Basic invariants
| Dimension: | $2$ |
| Group: | $D_{30}$ |
| Conductor: | \(3375\)\(\medspace = 3^{3} \cdot 5^{3} \) |
| Frobenius-Schur indicator: | $1$ |
| Root number: | $1$ |
| Artin stem field: | Galois closure of 30.0.18201370075621419164235703647136688232421875.1 |
| Galois orbit size: | $4$ |
| Smallest permutation container: | $D_{30}$ |
| Parity: | odd |
| Determinant: | 1.15.2t1.a.a |
| Projective image: | $D_{15}$ |
| Projective stem field: | Galois closure of 15.1.2463153133392333984375.1 |
Defining polynomial
| $f(x)$ | $=$ |
\( x^{30} - 10 x^{27} - 54 x^{25} + 90 x^{24} + 315 x^{23} + 15 x^{22} - 240 x^{21} + 504 x^{20} + \cdots + 169 \)
|
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 31 }$ to precision 10.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 31 }$:
\( x^{15} + 30x^{6} + 29x^{5} + 12x^{4} + 13x^{3} + 23x^{2} + 25x + 28 \)
Roots:
| $r_{ 1 }$ | $=$ |
\( 12 a^{14} + 27 a^{13} + 3 a^{12} + 22 a^{11} + 19 a^{10} + 28 a^{9} + 30 a^{8} + 16 a^{7} + 5 a^{6} + 22 a^{5} + 6 a^{4} + 21 a^{3} + 7 a^{2} + 21 a + 13 + \left(11 a^{14} + 20 a^{13} + 29 a^{12} + 16 a^{11} + 10 a^{10} + 13 a^{8} + 23 a^{7} + 11 a^{5} + 22 a^{4} + 4 a^{3} + 11 a^{2} + 16 a + 7\right)\cdot 31 + \left(16 a^{14} + 18 a^{13} + 10 a^{12} + 15 a^{11} + a^{10} + 2 a^{9} + 9 a^{8} + 20 a^{7} + 10 a^{6} + 6 a^{5} + 23 a^{4} + 2 a^{3} + 3 a^{2} + 22 a + 17\right)\cdot 31^{2} + \left(18 a^{14} + 20 a^{13} + 12 a^{12} + 2 a^{11} + 14 a^{10} + 25 a^{9} + 24 a^{8} + a^{7} + 12 a^{6} + 14 a^{5} + 3 a^{4} + 21 a^{3} + 24 a^{2} + 2 a + 23\right)\cdot 31^{3} + \left(27 a^{14} + 2 a^{13} + 7 a^{12} + 19 a^{11} + 17 a^{10} + 19 a^{8} + 20 a^{7} + 6 a^{5} + 14 a^{4} + 6 a^{3} + a^{2} + 18\right)\cdot 31^{4} + \left(26 a^{14} + 17 a^{13} + 30 a^{12} + 28 a^{11} + 11 a^{10} + 18 a^{9} + 24 a^{8} + 14 a^{7} + 25 a^{6} + 29 a^{5} + 30 a^{4} + 23 a^{3} + 12 a^{2} + 19 a + 13\right)\cdot 31^{5} + \left(16 a^{13} + 22 a^{12} + 2 a^{11} + 16 a^{10} + 22 a^{9} + 2 a^{8} + 28 a^{7} + a^{6} + 18 a^{5} + 29 a^{4} + 12 a^{3} + 27 a^{2} + 20 a + 23\right)\cdot 31^{6} + \left(9 a^{14} + 22 a^{13} + 4 a^{12} + 24 a^{11} + 5 a^{10} + 4 a^{9} + 17 a^{8} + 28 a^{7} + 27 a^{6} + 20 a^{5} + 16 a^{4} + 21 a^{3} + 28 a^{2} + 17 a + 15\right)\cdot 31^{7} + \left(16 a^{13} + 22 a^{12} + 23 a^{10} + 11 a^{9} + 15 a^{8} + 16 a^{7} + 29 a^{6} + 22 a^{5} + 14 a^{4} + 18 a^{3} + 21 a^{2} + 30 a + 23\right)\cdot 31^{8} + \left(15 a^{14} + 17 a^{13} + 15 a^{12} + 29 a^{11} + 13 a^{10} + 5 a^{9} + 6 a^{8} + 30 a^{7} + 5 a^{6} + 17 a^{5} + 10 a^{4} + 2 a^{3} + 18 a^{2} + 21 a + 17\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 2 }$ | $=$ |
\( 24 a^{14} + 12 a^{13} + 15 a^{12} + 30 a^{11} + 14 a^{10} + 14 a^{9} + 30 a^{8} + 18 a^{7} + 23 a^{6} + 11 a^{5} + 27 a^{4} + 8 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 10 + \left(17 a^{13} + 26 a^{12} + 18 a^{11} + 17 a^{10} + 16 a^{9} + 21 a^{8} + 23 a^{7} + 10 a^{5} + 18 a^{4} + 25 a^{3} + 13 a^{2} + 19 a + 8\right)\cdot 31 + \left(30 a^{14} + 3 a^{13} + 7 a^{12} + 26 a^{11} + 15 a^{10} + 13 a^{9} + 12 a^{8} + 6 a^{7} + 13 a^{6} + 2 a^{5} + 23 a^{4} + 15 a^{3} + 30 a^{2} + 14 a + 1\right)\cdot 31^{2} + \left(7 a^{14} + 13 a^{13} + 18 a^{12} + 11 a^{11} + 4 a^{10} + 4 a^{9} + 4 a^{8} + 16 a^{7} + 14 a^{6} + 4 a^{5} + 7 a^{4} + 12 a^{3} + 28 a^{2} + 28\right)\cdot 31^{3} + \left(18 a^{14} + 24 a^{13} + 20 a^{12} + 9 a^{11} + 7 a^{10} + 29 a^{9} + 7 a^{8} + 12 a^{7} + 20 a^{6} + 27 a^{5} + 30 a^{4} + 25 a^{3} + 26 a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 31^{4} + \left(20 a^{14} + 21 a^{13} + 27 a^{12} + 26 a^{11} + 20 a^{10} + 18 a^{9} + 3 a^{7} + 27 a^{6} + 8 a^{5} + 2 a^{4} + 29 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a\right)\cdot 31^{5} + \left(17 a^{14} + 3 a^{13} + 26 a^{12} + 4 a^{11} + 28 a^{10} + 28 a^{9} + 9 a^{8} + 25 a^{7} + 27 a^{6} + a^{5} + 3 a^{4} + 18 a^{3} + 28 a^{2} + 20 a + 9\right)\cdot 31^{6} + \left(29 a^{14} + 26 a^{12} + 17 a^{11} + 7 a^{10} + 2 a^{9} + 26 a^{8} + a^{7} + 25 a^{6} + 23 a^{5} + 30 a^{4} + 8 a^{3} + 21 a^{2} + 3 a + 18\right)\cdot 31^{7} + \left(5 a^{14} + 27 a^{13} + 27 a^{12} + 3 a^{11} + 21 a^{10} + 5 a^{9} + 17 a^{8} + 29 a^{7} + 8 a^{6} + a^{5} + 29 a^{4} + 24 a^{3} + 29 a^{2} + a + 2\right)\cdot 31^{8} + \left(19 a^{14} + 2 a^{13} + 19 a^{12} + 13 a^{11} + 11 a^{10} + 20 a^{9} + 6 a^{8} + 12 a^{7} + 2 a^{6} + 23 a^{5} + 14 a^{4} + 29 a^{3} + 7 a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 3 }$ | $=$ |
\( 19 a^{14} + 11 a^{13} + 7 a^{12} + 29 a^{11} + 28 a^{10} + 24 a^{9} + 21 a^{8} + 10 a^{7} + 24 a^{6} + 6 a^{5} + 25 a^{4} + 18 a^{3} + 7 a + 13 + \left(11 a^{14} + 22 a^{13} + 10 a^{12} + 26 a^{11} + 21 a^{10} + 5 a^{9} + 9 a^{8} + 18 a^{7} + 16 a^{6} + 28 a^{5} + 11 a^{4} + 20 a^{3} + 8 a^{2} + 8\right)\cdot 31 + \left(5 a^{14} + 6 a^{13} + 15 a^{12} + 14 a^{11} + 8 a^{9} + 22 a^{8} + 30 a^{7} + 2 a^{6} + 28 a^{5} + 19 a^{4} + 29 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 16\right)\cdot 31^{2} + \left(27 a^{14} + 23 a^{13} + 30 a^{12} + 26 a^{11} + 10 a^{10} + 28 a^{9} + 16 a^{8} + 15 a^{7} + 26 a^{6} + 9 a^{5} + 12 a^{4} + 3 a^{3} + 3 a^{2} + 29 a + 24\right)\cdot 31^{3} + \left(16 a^{14} + 21 a^{13} + 26 a^{12} + 19 a^{10} + 19 a^{9} + 3 a^{8} + 8 a^{7} + 21 a^{6} + 26 a^{5} + 28 a^{4} + a^{3} + 16 a^{2} + 12 a + 28\right)\cdot 31^{4} + \left(29 a^{14} + 12 a^{13} + 20 a^{12} + 21 a^{11} + 24 a^{10} + 25 a^{9} + a^{8} + a^{7} + 19 a^{6} + 9 a^{5} + a^{4} + 25 a^{3} + 18 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 31^{5} + \left(21 a^{14} + 20 a^{13} + 18 a^{12} + 11 a^{11} + a^{10} + 15 a^{9} + 24 a^{8} + 18 a^{7} + 16 a^{6} + 4 a^{5} + 18 a^{3} + 19 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 31^{6} + \left(19 a^{14} + 11 a^{13} + 23 a^{12} + 4 a^{11} + 25 a^{10} + 18 a^{9} + 18 a^{8} + 14 a^{7} + 13 a^{6} + 28 a^{5} + 9 a^{4} + 22 a^{3} + 8 a^{2} + 15 a + 6\right)\cdot 31^{7} + \left(16 a^{14} + 13 a^{13} + 29 a^{12} + 9 a^{11} + 5 a^{9} + 30 a^{8} + 27 a^{6} + 6 a^{5} + 25 a^{4} + 20 a^{3} + 26 a^{2} + 7 a + 16\right)\cdot 31^{8} + \left(9 a^{14} + 29 a^{13} + 13 a^{12} + 20 a^{11} + 28 a^{10} + 18 a^{9} + 10 a^{8} + 2 a^{6} + 2 a^{5} + 13 a^{4} + 11 a^{3} + 14 a + 1\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 4 }$ | $=$ |
\( 2 a^{14} + 6 a^{13} + 6 a^{12} + 24 a^{11} + 2 a^{10} + 8 a^{9} + 6 a^{8} + 3 a^{7} + 4 a^{6} + 17 a^{5} + 12 a^{4} + 5 a^{3} + 23 a^{2} + 17 a + 17 + \left(21 a^{14} + 4 a^{13} + 9 a^{12} + 7 a^{11} + 10 a^{10} + 11 a^{9} + 27 a^{8} + a^{6} + 25 a^{5} + 16 a^{4} + 11 a^{3} + 25 a^{2} + a + 26\right)\cdot 31 + \left(a^{14} + 30 a^{13} + 12 a^{12} + 6 a^{11} + 7 a^{10} + 19 a^{9} + 21 a^{8} + 24 a^{7} + 18 a^{6} + 24 a^{5} + 9 a^{4} + 9 a^{3} + 19 a^{2} + 24 a + 8\right)\cdot 31^{2} + \left(30 a^{14} + 17 a^{13} + 30 a^{12} + 15 a^{11} + 25 a^{10} + 2 a^{8} + 18 a^{6} + 13 a^{5} + 29 a^{4} + 29 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 16\right)\cdot 31^{3} + \left(29 a^{14} + 18 a^{13} + 18 a^{12} + 26 a^{11} + 3 a^{10} + 12 a^{9} + 4 a^{8} + 6 a^{7} + 9 a^{6} + 2 a^{5} + a^{4} + 9 a^{3} + 13 a^{2} + 14 a\right)\cdot 31^{4} + \left(12 a^{14} + a^{13} + 5 a^{12} + 15 a^{11} + 5 a^{10} + 18 a^{9} + 28 a^{8} + 27 a^{7} + 14 a^{6} + 25 a^{5} + 10 a^{4} + 6 a^{3} + 5 a^{2} + 17 a + 22\right)\cdot 31^{5} + \left(14 a^{14} + 8 a^{13} + 25 a^{12} + 26 a^{11} + 7 a^{10} + 29 a^{8} + a^{7} + 9 a^{6} + 12 a^{5} + 11 a^{4} + 2 a^{3} + 18 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 31^{6} + \left(19 a^{14} + 23 a^{13} + 10 a^{12} + 28 a^{11} + 17 a^{10} + 6 a^{9} + 28 a^{8} + 5 a^{7} + 13 a^{6} + 16 a^{5} + 27 a^{4} + 22 a^{3} + 22 a^{2} + 20 a + 6\right)\cdot 31^{7} + \left(27 a^{14} + 14 a^{13} + 12 a^{12} + 25 a^{11} + 28 a^{10} + 15 a^{9} + 14 a^{8} + 20 a^{7} + 7 a^{6} + 27 a^{5} + 4 a^{4} + 28 a^{3} + 16 a^{2} + 14 a + 23\right)\cdot 31^{8} + \left(11 a^{14} + 6 a^{13} + 22 a^{12} + 22 a^{11} + 24 a^{10} + 22 a^{9} + 30 a^{8} + 3 a^{7} + 14 a^{6} + 20 a^{5} + 6 a^{4} + 21 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 5 }$ | $=$ |
\( 14 a^{14} + 2 a^{13} + 6 a^{12} + a^{11} + 30 a^{9} + 16 a^{8} + 3 a^{7} + 23 a^{6} + 13 a^{5} + 3 a^{4} + 13 a^{3} + 4 a^{2} + 24 a + 25 + \left(10 a^{14} + 21 a^{13} + 28 a^{12} + a^{11} + 27 a^{10} + 24 a^{9} + 11 a^{8} + 27 a^{7} + 10 a^{6} + 6 a^{5} + 3 a^{4} + 28 a^{3} + 10 a^{2} + 27 a + 25\right)\cdot 31 + \left(29 a^{14} + 17 a^{13} + 5 a^{12} + 4 a^{11} + 2 a^{10} + 11 a^{9} + 30 a^{8} + 11 a^{7} + 24 a^{6} + 24 a^{5} + 22 a^{4} + 4 a^{3} + 18 a + 4\right)\cdot 31^{2} + \left(14 a^{14} + 14 a^{13} + 17 a^{12} + 21 a^{11} + 24 a^{10} + 7 a^{9} + 18 a^{8} + 15 a^{7} + 25 a^{6} + 27 a^{5} + 18 a^{4} + 3 a^{3} + 3 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 31^{3} + \left(27 a^{14} + 7 a^{13} + 28 a^{12} + 20 a^{11} + 8 a^{10} + 24 a^{9} + 7 a^{8} + 18 a^{7} + 14 a^{6} + 20 a^{5} + 6 a^{4} + 25 a^{3} + 11 a^{2} + 21 a + 21\right)\cdot 31^{4} + \left(a^{14} + 15 a^{13} + 10 a^{12} + 13 a^{11} + 20 a^{10} + 16 a^{9} + 26 a^{8} + 8 a^{7} + 25 a^{6} + 12 a^{5} + a^{4} + 9 a^{3} + 29 a^{2} + 24 a + 29\right)\cdot 31^{5} + \left(11 a^{14} + 24 a^{13} + 12 a^{12} + 27 a^{11} + 24 a^{10} + 12 a^{9} + 15 a^{8} + 29 a^{7} + 25 a^{6} + 30 a^{5} + 10 a^{4} + 30 a^{3} + a^{2} + 30 a + 30\right)\cdot 31^{6} + \left(a^{14} + 18 a^{13} + a^{12} + 10 a^{11} + 30 a^{10} + 12 a^{9} + 25 a^{8} + 29 a^{7} + 14 a^{6} + 22 a^{5} + 26 a^{3} + a^{2} + 14 a + 26\right)\cdot 31^{7} + \left(23 a^{14} + 30 a^{13} + 10 a^{12} + 17 a^{11} + 30 a^{10} + 26 a^{9} + 18 a^{8} + 9 a^{7} + 21 a^{6} + 7 a^{5} + 17 a^{4} + 19 a^{3} + 20 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 31^{8} + \left(5 a^{14} + 7 a^{13} + 21 a^{12} + 10 a^{11} + 24 a^{10} + 5 a^{9} + 2 a^{8} + 5 a^{7} + 13 a^{6} + 29 a^{5} + 23 a^{4} + 18 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 16\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 6 }$ | $=$ |
\( 9 a^{14} + 3 a^{13} + 15 a^{12} + 4 a^{11} + 12 a^{10} + 4 a^{9} + 17 a^{8} + 15 a^{7} + 21 a^{6} + 10 a^{5} + 18 a^{4} + 16 a^{3} + 12 a^{2} + 27 a + 21 + \left(25 a^{14} + 19 a^{13} + 25 a^{12} + 16 a^{11} + 16 a^{9} + 3 a^{7} + 7 a^{5} + 29 a^{3} + 18 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 31 + \left(7 a^{14} + 17 a^{13} + 4 a^{12} + 22 a^{11} + 12 a^{10} + 14 a^{9} + 24 a^{8} + 18 a^{7} + 23 a^{6} + 23 a^{5} + 11 a^{4} + 21 a^{3} + 28 a^{2} + 16 a + 27\right)\cdot 31^{2} + \left(6 a^{14} + 28 a^{13} + 30 a^{12} + 30 a^{11} + 19 a^{10} + 23 a^{9} + 16 a^{8} + a^{7} + 15 a^{6} + 21 a^{5} + a^{4} + 23 a^{3} + 14 a^{2} + 21 a + 27\right)\cdot 31^{3} + \left(4 a^{14} + 26 a^{13} + 19 a^{12} + 27 a^{11} + 18 a^{10} + 30 a^{9} + 11 a^{8} + 14 a^{7} + 3 a^{6} + 23 a^{5} + 28 a^{4} + 3 a^{3} + a + 1\right)\cdot 31^{4} + \left(12 a^{14} + 29 a^{13} + 17 a^{12} + 17 a^{11} + 20 a^{10} + 9 a^{9} + 15 a^{8} + 28 a^{7} + 22 a^{6} + 14 a^{5} + 3 a^{4} + 13 a^{3} + a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 31^{5} + \left(4 a^{14} + 21 a^{13} + 19 a^{12} + 25 a^{11} + 10 a^{10} + 2 a^{9} + 26 a^{8} + 26 a^{7} + 4 a^{6} + 27 a^{5} + 23 a^{4} + 28 a^{3} + 23 a^{2} + 28 a + 22\right)\cdot 31^{6} + \left(21 a^{14} + 10 a^{13} + 30 a^{12} + 25 a^{11} + 10 a^{10} + 14 a^{9} + 19 a^{8} + 11 a^{7} + 18 a^{6} + 8 a^{5} + 24 a^{4} + 25 a^{3} + 13 a^{2} + 16 a + 25\right)\cdot 31^{7} + \left(7 a^{13} + 27 a^{12} + 16 a^{11} + 26 a^{10} + 29 a^{9} + 9 a^{8} + 3 a^{7} + 5 a^{6} + 20 a^{5} + 2 a^{4} + 10 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 28\right)\cdot 31^{8} + \left(26 a^{14} + 3 a^{13} + 19 a^{12} + 4 a^{11} + 13 a^{10} + 20 a^{9} + 25 a^{8} + 3 a^{7} + 21 a^{5} + 27 a^{4} + 26 a^{3} + 12 a^{2} + 8 a + 25\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 7 }$ | $=$ |
\( 2 a^{14} + 24 a^{13} + 2 a^{12} + 28 a^{11} + 29 a^{10} + 17 a^{9} + 29 a^{8} + 18 a^{7} + 27 a^{6} + 24 a^{5} + 15 a^{4} + 8 a^{3} + 29 a^{2} + a + 18 + \left(7 a^{14} + 29 a^{13} + 10 a^{12} + 22 a^{11} + 3 a^{10} + 8 a^{9} + 17 a^{8} + 19 a^{7} + 11 a^{6} + 17 a^{5} + 18 a^{4} + 24 a^{3} + 12 a^{2} + 26 a + 25\right)\cdot 31 + \left(26 a^{14} + 30 a^{13} + 30 a^{12} + 3 a^{11} + 17 a^{10} + 23 a^{9} + 21 a^{8} + 11 a^{7} + 29 a^{5} + 24 a^{4} + 4 a^{3} + 19 a^{2} + 20 a + 12\right)\cdot 31^{2} + \left(11 a^{14} + 4 a^{13} + 14 a^{12} + 15 a^{11} + 5 a^{10} + 10 a^{9} + 17 a^{8} + 28 a^{7} + 8 a^{6} + 29 a^{4} + 20 a^{3} + 26 a^{2} + 7 a + 25\right)\cdot 31^{3} + \left(2 a^{14} + 8 a^{13} + 14 a^{12} + 26 a^{10} + 28 a^{9} + 8 a^{8} + 28 a^{7} + 15 a^{6} + 25 a^{5} + 25 a^{4} + 28 a^{3} + 29 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 31^{4} + \left(15 a^{14} + 11 a^{13} + 2 a^{12} + 14 a^{11} + 17 a^{10} + 29 a^{9} + 29 a^{7} + 17 a^{6} + 16 a^{5} + 18 a^{4} + 29 a^{3} + 7 a^{2} + 16 a + 7\right)\cdot 31^{5} + \left(11 a^{14} + 19 a^{13} + 26 a^{12} + 25 a^{11} + 3 a^{10} + 19 a^{9} + 15 a^{8} + 9 a^{7} + 24 a^{6} + 3 a^{5} + 16 a^{4} + 10 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 31^{6} + \left(15 a^{14} + 6 a^{13} + 30 a^{12} + 10 a^{11} + 25 a^{10} + 5 a^{9} + 2 a^{8} + 24 a^{7} + 11 a^{6} + 13 a^{5} + 18 a^{4} + 19 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 24\right)\cdot 31^{7} + \left(6 a^{14} + 4 a^{13} + 13 a^{12} + 12 a^{11} + 29 a^{10} + 28 a^{9} + 24 a^{8} + 8 a^{7} + 18 a^{6} + 30 a^{5} + 27 a^{3} + 2 a^{2} + 21 a + 4\right)\cdot 31^{8} + \left(6 a^{14} + 29 a^{13} + 3 a^{12} + 23 a^{11} + 2 a^{10} + 5 a^{9} + 5 a^{8} + a^{7} + 16 a^{6} + 23 a^{5} + 25 a^{4} + 16 a^{3} + 29 a^{2} + 4 a + 17\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 8 }$ | $=$ |
\( 6 a^{13} + 30 a^{12} + 28 a^{11} + 24 a^{9} + 21 a^{8} + 12 a^{7} + 14 a^{6} + 23 a^{5} + 5 a^{4} + 20 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 25 + \left(18 a^{14} + 30 a^{13} + 21 a^{12} + 8 a^{11} + 10 a^{10} + 6 a^{9} + 20 a^{8} + a^{7} + 14 a^{6} + 14 a^{5} + 19 a^{4} + 13 a^{3} + 30 a^{2} + 7 a + 27\right)\cdot 31 + \left(23 a^{14} + 28 a^{13} + 11 a^{12} + 19 a^{11} + 22 a^{10} + 16 a^{9} + 30 a^{8} + 25 a^{7} + 8 a^{6} + 26 a^{5} + 27 a^{4} + 12 a^{3} + 8 a^{2} + 13 a + 7\right)\cdot 31^{2} + \left(24 a^{14} + 7 a^{13} + 12 a^{12} + 13 a^{11} + 25 a^{10} + 6 a^{9} + 28 a^{8} + 14 a^{7} + 27 a^{6} + 12 a^{5} + 19 a^{4} + 24 a^{3} + 2 a^{2} + a + 20\right)\cdot 31^{3} + \left(4 a^{14} + 26 a^{13} + 30 a^{12} + 17 a^{11} + 20 a^{10} + 18 a^{9} + 3 a^{8} + 19 a^{7} + 6 a^{6} + 2 a^{5} + 27 a^{4} + 30 a^{2} + 29 a + 12\right)\cdot 31^{4} + \left(11 a^{14} + 20 a^{13} + 20 a^{12} + 9 a^{11} + 22 a^{10} + 8 a^{9} + 25 a^{8} + 5 a^{7} + 21 a^{6} + 3 a^{4} + 8 a^{3} + 24 a^{2} + 21 a\right)\cdot 31^{5} + \left(29 a^{14} + 23 a^{13} + 6 a^{12} + 11 a^{11} + 6 a^{10} + 9 a^{9} + 8 a^{8} + 28 a^{7} + 3 a^{6} + 27 a^{5} + 24 a^{4} + 24 a^{3} + 6 a^{2} + 29 a + 11\right)\cdot 31^{6} + \left(6 a^{14} + 10 a^{13} + 11 a^{12} + 18 a^{11} + 19 a^{10} + 30 a^{9} + 18 a^{8} + 9 a^{7} + 15 a^{6} + 2 a^{5} + 26 a^{4} + 25 a^{3} + 20 a^{2} + 23 a + 7\right)\cdot 31^{7} + \left(23 a^{14} + 16 a^{13} + 2 a^{11} + 3 a^{10} + 18 a^{9} + 10 a^{8} + 17 a^{7} + 17 a^{6} + 15 a^{5} + 20 a^{4} + 15 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 14\right)\cdot 31^{8} + \left(23 a^{14} + 6 a^{13} + 24 a^{12} + 9 a^{11} + 16 a^{10} + 26 a^{9} + 10 a^{8} + 2 a^{7} + 12 a^{6} + 9 a^{5} + 26 a^{4} + 19 a^{3} + 28 a^{2} + 25 a + 4\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 9 }$ | $=$ |
\( 12 a^{14} + 18 a^{13} + 16 a^{12} + 12 a^{11} + 6 a^{10} + 29 a^{9} + 20 a^{8} + 30 a^{7} + 23 a^{6} + 14 a^{5} + 21 a^{4} + 10 a^{3} + 28 a^{2} + 24 a + 5 + \left(5 a^{14} + 2 a^{13} + 17 a^{12} + 4 a^{11} + 13 a^{10} + a^{9} + 19 a^{8} + 23 a^{7} + 4 a^{6} + 21 a^{5} + 9 a^{4} + 24 a^{3} + 21 a^{2} + 12 a + 16\right)\cdot 31 + \left(20 a^{14} + 15 a^{13} + 9 a^{12} + 30 a^{11} + 23 a^{10} + 19 a^{9} + 8 a^{8} + 14 a^{7} + 12 a^{6} + a^{4} + 29 a^{3} + 28 a^{2} + 7 a + 22\right)\cdot 31^{2} + \left(11 a^{14} + 4 a^{13} + 18 a^{12} + a^{11} + 17 a^{10} + 28 a^{9} + 3 a^{8} + 26 a^{7} + 16 a^{6} + 9 a^{5} + 12 a^{4} + 12 a^{3} + 30 a^{2} + 23 a + 11\right)\cdot 31^{3} + \left(21 a^{14} + 5 a^{13} + 24 a^{12} + 8 a^{11} + 16 a^{10} + 15 a^{9} + 14 a^{8} + a^{7} + 2 a^{6} + 8 a^{5} + 4 a^{4} + 7 a^{3} + 9 a^{2} + 25 a + 26\right)\cdot 31^{4} + \left(14 a^{14} + 24 a^{13} + 15 a^{12} + 22 a^{11} + 29 a^{10} + 3 a^{9} + 26 a^{8} + 28 a^{7} + 8 a^{6} + 10 a^{5} + 19 a^{4} + 19 a^{3} + 7 a^{2} + 18 a + 20\right)\cdot 31^{5} + \left(7 a^{14} + 2 a^{13} + 8 a^{12} + 2 a^{11} + 21 a^{10} + 20 a^{9} + 10 a^{8} + 11 a^{7} + 13 a^{5} + 18 a^{4} + 8 a^{3} + 2 a^{2} + 22 a + 12\right)\cdot 31^{6} + \left(16 a^{14} + 9 a^{13} + 28 a^{11} + 21 a^{10} + a^{9} + 29 a^{8} + 16 a^{7} + 8 a^{6} + 4 a^{5} + 10 a^{4} + 21 a^{3} + 2 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 31^{7} + \left(22 a^{14} + 18 a^{13} + 16 a^{12} + 3 a^{11} + 20 a^{10} + 25 a^{9} + 12 a^{8} + 2 a^{7} + 15 a^{6} + 13 a^{5} + 30 a^{4} + 4 a^{3} + 25 a^{2} + 17 a + 28\right)\cdot 31^{8} + \left(7 a^{14} + 4 a^{13} + 10 a^{12} + 23 a^{11} + a^{10} + 12 a^{9} + a^{8} + 17 a^{7} + 16 a^{6} + 22 a^{5} + 28 a^{4} + 17 a^{3} + 27 a^{2} + 27 a + 24\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 10 }$ | $=$ |
\( 10 a^{14} + 24 a^{13} + 25 a^{12} + 14 a^{11} + 8 a^{10} + 9 a^{9} + 7 a^{8} + 2 a^{7} + 15 a^{6} + 11 a^{5} + 15 a^{4} + 10 a^{3} + 2 a^{2} + 18 a + 29 + \left(26 a^{14} + 25 a^{13} + 6 a^{12} + 22 a^{11} + 29 a^{10} + 14 a^{9} + 26 a^{8} + 30 a^{7} + 22 a^{6} + 27 a^{5} + 8 a^{4} + 3 a^{3} + 9 a^{2} + 21 a + 9\right)\cdot 31 + \left(2 a^{13} + 6 a^{12} + 6 a^{11} + 19 a^{10} + 14 a^{9} + 24 a^{8} + 21 a^{7} + 17 a^{6} + 25 a^{5} + 28 a^{4} + 14 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 19\right)\cdot 31^{2} + \left(10 a^{14} + 15 a^{13} + 29 a^{11} + 20 a^{10} + 13 a^{8} + 19 a^{7} + 2 a^{6} + 26 a^{5} + 23 a^{4} + 21 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 27\right)\cdot 31^{3} + \left(19 a^{14} + 17 a^{13} + 27 a^{12} + 3 a^{11} + 4 a^{10} + 26 a^{9} + 29 a^{8} + 21 a^{7} + 17 a^{6} + 2 a^{5} + 25 a^{4} + 8 a^{3} + 26 a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 31^{4} + \left(23 a^{14} + 29 a^{13} + 19 a^{12} + 5 a^{11} + 25 a^{10} + 26 a^{9} + 11 a^{8} + 24 a^{7} + 9 a^{6} + 26 a^{5} + 26 a^{4} + 19 a^{3} + 25 a^{2} + 18 a + 28\right)\cdot 31^{5} + \left(7 a^{14} + 27 a^{13} + 26 a^{12} + 24 a^{10} + 20 a^{9} + 2 a^{8} + 5 a^{7} + 21 a^{6} + 14 a^{4} + 17 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 31^{6} + \left(17 a^{14} + 5 a^{13} + 7 a^{12} + 8 a^{11} + 21 a^{10} + 12 a^{9} + 18 a^{8} + 25 a^{7} + 20 a^{6} + 4 a^{5} + 15 a^{4} + 27 a^{3} + 12 a^{2} + 22 a + 28\right)\cdot 31^{7} + \left(30 a^{14} + 16 a^{13} + 8 a^{12} + 28 a^{11} + 2 a^{10} + 16 a^{9} + 25 a^{8} + a^{7} + 8 a^{6} + 20 a^{5} + 28 a^{4} + 12 a^{3} + 14\right)\cdot 31^{8} + \left(22 a^{14} + 9 a^{13} + 12 a^{12} + 21 a^{11} + 17 a^{10} + 8 a^{9} + 12 a^{8} + a^{7} + 14 a^{6} + 11 a^{5} + 10 a^{4} + 18 a^{3} + 27 a^{2} + 9 a + 13\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 11 }$ | $=$ |
\( 27 a^{14} + 11 a^{13} + 15 a^{12} + 29 a^{11} + 25 a^{10} + 20 a^{9} + 20 a^{8} + 12 a^{7} + 30 a^{6} + 11 a^{5} + 22 a^{4} + 17 a^{3} + 11 a^{2} + 23 a + 2 + \left(5 a^{14} + 24 a^{13} + 16 a^{12} + 12 a^{11} + 8 a^{10} + 17 a^{9} + 28 a^{8} + 14 a^{7} + 30 a^{6} + 6 a^{5} + 17 a^{4} + 18 a^{3} + 6 a^{2} + 25 a + 15\right)\cdot 31 + \left(30 a^{13} + 22 a^{12} + 8 a^{11} + 24 a^{10} + 17 a^{9} + 20 a^{8} + 15 a^{7} + 7 a^{6} + 10 a^{5} + 22 a^{4} + 13 a^{3} + 3 a + 15\right)\cdot 31^{2} + \left(28 a^{14} + 28 a^{13} + 8 a^{12} + 16 a^{11} + 17 a^{10} + 8 a^{9} + 18 a^{8} + 13 a^{7} + 24 a^{6} + 30 a^{5} + a^{4} + 3 a^{3} + 28 a^{2} + 19 a + 14\right)\cdot 31^{3} + \left(21 a^{14} + 9 a^{13} + 3 a^{12} + 7 a^{11} + 27 a^{10} + 6 a^{9} + 3 a^{8} + 15 a^{7} + 6 a^{6} + 8 a^{5} + 13 a^{4} + 24 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 27\right)\cdot 31^{4} + \left(14 a^{14} + 4 a^{13} + 28 a^{12} + 7 a^{11} + 25 a^{10} + 14 a^{9} + 29 a^{8} + 18 a^{7} + 17 a^{6} + 29 a^{5} + 19 a^{4} + 10 a^{3} + 22 a^{2} + 20 a + 3\right)\cdot 31^{5} + \left(11 a^{14} + 16 a^{13} + 28 a^{12} + 6 a^{11} + 30 a^{10} + 13 a^{9} + 15 a^{8} + 11 a^{7} + 26 a^{6} + 25 a^{5} + 9 a^{4} + 27 a^{3} + 17 a^{2} + 24 a + 10\right)\cdot 31^{6} + \left(3 a^{14} + 9 a^{13} + 10 a^{12} + 4 a^{11} + 23 a^{10} + 7 a^{9} + 20 a^{8} + 15 a^{7} + 30 a^{6} + 28 a^{5} + 21 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 31^{7} + \left(17 a^{14} + 18 a^{13} + 19 a^{12} + 15 a^{11} + a^{10} + 15 a^{9} + 16 a^{8} + 20 a^{7} + 15 a^{6} + 16 a^{5} + 18 a^{4} + 14 a^{3} + 17 a^{2} + 5 a + 16\right)\cdot 31^{8} + \left(20 a^{14} + 18 a^{13} + 6 a^{12} + 5 a^{11} + 14 a^{10} + 21 a^{9} + 15 a^{8} + 4 a^{7} + 17 a^{6} + 26 a^{5} + 9 a^{4} + 26 a^{3} + 16 a^{2} + 17 a + 1\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 12 }$ | $=$ |
\( 3 a^{14} + 21 a^{13} + 11 a^{12} + 10 a^{10} + 21 a^{9} + 11 a^{8} + 2 a^{7} + a^{5} + 25 a^{4} + 18 a^{3} + 12 a^{2} + 11 a + 17 + \left(17 a^{14} + 19 a^{13} + 2 a^{12} + 22 a^{11} + 8 a^{10} + 18 a^{9} + 17 a^{8} + 16 a^{7} + 15 a^{6} + 6 a^{5} + 21 a^{4} + 9 a^{3} + 13 a^{2} + 15 a + 24\right)\cdot 31 + \left(20 a^{14} + 29 a^{13} + 2 a^{12} + 5 a^{11} + 18 a^{10} + 9 a^{9} + 13 a^{8} + 18 a^{7} + 27 a^{6} + 28 a^{5} + 21 a^{4} + 28 a^{3} + 17 a^{2} + 17 a + 14\right)\cdot 31^{2} + \left(23 a^{14} + 18 a^{12} + 25 a^{11} + 11 a^{10} + 15 a^{9} + 22 a^{8} + 11 a^{7} + 14 a^{6} + 23 a^{5} + 2 a^{4} + 8 a^{3} + 5 a^{2} + 23 a + 27\right)\cdot 31^{3} + \left(30 a^{14} + 7 a^{13} + 4 a^{12} + 14 a^{11} + 15 a^{10} + a^{9} + 11 a^{8} + 12 a^{7} + 5 a^{6} + 22 a^{5} + 7 a^{4} + 25 a^{3} + 14 a^{2} + 23 a + 20\right)\cdot 31^{4} + \left(12 a^{14} + 20 a^{13} + 15 a^{12} + 28 a^{11} + 8 a^{10} + 22 a^{9} + 20 a^{7} + 3 a^{6} + 26 a^{5} + 19 a^{4} + 27 a^{3} + 18 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 31^{5} + \left(4 a^{14} + 8 a^{13} + 15 a^{12} + 14 a^{11} + 23 a^{10} + 15 a^{9} + 30 a^{8} + a^{7} + 27 a^{6} + 3 a^{5} + 6 a^{4} + 23 a^{3} + 29 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 31^{6} + \left(11 a^{14} + 22 a^{13} + 26 a^{12} + 17 a^{10} + a^{9} + 19 a^{8} + 19 a^{7} + 12 a^{6} + 9 a^{5} + 17 a^{4} + 26 a^{3} + 6 a^{2} + 25 a + 25\right)\cdot 31^{7} + \left(8 a^{13} + 18 a^{12} + 30 a^{11} + 6 a^{9} + 5 a^{8} + 25 a^{7} + 7 a^{5} + 10 a^{4} + 7 a^{3} + 9 a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 31^{8} + \left(5 a^{14} + 6 a^{13} + 5 a^{12} + 23 a^{11} + 21 a^{10} + 29 a^{9} + 8 a^{8} + 24 a^{6} + 25 a^{5} + 17 a^{4} + 14 a^{3} + 27 a^{2} + 15 a + 11\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 13 }$ | $=$ |
\( 22 a^{14} + 3 a^{13} + 2 a^{12} + 7 a^{11} + 10 a^{10} + 20 a^{9} + 9 a^{8} + 18 a^{7} + 24 a^{6} + 25 a^{5} + 12 a^{4} + 2 a^{3} + 12 a^{2} + 18 a + 4 + \left(22 a^{14} + 11 a^{13} + 13 a^{12} + 28 a^{11} + 23 a^{10} + 20 a^{9} + 20 a^{8} + 22 a^{7} + 22 a^{6} + 14 a^{5} + 13 a^{4} + 10 a^{3} + 6 a^{2} + 19 a + 13\right)\cdot 31 + \left(20 a^{14} + 25 a^{13} + 16 a^{12} + 14 a^{10} + 26 a^{9} + 6 a^{7} + 21 a^{6} + 6 a^{5} + 22 a^{4} + 3 a^{3} + 9 a^{2} + 6 a + 17\right)\cdot 31^{2} + \left(a^{14} + 17 a^{13} + 12 a^{12} + 14 a^{11} + 21 a^{10} + 25 a^{9} + 7 a^{8} + 8 a^{7} + 4 a^{6} + 28 a^{5} + 19 a^{4} + 30 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 31^{3} + \left(19 a^{14} + 29 a^{13} + 26 a^{12} + 9 a^{10} + 29 a^{9} + 21 a^{8} + 23 a^{7} + 8 a^{6} + 12 a^{5} + 25 a^{4} + 13 a^{3} + 23 a^{2} + 29 a + 28\right)\cdot 31^{4} + \left(29 a^{14} + 26 a^{13} + 14 a^{12} + 28 a^{11} + 15 a^{10} + a^{9} + 10 a^{8} + 12 a^{7} + 24 a^{6} + 20 a^{5} + 10 a^{4} + 29 a^{2} + 17 a + 15\right)\cdot 31^{5} + \left(5 a^{14} + 26 a^{13} + 27 a^{12} + 8 a^{11} + 9 a^{10} + 5 a^{9} + 28 a^{8} + 22 a^{7} + 22 a^{6} + 25 a^{5} + 11 a^{4} + 19 a^{3} + 12 a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 31^{6} + \left(20 a^{14} + a^{13} + 9 a^{12} + 21 a^{11} + 29 a^{10} + 27 a^{9} + 18 a^{8} + 8 a^{6} + 14 a^{4} + 27 a^{3} + 17 a^{2} + 20 a + 8\right)\cdot 31^{7} + \left(20 a^{14} + 7 a^{13} + 21 a^{12} + 23 a^{11} + 27 a^{10} + 18 a^{9} + 21 a^{8} + 24 a^{7} + 29 a^{6} + 21 a^{5} + 11 a^{4} + 25 a^{3} + 21 a^{2} + 7 a + 25\right)\cdot 31^{8} + \left(20 a^{14} + 25 a^{13} + 9 a^{12} + 23 a^{11} + 11 a^{10} + 4 a^{9} + 19 a^{8} + 12 a^{7} + 15 a^{6} + 12 a^{5} + 12 a^{4} + 22 a^{3} + 21 a^{2} + 20 a + 20\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 14 }$ | $=$ |
\( 19 a^{14} + 27 a^{13} + 5 a^{11} + 21 a^{10} + a^{9} + 7 a^{8} + 13 a^{7} + 10 a^{6} + 26 a^{5} + 7 a^{4} + 26 a^{2} + 10 a + 7 + \left(2 a^{14} + 19 a^{13} + 30 a^{12} + 4 a^{11} + 21 a^{10} + 20 a^{9} + 22 a^{8} + a^{7} + 2 a^{6} + 7 a^{5} + 19 a^{4} + 24 a^{3} + 15 a\right)\cdot 31 + \left(23 a^{14} + 17 a^{13} + 21 a^{12} + a^{11} + 30 a^{10} + 23 a^{9} + 4 a^{8} + 30 a^{7} + 26 a^{6} + 3 a^{5} + 13 a^{4} + 18 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 13\right)\cdot 31^{2} + \left(4 a^{14} + 13 a^{13} + 5 a^{12} + 8 a^{11} + 14 a^{10} + 29 a^{9} + 24 a^{7} + 18 a^{6} + 27 a^{5} + 3 a^{4} + a^{3} + 24 a^{2} + 22\right)\cdot 31^{3} + \left(22 a^{14} + 27 a^{13} + 26 a^{12} + 25 a^{11} + 15 a^{10} + 10 a^{9} + 23 a^{8} + 6 a^{7} + 28 a^{6} + 16 a^{5} + 3 a^{4} + 30 a^{3} + 12 a^{2} + 15 a + 29\right)\cdot 31^{4} + \left(27 a^{14} + 11 a^{13} + 25 a^{12} + 29 a^{11} + 7 a^{10} + 16 a^{9} + 22 a^{8} + 20 a^{7} + 13 a^{6} + 12 a^{5} + 7 a^{4} + 19 a^{3} + a^{2} + 12 a + 20\right)\cdot 31^{5} + \left(6 a^{14} + 13 a^{13} + 15 a^{12} + 11 a^{11} + 9 a^{10} + 22 a^{9} + 21 a^{8} + 25 a^{7} + 21 a^{6} + 28 a^{5} + 30 a^{4} + 26 a^{3} + 30 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 31^{6} + \left(a^{14} + 6 a^{13} + 29 a^{12} + 28 a^{11} + 13 a^{10} + 3 a^{9} + 18 a^{8} + 25 a^{7} + 11 a^{6} + 11 a^{5} + 7 a^{4} + 24 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 31^{7} + \left(9 a^{14} + 2 a^{13} + 26 a^{12} + 21 a^{11} + 4 a^{10} + 29 a^{9} + 13 a^{8} + 9 a^{7} + 2 a^{6} + 6 a^{5} + 2 a^{4} + 26 a^{3} + 29 a^{2} + 11 a + 13\right)\cdot 31^{8} + \left(27 a^{14} + 26 a^{13} + 20 a^{12} + 4 a^{11} + a^{10} + 19 a^{9} + 21 a^{8} + 28 a^{7} + 11 a^{6} + 7 a^{5} + 13 a^{4} + 27 a^{3} + a^{2} + 22 a + 12\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 15 }$ | $=$ |
\( 14 a^{14} + 4 a^{13} + 23 a^{12} + 8 a^{11} + 13 a^{10} + 13 a^{9} + 28 a^{8} + 26 a^{7} + 25 a^{6} + 21 a^{5} + 7 a^{4} + 22 a^{3} + 11 a^{2} + 16 a + 13 + \left(10 a^{14} + 13 a^{13} + 8 a^{12} + 9 a^{11} + 5 a^{10} + 17 a^{9} + 2 a^{8} + 27 a^{7} + 18 a^{6} + 5 a^{5} + 9 a^{4} + 26 a^{3} + 24 a^{2} + 13 a + 15\right)\cdot 31 + \left(14 a^{14} + 13 a^{13} + 12 a^{12} + 12 a^{11} + 27 a^{10} + 7 a^{9} + 3 a^{7} + 22 a^{6} + 14 a^{5} + 27 a^{4} + 6 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 31^{2} + \left(30 a^{14} + 8 a^{13} + 6 a^{12} + 28 a^{11} + 17 a^{10} + 18 a^{9} + 12 a^{8} + 2 a^{7} + 29 a^{6} + 14 a^{5} + 21 a^{4} + 10 a^{3} + 3 a^{2} + 22 a + 9\right)\cdot 31^{3} + \left(4 a^{14} + 12 a^{13} + 10 a^{12} + 3 a^{11} + 15 a^{10} + 12 a^{9} + 4 a^{8} + a^{6} + 6 a^{5} + 19 a^{4} + 25 a^{3} + 17 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 31^{4} + \left(25 a^{14} + 23 a^{13} + 15 a^{12} + 13 a^{11} + 30 a^{10} + 14 a^{9} + 17 a^{8} + 22 a^{7} + 7 a^{6} + 28 a^{5} + 2 a^{4} + 27 a^{3} + 29 a^{2} + 14 a + 3\right)\cdot 31^{5} + \left(9 a^{14} + 23 a^{13} + 24 a^{12} + a^{11} + 19 a^{10} + 18 a^{9} + 15 a^{8} + 23 a^{7} + 29 a^{6} + 9 a^{5} + 23 a^{4} + 5 a^{3} + 16 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 31^{6} + \left(6 a^{14} + 17 a^{13} + 22 a^{12} + 3 a^{11} + 28 a^{10} + 17 a^{9} + 24 a^{8} + 28 a^{7} + 28 a^{6} + 6 a^{5} + 30 a^{4} + 5 a^{3} + 5 a^{2} + 19 a + 1\right)\cdot 31^{7} + \left(4 a^{14} + 7 a^{13} + 24 a^{12} + 15 a^{11} + 26 a^{10} + 25 a^{9} + 26 a^{8} + 2 a^{7} + 2 a^{6} + 27 a^{5} + 29 a^{4} + 3 a^{3} + 29 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 31^{8} + \left(18 a^{14} + 15 a^{13} + a^{12} + 14 a^{11} + 6 a^{10} + 25 a^{9} + 28 a^{8} + 8 a^{7} + 11 a^{6} + 8 a^{5} + 13 a^{4} + 16 a^{3} + 5 a^{2} + 22 a + 30\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 16 }$ | $=$ |
\( 16 a^{14} + 5 a^{13} + 7 a^{12} + 22 a^{11} + 14 a^{10} + 18 a^{9} + 9 a^{8} + 16 a^{7} + 16 a^{6} + 10 a^{5} + 19 a^{4} + 12 a^{3} + 20 a^{2} + 11 a + 30 + \left(5 a^{14} + 15 a^{13} + 8 a^{12} + 30 a^{11} + 5 a^{10} + 28 a^{9} + 4 a^{8} + 9 a^{7} + 23 a^{6} + 28 a^{5} + 8 a^{4} + 28 a^{3} + 21 a^{2} + 2 a + 23\right)\cdot 31 + \left(3 a^{14} + 13 a^{13} + 22 a^{12} + 25 a^{11} + 19 a^{10} + 19 a^{9} + 9 a^{8} + 19 a^{7} + 30 a^{6} + 23 a^{5} + 6 a^{4} + 21 a^{3} + 19 a^{2} + 21 a + 17\right)\cdot 31^{2} + \left(10 a^{14} + 23 a^{13} + 19 a^{12} + 3 a^{11} + 8 a^{10} + 9 a^{9} + 16 a^{8} + 7 a^{7} + 5 a^{6} + 13 a^{5} + 11 a^{4} + 19 a^{3} + 29 a^{2} + 5 a\right)\cdot 31^{3} + \left(13 a^{14} + 17 a^{13} + 17 a^{12} + 24 a^{11} + 23 a^{10} + 18 a^{9} + 21 a^{8} + 28 a^{7} + 27 a^{6} + 8 a^{5} + 5 a^{4} + 19 a^{3} + 23 a^{2} + 28 a + 5\right)\cdot 31^{4} + \left(10 a^{14} + 12 a^{13} + 13 a^{12} + 26 a^{11} + 2 a^{10} + 6 a^{9} + 28 a^{8} + 9 a^{7} + 19 a^{6} + 24 a^{5} + 21 a^{4} + 30 a^{3} + 4 a^{2} + 18 a + 7\right)\cdot 31^{5} + \left(22 a^{14} + 6 a^{13} + 19 a^{12} + 16 a^{11} + 16 a^{10} + 13 a^{9} + 12 a^{8} + 17 a^{7} + 30 a^{6} + 21 a^{5} + 30 a^{4} + 14 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 27\right)\cdot 31^{6} + \left(22 a^{14} + 19 a^{13} + 10 a^{12} + 8 a^{11} + 5 a^{10} + 24 a^{9} + 26 a^{8} + a^{7} + 18 a^{6} + 5 a^{5} + 28 a^{4} + 12 a^{3} + 4 a^{2} + 14 a + 26\right)\cdot 31^{7} + \left(28 a^{14} + 15 a^{13} + 15 a^{12} + 29 a^{11} + 10 a^{10} + 28 a^{9} + 22 a^{8} + 13 a^{6} + 19 a^{5} + 10 a^{4} + 22 a^{3} + 30 a^{2} + 29 a + 3\right)\cdot 31^{8} + \left(20 a^{14} + 22 a^{13} + 20 a^{12} + 16 a^{11} + a^{10} + 3 a^{9} + 5 a^{8} + 15 a^{7} + 6 a^{6} + 25 a^{5} + 9 a^{4} + 30 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 19\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 17 }$ | $=$ |
\( 17 a^{13} + 19 a^{12} + 28 a^{11} + 2 a^{10} + 6 a^{9} + 5 a^{8} + 19 a^{7} + 19 a^{6} + 16 a^{5} + 2 a^{3} + 30 a^{2} + 7 a + 14 + \left(3 a^{14} + 25 a^{13} + 3 a^{12} + 21 a^{11} + 10 a^{9} + 13 a^{8} + 5 a^{7} + 12 a^{6} + 8 a^{5} + 7 a^{4} + 5 a^{3} + 24 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 31 + \left(7 a^{14} + 22 a^{13} + 10 a^{12} + 28 a^{11} + 25 a^{10} + 28 a^{9} + 7 a^{8} + 7 a^{7} + 7 a^{6} + 22 a^{5} + 22 a^{4} + 17 a^{3} + 14 a^{2} + 21 a + 4\right)\cdot 31^{2} + \left(19 a^{14} + 19 a^{13} + 29 a^{12} + a^{11} + 24 a^{10} + 5 a^{9} + 6 a^{8} + 11 a^{7} + 30 a^{6} + 3 a^{4} + 20 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 31^{3} + \left(13 a^{14} + 6 a^{13} + 21 a^{12} + 25 a^{11} + 30 a^{10} + 19 a^{9} + 6 a^{8} + 16 a^{7} + 13 a^{6} + 6 a^{5} + 19 a^{4} + 15 a^{3} + 23 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 31^{4} + \left(28 a^{14} + 29 a^{13} + 18 a^{12} + 15 a^{11} + 27 a^{10} + 7 a^{9} + 18 a^{8} + a^{7} + 25 a^{6} + 26 a^{5} + 3 a^{4} + 23 a^{3} + 10 a^{2} + 17 a + 30\right)\cdot 31^{5} + \left(20 a^{14} + 22 a^{13} + 2 a^{12} + 15 a^{11} + 29 a^{10} + 14 a^{9} + 15 a^{8} + 28 a^{7} + 5 a^{6} + 19 a^{5} + 20 a^{4} + 30 a^{3} + 26 a^{2} + 22 a + 4\right)\cdot 31^{6} + \left(2 a^{14} + 21 a^{13} + 7 a^{12} + 17 a^{11} + 26 a^{10} + 5 a^{9} + 17 a^{8} + 3 a^{7} + 2 a^{6} + a^{5} + 3 a^{4} + 14 a^{3} + 8 a^{2} + 25 a + 14\right)\cdot 31^{7} + \left(25 a^{13} + 12 a^{12} + 28 a^{11} + 7 a^{10} + a^{9} + 19 a^{8} + 20 a^{7} + 18 a^{6} + 10 a^{5} + 4 a^{4} + 15 a^{3} + 6 a^{2} + 14 a + 20\right)\cdot 31^{8} + \left(15 a^{14} + 14 a^{13} + 4 a^{12} + a^{11} + 28 a^{10} + 12 a^{9} + 22 a^{8} + 7 a^{7} + 2 a^{6} + 29 a^{5} + 12 a^{4} + 29 a^{3} + 25 a^{2} + 25 a + 28\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 18 }$ | $=$ |
\( 24 a^{14} + 20 a^{13} + 9 a^{12} + 10 a^{11} + 25 a^{10} + 3 a^{9} + 18 a^{8} + 22 a^{7} + 26 a^{6} + 27 a^{5} + 9 a^{4} + 4 a^{3} + 6 a^{2} + 29 a + 16 + \left(9 a^{14} + 19 a^{13} + 7 a^{12} + 29 a^{11} + 15 a^{10} + a^{9} + 18 a^{8} + 15 a^{7} + 11 a^{6} + 12 a^{5} + 22 a^{4} + 9 a^{3} + 9 a^{2} + 28 a + 28\right)\cdot 31 + \left(25 a^{14} + 22 a^{13} + 24 a^{12} + 8 a^{11} + 13 a^{9} + 13 a^{8} + 19 a^{7} + 2 a^{6} + 30 a^{5} + 20 a^{4} + 20 a^{3} + 22 a^{2} + 24 a + 29\right)\cdot 31^{2} + \left(27 a^{14} + 28 a^{13} + 22 a^{12} + a^{11} + 9 a^{10} + 24 a^{9} + 2 a^{8} + 22 a^{7} + 30 a^{6} + 25 a^{4} + 6 a^{3} + 30 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 31^{3} + \left(4 a^{14} + 3 a^{13} + 16 a^{12} + 23 a^{11} + 13 a^{10} + 12 a^{9} + 2 a^{8} + a^{7} + 18 a^{6} + 10 a^{5} + 5 a^{4} + 22 a^{3} + 20 a + 27\right)\cdot 31^{4} + \left(10 a^{14} + 23 a^{13} + 2 a^{12} + 22 a^{11} + 26 a^{10} + 7 a^{9} + 3 a^{7} + 26 a^{6} + 2 a^{5} + 29 a^{4} + 21 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 16\right)\cdot 31^{5} + \left(a^{14} + 9 a^{13} + 20 a^{12} + 25 a^{11} + 16 a^{10} + 7 a^{9} + 15 a^{8} + 15 a^{7} + 30 a^{6} + 30 a^{5} + 7 a^{4} + 11 a^{3} + 26 a^{2} + 19 a + 27\right)\cdot 31^{6} + \left(12 a^{14} + 22 a^{13} + 16 a^{12} + 9 a^{11} + 24 a^{10} + 20 a^{9} + 19 a^{8} + 25 a^{7} + a^{6} + 30 a^{5} + 19 a^{4} + 6 a^{3} + 5 a^{2} + 20 a + 17\right)\cdot 31^{7} + \left(30 a^{14} + 4 a^{13} + 12 a^{12} + 8 a^{11} + 15 a^{10} + 30 a^{9} + 5 a^{8} + 20 a^{7} + 24 a^{6} + 17 a^{5} + 26 a^{4} + 5 a^{3} + 28 a + 28\right)\cdot 31^{8} + \left(29 a^{14} + 11 a^{13} + 2 a^{12} + 13 a^{11} + 4 a^{10} + 6 a^{9} + 20 a^{8} + 7 a^{7} + 17 a^{6} + 18 a^{5} + 18 a^{4} + 10 a^{2} + a + 15\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 19 }$ | $=$ |
\( 27 a^{14} + 13 a^{13} + 27 a^{12} + 14 a^{11} + 11 a^{10} + 7 a^{8} + 18 a^{7} + a^{6} + 22 a^{5} + 28 a^{4} + 5 a^{3} + 17 a^{2} + 16 a + 24 + \left(18 a^{14} + 28 a^{13} + 24 a^{12} + 9 a^{11} + 24 a^{10} + 14 a^{9} + 2 a^{8} + 12 a^{7} + 20 a^{6} + 23 a^{5} + 14 a^{3} + 17 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 31 + \left(14 a^{14} + 24 a^{13} + 12 a^{12} + a^{11} + 8 a^{10} + 21 a^{9} + 7 a^{8} + 5 a^{7} + 27 a^{6} + 3 a^{5} + 29 a^{4} + a^{3} + 15 a^{2} + 14 a + 17\right)\cdot 31^{2} + \left(11 a^{14} + 14 a^{13} + 29 a^{12} + 18 a^{11} + a^{10} + 16 a^{9} + 9 a^{8} + 20 a^{7} + 18 a^{6} + 23 a^{5} + 8 a^{4} + 7 a^{3} + 5 a^{2} + 20 a + 15\right)\cdot 31^{3} + \left(10 a^{14} + 3 a^{13} + 11 a^{12} + 22 a^{11} + 13 a^{10} + 30 a^{9} + 24 a^{8} + 20 a^{7} + 25 a^{6} + a^{5} + 6 a^{4} + 29 a^{3} + 11 a^{2} + 22 a + 22\right)\cdot 31^{4} + \left(4 a^{14} + 5 a^{13} + 21 a^{12} + 4 a^{11} + 10 a^{10} + 17 a^{9} + 23 a^{8} + 14 a^{7} + 21 a^{6} + 7 a^{5} + 18 a^{4} + 8 a^{3} + 28 a^{2} + 30 a + 14\right)\cdot 31^{5} + \left(7 a^{14} + 29 a^{13} + 7 a^{12} + 8 a^{11} + 19 a^{10} + 10 a^{9} + a^{8} + 26 a^{7} + 26 a^{6} + 26 a^{5} + a^{4} + 13 a^{3} + 5 a^{2} + 18 a + 23\right)\cdot 31^{6} + \left(10 a^{14} + 23 a^{13} + 2 a^{12} + 27 a^{11} + 3 a^{10} + 26 a^{9} + 22 a^{8} + 16 a^{7} + 25 a^{5} + 6 a^{4} + 4 a^{3} + 8 a + 14\right)\cdot 31^{7} + \left(12 a^{14} + 24 a^{13} + 29 a^{12} + 19 a^{11} + 2 a^{10} + 24 a^{9} + 21 a^{8} + 25 a^{7} + 5 a^{6} + 19 a^{5} + 19 a^{4} + 10 a^{3} + 28 a^{2} + a + 25\right)\cdot 31^{8} + \left(11 a^{14} + 18 a^{13} + 15 a^{12} + 13 a^{11} + 15 a^{10} + 24 a^{9} + a^{7} + 3 a^{6} + 10 a^{5} + 26 a^{4} + 18 a^{3} + 14 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 20 }$ | $=$ |
\( 24 a^{14} + 25 a^{13} + 8 a^{12} + 10 a^{11} + 24 a^{10} + 22 a^{9} + 25 a^{8} + 18 a^{7} + 24 a^{6} + 23 a^{5} + 8 a^{4} + 17 a^{3} + 21 a^{2} + 24 a + 27 + \left(10 a^{14} + a^{13} + 3 a^{12} + 21 a^{11} + 30 a^{9} + 23 a^{8} + 12 a^{7} + 16 a^{6} + 21 a^{4} + 5 a^{3} + 9 a^{2} + 13 a + 28\right)\cdot 31 + \left(26 a^{14} + 8 a^{13} + 29 a^{12} + 28 a^{11} + 26 a^{10} + 11 a^{9} + 7 a^{7} + 6 a^{6} + 23 a^{5} + 12 a^{4} + 24 a^{3} + 8 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 31^{2} + \left(21 a^{14} + 9 a^{13} + 25 a^{12} + 10 a^{11} + 2 a^{10} + 23 a^{9} + 23 a^{8} + 19 a^{7} + 7 a^{6} + 3 a^{5} + 3 a^{4} + 19 a^{3} + 15 a^{2} + 19 a + 27\right)\cdot 31^{3} + \left(8 a^{14} + 16 a^{13} + 20 a^{12} + 5 a^{11} + 7 a^{10} + 30 a^{9} + 19 a^{8} + 14 a^{6} + 16 a^{5} + 30 a^{4} + 15 a^{3} + 25 a^{2} + 28 a + 6\right)\cdot 31^{4} + \left(a^{14} + 17 a^{13} + 27 a^{12} + 25 a^{11} + 25 a^{10} + 5 a^{9} + 30 a^{8} + 6 a^{7} + a^{6} + 5 a^{5} + 19 a^{4} + 16 a^{3} + 13 a^{2} + 10 a + 29\right)\cdot 31^{5} + \left(a^{14} + 20 a^{12} + 5 a^{11} + 8 a^{10} + a^{9} + 9 a^{8} + 21 a^{7} + 7 a^{6} + 29 a^{5} + 19 a^{4} + 22 a^{3} + 23 a^{2} + 13 a + 1\right)\cdot 31^{6} + \left(22 a^{14} + 9 a^{13} + 23 a^{12} + 20 a^{11} + 2 a^{10} + 21 a^{9} + 9 a^{8} + 18 a^{7} + 18 a^{6} + 7 a^{5} + 14 a^{4} + 22 a^{3} + 17 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 31^{7} + \left(a^{14} + 27 a^{13} + 16 a^{12} + 22 a^{11} + 3 a^{10} + 11 a^{9} + 22 a^{8} + 10 a^{7} + 6 a^{6} + 15 a^{5} + 23 a^{4} + 2 a^{3} + 23 a^{2} + 16\right)\cdot 31^{8} + \left(22 a^{14} + 8 a^{13} + 23 a^{12} + 5 a^{11} + 15 a^{10} + 7 a^{9} + 15 a^{8} + 5 a^{7} + a^{6} + 18 a^{5} + 29 a^{4} + 16 a^{3} + 6 a + 14\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 21 }$ | $=$ |
\( 28 a^{14} + 18 a^{13} + a^{12} + 4 a^{11} + 14 a^{10} + 30 a^{9} + 10 a^{8} + a^{6} + 2 a^{5} + 11 a^{4} + 4 a^{3} + 26 a^{2} + 27 a + 27 + \left(27 a^{14} + 28 a^{13} + 2 a^{12} + 27 a^{10} + 18 a^{9} + 16 a^{8} + 7 a^{7} + 6 a^{6} + 28 a^{5} + 16 a^{4} + 29 a^{2} + 10 a + 27\right)\cdot 31 + \left(6 a^{14} + 21 a^{13} + 26 a^{12} + a^{11} + 2 a^{10} + 2 a^{9} + 30 a^{8} + 20 a^{7} + 6 a^{6} + 3 a^{5} + 30 a^{4} + 15 a^{3} + 26 a^{2} + 16 a + 25\right)\cdot 31^{2} + \left(17 a^{14} + 20 a^{13} + 6 a^{12} + 29 a^{11} + 24 a^{7} + 16 a^{6} + 12 a^{5} + 22 a^{4} + 18 a^{3} + 10 a^{2} + 22 a + 5\right)\cdot 31^{3} + \left(18 a^{14} + 24 a^{13} + 3 a^{12} + 11 a^{11} + 22 a^{10} + 23 a^{9} + 27 a^{8} + 20 a^{7} + 16 a^{6} + 5 a^{5} + 20 a^{4} + 27 a^{3} + 25 a^{2} + 17 a + 28\right)\cdot 31^{4} + \left(3 a^{14} + 28 a^{13} + 14 a^{12} + 19 a^{11} + 26 a^{10} + 20 a^{9} + 8 a^{8} + 18 a^{7} + 13 a^{6} + 25 a^{5} + 29 a^{4} + 27 a^{3} + 24 a^{2} + a + 2\right)\cdot 31^{5} + \left(3 a^{14} + 10 a^{13} + a^{12} + 28 a^{11} + 16 a^{10} + 26 a^{8} + 15 a^{7} + 17 a^{6} + 29 a^{5} + 30 a^{4} + 26 a^{3} + 12 a^{2} + 18 a + 11\right)\cdot 31^{6} + \left(9 a^{14} + 9 a^{13} + 3 a^{12} + 6 a^{11} + 3 a^{10} + 5 a^{9} + 15 a^{8} + 20 a^{7} + 16 a^{6} + 27 a^{5} + 29 a^{4} + 16 a^{3} + 17 a^{2} + 19 a + 1\right)\cdot 31^{7} + \left(3 a^{14} + 14 a^{13} + 17 a^{12} + 4 a^{11} + 20 a^{10} + 12 a^{9} + 25 a^{8} + 10 a^{7} + 11 a^{6} + 14 a^{5} + 6 a^{4} + 3 a^{3} + 16 a^{2} + 23 a + 17\right)\cdot 31^{8} + \left(13 a^{14} + 11 a^{13} + 26 a^{12} + 20 a^{11} + 11 a^{10} + 23 a^{9} + 28 a^{8} + 21 a^{6} + 18 a^{5} + 25 a^{4} + 21 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 22 }$ | $=$ |
\( 17 a^{14} + 15 a^{13} + 11 a^{12} + a^{11} + 12 a^{10} + 8 a^{9} + 23 a^{7} + 5 a^{6} + 20 a^{5} + a^{4} + 23 a^{3} + 21 a^{2} + 13 a + 21 + \left(5 a^{14} + 22 a^{12} + 13 a^{11} + 25 a^{10} + 29 a^{9} + 6 a^{8} + 18 a^{6} + 13 a^{5} + 19 a^{4} + 19 a^{3} + 2 a^{2} + a + 13\right)\cdot 31 + \left(10 a^{14} + 15 a^{13} + 25 a^{12} + 2 a^{11} + 24 a^{10} + 4 a^{9} + 23 a^{8} + 6 a^{7} + 12 a^{6} + 14 a^{5} + 29 a^{4} + 15 a^{3} + 21 a^{2} + 30 a + 30\right)\cdot 31^{2} + \left(24 a^{14} + 13 a^{13} + 9 a^{12} + 10 a^{11} + 2 a^{10} + 15 a^{8} + 26 a^{7} + 29 a^{6} + 15 a^{5} + 22 a^{4} + 28 a^{3} + 19 a^{2} + 26 a + 17\right)\cdot 31^{3} + \left(26 a^{14} + 26 a^{13} + 23 a^{12} + 21 a^{11} + 18 a^{10} + 27 a^{9} + 22 a^{8} + 15 a^{7} + a^{6} + 19 a^{5} + 8 a^{4} + 20 a^{3} + 21 a^{2} + 28 a + 20\right)\cdot 31^{4} + \left(a^{14} + 9 a^{13} + 5 a^{12} + 11 a^{11} + 4 a^{10} + 13 a^{9} + 14 a^{8} + 12 a^{7} + 4 a^{6} + 18 a^{4} + 2 a^{3} + 5 a^{2} + 17 a + 21\right)\cdot 31^{5} + \left(10 a^{14} + 20 a^{13} + 16 a^{12} + 26 a^{10} + 24 a^{9} + 24 a^{8} + 27 a^{7} + 28 a^{6} + 20 a^{5} + a^{4} + 17 a^{3} + 14 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 31^{6} + \left(4 a^{14} + 2 a^{13} + 3 a^{12} + 16 a^{11} + 28 a^{10} + a^{9} + a^{7} + 27 a^{6} + 16 a^{5} + 21 a^{4} + 18 a^{3} + 19 a^{2} + 18 a + 28\right)\cdot 31^{7} + \left(21 a^{14} + 26 a^{13} + 11 a^{12} + 11 a^{11} + 28 a^{10} + 19 a^{9} + 3 a^{8} + 2 a^{7} + 17 a^{6} + 27 a^{5} + 13 a^{4} + 23 a^{3} + 14 a^{2} + 13 a + 5\right)\cdot 31^{8} + \left(9 a^{14} + a^{13} + 21 a^{12} + 12 a^{11} + 9 a^{10} + 12 a^{9} + 14 a^{8} + 17 a^{7} + 16 a^{6} + 28 a^{5} + 4 a^{4} + 6 a^{2} + 24 a + 4\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 23 }$ | $=$ |
\( 27 a^{13} + 21 a^{12} + 7 a^{11} + 24 a^{10} + a^{9} + 5 a^{8} + 12 a^{7} + 24 a^{6} + 30 a^{5} + 19 a^{4} + 11 a^{3} + 26 a^{2} + 4 a + 23 + \left(9 a^{14} + 11 a^{13} + 20 a^{11} + 27 a^{10} + 5 a^{9} + 21 a^{8} + 20 a^{6} + 10 a^{5} + 13 a^{4} + 21 a^{3} + 30 a^{2} + 28 a + 4\right)\cdot 31 + \left(23 a^{14} + 17 a^{13} + 23 a^{12} + 4 a^{11} + 17 a^{10} + 17 a^{9} + a^{8} + 19 a^{7} + 8 a^{6} + 14 a^{5} + 12 a^{4} + 5 a^{3} + 5 a^{2} + 19 a + 25\right)\cdot 31^{2} + \left(26 a^{14} + 13 a^{12} + 21 a^{11} + 11 a^{10} + 7 a^{9} + 9 a^{8} + a^{7} + 16 a^{6} + 3 a^{5} + 2 a^{4} + a^{3} + 10 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 31^{3} + \left(28 a^{14} + 20 a^{13} + 22 a^{12} + 30 a^{11} + 24 a^{10} + 24 a^{9} + 18 a^{8} + 22 a^{7} + 15 a^{6} + 24 a^{5} + 7 a^{4} + 9 a^{3} + 29 a^{2} + 16 a + 28\right)\cdot 31^{4} + \left(5 a^{14} + a^{13} + 27 a^{12} + 11 a^{10} + 20 a^{9} + 6 a^{8} + 20 a^{7} + 26 a^{6} + a^{5} + 25 a^{4} + 12 a^{3} + 13 a^{2} + 25 a + 7\right)\cdot 31^{5} + \left(21 a^{14} + 28 a^{13} + 3 a^{12} + 21 a^{11} + 6 a^{10} + 21 a^{9} + 2 a^{8} + 18 a^{7} + 21 a^{6} + 29 a^{5} + 8 a^{4} + 16 a^{3} + 27 a^{2} + 27 a + 13\right)\cdot 31^{6} + \left(18 a^{14} + 2 a^{13} + 21 a^{12} + 16 a^{11} + 9 a^{10} + 17 a^{9} + 12 a^{8} + 2 a^{7} + 4 a^{6} + 12 a^{5} + 11 a^{4} + 5 a^{3} + 11 a^{2} + 22 a + 9\right)\cdot 31^{7} + \left(7 a^{14} + 6 a^{13} + a^{12} + 6 a^{11} + 5 a^{10} + 14 a^{9} + 14 a^{8} + 2 a^{7} + 22 a^{6} + 13 a^{5} + 3 a^{4} + 17 a^{3} + 2 a^{2} + 17 a + 17\right)\cdot 31^{8} + \left(2 a^{14} + 12 a^{13} + 18 a^{12} + 20 a^{11} + 13 a^{10} + 27 a^{9} + a^{8} + 11 a^{7} + 22 a^{6} + 7 a^{5} + 10 a^{4} + 11 a^{3} + 27 a^{2} + 6 a + 25\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 24 }$ | $=$ |
\( 17 a^{14} + 2 a^{13} + 3 a^{12} + 16 a^{11} + 21 a^{10} + 17 a^{9} + 7 a^{8} + 18 a^{7} + 7 a^{6} + 26 a^{5} + 4 a^{4} + 5 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 2 + \left(24 a^{14} + 12 a^{13} + a^{12} + 10 a^{11} + 20 a^{10} + 23 a^{9} + 29 a^{8} + 9 a^{7} + 8 a^{6} + 5 a^{5} + 14 a^{4} + 14 a^{3} + 12 a^{2} + a + 11\right)\cdot 31 + \left(28 a^{14} + 6 a^{13} + 12 a^{12} + 13 a^{11} + 10 a^{10} + 23 a^{9} + 28 a^{8} + 15 a^{7} + 27 a^{6} + 2 a^{5} + 21 a^{4} + 16 a^{3} + 14 a^{2} + 9 a + 24\right)\cdot 31^{2} + \left(28 a^{14} + a^{13} + 30 a^{12} + 11 a^{11} + 18 a^{10} + 22 a^{9} + 21 a^{8} + 30 a^{7} + 10 a^{6} + a^{5} + 2 a^{4} + a^{3} + 15 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 31^{3} + \left(2 a^{14} + 23 a^{13} + 6 a^{12} + 25 a^{11} + 20 a^{10} + 17 a^{9} + 23 a^{8} + 28 a^{7} + 21 a^{6} + 16 a^{5} + 24 a^{4} + 24 a^{3} + 17 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 31^{4} + \left(a^{14} + 7 a^{13} + 24 a^{12} + 29 a^{11} + 16 a^{10} + 12 a^{9} + 26 a^{8} + 30 a^{7} + 15 a^{5} + a^{4} + 19 a^{3} + 12 a^{2} + 22 a + 17\right)\cdot 31^{5} + \left(7 a^{14} + 17 a^{13} + 19 a^{12} + 15 a^{11} + 4 a^{10} + 10 a^{9} + 18 a^{8} + 25 a^{7} + 27 a^{5} + 25 a^{4} + 2 a^{3} + 9 a + 23\right)\cdot 31^{6} + \left(5 a^{14} + 26 a^{13} + 16 a^{12} + 18 a^{11} + 3 a^{10} + 5 a^{9} + 29 a^{8} + 10 a^{7} + 24 a^{6} + 18 a^{5} + 28 a^{4} + 20 a^{3} + 7 a + 15\right)\cdot 31^{7} + \left(19 a^{14} + 3 a^{13} + a^{12} + 13 a^{11} + 24 a^{9} + 24 a^{8} + 30 a^{7} + 14 a^{6} + 6 a^{5} + 26 a^{4} + 11 a^{3} + 27 a + 1\right)\cdot 31^{8} + \left(5 a^{14} + 6 a^{13} + 2 a^{12} + 24 a^{11} + 25 a^{10} + 12 a^{9} + 7 a^{8} + 9 a^{6} + 12 a^{5} + 12 a^{4} + 9 a^{3} + 8 a^{2} + 20 a + 27\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 25 }$ | $=$ |
\( 12 a^{14} + 14 a^{13} + 18 a^{12} + 9 a^{11} + 24 a^{10} + 8 a^{9} + 6 a^{8} + 7 a^{7} + 24 a^{6} + 22 a^{5} + 2 a^{4} + 6 a^{3} + 3 a^{2} + 22 a + 24 + \left(a^{14} + 3 a^{13} + 13 a^{12} + 19 a^{11} + 26 a^{10} + 26 a^{9} + 18 a^{8} + 8 a^{7} + 21 a^{6} + 14 a^{5} + 2 a^{4} + 13 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 17\right)\cdot 31 + \left(5 a^{14} + 21 a^{13} + 11 a^{12} + 22 a^{11} + 10 a^{10} + 25 a^{9} + 26 a^{8} + 7 a^{7} + 18 a^{6} + 11 a^{5} + 18 a^{4} + 2 a^{3} + 12 a^{2} + 23 a + 4\right)\cdot 31^{2} + \left(8 a^{14} + 16 a^{13} + 7 a^{12} + 11 a^{11} + 3 a^{10} + 25 a^{9} + 29 a^{8} + 9 a^{7} + 26 a^{6} + 26 a^{5} + 8 a^{4} + 16 a^{3} + 24 a^{2} + 24 a + 9\right)\cdot 31^{3} + \left(24 a^{14} + 23 a^{13} + 23 a^{12} + 27 a^{11} + 19 a^{10} + 17 a^{8} + 8 a^{7} + 12 a^{6} + 16 a^{5} + 12 a^{4} + 28 a^{3} + 25 a^{2} + 19 a + 9\right)\cdot 31^{4} + \left(30 a^{14} + 8 a^{13} + 13 a^{12} + 19 a^{11} + 30 a^{10} + 12 a^{9} + 3 a^{8} + 7 a^{7} + 30 a^{6} + 4 a^{5} + 6 a^{4} + 24 a^{3} + 2 a + 6\right)\cdot 31^{5} + \left(17 a^{14} + 17 a^{13} + 23 a^{12} + 19 a^{11} + 26 a^{10} + 12 a^{9} + 21 a^{8} + 13 a^{7} + 3 a^{6} + 7 a^{5} + 24 a^{4} + 12 a^{3} + 2 a^{2} + 19 a + 18\right)\cdot 31^{6} + \left(13 a^{14} + 15 a^{13} + 10 a^{12} + 9 a^{11} + 16 a^{10} + 11 a^{9} + 9 a^{8} + 17 a^{7} + 8 a^{6} + 17 a^{5} + a^{4} + 21 a^{3} + 25 a^{2} + 20 a + 9\right)\cdot 31^{7} + \left(a^{14} + 7 a^{13} + 17 a^{12} + a^{11} + 6 a^{10} + 5 a^{9} + 30 a^{8} + 7 a^{7} + 5 a^{6} + 13 a^{5} + 10 a^{4} + 7 a^{3} + 14 a + 13\right)\cdot 31^{8} + \left(10 a^{14} + 11 a^{13} + 6 a^{12} + 4 a^{11} + a^{10} + 5 a^{9} + 6 a^{8} + 8 a^{7} + 23 a^{6} + 14 a^{5} + 8 a^{3} + 15 a^{2} + 17 a + 15\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 26 }$ | $=$ |
\( 25 a^{14} + 9 a^{12} + 5 a^{11} + 20 a^{10} + 10 a^{9} + 10 a^{8} + 29 a^{7} + 21 a^{6} + 30 a^{5} + 9 a^{4} + 8 a^{3} + 11 a^{2} + 19 a + 29 + \left(16 a^{14} + 8 a^{13} + 12 a^{12} + 25 a^{11} + 4 a^{10} + 23 a^{9} + 23 a^{8} + 14 a^{7} + 17 a^{6} + 5 a^{5} + 24 a^{4} + 6 a^{3} + 4 a^{2} + 18 a + 29\right)\cdot 31 + \left(18 a^{14} + 26 a^{13} + 15 a^{12} + 15 a^{11} + 19 a^{10} + 9 a^{9} + 30 a^{8} + 13 a^{7} + 13 a^{5} + 26 a^{4} + 13 a^{3} + 7 a^{2} + 21 a + 29\right)\cdot 31^{2} + \left(13 a^{14} + 15 a^{13} + 28 a^{12} + 2 a^{11} + 27 a^{10} + 27 a^{9} + 22 a^{8} + 11 a^{7} + 3 a^{6} + 28 a^{5} + 24 a^{4} + 20 a^{3} + 19 a^{2} + 23 a + 15\right)\cdot 31^{3} + \left(20 a^{14} + 27 a^{13} + 26 a^{12} + 11 a^{11} + 27 a^{10} + 30 a^{9} + 21 a^{8} + 2 a^{7} + 17 a^{6} + 7 a^{5} + 11 a^{4} + 28 a^{3} + 4 a^{2} + 21 a + 7\right)\cdot 31^{4} + \left(15 a^{14} + 18 a^{13} + 13 a^{12} + 3 a^{10} + a^{9} + 8 a^{8} + 27 a^{7} + 21 a^{6} + 20 a^{5} + 17 a^{4} + 11 a^{3} + 14 a^{2} + 17 a + 29\right)\cdot 31^{5} + \left(12 a^{14} + 7 a^{13} + 7 a^{12} + 30 a^{10} + 6 a^{9} + a^{8} + 4 a^{7} + 19 a^{6} + 24 a^{4} + 21 a^{2} + 18 a + 13\right)\cdot 31^{6} + \left(29 a^{14} + 16 a^{13} + 7 a^{12} + 22 a^{11} + 11 a^{10} + 13 a^{9} + 16 a^{8} + 2 a^{7} + 9 a^{6} + 7 a^{5} + 3 a^{4} + 29 a^{2} + 24 a + 1\right)\cdot 31^{7} + \left(25 a^{14} + 16 a^{13} + 6 a^{12} + 24 a^{11} + 11 a^{10} + 21 a^{9} + 3 a^{7} + 11 a^{5} + 9 a^{4} + 3 a^{3} + 21 a^{2} + 8 a + 29\right)\cdot 31^{8} + \left(12 a^{14} + 30 a^{13} + 8 a^{12} + 22 a^{11} + 14 a^{10} + 24 a^{9} + 24 a^{8} + 9 a^{7} + 13 a^{6} + 30 a^{5} + 24 a^{4} + 8 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 27 }$ | $=$ |
\( 12 a^{14} + 8 a^{13} + 12 a^{12} + a^{11} + 29 a^{10} + 19 a^{9} + 6 a^{8} + 20 a^{7} + 28 a^{6} + 29 a^{5} + 2 a^{4} + 11 a^{3} + 28 a^{2} + 23 a + 27 + \left(19 a^{14} + 29 a^{13} + 14 a^{11} + 22 a^{10} + 17 a^{9} + 25 a^{8} + a^{7} + 27 a^{6} + 19 a^{5} + 23 a^{4} + 14 a^{3} + 29 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 31 + \left(3 a^{14} + 17 a^{13} + 12 a^{12} + 23 a^{11} + 25 a^{10} + 14 a^{9} + 11 a^{8} + 25 a^{7} + 26 a^{6} + 22 a^{5} + 24 a^{4} + 4 a^{3} + 23 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 31^{2} + \left(16 a^{14} + 29 a^{13} + 30 a^{12} + 5 a^{11} + 7 a^{10} + 20 a^{9} + 13 a^{8} + 6 a^{7} + 17 a^{6} + 14 a^{5} + 23 a^{4} + 9 a^{3} + 7 a^{2} + 29 a + 29\right)\cdot 31^{3} + \left(28 a^{14} + 17 a^{13} + 12 a^{12} + 30 a^{11} + 21 a^{10} + 29 a^{9} + 13 a^{8} + 25 a^{7} + 3 a^{6} + 15 a^{5} + 21 a^{4} + 27 a^{3} + 22 a^{2} + 14 a + 18\right)\cdot 31^{4} + \left(16 a^{14} + 24 a^{13} + 27 a^{12} + 26 a^{11} + 30 a^{10} + 26 a^{9} + 19 a^{8} + 28 a^{7} + 17 a^{6} + 18 a^{5} + 4 a^{4} + 20 a^{3} + 10 a^{2} + 1\right)\cdot 31^{5} + \left(25 a^{14} + 24 a^{13} + 9 a^{12} + 17 a^{11} + 17 a^{10} + 15 a^{9} + 26 a^{8} + 20 a^{7} + 4 a^{6} + a^{5} + 22 a^{4} + 3 a^{3} + 7 a^{2} + 22 a + 8\right)\cdot 31^{6} + \left(11 a^{14} + 6 a^{13} + 18 a^{12} + 6 a^{11} + 7 a^{10} + 5 a^{8} + 3 a^{7} + 14 a^{6} + 2 a^{5} + a^{4} + 28 a^{3} + 6 a^{2} + 16 a + 30\right)\cdot 31^{7} + \left(17 a^{14} + 20 a^{13} + 12 a^{12} + 30 a^{11} + 18 a^{9} + 22 a^{8} + 6 a^{7} + 24 a^{6} + 28 a^{5} + 15 a^{4} + 28 a^{3} + 24 a^{2} + 24 a\right)\cdot 31^{8} + \left(a^{14} + 9 a^{13} + 15 a^{12} + 17 a^{11} + 29 a^{10} + 22 a^{9} + 8 a^{8} + 30 a^{7} + 4 a^{6} + 5 a^{5} + 15 a^{4} + 27 a^{3} + 4 a^{2} + 20 a + 12\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 28 }$ | $=$ |
\( 28 a^{14} + 29 a^{13} + 11 a^{12} + 20 a^{11} + 11 a^{10} + 18 a^{9} + 2 a^{8} + 9 a^{7} + 6 a^{6} + 11 a^{5} + 9 a^{4} + 15 a^{3} + 25 a^{2} + 17 a + 29 + \left(7 a^{14} + 7 a^{13} + 10 a^{12} + a^{11} + 6 a^{10} + a^{9} + 30 a^{8} + 9 a^{7} + 12 a^{6} + 13 a^{5} + 22 a^{4} + 12 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a + 22\right)\cdot 31 + \left(30 a^{14} + 30 a^{13} + 28 a^{12} + 7 a^{11} + 4 a^{10} + 28 a^{9} + 11 a^{8} + 16 a^{7} + 22 a^{6} + 16 a^{4} + 29 a^{3} + 14 a^{2} + 27 a + 11\right)\cdot 31^{2} + \left(a^{14} + 30 a^{13} + 23 a^{12} + 27 a^{11} + 5 a^{10} + 21 a^{8} + 15 a^{7} + 17 a^{6} + 28 a^{5} + 29 a^{4} + 2 a^{3} + 27 a^{2} + 9 a + 25\right)\cdot 31^{3} + \left(23 a^{14} + 25 a^{13} + 16 a^{12} + 5 a^{11} + 26 a^{10} + 12 a^{9} + 27 a^{8} + 21 a^{7} + 26 a^{6} + 19 a^{5} + 10 a^{4} + 10 a^{3} + 22 a^{2} + 7 a + 16\right)\cdot 31^{4} + \left(2 a^{14} + 15 a^{13} + 3 a^{12} + 13 a^{11} + 15 a^{10} + 9 a^{9} + 18 a^{8} + 6 a^{7} + 3 a^{6} + 16 a^{5} + 28 a^{4} + 15 a^{3} + 16 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 31^{5} + \left(27 a^{14} + 29 a^{13} + 25 a^{12} + 5 a^{10} + 19 a^{9} + 27 a^{8} + 23 a^{7} + 15 a^{6} + 12 a^{5} + 12 a^{4} + 14 a^{3} + 17 a^{2} + 10 a + 13\right)\cdot 31^{6} + \left(4 a^{14} + 19 a^{13} + 10 a^{12} + 15 a^{11} + 24 a^{10} + 22 a^{9} + 24 a^{8} + 10 a^{7} + 14 a^{6} + 10 a^{5} + 28 a^{4} + 8 a^{3} + 29 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 31^{7} + \left(15 a^{14} + 12 a^{13} + 6 a^{12} + 17 a^{11} + 27 a^{10} + 21 a^{9} + 27 a^{8} + 18 a^{7} + 18 a^{6} + 11 a^{5} + 14 a^{4} + 7 a^{3} + 29 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 31^{8} + \left(28 a^{14} + 30 a^{13} + 9 a^{12} + 22 a^{11} + 3 a^{10} + 24 a^{9} + 23 a^{8} + 2 a^{7} + 23 a^{6} + 13 a^{5} + 9 a^{4} + 28 a^{3} + 26 a^{2} + 19 a + 10\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 29 }$ | $=$ |
\( 3 a^{14} + 20 a^{13} + 29 a^{12} + 20 a^{11} + 8 a^{9} + 12 a^{8} + 6 a^{7} + 27 a^{6} + 19 a^{5} + 30 a^{4} + 27 a^{3} + 2 a^{2} + 18 a + 28 + \left(28 a^{14} + 24 a^{13} + 8 a^{12} + 14 a^{11} + 18 a^{10} + 27 a^{9} + 2 a^{8} + 11 a^{7} + 14 a^{6} + 29 a^{5} + 19 a^{4} + 17 a^{3} + 26 a^{2} + 25 a + 24\right)\cdot 31 + \left(6 a^{14} + 22 a^{12} + 18 a^{11} + 9 a^{10} + 8 a^{9} + 14 a^{8} + 20 a^{7} + 2 a^{6} + 22 a^{5} + 16 a^{4} + 4 a^{3} + 17 a^{2} + 17 a + 29\right)\cdot 31^{2} + \left(3 a^{14} + 18 a^{13} + 27 a^{12} + 2 a^{11} + 10 a^{10} + 15 a^{9} + 7 a^{8} + 20 a^{7} + 9 a^{6} + 14 a^{5} + 16 a^{4} + a^{3} + 7 a^{2} + 20 a + 6\right)\cdot 31^{3} + \left(12 a^{14} + 23 a^{13} + 9 a^{12} + 23 a^{11} + 27 a^{10} + 2 a^{9} + a^{8} + 3 a^{7} + 12 a^{6} + 23 a^{5} + 4 a^{4} + 2 a^{3} + 19 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 31^{4} + \left(25 a^{14} + 25 a^{13} + 19 a^{12} + 4 a^{11} + 3 a^{10} + 15 a^{9} + 29 a^{8} + 11 a^{6} + 10 a^{5} + 10 a^{4} + 24 a^{3} + 9 a^{2} + 29 a + 19\right)\cdot 31^{5} + \left(24 a^{14} + 7 a^{13} + 26 a^{12} + 30 a^{11} + 8 a^{10} + 27 a^{9} + 30 a^{8} + 23 a^{7} + 9 a^{6} + 16 a^{5} + 5 a^{4} + 10 a^{3} + 29 a^{2} + 24 a + 17\right)\cdot 31^{6} + \left(3 a^{14} + 23 a^{13} + 17 a^{12} + 4 a^{11} + 28 a^{10} + 12 a^{9} + 9 a^{8} + 15 a^{7} + 30 a^{6} + 4 a^{5} + 5 a^{4} + 12 a^{3} + 28 a^{2} + 15 a + 26\right)\cdot 31^{7} + \left(21 a^{14} + 21 a^{13} + 25 a^{12} + 26 a^{11} + 28 a^{10} + 29 a^{9} + 28 a^{8} + 27 a^{7} + 6 a^{6} + 2 a^{5} + 13 a^{4} + 19 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 24\right)\cdot 31^{8} + \left(25 a^{14} + 20 a^{13} + 19 a^{12} + 30 a^{11} + 3 a^{10} + 13 a^{9} + 26 a^{8} + 9 a^{7} + 11 a^{6} + 24 a^{5} + 15 a^{4} + 25 a^{3} + 17 a^{2} + 28 a + 24\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 30 }$ | $=$ |
\( 12 a^{14} + 22 a^{13} + 11 a^{12} + 26 a^{11} + 6 a^{10} + 4 a^{9} + 9 a^{8} + 19 a^{7} + 30 a^{6} + 5 a^{5} + a^{4} + 3 a^{3} + 27 a^{2} + a + 18 + \left(18 a^{14} + 28 a^{13} + 28 a^{12} + 10 a^{11} + 27 a^{10} + 6 a^{9} + a^{8} + 30 a^{7} + 27 a^{6} + 6 a^{5} + 9 a^{4} + 9 a^{3} + 18 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 31 + \left(14 a^{14} + 19 a^{13} + 30 a^{12} + 22 a^{11} + 21 a^{10} + 7 a^{9} + a^{8} + 2 a^{7} + 28 a^{6} + a^{5} + 2 a^{4} + 26 a^{3} + 13 a^{2} + 28 a + 8\right)\cdot 31^{2} + \left(13 a^{14} + a^{13} + 15 a^{12} + 16 a^{11} + 18 a^{10} + 26 a^{8} + 5 a^{7} + 27 a^{6} + 13 a^{5} + 18 a^{4} + 2 a^{3} + 24 a^{2} + 20 a + 30\right)\cdot 31^{3} + \left(19 a^{14} + 21 a^{13} + 2 a^{12} + 22 a^{11} + 5 a^{10} + 12 a^{9} + 12 a^{8} + 8 a^{7} + 11 a^{6} + 29 a^{5} + 14 a^{4} + 10 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 22\right)\cdot 31^{4} + \left(27 a^{14} + 26 a^{13} + 22 a^{12} + 23 a^{11} + 4 a^{10} + 9 a^{9} + 18 a^{8} + 11 a^{7} + 15 a^{6} + 14 a^{5} + 21 a^{4} + 26 a^{3} + 21 a^{2} + 21 a + 6\right)\cdot 31^{5} + \left(4 a^{14} + 5 a^{13} + 16 a^{12} + 14 a^{11} + 23 a^{10} + 21 a^{9} + 4 a^{8} + 6 a^{7} + 11 a^{6} + 21 a^{5} + 27 a^{4} + 17 a^{3} + 9 a^{2} + 20 a + 26\right)\cdot 31^{6} + \left(3 a^{14} + 6 a^{13} + 16 a^{12} + a^{10} + 17 a^{9} + 24 a^{7} + 11 a^{6} + 11 a^{5} + 9 a^{4} + 7 a^{3} + 14 a^{2} + 18 a + 26\right)\cdot 31^{7} + \left(20 a^{14} + 29 a^{13} + 30 a^{12} + 25 a^{11} + 16 a^{10} + 18 a^{9} + 24 a^{8} + 24 a^{7} + 2 a^{6} + 9 a^{5} + 20 a^{4} + 24 a^{3} + 5 a^{2} + a + 13\right)\cdot 31^{8} + \left(16 a^{14} + 14 a^{13} + 18 a^{11} + 16 a^{10} + 25 a^{9} + 19 a^{8} + 19 a^{7} + 16 a^{6} + 6 a^{5} + 27 a^{4} + 25 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 30 }$
| Cycle notation |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on $r_1, \ldots, r_{ 30 }$ | Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $2$ |
| $1$ | $2$ | $(1,20)(2,11)(3,4)(5,6)(7,14)(8,17)(9,21)(10,19)(12,23)(13,24)(15,27)(16,29)(18,30)(22,26)(25,28)$ | $-2$ |
| $15$ | $2$ | $(1,11)(2,20)(3,16)(4,29)(5,24)(6,13)(7,15)(9,12)(10,30)(14,27)(18,19)(21,23)(22,28)(25,26)$ | $0$ |
| $15$ | $2$ | $(1,2)(3,29)(4,16)(5,13)(6,24)(7,27)(8,17)(9,23)(10,18)(11,20)(12,21)(14,15)(19,30)(22,25)(26,28)$ | $0$ |
| $2$ | $3$ | $(1,29,15)(2,14,3)(4,11,7)(5,17,24)(6,8,13)(9,19,25)(10,28,21)(12,26,18)(16,27,20)(22,30,23)$ | $-1$ |
| $2$ | $5$ | $(1,22,21,7,5)(2,13,27,12,25)(3,8,16,18,19)(4,17,29,30,10)(6,20,26,9,14)(11,24,15,23,28)$ | $-\zeta_{15}^{7} + \zeta_{15}^{3} - \zeta_{15}^{2}$ |
| $2$ | $5$ | $(1,21,5,22,7)(2,27,25,13,12)(3,16,19,8,18)(4,29,10,17,30)(6,26,14,20,9)(11,15,28,24,23)$ | $\zeta_{15}^{7} - \zeta_{15}^{3} + \zeta_{15}^{2} - 1$ |
| $2$ | $6$ | $(1,16,15,20,29,27)(2,7,3,11,14,4)(5,8,24,6,17,13)(9,10,25,21,19,28)(12,22,18,23,26,30)$ | $1$ |
| $2$ | $10$ | $(1,26,21,14,5,20,22,9,7,6)(2,24,27,23,25,11,13,15,12,28)(3,17,16,30,19,4,8,29,18,10)$ | $\zeta_{15}^{7} - \zeta_{15}^{3} + \zeta_{15}^{2}$ |
| $2$ | $10$ | $(1,14,22,6,21,20,7,26,5,9)(2,23,13,28,27,11,12,24,25,15)(3,30,8,10,16,4,18,17,19,29)$ | $-\zeta_{15}^{7} + \zeta_{15}^{3} - \zeta_{15}^{2} + 1$ |
| $2$ | $15$ | $(1,24,4,21,23,29,5,11,10,22,15,17,7,28,30)(2,19,26,27,8,14,25,18,20,13,3,9,12,16,6)$ | $-\zeta_{15}^{7} + \zeta_{15}^{5} - \zeta_{15}^{4} + \zeta_{15}^{2} - \zeta_{15} + 1$ |
| $2$ | $15$ | $(1,4,23,5,10,15,7,30,24,21,29,11,22,17,28)(2,26,8,25,20,3,12,6,19,27,14,18,13,9,16)$ | $-\zeta_{15}^{6} + \zeta_{15}^{4} - \zeta_{15}$ |
| $2$ | $15$ | $(1,23,10,7,24,29,22,28,4,5,15,30,21,11,17)(2,8,20,12,19,14,13,16,26,25,3,6,27,18,9)$ | $2 \zeta_{15}^{7} - \zeta_{15}^{5} + \zeta_{15}^{4} - \zeta_{15}^{3} + \zeta_{15} - 1$ |
| $2$ | $15$ | $(1,11,30,5,28,29,7,23,17,21,15,4,22,24,10)(2,18,6,25,16,14,12,8,9,27,3,26,13,19,20)$ | $-\zeta_{15}^{7} + \zeta_{15}^{6} - \zeta_{15}^{4} + \zeta_{15}^{3} - \zeta_{15}^{2} + \zeta_{15} + 1$ |
| $2$ | $30$ | $(1,13,4,9,23,16,5,2,10,26,15,8,7,25,30,20,24,3,21,12,29,6,11,19,22,27,17,14,28,18)$ | $\zeta_{15}^{7} - \zeta_{15}^{5} + \zeta_{15}^{4} - \zeta_{15}^{2} + \zeta_{15} - 1$ |
| $2$ | $30$ | $(1,2,30,6,28,16,7,12,17,9,15,3,22,13,10,20,11,18,5,25,29,14,23,8,21,27,4,26,24,19)$ | $\zeta_{15}^{7} - \zeta_{15}^{6} + \zeta_{15}^{4} - \zeta_{15}^{3} + \zeta_{15}^{2} - \zeta_{15} - 1$ |
| $2$ | $30$ | $(1,8,11,9,30,27,5,3,28,26,29,13,7,19,23,20,17,2,21,18,15,6,4,25,22,16,24,14,10,12)$ | $-2 \zeta_{15}^{7} + \zeta_{15}^{5} - \zeta_{15}^{4} + \zeta_{15}^{3} - \zeta_{15} + 1$ |
| $2$ | $30$ | $(1,25,17,26,11,16,21,13,30,14,15,19,5,12,4,20,28,8,22,2,29,9,24,18,7,27,10,6,23,3)$ | $\zeta_{15}^{6} - \zeta_{15}^{4} + \zeta_{15}$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.