} + 32 a^{26} + 38 a^{25} + 29 a^{24} + 9 a^{23} + 2 a^{22} + 28 a^{21} + 31 a^{20} + 30 a^{19} + 10 a^{18} + 4 a^{17} + 12 a^{16} + 25 a^{15} + 33 a^{14} + 20 a^{13} + 32 a^{12} + 21 a^{11} + 23 a^{10} + a^{9} + 32 a^{8} + 17 a^{7} + 36 a^{6} + 30 a^{5} + 10 a^{3} + 30 a^{2} + 4 a + 25 + \left(10 a^{28} + 30 a^{27} + 20 a^{25} + 37 a^{24} + 16 a^{23} + 25 a^{22} + 8 a^{21} + 38 a^{20} + 32 a^{19} + 28 a^{18} + 11 a^{17} + 22 a^{16} + 25 a^{15} + 20 a^{14} + 8 a^{13} + 7 a^{12} + 11 a^{11} + 3 a^{10} + 14 a^{9} + 36 a^{8} + 38 a^{7} + 11 a^{6} + 31 a^{5} + 13 a^{4} + 12 a^{3} + 32 a^{2} + 11 a + 18\right)\cdot 41 + \left(29 a^{28} + 21 a^{27} + 15 a^{26} + 36 a^{25} + 5 a^{24} + 34 a^{23} + 21 a^{22} + 8 a^{21} + 3 a^{20} + 30 a^{19} + 23 a^{18} + 34 a^{17} + 11 a^{16} + 37 a^{15} + 26 a^{14} + 17 a^{13} + 21 a^{12} + 19 a^{11} + 39 a^{10} + 33 a^{9} + a^{8} + 13 a^{7} + 15 a^{6} + 20 a^{5} + 34 a^{4} + 22 a^{3} + 39 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 41^{2} + \left(11 a^{28} + 16 a^{27} + 11 a^{26} + 19 a^{25} + 10 a^{24} + 26 a^{23} + a^{22} + 12 a^{21} + 3 a^{20} + 21 a^{19} + 32 a^{18} + 13 a^{17} + 18 a^{16} + 24 a^{14} + 29 a^{13} + 16 a^{12} + a^{11} + 7 a^{10} + 19 a^{9} + 18 a^{8} + 29 a^{7} + 16 a^{6} + 2 a^{5} + 16 a^{4} + 7 a^{3} + a^{2} + 35 a + 4\right)\cdot 41^{3} + \left(24 a^{28} + 28 a^{27} + 7 a^{26} + 13 a^{25} + 30 a^{24} + 16 a^{23} + 38 a^{22} + 3 a^{21} + 23 a^{20} + 25 a^{19} + 38 a^{18} + 8 a^{17} + 12 a^{16} + 6 a^{15} + 35 a^{14} + 10 a^{12} + 38 a^{11} + 2 a^{10} + 14 a^{9} + 33 a^{8} + 31 a^{7} + 4 a^{6} + 36 a^{5} + 36 a^{4} + 22 a^{3} + 17 a^{2} + 16 a + 5\right)\cdot 41^{4} +O(41^{5})$$ $r_{ 8 }$ $=$ $$14 a^{28} + 16 a^{27} + 22 a^{26} + 3 a^{25} + 22 a^{24} + 5 a^{23} + 39 a^{22} + 17 a^{21} + 19 a^{20} + 25 a^{19} + 35 a^{18} + 29 a^{17} + 23 a^{16} + 17 a^{15} + 28 a^{14} + 30 a^{13} + 12 a^{12} + 4 a^{11} + 13 a^{10} + 15 a^{9} + 17 a^{8} + 27 a^{7} + 24 a^{6} + 9 a^{5} + 14 a^{4} + 12 a^{3} + 5 a^{2} + 30 a + 16 + \left(a^{28} + 15 a^{27} + 39 a^{26} + 7 a^{25} + 39 a^{24} + 23 a^{23} + 24 a^{22} + 3 a^{21} + 5 a^{20} + 11 a^{19} + 19 a^{18} + 11 a^{17} + 24 a^{16} + 38 a^{15} + 10 a^{14} + 7 a^{13} + 25 a^{12} + 38 a^{11} + 25 a^{10} + 25 a^{9} + 2 a^{8} + 20 a^{7} + 35 a^{6} + 4 a^{5} + 33 a^{4} + 26 a^{3} + 27 a^{2} + 12 a + 32\right)\cdot 41 + \left(32 a^{28} + 8 a^{27} + 27 a^{26} + 25 a^{25} + 10 a^{24} + 11 a^{23} + 35 a^{22} + 6 a^{21} + 28 a^{20} + a^{19} + 37 a^{18} + 19 a^{17} + 21 a^{16} + 6 a^{15} + 12 a^{14} + 26 a^{13} + 11 a^{12} + 36 a^{11} + 31 a^{10} + 36 a^{9} + 34 a^{8} + 18 a^{7} + 29 a^{6} + 27 a^{5} + 15 a^{4} + 10 a^{3} + 14 a^{2} + 29 a + 4\right)\cdot 41^{2} + \left(34 a^{28} + 23 a^{27} + 4 a^{26} + 20 a^{25} + 33 a^{24} + 16 a^{23} + 34 a^{22} + 35 a^{21} + 8 a^{20} + 4 a^{19} + 5 a^{18} + 33 a^{17} + 39 a^{16} + 18 a^{15} + 26 a^{14} + 26 a^{13} + 10 a^{12} + 13 a^{11} + 34 a^{10} + 35 a^{9} + 10 a^{8} + 34 a^{7} + 18 a^{6} + 39 a^{5} + 11 a^{4} + 36 a^{3} + 15 a^{2} + 14 a + 1\right)\cdot 41^{3} + \left(9 a^{28} + 29 a^{27} + 16 a^{26} + 9 a^{25} + 15 a^{24} + 24 a^{23} + 12 a^{22} + 34 a^{21} + 19 a^{20} + 9 a^{19} + 38 a^{18} + 13 a^{17} + 33 a^{16} + 14 a^{15} + 38 a^{12} + 9 a^{11} + 10 a^{10} + 15 a^{9} + 13 a^{7} + 37 a^{6} + 20 a^{4} + 18 a^{3} + 7 a^{2} + 37 a + 2\right)\cdot 41^{4} +O(41^{5})$$ $r_{ 9 }$ $=$ $$16 a^{28} + 3 a^{27} + 28 a^{26} + 34 a^{25} + 11 a^{24} + 27 a^{23} + 21 a^{22} + 18 a^{21} + 14 a^{20} + 39 a^{19} + 38 a^{18} + 22 a^{17} + 5 a^{16} + 3 a^{15} + 38 a^{14} + 20 a^{13} + 3 a^{12} + 7 a^{11} + 13 a^{10} + 11 a^{9} + 4 a^{8} + a^{7} + 12 a^{6} + 2 a^{5} + 19 a^{4} + 3 a^{3} + 25 a^{2} + 8 a + 10 + \left(28 a^{28} + 34 a^{27} + 20 a^{26} + 12 a^{25} + 25 a^{24} + 38 a^{23} + 14 a^{22} + 8 a^{21} + 13 a^{20} + 4 a^{19} + 27 a^{18} + 7 a^{17} + 24 a^{16} + 31 a^{15} + 8 a^{14} + 27 a^{13} + 2 a^{12} + 16 a^{11} + 31 a^{10} + 20 a^{9} + 21 a^{8} + 29 a^{7} + 23 a^{6} + 11 a^{5} + 2 a^{4} + 34 a^{3} + 33 a^{2} + 38\right)\cdot 41 + \left(14 a^{28} + 8 a^{27} + 2 a^{26} + 4 a^{25} + 10 a^{24} + 30 a^{23} + 22 a^{22} + 38 a^{21} + 35 a^{20} + 19 a^{19} + 20 a^{18} + 7 a^{17} + 23 a^{16} + 38 a^{15} + 37 a^{14} + 37 a^{13} + 5 a^{12} + 9 a^{11} + 10 a^{10} + 19 a^{9} + 20 a^{8} + 24 a^{7} + 6 a^{6} + a^{5} + 19 a^{4} + 15 a^{3} + 35 a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 41^{2} + \left(36 a^{28} + 23 a^{27} + 26 a^{26} + 17 a^{25} + 18 a^{24} + 19 a^{23} + 22 a^{22} + 18 a^{21} + 7 a^{20} + 30 a^{19} + 29 a^{18} + 38 a^{17} + 34 a^{16} + 25 a^{15} + 2 a^{14} + 36 a^{13} + 18 a^{12} + 37 a^{11} + 4 a^{10} + 5 a^{9} + 27 a^{8} + 30 a^{7} + 4 a^{6} + 38 a^{5} + 21 a^{4} + 20 a^{3} + 20 a^{2} + 8 a + 39\right)\cdot 41^{3} + \left(13 a^{28} + 23 a^{27} + 10 a^{26} + 10 a^{25} + 5 a^{24} + 23 a^{23} + 25 a^{22} + 31 a^{21} + 34 a^{20} + 40 a^{19} + 34 a^{18} + 12 a^{17} + 30 a^{16} + 12 a^{14} + 17 a^{13} + 15 a^{12} + 30 a^{11} + 21 a^{10} + 35 a^{9} + 34 a^{8} + 11 a^{7} + 21 a^{6} + 35 a^{5} + 28 a^{4} + 12 a^{3} + 5 a^{2} + 15 a + 15\right)\cdot 41^{4} +O(41^{5})$$ $r_{ 10 }$ $=$ $$16 a^{28} + 17 a^{27} + 11 a^{26} + 3 a^{25} + 33 a^{24} + 6 a^{23} + 10 a^{22} + 18 a^{20} + 16 a^{18} + 26 a^{17} + 36 a^{16} + 19 a^{15} + 3 a^{14} + 40 a^{13} + 18 a^{12} + 30 a^{11} + 30 a^{10} + 11 a^{9} + 32 a^{8} + 34 a^{7} + 10 a^{6} + 20 a^{5} + 12 a^{4} + 5 a^{3} + 25 a^{2} + 2 a + 10 + \left(18 a^{28} + a^{27} + 33 a^{26} + 32 a^{25} + 13 a^{24} + 20 a^{23} + 12 a^{22} + 7 a^{21} + 38 a^{19} + 28 a^{18} + 23 a^{17} + 4 a^{16} + 23 a^{15} + 28 a^{14} + 17 a^{13} + 23 a^{12} + 7 a^{11} + 18 a^{10} + 15 a^{9} + 27 a^{8} + 12 a^{7} + 24 a^{6} + 24 a^{5} + 4 a^{4} + 31 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 27\right)\cdot 41 + \left(36 a^{28} + 24 a^{27} + 25 a^{26} + 20 a^{25} + 11 a^{24} + 2 a^{23} + 20 a^{22} + 31 a^{21} + 25 a^{20} + 38 a^{19} + 7 a^{18} + 40 a^{17} + 29 a^{16} + 31 a^{15} + 18 a^{14} + 37 a^{13} + 36 a^{12} + 34 a^{11} + 7 a^{10} + 18 a^{9} + 17 a^{8} + 36 a^{7} + 19 a^{6} + 2 a^{5} + 10 a^{4} + 40 a^{3} + 29 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 41^{2} + \left(6 a^{28} + 28 a^{27} + 26 a^{26} + 36 a^{25} + 13 a^{24} + 38 a^{23} + 26 a^{22} + 10 a^{21} + 36 a^{20} + 23 a^{19} + 22 a^{17} + 32 a^{16} + 25 a^{15} + 37 a^{14} + 10 a^{13} + 23 a^{12} + 26 a^{11} + 3 a^{10} + 8 a^{9} + 26 a^{8} + 26 a^{6} + 33 a^{5} + 34 a^{4} + 35 a^{3} + 26 a^{2} + 38 a + 27\right)\cdot 41^{3} + \left(28 a^{28} + 4 a^{27} + 26 a^{26} + 21 a^{25} + 18 a^{24} + 19 a^{23} + 20 a^{22} + 11 a^{21} + 31 a^{20} + 27 a^{19} + 21 a^{18} + 35 a^{17} + 25 a^{16} + 8 a^{15} + 19 a^{14} + 3 a^{13} + 16 a^{12} + 39 a^{11} + 2 a^{10} + 17 a^{9} + 3 a^{8} + 18 a^{7} + 23 a^{6} + 2 a^{5} + 8 a^{4} + 26 a^{3} + 9 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 41^{4} +O(41^{5})$$ $r_{ 11 }$ $=$ $$16 a^{28} + 31 a^{27} + 33 a^{26} + 7 a^{25} + 28 a^{24} + 16 a^{23} + 11 a^{22} + 26 a^{21} + 30 a^{20} + 30 a^{19} + 29 a^{18} + 29 a^{17} + 7 a^{16} + 27 a^{15} + 11 a^{14} + 27 a^{13} + a^{12} + 35 a^{11} + 22 a^{10} + 23 a^{9} + 33 a^{8} + 39 a^{7} + 31 a^{6} + 37 a^{5} + 12 a^{4} + 27 a^{3} + 11 a^{2} + 40 a + 10 + \left(35 a^{28} + 27 a^{27} + 15 a^{26} + 29 a^{25} + 25 a^{24} + 14 a^{23} + 17 a^{22} + 14 a^{21} + 25 a^{20} + 29 a^{19} + a^{18} + 16 a^{17} + a^{16} + 25 a^{15} + 31 a^{14} + 16 a^{13} + 3 a^{12} + 34 a^{11} + 10 a^{10} + 22 a^{9} + 14 a^{8} + 17 a^{7} + 3 a^{6} + 14 a^{5} + 38 a^{4} + 18 a^{3} + 8 a^{2} + 26 a + 17\right)\cdot 41 + \left(7 a^{28} + 36 a^{26} + 13 a^{25} + 11 a^{24} + 33 a^{23} + 4 a^{22} + 40 a^{20} + 38 a^{19} + 27 a^{18} + 18 a^{17} + 20 a^{16} + 18 a^{15} + a^{14} + 24 a^{13} + 30 a^{12} + 8 a^{11} + 24 a^{10} + 15 a^{9} + 20 a^{8} + 18 a^{7} + 36 a^{6} + 18 a^{5} + 12 a^{4} + 29 a^{3} + 5 a^{2} + 11 a + 29\right)\cdot 41^{2} + \left(21 a^{28} + 17 a^{27} + 39 a^{26} + 6 a^{25} + 17 a^{24} + 17 a^{23} + 17 a^{22} + 17 a^{21} + 32 a^{20} + 33 a^{19} + 4 a^{18} + 5 a^{17} + 12 a^{16} + 36 a^{15} + 30 a^{14} + 35 a^{13} + 40 a^{12} + 22 a^{11} + 35 a^{10} + 8 a^{9} + 8 a^{8} + 30 a^{7} + 28 a^{6} + 24 a^{5} + 19 a^{4} + 20 a^{3} + 22 a^{2} + 38 a + 32\right)\cdot 41^{3} + \left(32 a^{28} + 16 a^{27} + 4 a^{26} + 12 a^{25} + 31 a^{24} + 26 a^{23} + 28 a^{22} + 10 a^{21} + 26 a^{20} + 23 a^{19} + 20 a^{18} + 36 a^{17} + 11 a^{16} + 18 a^{15} + 29 a^{14} + 4 a^{13} + 5 a^{12} + 11 a^{11} + 24 a^{10} + 32 a^{8} + 15 a^{7} + 39 a^{6} + a^{5} + 37 a^{4} + 17 a^{3} + 38 a^{2} + 21 a + 3\right)\cdot 41^{4} +O(41^{5})$$ $r_{ 12 }$ $=$ $$18 a^{28} + 5 a^{27} + 34 a^{26} + 36 a^{25} + 18 a^{24} + 34 a^{23} + 5 a^{22} + 2 a^{21} + 12 a^{20} + 36 a^{19} + 38 a^{18} + 32 a^{17} + 29 a^{16} + a^{15} + 27 a^{14} + a^{13} + 17 a^{12} + 3 a^{11} + 28 a^{10} + 7 a^{9} + 34 a^{8} + 17 a^{7} + 9 a^{6} + 35 a^{5} + 31 a^{4} + 26 a^{3} + 4 a^{2} + 21 a + 4 + \left(26 a^{28} + 26 a^{27} + 13 a^{26} + 27 a^{25} + 32 a^{24} + 14 a^{22} + 17 a^{21} + 39 a^{20} + 40 a^{19} + 17 a^{18} + 31 a^{17} + 3 a^{16} + 37 a^{15} + a^{14} + 23 a^{13} + 16 a^{12} + 3 a^{11} + 2 a^{10} + 2 a^{9} + 39 a^{8} + 28 a^{7} + 38 a^{6} + 35 a^{5} + 3 a^{4} + 19 a^{3} + a^{2} + 36 a + 8\right)\cdot 41 + \left(25 a^{28} + a^{27} + 11 a^{26} + 32 a^{25} + 15 a^{24} + 26 a^{23} + 7 a^{22} + 21 a^{21} + 7 a^{20} + 36 a^{19} + 25 a^{18} + 27 a^{16} + 22 a^{15} + a^{14} + 5 a^{13} + 27 a^{12} + 21 a^{11} + 27 a^{10} + 19 a^{9} + 26 a^{8} + 4 a^{7} + 9 a^{6} + 13 a^{5} + 6 a^{4} + 26 a^{3} + 8 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 41^{2} + \left(11 a^{28} + 15 a^{27} + 3 a^{26} + 19 a^{25} + 7 a^{24} + 37 a^{23} + 14 a^{22} + 15 a^{21} + 23 a^{20} + 32 a^{19} + 20 a^{18} + a^{17} + 5 a^{16} + 40 a^{15} + 35 a^{14} + 4 a^{13} + 33 a^{12} + 7 a^{11} + 2 a^{10} + 34 a^{9} + 4 a^{8} + 10 a^{7} + 29 a^{6} + 6 a^{5} + 36 a^{4} + 35 a^{3} + 19 a^{2} + 31 a + 3\right)\cdot 41^{3} + \left(22 a^{28} + 30 a^{27} + 5 a^{26} + 34 a^{25} + 24 a^{24} + a^{23} + 12 a^{22} + 34 a^{21} + 25 a^{20} + 23 a^{19} + 21 a^{18} + 21 a^{17} + 26 a^{16} + 30 a^{15} + 8 a^{14} + 8 a^{13} + 34 a^{12} + a^{11} + 25 a^{10} + 24 a^{9} + 16 a^{8} + 21 a^{7} + 16 a^{6} + 40 a^{5} + 17 a^{4} + 33 a^{3} + 27 a^{2} + 28 a + 11\right)\cdot 41^{4} +O(41^{5})$$ $r_{ 13 }$ $=$ $$23 a^{28} + 8 a^{27} + 23 a^{26} + 38 a^{25} + 40 a^{24} + 20 a^{23} + 27 a^{22} + 9 a^{21} + 39 a^{20} + 20 a^{19} + 38 a^{18} + 36 a^{17} + 21 a^{16} + 7 a^{15} + 28 a^{14} + 36 a^{13} + 30 a^{12} + 18 a^{11} + 3 a^{10} + 9 a^{9} + 19 a^{8} + 28 a^{7} + 16 a^{6} + 23 a^{5} + 29 a^{4} + 34 a^{3} + 10 a^{2} + 12 a + 30 + \left(14 a^{28} + 11 a^{27} + a^{26} + 38 a^{25} + 6 a^{24} + 21 a^{22} + 18 a^{21} + 35 a^{20} + 25 a^{19} + 26 a^{18} + 24 a^{17} + 34 a^{16} + 4 a^{15} + 17 a^{14} + 20 a^{13} + 14 a^{12} + 37 a^{11} + 36 a^{10} + 38 a^{9} + 11 a^{8} + 15 a^{7} + 16 a^{6} + 18 a^{5} + 20 a^{4} + 21 a^{3} + 24 a^{2} + 10 a + 35\right)\cdot 41 + \left(20 a^{28} + 33 a^{27} + 20 a^{26} + 34 a^{25} + 7 a^{24} + 36 a^{23} + 28 a^{22} + 34 a^{21} + 35 a^{20} + 22 a^{19} + 23 a^{18} + 7 a^{17} + 31 a^{16} + 5 a^{15} + 34 a^{14} + 22 a^{13} + 30 a^{12} + 28 a^{11} + 15 a^{10} + 9 a^{9} + 30 a^{8} + 26 a^{7} + 17 a^{6} + 33 a^{5} + 36 a^{4} + 31 a^{3} + 25 a^{2} + 8 a + 27\right)\cdot 41^{2} + \left(29 a^{28} + 12 a^{27} + 36 a^{26} + 6 a^{25} + 14 a^{24} + 9 a^{23} + 24 a^{22} + 38 a^{21} + 38 a^{20} + 5 a^{19} + 19 a^{18} + 11 a^{17} + 39 a^{16} + 33 a^{15} + 27 a^{14} + 3 a^{13} + 37 a^{12} + 30 a^{11} + 25 a^{10} + 23 a^{9} + 26 a^{8} + 11 a^{7} + 32 a^{6} + 26 a^{5} + 29 a^{4} + 8 a^{3} + 27 a^{2} + 18 a + 26\right)\cdot 41^{3} + \left(34 a^{28} + 9 a^{27} + 33 a^{26} + 19 a^{25} + 39 a^{24} + 40 a^{23} + 15 a^{22} + 36 a^{21} + 22 a^{20} + 37 a^{19} + 15 a^{18} + 35 a^{17} + 20 a^{16} + 28 a^{15} + 18 a^{14} + 37 a^{13} + 22 a^{12} + 11 a^{11} + 38 a^{10} + 28 a^{9} + 19 a^{8} + 31 a^{7} + 32 a^{6} + 24 a^{5} + 25 a^{4} + 14 a^{3} + 30 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 41^{4} +O(41^{5})$$ $r_{ 14 }$ $=$ $$23 a^{28} + 16 a^{27} + 25 a^{26} + 20 a^{25} + 4 a^{24} + 33 a^{23} + 2 a^{22} + 32 a^{21} + 30 a^{20} + 31 a^{19} + 26 a^{18} + 38 a^{17} + 7 a^{16} + 9 a^{15} + 40 a^{14} + 17 a^{12} + 29 a^{11} + 28 a^{10} + 23 a^{9} + 20 a^{8} + a^{7} + 10 a^{6} + 17 a^{5} + 3 a^{4} + 11 a^{3} + 11 a^{2} + 32 a + 30 + \left(24 a^{28} + 32 a^{27} + 13 a^{26} + 14 a^{25} + 16 a^{24} + 20 a^{23} + 28 a^{22} + 7 a^{21} + 21 a^{20} + 21 a^{19} + 17 a^{18} + 23 a^{17} + 21 a^{16} + 10 a^{15} + 27 a^{14} + 2 a^{13} + 37 a^{12} + 36 a^{11} + 5 a^{10} + 9 a^{9} + 30 a^{8} + 21 a^{7} + 30 a^{6} + 25 a^{5} + 15 a^{4} + 24 a^{3} + 22 a^{2} + 23 a + 5\right)\cdot 41 + \left(16 a^{28} + 37 a^{27} + 6 a^{26} + 16 a^{25} + 34 a^{24} + 18 a^{23} + 25 a^{22} + 19 a^{21} + 13 a^{20} + 11 a^{19} + 11 a^{18} + 26 a^{17} + 32 a^{16} + 37 a^{15} + 39 a^{14} + 24 a^{13} + 11 a^{11} + a^{10} + 12 a^{9} + 22 a^{8} + 7 a^{7} + 29 a^{6} + 38 a^{5} + 36 a^{4} + 27 a^{3} + 22 a^{2} + 18 a + 23\right)\cdot 41^{2} + \left(21 a^{28} + 17 a^{26} + 33 a^{25} + 29 a^{24} + 6 a^{23} + 16 a^{22} + 22 a^{21} + 39 a^{19} + 36 a^{18} + 3 a^{17} + 23 a^{16} + 11 a^{15} + 26 a^{14} + 25 a^{13} + 18 a^{12} + 37 a^{11} + 34 a^{10} + 6 a^{9} + 14 a^{8} + 30 a^{7} + 35 a^{6} + 34 a^{5} + 15 a^{4} + 26 a^{3} + 7 a^{2} + 32 a + 32\right)\cdot 41^{3} + \left(24 a^{28} + 2 a^{27} + 10 a^{26} + 29 a^{25} + 3 a^{24} + 29 a^{23} + 3 a^{22} + 24 a^{21} + a^{20} + 11 a^{19} + 30 a^{18} + 30 a^{17} + 8 a^{16} + 2 a^{15} + 9 a^{14} + 37 a^{13} + 26 a^{12} + 8 a^{11} + 4 a^{10} + 25 a^{9} + 35 a^{8} + 4 a^{7} + 33 a^{6} + 9 a^{5} + 10 a^{4} + 10 a^{3} + 30 a^{2} + 6 a + 20\right)\cdot 41^{4} +O(41^{5})$$ $r_{ 15 }$ $=$ $$24 a^{28} + 33 a^{27} + 6 a^{26} + 21 a^{25} + 37 a^{24} + 18 a^{23} + 31 a^{22} + 25 a^{21} + 39 a^{20} + 12 a^{19} + 23 a^{18} + 18 a^{17} + 18 a^{16} + 14 a^{15} + 4 a^{14} + 16 a^{13} + 15 a^{12} + 31 a^{11} + 21 a^{10} + 8 a^{9} + 23 a^{8} + 13 a^{7} + 28 a^{6} + 15 a^{5} + 4 a^{4} + 24 a^{3} + 31 a^{2} + 6 a + 27 + \left(3 a^{28} + 23 a^{27} + 40 a^{26} + 32 a^{25} + 39 a^{24} + 3 a^{23} + 36 a^{22} + 19 a^{21} + 37 a^{20} + 27 a^{19} + 15 a^{18} + 7 a^{17} + 39 a^{16} + 3 a^{15} + a^{14} + 17 a^{13} + 27 a^{12} + 10 a^{11} + 35 a^{10} + 19 a^{9} + 40 a^{8} + 40 a^{7} + 6 a^{6} + 18 a^{5} + 31 a^{4} + 3 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 41 + \left(3 a^{27} + 11 a^{26} + 37 a^{25} + 23 a^{24} + 6 a^{23} + 23 a^{22} + 31 a^{21} + 2 a^{20} + 24 a^{19} + 26 a^{18} + 15 a^{17} + 29 a^{16} + a^{15} + 33 a^{14} + 23 a^{13} + 19 a^{12} + 10 a^{11} + 26 a^{10} + 27 a^{9} + 11 a^{8} + 3 a^{7} + 33 a^{6} + 14 a^{5} + 18 a^{4} + 20 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 15\right)\cdot 41^{2} + \left(12 a^{28} + 9 a^{27} + 38 a^{26} + 40 a^{25} + 29 a^{24} + 36 a^{23} + 30 a^{22} + 11 a^{21} + 4 a^{20} + 15 a^{19} + a^{18} + 3 a^{17} + 9 a^{16} + 20 a^{15} + 12 a^{14} + 19 a^{13} + 22 a^{12} + 19 a^{11} + a^{10} + 27 a^{9} + 38 a^{8} + 28 a^{7} + 3 a^{6} + 14 a^{5} + 12 a^{4} + 6 a^{3} + 37 a^{2} + 37 a + 40\right)\cdot 41^{3} + \left(31 a^{28} + 9 a^{27} + 34 a^{26} + 23 a^{25} + 25 a^{24} + 7 a^{23} + 17 a^{22} + 37 a^{21} + 28 a^{20} + 23 a^{19} + 32 a^{18} + 31 a^{17} + 39 a^{16} + 38 a^{15} + 3 a^{14} + 13 a^{13} + 34 a^{12} + 16 a^{11} + 31 a^{10} + 33 a^{9} + 17 a^{8} + 29 a^{7} + 8 a^{6} + 9 a^{5} + 37 a^{4} + 18 a^{3} + 22 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 41^{4} +O(41^{5})$$ $r_{ 16 }$ $=$ $$25 a^{28} + 21 a^{27} + 40 a^{26} + 23 a^{25} + 24 a^{24} + 36 a^{23} + 18 a^{22} + 19 a^{21} + 36 a^{20} + 15 a^{19} + 15 a^{18} + 26 a^{17} + a^{16} + 27 a^{15} + 37 a^{14} + 31 a^{13} + 14 a^{12} + 35 a^{11} + 3 a^{10} + 37 a^{9} + 35 a^{8} + 22 a^{7} + 16 a^{6} + 17 a^{5} + 30 a^{4} + 30 a^{3} + 30 a^{2} + 14 a + 24 + \left(8 a^{28} + 29 a^{27} + 30 a^{26} + 22 a^{25} + 35 a^{24} + 22 a^{23} + 32 a^{22} + 5 a^{21} + 9 a^{20} + 20 a^{19} + 7 a^{18} + 30 a^{17} + 26 a^{16} + 39 a^{15} + 2 a^{14} + 8 a^{13} + 19 a^{12} + 19 a^{11} + 31 a^{10} + 13 a^{9} + 39 a^{8} + a^{7} + 23 a^{6} + 20 a^{5} + 13 a^{4} + 40 a^{3} + 39 a^{2} + 10 a + 17\right)\cdot 41 + \left(39 a^{28} + 9 a^{27} + 26 a^{26} + 15 a^{25} + 33 a^{24} + 38 a^{23} + 4 a^{22} + 15 a^{21} + 35 a^{20} + a^{19} + 20 a^{17} + 21 a^{16} + 18 a^{15} + 36 a^{14} + 20 a^{13} + 8 a^{12} + 11 a^{11} + 35 a^{10} + 9 a^{9} + 33 a^{8} + 35 a^{7} + 32 a^{6} + 6 a^{5} + 9 a^{4} + 20 a^{3} + 23 a^{2} + 27 a + 28\right)\cdot 41^{2} + \left(40 a^{28} + 22 a^{27} + 8 a^{26} + 40 a^{25} + 8 a^{24} + 38 a^{23} + 25 a^{22} + 17 a^{21} + 4 a^{20} + 21 a^{19} + 28 a^{18} + 30 a^{17} + 6 a^{16} + 18 a^{15} + 36 a^{14} + 16 a^{12} + 35 a^{11} + 33 a^{10} + 25 a^{9} + a^{8} + 24 a^{7} + 20 a^{6} + 35 a^{5} + 25 a^{4} + 3 a^{3} + 15 a^{2} + 17 a + 3\right)\cdot 41^{3} + \left(2 a^{28} + 22 a^{27} + 27 a^{26} + 28 a^{25} + 38 a^{24} + 28 a^{23} + 27 a^{22} + 40 a^{21} + 20 a^{20} + 6 a^{19} + 15 a^{18} + 19 a^{17} + 36 a^{16} + 32 a^{15} + 19 a^{14} + 8 a^{13} + 2 a^{12} + 13 a^{11} + 13 a^{10} + 30 a^{9} + 30 a^{8} + 16 a^{7} + 27 a^{6} + 2 a^{5} + 32 a^{4} + 7 a^{3} + 6 a^{2} + 22 a + 22\right)\cdot 41^{4} +O(41^{5})$$ $r_{ 17 }$ $=$ $$27 a^{28} + 16 a^{27} + 34 a^{26} + 23 a^{25} + 37 a^{24} + 33 a^{23} + 16 a^{22} + 34 a^{21} + 12 a^{20} + 17 a^{19} + 18 a^{17} + 35 a^{16} + 18 a^{15} + 11 a^{14} + 26 a^{13} + 15 a^{12} + 35 a^{11} + 10 a^{10} + 5 a^{9} + 18 a^{8} + 36 a^{7} + 34 a^{6} + 23 a^{5} + 8 a^{4} + 31 a^{3} + 33 a^{2} + 17 a + 18 + \left(36 a^{28} + 14 a^{27} + 2 a^{26} + 29 a^{25} + 11 a^{24} + 29 a^{23} + 21 a^{22} + 37 a^{21} + 37 a^{20} + 25 a^{19} + 24 a^{18} + 17 a^{17} + 27 a^{16} + 4 a^{15} + 32 a^{14} + 5 a^{13} + 13 a^{12} + 20 a^{11} + 10 a^{10} + 31 a^{9} + 33 a^{8} + 32 a^{7} + 9 a^{6} + 3 a^{5} + 37 a^{4} + 26 a^{3} + 8 a^{2} + 15 a + 20\right)\cdot 41 + \left(37 a^{28} + 25 a^{27} + 37 a^{26} + 26 a^{25} + 8 a^{24} + 35 a^{23} + 9 a^{22} + 34 a^{21} + 34 a^{20} + a^{19} + 15 a^{18} + 11 a^{17} + 6 a^{16} + 3 a^{15} + 30 a^{14} + 19 a^{13} + 14 a^{12} + 4 a^{11} + 38 a^{10} + 4 a^{9} + 5 a^{8} + 21 a^{7} + 37 a^{6} + 33 a^{5} + 19 a^{4} + 37 a^{3} + 5 a + 10\right)\cdot 41^{2} + \left(14 a^{28} + 29 a^{27} + 3 a^{26} + 26 a^{25} + 29 a^{24} + 12 a^{23} + 5 a^{22} + 14 a^{21} + 23 a^{20} + 7 a^{19} + 30 a^{18} + 15 a^{17} + 32 a^{16} + 28 a^{15} + 30 a^{14} + 13 a^{13} + 33 a^{12} + 5 a^{11} + 5 a^{10} + 22 a^{9} + 11 a^{8} + 18 a^{7} + 10 a^{6} + 34 a^{5} + 29 a^{4} + 4 a^{3} + 23 a^{2} + 23 a + 16\right)\cdot 41^{3} + \left(10 a^{28} + 17 a^{27} + 2 a^{26} + 40 a^{25} + 8 a^{24} + 3 a^{23} + 8 a^{22} + 27 a^{21} + 20 a^{20} + 22 a^{19} + 27 a^{18} + 35 a^{17} + 10 a^{16} + 35 a^{15} + 28 a^{14} + 6 a^{13} + 18 a^{12} + 6 a^{11} + 23 a^{10} + 28 a^{9} + 18 a^{8} + 22 a^{7} + 29 a^{6} + 26 a^{5} + 34 a^{4} + 5 a^{3} + 10 a^{2} + 32 a + 18\right)\cdot 41^{4} +O(41^{5})$$ $r_{ 18 }$ $=$ $$29 a^{28} + 3 a^{27} + a^{26} + 17 a^{25} + 31 a^{24} + 9 a^{23} + 20 a^{22} + 7 a^{21} + 23 a^{20} + 13 a^{19} + 27 a^{18} + 34 a^{17} + 30 a^{16} + 28 a^{15} + 28 a^{14} + 18 a^{13} + 39 a^{12} + 21 a^{11} + 22 a^{10} + 12 a^{9} + 19 a^{8} + a^{7} + 11 a^{6} + 37 a^{5} + 34 a^{4} + 7 a^{3} + 36 a^{2} + 10 a + 12 + \left(10 a^{28} + 20 a^{27} + 12 a^{26} + 17 a^{25} + 6 a^{24} + 26 a^{23} + 9 a^{22} + 25 a^{21} + 39 a^{20} + 21 a^{19} + 11 a^{18} + 9 a^{17} + 13 a^{16} + 17 a^{15} + 12 a^{14} + 36 a^{13} + 27 a^{12} + 35 a^{11} + 33 a^{10} + 4 a^{9} + 24 a^{8} + 30 a^{7} + 9 a^{6} + 39 a^{5} + 37 a^{4} + 24 a^{3} + 18 a^{2} + 8 a + 21\right)\cdot 41 + \left(40 a^{28} + 11 a^{27} + 9 a^{25} + 13 a^{24} + 12 a^{23} + 18 a^{22} + 5 a^{21} + 25 a^{20} + 14 a^{19} + 40 a^{18} + 14 a^{17} + 17 a^{16} + 12 a^{15} + 20 a^{14} + 16 a^{13} + 15 a^{12} + 23 a^{11} + 12 a^{10} + 13 a^{9} + 35 a^{8} + 18 a^{7} + 25 a^{6} + 23 a^{5} + 16 a^{4} + 11 a^{3} + 40 a^{2} + 25 a + 10\right)\cdot 41^{2} + \left(3 a^{28} + 12 a^{27} + a^{26} + 9 a^{25} + 6 a^{24} + 36 a^{23} + 7 a^{22} + 38 a^{21} + 22 a^{20} + 36 a^{19} + 40 a^{18} + 36 a^{17} + 13 a^{16} + 31 a^{15} + 31 a^{14} + 27 a^{13} + 16 a^{12} + 17 a^{11} + a^{10} + 21 a^{9} + 29 a^{8} + 15 a^{7} + 11 a^{6} + 5 a^{5} + 35 a^{4} + 27 a^{3} + 6 a^{2} + 32 a + 37\right)\cdot 41^{3} + \left(15 a^{28} + 40 a^{27} + 38 a^{26} + 28 a^{25} + 39 a^{24} + 14 a^{23} + 14 a^{22} + 4 a^{21} + 2 a^{20} + 27 a^{19} + 36 a^{18} + 26 a^{16} + 7 a^{15} + 5 a^{14} + 40 a^{13} + 24 a^{12} + 29 a^{11} + 31 a^{10} + 27 a^{9} + 38 a^{8} + 9 a^{7} + 10 a^{6} + 3 a^{5} + 4 a^{4} + 10 a^{3} + 13 a^{2} + 4 a + 26\right)\cdot 41^{4} +O(41^{5})$$ $r_{ 19 }$ $=$ $$29 a^{28} + 6 a^{27} + 18 a^{26} + 38 a^{25} + 25 a^{24} + 32 a^{23} + 18 a^{22} + 22 a^{21} + 9 a^{20} + 18 a^{19} + 28 a^{18} + 2 a^{17} + 15 a^{16} + 16 a^{15} + 38 a^{14} + 18 a^{13} + 27 a^{12} + 34 a^{11} + 6 a^{10} + 22 a^{9} + 23 a^{8} + 37 a^{7} + 20 a^{6} + 24 a^{5} + 38 a^{4} + 5 a^{3} + 21 a^{2} + 22 a + 12 + \left(12 a^{28} + 33 a^{27} + 29 a^{26} + 14 a^{25} + 17 a^{24} + 16 a^{23} + 22 a^{22} + 35 a^{21} + 19 a^{20} + 29 a^{19} + 2 a^{18} + 31 a^{17} + 35 a^{16} + 39 a^{15} + 29 a^{14} + 20 a^{13} + 37 a^{12} + 3 a^{11} + 39 a^{10} + 29 a^{9} + 6 a^{8} + 19 a^{7} + 20 a^{6} + 18 a^{5} + 39 a^{4} + 16 a^{3} + 14 a^{2} + 33 a + 15\right)\cdot 41 + \left(27 a^{28} + 18 a^{27} + 40 a^{26} + 17 a^{24} + 13 a^{23} + 32 a^{22} + 36 a^{21} + 23 a^{20} + a^{19} + 28 a^{18} + 6 a^{17} + 34 a^{16} + 8 a^{15} + 16 a^{14} + 30 a^{13} + 24 a^{12} + 6 a^{11} + 35 a^{10} + 21 a^{9} + 13 a^{8} + 14 a^{7} + 7 a^{6} + 39 a^{5} + 38 a^{4} + 3 a^{3} + 20 a^{2} + 11 a + 13\right)\cdot 41^{2} + \left(13 a^{28} + 35 a^{27} + 3 a^{26} + 38 a^{25} + 23 a^{24} + 30 a^{23} + 19 a^{22} + 5 a^{21} + 3 a^{20} + 22 a^{19} + 10 a^{18} + 8 a^{17} + 25 a^{16} + 20 a^{15} + 40 a^{14} + 20 a^{13} + 22 a^{12} + 32 a^{11} + 27 a^{9} + 37 a^{8} + 26 a^{7} + 21 a^{6} + 39 a^{5} + 36 a^{4} + 26 a^{3} + 24 a^{2} + 25 a + 27\right)\cdot 41^{3} + \left(20 a^{28} + 25 a^{27} + 21 a^{26} + 5 a^{25} + 11 a^{24} + 18 a^{23} + 8 a^{22} + 4 a^{21} + 27 a^{20} + 29 a^{19} + 13 a^{18} + 23 a^{17} + 32 a^{16} + 2 a^{15} + 39 a^{14} + 16 a^{13} + 5 a^{12} + 13 a^{11} + 33 a^{10} + 39 a^{9} + 21 a^{8} + 11 a^{7} + 4 a^{6} + 16 a^{5} + 17 a^{4} + 20 a^{3} + 20 a^{2} + 8 a + 34\right)\cdot 41^{4} +O(41^{5})$$ $r_{ 20 }$ $=$ $$29 a^{28} + 19 a^{27} + 21 a^{26} + 9 a^{25} + 7 a^{23} + 24 a^{22} + a^{21} + 29 a^{20} + 23 a^{19} + 37 a^{18} + 21 a^{17} + 34 a^{16} + 19 a^{15} + 33 a^{14} + 38 a^{13} + 20 a^{12} + 29 a^{11} + 29 a^{10} + 19 a^{9} + 34 a^{7} + 21 a^{6} + 21 a^{5} + 11 a^{4} + 29 a^{3} + a^{2} + 3 a + 12 + \left(9 a^{28} + 32 a^{27} + 9 a^{26} + 19 a^{25} + 8 a^{24} + 38 a^{23} + 6 a^{22} + 21 a^{21} + 33 a^{20} + 40 a^{19} + 31 a^{18} + 12 a^{17} + 28 a^{16} + 28 a^{15} + 25 a^{14} + 39 a^{13} + 23 a^{12} + 16 a^{11} + 16 a^{10} + 27 a^{9} + 38 a^{8} + 29 a^{7} + 27 a^{6} + 28 a^{5} + 40 a^{4} + 33 a^{3} + 36 a^{2} + 33 a + 24\right)\cdot 41 + \left(36 a^{28} + 21 a^{27} + 5 a^{26} + a^{25} + 34 a^{24} + 22 a^{23} + 24 a^{22} + 26 a^{21} + 7 a^{20} + 38 a^{19} + 13 a^{18} + 24 a^{17} + 37 a^{16} + 6 a^{15} + 38 a^{14} + 19 a^{13} + 20 a^{12} + 9 a^{11} + 20 a^{10} + 31 a^{9} + 31 a^{8} + 35 a^{7} + 21 a^{6} + 17 a^{4} + 7 a^{3} + 33 a^{2} + 23 a + 40\right)\cdot 41^{2} + \left(34 a^{28} + 14 a^{27} + 12 a^{26} + 37 a^{25} + 2 a^{24} + 31 a^{23} + 35 a^{22} + 35 a^{21} + 31 a^{19} + 10 a^{18} + 20 a^{17} + 27 a^{16} + 13 a^{15} + 29 a^{14} + 15 a^{13} + 19 a^{12} + 20 a^{11} + 26 a^{10} + 9 a^{9} + 27 a^{8} + 20 a^{7} + 8 a^{6} + 23 a^{5} + 32 a^{4} + 29 a^{3} + 24 a^{2} + 40 a\right)\cdot 41^{3} + \left(16 a^{28} + 36 a^{27} + 3 a^{26} + 36 a^{25} + 37 a^{24} + 40 a^{23} + 27 a^{22} + 36 a^{21} + 3 a^{20} + 36 a^{19} + 38 a^{18} + 40 a^{17} + 21 a^{16} + 7 a^{15} + 10 a^{14} + 4 a^{13} + 9 a^{12} + 13 a^{11} + a^{10} + 18 a^{9} + 23 a^{8} + 5 a^{7} + a^{6} + 8 a^{5} + 36 a^{4} + 8 a^{3} + 39 a^{2} + 4 a + 39\right)\cdot 41^{4} +O(41^{5})$$ $r_{ 21 }$ $=$ $$31 a^{28} + 13 a^{27} + 17 a^{26} + 22 a^{25} + 27 a^{24} + 19 a^{23} + 37 a^{22} + 14 a^{21} + 17 a^{20} + 34 a^{19} + 6 a^{18} + a^{17} + 19 a^{16} + 35 a^{15} + 38 a^{14} + 14 a^{13} + 40 a^{12} + 3 a^{11} + 13 a^{9} + 34 a^{8} + 38 a^{7} + 33 a^{6} + 36 a^{5} + 26 a^{4} + 13 a^{3} + 11 a^{2} + 38 a + 6 + \left(24 a^{28} + a^{27} + 40 a^{25} + 6 a^{24} + 31 a^{23} + 11 a^{22} + 3 a^{21} + 30 a^{20} + 31 a^{19} + 33 a^{18} + 30 a^{17} + 16 a^{16} + 24 a^{15} + 24 a^{14} + 13 a^{13} + 8 a^{12} + 36 a^{11} + 29 a^{10} + 21 a^{9} + 22 a^{8} + 18 a^{7} + 12 a^{6} + 23 a^{5} + 2 a^{4} + 15 a^{3} + a + 25\right)\cdot 41 + \left(28 a^{28} + 25 a^{27} + 25 a^{26} + 30 a^{25} + 29 a^{24} + 27 a^{23} + 9 a^{22} + 33 a^{21} + 32 a^{20} + 11 a^{19} + 20 a^{18} + 33 a^{17} + 29 a^{16} + 30 a^{15} + 28 a^{14} + 32 a^{13} + 11 a^{12} + 25 a^{11} + 36 a^{10} + 29 a^{9} + 8 a^{8} + 31 a^{7} + 21 a^{6} + 5 a^{5} + 13 a^{4} + 7 a^{3} + 35 a^{2} + 11 a + 29\right)\cdot 41^{2} + \left(38 a^{28} + 28 a^{27} + 9 a^{26} + 13 a^{25} + 2 a^{24} + 19 a^{23} + 30 a^{22} + 34 a^{21} + 37 a^{20} + 28 a^{19} + 28 a^{18} + 26 a^{17} + 35 a^{16} + 36 a^{15} + 6 a^{14} + 28 a^{13} + 4 a^{12} + 21 a^{11} + 34 a^{10} + 38 a^{9} + 38 a^{8} + 24 a^{7} + 17 a^{6} + 30 a^{5} + 15 a^{4} + 20 a^{3} + 14 a^{2} + 3 a + 34\right)\cdot 41^{3} + \left(a^{28} + 26 a^{27} + 10 a^{26} + 31 a^{25} + 29 a^{24} + 38 a^{23} + 5 a^{22} + 17 a^{21} + 20 a^{20} + 27 a^{19} + 36 a^{18} + 39 a^{17} + 12 a^{16} + 22 a^{15} + 6 a^{14} + 19 a^{13} + 27 a^{12} + 13 a^{11} + 14 a^{10} + 23 a^{9} + 25 a^{8} + 27 a^{7} + 14 a^{6} + 20 a^{5} + 38 a^{4} + 33 a^{3} + 36 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 41^{4} +O(41^{5})$$ $r_{ 22 }$ $=$ $$32 a^{28} + 25 a^{27} + 10 a^{26} + 21 a^{25} + 4 a^{24} + 26 a^{23} + 35 a^{22} + a^{21} + 32 a^{20} + 32 a^{19} + 39 a^{18} + 40 a^{17} + 6 a^{16} + 38 a^{15} + 7 a^{14} + 11 a^{13} + 21 a^{12} + 5 a^{11} + 37 a^{10} + 17 a^{9} + 16 a^{8} + 34 a^{7} + 12 a^{6} + 30 a^{5} + 10 a^{4} + 9 a^{3} + 19 a^{2} + 4 a + 3 + \left(39 a^{28} + 24 a^{26} + 18 a^{25} + 8 a^{24} + 27 a^{23} + 16 a^{22} + 37 a^{21} + 35 a^{20} + 5 a^{17} + 21 a^{16} + 18 a^{15} + 23 a^{14} + 34 a^{13} + 33 a^{12} + 4 a^{11} + 8 a^{10} + 34 a^{9} + 19 a^{8} + 30 a^{7} + 4 a^{6} + a^{5} + 25 a^{4} + 15 a^{3} + 39 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 41 + \left(24 a^{28} + 39 a^{27} + a^{26} + 33 a^{25} + 30 a^{24} + 10 a^{23} + 11 a^{22} + 28 a^{21} + 22 a^{20} + 14 a^{19} + 18 a^{18} + 26 a^{17} + 4 a^{16} + 13 a^{15} + 29 a^{14} + 37 a^{13} + 25 a^{12} + 36 a^{11} + 4 a^{10} + 38 a^{9} + 13 a^{8} + 27 a^{7} + 35 a^{6} + 39 a^{5} + 24 a^{4} + 4 a^{3} + 29 a^{2} + 27 a + 32\right)\cdot 41^{2} + \left(14 a^{28} + 39 a^{27} + a^{26} + 8 a^{25} + 40 a^{24} + 19 a^{23} + 27 a^{22} + 36 a^{21} + 2 a^{20} + 25 a^{19} + 7 a^{18} + 8 a^{17} + 32 a^{16} + 38 a^{15} + 30 a^{14} + 10 a^{13} + 39 a^{12} + 34 a^{11} + 17 a^{10} + 40 a^{9} + 22 a^{7} + 11 a^{6} + 30 a^{5} + 15 a^{4} + 19 a^{3} + 39 a^{2} + 36 a + 20\right)\cdot 41^{3} + \left(4 a^{28} + 25 a^{27} + 32 a^{26} + 35 a^{25} + 29 a^{24} + 6 a^{23} + 6 a^{22} + 33 a^{20} + 8 a^{19} + 13 a^{18} + 30 a^{17} + 26 a^{16} + 20 a^{15} + 28 a^{14} + 16 a^{13} + 38 a^{12} + 21 a^{11} + 11 a^{10} + 21 a^{9} + 32 a^{8} + 16 a^{7} + 8 a^{5} + 22 a^{4} + 10 a^{3} + 5 a^{2} + 28 a + 16\right)\cdot 41^{4} +O(41^{5})$$ $r_{ 23 }$ $=$ $$32 a^{28} + 40 a^{27} + 30 a^{26} + 19 a^{25} + 40 a^{24} + 35 a^{23} + 36 a^{22} + 22 a^{21} + 34 a^{20} + 7 a^{19} + 10 a^{18} + 35 a^{17} + 32 a^{16} + 20 a^{15} + 6 a^{14} + 23 a^{13} + 31 a^{12} + 11 a^{11} + 6 a^{10} + 30 a^{9} + 7 a^{8} + 31 a^{7} + 5 a^{6} + 39 a^{4} + 40 a^{3} + 20 a^{2} + 26 a + 3 + \left(12 a^{28} + 33 a^{27} + 40 a^{26} + 14 a^{25} + 28 a^{24} + 38 a^{23} + 7 a^{21} + 10 a^{20} + 34 a^{19} + 6 a^{18} + 5 a^{17} + 6 a^{16} + 17 a^{15} + 13 a^{14} + 36 a^{13} + 6 a^{12} + 31 a^{11} + 5 a^{10} + 13 a^{9} + 6 a^{8} + 36 a^{7} + 33 a^{6} + 40 a^{5} + 26 a^{4} + 29 a^{3} + 16 a^{2} + 22 a + 2\right)\cdot 41 + \left(35 a^{28} + 11 a^{27} + 6 a^{26} + 15 a^{25} + 17 a^{24} + 9 a^{23} + 23 a^{22} + 16 a^{21} + 16 a^{20} + 14 a^{19} + 29 a^{18} + 31 a^{17} + 36 a^{16} + 34 a^{15} + 22 a^{13} + 12 a^{12} + a^{11} + 21 a^{10} + 24 a^{9} + 40 a^{8} + 24 a^{7} + 17 a^{6} + 36 a^{5} + 37 a^{4} + 17 a^{3} + 17 a + 36\right)\cdot 41^{2} + \left(38 a^{28} + 16 a^{27} + 31 a^{26} + 10 a^{25} + 19 a^{24} + 20 a^{23} + 30 a^{22} + 40 a^{21} + 6 a^{20} + 18 a^{19} + 5 a^{18} + 12 a^{17} + 30 a^{16} + 6 a^{15} + 37 a^{14} + 37 a^{13} + 25 a^{12} + 21 a^{11} + 15 a^{10} + 21 a^{9} + 4 a^{8} + 40 a^{7} + 34 a^{6} + 17 a^{5} + 33 a^{4} + 16 a^{3} + 38 a^{2} + 3 a + 26\right)\cdot 41^{3} + \left(5 a^{28} + 14 a^{27} + 14 a^{26} + 2 a^{25} + 2 a^{24} + 29 a^{23} + 11 a^{22} + 17 a^{21} + 25 a^{20} + 23 a^{19} + 2 a^{18} + 29 a^{17} + 33 a^{16} + 39 a^{15} + 36 a^{14} + 7 a^{13} + 26 a^{12} + 14 a^{11} + 10 a^{10} + 11 a^{9} + a^{8} + 10 a^{7} + 34 a^{6} + 22 a^{5} + 24 a^{4} + 10 a^{3} + 18 a^{2} + 25 a + 33\right)\cdot 41^{4} +O(41^{5})$$ $r_{ 24 }$ $=$ $$36 a^{28} + 26 a^{27} + 19 a^{26} + 19 a^{25} + 3 a^{24} + 38 a^{23} + 30 a^{22} + 13 a^{21} + 4 a^{20} + 3 a^{19} + 28 a^{18} + 3 a^{17} + 31 a^{16} + 14 a^{15} + 23 a^{14} + 38 a^{13} + 35 a^{11} + 4 a^{10} + 6 a^{9} + 17 a^{8} + 16 a^{7} + 15 a^{6} + 29 a^{5} + 2 a^{4} + 11 a^{3} + 30 a^{2} + 32 a + 32 + \left(17 a^{28} + 33 a^{27} + 3 a^{26} + 38 a^{25} + 12 a^{24} + 9 a^{23} + 21 a^{22} + 22 a^{21} + 24 a^{20} + 21 a^{19} + 36 a^{18} + 16 a^{17} + 40 a^{16} + 36 a^{15} + 33 a^{14} + 27 a^{12} + 25 a^{11} + 19 a^{10} + 31 a^{9} + 22 a^{8} + 3 a^{7} + a^{6} + 22 a^{5} + 10 a^{4} + 17 a^{3} + 29 a^{2} + 11 a + 37\right)\cdot 41 + \left(26 a^{28} + 25 a^{27} + 10 a^{26} + 38 a^{25} + 6 a^{24} + 19 a^{23} + 37 a^{22} + 40 a^{21} + 16 a^{20} + 13 a^{18} + 26 a^{17} + 10 a^{16} + 11 a^{15} + 5 a^{14} + 34 a^{13} + 13 a^{12} + 16 a^{11} + 5 a^{10} + 32 a^{9} + 5 a^{8} + 34 a^{7} + 22 a^{6} + 8 a^{5} + 6 a^{4} + 11 a^{3} + 35 a^{2} + 40 a + 34\right)\cdot 41^{2} + \left(8 a^{28} + 11 a^{27} + 12 a^{26} + 10 a^{25} + 4 a^{24} + 25 a^{23} + 13 a^{22} + 12 a^{21} + 3 a^{20} + 40 a^{19} + 20 a^{18} + 12 a^{17} + 29 a^{16} + 9 a^{15} + 21 a^{14} + 37 a^{13} + 24 a^{12} + 15 a^{11} + 33 a^{10} + 30 a^{9} + 32 a^{8} + 6 a^{7} + 8 a^{6} + 26 a^{3} + 32 a^{2} + 26 a + 20\right)\cdot 41^{3} + \left(39 a^{28} + 36 a^{27} + 6 a^{25} + 16 a^{24} + 14 a^{23} + 25 a^{22} + 26 a^{21} + 14 a^{20} + 40 a^{19} + 27 a^{18} + 16 a^{17} + 38 a^{16} + 32 a^{15} + 40 a^{14} + 6 a^{13} + 27 a^{12} + 34 a^{11} + 27 a^{10} + 24 a^{9} + 21 a^{8} + 28 a^{7} + 13 a^{6} + 18 a^{5} + 40 a^{4} + 26 a^{3} + 32 a^{2} + 36 a + 35\right)\cdot 41^{4} +O(41^{5})$$ $r_{ 25 }$ $=$ $$37 a^{28} + 10 a^{27} + 10 a^{26} + 15 a^{25} + 28 a^{24} + 7 a^{23} + 9 a^{22} + 29 a^{21} + 14 a^{20} + 8 a^{19} + 12 a^{18} + 5 a^{17} + 16 a^{16} + 13 a^{15} + 33 a^{14} + 33 a^{13} + 3 a^{12} + 31 a^{11} + 3 a^{10} + 25 a^{9} + 3 a^{8} + 37 a^{7} + 20 a^{6} + 7 a^{5} + 19 a^{4} + 32 a^{3} + 40 a^{2} + 27 a + 29 + \left(33 a^{28} + 14 a^{27} + 18 a^{26} + 5 a^{25} + 37 a^{24} + 2 a^{23} + 25 a^{22} + 37 a^{21} + 8 a^{20} + 17 a^{19} + 27 a^{18} + 31 a^{17} + 37 a^{16} + 7 a^{15} + 16 a^{14} + 4 a^{13} + 4 a^{12} + 9 a^{11} + 35 a^{10} + 18 a^{9} + 32 a^{8} + 17 a^{7} + 25 a^{6} + 25 a^{5} + 40 a^{4} + 3 a^{3} + 17 a^{2} + 31 a + 12\right)\cdot 41 + \left(12 a^{28} + 37 a^{27} + 10 a^{26} + 13 a^{24} + a^{23} + 16 a^{22} + 3 a^{21} + 24 a^{20} + 8 a^{19} + 14 a^{18} + 25 a^{17} + 12 a^{16} + 14 a^{15} + 24 a^{14} + 29 a^{13} + 21 a^{12} + 23 a^{11} + 5 a^{9} + 28 a^{8} + 34 a^{7} + 29 a^{6} + 8 a^{5} + 8 a^{4} + 28 a^{3} + 14 a^{2} + 40 a + 8\right)\cdot 41^{2} + \left(12 a^{28} + 24 a^{27} + a^{26} + 12 a^{25} + 33 a^{24} + 19 a^{23} + 28 a^{22} + 28 a^{21} + 38 a^{20} + 17 a^{19} + 35 a^{18} + 26 a^{17} + 20 a^{16} + 2 a^{15} + a^{14} + 8 a^{13} + 28 a^{12} + 23 a^{11} + 19 a^{10} + 3 a^{9} + 34 a^{8} + 10 a^{7} + 19 a^{6} + 2 a^{5} + 27 a^{4} + 32 a^{3} + 22 a^{2} + 22 a + 37\right)\cdot 41^{3} + \left(39 a^{27} + 24 a^{26} + 39 a^{25} + 8 a^{24} + 10 a^{23} + 21 a^{22} + 25 a^{21} + 37 a^{20} + a^{19} + 14 a^{17} + 21 a^{16} + 4 a^{15} + 9 a^{14} + 38 a^{13} + 38 a^{12} + 20 a^{11} + 39 a^{10} + 13 a^{9} + 32 a^{8} + 30 a^{7} + 25 a^{6} + 39 a^{5} + 32 a^{3} + a^{2} + 10 a + 17\right)\cdot 41^{4} +O(41^{5})$$ $r_{ 26 }$ $=$ $$37 a^{28} + 26 a^{27} + 12 a^{26} + 4 a^{25} + 10 a^{24} + 20 a^{23} + 30 a^{22} + 31 a^{21} + 23 a^{20} + 3 a^{19} + 24 a^{18} + 11 a^{17} + 2 a^{16} + 23 a^{15} + 33 a^{14} + 16 a^{13} + 18 a^{12} + 23 a^{11} + 2 a^{10} + 8 a^{9} + 28 a^{8} + 11 a^{7} + 40 a^{6} + 17 a^{5} + a^{4} + 7 a^{3} + 20 a^{2} + 26 a + 29 + \left(15 a^{28} + 22 a^{27} + 24 a^{26} + 6 a^{25} + 29 a^{24} + 33 a^{23} + 37 a^{22} + 28 a^{21} + 40 a^{20} + 26 a^{19} + 25 a^{18} + 38 a^{17} + 22 a^{16} + 4 a^{15} + 29 a^{14} + 8 a^{13} + 23 a^{12} + 36 a^{11} + 21 a^{10} + 40 a^{9} + 35 a^{8} + 35 a^{7} + 8 a^{6} + 28 a^{5} + 32 a^{4} + 3 a^{3} + 15 a^{2} + 39 a + 25\right)\cdot 41 + \left(29 a^{28} + 34 a^{27} + 5 a^{26} + 11 a^{25} + 27 a^{24} + 9 a^{23} + 9 a^{22} + 31 a^{21} + 14 a^{20} + 11 a^{19} + 30 a^{18} + 36 a^{17} + 38 a^{16} + 15 a^{14} + 22 a^{13} + 22 a^{12} + 25 a^{11} + 33 a^{10} + 3 a^{9} + 18 a^{8} + 19 a^{7} + 7 a^{6} + 39 a^{5} + 15 a^{4} + 18 a^{3} + 13 a^{2} + 19 a + 36\right)\cdot 41^{2} + \left(9 a^{28} + 32 a^{27} + 26 a^{26} + 38 a^{25} + 34 a^{24} + 16 a^{23} + 32 a^{22} + 16 a^{21} + 30 a^{20} + 21 a^{19} + 33 a^{18} + 13 a^{16} + 39 a^{15} + 15 a^{14} + 19 a^{13} + 25 a^{12} + 38 a^{11} + 14 a^{10} + 2 a^{9} + 16 a^{8} + 35 a^{7} + 25 a^{6} + 5 a^{5} + 27 a^{4} + 3 a^{3} + 22 a^{2} + 15 a + 32\right)\cdot 41^{3} + \left(4 a^{28} + 24 a^{27} + 31 a^{26} + 27 a^{25} + 10 a^{24} + 13 a^{23} + 30 a^{22} + 32 a^{21} + 2 a^{20} + 17 a^{19} + 13 a^{18} + 12 a^{17} + 31 a^{16} + 35 a^{15} + 25 a^{14} + 17 a^{13} + 20 a^{12} + 25 a^{11} + 23 a^{10} + 11 a^{9} + 31 a^{8} + a^{7} + 27 a^{6} + 18 a^{5} + 25 a^{4} + 36 a^{3} + 30 a^{2} + 34\right)\cdot 41^{4} +O(41^{5})$$ $r_{ 27 }$ $=$ $$38 a^{28} + 4 a^{27} + 18 a^{26} + 15 a^{24} + 21 a^{23} + 3 a^{22} + 2 a^{21} + 3 a^{20} + 9 a^{19} + 26 a^{18} + 10 a^{17} + 16 a^{16} + 3 a^{15} + 16 a^{14} + 10 a^{13} + 7 a^{12} + 13 a^{11} + 21 a^{10} + 25 a^{9} + 21 a^{7} + 36 a^{6} + 11 a^{5} + 16 a^{4} + 40 a^{3} + 27 a^{2} + a + 26 + \left(16 a^{28} + 2 a^{27} + 8 a^{26} + 18 a^{25} + 17 a^{24} + 25 a^{23} + 15 a^{22} + 21 a^{21} + 34 a^{20} + 32 a^{18} + 30 a^{17} + 29 a^{16} + 5 a^{15} + 11 a^{14} + 40 a^{13} + 9 a^{12} + 8 a^{11} + 36 a^{10} + 38 a^{9} + 5 a^{8} + 25 a^{7} + 11 a^{6} + 25 a^{5} + 34 a^{4} + 9 a^{3} + 20 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 41 + \left(21 a^{28} + 9 a^{27} + 3 a^{26} + 18 a^{25} + 33 a^{24} + 19 a^{23} + 38 a^{22} + 2 a^{20} + 8 a^{19} + 2 a^{18} + 23 a^{17} + 15 a^{16} + 28 a^{15} + 30 a^{14} + 40 a^{13} + 34 a^{12} + 25 a^{11} + 33 a^{10} + 32 a^{9} + 9 a^{8} + 20 a^{7} + 19 a^{6} + 21 a^{5} + 2 a^{4} + 36 a^{3} + 24 a^{2} + 23 a + 17\right)\cdot 41^{2} + \left(38 a^{28} + 22 a^{27} + 15 a^{26} + 13 a^{25} + 9 a^{24} + 16 a^{23} + 38 a^{22} + 4 a^{21} + 29 a^{20} + 32 a^{19} + 20 a^{18} + 25 a^{17} + 36 a^{16} + 38 a^{15} + 15 a^{14} + 9 a^{13} + 23 a^{12} + 36 a^{11} + 23 a^{10} + 10 a^{9} + 37 a^{8} + 19 a^{7} + 7 a^{6} + 2 a^{5} + 15 a^{4} + 29 a^{3} + 33 a^{2} + 26 a + 1\right)\cdot 41^{3} + \left(34 a^{28} + 9 a^{27} + 23 a^{26} + 12 a^{25} + a^{24} + 23 a^{23} + 26 a^{22} + 7 a^{21} + 33 a^{20} + 25 a^{19} + 28 a^{18} + 14 a^{17} + 2 a^{16} + 38 a^{15} + 33 a^{14} + 35 a^{13} + 38 a^{12} + 36 a^{11} + a^{10} + 34 a^{9} + 32 a^{8} + 25 a^{7} + 28 a^{6} + 26 a^{5} + 17 a^{4} + 19 a^{3} + 23 a^{2} + 6 a + 37\right)\cdot 41^{4} +O(41^{5})$$ $r_{ 28 }$ $=$ $$40 a^{28} + 3 a^{27} + 18 a^{26} + 3 a^{25} + 18 a^{24} + 25 a^{23} + 36 a^{22} + 28 a^{21} + 18 a^{20} + 15 a^{19} + 17 a^{18} + 10 a^{17} + 21 a^{16} + 40 a^{15} + 13 a^{14} + 20 a^{13} + 15 a^{12} + 9 a^{11} + 22 a^{10} + 2 a^{9} + 23 a^{8} + 39 a^{7} + 40 a^{6} + 29 a^{5} + 27 a^{4} + 40 a^{3} + 11 a^{2} + 20 + \left(27 a^{28} + 7 a^{27} + 5 a^{26} + 39 a^{25} + 22 a^{24} + 32 a^{23} + 10 a^{22} + 24 a^{21} + 8 a^{20} + 8 a^{19} + 37 a^{18} + 20 a^{17} + 20 a^{16} + 34 a^{15} + 27 a^{14} + 11 a^{13} + 22 a^{12} + 33 a^{11} + 7 a^{10} + 28 a^{9} + 23 a^{8} + 17 a^{7} + 7 a^{6} + 20 a^{5} + 31 a^{4} + 27 a^{3} + 16 a^{2} + 7 a + 17\right)\cdot 41 + \left(33 a^{28} + 37 a^{27} + 25 a^{26} + 24 a^{25} + 20 a^{24} + 8 a^{23} + 27 a^{22} + 21 a^{21} + 19 a^{20} + 3 a^{19} + 11 a^{18} + 15 a^{17} + 29 a^{16} + 18 a^{15} + 34 a^{14} + 25 a^{12} + 38 a^{11} + 2 a^{10} + 32 a^{9} + 19 a^{8} + 5 a^{7} + 35 a^{6} + 7 a^{5} + 32 a^{4} + 34 a^{3} + 34 a^{2} + 37 a + 18\right)\cdot 41^{2} + \left(9 a^{28} + 5 a^{27} + 39 a^{26} + 8 a^{25} + 21 a^{24} + 2 a^{23} + 11 a^{22} + 25 a^{21} + 5 a^{20} + 19 a^{19} + 18 a^{18} + 26 a^{17} + 35 a^{16} + 36 a^{15} + 10 a^{14} + 20 a^{13} + 18 a^{12} + 13 a^{11} + 28 a^{10} + 37 a^{9} + 33 a^{8} + 22 a^{7} + 32 a^{6} + 39 a^{5} + 30 a^{4} + 7 a^{3} + 39 a^{2} + 24 a + 38\right)\cdot 41^{3} + \left(34 a^{28} + 39 a^{27} + 28 a^{26} + 8 a^{25} + 15 a^{24} + 9 a^{23} + 40 a^{22} + 18 a^{21} + 39 a^{20} + 7 a^{19} + 32 a^{18} + 33 a^{17} + 36 a^{16} + 36 a^{15} + 4 a^{14} + 16 a^{13} + 9 a^{12} + 5 a^{11} + 34 a^{10} + 9 a^{9} + a^{8} + 25 a^{7} + 17 a^{6} + 12 a^{5} + 24 a^{4} + 14 a^{3} + 24 a^{2} + 35 a + 16\right)\cdot 41^{4} +O(41^{5})$$ $r_{ 29 }$ $=$ $$40 a^{28} + 39 a^{27} + 32 a^{26} + 21 a^{25} + 29 a^{24} + 25 a^{23} + 36 a^{21} + 34 a^{20} + 3 a^{19} + 14 a^{18} + 40 a^{17} + 35 a^{16} + 4 a^{15} + 33 a^{14} + 21 a^{13} + 31 a^{12} + 38 a^{10} + 38 a^{9} + 6 a^{8} + 16 a^{7} + 31 a^{6} + 11 a^{5} + 34 a^{4} + 5 a^{3} + 32 a^{2} + 9 a + 20 + \left(26 a^{28} + 8 a^{27} + a^{26} + 11 a^{25} + 39 a^{24} + 17 a^{23} + 30 a^{22} + 9 a^{21} + 28 a^{20} + 35 a^{19} + 38 a^{18} + 37 a^{17} + 7 a^{16} + 38 a^{15} + 29 a^{14} + 16 a^{13} + 26 a^{12} + 12 a^{11} + 39 a^{10} + 36 a^{9} + 11 a^{8} + 2 a^{7} + 14 a^{6} + 4 a^{5} + 33 a^{4} + 4 a^{3} + 2 a^{2} + 35 a + 20\right)\cdot 41 + \left(34 a^{28} + 3 a^{27} + 33 a^{26} + 21 a^{24} + 11 a^{23} + 11 a^{22} + 4 a^{21} + 2 a^{20} + 14 a^{19} + 33 a^{18} + 17 a^{17} + 19 a^{16} + 5 a^{15} + 17 a^{14} + 6 a^{13} + 24 a^{12} + 3 a^{11} + 33 a^{10} + 37 a^{9} + 13 a^{8} + a^{7} + 8 a^{6} + 32 a^{5} + 22 a^{4} + 10 a^{3} + 2 a^{2} + 18 a + 33\right)\cdot 41^{2} + \left(19 a^{28} + a^{27} + 28 a^{26} + 14 a^{25} + 38 a^{24} + 31 a^{22} + 22 a^{21} + 33 a^{20} + 19 a^{19} + 26 a^{18} + 35 a^{17} + 13 a^{16} + 35 a^{15} + 17 a^{14} + a^{13} + 11 a^{12} + 2 a^{11} + 40 a^{10} + 37 a^{9} + 8 a^{8} + 23 a^{7} + 33 a^{6} + 23 a^{5} + 15 a^{4} + 21 a^{3} + 6 a^{2} + 31 a + 15\right)\cdot 41^{3} + \left(7 a^{28} + 8 a^{27} + 34 a^{26} + 18 a^{25} + 9 a^{24} + 33 a^{23} + 33 a^{22} + 17 a^{21} + 2 a^{20} + 10 a^{19} + 6 a^{18} + 18 a^{17} + 20 a^{16} + 37 a^{15} + 8 a^{14} + 20 a^{13} + 40 a^{12} + 34 a^{11} + 18 a^{10} + 30 a^{9} + 35 a^{8} + 24 a^{7} + 33 a^{6} + 39 a^{5} + 10 a^{4} + 21 a^{3} + 20 a + 37\right)\cdot 41^{4} +O(41^{5})$$

## Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 29 }$

 Cycle notation $(1,24)(2,10)(3,13)(4,15)(5,19)(6,18)(7,21)(8,23)(9,25)(11,14)(12,27)(16,17)(22,28)(26,29)$ $(1,29)(2,25)(3,6)(4,18)(5,28)(7,8)(9,26)(10,17)(11,22)(12,21)(13,24)(14,27)(16,23)(19,20)$

## Character values on conjugacy classes

 Size Order Action on $r_1, \ldots, r_{ 29 }$ Character value $1$ $1$ $()$ $2$ $29$ $2$ $(1,24)(2,10)(3,13)(4,15)(5,19)(6,18)(7,21)(8,23)(9,25)(11,14)(12,27)(16,17)(22,28)(26,29)$ $0$ $2$ $29$ $(1,4,3,9,23,14,20,11,8,25,13,15,24,2,7,22,19,27,16,26,6,18,29,17,12,5,28,21,10)$ $\zeta_{29}^{23} + \zeta_{29}^{6}$ $2$ $29$ $(1,3,23,20,8,13,24,7,19,16,6,29,12,28,10,4,9,14,11,25,15,2,22,27,26,18,17,5,21)$ $\zeta_{29}^{17} + \zeta_{29}^{12}$ $2$ $29$ $(1,9,20,25,24,22,16,18,12,21,4,23,11,13,2,19,26,29,5,10,3,14,8,15,7,27,6,17,28)$ $\zeta_{29}^{18} + \zeta_{29}^{11}$ $2$ $29$ $(1,23,8,24,19,6,12,10,9,11,15,22,26,17,21,3,20,13,7,16,29,28,4,14,25,2,27,18,5)$ $\zeta_{29}^{24} + \zeta_{29}^{5}$ $2$ $29$ $(1,14,13,22,6,5,4,20,15,19,18,28,3,11,24,27,29,21,9,8,2,16,17,10,23,25,7,26,12)$ $-\zeta_{29}^{27} - \zeta_{29}^{26} - \zeta_{29}^{25} - \zeta_{29}^{24} - \zeta_{29}^{23} - \zeta_{29}^{22} - \zeta_{29}^{21} - \zeta_{29}^{20} - \zeta_{29}^{19} - \zeta_{29}^{18} - \zeta_{29}^{17} - \zeta_{29}^{16} - \zeta_{29}^{15} - \zeta_{29}^{14} - \zeta_{29}^{13} - \zeta_{29}^{12} - \zeta_{29}^{11} - \zeta_{29}^{10} - \zeta_{29}^{9} - \zeta_{29}^{8} - \zeta_{29}^{7} - \zeta_{29}^{6} - \zeta_{29}^{5} - \zeta_{29}^{4} - \zeta_{29}^{3} - \zeta_{29}^{2} - 1$ $2$ $29$ $(1,20,24,16,12,4,11,2,26,5,3,8,7,6,28,9,25,22,18,21,23,13,19,29,10,14,15,27,17)$ $\zeta_{29}^{22} + \zeta_{29}^{7}$ $2$ $29$ $(1,11,7,18,10,20,2,6,21,14,24,26,28,23,15,16,5,9,13,27,12,3,25,19,17,4,8,22,29)$ $\zeta_{29}^{16} + \zeta_{29}^{13}$ $2$ $29$ $(1,8,19,12,9,15,26,21,20,7,29,4,25,27,5,23,24,6,10,11,22,17,3,13,16,28,14,2,18)$ $\zeta_{29}^{19} + \zeta_{29}^{10}$ $2$ $29$ $(1,25,16,21,11,19,5,14,7,17,9,24,18,4,13,26,10,8,27,28,20,22,12,23,2,29,3,15,6)$ $\zeta_{29}^{25} + \zeta_{29}^{4}$ $2$ $29$ $(1,13,6,4,15,18,3,24,29,9,2,17,23,7,12,14,22,5,20,19,28,11,27,21,8,16,10,25,26)$ $\zeta_{29}^{27} + \zeta_{29}^{2}$ $2$ $29$ $(1,15,29,23,22,28,8,26,4,24,17,14,19,21,25,6,3,2,12,20,27,10,13,18,9,7,5,11,16)$ $\zeta_{29}^{21} + \zeta_{29}^{8}$ $2$ $29$ $(1,24,12,11,26,3,7,28,25,18,23,19,10,15,17,20,16,4,2,5,8,6,9,22,21,13,29,14,27)$ $\zeta_{29}^{15} + \zeta_{29}^{14}$ $2$ $29$ $(1,2,28,13,17,11,6,23,27,4,7,21,15,12,8,18,14,16,3,22,10,24,5,25,29,20,26,9,19)$ $\zeta_{29}^{20} + \zeta_{29}^{9}$ $2$ $29$ $(1,7,10,2,21,24,28,15,5,13,12,25,17,8,29,11,18,20,6,14,26,23,16,9,27,3,19,4,22)$ $\zeta_{29}^{26} + \zeta_{29}^{3}$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.