Properties

Label 2.3479.28t10.b.c
Dimension $2$
Group $D_{28}$
Conductor $3479$
Root number $1$
Indicator $1$

Related objects

Learn more about

Basic invariants

Dimension: $2$
Group: $D_{28}$
Conductor: \(3479\)\(\medspace = 7^{2} \cdot 71 \)
Frobenius-Schur indicator: $1$
Root number: $1$
Artin stem field: 28.0.650754790224967946962108515803180182241777.1
Galois orbit size: $6$
Smallest permutation container: $D_{28}$
Parity: odd
Determinant: 1.71.2t1.a.a
Projective image: $D_{14}$
Projective stem field: 14.0.105496092121152103.1

Defining polynomial

$f(x)$$=$\(x^{28} - 2 x^{27} + 4 x^{26} - 10 x^{25} + 5 x^{24} + 7 x^{23} - 18 x^{22} - 225 x^{21} - 120 x^{20} + 1331 x^{19} - 2152 x^{18} + 4025 x^{17} + 6967 x^{16} - 15748 x^{15} + 11604 x^{14} - 4171 x^{13} - 26180 x^{12} + 37520 x^{11} - 9040 x^{10} + 16909 x^{9} - 40976 x^{8} - 11561 x^{7} + 79270 x^{6} - 49005 x^{5} + 81626 x^{4} - 70530 x^{3} + 35205 x^{2} - 15236 x + 3229\)  Toggle raw display.

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 29 }$ to precision 10.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 29 }$: \(x^{14} + x^{8} + 3 x^{7} + 14 x^{6} + 10 x^{5} + 21 x^{4} + 18 x^{3} + 27 x^{2} + 5 x + 2\)  Toggle raw display

Roots:
$r_{ 1 }$ $=$ \( 27 a^{13} + 18 a^{12} + 12 a^{11} + 3 a^{10} + a^{9} + 15 a^{8} + 24 a^{7} + 2 a^{6} + 19 a^{5} + 5 a^{4} + 5 a^{3} + 3 a^{2} + 25 a + 22 + \left(13 a^{13} + 25 a^{12} + 13 a^{11} + 9 a^{10} + 2 a^{9} + a^{8} + 3 a^{7} + 15 a^{6} + 26 a^{5} + a^{4} + 6 a^{3} + 12 a^{2} + 7\right)\cdot 29 + \left(28 a^{13} + 21 a^{12} + 15 a^{11} + 14 a^{10} + 15 a^{9} + 26 a^{8} + 6 a^{7} + 4 a^{6} + 26 a^{5} + 12 a^{4} + 14 a^{3} + 4 a^{2} + 25 a + 5\right)\cdot 29^{2} + \left(17 a^{13} + 26 a^{12} + 15 a^{11} + 25 a^{10} + 7 a^{9} + 9 a^{8} + 8 a^{7} + 9 a^{6} + 9 a^{5} + 24 a^{4} + 22 a^{3} + 24 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 29^{3} + \left(23 a^{13} + 14 a^{12} + 12 a^{11} + 14 a^{10} + 8 a^{9} + 22 a^{8} + 21 a^{7} + 6 a^{6} + 12 a^{5} + 12 a^{4} + 10 a^{3} + 3 a^{2} + 28 a + 23\right)\cdot 29^{4} + \left(9 a^{13} + 18 a^{12} + 25 a^{11} + 27 a^{10} + 3 a^{9} + 14 a^{8} + 7 a^{7} + 26 a^{6} + 12 a^{5} + 3 a^{4} + 16 a^{3} + 12 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 29^{5} + \left(2 a^{13} + a^{12} + 17 a^{11} + 27 a^{10} + 23 a^{9} + 10 a^{8} + 6 a^{7} + 15 a^{6} + 13 a^{5} + 23 a^{4} + 24 a^{3} + 4 a^{2} + 25\right)\cdot 29^{6} + \left(6 a^{13} + 6 a^{12} + 20 a^{11} + 19 a^{10} + 15 a^{9} + 24 a^{8} + 20 a^{7} + 28 a^{6} + 18 a^{5} + 26 a^{4} + 9 a^{3} + a^{2} + 9 a + 21\right)\cdot 29^{7} + \left(28 a^{12} + 26 a^{11} + 10 a^{10} + 21 a^{9} + 7 a^{8} + 21 a^{7} + 13 a^{6} + 8 a^{5} + 14 a^{4} + 8 a^{3} + 17 a^{2} + 6 a + 26\right)\cdot 29^{8} + \left(8 a^{13} + 22 a^{12} + 17 a^{11} + 8 a^{10} + 17 a^{9} + 22 a^{8} + 5 a^{7} + 6 a^{6} + 16 a^{5} + 25 a^{4} + 4 a^{3} + 28 a^{2} + 20 a + 21\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 2 }$ $=$ \( 22 a^{13} + 8 a^{12} + 11 a^{11} + 12 a^{10} + 19 a^{9} + 9 a^{8} + 25 a^{7} + 15 a^{6} + 16 a^{5} + 5 a^{4} + 21 a^{3} + 3 a^{2} + 11 a + 4 + \left(7 a^{13} + a^{12} + 7 a^{11} + 20 a^{10} + 27 a^{9} + 20 a^{8} + 11 a^{7} + a^{6} + 23 a^{5} + 21 a^{4} + 17 a^{3} + a^{2} + 2 a\right)\cdot 29 + \left(2 a^{13} + 28 a^{12} + 13 a^{11} + 4 a^{10} + 12 a^{9} + 3 a^{8} + 3 a^{7} + 17 a^{6} + 13 a^{5} + 4 a^{4} + 6 a^{2} + 18 a + 20\right)\cdot 29^{2} + \left(21 a^{13} + 11 a^{12} + 2 a^{11} + 21 a^{10} + 25 a^{9} + 21 a^{8} + 3 a^{7} + 18 a^{6} + 13 a^{5} + 21 a^{4} + 5 a^{3} + 22 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 29^{3} + \left(20 a^{13} + 7 a^{12} + 24 a^{11} + 14 a^{10} + 3 a^{9} + 14 a^{8} + a^{7} + 17 a^{6} + 18 a^{5} + 4 a^{4} + 15 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 20\right)\cdot 29^{4} + \left(28 a^{13} + 26 a^{12} + 14 a^{11} + 15 a^{10} + 9 a^{9} + 25 a^{8} + 2 a^{7} + 20 a^{6} + 5 a^{5} + 28 a^{4} + 4 a^{3} + 17 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 29^{5} + \left(19 a^{13} + 24 a^{12} + 10 a^{11} + 22 a^{10} + 17 a^{9} + 10 a^{8} + 24 a^{7} + 21 a^{6} + 21 a^{5} + 15 a^{4} + 8 a^{3} + 5 a^{2} + 17 a + 2\right)\cdot 29^{6} + \left(18 a^{13} + 26 a^{12} + 9 a^{11} + 22 a^{10} + 16 a^{9} + 15 a^{8} + 18 a^{7} + 5 a^{6} + 6 a^{5} + 18 a^{3} + 21 a^{2} + 9 a + 28\right)\cdot 29^{7} + \left(26 a^{13} + 25 a^{12} + 6 a^{11} + 4 a^{10} + 2 a^{9} + 16 a^{8} + 24 a^{7} + 27 a^{6} + 13 a^{5} + 20 a^{4} + 16 a^{3} + 19 a^{2} + 23 a + 16\right)\cdot 29^{8} + \left(27 a^{13} + 24 a^{12} + 27 a^{11} + 28 a^{10} + 25 a^{9} + 15 a^{8} + 13 a^{7} + 21 a^{6} + 28 a^{5} + 12 a^{4} + 15 a^{3} + 7 a^{2} + 25 a + 27\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 3 }$ $=$ \( 5 a^{13} + 12 a^{12} + 2 a^{11} + 9 a^{10} + 20 a^{9} + 6 a^{8} + 25 a^{7} + 7 a^{6} + 5 a^{5} + 8 a^{4} + 15 a^{2} + 15 a + 17 + \left(24 a^{13} + 16 a^{12} + 11 a^{11} + 3 a^{10} + 20 a^{9} + 17 a^{8} + 4 a^{7} + 10 a^{6} + 24 a^{5} + 24 a^{4} + 19 a^{3} + 20 a^{2} + 1\right)\cdot 29 + \left(23 a^{13} + 27 a^{12} + 6 a^{11} + 17 a^{10} + 12 a^{9} + 8 a^{8} + 22 a^{7} + 6 a^{6} + 3 a^{5} + 8 a^{4} + a^{3} + 13 a^{2} + 20 a + 25\right)\cdot 29^{2} + \left(9 a^{13} + 9 a^{12} + 18 a^{11} + 13 a^{10} + 21 a^{9} + 20 a^{8} + 3 a^{7} + 22 a^{6} + 10 a^{5} + 18 a^{4} + 8 a^{3} + 28 a + 24\right)\cdot 29^{3} + \left(6 a^{13} + 7 a^{12} + 7 a^{11} + 3 a^{10} + 28 a^{9} + 12 a^{8} + 12 a^{7} + 4 a^{6} + 23 a^{5} + 13 a^{4} + 4 a^{3} + 19 a^{2} + 10 a + 22\right)\cdot 29^{4} + \left(24 a^{13} + 14 a^{12} + a^{11} + 28 a^{10} + 15 a^{9} + 21 a^{8} + 28 a^{7} + 19 a^{6} + 16 a^{5} + 13 a^{4} + 16 a^{3} + 13 a^{2} + 11 a + 27\right)\cdot 29^{5} + \left(25 a^{13} + 5 a^{12} + 6 a^{11} + 4 a^{10} + 15 a^{9} + 17 a^{8} + 11 a^{7} + 14 a^{6} + 13 a^{5} + 19 a^{4} + 3 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 23\right)\cdot 29^{6} + \left(27 a^{13} + 28 a^{12} + 13 a^{11} + 16 a^{10} + 14 a^{9} + 25 a^{8} + 20 a^{7} + 24 a^{6} + 5 a^{5} + 13 a^{4} + 13 a^{3} + 20 a^{2} + 26 a + 19\right)\cdot 29^{7} + \left(26 a^{13} + 7 a^{12} + 14 a^{11} + 9 a^{10} + 25 a^{9} + 12 a^{8} + a^{7} + 2 a^{6} + 18 a^{5} + 24 a^{4} + 27 a^{3} + 14 a^{2} + 15 a\right)\cdot 29^{8} + \left(8 a^{13} + 26 a^{12} + 9 a^{11} + 20 a^{10} + 17 a^{8} + 28 a^{7} + 17 a^{6} + 13 a^{5} + 17 a^{4} + 11 a^{3} + 24 a^{2} + 27 a + 19\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 4 }$ $=$ \( 24 a^{13} + 22 a^{12} + 7 a^{11} + 3 a^{10} + 23 a^{9} + 13 a^{8} + 14 a^{7} + 22 a^{6} + 21 a^{5} + 21 a^{4} + 21 a^{3} + 18 a + 25 + \left(13 a^{13} + 19 a^{11} + 19 a^{10} + 2 a^{9} + 10 a^{8} + 21 a^{7} + 15 a^{6} + 18 a^{5} + 12 a^{4} + 20 a^{3} + 2 a^{2} + 26 a + 23\right)\cdot 29 + \left(27 a^{13} + 25 a^{12} + a^{11} + 11 a^{10} + 21 a^{9} + 11 a^{8} + 21 a^{7} + 14 a^{6} + 18 a^{5} + 5 a^{4} + 26 a^{3} + 21 a^{2} + 23 a + 1\right)\cdot 29^{2} + \left(20 a^{13} + 20 a^{12} + 15 a^{11} + 13 a^{10} + 13 a^{9} + 16 a^{8} + 2 a^{7} + 22 a^{6} + 7 a^{5} + 22 a^{4} + 4 a^{3} + 19 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 29^{3} + \left(28 a^{13} + 17 a^{12} + 11 a^{11} + 14 a^{10} + 8 a^{9} + 7 a^{8} + 15 a^{7} + 7 a^{6} + 28 a^{5} + 6 a^{4} + 24 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 25\right)\cdot 29^{4} + \left(5 a^{13} + 3 a^{12} + 23 a^{11} + 28 a^{10} + a^{9} + 21 a^{8} + a^{7} + 7 a^{6} + 18 a^{5} + 17 a^{4} + 24 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 24\right)\cdot 29^{5} + \left(23 a^{13} + 13 a^{12} + a^{11} + 26 a^{10} + 10 a^{9} + 26 a^{8} + 9 a^{7} + a^{6} + 26 a^{5} + 15 a^{4} + 4 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 16\right)\cdot 29^{6} + \left(14 a^{13} + 8 a^{12} + 27 a^{11} + 18 a^{10} + 25 a^{9} + 16 a^{8} + 28 a^{7} + 27 a^{6} + 9 a^{5} + 15 a^{4} + 26 a^{3} + 15 a + 4\right)\cdot 29^{7} + \left(10 a^{13} + 23 a^{12} + a^{11} + 24 a^{10} + 18 a^{9} + 9 a^{8} + 8 a^{7} + 19 a^{6} + 20 a^{5} + 11 a^{4} + 14 a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 29^{8} + \left(4 a^{13} + 21 a^{12} + 21 a^{11} + 9 a^{10} + 13 a^{9} + 13 a^{8} + 2 a^{7} + 8 a^{6} + 12 a^{5} + 7 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 5 }$ $=$ \( 21 a^{13} + 18 a^{12} + 2 a^{11} + 3 a^{10} + 17 a^{9} + 21 a^{8} + 12 a^{7} + 24 a^{6} + 13 a^{5} + 14 a^{4} + 3 a^{3} + 17 a^{2} + 25 a + 22 + \left(16 a^{13} + 8 a^{12} + 16 a^{11} + 2 a^{10} + 18 a^{9} + 21 a^{8} + 10 a^{7} + 24 a^{6} + 12 a^{5} + 9 a^{4} + 2 a^{3} + 13 a^{2} + 10 a + 22\right)\cdot 29 + \left(18 a^{13} + a^{12} + 11 a^{11} + 19 a^{10} + 22 a^{9} + 6 a^{8} + 22 a^{7} + 2 a^{6} + 15 a^{5} + 26 a^{4} + 11 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 26\right)\cdot 29^{2} + \left(3 a^{13} + 22 a^{12} + 11 a^{10} + 5 a^{9} + 26 a^{8} + 16 a^{7} + 23 a^{6} + 2 a^{5} + 5 a^{4} + 26 a^{3} + 13 a^{2} + 24 a + 6\right)\cdot 29^{3} + \left(7 a^{13} + 4 a^{12} + a^{11} + 12 a^{10} + 21 a^{9} + a^{8} + 7 a^{7} + 16 a^{6} + 23 a^{5} + 17 a^{4} + 8 a^{3} + 13 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 29^{4} + \left(20 a^{13} + a^{12} + 8 a^{11} + 10 a^{10} + 13 a^{9} + 5 a^{8} + 22 a^{7} + 10 a^{6} + 14 a^{5} + 18 a^{4} + 16 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 29^{5} + \left(23 a^{13} + 27 a^{12} + 26 a^{10} + 28 a^{9} + 5 a^{8} + 13 a^{7} + 12 a^{6} + 16 a^{5} + 4 a^{4} + 21 a^{3} + 12 a^{2} + 15 a + 14\right)\cdot 29^{6} + \left(9 a^{13} + 2 a^{12} + 2 a^{11} + 8 a^{10} + 16 a^{9} + 14 a^{8} + 22 a^{7} + 26 a^{6} + 21 a^{4} + 6 a^{3} + 19 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 29^{7} + \left(18 a^{12} + 22 a^{11} + 17 a^{10} + 21 a^{9} + 23 a^{8} + 13 a^{7} + 28 a^{6} + 3 a^{5} + 8 a^{4} + 17 a^{3} + 22 a^{2} + 7 a + 28\right)\cdot 29^{8} + \left(5 a^{13} + 6 a^{12} + 25 a^{11} + 21 a^{9} + 16 a^{8} + 7 a^{7} + 4 a^{6} + 6 a^{5} + a^{4} + 18 a + 14\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 6 }$ $=$ \( 16 a^{13} + 20 a^{12} + 16 a^{11} + a^{10} + 22 a^{9} + 5 a^{8} + 25 a^{7} + 4 a^{6} + 4 a^{5} + 16 a^{4} + 18 a^{3} + 22 a^{2} + a + 19 + \left(13 a^{13} + 21 a^{12} + 3 a^{11} + 9 a^{10} + 3 a^{9} + 26 a^{7} + 27 a^{6} + 16 a^{5} + 10 a^{4} + 14 a^{2} + 9 a\right)\cdot 29 + \left(15 a^{13} + 23 a^{12} + 14 a^{11} + 2 a^{10} + 25 a^{9} + 27 a^{8} + 17 a^{7} + 10 a^{6} + 10 a^{5} + 21 a^{4} + 19 a^{3} + 27 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 29^{2} + \left(2 a^{13} + 27 a^{12} + 18 a^{11} + 22 a^{10} + 13 a^{8} + 18 a^{7} + 28 a^{6} + 18 a^{4} + 3 a^{3} + a^{2} + 13 a + 17\right)\cdot 29^{3} + \left(8 a^{13} + 10 a^{12} + 10 a^{11} + 17 a^{10} + 19 a^{9} + 24 a^{8} + 18 a^{7} + a^{6} + 16 a^{5} + 14 a^{4} + 14 a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 28\right)\cdot 29^{4} + \left(6 a^{13} + 26 a^{12} + 2 a^{11} + 15 a^{10} + 22 a^{9} + 14 a^{8} + 7 a^{7} + 5 a^{6} + 3 a^{5} + 25 a^{4} + 27 a^{3} + 25 a^{2} + 13 a + 27\right)\cdot 29^{5} + \left(22 a^{13} + 24 a^{12} + 3 a^{11} + 11 a^{10} + 20 a^{9} + 25 a^{8} + 20 a^{7} + 20 a^{6} + 11 a^{5} + 23 a^{4} + 16 a^{3} + 19 a^{2} + 9 a + 28\right)\cdot 29^{6} + \left(11 a^{13} + 18 a^{12} + 5 a^{11} + 28 a^{10} + 11 a^{9} + 15 a^{8} + 11 a^{7} + 27 a^{6} + a^{5} + 21 a^{4} + 12 a^{3} + 20 a^{2} + 9 a + 26\right)\cdot 29^{7} + \left(18 a^{13} + 19 a^{12} + 26 a^{11} + 13 a^{10} + 25 a^{9} + 18 a^{8} + 10 a^{7} + 9 a^{6} + 3 a^{5} + 7 a^{4} + 25 a^{3} + 23 a^{2} + 26 a + 20\right)\cdot 29^{8} + \left(22 a^{13} + 26 a^{12} + 3 a^{11} + 24 a^{10} + 3 a^{9} + 5 a^{8} + 9 a^{6} + a^{5} + 23 a^{4} + 11 a^{3} + 15 a^{2} + 14 a + 3\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 7 }$ $=$ \( 28 a^{13} + 17 a^{12} + 21 a^{11} + 19 a^{10} + 19 a^{9} + 4 a^{8} + 23 a^{7} + 26 a^{6} + 22 a^{5} + 28 a^{4} + 19 a^{3} + 6 a^{2} + 20 a + 1 + \left(9 a^{13} + 8 a^{12} + a^{11} + 17 a^{10} + 10 a^{9} + 21 a^{8} + 18 a^{7} + 23 a^{6} + 2 a^{5} + 16 a^{4} + 12 a^{3} + 18 a^{2} + 27 a + 18\right)\cdot 29 + \left(2 a^{13} + 28 a^{12} + 28 a^{11} + 23 a^{9} + 25 a^{8} + 10 a^{7} + 25 a^{5} + 10 a^{4} + 21 a^{3} + 21 a^{2} + 26 a + 6\right)\cdot 29^{2} + \left(23 a^{13} + 7 a^{12} + 4 a^{11} + 21 a^{10} + 11 a^{9} + 4 a^{8} + 25 a^{7} + 6 a^{6} + 28 a^{4} + 25 a^{3} + 23 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 29^{3} + \left(3 a^{13} + 11 a^{12} + 5 a^{11} + 6 a^{10} + 2 a^{9} + 11 a^{8} + 3 a^{7} + 18 a^{6} + 26 a^{5} + 20 a^{4} + 15 a^{3} + 27 a^{2} + 17 a + 7\right)\cdot 29^{4} + \left(19 a^{13} + 6 a^{12} + 7 a^{11} + 16 a^{10} + 16 a^{9} + 10 a^{8} + 9 a^{7} + 15 a^{6} + 22 a^{5} + 28 a^{4} + 12 a^{3} + 11 a^{2} + 20 a + 11\right)\cdot 29^{5} + \left(3 a^{13} + 27 a^{12} + 21 a^{10} + 25 a^{9} + 28 a^{8} + 2 a^{7} + 14 a^{6} + 6 a^{5} + 17 a^{4} + 24 a^{3} + a^{2} + 28 a + 3\right)\cdot 29^{6} + \left(16 a^{13} + 9 a^{12} + 28 a^{11} + 2 a^{10} + 28 a^{8} + 10 a^{7} + 22 a^{6} + 2 a^{4} + 22 a^{3} + 3 a + 12\right)\cdot 29^{7} + \left(27 a^{13} + 25 a^{12} + 6 a^{11} + 25 a^{10} + 26 a^{9} + 27 a^{8} + 27 a^{7} + 24 a^{6} + 28 a^{5} + 5 a^{4} + 11 a^{3} + 24 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 29^{8} + \left(22 a^{13} + 18 a^{12} + 26 a^{11} + 23 a^{10} + 17 a^{9} + 5 a^{8} + 12 a^{7} + 24 a^{6} + 24 a^{5} + 2 a^{4} + 9 a^{3} + 3 a^{2} + 21 a + 1\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 8 }$ $=$ \( 20 a^{13} + 11 a^{12} + 7 a^{11} + 15 a^{10} + 13 a^{9} + 26 a^{8} + 23 a^{7} + 3 a^{6} + 14 a^{5} + 28 a^{4} + 21 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 28 + \left(20 a^{12} + 8 a^{11} + 25 a^{10} + 2 a^{9} + 7 a^{7} + 9 a^{6} + 7 a^{5} + 17 a^{4} + 27 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 28\right)\cdot 29 + \left(2 a^{13} + 26 a^{12} + 8 a^{11} + 8 a^{10} + 9 a^{9} + 8 a^{8} + 7 a^{7} + 22 a^{6} + 22 a^{5} + 25 a^{4} + 28 a^{3} + 25 a^{2} + 8 a + 27\right)\cdot 29^{2} + \left(20 a^{13} + 15 a^{12} + 22 a^{11} + 23 a^{10} + 6 a^{9} + 23 a^{8} + 20 a^{6} + 17 a^{5} + 13 a^{2} + 21 a + 27\right)\cdot 29^{3} + \left(4 a^{13} + 11 a^{12} + 11 a^{11} + 15 a^{9} + 22 a^{8} + 28 a^{7} + 12 a^{6} + 22 a^{5} + 17 a^{4} + 23 a^{3} + 26 a^{2} + 21 a + 7\right)\cdot 29^{4} + \left(11 a^{13} + 15 a^{12} + 13 a^{11} + 14 a^{10} + 6 a^{9} + 15 a^{8} + a^{7} + 6 a^{6} + 4 a^{5} + 4 a^{4} + 17 a^{3} + 28 a^{2} + 27 a\right)\cdot 29^{5} + \left(25 a^{13} + a^{12} + 17 a^{11} + 3 a^{10} + 20 a^{9} + 3 a^{8} + 25 a^{7} + 4 a^{6} + 3 a^{5} + 26 a^{4} + 10 a^{3} + 18 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 29^{6} + \left(12 a^{13} + 24 a^{12} + 28 a^{11} + 27 a^{10} + 8 a^{9} + 23 a^{8} + 28 a^{7} + 2 a^{6} + 17 a^{5} + 28 a^{4} + 13 a^{2} + 22 a + 10\right)\cdot 29^{7} + \left(13 a^{13} + 9 a^{12} + 19 a^{11} + 8 a^{10} + 17 a^{9} + 18 a^{8} + 26 a^{7} + 21 a^{6} + 11 a^{5} + 10 a^{4} + 24 a^{3} + 23 a^{2} + 24 a + 21\right)\cdot 29^{8} + \left(18 a^{13} + 7 a^{12} + 28 a^{11} + 4 a^{10} + 24 a^{9} + 14 a^{8} + 16 a^{7} + 2 a^{6} + 15 a^{5} + 4 a^{4} + 26 a^{3} + 21 a^{2} + 23 a + 28\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 9 }$ $=$ \( 19 a^{13} + 20 a^{12} + 10 a^{11} + 7 a^{10} + 8 a^{9} + 9 a^{8} + 20 a^{7} + 28 a^{6} + 5 a^{5} + 10 a^{4} + 26 a^{3} + 22 a^{2} + 15 a + 16 + \left(26 a^{13} + 21 a^{12} + 6 a^{11} + 19 a^{10} + a^{9} + 10 a^{8} + 26 a^{7} + 7 a^{6} + 17 a^{5} + 22 a^{4} + 15 a^{3} + 7 a^{2} + 7 a + 22\right)\cdot 29 + \left(10 a^{13} + 8 a^{12} + 9 a^{11} + 14 a^{10} + 27 a^{9} + 21 a^{8} + 10 a^{6} + 16 a^{4} + 25 a^{3} + 11 a^{2} + 16 a + 16\right)\cdot 29^{2} + \left(27 a^{13} + 4 a^{12} + 2 a^{11} + 2 a^{10} + 13 a^{9} + 28 a^{8} + 17 a^{7} + 17 a^{6} + 4 a^{5} + 7 a^{4} + 6 a^{3} + 14 a^{2} + 19 a + 28\right)\cdot 29^{3} + \left(28 a^{13} + 14 a^{12} + 17 a^{11} + 15 a^{10} + 2 a^{9} + 27 a^{8} + 24 a^{7} + 23 a^{6} + 6 a^{5} + 10 a^{4} + 5 a^{3} + 19 a^{2} + 9\right)\cdot 29^{4} + \left(6 a^{13} + 22 a^{12} + 28 a^{11} + 22 a^{10} + 11 a^{9} + 9 a^{8} + 19 a^{7} + 7 a^{6} + 16 a^{5} + 17 a^{4} + 13 a^{2} + 16 a + 20\right)\cdot 29^{5} + \left(22 a^{13} + 3 a^{12} + 26 a^{11} + 12 a^{10} + 14 a^{9} + 28 a^{8} + 14 a^{7} + 14 a^{6} + 21 a^{5} + 24 a^{4} + 21 a^{3} + 2 a^{2} + 24 a\right)\cdot 29^{6} + \left(3 a^{13} + 15 a^{12} + 25 a^{10} + 3 a^{9} + 19 a^{8} + 20 a^{7} + 20 a^{6} + 6 a^{5} + 10 a^{4} + 17 a^{3} + 27 a^{2} + 20\right)\cdot 29^{7} + \left(a^{13} + 10 a^{12} + 15 a^{11} + 10 a^{10} + 16 a^{9} + 8 a^{8} + 27 a^{7} + 20 a^{6} + 12 a^{5} + 2 a^{4} + 14 a^{3} + 21 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 29^{8} + \left(11 a^{13} + 19 a^{12} + 23 a^{11} + 9 a^{10} + 28 a^{8} + 17 a^{7} + 11 a^{6} + 10 a^{5} + 20 a^{4} + 25 a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 10 }$ $=$ \( 18 a^{13} + 18 a^{12} + 27 a^{11} + 12 a^{10} + 17 a^{9} + 20 a^{8} + 5 a^{7} + 2 a^{6} + a^{5} + 2 a^{4} + 28 a^{3} + 21 a^{2} + 21 a + 11 + \left(24 a^{13} + 18 a^{12} + 14 a^{11} + 2 a^{10} + 9 a^{9} + 9 a^{8} + 15 a^{7} + 4 a^{6} + 5 a^{5} + 28 a^{4} + 12 a^{3} + 17 a^{2} + 25 a + 14\right)\cdot 29 + \left(12 a^{13} + 26 a^{12} + 8 a^{11} + 26 a^{10} + 6 a^{9} + 18 a^{8} + 3 a^{7} + a^{5} + 17 a^{4} + 5 a^{3} + 25 a^{2} + 18 a + 5\right)\cdot 29^{2} + \left(5 a^{13} + 9 a^{12} + 5 a^{11} + 19 a^{10} + 7 a^{9} + 3 a^{8} + 17 a^{6} + 2 a^{5} + 12 a^{4} + 2 a^{3} + 12 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 29^{3} + \left(23 a^{13} + 6 a^{12} + 20 a^{11} + a^{10} + 4 a^{9} + 20 a^{8} + 27 a^{7} + a^{6} + 16 a^{5} + 22 a^{4} + 26 a^{3} + 2 a^{2} + 21 a + 22\right)\cdot 29^{4} + \left(a^{13} + 21 a^{12} + 14 a^{11} + 26 a^{10} + 18 a^{9} + 12 a^{8} + 20 a^{7} + 9 a^{6} + 14 a^{5} + 21 a^{4} + 18 a^{3} + 13 a^{2} + 28 a + 28\right)\cdot 29^{5} + \left(15 a^{13} + 25 a^{12} + 12 a^{11} + 27 a^{10} + 2 a^{9} + 5 a^{8} + 10 a^{7} + 5 a^{6} + 22 a^{5} + 12 a^{4} + 9 a^{3} + 8 a^{2} + 17 a + 25\right)\cdot 29^{6} + \left(20 a^{13} + 5 a^{12} + 17 a^{11} + 27 a^{10} + 14 a^{9} + 6 a^{8} + 8 a^{7} + 12 a^{6} + 11 a^{5} + 9 a^{4} + 9 a^{3} + 15 a^{2} + 28\right)\cdot 29^{7} + \left(18 a^{13} + 4 a^{12} + 20 a^{11} + 16 a^{10} + 23 a^{9} + 18 a^{8} + 9 a^{7} + 28 a^{6} + 21 a^{5} + a^{4} + 16 a^{3} + 7 a^{2} + 17 a + 10\right)\cdot 29^{8} + \left(14 a^{13} + 20 a^{12} + 5 a^{11} + 8 a^{10} + 7 a^{9} + 24 a^{8} + 16 a^{7} + 13 a^{6} + 22 a^{5} + 8 a^{4} + 16 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 23\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 11 }$ $=$ \( 5 a^{13} + 20 a^{12} + 3 a^{11} + 22 a^{10} + 2 a^{9} + 15 a^{8} + 11 a^{7} + 3 a^{6} + 10 a^{5} + 28 a^{4} + 12 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 8 + \left(4 a^{13} + 9 a^{12} + a^{11} + 2 a^{10} + 24 a^{9} + 27 a^{8} + 6 a^{7} + 13 a^{6} + 26 a^{5} + 20 a^{4} + 21 a^{3} + 23 a^{2} + 14 a + 5\right)\cdot 29 + \left(8 a^{13} + 14 a^{12} + 16 a^{11} + 13 a^{10} + 24 a^{9} + 28 a^{8} + 3 a^{7} + a^{5} + 6 a^{4} + 19 a^{3} + 20 a^{2} + 25 a + 25\right)\cdot 29^{2} + \left(24 a^{13} + 6 a^{12} + 4 a^{11} + 28 a^{10} + 15 a^{9} + 22 a^{8} + 5 a^{7} + 19 a^{6} + 4 a^{5} + 14 a^{4} + a^{3} + 28 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 29^{3} + \left(2 a^{13} + 9 a^{12} + 21 a^{11} + 12 a^{10} + 20 a^{8} + 12 a^{7} + 17 a^{6} + 5 a^{4} + 9 a^{3} + 14 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 29^{4} + \left(19 a^{13} + 28 a^{12} + 15 a^{11} + 12 a^{10} + 20 a^{9} + 15 a^{8} + 26 a^{7} + a^{5} + 26 a^{4} + 19 a^{3} + 12 a^{2} + 14 a + 8\right)\cdot 29^{5} + \left(8 a^{13} + 12 a^{12} + 8 a^{11} + 24 a^{10} + 19 a^{9} + 4 a^{8} + 7 a^{7} + 20 a^{6} + 7 a^{5} + 16 a^{4} + 4 a^{3} + 14 a^{2} + 7 a + 17\right)\cdot 29^{6} + \left(8 a^{13} + 3 a^{12} + 7 a^{11} + 22 a^{10} + 11 a^{9} + 12 a^{8} + 14 a^{7} + 23 a^{6} + 6 a^{5} + a^{4} + 3 a^{2} + 11\right)\cdot 29^{7} + \left(7 a^{13} + 3 a^{12} + 16 a^{11} + 3 a^{10} + 4 a^{8} + 21 a^{7} + 12 a^{6} + 10 a^{5} + 5 a^{4} + 8 a^{3} + 24 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 29^{8} + \left(a^{13} + 21 a^{12} + 5 a^{11} + 9 a^{10} + 22 a^{9} + 11 a^{8} + 3 a^{7} + 5 a^{6} + 22 a^{5} + 27 a^{4} + 17 a^{3} + a^{2} + 8 a + 18\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 12 }$ $=$ \( 20 a^{13} + 8 a^{12} + 23 a^{11} + 23 a^{10} + 3 a^{9} + 24 a^{8} + 26 a^{7} + 21 a^{6} + 25 a^{5} + a^{4} + 14 a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 2 + \left(22 a^{13} + 25 a^{12} + 13 a^{11} + 18 a^{10} + 25 a^{9} + 21 a^{8} + 11 a^{7} + 13 a^{6} + 7 a^{5} + a^{4} + 14 a^{3} + 27 a^{2} + a + 21\right)\cdot 29 + \left(12 a^{13} + 6 a^{12} + 8 a^{11} + 20 a^{10} + 22 a^{9} + 18 a^{8} + 17 a^{7} + 10 a^{6} + 16 a^{5} + 14 a^{4} + 27 a^{3} + 25 a^{2} + 4 a + 25\right)\cdot 29^{2} + \left(19 a^{13} + 14 a^{12} + 6 a^{11} + 21 a^{10} + 18 a^{8} + 28 a^{7} + 6 a^{6} + 24 a^{5} + 2 a^{4} + 23 a^{3} + 6 a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 29^{3} + \left(28 a^{13} + 28 a^{11} + 10 a^{10} + 5 a^{9} + 9 a^{8} + 25 a^{7} + 28 a^{6} + 8 a^{5} + 16 a^{4} + 12 a^{3} + 14 a^{2} + 14 a + 17\right)\cdot 29^{4} + \left(24 a^{13} + 19 a^{12} + 17 a^{11} + 20 a^{10} + 2 a^{9} + 24 a^{8} + 5 a^{7} + 24 a^{6} + 16 a^{5} + 15 a^{4} + 24 a^{3} + 21 a^{2} + 19 a + 10\right)\cdot 29^{5} + \left(8 a^{13} + 7 a^{12} + 2 a^{10} + 22 a^{8} + 16 a^{7} + 20 a^{6} + 12 a^{5} + 14 a^{4} + 5 a^{3} + 23 a^{2} + 4 a + 26\right)\cdot 29^{6} + \left(14 a^{13} + 27 a^{12} + 24 a^{11} + 7 a^{10} + 18 a^{9} + 3 a^{8} + 7 a^{7} + 19 a^{6} + 3 a^{5} + a^{4} + 21 a^{3} + 25 a^{2} + 21 a + 1\right)\cdot 29^{7} + \left(27 a^{13} + 6 a^{12} + 5 a^{11} + 10 a^{10} + 13 a^{9} + 22 a^{8} + 8 a^{7} + 27 a^{6} + 13 a^{5} + 11 a^{4} + 13 a^{3} + 15 a^{2} + 19 a + 27\right)\cdot 29^{8} + \left(18 a^{13} + 14 a^{12} + 25 a^{11} + 2 a^{10} + 28 a^{9} + a^{8} + 28 a^{7} + 8 a^{5} + 21 a^{4} + 10 a^{3} + 19 a^{2} + 6 a + 24\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 13 }$ $=$ \( 22 a^{13} + 23 a^{12} + 4 a^{11} + 20 a^{10} + 15 a^{9} + 20 a^{8} + 10 a^{7} + 24 a^{6} + 25 a^{5} + 6 a^{4} + 6 a^{3} + 26 a^{2} + 14 a + 22 + \left(a^{13} + 13 a^{12} + 14 a^{11} + 10 a^{10} + 28 a^{9} + 13 a^{8} + 10 a^{7} + 3 a^{6} + 9 a^{5} + 28 a^{4} + a^{3} + 13 a^{2} + 24 a + 12\right)\cdot 29 + \left(15 a^{13} + 24 a^{12} + 25 a^{11} + 19 a^{10} + 18 a^{9} + 28 a^{8} + 20 a^{7} + 4 a^{6} + 16 a^{5} + 22 a^{4} + 17 a^{3} + 24 a^{2} + 25 a + 1\right)\cdot 29^{2} + \left(22 a^{13} + 11 a^{12} + 13 a^{10} + 28 a^{9} + 3 a^{8} + 16 a^{7} + 23 a^{6} + 25 a^{5} + 11 a^{4} + 16 a^{3} + 16 a^{2} + 7 a + 19\right)\cdot 29^{3} + \left(12 a^{13} + 21 a^{12} + 11 a^{11} + 3 a^{10} + 26 a^{9} + 7 a^{8} + 15 a^{7} + 22 a^{6} + 27 a^{5} + 8 a^{4} + 22 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 27\right)\cdot 29^{4} + \left(28 a^{13} + 13 a^{12} + 12 a^{11} + 3 a^{10} + 4 a^{9} + 14 a^{8} + 4 a^{7} + 17 a^{6} + 7 a^{5} + 28 a^{4} + 28 a^{2} + 20 a + 6\right)\cdot 29^{5} + \left(11 a^{13} + a^{11} + 28 a^{10} + 26 a^{8} + 13 a^{7} + 8 a^{6} + 18 a^{5} + 22 a^{4} + 15 a^{3} + 19 a^{2} + 26 a + 12\right)\cdot 29^{6} + \left(a^{13} + 9 a^{12} + 23 a^{11} + 5 a^{10} + 23 a^{9} + 28 a^{8} + 3 a^{7} + 16 a^{6} + 22 a^{5} + 11 a^{4} + 19 a^{3} + 27 a^{2} + 18 a + 19\right)\cdot 29^{7} + \left(19 a^{13} + 7 a^{12} + 20 a^{11} + 17 a^{10} + 14 a^{9} + 5 a^{8} + 17 a^{7} + 5 a^{6} + 28 a^{5} + 20 a^{4} + 20 a^{3} + 11 a^{2} + 11 a\right)\cdot 29^{8} + \left(25 a^{13} + 11 a^{12} + 20 a^{11} + 11 a^{10} + 3 a^{9} + 25 a^{8} + 5 a^{7} + 16 a^{6} + 4 a^{5} + 28 a^{4} + 12 a^{3} + 15 a^{2} + 19 a + 7\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 14 }$ $=$ \( 6 a^{13} + 19 a^{12} + 11 a^{11} + 22 a^{10} + 10 a^{9} + 12 a^{8} + 15 a^{7} + 28 a^{6} + 8 a^{5} + 19 a^{4} + 2 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a + 16 + \left(13 a^{13} + 17 a^{11} + 7 a^{10} + 5 a^{9} + 24 a^{8} + 10 a^{7} + 5 a^{6} + a^{5} + 4 a^{4} + 4 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 25\right)\cdot 29 + \left(a^{13} + 5 a^{12} + 20 a^{11} + 23 a^{10} + 22 a^{9} + 23 a^{8} + 6 a^{7} + 18 a^{6} + 9 a^{5} + 19 a^{4} + 5 a^{3} + a^{2} + 21 a + 3\right)\cdot 29^{2} + \left(24 a^{13} + 14 a^{12} + 2 a^{11} + 9 a^{10} + 18 a^{9} + 17 a^{8} + 22 a^{7} + 7 a^{6} + 18 a^{5} + 12 a^{4} + 13 a^{3} + 22 a^{2} + 10 a + 23\right)\cdot 29^{3} + \left(24 a^{13} + 27 a^{12} + 25 a^{11} + 20 a^{10} + 28 a^{9} + 3 a^{8} + 4 a^{7} + 6 a^{6} + 28 a^{5} + 10 a^{4} + 17 a^{3} + 6 a^{2} + 18 a + 6\right)\cdot 29^{4} + \left(26 a^{13} + 17 a^{12} + 10 a^{11} + 27 a^{10} + 8 a^{9} + 25 a^{8} + 5 a^{6} + 27 a^{5} + 10 a^{4} + 8 a^{3} + 19 a^{2} + 24 a + 1\right)\cdot 29^{5} + \left(28 a^{13} + 11 a^{12} + a^{11} + 12 a^{10} + 19 a^{9} + 21 a^{8} + 27 a^{7} + 25 a^{6} + 20 a^{5} + 6 a^{4} + 8 a^{3} + 14 a^{2} + 16 a + 17\right)\cdot 29^{6} + \left(24 a^{13} + 11 a^{12} + 25 a^{11} + 18 a^{10} + 5 a^{9} + 19 a^{8} + 17 a^{7} + 23 a^{6} + 25 a^{5} + 9 a^{4} + 26 a^{3} + 28 a^{2} + 26 a + 15\right)\cdot 29^{7} + \left(13 a^{13} + 12 a^{12} + 17 a^{11} + 16 a^{10} + 15 a^{9} + 7 a^{8} + 2 a^{7} + 26 a^{6} + 7 a^{5} + 7 a^{4} + 18 a^{3} + 15 a + 20\right)\cdot 29^{8} + \left(12 a^{13} + 27 a^{12} + 15 a^{11} + 4 a^{10} + 26 a^{9} + 3 a^{8} + 6 a^{7} + 16 a^{6} + 11 a^{5} + 4 a^{4} + 24 a^{3} + 6 a^{2} + a + 21\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 15 }$ $=$ \( 22 a^{13} + 27 a^{12} + 17 a^{11} + 17 a^{10} + 27 a^{9} + 16 a^{8} + 4 a^{7} + 11 a^{5} + 2 a^{4} + 24 a^{3} + 20 a^{2} + 26 a + 2 + \left(7 a^{13} + 7 a^{12} + 12 a^{11} + 18 a^{10} + 25 a^{9} + 22 a^{8} + 9 a^{7} + 26 a^{6} + 21 a^{5} + 5 a^{4} + 25 a^{3} + 22 a^{2} + 28 a + 15\right)\cdot 29 + \left(17 a^{13} + 17 a^{12} + 7 a^{11} + 5 a^{10} + 8 a^{9} + 11 a^{8} + 5 a^{7} + 3 a^{6} + 8 a^{5} + 25 a^{4} + 25 a^{3} + 16 a^{2} + 24 a + 4\right)\cdot 29^{2} + \left(19 a^{13} + 22 a^{12} + 10 a^{11} + 27 a^{10} + 19 a^{9} + 9 a^{8} + 23 a^{7} + 19 a^{6} + 13 a^{5} + 7 a^{4} + 27 a^{3} + 23 a^{2} + 24 a + 15\right)\cdot 29^{3} + \left(4 a^{13} + 5 a^{12} + 10 a^{11} + 25 a^{10} + a^{9} + 24 a^{8} + 5 a^{7} + 16 a^{6} + 21 a^{5} + 10 a^{4} + 12 a^{3} + 15 a^{2} + 25 a + 17\right)\cdot 29^{4} + \left(3 a^{13} + 12 a^{12} + 21 a^{11} + 4 a^{10} + 24 a^{9} + 24 a^{8} + 21 a^{7} + 21 a^{6} + 15 a^{5} + 10 a^{4} + 13 a^{3} + 25 a + 19\right)\cdot 29^{5} + \left(20 a^{13} + 7 a^{12} + 9 a^{11} + 7 a^{10} + 27 a^{9} + 25 a^{8} + 18 a^{7} + 2 a^{6} + 9 a^{5} + a^{4} + 12 a^{3} + 9 a^{2} + a + 13\right)\cdot 29^{6} + \left(2 a^{13} + 11 a^{12} + 25 a^{11} + 23 a^{10} + 9 a^{9} + 23 a^{8} + 16 a^{7} + 17 a^{6} + 21 a^{5} + 8 a^{4} + a^{3} + 26 a^{2} + 26 a\right)\cdot 29^{7} + \left(16 a^{13} + 3 a^{12} + 23 a^{11} + 22 a^{10} + 25 a^{9} + 27 a^{8} + 15 a^{7} + 24 a^{6} + 22 a^{5} + 9 a^{4} + 26 a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 29^{8} + \left(7 a^{13} + 21 a^{12} + 5 a^{11} + 24 a^{10} + 22 a^{9} + 24 a^{8} + 3 a^{7} + 19 a^{6} + 20 a^{5} + 8 a^{4} + 5 a^{3} + 2 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 16 }$ $=$ \( 23 a^{13} + 13 a^{12} + 5 a^{11} + 27 a^{10} + a^{9} + 22 a^{8} + 19 a^{7} + 14 a^{6} + 6 a^{5} + 4 a^{4} + 8 a^{3} + 22 a^{2} + 8 a + 25 + \left(20 a^{13} + a^{12} + 17 a^{11} + 20 a^{10} + 26 a^{9} + 9 a^{8} + 5 a^{7} + 11 a^{6} + 8 a^{5} + 3 a^{4} + 14 a^{3} + 24 a^{2} + 13 a + 21\right)\cdot 29 + \left(24 a^{13} + 28 a^{12} + 8 a^{11} + 12 a^{10} + 24 a^{9} + 18 a^{8} + 16 a^{7} + 7 a^{6} + 7 a^{5} + 28 a^{4} + 14 a^{3} + 22 a^{2} + 18 a + 3\right)\cdot 29^{2} + \left(15 a^{13} + 15 a^{12} + 19 a^{11} + 23 a^{10} + 7 a^{9} + 18 a^{8} + 6 a^{7} + 16 a^{6} + 24 a^{5} + 20 a^{4} + 18 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 17\right)\cdot 29^{3} + \left(11 a^{13} + 20 a^{12} + 15 a^{11} + 13 a^{10} + 22 a^{9} + 13 a^{8} + 24 a^{7} + 12 a^{6} + 22 a^{5} + 16 a^{4} + 8 a^{3} + 28 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 29^{4} + \left(15 a^{13} + 21 a^{12} + 5 a^{11} + 6 a^{10} + 25 a^{9} + 22 a^{7} + 9 a^{6} + 25 a^{5} + 5 a^{4} + 10 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 29^{5} + \left(2 a^{13} + 10 a^{12} + a^{11} + 18 a^{10} + 15 a^{9} + 22 a^{8} + 17 a^{7} + 26 a^{6} + 2 a^{5} + 26 a^{4} + 13 a^{3} + 21 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 29^{6} + \left(9 a^{13} + 25 a^{12} + 13 a^{11} + 19 a^{10} + 24 a^{9} + 14 a^{8} + 11 a^{7} + 10 a^{6} + 10 a^{5} + 20 a^{4} + 12 a^{3} + 13 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 29^{7} + \left(22 a^{12} + 19 a^{11} + 7 a^{10} + 28 a^{9} + 11 a^{8} + 15 a^{7} + 2 a^{6} + 14 a^{5} + 10 a^{3} + 14 a^{2} + 6 a + 17\right)\cdot 29^{8} + \left(10 a^{13} + 28 a^{12} + 27 a^{11} + 11 a^{10} + 26 a^{9} + 6 a^{8} + 27 a^{7} + 25 a^{6} + 4 a^{5} + 16 a^{4} + 19 a^{3} + 15 a^{2} + 19 a + 28\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 17 }$ $=$ \( 19 a^{13} + 19 a^{12} + 5 a^{11} + 27 a^{10} + 20 a^{9} + 16 a^{8} + 25 a^{7} + 13 a^{6} + 19 a^{5} + 8 a^{4} + 6 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 15 + \left(12 a^{13} + 8 a^{12} + 2 a^{11} + 13 a^{10} + 21 a^{9} + 7 a^{8} + a^{7} + 17 a^{6} + 10 a^{5} + 20 a^{4} + 23 a^{3} + 17 a^{2} + 24 a + 6\right)\cdot 29 + \left(25 a^{13} + a^{12} + a^{11} + 9 a^{10} + 20 a^{9} + 6 a^{8} + 18 a^{7} + 14 a^{6} + a^{5} + 16 a^{4} + 27 a^{3} + 20 a^{2} + 24 a + 20\right)\cdot 29^{2} + \left(11 a^{13} + 28 a^{12} + 28 a^{11} + 12 a^{10} + 2 a^{9} + 8 a^{8} + 28 a^{7} + 18 a^{6} + 17 a^{5} + 25 a^{4} + 5 a^{3} + 11 a^{2} + 28 a + 17\right)\cdot 29^{3} + \left(11 a^{13} + 18 a^{11} + 27 a^{10} + 3 a^{9} + 22 a^{8} + 25 a^{7} + 27 a^{6} + 7 a^{5} + 28 a^{4} + 8 a^{3} + 26 a^{2} + 6 a + 17\right)\cdot 29^{4} + \left(15 a^{13} + 11 a^{12} + 17 a^{11} + 6 a^{10} + 18 a^{9} + 2 a^{8} + 16 a^{7} + 25 a^{6} + 27 a^{5} + 6 a^{4} + 6 a^{3} + 25 a^{2} + 2 a + 22\right)\cdot 29^{5} + \left(7 a^{13} + 3 a^{12} + 13 a^{11} + 10 a^{10} + 2 a^{9} + 28 a^{7} + 25 a^{6} + 14 a^{5} + 18 a^{4} + 25 a^{3} + 8 a^{2} + a + 22\right)\cdot 29^{6} + \left(6 a^{13} + 14 a^{12} + 25 a^{11} + 15 a^{10} + 13 a^{8} + 11 a^{7} + 19 a^{6} + 8 a^{5} + 9 a^{4} + 24 a^{2} + 11 a + 23\right)\cdot 29^{7} + \left(23 a^{13} + 17 a^{12} + 20 a^{11} + 21 a^{10} + 17 a^{9} + a^{8} + 6 a^{7} + 23 a^{6} + 11 a^{5} + 9 a^{4} + 23 a^{3} + 14 a^{2} + 5\right)\cdot 29^{8} + \left(2 a^{13} + 27 a^{12} + 25 a^{11} + 25 a^{10} + 2 a^{9} + 27 a^{8} + 25 a^{7} + 17 a^{6} + a^{5} + 13 a^{4} + 5 a^{3} + 8 a^{2} + 18 a + 28\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 18 }$ $=$ \( 25 a^{13} + 17 a^{12} + 11 a^{11} + 20 a^{10} + 25 a^{9} + 26 a^{8} + 16 a^{7} + 11 a^{6} + 9 a^{5} + 19 a^{4} + 27 a^{3} + 15 a^{2} + 7 a + 21 + \left(a^{13} + 19 a^{12} + 27 a^{11} + 27 a^{10} + 22 a^{9} + 18 a^{8} + 20 a^{7} + 22 a^{6} + 26 a^{5} + 22 a^{4} + 3 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 15\right)\cdot 29 + \left(9 a^{13} + 17 a^{9} + 15 a^{8} + 27 a^{7} + 8 a^{6} + 27 a^{5} + 4 a^{4} + 17 a^{3} + 25 a^{2} + 11 a + 23\right)\cdot 29^{2} + \left(a^{13} + 26 a^{12} + a^{11} + 24 a^{10} + 26 a^{9} + 6 a^{8} + 27 a^{7} + 8 a^{6} + 17 a^{5} + 25 a^{4} + 7 a^{3} + 14 a^{2} + 25 a + 25\right)\cdot 29^{3} + \left(22 a^{13} + 21 a^{11} + a^{10} + 12 a^{9} + 25 a^{8} + 22 a^{7} + 12 a^{6} + 19 a^{5} + 10 a^{4} + 14 a^{3} + 16 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 29^{4} + \left(19 a^{13} + 21 a^{12} + 9 a^{11} + a^{10} + 20 a^{9} + 25 a^{8} + 24 a^{7} + 26 a^{6} + a^{5} + 21 a^{4} + 7 a^{3} + 16 a^{2} + 17 a + 15\right)\cdot 29^{5} + \left(26 a^{13} + 2 a^{12} + 21 a^{11} + 17 a^{10} + 25 a^{9} + 9 a^{8} + 27 a^{7} + 16 a^{6} + 4 a^{4} + 25 a^{3} + 10 a^{2} + 23 a + 18\right)\cdot 29^{6} + \left(22 a^{13} + 22 a^{11} + 15 a^{10} + 24 a^{9} + 5 a^{8} + 16 a^{7} + 6 a^{6} + 22 a^{5} + 19 a^{4} + 14 a^{3} + 11 a^{2} + 15 a + 19\right)\cdot 29^{7} + \left(19 a^{12} + 9 a^{11} + 7 a^{10} + 3 a^{9} + 26 a^{8} + 13 a^{7} + 22 a^{6} + 18 a^{5} + 2 a^{4} + 7 a^{3} + 18 a + 12\right)\cdot 29^{8} + \left(9 a^{13} + 11 a^{12} + 13 a^{11} + 19 a^{10} + 8 a^{9} + 18 a^{8} + 11 a^{7} + 7 a^{5} + 22 a^{4} + 5 a^{3} + 26 a^{2} + 2\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 19 }$ $=$ \( 12 a^{13} + 15 a^{12} + 13 a^{11} + 27 a^{10} + 20 a^{9} + 15 a^{8} + 21 a^{7} + 7 a^{6} + 24 a^{5} + 12 a^{4} + 4 a^{3} + 21 a^{2} + 2 a + 16 + \left(8 a^{13} + 25 a^{12} + 21 a^{11} + 22 a^{10} + 3 a^{9} + 11 a^{8} + 16 a^{7} + 22 a^{6} + 2 a^{5} + 14 a^{4} + 11 a^{3} + 4 a^{2} + 15 a + 2\right)\cdot 29 + \left(22 a^{13} + 26 a^{12} + 24 a^{11} + 24 a^{10} + 26 a^{9} + 5 a^{8} + 4 a^{7} + 16 a^{6} + 14 a^{5} + 27 a^{4} + 15 a^{3} + 13 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 29^{2} + \left(7 a^{13} + 20 a^{12} + 10 a^{11} + 20 a^{10} + a^{9} + 14 a^{8} + 28 a^{7} + 17 a^{6} + 20 a^{5} + 18 a^{4} + 15 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 21\right)\cdot 29^{3} + \left(4 a^{13} + 19 a^{12} + 26 a^{11} + 17 a^{10} + 14 a^{9} + 2 a^{8} + 5 a^{7} + 3 a^{6} + 24 a^{5} + 6 a^{4} + 8 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 29^{4} + \left(3 a^{13} + 11 a^{12} + 17 a^{11} + 26 a^{10} + 20 a^{9} + 11 a^{8} + 3 a^{7} + 16 a^{6} + 2 a^{5} + 7 a^{4} + 28 a^{3} + 26 a^{2} + 14 a + 26\right)\cdot 29^{5} + \left(25 a^{13} + 21 a^{12} + 5 a^{11} + 5 a^{10} + a^{9} + 9 a^{8} + 15 a^{7} + 6 a^{6} + 2 a^{5} + 24 a^{4} + 12 a^{3} + 6 a^{2} + 24 a + 9\right)\cdot 29^{6} + \left(23 a^{13} + 14 a^{12} + 13 a^{11} + 20 a^{10} + a^{8} + 25 a^{7} + 19 a^{6} + 22 a^{5} + 17 a^{4} + 7 a^{3} + 25 a^{2} + 25 a + 18\right)\cdot 29^{7} + \left(25 a^{12} + 5 a^{11} + 2 a^{10} + 7 a^{9} + 7 a^{8} + a^{7} + 25 a^{6} + 22 a^{5} + 27 a^{4} + 9 a^{3} + 17 a^{2} + a + 5\right)\cdot 29^{8} + \left(15 a^{13} + 22 a^{12} + 7 a^{11} + 19 a^{10} + 17 a^{9} + 7 a^{8} + 19 a^{7} + 12 a^{6} + 11 a^{5} + 2 a^{4} + 2 a^{3} + 17 a^{2} + 12 a + 28\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 20 }$ $=$ \( a^{13} + 24 a^{11} + 4 a^{10} + 9 a^{9} + 7 a^{8} + 6 a^{7} + 10 a^{6} + 10 a^{5} + 11 a^{4} + 2 a^{3} + 22 a^{2} + 24 a + 20 + \left(26 a^{13} + 5 a^{12} + 13 a^{11} + a^{10} + 26 a^{9} + 24 a^{8} + 22 a^{7} + 13 a^{6} + 13 a^{5} + 25 a^{4} + 4 a^{3} + 23 a^{2} + 22 a + 9\right)\cdot 29 + \left(10 a^{13} + 27 a^{12} + 23 a^{11} + 27 a^{9} + 20 a^{8} + 22 a^{7} + 6 a^{6} + 6 a^{5} + 25 a^{4} + 27 a^{3} + 21 a^{2} + 27 a + 23\right)\cdot 29^{2} + \left(3 a^{13} + 5 a^{12} + 21 a^{11} + 19 a^{10} + 21 a^{9} + 18 a^{8} + 26 a^{7} + 3 a^{6} + 17 a^{5} + a^{4} + 11 a^{3} + 24 a^{2} + 20 a + 16\right)\cdot 29^{3} + \left(27 a^{13} + 2 a^{12} + 15 a^{11} + 19 a^{10} + 19 a^{9} + 12 a^{8} + 12 a^{7} + 6 a^{6} + 26 a^{5} + 8 a^{4} + a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 15\right)\cdot 29^{4} + \left(5 a^{13} + 11 a^{12} + 10 a^{11} + a^{10} + 22 a^{9} + 20 a^{8} + a^{7} + 25 a^{6} + 28 a^{5} + 28 a^{4} + 7 a^{3} + 9 a^{2} + 16 a + 27\right)\cdot 29^{5} + \left(16 a^{13} + 9 a^{12} + 17 a^{11} + 16 a^{10} + 8 a^{9} + 17 a^{8} + 14 a^{7} + 26 a^{6} + 8 a^{5} + 26 a^{4} + 13 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 18\right)\cdot 29^{6} + \left(20 a^{13} + 12 a^{12} + 28 a^{11} + 23 a^{10} + 19 a^{9} + 28 a^{8} + 27 a^{7} + 17 a^{6} + 21 a^{5} + 7 a^{4} + 13 a^{3} + 25 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 29^{7} + \left(14 a^{13} + 12 a^{12} + 4 a^{11} + 25 a^{10} + 20 a^{9} + 24 a^{8} + 10 a^{7} + 23 a^{6} + 26 a^{5} + 9 a^{4} + 7 a^{3} + 17 a^{2} + 20 a + 28\right)\cdot 29^{8} + \left(4 a^{13} + 14 a^{12} + 9 a^{11} + 19 a^{10} + 11 a^{9} + 25 a^{8} + 5 a^{7} + 6 a^{6} + 19 a^{5} + 17 a^{4} + 22 a^{3} + 28 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 21 }$ $=$ \( 28 a^{13} + 16 a^{12} + 10 a^{11} + a^{10} + 22 a^{9} + 7 a^{8} + 23 a^{7} + 9 a^{6} + 4 a^{5} + 25 a^{4} + 17 a^{3} + 27 a^{2} + 28 a + 5 + \left(26 a^{13} + 24 a^{12} + 25 a^{11} + 6 a^{10} + 15 a^{8} + 2 a^{7} + 20 a^{6} + 13 a^{5} + 10 a^{4} + 11 a^{3} + 20 a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 29 + \left(a^{13} + 6 a^{12} + 23 a^{11} + 4 a^{10} + 5 a^{9} + 17 a^{8} + 6 a^{7} + 26 a^{6} + 17 a^{5} + a^{4} + 25 a^{3} + 14 a^{2} + 26 a + 17\right)\cdot 29^{2} + \left(11 a^{13} + 25 a^{12} + 28 a^{11} + a^{10} + 15 a^{9} + 8 a^{8} + 5 a^{7} + 8 a^{6} + 15 a^{5} + 6 a^{4} + 8 a^{3} + 21 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 29^{3} + \left(17 a^{13} + 11 a^{12} + 3 a^{11} + 27 a^{10} + 7 a^{9} + 16 a^{8} + 16 a^{7} + 3 a^{6} + 15 a^{5} + 12 a^{4} + 26 a^{3} + 22 a^{2} + 14 a + 27\right)\cdot 29^{4} + \left(20 a^{13} + 4 a^{12} + 7 a^{11} + 15 a^{10} + a^{9} + 28 a^{8} + 26 a^{7} + 7 a^{6} + 25 a^{5} + 22 a^{4} + 8 a^{3} + 16 a^{2} + 7 a + 24\right)\cdot 29^{5} + \left(25 a^{13} + 24 a^{12} + 21 a^{11} + 9 a^{10} + 13 a^{9} + 9 a^{8} + 21 a^{7} + 18 a^{6} + 28 a^{5} + 26 a^{3} + 17 a^{2} + 19 a + 10\right)\cdot 29^{6} + \left(17 a^{13} + 10 a^{12} + 16 a^{11} + 12 a^{10} + 9 a^{9} + 23 a^{8} + 10 a^{7} + 13 a^{6} + 4 a^{5} + 27 a^{4} + 19 a^{3} + 5 a^{2} + 17 a + 26\right)\cdot 29^{7} + \left(8 a^{13} + 8 a^{12} + 19 a^{11} + 24 a^{10} + a^{9} + 14 a^{8} + 3 a^{7} + 24 a^{6} + 5 a^{5} + 26 a^{4} + 11 a^{3} + 20 a^{2} + 27 a + 26\right)\cdot 29^{8} + \left(a^{13} + 25 a^{12} + 12 a^{11} + 2 a^{10} + 7 a^{9} + 9 a^{8} + 21 a^{7} + 8 a^{6} + 10 a^{5} + 9 a^{4} + 20 a^{3} + 21 a^{2} + 21 a + 6\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 22 }$ $=$ \( 6 a^{13} + 7 a^{12} + a^{11} + 26 a^{10} + 17 a^{9} + 2 a^{8} + 20 a^{7} + 5 a^{6} + 27 a^{5} + 15 a^{4} + 10 a^{3} + a^{2} + 15 a + 14 + \left(10 a^{13} + 11 a^{12} + 26 a^{11} + 20 a^{10} + a^{9} + 6 a^{8} + 22 a^{7} + 8 a^{5} + 8 a^{4} + 6 a^{3} + 10 a^{2} + 21 a + 9\right)\cdot 29 + \left(27 a^{13} + 6 a^{12} + 12 a^{11} + 26 a^{10} + 25 a^{9} + a^{8} + a^{7} + 20 a^{6} + 24 a^{5} + 4 a^{4} + 11 a^{3} + 19 a^{2} + 25 a + 14\right)\cdot 29^{2} + \left(8 a^{13} + 17 a^{11} + 17 a^{10} + 20 a^{9} + 26 a^{8} + 27 a^{7} + 23 a^{6} + 27 a^{5} + 9 a^{4} + 20 a^{3} + 12 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 29^{3} + \left(16 a^{13} + 21 a^{12} + 21 a^{11} + 20 a^{10} + 20 a^{9} + 12 a^{8} + 16 a^{7} + 25 a^{6} + 26 a^{5} + 22 a^{4} + 18 a^{3} + 16 a^{2} + 27\right)\cdot 29^{4} + \left(7 a^{13} + 11 a^{12} + 14 a^{11} + 2 a^{10} + 18 a^{9} + 24 a^{8} + 14 a^{7} + 23 a^{6} + 8 a^{5} + 5 a^{4} + 4 a^{3} + 3 a^{2} + 17 a + 7\right)\cdot 29^{5} + \left(3 a^{13} + 3 a^{12} + 5 a^{11} + 11 a^{10} + 5 a^{9} + 25 a^{7} + 17 a^{6} + 8 a^{5} + 16 a^{4} + 15 a^{3} + 10 a^{2} + 28 a + 3\right)\cdot 29^{6} + \left(a^{13} + 20 a^{10} + 24 a^{9} + 3 a^{8} + 27 a^{7} + 4 a^{6} + 14 a^{5} + 17 a^{4} + 27 a^{3} + 28 a^{2} + 25 a + 9\right)\cdot 29^{7} + \left(6 a^{13} + 8 a^{12} + 8 a^{11} + 24 a^{10} + 11 a^{9} + 12 a^{8} + 19 a^{7} + 7 a^{6} + 28 a^{5} + 12 a^{4} + 11 a^{3} + 28 a^{2} + 2 a + 23\right)\cdot 29^{8} + \left(15 a^{13} + 7 a^{12} + 18 a^{11} + 19 a^{10} + 10 a^{9} + 15 a^{8} + 9 a^{7} + 3 a^{6} + 5 a^{5} + 23 a^{4} + 11 a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 21\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 23 }$ $=$ \( 4 a^{13} + 23 a^{12} + 25 a^{11} + a^{10} + 27 a^{9} + 3 a^{8} + 12 a^{7} + a^{6} + 2 a^{5} + 24 a^{4} + 8 a^{2} + 18 a + 28 + \left(2 a^{13} + 3 a^{12} + 6 a^{11} + 11 a^{10} + 12 a^{9} + 24 a^{8} + 20 a^{7} + 9 a^{5} + 12 a^{4} + 23 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 25\right)\cdot 29 + \left(13 a^{13} + 23 a^{12} + 28 a^{11} + 9 a^{9} + 11 a^{8} + 12 a^{7} + 20 a^{6} + 9 a^{5} + 2 a^{4} + 13 a^{3} + 15 a + 14\right)\cdot 29^{2} + \left(17 a^{13} + 5 a^{12} + 23 a^{11} + 16 a^{10} + 11 a^{9} + 23 a^{8} + 11 a^{7} + 16 a^{6} + 15 a^{5} + 6 a^{4} + 26 a^{3} + 27 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 29^{3} + \left(8 a^{13} + 8 a^{12} + 27 a^{11} + 4 a^{10} + 20 a^{9} + 9 a^{8} + 28 a^{7} + 24 a^{6} + 10 a^{5} + 24 a^{4} + 6 a^{3} + 28 a^{2} + 25 a + 4\right)\cdot 29^{4} + \left(12 a^{13} + 15 a^{12} + 7 a^{11} + 11 a^{10} + 19 a^{9} + 14 a^{8} + 22 a^{7} + 11 a^{6} + 2 a^{5} + 24 a^{4} + 3 a^{3} + 11 a + 1\right)\cdot 29^{5} + \left(3 a^{13} + 25 a^{12} + 9 a^{11} + 26 a^{10} + 2 a^{9} + 26 a^{8} + 22 a^{7} + 10 a^{6} + 18 a^{5} + 13 a^{4} + 22 a^{3} + 11 a^{2} + 28 a + 23\right)\cdot 29^{6} + \left(17 a^{13} + 11 a^{12} + 28 a^{11} + 10 a^{10} + a^{9} + 19 a^{8} + 6 a^{7} + 5 a^{6} + a^{5} + 2 a^{4} + 5 a^{3} + 13 a^{2} + 15 a + 17\right)\cdot 29^{7} + \left(4 a^{13} + 7 a^{12} + 16 a^{11} + 4 a^{10} + 6 a^{9} + 13 a^{8} + 3 a^{7} + 2 a^{6} + 15 a^{5} + 11 a^{4} + 25 a^{3} + 25 a^{2} + 7 a + 19\right)\cdot 29^{8} + \left(13 a^{13} + 8 a^{12} + 9 a^{11} + 5 a^{10} + 27 a^{9} + 28 a^{8} + 17 a^{7} + 4 a^{6} + 27 a^{5} + 13 a^{4} + a^{3} + 20 a^{2} + 5\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 24 }$ $=$ \( 18 a^{13} + 17 a^{12} + 26 a^{11} + 11 a^{10} + 25 a^{9} + 15 a^{8} + 24 a^{7} + 21 a^{6} + 19 a^{5} + 26 a^{4} + 13 a^{3} + 15 a^{2} + 5 a + 1 + \left(23 a^{13} + 23 a^{12} + 21 a^{11} + 28 a^{10} + 23 a^{9} + 26 a^{8} + 23 a^{7} + 11 a^{6} + 25 a^{5} + 9 a^{4} + 11 a^{3} + 24 a^{2} + 18 a + 17\right)\cdot 29 + \left(8 a^{13} + 11 a^{11} + 22 a^{9} + 18 a^{8} + 9 a^{7} + 25 a^{6} + 27 a^{5} + 11 a^{4} + 9 a^{3} + 23 a^{2} + 24 a + 25\right)\cdot 29^{2} + \left(13 a^{13} + 16 a^{12} + 11 a^{11} + 12 a^{10} + 16 a^{9} + 19 a^{8} + 27 a^{7} + 13 a^{6} + 4 a^{5} + 22 a^{4} + 19 a^{3} + 4 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 29^{3} + \left(27 a^{13} + 6 a^{12} + 10 a^{11} + 23 a^{10} + 8 a^{9} + 18 a^{8} + 23 a^{7} + 15 a^{6} + 6 a^{5} + 26 a^{4} + 2 a^{3} + 12 a^{2} + 19 a + 8\right)\cdot 29^{4} + \left(14 a^{13} + 4 a^{12} + 26 a^{11} + 27 a^{10} + 15 a^{9} + 28 a^{8} + 26 a^{7} + 13 a^{6} + a^{5} + 10 a^{4} + 14 a^{3} + 6 a^{2} + 17 a + 3\right)\cdot 29^{5} + \left(12 a^{13} + 19 a^{12} + 9 a^{11} + 14 a^{10} + 24 a^{9} + 5 a^{8} + 14 a^{6} + 5 a^{5} + 9 a^{4} + 24 a^{3} + 25 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 29^{6} + \left(9 a^{13} + 12 a^{12} + 26 a^{11} + 22 a^{10} + 9 a^{9} + 5 a^{7} + 2 a^{6} + 5 a^{5} + 14 a^{4} + 12 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 29^{7} + \left(7 a^{13} + 21 a^{12} + 26 a^{11} + 16 a^{10} + 4 a^{9} + 13 a^{8} + 9 a^{7} + 20 a^{6} + 14 a^{5} + 19 a^{4} + 21 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 29^{8} + \left(5 a^{13} + 18 a^{12} + 20 a^{11} + 17 a^{10} + 22 a^{9} + 13 a^{8} + 13 a^{7} + 19 a^{6} + a^{5} + 23 a^{4} + 5 a^{3} + 15 a^{2} + 14 a + 18\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 25 }$ $=$ \( 26 a^{13} + a^{12} + 22 a^{11} + 13 a^{10} + 27 a^{9} + 28 a^{8} + 21 a^{7} + 24 a^{6} + 20 a^{5} + 20 a^{4} + a^{3} + 12 a + 13 + \left(11 a^{13} + 6 a^{12} + 4 a^{11} + 23 a^{10} + 15 a^{9} + 26 a^{8} + 18 a^{7} + 23 a^{6} + 19 a^{5} + 18 a^{4} + 21 a^{3} + 12 a^{2} + 13 a + 16\right)\cdot 29 + \left(14 a^{13} + 7 a^{12} + 13 a^{11} + 26 a^{10} + 14 a^{9} + 19 a^{8} + 25 a^{7} + 5 a^{6} + 10 a^{5} + 13 a^{4} + 16 a^{2} + 20 a + 20\right)\cdot 29^{2} + \left(24 a^{12} + 16 a^{11} + 27 a^{10} + 19 a^{9} + a^{8} + 6 a^{7} + 19 a^{6} + 28 a^{5} + 13 a^{4} + 9 a^{3} + a^{2} + 8 a + 28\right)\cdot 29^{3} + \left(9 a^{13} + 19 a^{12} + 28 a^{11} + 23 a^{10} + 28 a^{9} + 21 a^{8} + 2 a^{7} + 15 a^{6} + 2 a^{5} + 3 a^{4} + 26 a^{2} + 10 a + 15\right)\cdot 29^{4} + \left(15 a^{13} + 7 a^{12} + 26 a^{11} + 6 a^{10} + 22 a^{9} + 19 a^{8} + 8 a^{7} + 10 a^{6} + 20 a^{5} + 15 a^{4} + 25 a^{3} + 10 a^{2} + 18 a + 14\right)\cdot 29^{5} + \left(23 a^{13} + 4 a^{12} + 23 a^{11} + 15 a^{10} + 6 a^{9} + 14 a^{8} + 28 a^{7} + 21 a^{6} + a^{5} + 14 a^{4} + 14 a^{3} + 6 a^{2} + 24 a + 26\right)\cdot 29^{6} + \left(8 a^{13} + 25 a^{12} + 24 a^{11} + 10 a^{10} + 28 a^{9} + 10 a^{8} + 14 a^{7} + 12 a^{6} + 4 a^{5} + 18 a^{3} + 14 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 29^{7} + \left(12 a^{13} + a^{12} + 18 a^{11} + 28 a^{10} + 15 a^{9} + 3 a^{8} + 7 a^{7} + 3 a^{6} + 17 a^{5} + 25 a^{4} + 3 a^{3} + 24 a^{2} + 21 a + 27\right)\cdot 29^{8} + \left(4 a^{13} + 22 a^{12} + 24 a^{11} + 2 a^{10} + 9 a^{9} + 28 a^{8} + 12 a^{7} + 2 a^{6} + 19 a^{5} + 23 a^{4} + 19 a^{3} + 9 a^{2} + 19 a + 10\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 26 }$ $=$ \( 2 a^{13} + 11 a^{12} + 18 a^{11} + 28 a^{10} + 5 a^{9} + 21 a^{8} + 10 a^{7} + 22 a^{6} + 9 a^{5} + 28 a^{4} + 13 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + \left(16 a^{13} + 24 a^{12} + 21 a^{11} + 7 a^{10} + 2 a^{9} + 19 a^{8} + 11 a^{7} + 19 a^{6} + 6 a^{5} + 26 a^{4} + 23 a^{3} + 20 a^{2} + 10 a + 28\right)\cdot 29 + \left(17 a^{12} + 8 a^{10} + 21 a^{9} + 27 a^{8} + 28 a^{7} + 4 a^{6} + 8 a^{5} + 19 a^{4} + 21 a^{3} + 21 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 29^{2} + \left(24 a^{13} + 13 a^{12} + 11 a^{11} + 6 a^{10} + 15 a^{8} + 2 a^{7} + 20 a^{6} + 14 a^{5} + 26 a^{4} + 27 a^{3} + 28 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 29^{3} + \left(16 a^{13} + 11 a^{12} + 6 a^{10} + 12 a^{9} + 21 a^{8} + 14 a^{7} + 17 a^{6} + 8 a^{5} + 16 a^{4} + 11 a^{3} + 13 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 29^{4} + \left(10 a^{13} + a^{12} + 18 a^{11} + 10 a^{10} + 28 a^{9} + 22 a^{8} + 18 a^{7} + 2 a^{6} + 19 a^{5} + 6 a^{3} + 21 a^{2} + 2 a + 18\right)\cdot 29^{5} + \left(2 a^{13} + 12 a^{12} + 25 a^{11} + 26 a^{10} + 18 a^{9} + 17 a^{8} + 5 a^{7} + 9 a^{6} + 7 a^{5} + 28 a^{4} + 26 a^{3} + 22 a^{2} + 7 a + 18\right)\cdot 29^{6} + \left(25 a^{13} + 13 a^{12} + 5 a^{11} + 8 a^{10} + 7 a^{9} + 10 a^{8} + 16 a^{7} + 22 a^{6} + 19 a^{5} + 11 a^{4} + 10 a^{3} + 8 a^{2} + 13 a + 9\right)\cdot 29^{7} + \left(12 a^{13} + 2 a^{11} + 3 a^{10} + 18 a^{9} + 11 a^{8} + 22 a^{7} + 17 a^{6} + 6 a^{5} + 26 a^{4} + 21 a^{3} + 25 a^{2} + 19 a + 21\right)\cdot 29^{8} + \left(9 a^{13} + 2 a^{12} + 5 a^{10} + 5 a^{9} + 22 a^{8} + 27 a^{7} + 6 a^{6} + 24 a^{5} + a^{4} + 28 a^{3} + 21 a^{2} + 21 a + 15\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 27 }$ $=$ \( 11 a^{13} + 13 a^{12} + 26 a^{11} + 8 a^{10} + 24 a^{9} + 6 a^{8} + 2 a^{7} + 24 a^{6} + 9 a^{5} + 19 a^{4} + 8 a^{3} + 8 a^{2} + 21 a + 1 + \left(24 a^{13} + 14 a^{12} + 9 a^{11} + 18 a^{9} + 5 a^{8} + 26 a^{7} + 10 a^{6} + 26 a^{5} + 13 a^{4} + 3 a^{3} + 25 a^{2} + 22 a + 15\right)\cdot 29 + \left(6 a^{13} + 14 a^{12} + 21 a^{11} + 7 a^{10} + 8 a^{9} + 22 a^{8} + 12 a^{7} + 2 a^{6} + 3 a^{5} + 23 a^{4} + 13 a^{3} + 22 a^{2} + 16\right)\cdot 29^{2} + \left(16 a^{13} + 18 a^{12} + 23 a^{11} + 2 a^{10} + 14 a^{9} + 17 a^{8} + 28 a^{7} + 15 a^{6} + 24 a^{4} + 17 a^{3} + 25 a^{2} + 25 a + 23\right)\cdot 29^{3} + \left(7 a^{13} + 15 a^{12} + 9 a^{11} + 24 a^{10} + 24 a^{9} + 27 a^{8} + 10 a^{7} + 9 a^{6} + 12 a^{5} + 18 a^{4} + 4 a^{3} + 23 a^{2} + 20 a + 17\right)\cdot 29^{4} + \left(16 a^{13} + 11 a^{12} + 3 a^{11} + 28 a^{10} + 15 a^{9} + 10 a^{8} + 17 a^{7} + 18 a^{6} + 22 a^{5} + 2 a^{4} + 17 a^{3} + 19 a^{2} + 24 a + 27\right)\cdot 29^{5} + \left(25 a^{13} + 6 a^{12} + 6 a^{11} + 26 a^{10} + 15 a^{9} + 10 a^{8} + 15 a^{7} + 10 a^{6} + a^{5} + 9 a^{3} + 23 a^{2} + 20 a + 17\right)\cdot 29^{6} + \left(26 a^{13} + 13 a^{12} + a^{11} + 4 a^{10} + 21 a^{9} + 13 a^{8} + 21 a^{7} + 15 a^{6} + 12 a^{5} + 18 a^{4} + 14 a^{3} + 23 a^{2} + 27 a + 20\right)\cdot 29^{7} + \left(19 a^{13} + 5 a^{12} + 11 a^{11} + 27 a^{10} + 26 a^{9} + 15 a^{8} + 25 a^{7} + 25 a^{6} + 23 a^{5} + 25 a^{4} + 9 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a\right)\cdot 29^{8} + \left(17 a^{13} + 26 a^{12} + 20 a^{11} + 19 a^{10} + 5 a^{9} + 18 a^{8} + 8 a^{7} + 15 a^{6} + 5 a^{5} + 13 a^{4} + 2 a^{3} + 25 a^{2} + 2 a + 19\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 28 }$ $=$ \( 14 a^{13} + 22 a^{12} + 18 a^{11} + 25 a^{10} + 26 a^{9} + 23 a^{8} + 3 a^{7} + 7 a^{6} + 20 a^{5} + 2 a^{4} + 19 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 5 + \left(19 a^{13} + 7 a^{12} + 17 a^{11} + 5 a^{10} + 20 a^{9} + 15 a^{8} + 17 a^{7} + a^{6} + 14 a^{5} + 23 a^{4} + 17 a^{3} + 6 a^{2} + 20 a + 3\right)\cdot 29 + \left(12 a^{13} + 17 a^{12} + 11 a^{11} + 24 a^{10} + 24 a^{9} + 9 a^{8} + 21 a^{7} + 4 a^{6} + 27 a^{5} + 17 a^{4} + 16 a^{3} + 21 a^{2} + 17 a + 13\right)\cdot 29^{2} + \left(12 a^{13} + 7 a^{12} + 4 a^{11} + 5 a^{10} + 19 a^{9} + 14 a^{8} + 15 a^{7} + 22 a^{6} + 18 a^{5} + 24 a^{4} + 27 a^{3} + 19 a + 5\right)\cdot 29^{3} + \left(26 a^{13} + 9 a^{12} + 17 a^{11} + 20 a^{10} + 5 a^{9} + 28 a^{8} + 6 a^{7} + 28 a^{6} + 18 a^{4} + 12 a^{3} + 24 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 29^{4} + \left(11 a^{13} + 26 a^{12} + 22 a^{11} + 15 a^{10} + 27 a^{9} + 26 a^{8} + 22 a^{7} + 16 a^{6} + 20 a^{5} + 13 a^{4} + 3 a^{3} + 3 a^{2} + 23 a + 27\right)\cdot 29^{5} + \left(27 a^{13} + 9 a^{12} + 10 a^{11} + 4 a^{10} + 18 a^{9} + 25 a^{8} + 18 a^{7} + 28 a^{6} + 22 a^{5} + 5 a^{4} + 15 a^{3} + 27 a + 17\right)\cdot 29^{6} + \left(22 a^{13} + 14 a^{12} + 3 a^{10} + 9 a^{9} + 11 a^{8} + 17 a^{7} + 14 a^{6} + 15 a^{5} + 26 a^{4} + 12 a^{3} + 13 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 29^{7} + \left(8 a^{13} + 20 a^{12} + 26 a^{11} + 27 a^{10} + 5 a^{9} + 20 a^{8} + 28 a^{7} + 28 a^{6} + 8 a^{5} + 19 a^{4} + 8 a^{3} + 15 a^{2} + 23 a + 11\right)\cdot 29^{8} + \left(a^{13} + 16 a^{12} + 11 a^{11} + 17 a^{10} + 14 a^{9} + 11 a^{8} + 8 a^{7} + 13 a^{6} + 17 a^{5} + 18 a^{4} + 2 a^{3} + 23 a^{2} + 24 a + 8\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\)  Toggle raw display

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 28 }$

Cycle notation
$(1,25)(2,9)(3,21)(4,8)(5,10)(6,23)(7,20)(11,12)(13,28)(14,27)(15,16)(17,19)(18,22)(24,26)$
$(1,2)(3,16)(4,10)(5,8)(6,18)(7,14)(9,25)(11,12)(13,17)(15,21)(19,28)(20,27)(22,23)$
$(1,14)(3,22)(4,24)(5,6)(7,19)(8,26)(10,23)(11,13)(12,28)(15,16)(17,20)(18,21)(25,27)$
$(1,3,25,21)(2,15,9,16)(4,13,8,28)(5,17,10,19)(6,7,23,20)(11,24,12,26)(14,18,27,22)$

Character values on conjugacy classes

SizeOrderAction on $r_1, \ldots, r_{ 28 }$ Character value
$1$$1$$()$$2$
$1$$2$$(1,25)(2,9)(3,21)(4,8)(5,10)(6,23)(7,20)(11,12)(13,28)(14,27)(15,16)(17,19)(18,22)(24,26)$$-2$
$14$$2$$(1,2)(3,16)(4,10)(5,8)(6,18)(7,14)(9,25)(11,12)(13,17)(15,21)(19,28)(20,27)(22,23)$$0$
$14$$2$$(1,15)(2,3)(4,19)(5,28)(6,27)(7,18)(8,17)(9,21)(10,13)(11,26)(12,24)(14,23)(16,25)(20,22)$$0$
$2$$4$$(1,3,25,21)(2,15,9,16)(4,13,8,28)(5,17,10,19)(6,7,23,20)(11,24,12,26)(14,18,27,22)$$0$
$2$$7$$(1,14,12,20,9,17,28)(2,19,13,25,27,11,7)(3,18,26,6,16,10,4)(5,8,21,22,24,23,15)$$-\zeta_{28}^{10} + \zeta_{28}^{4}$
$2$$7$$(1,20,28,12,17,14,9)(2,25,7,13,11,19,27)(3,6,4,26,10,18,16)(5,22,15,21,23,8,24)$$\zeta_{28}^{10} - \zeta_{28}^{8} + \zeta_{28}^{6} - \zeta_{28}^{4} - 1$
$2$$7$$(1,17,20,14,28,9,12)(2,11,25,19,7,27,13)(3,10,6,18,4,16,26)(5,23,22,8,15,24,21)$$\zeta_{28}^{8} - \zeta_{28}^{6}$
$2$$14$$(1,2,14,19,12,13,20,25,9,27,17,11,28,7)(3,15,18,5,26,8,6,21,16,22,10,24,4,23)$$-\zeta_{28}^{10} + \zeta_{28}^{8} - \zeta_{28}^{6} + \zeta_{28}^{4} + 1$
$2$$14$$(1,19,20,27,28,2,12,25,17,7,14,13,9,11)(3,5,6,22,4,15,26,21,10,23,18,8,16,24)$$-\zeta_{28}^{8} + \zeta_{28}^{6}$
$2$$14$$(1,13,17,2,20,11,14,25,28,19,9,7,12,27)(3,8,10,15,6,24,18,21,4,5,16,23,26,22)$$\zeta_{28}^{10} - \zeta_{28}^{4}$
$2$$28$$(1,15,27,10,12,8,7,3,9,22,19,26,28,23,25,16,14,5,11,4,20,21,2,18,17,24,13,6)$$-\zeta_{28}^{9} + \zeta_{28}^{5}$
$2$$28$$(1,10,7,22,28,16,11,21,17,6,27,8,9,26,25,5,20,18,13,15,12,3,19,23,14,4,2,24)$$\zeta_{28}^{11} - \zeta_{28}^{9} + \zeta_{28}^{7} - \zeta_{28}^{5} + \zeta_{28}^{3} - 2 \zeta_{28}$
$2$$28$$(1,8,19,16,20,24,27,3,28,5,2,6,12,22,25,4,17,15,7,26,14,21,13,10,9,23,11,18)$$-\zeta_{28}^{11} + \zeta_{28}^{3}$
$2$$28$$(1,22,11,6,9,5,13,3,14,24,7,16,17,8,25,18,12,23,2,10,28,21,27,26,20,15,19,4)$$\zeta_{28}^{11} - \zeta_{28}^{3}$
$2$$28$$(1,26,2,8,14,6,19,21,12,16,13,22,20,10,25,24,9,4,27,23,17,3,11,15,28,18,7,5)$$-\zeta_{28}^{11} + \zeta_{28}^{9} - \zeta_{28}^{7} + \zeta_{28}^{5} - \zeta_{28}^{3} + 2 \zeta_{28}$
$2$$28$$(1,23,13,26,17,22,2,3,20,8,11,10,14,15,25,6,28,24,19,18,9,21,7,4,12,5,27,16)$$\zeta_{28}^{9} - \zeta_{28}^{5}$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.