Basic invariants
| Dimension: | $2$ |
| Group: | 42T6 |
| Conductor: | \(3364\)\(\medspace = 2^{2} \cdot 29^{2} \) |
| Artin field: | Galois closure of 42.0.4750963959983097206493997106048442150328763366840752912458449709694976.1 |
| Galois orbit size: | $6$ |
| Smallest permutation container: | 21T6 |
| Parity: | odd |
| Determinant: | 1.116.14t1.a.f |
| Projective image: | $S_3$ |
| Projective stem field: | Galois closure of 3.1.116.1 |
Defining polynomial
| $f(x)$ | $=$ |
\( x^{42} + 46 x^{40} + 825 x^{38} + 9020 x^{36} + 65490 x^{34} + 325184 x^{32} + 1115476 x^{30} + \cdots + 29 \)
|
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 43 }$ to precision 10.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 43 }$:
\( x^{21} + 3 \)
Roots:
| $r_{ 1 }$ | $=$ |
\( 22 a^{20} + 19 a^{19} + 9 a^{18} + 23 a^{17} + 28 a^{16} + 23 a^{15} + 36 a^{14} + 38 a^{13} + 24 a^{12} + 24 a^{11} + 27 a^{10} + 25 a^{9} + 25 a^{8} + 32 a^{7} + 17 a^{6} + 41 a^{5} + 32 a^{4} + a^{3} + 13 a^{2} + 18 a + \left(5 a^{20} + 14 a^{19} + 2 a^{18} + 31 a^{17} + 24 a^{16} + 13 a^{15} + 2 a^{14} + 27 a^{13} + 27 a^{12} + a^{11} + 31 a^{10} + 10 a^{9} + 27 a^{8} + 28 a^{7} + 42 a^{6} + 30 a^{5} + 32 a^{4} + 36 a^{2} + 19 a\right)\cdot 43 + \left(30 a^{20} + 10 a^{19} + 35 a^{18} + 36 a^{17} + 30 a^{16} + 19 a^{15} + 33 a^{14} + 7 a^{13} + 34 a^{12} + 4 a^{11} + 37 a^{10} + 24 a^{9} + 17 a^{8} + 7 a^{7} + a^{6} + 2 a^{5} + 23 a^{4} + a^{3} + 15 a^{2} + 2 a\right)\cdot 43^{2} + \left(4 a^{20} + 15 a^{19} + 35 a^{18} + 38 a^{17} + 24 a^{16} + 13 a^{15} + 22 a^{14} + 2 a^{13} + 6 a^{12} + 40 a^{11} + 28 a^{10} + 42 a^{9} + 36 a^{7} + 6 a^{6} + 18 a^{5} + 12 a^{4} + 31 a^{3} + 16 a^{2} + 11 a\right)\cdot 43^{3} + \left(28 a^{20} + 34 a^{19} + 4 a^{18} + 7 a^{17} + 35 a^{16} + 16 a^{15} + 5 a^{12} + 20 a^{11} + 11 a^{10} + 41 a^{9} + 32 a^{8} + 7 a^{7} + 29 a^{6} + 27 a^{5} + 31 a^{4} + 7 a^{3} + 23 a^{2} + 17 a\right)\cdot 43^{4} + \left(24 a^{20} + a^{19} + 23 a^{18} + 41 a^{17} + 39 a^{16} + 8 a^{15} + 19 a^{14} + 25 a^{13} + 38 a^{12} + 26 a^{11} + 34 a^{10} + 32 a^{9} + 34 a^{8} + 23 a^{7} + 9 a^{6} + 28 a^{5} + 37 a^{4} + 32 a^{3} + 39 a^{2} + 21 a\right)\cdot 43^{5} + \left(2 a^{20} + 23 a^{19} + 21 a^{18} + 13 a^{17} + 35 a^{16} + 8 a^{15} + 41 a^{14} + 36 a^{13} + 7 a^{12} + 34 a^{11} + 4 a^{10} + 26 a^{9} + 15 a^{8} + 24 a^{7} + 13 a^{6} + 4 a^{5} + 23 a^{4} + 30 a^{3} + 11 a^{2} + 41 a\right)\cdot 43^{6} + \left(2 a^{20} + 10 a^{19} + 41 a^{18} + a^{17} + 24 a^{16} + 7 a^{15} + 12 a^{14} + 34 a^{13} + 2 a^{12} + 8 a^{11} + 23 a^{10} + 16 a^{9} + 40 a^{8} + 37 a^{7} + 14 a^{6} + 28 a^{5} + 32 a^{4} + 29 a^{3} + 39 a^{2} + 2 a\right)\cdot 43^{7} + \left(34 a^{20} + 25 a^{19} + 26 a^{18} + 37 a^{17} + 26 a^{16} + 19 a^{15} + 41 a^{14} + 17 a^{13} + 9 a^{12} + 2 a^{11} + 23 a^{10} + 25 a^{9} + 41 a^{8} + 13 a^{7} + 33 a^{6} + 10 a^{5} + 14 a^{4} + 11 a^{3} + 7 a^{2} + 11 a\right)\cdot 43^{8} + \left(32 a^{20} + 8 a^{19} + 26 a^{18} + 13 a^{17} + 12 a^{16} + 21 a^{15} + 27 a^{14} + 29 a^{13} + 25 a^{12} + 2 a^{11} + 23 a^{10} + 13 a^{9} + 27 a^{8} + 20 a^{7} + 22 a^{6} + 38 a^{5} + 39 a^{4} + 16 a^{3} + 24 a^{2} + 17 a\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\)
|
| $r_{ 2 }$ | $=$ |
\( 20 a^{20} + 42 a^{19} + 15 a^{18} + 14 a^{17} + 33 a^{16} + 40 a^{15} + a^{14} + 4 a^{13} + 6 a^{12} + 25 a^{11} + 7 a^{10} + 14 a^{9} + a^{8} + 34 a^{7} + 13 a^{6} + 40 a^{5} + 28 a^{4} + 35 a^{3} + 11 a^{2} + 37 a + \left(23 a^{20} + 39 a^{19} + 30 a^{18} + 15 a^{16} + 26 a^{15} + a^{14} + a^{13} + 40 a^{12} + 13 a^{11} + 7 a^{10} + 11 a^{9} + 22 a^{8} + 32 a^{7} + 19 a^{6} + 7 a^{5} + 38 a^{4} + a^{3} + 41 a^{2} + 19 a\right)\cdot 43 + \left(3 a^{20} + 32 a^{19} + 10 a^{18} + 13 a^{17} + 41 a^{16} + 11 a^{15} + 37 a^{14} + 15 a^{13} + 29 a^{12} + 22 a^{11} + 18 a^{10} + 21 a^{9} + 33 a^{8} + 12 a^{7} + 29 a^{6} + 6 a^{5} + 41 a^{4} + 39 a^{3} + 30 a^{2} + 10 a\right)\cdot 43^{2} + \left(37 a^{20} + 17 a^{19} + 18 a^{18} + 9 a^{17} + 5 a^{16} + 4 a^{15} + 6 a^{14} + 11 a^{13} + 22 a^{12} + 22 a^{11} + 7 a^{10} + 30 a^{9} + 14 a^{8} + 35 a^{7} + 27 a^{6} + 16 a^{5} + 42 a^{4} + 5 a^{3} + 20 a^{2} + 22 a\right)\cdot 43^{3} + \left(7 a^{20} + 40 a^{19} + 11 a^{18} + 6 a^{17} + 36 a^{16} + 24 a^{15} + 42 a^{14} + 34 a^{13} + 19 a^{12} + 21 a^{11} + 24 a^{10} + 21 a^{9} + 13 a^{8} + 10 a^{7} + 7 a^{6} + 29 a^{5} + 21 a^{4} + 23 a^{3} + 24 a^{2} + 18 a\right)\cdot 43^{4} + \left(15 a^{20} + 30 a^{19} + 25 a^{18} + 37 a^{17} + 21 a^{16} + 32 a^{15} + 15 a^{14} + 37 a^{13} + 13 a^{12} + 33 a^{11} + 20 a^{10} + 30 a^{9} + 31 a^{8} + 13 a^{7} + 41 a^{6} + 37 a^{5} + 42 a^{4} + 11 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a\right)\cdot 43^{5} + \left(13 a^{20} + 20 a^{19} + 40 a^{18} + 39 a^{17} + 14 a^{16} + 37 a^{15} + 23 a^{14} + 31 a^{13} + 14 a^{12} + 40 a^{11} + 5 a^{10} + 21 a^{9} + 17 a^{8} + 31 a^{7} + 26 a^{6} + 21 a^{5} + 14 a^{4} + 30 a^{3} + 38 a^{2} + 20 a\right)\cdot 43^{6} + \left(15 a^{20} + 29 a^{19} + 29 a^{18} + 8 a^{17} + a^{16} + 41 a^{15} + 3 a^{14} + 19 a^{13} + 2 a^{12} + 40 a^{11} + 12 a^{10} + 15 a^{9} + 24 a^{8} + 27 a^{7} + 7 a^{6} + 30 a^{5} + a^{4} + 18 a^{3} + 5 a^{2} + 25 a\right)\cdot 43^{7} + \left(42 a^{20} + 35 a^{19} + 19 a^{18} + 7 a^{17} + 37 a^{16} + 11 a^{15} + 19 a^{14} + 25 a^{13} + 6 a^{12} + 40 a^{11} + 14 a^{10} + 33 a^{9} + 8 a^{8} + 18 a^{7} + 11 a^{6} + 33 a^{5} + 3 a^{3} + a^{2} + 21 a\right)\cdot 43^{8} + \left(a^{20} + 11 a^{19} + 3 a^{18} + 23 a^{17} + 8 a^{16} + 36 a^{15} + 24 a^{14} + 7 a^{13} + 11 a^{12} + 29 a^{11} + a^{10} + 31 a^{9} + a^{8} + a^{7} + 11 a^{6} + 4 a^{5} + 30 a^{4} + 6 a^{3} + 23 a^{2} + 30 a\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\)
|
| $r_{ 3 }$ | $=$ |
\( 18 a^{20} + 28 a^{19} + 9 a^{18} + 11 a^{17} + 39 a^{16} + 23 a^{15} + 6 a^{14} + 13 a^{13} + 24 a^{12} + 4 a^{11} + 33 a^{10} + 25 a^{9} + 40 a^{8} + 20 a^{7} + 17 a^{6} + 14 a^{5} + 20 a^{4} + a^{3} + 38 a^{2} + 22 a + \left(9 a^{20} + 25 a^{19} + 2 a^{18} + 9 a^{17} + 39 a^{16} + 13 a^{15} + 39 a^{14} + 2 a^{13} + 27 a^{12} + 14 a^{11} + 5 a^{10} + 10 a^{9} + 13 a^{8} + 24 a^{7} + 42 a^{6} + 21 a^{5} + 5 a^{4} + 4 a^{2} + 22 a\right)\cdot 43 + \left(28 a^{20} + 20 a^{19} + 35 a^{18} + 8 a^{17} + 38 a^{16} + 19 a^{15} + 15 a^{14} + 16 a^{13} + 34 a^{12} + 4 a^{11} + 36 a^{10} + 24 a^{9} + 21 a^{8} + 22 a^{7} + a^{6} + 27 a^{5} + 36 a^{4} + a^{3} + 5 a^{2} + 33 a\right)\cdot 43^{2} + \left(23 a^{20} + 35 a^{19} + 35 a^{18} + 22 a^{17} + 23 a^{16} + 13 a^{15} + 13 a^{14} + 12 a^{13} + 6 a^{12} + 19 a^{11} + a^{10} + 42 a^{9} + 2 a^{8} + 14 a^{7} + 6 a^{6} + a^{5} + 2 a^{4} + 31 a^{3} + 14 a^{2} + 32 a\right)\cdot 43^{3} + \left(41 a^{20} + 4 a^{19} + 4 a^{18} + 5 a^{17} + 33 a^{16} + 16 a^{15} + 41 a^{13} + 5 a^{12} + 10 a^{11} + 16 a^{10} + 41 a^{9} + 2 a^{8} + 24 a^{7} + 29 a^{6} + 16 a^{5} + 21 a^{4} + 7 a^{3} + 23 a^{2} + 39 a\right)\cdot 43^{4} + \left(40 a^{20} + 2 a^{19} + 23 a^{18} + 16 a^{17} + 22 a^{16} + 8 a^{15} + 8 a^{14} + a^{13} + 38 a^{12} + 6 a^{11} + 31 a^{10} + 32 a^{9} + 10 a^{8} + 6 a^{7} + 9 a^{6} + 12 a^{5} + 37 a^{4} + 32 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a\right)\cdot 43^{5} + \left(8 a^{20} + 9 a^{19} + 21 a^{18} + 2 a^{17} + 31 a^{16} + 8 a^{15} + 21 a^{14} + 20 a^{13} + 7 a^{12} + 12 a^{11} + 37 a^{10} + 26 a^{9} + 9 a^{8} + 30 a^{7} + 13 a^{6} + 8 a^{5} + 29 a^{4} + 30 a^{3} + 14 a^{2} + 30 a\right)\cdot 43^{6} + \left(15 a^{20} + 27 a^{19} + 41 a^{18} + 7 a^{17} + 14 a^{16} + 7 a^{15} + 26 a^{14} + 2 a^{13} + 2 a^{12} + 38 a^{11} + 40 a^{10} + 16 a^{9} + 16 a^{8} + 20 a^{7} + 14 a^{6} + 11 a^{5} + 42 a^{4} + 29 a^{3} + 3 a^{2} + 33 a\right)\cdot 43^{7} + \left(8 a^{20} + 14 a^{19} + 26 a^{18} + 12 a^{17} + 39 a^{16} + 19 a^{15} + 25 a^{14} + 34 a^{13} + 9 a^{12} + 4 a^{11} + 20 a^{10} + 25 a^{9} + 33 a^{8} + 10 a^{7} + 33 a^{6} + a^{5} + 26 a^{4} + 11 a^{3} + 34 a^{2} + 32 a\right)\cdot 43^{8} + \left(19 a^{20} + 28 a^{19} + 26 a^{18} + 32 a^{17} + 22 a^{16} + 21 a^{15} + 33 a^{14} + 21 a^{13} + 25 a^{12} + 42 a^{11} + 30 a^{10} + 13 a^{9} + a^{8} + 21 a^{7} + 22 a^{6} + 13 a^{5} + 10 a^{4} + 16 a^{3} + 24 a^{2} + 20 a\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\)
|
| $r_{ 4 }$ | $=$ |
\( 35 a^{20} + 38 a^{19} + 30 a^{18} + 37 a^{17} + 14 a^{16} + 12 a^{15} + 7 a^{14} + 37 a^{13} + 5 a^{12} + 37 a^{11} + 21 a^{10} + 34 a^{9} + 28 a^{8} + 11 a^{7} + 29 a^{6} + 39 a^{5} + 35 a^{4} + 39 a^{3} + 28 a^{2} + 15 a + \left(14 a^{20} + 32 a^{19} + 36 a^{18} + 3 a^{17} + 6 a^{16} + 19 a^{15} + 40 a^{14} + 28 a^{13} + 8 a^{12} + 30 a^{11} + 20 a^{10} + 36 a^{9} + 41 a^{8} + 14 a^{7} + 28 a^{6} + 4 a^{5} + 4 a^{4} + 14 a^{3} + 27 a^{2} + 33 a\right)\cdot 43 + \left(30 a^{20} + 33 a^{19} + 30 a^{18} + 14 a^{17} + 39 a^{16} + 35 a^{15} + 9 a^{14} + 26 a^{13} + 6 a^{12} + 39 a^{11} + 39 a^{10} + 28 a^{9} + 28 a^{8} + 35 a^{7} + 32 a^{6} + 14 a^{5} + 41 a^{4} + 3 a^{3} + 24 a^{2} + 37 a\right)\cdot 43^{2} + \left(37 a^{20} + 42 a^{19} + 40 a^{18} + 3 a^{17} + 18 a^{16} + 23 a^{15} + 20 a^{14} + 36 a^{13} + 40 a^{12} + 31 a^{11} + 14 a^{9} + 7 a^{8} + 6 a^{7} + 33 a^{6} + 12 a^{5} + 37 a^{4} + 27 a^{3} + 9 a^{2} + 27 a\right)\cdot 43^{3} + \left(24 a^{20} + 22 a^{19} + 20 a^{18} + a^{17} + 2 a^{16} + 14 a^{15} + 42 a^{14} + 18 a^{13} + 31 a^{12} + 29 a^{11} + 41 a^{10} + 36 a^{9} + 4 a^{8} + 35 a^{7} + 32 a^{6} + 8 a^{4} + 28 a^{3} + 11 a^{2} + 9 a\right)\cdot 43^{4} + \left(34 a^{20} + 24 a^{19} + 5 a^{18} + 42 a^{17} + 8 a^{16} + 2 a^{15} + 23 a^{14} + 16 a^{13} + 3 a^{12} + 37 a^{11} + 10 a^{10} + 30 a^{9} + 31 a^{8} + 19 a^{7} + 21 a^{6} + 21 a^{5} + 16 a^{4} + 4 a^{3} + 3 a^{2} + 17 a\right)\cdot 43^{5} + \left(7 a^{20} + 24 a^{19} + 20 a^{18} + 5 a^{17} + 38 a^{16} + 40 a^{15} + a^{14} + 40 a^{13} + 5 a^{11} + 7 a^{10} + a^{9} + 18 a^{8} + 18 a^{7} + 36 a^{6} + 41 a^{5} + 5 a^{4} + 5 a^{3} + 13 a^{2} + 8 a\right)\cdot 43^{6} + \left(39 a^{20} + 24 a^{19} + 9 a^{18} + 32 a^{17} + 3 a^{16} + 38 a^{15} + 30 a^{14} + 29 a^{13} + 30 a^{12} + 20 a^{11} + 8 a^{10} + 39 a^{9} + 26 a^{8} + 5 a^{7} + 20 a^{6} + 12 a^{5} + 13 a^{4} + 6 a^{3} + 33 a^{2} + 8 a\right)\cdot 43^{7} + \left(30 a^{20} + 17 a^{19} + 15 a^{18} + 9 a^{17} + 32 a^{16} + 16 a^{15} + a^{14} + 7 a^{13} + 11 a^{12} + 15 a^{11} + 17 a^{10} + 40 a^{9} + 29 a^{7} + 33 a^{6} + 38 a^{5} + 20 a^{4} + 41 a^{3} + 33 a^{2} + a\right)\cdot 43^{8} + \left(34 a^{20} + 4 a^{18} + 27 a^{17} + 30 a^{16} + 18 a^{15} + 15 a^{14} + 14 a^{13} + 24 a^{12} + 18 a^{11} + 30 a^{10} + 18 a^{9} + 30 a^{8} + 22 a^{7} + 39 a^{6} + 31 a^{5} + 38 a^{4} + 19 a^{3} + 24 a^{2} + 19 a\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\)
|
| $r_{ 5 }$ | $=$ |
\( 24 a^{20} + 41 a^{19} + 7 a^{18} + 30 a^{17} + 38 a^{16} + 19 a^{15} + 42 a^{14} + 22 a^{13} + 12 a^{12} + 26 a^{11} + 15 a^{10} + 7 a^{9} + 8 a^{8} + 9 a^{7} + 7 a^{6} + 37 a^{5} + 36 a^{4} + 32 a^{3} + 27 a^{2} + 38 a + \left(3 a^{20} + 29 a^{19} + 40 a^{18} + 36 a^{17} + 3 a^{16} + 6 a^{15} + 41 a^{14} + 32 a^{13} + 36 a^{12} + 29 a^{11} + 33 a^{10} + 24 a^{9} + 2 a^{8} + 10 a^{7} + 4 a^{6} + 37 a^{5} + 17 a^{4} + a^{3} + 33 a^{2} + 41 a\right)\cdot 43 + \left(24 a^{20} + 26 a^{19} + 41 a^{18} + 7 a^{17} + 9 a^{16} + 8 a^{15} + 5 a^{14} + 31 a^{13} + 18 a^{12} + 32 a^{11} + 40 a^{10} + 13 a^{9} + 5 a^{8} + 30 a^{7} + 35 a^{6} + 13 a^{5} + 33 a^{4} + 30 a^{3} + 41 a^{2} + 24 a\right)\cdot 43^{2} + \left(10 a^{20} + 40 a^{19} + 30 a^{18} + 41 a^{16} + 14 a^{15} + 36 a^{14} + 3 a^{13} + 25 a^{12} + 20 a^{11} + 40 a^{10} + 33 a^{9} + 12 a^{8} + 7 a^{7} + 19 a^{6} + 6 a^{5} + 36 a^{4} + 2 a^{3} + 4 a^{2} + 41 a\right)\cdot 43^{3} + \left(16 a^{20} + 34 a^{19} + 28 a^{18} + 16 a^{17} + 31 a^{16} + 12 a^{15} + 22 a^{13} + 3 a^{12} + 12 a^{11} + 9 a^{10} + 5 a^{9} + 13 a^{8} + 32 a^{7} + 15 a^{6} + 41 a^{5} + 41 a^{4} + 17 a^{3} + 23 a^{2} + 36 a\right)\cdot 43^{4} + \left(30 a^{20} + 9 a^{19} + 26 a^{18} + 3 a^{17} + 23 a^{16} + 29 a^{15} + 27 a^{14} + 17 a^{13} + 12 a^{12} + 30 a^{11} + 35 a^{10} + 10 a^{9} + 27 a^{8} + 29 a^{7} + 2 a^{6} + 25 a^{5} + 29 a^{4} + 23 a^{3} + 17 a^{2} + 33 a\right)\cdot 43^{5} + \left(9 a^{19} + 15 a^{18} + 27 a^{17} + 2 a^{16} + 10 a^{15} + 19 a^{14} + 41 a^{13} + 18 a^{12} + 28 a^{11} + 27 a^{10} + 11 a^{9} + 29 a^{8} + 11 a^{7} + 33 a^{6} + 35 a^{5} + 22 a^{4} + 14 a^{3} + 20 a^{2} + 42 a\right)\cdot 43^{6} + \left(20 a^{20} + 25 a^{19} + 3 a^{18} + 21 a^{17} + 27 a^{16} + 28 a^{15} + 39 a^{14} + 4 a^{13} + 39 a^{12} + 18 a^{11} + 14 a^{10} + 13 a^{9} + 27 a^{8} + 15 a^{7} + 11 a^{6} + 38 a^{5} + 16 a^{4} + 12 a^{3} + 30 a^{2} + 10 a\right)\cdot 43^{7} + \left(21 a^{20} + 38 a^{19} + 42 a^{18} + 28 a^{17} + 17 a^{16} + 11 a^{15} + 23 a^{14} + 20 a^{13} + 22 a^{12} + 9 a^{11} + 21 a^{10} + 39 a^{9} + 23 a^{8} + 24 a^{7} + 6 a^{6} + 34 a^{5} + 16 a^{4} + a^{3} + 25 a^{2} + 11 a\right)\cdot 43^{8} + \left(25 a^{20} + 4 a^{19} + 6 a^{18} + 30 a^{17} + 41 a^{16} + 22 a^{15} + 18 a^{14} + 35 a^{13} + 18 a^{12} + 12 a^{11} + 16 a^{10} + 36 a^{9} + 30 a^{8} + 41 a^{7} + 5 a^{5} + 32 a^{4} + 7 a^{3} + 27 a^{2} + 33 a\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\)
|
| $r_{ 6 }$ | $=$ |
\( 13 a^{20} + 13 a^{19} + 30 a^{18} + 42 a^{17} + 41 a^{16} + 12 a^{15} + 37 a^{14} + 7 a^{13} + 5 a^{12} + 42 a^{11} + 40 a^{10} + 34 a^{9} + 19 a^{8} + 23 a^{7} + 29 a^{6} + 28 a^{5} + 38 a^{4} + 39 a^{3} + 19 a^{2} + 4 a + \left(31 a^{20} + 32 a^{19} + 36 a^{18} + 41 a^{17} + 26 a^{16} + 19 a^{15} + 3 a^{14} + 18 a^{13} + 8 a^{12} + 24 a^{11} + 41 a^{10} + 36 a^{9} + 31 a^{8} + 18 a^{7} + 28 a^{6} + 11 a^{5} + 22 a^{4} + 14 a^{3} + 7 a\right)\cdot 43 + \left(a^{20} + 36 a^{19} + 30 a^{18} + 10 a^{17} + 7 a^{16} + 35 a^{15} + 27 a^{14} + 15 a^{13} + 6 a^{12} + 15 a^{11} + 28 a^{9} + 25 a^{8} + 20 a^{7} + 32 a^{6} + 26 a^{5} + 3 a^{4} + 3 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a\right)\cdot 43^{2} + \left(20 a^{20} + 3 a^{19} + 40 a^{18} + 4 a^{17} + 21 a^{16} + 23 a^{15} + 29 a^{14} + 25 a^{13} + 40 a^{12} + 20 a^{11} + 32 a^{10} + 14 a^{9} + 32 a^{8} + 28 a^{7} + 33 a^{6} + 6 a^{5} + 33 a^{4} + 27 a^{3} + 27 a^{2} + 22 a\right)\cdot 43^{3} + \left(18 a^{20} + 35 a^{19} + 20 a^{18} + 18 a^{17} + 8 a^{16} + 14 a^{15} + 42 a^{14} + 27 a^{13} + 31 a^{12} + 11 a^{11} + 36 a^{9} + 23 a^{8} + 18 a^{7} + 32 a^{6} + 18 a^{5} + 14 a^{4} + 28 a^{3} + 39 a^{2} + 7 a\right)\cdot 43^{4} + \left(5 a^{19} + 5 a^{18} + 3 a^{17} + 11 a^{16} + 2 a^{15} + 34 a^{14} + 13 a^{13} + 3 a^{12} + 4 a^{11} + 12 a^{10} + 30 a^{9} + 33 a^{8} + 36 a^{7} + 21 a^{6} + 25 a^{5} + 25 a^{4} + 4 a^{3} + a^{2} + 29 a\right)\cdot 43^{5} + \left(8 a^{20} + 14 a^{19} + 20 a^{18} + 17 a^{17} + 39 a^{16} + 40 a^{15} + 21 a^{14} + 38 a^{13} + 23 a^{11} + 10 a^{10} + a^{9} + 13 a^{8} + 12 a^{7} + 36 a^{6} + 32 a^{5} + 14 a^{4} + 5 a^{3} + 14 a^{2} + 10 a\right)\cdot 43^{6} + \left(33 a^{20} + 23 a^{19} + 9 a^{18} + 42 a^{17} + 8 a^{16} + 38 a^{15} + 16 a^{14} + 35 a^{13} + 30 a^{12} + 6 a^{11} + 20 a^{10} + 39 a^{9} + 37 a^{8} + 22 a^{7} + 20 a^{6} + 37 a^{5} + 24 a^{4} + 6 a^{3} + 26 a^{2} + 35 a\right)\cdot 43^{7} + \left(37 a^{20} + 15 a^{19} + 15 a^{18} + 13 a^{17} + 2 a^{16} + 16 a^{15} + 17 a^{14} + 41 a^{13} + 11 a^{12} + 42 a^{11} + 29 a^{10} + 40 a^{9} + 32 a^{7} + 33 a^{6} + 41 a^{5} + 41 a^{3} + 2 a^{2} + 23 a\right)\cdot 43^{8} + \left(31 a^{20} + 16 a^{19} + 4 a^{18} + 25 a^{17} + 14 a^{16} + 18 a^{15} + 9 a^{14} + 24 a^{13} + 24 a^{12} + 17 a^{11} + 11 a^{10} + 18 a^{9} + 31 a^{8} + 21 a^{7} + 39 a^{6} + 13 a^{5} + 23 a^{4} + 19 a^{3} + 30 a^{2} + 6 a\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\)
|
| $r_{ 7 }$ | $=$ |
\( 42 a^{20} + 33 a^{19} + 14 a^{18} + 24 a^{17} + 7 a^{16} + 10 a^{15} + 36 a^{14} + 10 a^{13} + 10 a^{12} + 23 a^{11} + 2 a^{10} + 17 a^{9} + 9 a^{8} + 32 a^{7} + 9 a^{6} + 35 a^{5} + 2 a^{4} + 16 a^{3} + 14 a^{2} + 34 a + \left(6 a^{20} + 30 a^{19} + 23 a^{17} + a^{15} + 2 a^{14} + 22 a^{13} + 8 a^{12} + 35 a^{11} + 18 a^{10} + 23 a^{9} + 19 a^{8} + 28 a^{7} + 11 a^{6} + 24 a^{5} + 17 a^{4} + 9 a^{3} + 29 a^{2} + 21 a\right)\cdot 43 + \left(21 a^{20} + 35 a^{19} + 18 a^{18} + 2 a^{17} + 42 a^{16} + 25 a^{15} + 33 a^{14} + 8 a^{13} + 30 a^{12} + 23 a^{11} + 38 a^{10} + 37 a^{9} + 36 a^{8} + 7 a^{7} + 38 a^{6} + 33 a^{5} + 3 a^{4} + 10 a^{3} + 41 a^{2} + 3 a\right)\cdot 43^{2} + \left(3 a^{20} + 15 a^{19} + 39 a^{18} + 11 a^{17} + 14 a^{16} + 28 a^{15} + 22 a^{14} + 37 a^{13} + 6 a^{12} + 22 a^{11} + 18 a^{10} + 17 a^{9} + 4 a^{8} + 36 a^{7} + a^{6} + 15 a^{4} + 18 a^{3} + 31 a^{2} + 18 a\right)\cdot 43^{3} + \left(23 a^{20} + 14 a^{19} + 29 a^{18} + 26 a^{17} + 7 a^{16} + 29 a^{15} + 6 a^{13} + 21 a^{12} + 31 a^{11} + 24 a^{10} + 41 a^{9} + 7 a^{8} + 7 a^{7} + 42 a^{6} + 24 a^{5} + 23 a^{4} + 7 a^{3} + 40 a^{2}\right)\cdot 43^{4} + \left(22 a^{20} + 33 a^{19} + 25 a^{18} + 30 a^{17} + 12 a^{16} + 12 a^{15} + 19 a^{14} + 17 a^{13} + 27 a^{12} + 10 a^{11} + 37 a^{10} + 6 a^{9} + 26 a^{8} + 23 a^{7} + 34 a^{6} + 36 a^{5} + 9 a^{4} + 28 a^{3} + 24 a^{2} + 26 a\right)\cdot 43^{5} + \left(27 a^{20} + 33 a^{19} + 6 a^{18} + 35 a^{17} + 7 a^{16} + 36 a^{15} + 41 a^{14} + 21 a^{13} + 23 a^{12} + 16 a^{11} + 15 a^{10} + 18 a^{9} + 21 a^{8} + 24 a^{7} + 23 a^{6} + 12 a^{5} + 22 a^{4} + 5 a^{3} + 36 a^{2}\right)\cdot 43^{6} + \left(34 a^{20} + 25 a^{18} + 35 a^{17} + 7 a^{16} + 30 a^{15} + 12 a^{14} + 14 a^{13} + 17 a^{12} + 15 a^{11} + 33 a^{10} + 7 a^{9} + 40 a^{8} + 37 a^{7} + 10 a^{5} + 28 a^{4} + 31 a^{3} + 14 a^{2} + 29 a\right)\cdot 43^{7} + \left(32 a^{20} + 33 a^{19} + 27 a^{18} + 15 a^{17} + 20 a^{16} + 11 a^{15} + 41 a^{14} + 16 a^{13} + 37 a^{12} + 24 a^{11} + 39 a^{10} + 39 a^{9} + 28 a^{8} + 13 a^{7} + 15 a^{5} + 20 a^{4} + 27 a^{3} + 32 a^{2} + 18 a\right)\cdot 43^{8} + \left(9 a^{20} + 11 a^{19} + 16 a^{18} + 9 a^{17} + 9 a^{16} + 14 a^{15} + 27 a^{14} + 39 a^{13} + 31 a^{12} + 27 a^{11} + 29 a^{10} + 29 a^{9} + 4 a^{8} + 20 a^{7} + 8 a^{6} + 32 a^{5} + 33 a^{4} + 33 a^{2} + 36 a\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\)
|
| $r_{ 8 }$ | $=$ |
\( 3 a^{20} + 39 a^{19} + 9 a^{18} + 9 a^{17} + 19 a^{16} + 23 a^{15} + a^{14} + 35 a^{13} + 24 a^{12} + 15 a^{11} + 26 a^{10} + 25 a^{9} + 21 a^{8} + 34 a^{7} + 17 a^{6} + 31 a^{5} + 34 a^{4} + a^{3} + 35 a^{2} + 3 a + \left(28 a^{20} + 2 a^{19} + 2 a^{18} + 2 a^{17} + 21 a^{16} + 13 a^{15} + a^{14} + 12 a^{13} + 27 a^{12} + 27 a^{11} + 5 a^{10} + 10 a^{9} + a^{8} + 32 a^{7} + 42 a^{6} + 33 a^{5} + 4 a^{4} + a^{2} + a\right)\cdot 43 + \left(27 a^{20} + 12 a^{19} + 35 a^{18} + 41 a^{17} + 16 a^{16} + 19 a^{15} + 37 a^{14} + 19 a^{13} + 34 a^{12} + 34 a^{11} + 12 a^{10} + 24 a^{9} + 4 a^{8} + 12 a^{7} + a^{6} + 12 a^{5} + 26 a^{4} + a^{3} + 22 a^{2} + 7 a\right)\cdot 43^{2} + \left(14 a^{20} + 35 a^{19} + 35 a^{18} + 24 a^{17} + 37 a^{16} + 13 a^{15} + 6 a^{14} + 28 a^{13} + 6 a^{12} + 26 a^{11} + 12 a^{10} + 42 a^{9} + 40 a^{8} + 35 a^{7} + 6 a^{6} + 23 a^{5} + 27 a^{4} + 31 a^{3} + 12 a^{2} + 42 a\right)\cdot 43^{3} + \left(16 a^{20} + 3 a^{19} + 4 a^{18} + 29 a^{17} + 16 a^{16} + 16 a^{15} + 42 a^{14} + a^{13} + 5 a^{12} + 11 a^{11} + 15 a^{10} + 41 a^{9} + 8 a^{8} + 10 a^{7} + 29 a^{6} + 42 a^{5} + 33 a^{4} + 7 a^{3} + 39 a^{2} + 28 a\right)\cdot 43^{4} + \left(20 a^{20} + 39 a^{19} + 23 a^{18} + 28 a^{17} + 23 a^{16} + 8 a^{15} + 15 a^{14} + 16 a^{13} + 38 a^{12} + 10 a^{11} + 20 a^{10} + 32 a^{9} + 41 a^{8} + 13 a^{7} + 9 a^{6} + a^{5} + 10 a^{4} + 32 a^{3} + 38 a^{2} + 16 a\right)\cdot 43^{5} + \left(31 a^{20} + 10 a^{19} + 21 a^{18} + 26 a^{17} + 18 a^{16} + 8 a^{15} + 23 a^{14} + 29 a^{13} + 7 a^{12} + 39 a^{11} + 26 a^{9} + 17 a^{8} + 31 a^{7} + 13 a^{6} + 30 a^{5} + 32 a^{4} + 30 a^{3} + 16 a^{2} + 14 a\right)\cdot 43^{6} + \left(25 a^{20} + 5 a^{19} + 41 a^{18} + 34 a^{17} + 3 a^{16} + 7 a^{15} + 3 a^{14} + 5 a^{13} + 2 a^{12} + 38 a^{11} + 22 a^{10} + 16 a^{9} + 29 a^{8} + 27 a^{7} + 14 a^{6} + 3 a^{5} + 10 a^{4} + 29 a^{3} + 6 a\right)\cdot 43^{7} + \left(3 a^{19} + 26 a^{18} + 36 a^{17} + 20 a^{16} + 19 a^{15} + 19 a^{14} + 34 a^{13} + 9 a^{12} + 35 a^{11} + 41 a^{10} + 25 a^{9} + 10 a^{8} + 18 a^{7} + 33 a^{6} + 31 a^{5} + a^{4} + 11 a^{3} + a^{2} + 42 a\right)\cdot 43^{8} + \left(34 a^{20} + 6 a^{19} + 26 a^{18} + 39 a^{17} + 7 a^{16} + 21 a^{15} + 24 a^{14} + 34 a^{13} + 25 a^{12} + 41 a^{11} + 31 a^{10} + 13 a^{9} + 13 a^{8} + a^{7} + 22 a^{6} + 34 a^{5} + 36 a^{4} + 16 a^{3} + 37 a^{2} + 4 a\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\)
|
| $r_{ 9 }$ | $=$ |
\( 7 a^{20} + 26 a^{19} + 14 a^{18} + 4 a^{17} + 42 a^{16} + 10 a^{15} + 6 a^{14} + 17 a^{13} + 10 a^{12} + 11 a^{11} + 12 a^{10} + 17 a^{9} + 23 a^{8} + 20 a^{7} + 9 a^{6} + 13 a^{5} + 12 a^{4} + 16 a^{3} + 31 a^{2} + 32 a + \left(27 a^{20} + 26 a^{19} + 32 a^{17} + 16 a^{16} + a^{15} + 39 a^{14} + 33 a^{13} + 8 a^{12} + 24 a^{11} + 2 a^{10} + 23 a^{9} + 41 a^{8} + 24 a^{7} + 11 a^{6} + 4 a^{5} + 39 a^{4} + 9 a^{3} + 20 a^{2} + 5 a\right)\cdot 43 + \left(26 a^{20} + 17 a^{19} + 18 a^{18} + 19 a^{17} + 39 a^{16} + 25 a^{15} + 15 a^{14} + 18 a^{13} + 30 a^{12} + 9 a^{11} + 2 a^{10} + 37 a^{9} + 23 a^{8} + 22 a^{7} + 38 a^{6} + 36 a^{5} + 16 a^{4} + 10 a^{3} + 36 a^{2} + 19 a\right)\cdot 43^{2} + \left(33 a^{20} + 16 a^{19} + 39 a^{18} + 4 a^{17} + 41 a^{16} + 28 a^{15} + 13 a^{14} + 6 a^{13} + 6 a^{12} + 17 a^{11} + 30 a^{10} + 17 a^{9} + 25 a^{8} + 14 a^{7} + a^{6} + 34 a^{5} + 37 a^{4} + 18 a^{3} + 15 a^{2} + 31 a\right)\cdot 43^{3} + \left(41 a^{20} + 20 a^{19} + 29 a^{18} + a^{17} + a^{16} + 29 a^{15} + 35 a^{13} + 21 a^{12} + 6 a^{11} + 38 a^{10} + 41 a^{9} + 21 a^{8} + 24 a^{7} + 42 a^{6} + 18 a^{5} + 27 a^{4} + 7 a^{3} + 28 a^{2}\right)\cdot 43^{4} + \left(17 a^{20} + a^{19} + 25 a^{18} + 38 a^{17} + 32 a^{16} + 12 a^{15} + 8 a^{14} + 21 a^{13} + 27 a^{12} + 12 a^{11} + 22 a^{10} + 6 a^{9} + 6 a^{8} + 6 a^{7} + 34 a^{6} + 33 a^{5} + 18 a^{4} + 28 a^{3} + 16 a^{2} + 8 a\right)\cdot 43^{5} + \left(18 a^{20} + 14 a^{19} + 6 a^{18} + 14 a^{17} + 18 a^{16} + 36 a^{15} + 21 a^{14} + 20 a^{13} + 23 a^{12} + 25 a^{11} + 26 a^{10} + 18 a^{9} + 35 a^{8} + 30 a^{7} + 23 a^{6} + 3 a^{5} + 14 a^{4} + 5 a^{3} + 11 a^{2} + 40 a\right)\cdot 43^{6} + \left(10 a^{20} + 29 a^{19} + 25 a^{18} + 41 a^{17} + 9 a^{16} + 30 a^{15} + 26 a^{14} + 40 a^{13} + 17 a^{12} + 42 a^{11} + 37 a^{10} + 7 a^{9} + 42 a^{8} + 20 a^{7} + 22 a^{5} + 6 a^{4} + 31 a^{3} + 17 a^{2}\right)\cdot 43^{7} + \left(3 a^{20} + 42 a^{19} + 27 a^{18} + 20 a^{17} + 35 a^{16} + 11 a^{15} + 25 a^{14} + 13 a^{13} + 37 a^{12} + 9 a^{11} + 13 a^{10} + 39 a^{9} + 37 a^{8} + 10 a^{7} + 6 a^{5} + 34 a^{4} + 27 a^{3} + 25 a^{2} + 36 a\right)\cdot 43^{8} + \left(14 a^{20} + 11 a^{19} + 16 a^{18} + 38 a^{17} + 8 a^{16} + 14 a^{15} + 33 a^{14} + 19 a^{13} + 31 a^{12} + 21 a^{11} + 23 a^{10} + 29 a^{9} + 10 a^{8} + 21 a^{7} + 8 a^{6} + 18 a^{5} + 36 a^{4} + 2 a^{2} + 9 a\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\)
|
| $r_{ 10 }$ | $=$ |
\( 16 a^{20} + 23 a^{19} + 18 a^{18} + 33 a^{17} + 25 a^{16} + 37 a^{15} + 7 a^{14} + 12 a^{13} + 20 a^{12} + 5 a^{11} + 35 a^{10} + 30 a^{9} + 29 a^{8} + 11 a^{7} + 28 a^{6} + 27 a^{5} + 21 a^{4} + 22 a^{3} + 7 a^{2} + 14 a + \left(26 a^{20} + 34 a^{19} + 24 a^{18} + 7 a^{17} + 41 a^{16} + 32 a^{15} + 40 a^{14} + 27 a^{13} + 42 a^{11} + 35 a^{9} + 6 a^{8} + 14 a^{7} + 40 a^{6} + 36 a^{5} + 31 a^{4} + 30 a^{3} + 33 a^{2} + 20 a\right)\cdot 43 + \left(22 a^{20} + 20 a^{19} + 32 a^{18} + 38 a^{17} + 15 a^{16} + 28 a^{15} + 9 a^{14} + 24 a^{13} + 40 a^{12} + 20 a^{11} + 2 a^{10} + 10 a^{9} + 2 a^{8} + 35 a^{7} + 28 a^{6} + 10 a^{5} + 35 a^{4} + 39 a^{3} + 13 a^{2} + 20 a\right)\cdot 43^{2} + \left(39 a^{20} + 28 a^{19} + 3 a^{18} + 25 a^{17} + 41 a^{16} + 18 a^{15} + 20 a^{14} + 31 a^{13} + 18 a^{12} + 26 a^{11} + 39 a^{10} + 30 a^{9} + 29 a^{8} + 6 a^{7} + 33 a^{6} + 3 a^{5} + 17 a^{4} + 42 a^{3} + 38 a^{2} + 39 a\right)\cdot 43^{3} + \left(36 a^{20} + 14 a^{19} + 6 a^{17} + 7 a^{16} + 26 a^{15} + 42 a^{14} + 23 a^{13} + 28 a^{12} + 29 a^{11} + 12 a^{10} + 19 a^{9} + 17 a^{8} + 35 a^{7} + 15 a^{6} + 9 a^{5} + 31 a^{4} + 7 a^{3} + 21 a^{2} + 39 a\right)\cdot 43^{4} + \left(8 a^{20} + 31 a^{19} + 36 a^{18} + 13 a^{17} + 4 a^{16} + 37 a^{15} + 23 a^{14} + 41 a^{13} + 22 a^{12} + 25 a^{11} + 37 a^{10} + 10 a^{9} + 18 a^{8} + 19 a^{7} + 40 a^{6} + 15 a^{5} + 8 a^{4} + 12 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a\right)\cdot 43^{5} + \left(22 a^{20} + 33 a^{19} + 13 a^{18} + 40 a^{17} + 17 a^{16} + 9 a^{15} + a^{14} + 10 a^{13} + 33 a^{12} + 11 a^{11} + 13 a^{10} + 12 a^{9} + 8 a^{8} + 18 a^{7} + 22 a^{6} + 7 a^{5} + 16 a^{4} + 14 a^{2} + 27 a\right)\cdot 43^{6} + \left(31 a^{20} + 17 a^{19} + 21 a^{18} + 38 a^{17} + 33 a^{16} + 4 a^{15} + 30 a^{14} + 8 a^{13} + 16 a^{12} + 34 a^{11} + 19 a^{10} + 18 a^{9} + 7 a^{8} + 5 a^{7} + 20 a^{6} + 20 a^{5} + 38 a^{4} + 6 a^{3} + 2 a^{2} + 17 a\right)\cdot 43^{7} + \left(35 a^{20} + 25 a^{19} + 9 a^{18} + 10 a^{17} + 11 a^{15} + a^{14} + 37 a^{13} + 40 a^{12} + 17 a^{11} + 39 a^{10} + 21 a^{9} + 14 a^{8} + 29 a^{7} + 17 a^{6} + 38 a^{5} + 25 a^{4} + 30 a^{3} + 34 a\right)\cdot 43^{8} + \left(42 a^{20} + 33 a^{19} + 11 a^{18} + 24 a^{17} + 26 a^{16} + a^{15} + 15 a^{14} + 12 a^{13} + 41 a^{12} + 25 a^{11} + 34 a^{10} + 19 a^{9} + 26 a^{8} + 22 a^{7} + 36 a^{6} + 26 a^{5} + 16 a^{4} + 39 a^{3} + 31 a^{2} + 36 a\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\)
|
| $r_{ 11 }$ | $=$ |
\( 38 a^{20} + 35 a^{19} + 30 a^{18} + 7 a^{17} + 31 a^{16} + 12 a^{15} + 42 a^{14} + 42 a^{13} + 5 a^{12} + 7 a^{11} + 25 a^{10} + 34 a^{9} + 39 a^{8} + 9 a^{7} + 29 a^{6} + 19 a^{5} + 13 a^{4} + 39 a^{3} + 39 a^{2} + 24 a + \left(39 a^{20} + 20 a^{19} + 36 a^{18} + 40 a^{17} + 9 a^{16} + 19 a^{15} + 41 a^{14} + 38 a^{13} + 8 a^{12} + 30 a^{11} + 23 a^{10} + 36 a^{9} + 12 a^{8} + 10 a^{7} + 28 a^{6} + 26 a^{5} + 15 a^{4} + 14 a^{3} + 14 a^{2} + 2 a\right)\cdot 43 + \left(10 a^{20} + 15 a^{19} + 30 a^{18} + 17 a^{17} + 39 a^{16} + 35 a^{15} + 5 a^{14} + 6 a^{12} + 30 a^{11} + 2 a^{10} + 28 a^{9} + 31 a^{8} + 30 a^{7} + 32 a^{6} + 2 a^{5} + 41 a^{4} + 3 a^{3} + 16 a^{2} + 42 a\right)\cdot 43^{2} + \left(28 a^{20} + 39 a^{19} + 40 a^{18} + 35 a^{17} + 2 a^{16} + 23 a^{15} + 36 a^{14} + 24 a^{13} + 40 a^{12} + 33 a^{11} + 10 a^{10} + 14 a^{9} + 2 a^{8} + 7 a^{7} + 33 a^{6} + 24 a^{5} + 14 a^{4} + 27 a^{3} + 6 a^{2} + 35 a\right)\cdot 43^{3} + \left(42 a^{20} + 27 a^{19} + 20 a^{18} + 23 a^{17} + 32 a^{16} + 14 a^{15} + 39 a^{13} + 31 a^{12} + a^{11} + a^{10} + 36 a^{9} + 15 a^{8} + 32 a^{7} + 32 a^{6} + 24 a^{5} + 19 a^{4} + 28 a^{3} + 35 a^{2} + 25 a\right)\cdot 43^{4} + \left(7 a^{20} + 12 a^{19} + 5 a^{18} + 40 a^{17} + 23 a^{16} + 2 a^{15} + 27 a^{14} + 12 a^{13} + 3 a^{12} + a^{11} + 20 a^{10} + 30 a^{9} + 21 a^{8} + 29 a^{7} + 21 a^{6} + 39 a^{5} + a^{4} + 4 a^{3} + 37 a^{2} + 39 a\right)\cdot 43^{5} + \left(27 a^{20} + 4 a^{19} + 20 a^{18} + 19 a^{17} + 8 a^{16} + 40 a^{15} + 19 a^{14} + 7 a^{13} + 14 a^{11} + 25 a^{10} + a^{9} + 10 a^{8} + 11 a^{7} + 36 a^{6} + 11 a^{5} + 23 a^{4} + 5 a^{3} + 15 a^{2} + 23 a\right)\cdot 43^{6} + \left(13 a^{20} + 38 a^{19} + 9 a^{18} + 11 a^{17} + 30 a^{16} + 38 a^{15} + 39 a^{14} + 20 a^{13} + 30 a^{12} + 16 a^{11} + 14 a^{10} + 39 a^{9} + 22 a^{8} + 15 a^{7} + 20 a^{6} + 35 a^{5} + 5 a^{4} + 6 a^{3} + 26 a^{2} + 42 a\right)\cdot 43^{7} + \left(17 a^{20} + 9 a^{19} + 15 a^{18} + 19 a^{17} + 8 a^{16} + 16 a^{15} + 23 a^{14} + 36 a^{13} + 11 a^{12} + 28 a^{11} + 39 a^{10} + 40 a^{9} + 41 a^{8} + 24 a^{7} + 33 a^{6} + 5 a^{5} + 22 a^{4} + 41 a^{3} + 6 a^{2} + 17 a\right)\cdot 43^{8} + \left(19 a^{20} + 26 a^{19} + 4 a^{18} + 33 a^{17} + 41 a^{16} + 18 a^{15} + 18 a^{14} + 3 a^{13} + 24 a^{12} + 6 a^{11} + 18 a^{9} + 24 a^{8} + 41 a^{7} + 39 a^{6} + 40 a^{5} + 24 a^{4} + 19 a^{3} + 31 a^{2} + 17 a\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\)
|
| $r_{ 12 }$ | $=$ |
\( 17 a^{20} + 9 a^{19} + 18 a^{18} + 27 a^{17} + 21 a^{16} + 37 a^{15} + 37 a^{14} + 29 a^{13} + 20 a^{12} + 8 a^{11} + 38 a^{10} + 30 a^{9} + 12 a^{8} + 23 a^{7} + 28 a^{6} + 26 a^{5} + 40 a^{4} + 22 a^{3} + 37 a^{2} + 41 a + \left(18 a^{20} + 20 a^{19} + 24 a^{18} + 17 a^{17} + 42 a^{16} + 32 a^{15} + 3 a^{14} + 13 a^{11} + 41 a^{10} + 35 a^{9} + 28 a^{8} + 18 a^{7} + 40 a^{6} + 13 a^{5} + 21 a^{4} + 30 a^{3} + 9 a^{2} + 24 a\right)\cdot 43 + \left(16 a^{20} + a^{19} + 32 a^{18} + 25 a^{16} + 28 a^{15} + 27 a^{14} + 17 a^{13} + 40 a^{12} + 7 a^{11} + 23 a^{10} + 10 a^{9} + 16 a^{8} + 20 a^{7} + 28 a^{6} + 35 a^{5} + 40 a^{4} + 39 a^{3} + 16 a^{2} + 13 a\right)\cdot 43^{2} + \left(42 a^{20} + 7 a^{19} + 3 a^{18} + 15 a^{17} + 9 a^{16} + 18 a^{15} + 29 a^{14} + 37 a^{13} + 18 a^{12} + 17 a^{11} + 10 a^{10} + 30 a^{9} + 42 a^{8} + 28 a^{7} + 33 a^{6} + 42 a^{5} + 35 a^{4} + 42 a^{3} + 31 a^{2} + 38 a\right)\cdot 43^{3} + \left(12 a^{20} + 23 a^{19} + 20 a^{17} + 32 a^{16} + 26 a^{15} + 42 a^{14} + 36 a^{13} + 28 a^{12} + 14 a^{11} + 14 a^{10} + 19 a^{9} + 9 a^{8} + 18 a^{7} + 15 a^{6} + 5 a^{5} + 30 a^{4} + 7 a^{3} + 18 a^{2} + 23 a\right)\cdot 43^{4} + \left(6 a^{20} + 21 a^{19} + 36 a^{18} + 9 a^{17} + 10 a^{16} + 37 a^{15} + 34 a^{14} + 35 a^{13} + 22 a^{12} + 15 a^{11} + 31 a^{10} + 10 a^{9} + 26 a^{8} + 36 a^{7} + 40 a^{6} + 37 a^{5} + 41 a^{4} + 12 a^{3} + 33 a^{2} + 8 a\right)\cdot 43^{5} + \left(29 a^{20} + 34 a^{19} + 13 a^{18} + 32 a^{17} + 28 a^{16} + 9 a^{15} + 21 a^{14} + 35 a^{13} + 33 a^{12} + 17 a^{11} + 21 a^{10} + 12 a^{9} + 11 a^{8} + 12 a^{7} + 22 a^{6} + 11 a^{5} + 21 a^{4} + 22 a^{2} + 8 a\right)\cdot 43^{6} + \left(27 a^{20} + 29 a^{19} + 21 a^{18} + 24 a^{17} + 16 a^{16} + 4 a^{15} + 16 a^{14} + 10 a^{13} + 16 a^{12} + 16 a^{11} + 40 a^{10} + 18 a^{9} + 25 a^{8} + 22 a^{7} + 20 a^{6} + 21 a^{5} + 36 a^{4} + 6 a^{3} + 16 a^{2}\right)\cdot 43^{7} + \left(40 a^{20} + 42 a^{19} + 9 a^{18} + 41 a^{17} + 27 a^{16} + 11 a^{15} + 17 a^{14} + 14 a^{13} + 40 a^{12} + 38 a^{11} + 3 a^{10} + 21 a^{9} + 22 a^{8} + 32 a^{7} + 17 a^{6} + 13 a^{5} + 26 a^{4} + 30 a^{3} + 31 a^{2} + 13 a\right)\cdot 43^{8} + \left(26 a^{20} + 29 a^{19} + 11 a^{18} + 28 a^{17} + 32 a^{16} + a^{15} + 9 a^{14} + 13 a^{13} + 41 a^{12} + 17 a^{11} + a^{10} + 19 a^{9} + 8 a^{8} + 21 a^{7} + 36 a^{6} + a^{5} + 42 a^{4} + 39 a^{3} + 34 a^{2} + 31 a\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\)
|
| $r_{ 13 }$ | $=$ |
\( 2 a^{20} + 3 a^{19} + 17 a^{18} + 40 a^{17} + 34 a^{16} + 38 a^{15} + 36 a^{14} + 23 a^{13} + 40 a^{12} + 31 a^{11} + 32 a^{10} + 15 a^{9} + 17 a^{8} + 32 a^{7} + 25 a^{6} + 11 a^{5} + 27 a^{4} + 41 a^{3} + 25 a^{2} + 26 a + \left(36 a^{20} + 15 a^{19} + 25 a^{18} + 33 a^{17} + 30 a^{16} + 16 a^{15} + 2 a^{14} + 14 a^{13} + 11 a^{12} + 19 a^{11} + 5 a^{10} + 8 a^{9} + 38 a^{8} + 28 a^{7} + 4 a^{5} + 39 a^{4} + 35 a^{3} + 36 a^{2} + 5 a\right)\cdot 43 + \left(12 a^{20} + 9 a^{19} + 41 a^{18} + 22 a^{17} + 2 a^{16} + 16 a^{15} + 33 a^{14} + 34 a^{13} + 13 a^{12} + 15 a^{11} + 34 a^{10} + 13 a^{9} + 16 a^{8} + 7 a^{7} + 27 a^{6} + 33 a^{5} + 14 a^{4} + 22 a^{3} + 40 a^{2} + 24 a\right)\cdot 43^{2} + \left(19 a^{20} + 27 a^{19} + 24 a^{18} + 23 a^{17} + 9 a^{16} + 10 a^{15} + 22 a^{14} + 34 a^{13} + 5 a^{12} + 38 a^{10} + 30 a^{9} + 31 a^{8} + 36 a^{7} + 8 a^{6} + 26 a^{5} + 28 a^{4} + 17 a^{3} + 10 a^{2} + 19 a\right)\cdot 43^{3} + \left(20 a^{20} + 40 a^{19} + 3 a^{18} + 40 a^{17} + 13 a^{16} + 26 a^{15} + 18 a^{13} + 18 a^{12} + 26 a^{11} + 30 a^{10} + 42 a^{9} + 36 a^{8} + 7 a^{7} + 28 a^{6} + 26 a^{5} + 7 a^{4} + 15 a^{3} + 24 a^{2} + 14 a\right)\cdot 43^{4} + \left(23 a^{20} + 16 a^{19} + 37 a^{18} + 30 a^{17} + 3 a^{16} + 15 a^{15} + 19 a^{14} + 26 a^{13} + 2 a^{12} + 6 a^{11} + 23 a^{10} + 23 a^{9} + 8 a^{8} + 23 a^{7} + 21 a^{6} + 4 a^{5} + 2 a^{4} + 11 a^{3} + 38 a^{2} + 18 a\right)\cdot 43^{5} + \left(14 a^{20} + 9 a^{19} + 23 a^{18} + 8 a^{17} + 25 a^{16} + 21 a^{15} + 41 a^{14} + 14 a^{13} + 6 a^{12} + 38 a^{11} + 32 a^{10} + a^{9} + 23 a^{8} + 24 a^{7} + 28 a^{6} + 38 a^{5} + 19 a^{4} + 39 a^{3} + 33 a^{2} + 7 a\right)\cdot 43^{6} + \left(37 a^{20} + 22 a^{19} + 23 a^{18} + a^{17} + 32 a^{16} + 34 a^{15} + 12 a^{14} + 42 a^{13} + 21 a^{12} + 31 a^{11} + 8 a^{10} + 31 a^{9} + 29 a^{8} + 37 a^{7} + 30 a^{6} + 32 a^{5} + 26 a^{4} + 30 a^{3} + 19 a^{2} + 27 a\right)\cdot 43^{7} + \left(2 a^{20} + 35 a^{18} + 30 a^{17} + 6 a^{16} + 39 a^{15} + 41 a^{14} + 42 a^{13} + 22 a^{12} + 31 a^{11} + 25 a^{10} + 3 a^{9} + 13 a^{7} + 12 a^{6} + 11 a^{5} + 14 a^{4} + 29 a^{3} + 15 a^{2} + 34 a\right)\cdot 43^{8} + \left(23 a^{20} + 42 a^{19} + 18 a^{18} + 8 a^{17} + 33 a^{16} + 12 a^{15} + 27 a^{14} + 25 a^{13} + 16 a^{12} + 4 a^{11} + 5 a^{10} + 2 a^{8} + 20 a^{7} + 34 a^{6} + 42 a^{5} + 10 a^{4} + 14 a^{2} + 33 a\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\)
|
| $r_{ 14 }$ | $=$ |
\( 37 a^{20} + 27 a^{19} + 14 a^{18} + 15 a^{17} + 37 a^{16} + 10 a^{15} + a^{14} + 16 a^{13} + 10 a^{12} + 9 a^{11} + 29 a^{10} + 17 a^{9} + 11 a^{8} + 34 a^{7} + 9 a^{6} + 38 a^{5} + 29 a^{4} + 16 a^{3} + 41 a^{2} + 20 a + \left(8 a^{20} + 28 a^{19} + 30 a^{17} + 25 a^{16} + a^{15} + a^{14} + 30 a^{13} + 8 a^{12} + 26 a^{11} + 22 a^{10} + 23 a^{9} + 25 a^{8} + 32 a^{7} + 11 a^{6} + 13 a^{5} + 29 a^{4} + 9 a^{3} + 35 a^{2} + 15 a\right)\cdot 43 + \left(38 a^{20} + 32 a^{19} + 18 a^{18} + 20 a^{17} + 4 a^{16} + 25 a^{15} + 37 a^{14} + 15 a^{13} + 30 a^{12} + 9 a^{11} + 2 a^{10} + 37 a^{9} + 25 a^{8} + 12 a^{7} + 38 a^{6} + 16 a^{5} + 22 a^{4} + 10 a^{3} + 7 a^{2} + 20 a\right)\cdot 43^{2} + \left(5 a^{20} + 10 a^{19} + 39 a^{18} + 27 a^{17} + 29 a^{16} + 28 a^{15} + 6 a^{14} + 42 a^{13} + 6 a^{12} + 3 a^{11} + 37 a^{10} + 17 a^{9} + 12 a^{8} + 35 a^{7} + a^{6} + 7 a^{5} + 33 a^{4} + 18 a^{3} + 38 a^{2} + 36 a\right)\cdot 43^{3} + \left(21 a^{20} + 8 a^{19} + 29 a^{18} + 15 a^{17} + 33 a^{16} + 29 a^{15} + 42 a^{14} + 21 a^{12} + 5 a^{11} + 22 a^{10} + 41 a^{9} + 14 a^{8} + 10 a^{7} + 42 a^{6} + 34 a^{4} + 7 a^{3} + 16 a^{2} + 41 a\right)\cdot 43^{4} + \left(2 a^{20} + 8 a^{19} + 25 a^{18} + 17 a^{17} + 41 a^{16} + 12 a^{15} + 15 a^{14} + 4 a^{13} + 27 a^{12} + 20 a^{11} + 25 a^{10} + 6 a^{9} + 10 a^{8} + 13 a^{7} + 34 a^{6} + 16 a^{5} + 14 a^{4} + 28 a^{3} + a^{2} + 8 a\right)\cdot 43^{5} + \left(40 a^{20} + 38 a^{19} + 6 a^{18} + 35 a^{17} + 16 a^{16} + 36 a^{15} + 23 a^{14} + a^{13} + 23 a^{12} + a^{11} + 18 a^{9} + 29 a^{8} + 31 a^{7} + 23 a^{6} + 26 a^{5} + 6 a^{4} + 5 a^{3} + 38 a^{2} + 2 a\right)\cdot 43^{6} + \left(40 a^{20} + 12 a^{19} + 25 a^{18} + 8 a^{17} + 26 a^{16} + 30 a^{15} + 3 a^{14} + 31 a^{13} + 17 a^{12} + 28 a^{11} + 15 a^{10} + 7 a^{9} + 2 a^{8} + 27 a^{7} + 10 a^{5} + 8 a^{4} + 31 a^{3} + 10 a^{2} + 13 a\right)\cdot 43^{7} + \left(6 a^{20} + 10 a^{19} + 27 a^{18} + 6 a^{17} + 30 a^{16} + 11 a^{15} + 19 a^{14} + 12 a^{13} + 37 a^{12} + 8 a^{11} + 32 a^{10} + 39 a^{9} + 19 a^{8} + 18 a^{7} + 21 a^{5} + 31 a^{4} + 27 a^{3} + 28 a^{2} + 31 a\right)\cdot 43^{8} + \left(19 a^{20} + 19 a^{19} + 16 a^{18} + 38 a^{17} + 24 a^{16} + 14 a^{15} + 24 a^{14} + 27 a^{13} + 31 a^{12} + 37 a^{11} + 32 a^{10} + 29 a^{9} + 27 a^{8} + a^{7} + 8 a^{6} + 35 a^{5} + 15 a^{4} + 6 a^{2} + 39 a\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\)
|
| $r_{ 15 }$ | $=$ |
\( 29 a^{20} + 18 a^{19} + 17 a^{18} + 21 a^{17} + 32 a^{16} + 38 a^{15} + 6 a^{14} + 9 a^{13} + 40 a^{12} + 41 a^{11} + 20 a^{10} + 15 a^{9} + 10 a^{8} + 20 a^{7} + 25 a^{6} + 9 a^{5} + 33 a^{4} + 41 a^{3} + 40 a^{2} + 27 a + \left(25 a^{20} + 17 a^{19} + 25 a^{18} + 33 a^{17} + 16 a^{16} + 16 a^{15} + 39 a^{14} + 29 a^{13} + 11 a^{12} + 42 a^{11} + 15 a^{10} + 8 a^{9} + 30 a^{8} + 24 a^{7} + 37 a^{5} + 10 a^{4} + 35 a^{3} + 36 a^{2} + 31 a\right)\cdot 43 + \left(17 a^{20} + 5 a^{19} + 41 a^{18} + 21 a^{17} + 10 a^{16} + 16 a^{15} + 15 a^{14} + 24 a^{13} + 13 a^{12} + 15 a^{11} + 24 a^{10} + 13 a^{9} + 28 a^{8} + 22 a^{7} + 27 a^{6} + 31 a^{5} + 34 a^{4} + 22 a^{3} + 34 a^{2} + 23 a\right)\cdot 43^{2} + \left(38 a^{20} + 35 a^{19} + 24 a^{18} + 27 a^{16} + 10 a^{15} + 13 a^{14} + 2 a^{13} + 5 a^{12} + 41 a^{11} + 16 a^{10} + 30 a^{9} + 6 a^{8} + 14 a^{7} + 8 a^{6} + 35 a^{5} + 34 a^{4} + 17 a^{3} + 32 a^{2} + 38 a\right)\cdot 43^{3} + \left(15 a^{20} + 29 a^{19} + 3 a^{18} + 41 a^{17} + 6 a^{16} + 26 a^{15} + 17 a^{13} + 18 a^{12} + 41 a^{11} + 4 a^{10} + 42 a^{9} + 42 a^{8} + 24 a^{7} + 28 a^{6} + 37 a^{5} + 40 a^{4} + 15 a^{3} + 38 a^{2} + 32 a\right)\cdot 43^{4} + \left(34 a^{20} + 5 a^{19} + 37 a^{18} + 30 a^{17} + 8 a^{16} + 15 a^{15} + 8 a^{14} + 35 a^{13} + 2 a^{12} + 23 a^{11} + 13 a^{10} + 23 a^{9} + 26 a^{8} + 6 a^{7} + 21 a^{6} + 37 a^{5} + 41 a^{4} + 11 a^{3} + 31 a^{2} + 2 a\right)\cdot 43^{5} + \left(7 a^{20} + 29 a^{19} + 23 a^{18} + 32 a^{17} + 16 a^{16} + 21 a^{15} + 21 a^{14} + 2 a^{13} + 6 a^{12} + 29 a^{11} + 42 a^{10} + a^{9} + 21 a^{8} + 30 a^{7} + 28 a^{6} + 11 a^{5} + 26 a^{4} + 39 a^{3} + 16 a^{2} + 41 a\right)\cdot 43^{6} + \left(27 a^{20} + 9 a^{19} + 23 a^{18} + 38 a^{17} + 34 a^{16} + 34 a^{15} + 26 a^{14} + 8 a^{13} + 21 a^{12} + 5 a^{11} + 27 a^{10} + 31 a^{9} + 9 a^{8} + 20 a^{7} + 30 a^{6} + 22 a^{5} + 3 a^{4} + 30 a^{3} + 2 a^{2} + 24 a\right)\cdot 43^{7} + \left(41 a^{20} + 25 a^{19} + 35 a^{18} + 24 a^{17} + 39 a^{16} + 39 a^{15} + 25 a^{14} + 24 a^{13} + 22 a^{12} + 29 a^{11} + 2 a^{10} + 3 a^{9} + 9 a^{8} + 10 a^{7} + 12 a^{6} + 42 a^{5} + 32 a^{4} + 29 a^{3} + 14 a^{2} + 35 a\right)\cdot 43^{8} + \left(13 a^{20} + 27 a^{19} + 18 a^{18} + 38 a^{17} + 26 a^{16} + 12 a^{15} + 33 a^{14} + 30 a^{13} + 16 a^{12} + 42 a^{11} + 36 a^{10} + 19 a^{8} + 21 a^{7} + 34 a^{6} + 14 a^{5} + 30 a^{4} + 16 a^{2} + 15 a\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\)
|
| $r_{ 16 }$ | $=$ |
\( 11 a^{20} + 6 a^{19} + 28 a^{18} + 12 a^{17} + 17 a^{16} + 3 a^{15} + 7 a^{14} + 19 a^{13} + 37 a^{12} + 3 a^{11} + a^{10} + 29 a^{9} + 7 a^{8} + 11 a^{7} + 30 a^{6} + 22 a^{5} + 4 a^{4} + 8 a^{3} + 34 a^{2} + 36 a + \left(7 a^{20} + 8 a^{19} + 12 a^{18} + 34 a^{17} + 20 a^{16} + 16 a^{15} + 40 a^{14} + 33 a^{13} + 2 a^{12} + 17 a^{11} + 27 a^{10} + 31 a^{9} + 15 a^{8} + 14 a^{7} + 23 a^{6} + 42 a^{5} + 5 a^{4} + 41 a^{3} + 6 a^{2} + 35 a\right)\cdot 43 + \left(41 a^{20} + 6 a^{19} + 32 a^{18} + 9 a^{17} + 13 a^{16} + 31 a^{15} + 9 a^{14} + 16 a^{13} + 13 a^{12} + 22 a^{11} + a^{10} + 21 a^{9} + 33 a^{8} + 35 a^{7} + 13 a^{6} + 35 a^{5} + 33 a^{4} + 3 a^{3} + 13 a^{2} + 34 a\right)\cdot 43^{2} + \left(34 a^{20} + a^{19} + 24 a^{18} + 34 a^{17} + 40 a^{16} + 38 a^{15} + 20 a^{14} + 16 a^{13} + 20 a^{12} + 11 a^{11} + 19 a^{10} + 12 a^{9} + 36 a^{8} + 6 a^{7} + 15 a^{6} + 6 a^{5} + 14 a^{4} + 37 a^{3} + a^{2} + 26 a\right)\cdot 43^{3} + \left(41 a^{20} + 14 a^{19} + 31 a^{18} + 20 a^{17} + 15 a^{16} + 18 a^{15} + 42 a^{14} + 13 a^{13} + 23 a^{12} + 34 a^{10} + 21 a^{9} + 27 a^{8} + 35 a^{7} + 35 a^{6} + 13 a^{5} + 8 a^{4} + 19 a^{3} + 7 a^{2} + 35 a\right)\cdot 43^{4} + \left(3 a^{20} + 36 a^{19} + 17 a^{18} + 28 a^{17} + 28 a^{16} + 10 a^{15} + 23 a^{14} + 15 a^{13} + 29 a^{12} + 19 a^{11} + 28 a^{10} + 12 a^{9} + a^{8} + 19 a^{7} + a^{6} + 19 a^{5} + 15 a^{4} + 31 a^{3} + 21 a^{2} + 7 a\right)\cdot 43^{5} + \left(4 a^{20} + 19 a^{19} + 2 a^{18} + 25 a^{17} + 14 a^{16} + 5 a^{15} + a^{14} + 15 a^{13} + 28 a^{12} + 30 a^{11} + 27 a^{10} + 21 a^{9} + 20 a^{8} + 18 a^{7} + 16 a^{6} + 41 a^{4} + 12 a^{3} + 33 a^{2} + 2 a\right)\cdot 43^{6} + \left(37 a^{20} + 13 a^{19} + 13 a^{18} + 42 a^{17} + 26 a^{16} + a^{15} + 30 a^{14} + 24 a^{13} + 40 a^{12} + 34 a^{11} + 35 a^{10} + 27 a^{9} + 37 a^{8} + 5 a^{7} + 35 a^{6} + 3 a^{5} + 40 a^{4} + 24 a^{3} + 37 a^{2} + 23 a\right)\cdot 43^{7} + \left(2 a^{20} + 27 a^{19} + 23 a^{18} + 32 a^{17} + 41 a^{16} + 31 a^{15} + a^{14} + 6 a^{13} + 36 a^{12} + 3 a^{11} + 3 a^{10} + 9 a^{9} + 4 a^{8} + 29 a^{7} + 31 a^{6} + 25 a^{5} + 33 a^{4} + 39 a^{3} + 2 a^{2} + 19 a\right)\cdot 43^{8} + \left(4 a^{20} + 21 a^{19} + 39 a^{18} + 32 a^{17} + 9 a^{16} + 6 a^{15} + 15 a^{14} + 18 a^{13} + 31 a^{12} + 3 a^{11} + 33 a^{10} + 11 a^{9} + 32 a^{8} + 22 a^{7} + 31 a^{6} + 5 a^{5} + 6 a^{4} + 36 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\)
|
| $r_{ 17 }$ | $=$ |
\( 10 a^{20} + 11 a^{19} + 18 a^{18} + 26 a^{17} + 40 a^{16} + 37 a^{15} + 42 a^{14} + 2 a^{13} + 20 a^{12} + 30 a^{11} + 13 a^{10} + 30 a^{9} + 2 a^{8} + 9 a^{7} + 28 a^{6} + 33 a^{5} + 25 a^{4} + 22 a^{3} + 42 a^{2} + 31 a + \left(41 a^{20} + 31 a^{19} + 24 a^{18} + 17 a^{17} + a^{16} + 32 a^{15} + 41 a^{14} + 15 a^{13} + 30 a^{11} + 35 a^{9} + 8 a^{8} + 10 a^{7} + 40 a^{6} + 35 a^{5} + 32 a^{4} + 30 a^{3} + 42 a^{2} + 40 a\right)\cdot 43 + \left(3 a^{20} + 20 a^{19} + 32 a^{18} + 4 a^{17} + a^{16} + 28 a^{15} + 5 a^{14} + a^{13} + 40 a^{12} + 14 a^{11} + 17 a^{10} + 10 a^{9} + 24 a^{8} + 30 a^{7} + 28 a^{6} + 39 a^{5} + 9 a^{4} + 39 a^{3} + 12 a^{2} + 8 a\right)\cdot 43^{2} + \left(4 a^{20} + 7 a^{19} + 3 a^{18} + 2 a^{17} + 35 a^{16} + 18 a^{15} + 36 a^{14} + 17 a^{13} + 18 a^{12} + 42 a^{11} + 36 a^{10} + 30 a^{9} + 14 a^{8} + 7 a^{7} + 33 a^{6} + 39 a^{5} + 32 a^{4} + 42 a^{3} + 16 a^{2} + 8 a\right)\cdot 43^{3} + \left(36 a^{20} + 5 a^{19} + 16 a^{17} + 2 a^{16} + 26 a^{15} + 25 a^{13} + 28 a^{12} + 41 a^{11} + 15 a^{10} + 19 a^{9} + 15 a^{8} + 32 a^{7} + 15 a^{6} + 27 a^{5} + 23 a^{4} + 7 a^{3} + 2 a^{2} + 22 a\right)\cdot 43^{4} + \left(27 a^{20} + 33 a^{19} + 36 a^{18} + 20 a^{17} + 28 a^{16} + 37 a^{15} + 27 a^{14} + 8 a^{13} + 22 a^{12} + a^{11} + 17 a^{10} + 10 a^{9} + 41 a^{8} + 29 a^{7} + 40 a^{6} + 33 a^{5} + 35 a^{4} + 12 a^{3} + 3 a^{2} + 23 a\right)\cdot 43^{5} + \left(34 a^{20} + 17 a^{19} + 13 a^{18} + 13 a^{17} + 40 a^{16} + 9 a^{15} + 19 a^{14} + 39 a^{13} + 33 a^{12} + 14 a^{11} + 7 a^{10} + 12 a^{9} + 22 a^{8} + 11 a^{7} + 22 a^{6} + 23 a^{5} + 4 a^{4} + 6 a^{2} + 7 a\right)\cdot 43^{6} + \left(26 a^{20} + 38 a^{19} + 21 a^{18} + 22 a^{17} + 35 a^{16} + 4 a^{15} + 39 a^{14} + 23 a^{13} + 16 a^{12} + 35 a^{11} + 26 a^{10} + 18 a^{9} + 10 a^{8} + 15 a^{7} + 20 a^{6} + a^{5} + 11 a^{4} + 6 a^{3} + 24 a^{2} + 25 a\right)\cdot 43^{7} + \left(9 a^{20} + 17 a^{19} + 9 a^{18} + 33 a^{17} + 14 a^{16} + 11 a^{15} + 23 a^{14} + 34 a^{13} + 40 a^{12} + 29 a^{11} + 42 a^{10} + 21 a^{9} + 6 a^{8} + 24 a^{7} + 17 a^{6} + 34 a^{5} + 33 a^{4} + 30 a^{3} + 11 a^{2} + 38 a\right)\cdot 43^{8} + \left(16 a^{20} + 22 a^{19} + 11 a^{18} + 32 a^{17} + 27 a^{16} + a^{15} + 18 a^{14} + 16 a^{13} + 41 a^{12} + 42 a^{11} + 6 a^{10} + 19 a^{9} + 8 a^{8} + 41 a^{7} + 36 a^{6} + 14 a^{5} + 26 a^{4} + 39 a^{3} + 20 a^{2} + 17 a\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\)
|
| $r_{ 18 }$ | $=$ |
\( 9 a^{20} + 36 a^{19} + 28 a^{18} + 2 a^{17} + 16 a^{16} + 3 a^{15} + 37 a^{14} + 28 a^{13} + 37 a^{12} + 22 a^{11} + 6 a^{10} + 29 a^{9} + 37 a^{8} + 23 a^{7} + 30 a^{6} + 18 a^{5} + 24 a^{4} + 8 a^{3} + 20 a^{2} + a + \left(16 a^{20} + 31 a^{19} + 12 a^{18} + 9 a^{17} + 38 a^{16} + 16 a^{15} + 3 a^{14} + 10 a^{13} + 2 a^{12} + 39 a^{11} + 23 a^{10} + 31 a^{9} + 6 a^{8} + 18 a^{7} + 23 a^{6} + 8 a^{5} + 33 a^{4} + 41 a^{3} + 34 a^{2} + 27 a\right)\cdot 43 + \left(5 a^{20} + 26 a^{19} + 32 a^{18} + 3 a^{17} + 27 a^{16} + 31 a^{15} + 27 a^{14} + 41 a^{13} + 13 a^{12} + 42 a^{11} + 16 a^{10} + 21 a^{9} + 20 a^{7} + 13 a^{6} + 13 a^{5} + 8 a^{4} + 3 a^{3} + 17 a^{2} + 18 a\right)\cdot 43^{2} + \left(2 a^{20} + 16 a^{19} + 24 a^{18} + 18 a^{17} + 8 a^{16} + 38 a^{15} + 29 a^{14} + 37 a^{13} + 20 a^{12} + 10 a^{11} + 31 a^{10} + 12 a^{9} + 21 a^{8} + 28 a^{7} + 15 a^{6} + 9 a^{5} + 28 a^{4} + 37 a^{3} + 19 a^{2} + 38 a\right)\cdot 43^{3} + \left(9 a^{20} + 26 a^{19} + 31 a^{18} + 28 a^{17} + 20 a^{16} + 18 a^{15} + 42 a^{14} + 20 a^{13} + 23 a^{12} + 21 a^{11} + 32 a^{10} + 21 a^{9} + 28 a^{8} + 18 a^{7} + 35 a^{6} + 16 a^{5} + 13 a^{4} + 19 a^{3} + 17 a^{2} + 25 a\right)\cdot 43^{4} + \left(11 a^{20} + 37 a^{19} + 17 a^{18} + 8 a^{17} + 36 a^{16} + 10 a^{15} + 34 a^{14} + 22 a^{13} + 29 a^{12} + 14 a^{11} + 34 a^{10} + 12 a^{9} + 29 a^{8} + 36 a^{7} + a^{6} + 18 a^{5} + 27 a^{4} + 31 a^{3} + 24 a^{2} + 41 a\right)\cdot 43^{5} + \left(9 a^{20} + 2 a^{18} + 14 a^{17} + 42 a^{16} + 5 a^{15} + 21 a^{14} + 16 a^{13} + 28 a^{12} + 10 a^{11} + 20 a^{10} + 21 a^{9} + 40 a^{8} + 12 a^{7} + 16 a^{6} + 21 a^{5} + 16 a^{4} + 12 a^{3} + 4 a^{2} + 17 a\right)\cdot 43^{6} + \left(21 a^{20} + 16 a^{19} + 13 a^{18} + 9 a^{17} + 17 a^{16} + a^{15} + 16 a^{14} + 38 a^{13} + 40 a^{12} + 6 a^{11} + 19 a^{10} + 27 a^{9} + 29 a^{8} + 22 a^{7} + 35 a^{6} + 27 a^{5} + 3 a^{4} + 24 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a\right)\cdot 43^{7} + \left(39 a^{20} + 8 a^{19} + 23 a^{18} + 17 a^{17} + 38 a^{16} + 31 a^{15} + 17 a^{14} + 18 a^{13} + 36 a^{12} + 37 a^{11} + 10 a^{10} + 9 a^{9} + 3 a^{8} + 32 a^{7} + 31 a^{6} + 8 a^{5} + 9 a^{4} + 39 a^{3} + 41 a^{2} + 2 a\right)\cdot 43^{8} + \left(40 a^{20} + 33 a^{19} + 39 a^{18} + 33 a^{17} + 41 a^{16} + 6 a^{15} + 9 a^{14} + 32 a^{13} + 31 a^{12} + 26 a^{11} + 11 a^{10} + 11 a^{9} + 12 a^{8} + 21 a^{7} + 31 a^{6} + 42 a^{5} + 23 a^{4} + 36 a^{3} + 11 a^{2} + 20 a\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\)
|
| $r_{ 19 }$ | $=$ |
\( 39 a^{20} + 12 a^{19} + 36 a^{18} + 38 a^{17} + 30 a^{16} + 24 a^{15} + 36 a^{14} + 40 a^{13} + 31 a^{12} + 10 a^{11} + 39 a^{10} + 36 a^{9} + 13 a^{8} + 32 a^{7} + 36 a^{6} + a^{5} + 42 a^{4} + 11 a^{3} + 17 a^{2} + 30 a + \left(42 a^{20} + 15 a^{19} + 2 a^{18} + 42 a^{17} + 12 a^{16} + 36 a^{15} + 2 a^{14} + 24 a^{13} + 6 a^{12} + 33 a^{11} + 35 a^{10} + 18 a^{9} + 21 a^{8} + 28 a^{7} + 38 a^{6} + 24 a^{5} + 37 a^{4} + 41 a^{3} + 8 a^{2} + 42 a\right)\cdot 43 + \left(29 a^{20} + 5 a^{19} + a^{18} + 42 a^{17} + 36 a^{16} + 34 a^{15} + 33 a^{14} + 17 a^{13} + 24 a^{12} + 39 a^{11} + 18 a^{10} + 29 a^{9} + 36 a^{8} + 7 a^{7} + 7 a^{6} + 34 a^{5} + 24 a^{4} + 12 a^{3} + 39 a^{2} + 19 a\right)\cdot 43^{2} + \left(41 a^{20} + 14 a^{19} + 12 a^{18} + 32 a^{17} + 8 a^{16} + 28 a^{15} + 22 a^{14} + 10 a^{13} + 17 a^{12} + 6 a^{11} + 15 a^{10} + 9 a^{9} + 36 a^{8} + 36 a^{7} + 23 a^{6} + 19 a^{5} + 14 a^{4} + 40 a^{3} + 32 a^{2} + 2 a\right)\cdot 43^{3} + \left(31 a^{20} + 5 a^{19} + 14 a^{18} + 39 a^{17} + 13 a^{16} + 30 a^{15} + 30 a^{13} + 39 a^{12} + 24 a^{11} + 21 a^{10} + 37 a^{9} + 16 a^{8} + 7 a^{7} + 27 a^{6} + 30 a^{5} + 29 a^{4} + 25 a^{3} + 37 a^{2} + 10 a\right)\cdot 43^{4} + \left(19 a^{20} + 40 a^{19} + 16 a^{18} + 23 a^{17} + 28 a^{16} + 13 a^{15} + 19 a^{14} + 4 a^{13} + 30 a^{12} + 38 a^{11} + 24 a^{10} + 32 a^{9} + 24 a^{8} + 23 a^{7} + 40 a^{6} + 28 a^{5} + 33 a^{4} + 19 a^{3} + 13 a^{2} + 13 a\right)\cdot 43^{5} + \left(32 a^{20} + 11 a^{19} + 27 a^{18} + 13 a^{17} + a^{16} + 32 a^{15} + 41 a^{14} + 37 a^{13} + 24 a^{12} + a^{11} + 38 a^{10} + 31 a^{9} + 29 a^{8} + 24 a^{7} + 9 a^{6} + 36 a^{5} + 40 a^{4} + 28 a^{3} + 21 a^{2} + 31 a\right)\cdot 43^{6} + \left(33 a^{20} + 22 a^{19} + 39 a^{18} + 32 a^{17} + 42 a^{16} + 14 a^{15} + 12 a^{14} + 13 a^{13} + 3 a^{12} + 33 a^{11} + 40 a^{10} + 29 a^{9} + 3 a^{8} + 37 a^{7} + 31 a^{6} + 7 a^{5} + 4 a^{4} + 30 a^{3} + 42 a^{2} + 32 a\right)\cdot 43^{7} + \left(42 a^{20} + 11 a^{19} + 13 a^{17} + 20 a^{16} + 31 a^{15} + 41 a^{14} + 17 a^{13} + 20 a^{12} + 21 a^{11} + 14 a^{10} + 3 a^{9} + 34 a^{8} + 13 a^{7} + 36 a^{6} + 21 a^{5} + 30 a^{4} + 41 a^{3} + 23 a^{2} + 33 a\right)\cdot 43^{8} + \left(15 a^{20} + 36 a^{19} + 36 a^{18} + 9 a^{17} + 11 a^{16} + 20 a^{15} + 27 a^{14} + 36 a^{13} + 24 a^{12} + 12 a^{11} + 39 a^{10} + 6 a^{9} + 10 a^{8} + 20 a^{7} + 42 a^{6} + 37 a^{5} + 21 a^{4} + 35 a^{3} + 37 a^{2} + 21 a\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\)
|
| $r_{ 20 }$ | $=$ |
\( 12 a^{20} + 22 a^{19} + 17 a^{18} + 25 a^{17} + 20 a^{16} + 38 a^{15} + a^{14} + 11 a^{13} + 40 a^{12} + 14 a^{11} + 34 a^{10} + 15 a^{9} + 16 a^{8} + 34 a^{7} + 25 a^{6} + 23 a^{5} + 26 a^{4} + 41 a^{3} + 21 a^{2} + 33 a + \left(24 a^{20} + 10 a^{19} + 25 a^{18} + 18 a^{17} + 38 a^{16} + 16 a^{15} + a^{14} + 42 a^{13} + 11 a^{12} + 23 a^{11} + 21 a^{10} + 8 a^{9} + 17 a^{8} + 32 a^{7} + a^{5} + 35 a^{4} + 35 a^{3} + 12 a^{2} + 5 a\right)\cdot 43 + \left(12 a^{20} + 28 a^{19} + 41 a^{18} + 41 a^{17} + 29 a^{16} + 16 a^{15} + 37 a^{14} + 26 a^{13} + 13 a^{12} + 11 a^{11} + 27 a^{10} + 13 a^{9} + 40 a^{8} + 12 a^{7} + 27 a^{6} + 21 a^{5} + 36 a^{4} + 22 a^{3} + 10 a^{2} + 38 a\right)\cdot 43^{2} + \left(28 a^{20} + 23 a^{19} + 24 a^{18} + 18 a^{17} + 6 a^{16} + 10 a^{15} + 6 a^{14} + 5 a^{13} + 5 a^{12} + a^{11} + 30 a^{10} + 30 a^{9} + 4 a^{8} + 35 a^{7} + 8 a^{6} + 23 a^{5} + 22 a^{4} + 17 a^{3} + 42 a^{2} + 27 a\right)\cdot 43^{3} + \left(6 a^{20} + 15 a^{19} + 3 a^{18} + 4 a^{17} + 23 a^{16} + 26 a^{15} + 42 a^{14} + 7 a^{13} + 18 a^{12} + 18 a^{11} + 7 a^{10} + 42 a^{9} + 7 a^{8} + 10 a^{7} + 28 a^{6} + 21 a^{5} + 37 a^{4} + 15 a^{3} + 22 a^{2} + 38 a\right)\cdot 43^{4} + \left(28 a^{20} + 20 a^{19} + 37 a^{18} + 24 a^{17} + 31 a^{16} + 15 a^{15} + 15 a^{14} + 24 a^{13} + 2 a^{12} + 12 a^{11} + 6 a^{10} + 23 a^{9} + 7 a^{8} + 13 a^{7} + 21 a^{6} + 41 a^{4} + 11 a^{3} + 15 a^{2} + 21 a\right)\cdot 43^{5} + \left(20 a^{20} + 4 a^{19} + 23 a^{18} + a^{17} + a^{16} + 21 a^{15} + 23 a^{14} + 25 a^{13} + 6 a^{12} + 18 a^{11} + 11 a^{10} + a^{9} + 41 a^{8} + 31 a^{7} + 28 a^{6} + 36 a^{5} + 39 a^{4} + 39 a^{3} + 35 a^{2} + 37 a\right)\cdot 43^{6} + \left(21 a^{20} + 11 a^{19} + 23 a^{18} + 3 a^{17} + 19 a^{16} + 34 a^{15} + 3 a^{14} + 35 a^{13} + 21 a^{12} + 5 a^{11} + 6 a^{10} + 31 a^{9} + 3 a^{8} + 27 a^{7} + 30 a^{6} + 30 a^{5} + 12 a^{4} + 30 a^{3} + 20 a^{2} + 33 a\right)\cdot 43^{7} + \left(41 a^{20} + 17 a^{19} + 35 a^{18} + 31 a^{17} + 39 a^{16} + 39 a^{15} + 19 a^{14} + 18 a^{13} + 22 a^{12} + 25 a^{11} + 15 a^{10} + 3 a^{9} + 33 a^{8} + 18 a^{7} + 12 a^{6} + 31 a^{5} + 39 a^{4} + 29 a^{3} + 13 a^{2} + 15 a\right)\cdot 43^{8} + \left(5 a^{20} + 16 a^{19} + 18 a^{18} + 38 a^{17} + 25 a^{16} + 12 a^{15} + 24 a^{14} + 29 a^{13} + 16 a^{12} + 38 a^{11} + a^{10} + 21 a^{8} + a^{7} + 34 a^{6} + 28 a^{5} + a^{4} + 12 a^{2} + 36 a\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\)
|
| $r_{ 21 }$ | $=$ |
\( 28 a^{20} + 29 a^{19} + 36 a^{18} + 35 a^{17} + 8 a^{16} + 24 a^{15} + 6 a^{14} + 25 a^{13} + 31 a^{12} + 16 a^{11} + 19 a^{10} + 36 a^{9} + 38 a^{8} + 20 a^{7} + 36 a^{6} + 36 a^{5} + 37 a^{4} + 11 a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + \left(3 a^{20} + 14 a^{19} + 2 a^{18} + 36 a^{17} + 34 a^{16} + 36 a^{15} + 39 a^{14} + 7 a^{13} + 6 a^{12} + 39 a^{11} + 40 a^{10} + 18 a^{9} + 23 a^{8} + 24 a^{7} + 38 a^{6} + 13 a^{5} + 22 a^{4} + 41 a^{3} + 25 a^{2} + 42 a\right)\cdot 43 + \left(37 a^{20} + 21 a^{19} + a^{18} + 7 a^{17} + 15 a^{16} + 34 a^{15} + 15 a^{14} + 14 a^{13} + 24 a^{12} + 35 a^{11} + 21 a^{10} + 29 a^{9} + 11 a^{8} + 22 a^{7} + 7 a^{6} + 22 a^{5} + 8 a^{4} + 12 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a\right)\cdot 43^{2} + \left(11 a^{20} + 26 a^{19} + 12 a^{18} + 10 a^{17} + 32 a^{16} + 28 a^{15} + 13 a^{14} + 36 a^{13} + 17 a^{12} + 13 a^{11} + 25 a^{10} + 9 a^{9} + 18 a^{8} + 14 a^{7} + 23 a^{6} + 29 a^{5} + 22 a^{4} + 40 a^{3} + 15 a^{2} + 39 a\right)\cdot 43^{3} + \left(27 a^{20} + 29 a^{19} + 14 a^{18} + 19 a^{17} + 18 a^{16} + 30 a^{15} + 34 a^{13} + 39 a^{12} + 31 a^{11} + 31 a^{10} + 37 a^{9} + 39 a^{8} + 24 a^{7} + 27 a^{6} + 10 a^{5} + 12 a^{4} + 25 a^{3} + 28 a^{2} + 26 a\right)\cdot 43^{4} + \left(10 a^{20} + 12 a^{19} + 16 a^{18} + 22 a^{17} + 38 a^{16} + 13 a^{15} + 8 a^{14} + 12 a^{13} + 30 a^{12} + 34 a^{11} + 10 a^{10} + 32 a^{9} + 2 a^{8} + 6 a^{7} + 40 a^{6} + 40 a^{5} + 39 a^{4} + 19 a^{3} + 3 a^{2} + 20 a\right)\cdot 43^{5} + \left(11 a^{20} + 40 a^{19} + 27 a^{18} + 13 a^{17} + 32 a^{15} + 21 a^{14} + 4 a^{13} + 24 a^{12} + 26 a^{11} + 32 a^{10} + 31 a^{9} + 30 a^{7} + 9 a^{6} + 41 a^{5} + 24 a^{4} + 28 a^{3} + 42 a^{2} + 11 a\right)\cdot 43^{6} + \left(29 a^{20} + 2 a^{19} + 39 a^{18} + 32 a^{17} + 28 a^{16} + 14 a^{15} + 26 a^{14} + 34 a^{13} + 3 a^{12} + 28 a^{11} + 16 a^{10} + 29 a^{9} + 24 a^{8} + 20 a^{7} + 31 a^{6} + 30 a^{5} + 11 a^{4} + 30 a^{3} + 30 a^{2} + 21 a\right)\cdot 43^{7} + \left(21 a^{20} + 27 a^{19} + 14 a^{17} + 39 a^{16} + 31 a^{15} + 25 a^{14} + 2 a^{13} + 20 a^{12} + 30 a^{11} + 6 a^{10} + 3 a^{9} + 32 a^{8} + 10 a^{7} + 36 a^{6} + 13 a^{5} + 29 a^{4} + 41 a^{3} + a^{2} + 20 a\right)\cdot 43^{8} + \left(9 a^{20} + 11 a^{19} + 36 a^{18} + 21 a^{17} + 29 a^{16} + 20 a^{15} + 33 a^{14} + 42 a^{13} + 24 a^{12} + 42 a^{11} + 20 a^{10} + 6 a^{9} + 19 a^{8} + 21 a^{7} + 42 a^{6} + 11 a^{5} + 10 a^{4} + 35 a^{3} + 33 a^{2} + 11 a\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\)
|
| $r_{ 22 }$ | $=$ |
\( 21 a^{20} + 24 a^{19} + 34 a^{18} + 20 a^{17} + 15 a^{16} + 20 a^{15} + 7 a^{14} + 5 a^{13} + 19 a^{12} + 19 a^{11} + 16 a^{10} + 18 a^{9} + 18 a^{8} + 11 a^{7} + 26 a^{6} + 2 a^{5} + 11 a^{4} + 42 a^{3} + 30 a^{2} + 25 a + \left(37 a^{20} + 28 a^{19} + 40 a^{18} + 11 a^{17} + 18 a^{16} + 29 a^{15} + 40 a^{14} + 15 a^{13} + 15 a^{12} + 41 a^{11} + 11 a^{10} + 32 a^{9} + 15 a^{8} + 14 a^{7} + 12 a^{5} + 10 a^{4} + 42 a^{3} + 6 a^{2} + 23 a\right)\cdot 43 + \left(12 a^{20} + 32 a^{19} + 7 a^{18} + 6 a^{17} + 12 a^{16} + 23 a^{15} + 9 a^{14} + 35 a^{13} + 8 a^{12} + 38 a^{11} + 5 a^{10} + 18 a^{9} + 25 a^{8} + 35 a^{7} + 41 a^{6} + 40 a^{5} + 19 a^{4} + 41 a^{3} + 27 a^{2} + 40 a\right)\cdot 43^{2} + \left(38 a^{20} + 27 a^{19} + 7 a^{18} + 4 a^{17} + 18 a^{16} + 29 a^{15} + 20 a^{14} + 40 a^{13} + 36 a^{12} + 2 a^{11} + 14 a^{10} + 42 a^{8} + 6 a^{7} + 36 a^{6} + 24 a^{5} + 30 a^{4} + 11 a^{3} + 26 a^{2} + 31 a\right)\cdot 43^{3} + \left(14 a^{20} + 8 a^{19} + 38 a^{18} + 35 a^{17} + 7 a^{16} + 26 a^{15} + 42 a^{14} + 42 a^{13} + 37 a^{12} + 22 a^{11} + 31 a^{10} + a^{9} + 10 a^{8} + 35 a^{7} + 13 a^{6} + 15 a^{5} + 11 a^{4} + 35 a^{3} + 19 a^{2} + 25 a\right)\cdot 43^{4} + \left(18 a^{20} + 41 a^{19} + 19 a^{18} + a^{17} + 3 a^{16} + 34 a^{15} + 23 a^{14} + 17 a^{13} + 4 a^{12} + 16 a^{11} + 8 a^{10} + 10 a^{9} + 8 a^{8} + 19 a^{7} + 33 a^{6} + 14 a^{5} + 5 a^{4} + 10 a^{3} + 3 a^{2} + 21 a\right)\cdot 43^{5} + \left(40 a^{20} + 19 a^{19} + 21 a^{18} + 29 a^{17} + 7 a^{16} + 34 a^{15} + a^{14} + 6 a^{13} + 35 a^{12} + 8 a^{11} + 38 a^{10} + 16 a^{9} + 27 a^{8} + 18 a^{7} + 29 a^{6} + 38 a^{5} + 19 a^{4} + 12 a^{3} + 31 a^{2} + a\right)\cdot 43^{6} + \left(40 a^{20} + 32 a^{19} + a^{18} + 41 a^{17} + 18 a^{16} + 35 a^{15} + 30 a^{14} + 8 a^{13} + 40 a^{12} + 34 a^{11} + 19 a^{10} + 26 a^{9} + 2 a^{8} + 5 a^{7} + 28 a^{6} + 14 a^{5} + 10 a^{4} + 13 a^{3} + 3 a^{2} + 40 a\right)\cdot 43^{7} + \left(8 a^{20} + 17 a^{19} + 16 a^{18} + 5 a^{17} + 16 a^{16} + 23 a^{15} + a^{14} + 25 a^{13} + 33 a^{12} + 40 a^{11} + 19 a^{10} + 17 a^{9} + a^{8} + 29 a^{7} + 9 a^{6} + 32 a^{5} + 28 a^{4} + 31 a^{3} + 35 a^{2} + 31 a\right)\cdot 43^{8} + \left(10 a^{20} + 34 a^{19} + 16 a^{18} + 29 a^{17} + 30 a^{16} + 21 a^{15} + 15 a^{14} + 13 a^{13} + 17 a^{12} + 40 a^{11} + 19 a^{10} + 29 a^{9} + 15 a^{8} + 22 a^{7} + 20 a^{6} + 4 a^{5} + 3 a^{4} + 26 a^{3} + 18 a^{2} + 25 a\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\)
|
| $r_{ 23 }$ | $=$ |
\( 23 a^{20} + a^{19} + 28 a^{18} + 29 a^{17} + 10 a^{16} + 3 a^{15} + 42 a^{14} + 39 a^{13} + 37 a^{12} + 18 a^{11} + 36 a^{10} + 29 a^{9} + 42 a^{8} + 9 a^{7} + 30 a^{6} + 3 a^{5} + 15 a^{4} + 8 a^{3} + 32 a^{2} + 6 a + \left(19 a^{20} + 3 a^{19} + 12 a^{18} + 42 a^{17} + 27 a^{16} + 16 a^{15} + 41 a^{14} + 41 a^{13} + 2 a^{12} + 29 a^{11} + 35 a^{10} + 31 a^{9} + 20 a^{8} + 10 a^{7} + 23 a^{6} + 35 a^{5} + 4 a^{4} + 41 a^{3} + a^{2} + 23 a\right)\cdot 43 + \left(39 a^{20} + 10 a^{19} + 32 a^{18} + 29 a^{17} + a^{16} + 31 a^{15} + 5 a^{14} + 27 a^{13} + 13 a^{12} + 20 a^{11} + 24 a^{10} + 21 a^{9} + 9 a^{8} + 30 a^{7} + 13 a^{6} + 36 a^{5} + a^{4} + 3 a^{3} + 12 a^{2} + 32 a\right)\cdot 43^{2} + \left(5 a^{20} + 25 a^{19} + 24 a^{18} + 33 a^{17} + 37 a^{16} + 38 a^{15} + 36 a^{14} + 31 a^{13} + 20 a^{12} + 20 a^{11} + 35 a^{10} + 12 a^{9} + 28 a^{8} + 7 a^{7} + 15 a^{6} + 26 a^{5} + 37 a^{3} + 22 a^{2} + 20 a\right)\cdot 43^{3} + \left(35 a^{20} + 2 a^{19} + 31 a^{18} + 36 a^{17} + 6 a^{16} + 18 a^{15} + 8 a^{13} + 23 a^{12} + 21 a^{11} + 18 a^{10} + 21 a^{9} + 29 a^{8} + 32 a^{7} + 35 a^{6} + 13 a^{5} + 21 a^{4} + 19 a^{3} + 18 a^{2} + 24 a\right)\cdot 43^{4} + \left(27 a^{20} + 12 a^{19} + 17 a^{18} + 5 a^{17} + 21 a^{16} + 10 a^{15} + 27 a^{14} + 5 a^{13} + 29 a^{12} + 9 a^{11} + 22 a^{10} + 12 a^{9} + 11 a^{8} + 29 a^{7} + a^{6} + 5 a^{5} + 31 a^{3} + 40 a^{2} + 36 a\right)\cdot 43^{5} + \left(29 a^{20} + 22 a^{19} + 2 a^{18} + 3 a^{17} + 28 a^{16} + 5 a^{15} + 19 a^{14} + 11 a^{13} + 28 a^{12} + 2 a^{11} + 37 a^{10} + 21 a^{9} + 25 a^{8} + 11 a^{7} + 16 a^{6} + 21 a^{5} + 28 a^{4} + 12 a^{3} + 4 a^{2} + 22 a\right)\cdot 43^{6} + \left(27 a^{20} + 13 a^{19} + 13 a^{18} + 34 a^{17} + 41 a^{16} + a^{15} + 39 a^{14} + 23 a^{13} + 40 a^{12} + 2 a^{11} + 30 a^{10} + 27 a^{9} + 18 a^{8} + 15 a^{7} + 35 a^{6} + 12 a^{5} + 41 a^{4} + 24 a^{3} + 37 a^{2} + 17 a\right)\cdot 43^{7} + \left(7 a^{19} + 23 a^{18} + 35 a^{17} + 5 a^{16} + 31 a^{15} + 23 a^{14} + 17 a^{13} + 36 a^{12} + 2 a^{11} + 28 a^{10} + 9 a^{9} + 34 a^{8} + 24 a^{7} + 31 a^{6} + 9 a^{5} + 42 a^{4} + 39 a^{3} + 41 a^{2} + 21 a\right)\cdot 43^{8} + \left(41 a^{20} + 31 a^{19} + 39 a^{18} + 19 a^{17} + 34 a^{16} + 6 a^{15} + 18 a^{14} + 35 a^{13} + 31 a^{12} + 13 a^{11} + 41 a^{10} + 11 a^{9} + 41 a^{8} + 41 a^{7} + 31 a^{6} + 38 a^{5} + 12 a^{4} + 36 a^{3} + 19 a^{2} + 12 a\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\)
|
| $r_{ 24 }$ | $=$ |
\( 25 a^{20} + 15 a^{19} + 34 a^{18} + 32 a^{17} + 4 a^{16} + 20 a^{15} + 37 a^{14} + 30 a^{13} + 19 a^{12} + 39 a^{11} + 10 a^{10} + 18 a^{9} + 3 a^{8} + 23 a^{7} + 26 a^{6} + 29 a^{5} + 23 a^{4} + 42 a^{3} + 5 a^{2} + 21 a + \left(33 a^{20} + 17 a^{19} + 40 a^{18} + 33 a^{17} + 3 a^{16} + 29 a^{15} + 3 a^{14} + 40 a^{13} + 15 a^{12} + 28 a^{11} + 37 a^{10} + 32 a^{9} + 29 a^{8} + 18 a^{7} + 21 a^{5} + 37 a^{4} + 42 a^{3} + 38 a^{2} + 20 a\right)\cdot 43 + \left(14 a^{20} + 22 a^{19} + 7 a^{18} + 34 a^{17} + 4 a^{16} + 23 a^{15} + 27 a^{14} + 26 a^{13} + 8 a^{12} + 38 a^{11} + 6 a^{10} + 18 a^{9} + 21 a^{8} + 20 a^{7} + 41 a^{6} + 15 a^{5} + 6 a^{4} + 41 a^{3} + 37 a^{2} + 9 a\right)\cdot 43^{2} + \left(19 a^{20} + 7 a^{19} + 7 a^{18} + 20 a^{17} + 19 a^{16} + 29 a^{15} + 29 a^{14} + 30 a^{13} + 36 a^{12} + 23 a^{11} + 41 a^{10} + 40 a^{8} + 28 a^{7} + 36 a^{6} + 41 a^{5} + 40 a^{4} + 11 a^{3} + 28 a^{2} + 10 a\right)\cdot 43^{3} + \left(a^{20} + 38 a^{19} + 38 a^{18} + 37 a^{17} + 9 a^{16} + 26 a^{15} + 42 a^{14} + a^{13} + 37 a^{12} + 32 a^{11} + 26 a^{10} + a^{9} + 40 a^{8} + 18 a^{7} + 13 a^{6} + 26 a^{5} + 21 a^{4} + 35 a^{3} + 19 a^{2} + 3 a\right)\cdot 43^{4} + \left(2 a^{20} + 40 a^{19} + 19 a^{18} + 26 a^{17} + 20 a^{16} + 34 a^{15} + 34 a^{14} + 41 a^{13} + 4 a^{12} + 36 a^{11} + 11 a^{10} + 10 a^{9} + 32 a^{8} + 36 a^{7} + 33 a^{6} + 30 a^{5} + 5 a^{4} + 10 a^{3} + 35 a^{2} + 38 a\right)\cdot 43^{5} + \left(34 a^{20} + 33 a^{19} + 21 a^{18} + 40 a^{17} + 11 a^{16} + 34 a^{15} + 21 a^{14} + 22 a^{13} + 35 a^{12} + 30 a^{11} + 5 a^{10} + 16 a^{9} + 33 a^{8} + 12 a^{7} + 29 a^{6} + 34 a^{5} + 13 a^{4} + 12 a^{3} + 28 a^{2} + 12 a\right)\cdot 43^{6} + \left(27 a^{20} + 15 a^{19} + a^{18} + 35 a^{17} + 28 a^{16} + 35 a^{15} + 16 a^{14} + 40 a^{13} + 40 a^{12} + 4 a^{11} + 2 a^{10} + 26 a^{9} + 26 a^{8} + 22 a^{7} + 28 a^{6} + 31 a^{5} + 13 a^{3} + 39 a^{2} + 9 a\right)\cdot 43^{7} + \left(34 a^{20} + 28 a^{19} + 16 a^{18} + 30 a^{17} + 3 a^{16} + 23 a^{15} + 17 a^{14} + 8 a^{13} + 33 a^{12} + 38 a^{11} + 22 a^{10} + 17 a^{9} + 9 a^{8} + 32 a^{7} + 9 a^{6} + 41 a^{5} + 16 a^{4} + 31 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a\right)\cdot 43^{8} + \left(23 a^{20} + 14 a^{19} + 16 a^{18} + 10 a^{17} + 20 a^{16} + 21 a^{15} + 9 a^{14} + 21 a^{13} + 17 a^{12} + 12 a^{10} + 29 a^{9} + 41 a^{8} + 21 a^{7} + 20 a^{6} + 29 a^{5} + 32 a^{4} + 26 a^{3} + 18 a^{2} + 22 a\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\)
|
| $r_{ 25 }$ | $=$ |
\( 8 a^{20} + 5 a^{19} + 13 a^{18} + 6 a^{17} + 29 a^{16} + 31 a^{15} + 36 a^{14} + 6 a^{13} + 38 a^{12} + 6 a^{11} + 22 a^{10} + 9 a^{9} + 15 a^{8} + 32 a^{7} + 14 a^{6} + 4 a^{5} + 8 a^{4} + 4 a^{3} + 15 a^{2} + 28 a + \left(28 a^{20} + 10 a^{19} + 6 a^{18} + 39 a^{17} + 36 a^{16} + 23 a^{15} + 2 a^{14} + 14 a^{13} + 34 a^{12} + 12 a^{11} + 22 a^{10} + 6 a^{9} + a^{8} + 28 a^{7} + 14 a^{6} + 38 a^{5} + 38 a^{4} + 28 a^{3} + 15 a^{2} + 9 a\right)\cdot 43 + \left(12 a^{20} + 9 a^{19} + 12 a^{18} + 28 a^{17} + 3 a^{16} + 7 a^{15} + 33 a^{14} + 16 a^{13} + 36 a^{12} + 3 a^{11} + 3 a^{10} + 14 a^{9} + 14 a^{8} + 7 a^{7} + 10 a^{6} + 28 a^{5} + a^{4} + 39 a^{3} + 18 a^{2} + 5 a\right)\cdot 43^{2} + \left(5 a^{20} + 2 a^{18} + 39 a^{17} + 24 a^{16} + 19 a^{15} + 22 a^{14} + 6 a^{13} + 2 a^{12} + 11 a^{11} + 42 a^{10} + 28 a^{9} + 35 a^{8} + 36 a^{7} + 9 a^{6} + 30 a^{5} + 5 a^{4} + 15 a^{3} + 33 a^{2} + 15 a\right)\cdot 43^{3} + \left(18 a^{20} + 20 a^{19} + 22 a^{18} + 41 a^{17} + 40 a^{16} + 28 a^{15} + 24 a^{13} + 11 a^{12} + 13 a^{11} + a^{10} + 6 a^{9} + 38 a^{8} + 7 a^{7} + 10 a^{6} + 42 a^{5} + 34 a^{4} + 14 a^{3} + 31 a^{2} + 33 a\right)\cdot 43^{4} + \left(8 a^{20} + 18 a^{19} + 37 a^{18} + 34 a^{16} + 40 a^{15} + 19 a^{14} + 26 a^{13} + 39 a^{12} + 5 a^{11} + 32 a^{10} + 12 a^{9} + 11 a^{8} + 23 a^{7} + 21 a^{6} + 21 a^{5} + 26 a^{4} + 38 a^{3} + 39 a^{2} + 25 a\right)\cdot 43^{5} + \left(35 a^{20} + 18 a^{19} + 22 a^{18} + 37 a^{17} + 4 a^{16} + 2 a^{15} + 41 a^{14} + 2 a^{13} + 42 a^{12} + 37 a^{11} + 35 a^{10} + 41 a^{9} + 24 a^{8} + 24 a^{7} + 6 a^{6} + a^{5} + 37 a^{4} + 37 a^{3} + 29 a^{2} + 34 a\right)\cdot 43^{6} + \left(3 a^{20} + 18 a^{19} + 33 a^{18} + 10 a^{17} + 39 a^{16} + 4 a^{15} + 12 a^{14} + 13 a^{13} + 12 a^{12} + 22 a^{11} + 34 a^{10} + 3 a^{9} + 16 a^{8} + 37 a^{7} + 22 a^{6} + 30 a^{5} + 29 a^{4} + 36 a^{3} + 9 a^{2} + 34 a\right)\cdot 43^{7} + \left(12 a^{20} + 25 a^{19} + 27 a^{18} + 33 a^{17} + 10 a^{16} + 26 a^{15} + 41 a^{14} + 35 a^{13} + 31 a^{12} + 27 a^{11} + 25 a^{10} + 2 a^{9} + 42 a^{8} + 13 a^{7} + 9 a^{6} + 4 a^{5} + 22 a^{4} + a^{3} + 9 a^{2} + 41 a\right)\cdot 43^{8} + \left(8 a^{20} + 42 a^{19} + 38 a^{18} + 15 a^{17} + 12 a^{16} + 24 a^{15} + 27 a^{14} + 28 a^{13} + 18 a^{12} + 24 a^{11} + 12 a^{10} + 24 a^{9} + 12 a^{8} + 20 a^{7} + 3 a^{6} + 11 a^{5} + 4 a^{4} + 23 a^{3} + 18 a^{2} + 23 a\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\)
|
| $r_{ 26 }$ | $=$ |
\( 19 a^{20} + 2 a^{19} + 36 a^{18} + 13 a^{17} + 5 a^{16} + 24 a^{15} + a^{14} + 21 a^{13} + 31 a^{12} + 17 a^{11} + 28 a^{10} + 36 a^{9} + 35 a^{8} + 34 a^{7} + 36 a^{6} + 6 a^{5} + 7 a^{4} + 11 a^{3} + 16 a^{2} + 5 a + \left(39 a^{20} + 13 a^{19} + 2 a^{18} + 6 a^{17} + 39 a^{16} + 36 a^{15} + a^{14} + 10 a^{13} + 6 a^{12} + 13 a^{11} + 9 a^{10} + 18 a^{9} + 40 a^{8} + 32 a^{7} + 38 a^{6} + 5 a^{5} + 25 a^{4} + 41 a^{3} + 9 a^{2} + a\right)\cdot 43 + \left(18 a^{20} + 16 a^{19} + a^{18} + 35 a^{17} + 33 a^{16} + 34 a^{15} + 37 a^{14} + 11 a^{13} + 24 a^{12} + 10 a^{11} + 2 a^{10} + 29 a^{9} + 37 a^{8} + 12 a^{7} + 7 a^{6} + 29 a^{5} + 9 a^{4} + 12 a^{3} + a^{2} + 18 a\right)\cdot 43^{2} + \left(32 a^{20} + 2 a^{19} + 12 a^{18} + 42 a^{17} + a^{16} + 28 a^{15} + 6 a^{14} + 39 a^{13} + 17 a^{12} + 22 a^{11} + 2 a^{10} + 9 a^{9} + 30 a^{8} + 35 a^{7} + 23 a^{6} + 36 a^{5} + 6 a^{4} + 40 a^{3} + 38 a^{2} + a\right)\cdot 43^{3} + \left(26 a^{20} + 8 a^{19} + 14 a^{18} + 26 a^{17} + 11 a^{16} + 30 a^{15} + 42 a^{14} + 20 a^{13} + 39 a^{12} + 30 a^{11} + 33 a^{10} + 37 a^{9} + 29 a^{8} + 10 a^{7} + 27 a^{6} + a^{5} + a^{4} + 25 a^{3} + 19 a^{2} + 6 a\right)\cdot 43^{4} + \left(12 a^{20} + 33 a^{19} + 16 a^{18} + 39 a^{17} + 19 a^{16} + 13 a^{15} + 15 a^{14} + 25 a^{13} + 30 a^{12} + 12 a^{11} + 7 a^{10} + 32 a^{9} + 15 a^{8} + 13 a^{7} + 40 a^{6} + 17 a^{5} + 13 a^{4} + 19 a^{3} + 25 a^{2} + 9 a\right)\cdot 43^{5} + \left(42 a^{20} + 33 a^{19} + 27 a^{18} + 15 a^{17} + 40 a^{16} + 32 a^{15} + 23 a^{14} + a^{13} + 24 a^{12} + 14 a^{11} + 15 a^{10} + 31 a^{9} + 13 a^{8} + 31 a^{7} + 9 a^{6} + 7 a^{5} + 20 a^{4} + 28 a^{3} + 22 a^{2}\right)\cdot 43^{6} + \left(22 a^{20} + 17 a^{19} + 39 a^{18} + 21 a^{17} + 15 a^{16} + 14 a^{15} + 3 a^{14} + 38 a^{13} + 3 a^{12} + 24 a^{11} + 28 a^{10} + 29 a^{9} + 15 a^{8} + 27 a^{7} + 31 a^{6} + 4 a^{5} + 26 a^{4} + 30 a^{3} + 12 a^{2} + 32 a\right)\cdot 43^{7} + \left(21 a^{20} + 4 a^{19} + 14 a^{17} + 25 a^{16} + 31 a^{15} + 19 a^{14} + 22 a^{13} + 20 a^{12} + 33 a^{11} + 21 a^{10} + 3 a^{9} + 19 a^{8} + 18 a^{7} + 36 a^{6} + 8 a^{5} + 26 a^{4} + 41 a^{3} + 17 a^{2} + 31 a\right)\cdot 43^{8} + \left(17 a^{20} + 38 a^{19} + 36 a^{18} + 12 a^{17} + a^{16} + 20 a^{15} + 24 a^{14} + 7 a^{13} + 24 a^{12} + 30 a^{11} + 26 a^{10} + 6 a^{9} + 12 a^{8} + a^{7} + 42 a^{6} + 37 a^{5} + 10 a^{4} + 35 a^{3} + 15 a^{2} + 9 a\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\)
|
| $r_{ 27 }$ | $=$ |
\( 30 a^{20} + 30 a^{19} + 13 a^{18} + a^{17} + 2 a^{16} + 31 a^{15} + 6 a^{14} + 36 a^{13} + 38 a^{12} + a^{11} + 3 a^{10} + 9 a^{9} + 24 a^{8} + 20 a^{7} + 14 a^{6} + 15 a^{5} + 5 a^{4} + 4 a^{3} + 24 a^{2} + 39 a + \left(11 a^{20} + 10 a^{19} + 6 a^{18} + a^{17} + 16 a^{16} + 23 a^{15} + 39 a^{14} + 24 a^{13} + 34 a^{12} + 18 a^{11} + a^{10} + 6 a^{9} + 11 a^{8} + 24 a^{7} + 14 a^{6} + 31 a^{5} + 20 a^{4} + 28 a^{3} + 42 a^{2} + 35 a\right)\cdot 43 + \left(41 a^{20} + 6 a^{19} + 12 a^{18} + 32 a^{17} + 35 a^{16} + 7 a^{15} + 15 a^{14} + 27 a^{13} + 36 a^{12} + 27 a^{11} + 42 a^{10} + 14 a^{9} + 17 a^{8} + 22 a^{7} + 10 a^{6} + 16 a^{5} + 39 a^{4} + 39 a^{3} + 40 a^{2} + 36 a\right)\cdot 43^{2} + \left(22 a^{20} + 39 a^{19} + 2 a^{18} + 38 a^{17} + 21 a^{16} + 19 a^{15} + 13 a^{14} + 17 a^{13} + 2 a^{12} + 22 a^{11} + 10 a^{10} + 28 a^{9} + 10 a^{8} + 14 a^{7} + 9 a^{6} + 36 a^{5} + 9 a^{4} + 15 a^{3} + 15 a^{2} + 20 a\right)\cdot 43^{3} + \left(24 a^{20} + 7 a^{19} + 22 a^{18} + 24 a^{17} + 34 a^{16} + 28 a^{15} + 15 a^{13} + 11 a^{12} + 31 a^{11} + 42 a^{10} + 6 a^{9} + 19 a^{8} + 24 a^{7} + 10 a^{6} + 24 a^{5} + 28 a^{4} + 14 a^{3} + 3 a^{2} + 35 a\right)\cdot 43^{4} + \left(42 a^{20} + 37 a^{19} + 37 a^{18} + 39 a^{17} + 31 a^{16} + 40 a^{15} + 8 a^{14} + 29 a^{13} + 39 a^{12} + 38 a^{11} + 30 a^{10} + 12 a^{9} + 9 a^{8} + 6 a^{7} + 21 a^{6} + 17 a^{5} + 17 a^{4} + 38 a^{3} + 41 a^{2} + 13 a\right)\cdot 43^{5} + \left(34 a^{20} + 28 a^{19} + 22 a^{18} + 25 a^{17} + 3 a^{16} + 2 a^{15} + 21 a^{14} + 4 a^{13} + 42 a^{12} + 19 a^{11} + 32 a^{10} + 41 a^{9} + 29 a^{8} + 30 a^{7} + 6 a^{6} + 10 a^{5} + 28 a^{4} + 37 a^{3} + 28 a^{2} + 32 a\right)\cdot 43^{6} + \left(9 a^{20} + 19 a^{19} + 33 a^{18} + 34 a^{16} + 4 a^{15} + 26 a^{14} + 7 a^{13} + 12 a^{12} + 36 a^{11} + 22 a^{10} + 3 a^{9} + 5 a^{8} + 20 a^{7} + 22 a^{6} + 5 a^{5} + 18 a^{4} + 36 a^{3} + 16 a^{2} + 7 a\right)\cdot 43^{7} + \left(5 a^{20} + 27 a^{19} + 27 a^{18} + 29 a^{17} + 40 a^{16} + 26 a^{15} + 25 a^{14} + a^{13} + 31 a^{12} + 13 a^{10} + 2 a^{9} + 42 a^{8} + 10 a^{7} + 9 a^{6} + a^{5} + 42 a^{4} + a^{3} + 40 a^{2} + 19 a\right)\cdot 43^{8} + \left(11 a^{20} + 26 a^{19} + 38 a^{18} + 17 a^{17} + 28 a^{16} + 24 a^{15} + 33 a^{14} + 18 a^{13} + 18 a^{12} + 25 a^{11} + 31 a^{10} + 24 a^{9} + 11 a^{8} + 21 a^{7} + 3 a^{6} + 29 a^{5} + 19 a^{4} + 23 a^{3} + 12 a^{2} + 36 a\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\)
|
| $r_{ 28 }$ | $=$ |
\( a^{20} + 10 a^{19} + 29 a^{18} + 19 a^{17} + 36 a^{16} + 33 a^{15} + 7 a^{14} + 33 a^{13} + 33 a^{12} + 20 a^{11} + 41 a^{10} + 26 a^{9} + 34 a^{8} + 11 a^{7} + 34 a^{6} + 8 a^{5} + 41 a^{4} + 27 a^{3} + 29 a^{2} + 9 a + \left(36 a^{20} + 12 a^{19} + 42 a^{18} + 19 a^{17} + 42 a^{16} + 41 a^{15} + 40 a^{14} + 20 a^{13} + 34 a^{12} + 7 a^{11} + 24 a^{10} + 19 a^{9} + 23 a^{8} + 14 a^{7} + 31 a^{6} + 18 a^{5} + 25 a^{4} + 33 a^{3} + 13 a^{2} + 21 a\right)\cdot 43 + \left(21 a^{20} + 7 a^{19} + 24 a^{18} + 40 a^{17} + 17 a^{15} + 9 a^{14} + 34 a^{13} + 12 a^{12} + 19 a^{11} + 4 a^{10} + 5 a^{9} + 6 a^{8} + 35 a^{7} + 4 a^{6} + 9 a^{5} + 39 a^{4} + 32 a^{3} + a^{2} + 39 a\right)\cdot 43^{2} + \left(39 a^{20} + 27 a^{19} + 3 a^{18} + 31 a^{17} + 28 a^{16} + 14 a^{15} + 20 a^{14} + 5 a^{13} + 36 a^{12} + 20 a^{11} + 24 a^{10} + 25 a^{9} + 38 a^{8} + 6 a^{7} + 41 a^{6} + 42 a^{5} + 27 a^{4} + 24 a^{3} + 11 a^{2} + 24 a\right)\cdot 43^{3} + \left(19 a^{20} + 28 a^{19} + 13 a^{18} + 16 a^{17} + 35 a^{16} + 13 a^{15} + 42 a^{14} + 36 a^{13} + 21 a^{12} + 11 a^{11} + 18 a^{10} + a^{9} + 35 a^{8} + 35 a^{7} + 18 a^{5} + 19 a^{4} + 35 a^{3} + 2 a^{2} + 42 a\right)\cdot 43^{4} + \left(20 a^{20} + 9 a^{19} + 17 a^{18} + 12 a^{17} + 30 a^{16} + 30 a^{15} + 23 a^{14} + 25 a^{13} + 15 a^{12} + 32 a^{11} + 5 a^{10} + 36 a^{9} + 16 a^{8} + 19 a^{7} + 8 a^{6} + 6 a^{5} + 33 a^{4} + 14 a^{3} + 18 a^{2} + 16 a\right)\cdot 43^{5} + \left(15 a^{20} + 9 a^{19} + 36 a^{18} + 7 a^{17} + 35 a^{16} + 6 a^{15} + a^{14} + 21 a^{13} + 19 a^{12} + 26 a^{11} + 27 a^{10} + 24 a^{9} + 21 a^{8} + 18 a^{7} + 19 a^{6} + 30 a^{5} + 20 a^{4} + 37 a^{3} + 6 a^{2} + 42 a\right)\cdot 43^{6} + \left(8 a^{20} + 42 a^{19} + 17 a^{18} + 7 a^{17} + 35 a^{16} + 12 a^{15} + 30 a^{14} + 28 a^{13} + 25 a^{12} + 27 a^{11} + 9 a^{10} + 35 a^{9} + 2 a^{8} + 5 a^{7} + 42 a^{6} + 32 a^{5} + 14 a^{4} + 11 a^{3} + 28 a^{2} + 13 a\right)\cdot 43^{7} + \left(10 a^{20} + 9 a^{19} + 15 a^{18} + 27 a^{17} + 22 a^{16} + 31 a^{15} + a^{14} + 26 a^{13} + 5 a^{12} + 18 a^{11} + 3 a^{10} + 3 a^{9} + 14 a^{8} + 29 a^{7} + 42 a^{6} + 27 a^{5} + 22 a^{4} + 15 a^{3} + 10 a^{2} + 24 a\right)\cdot 43^{8} + \left(33 a^{20} + 31 a^{19} + 26 a^{18} + 33 a^{17} + 33 a^{16} + 28 a^{15} + 15 a^{14} + 3 a^{13} + 11 a^{12} + 15 a^{11} + 13 a^{10} + 13 a^{9} + 38 a^{8} + 22 a^{7} + 34 a^{6} + 10 a^{5} + 9 a^{4} + 42 a^{3} + 9 a^{2} + 6 a\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\)
|
| $r_{ 29 }$ | $=$ |
\( 40 a^{20} + 4 a^{19} + 34 a^{18} + 34 a^{17} + 24 a^{16} + 20 a^{15} + 42 a^{14} + 8 a^{13} + 19 a^{12} + 28 a^{11} + 17 a^{10} + 18 a^{9} + 22 a^{8} + 9 a^{7} + 26 a^{6} + 12 a^{5} + 9 a^{4} + 42 a^{3} + 8 a^{2} + 40 a + \left(14 a^{20} + 40 a^{19} + 40 a^{18} + 40 a^{17} + 21 a^{16} + 29 a^{15} + 41 a^{14} + 30 a^{13} + 15 a^{12} + 15 a^{11} + 37 a^{10} + 32 a^{9} + 41 a^{8} + 10 a^{7} + 9 a^{5} + 38 a^{4} + 42 a^{3} + 41 a^{2} + 41 a\right)\cdot 43 + \left(15 a^{20} + 30 a^{19} + 7 a^{18} + a^{17} + 26 a^{16} + 23 a^{15} + 5 a^{14} + 23 a^{13} + 8 a^{12} + 8 a^{11} + 30 a^{10} + 18 a^{9} + 38 a^{8} + 30 a^{7} + 41 a^{6} + 30 a^{5} + 16 a^{4} + 41 a^{3} + 20 a^{2} + 35 a\right)\cdot 43^{2} + \left(28 a^{20} + 7 a^{19} + 7 a^{18} + 18 a^{17} + 5 a^{16} + 29 a^{15} + 36 a^{14} + 14 a^{13} + 36 a^{12} + 16 a^{11} + 30 a^{10} + 2 a^{8} + 7 a^{7} + 36 a^{6} + 19 a^{5} + 15 a^{4} + 11 a^{3} + 30 a^{2}\right)\cdot 43^{3} + \left(26 a^{20} + 39 a^{19} + 38 a^{18} + 13 a^{17} + 26 a^{16} + 26 a^{15} + 41 a^{13} + 37 a^{12} + 31 a^{11} + 27 a^{10} + a^{9} + 34 a^{8} + 32 a^{7} + 13 a^{6} + 9 a^{4} + 35 a^{3} + 3 a^{2} + 14 a\right)\cdot 43^{4} + \left(22 a^{20} + 3 a^{19} + 19 a^{18} + 14 a^{17} + 19 a^{16} + 34 a^{15} + 27 a^{14} + 26 a^{13} + 4 a^{12} + 32 a^{11} + 22 a^{10} + 10 a^{9} + a^{8} + 29 a^{7} + 33 a^{6} + 41 a^{5} + 32 a^{4} + 10 a^{3} + 4 a^{2} + 26 a\right)\cdot 43^{5} + \left(11 a^{20} + 32 a^{19} + 21 a^{18} + 16 a^{17} + 24 a^{16} + 34 a^{15} + 19 a^{14} + 13 a^{13} + 35 a^{12} + 3 a^{11} + 42 a^{10} + 16 a^{9} + 25 a^{8} + 11 a^{7} + 29 a^{6} + 12 a^{5} + 10 a^{4} + 12 a^{3} + 26 a^{2} + 28 a\right)\cdot 43^{6} + \left(17 a^{20} + 37 a^{19} + a^{18} + 8 a^{17} + 39 a^{16} + 35 a^{15} + 39 a^{14} + 37 a^{13} + 40 a^{12} + 4 a^{11} + 20 a^{10} + 26 a^{9} + 13 a^{8} + 15 a^{7} + 28 a^{6} + 39 a^{5} + 32 a^{4} + 13 a^{3} + 42 a^{2} + 36 a\right)\cdot 43^{7} + \left(42 a^{20} + 39 a^{19} + 16 a^{18} + 6 a^{17} + 22 a^{16} + 23 a^{15} + 23 a^{14} + 8 a^{13} + 33 a^{12} + 7 a^{11} + a^{10} + 17 a^{9} + 32 a^{8} + 24 a^{7} + 9 a^{6} + 11 a^{5} + 41 a^{4} + 31 a^{3} + 41 a^{2}\right)\cdot 43^{8} + \left(8 a^{20} + 36 a^{19} + 16 a^{18} + 3 a^{17} + 35 a^{16} + 21 a^{15} + 18 a^{14} + 8 a^{13} + 17 a^{12} + a^{11} + 11 a^{10} + 29 a^{9} + 29 a^{8} + 41 a^{7} + 20 a^{6} + 8 a^{5} + 6 a^{4} + 26 a^{3} + 5 a^{2} + 38 a\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\)
|
| $r_{ 30 }$ | $=$ |
\( 36 a^{20} + 17 a^{19} + 29 a^{18} + 39 a^{17} + a^{16} + 33 a^{15} + 37 a^{14} + 26 a^{13} + 33 a^{12} + 32 a^{11} + 31 a^{10} + 26 a^{9} + 20 a^{8} + 23 a^{7} + 34 a^{6} + 30 a^{5} + 31 a^{4} + 27 a^{3} + 12 a^{2} + 11 a + \left(15 a^{20} + 16 a^{19} + 42 a^{18} + 10 a^{17} + 26 a^{16} + 41 a^{15} + 3 a^{14} + 9 a^{13} + 34 a^{12} + 18 a^{11} + 40 a^{10} + 19 a^{9} + a^{8} + 18 a^{7} + 31 a^{6} + 38 a^{5} + 3 a^{4} + 33 a^{3} + 22 a^{2} + 37 a\right)\cdot 43 + \left(16 a^{20} + 25 a^{19} + 24 a^{18} + 23 a^{17} + 3 a^{16} + 17 a^{15} + 27 a^{14} + 24 a^{13} + 12 a^{12} + 33 a^{11} + 40 a^{10} + 5 a^{9} + 19 a^{8} + 20 a^{7} + 4 a^{6} + 6 a^{5} + 26 a^{4} + 32 a^{3} + 6 a^{2} + 23 a\right)\cdot 43^{2} + \left(9 a^{20} + 26 a^{19} + 3 a^{18} + 38 a^{17} + a^{16} + 14 a^{15} + 29 a^{14} + 36 a^{13} + 36 a^{12} + 25 a^{11} + 12 a^{10} + 25 a^{9} + 17 a^{8} + 28 a^{7} + 41 a^{6} + 8 a^{5} + 5 a^{4} + 24 a^{3} + 27 a^{2} + 11 a\right)\cdot 43^{3} + \left(a^{20} + 22 a^{19} + 13 a^{18} + 41 a^{17} + 41 a^{16} + 13 a^{15} + 42 a^{14} + 7 a^{13} + 21 a^{12} + 36 a^{11} + 4 a^{10} + a^{9} + 21 a^{8} + 18 a^{7} + 24 a^{5} + 15 a^{4} + 35 a^{3} + 14 a^{2} + 42 a\right)\cdot 43^{4} + \left(25 a^{20} + 41 a^{19} + 17 a^{18} + 4 a^{17} + 10 a^{16} + 30 a^{15} + 34 a^{14} + 21 a^{13} + 15 a^{12} + 30 a^{11} + 20 a^{10} + 36 a^{9} + 36 a^{8} + 36 a^{7} + 8 a^{6} + 9 a^{5} + 24 a^{4} + 14 a^{3} + 26 a^{2} + 34 a\right)\cdot 43^{5} + \left(24 a^{20} + 28 a^{19} + 36 a^{18} + 28 a^{17} + 24 a^{16} + 6 a^{15} + 21 a^{14} + 22 a^{13} + 19 a^{12} + 17 a^{11} + 16 a^{10} + 24 a^{9} + 7 a^{8} + 12 a^{7} + 19 a^{6} + 39 a^{5} + 28 a^{4} + 37 a^{3} + 31 a^{2} + 2 a\right)\cdot 43^{6} + \left(32 a^{20} + 13 a^{19} + 17 a^{18} + a^{17} + 33 a^{16} + 12 a^{15} + 16 a^{14} + 2 a^{13} + 25 a^{12} + 5 a^{10} + 35 a^{9} + 22 a^{7} + 42 a^{6} + 20 a^{5} + 36 a^{4} + 11 a^{3} + 25 a^{2} + 42 a\right)\cdot 43^{7} + \left(39 a^{20} + 15 a^{18} + 22 a^{17} + 7 a^{16} + 31 a^{15} + 17 a^{14} + 29 a^{13} + 5 a^{12} + 33 a^{11} + 29 a^{10} + 3 a^{9} + 5 a^{8} + 32 a^{7} + 42 a^{6} + 36 a^{5} + 8 a^{4} + 15 a^{3} + 17 a^{2} + 6 a\right)\cdot 43^{8} + \left(28 a^{20} + 31 a^{19} + 26 a^{18} + 4 a^{17} + 34 a^{16} + 28 a^{15} + 9 a^{14} + 23 a^{13} + 11 a^{12} + 21 a^{11} + 19 a^{10} + 13 a^{9} + 32 a^{8} + 21 a^{7} + 34 a^{6} + 24 a^{5} + 6 a^{4} + 42 a^{3} + 40 a^{2} + 33 a\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\)
|
| $r_{ 31 }$ | $=$ |
\( 27 a^{20} + 20 a^{19} + 25 a^{18} + 10 a^{17} + 18 a^{16} + 6 a^{15} + 36 a^{14} + 31 a^{13} + 23 a^{12} + 38 a^{11} + 8 a^{10} + 13 a^{9} + 14 a^{8} + 32 a^{7} + 15 a^{6} + 16 a^{5} + 22 a^{4} + 21 a^{3} + 36 a^{2} + 29 a + \left(16 a^{20} + 8 a^{19} + 18 a^{18} + 35 a^{17} + a^{16} + 10 a^{15} + 2 a^{14} + 15 a^{13} + 42 a^{12} + 42 a^{10} + 7 a^{9} + 36 a^{8} + 28 a^{7} + 2 a^{6} + 6 a^{5} + 11 a^{4} + 12 a^{3} + 9 a^{2} + 22 a\right)\cdot 43 + \left(20 a^{20} + 22 a^{19} + 10 a^{18} + 4 a^{17} + 27 a^{16} + 14 a^{15} + 33 a^{14} + 18 a^{13} + 2 a^{12} + 22 a^{11} + 40 a^{10} + 32 a^{9} + 40 a^{8} + 7 a^{7} + 14 a^{6} + 32 a^{5} + 7 a^{4} + 3 a^{3} + 29 a^{2} + 22 a\right)\cdot 43^{2} + \left(3 a^{20} + 14 a^{19} + 39 a^{18} + 17 a^{17} + a^{16} + 24 a^{15} + 22 a^{14} + 11 a^{13} + 24 a^{12} + 16 a^{11} + 3 a^{10} + 12 a^{9} + 13 a^{8} + 36 a^{7} + 9 a^{6} + 39 a^{5} + 25 a^{4} + 4 a^{2} + 3 a\right)\cdot 43^{3} + \left(6 a^{20} + 28 a^{19} + 42 a^{18} + 36 a^{17} + 35 a^{16} + 16 a^{15} + 19 a^{13} + 14 a^{12} + 13 a^{11} + 30 a^{10} + 23 a^{9} + 25 a^{8} + 7 a^{7} + 27 a^{6} + 33 a^{5} + 11 a^{4} + 35 a^{3} + 21 a^{2} + 3 a\right)\cdot 43^{4} + \left(34 a^{20} + 11 a^{19} + 6 a^{18} + 29 a^{17} + 38 a^{16} + 5 a^{15} + 19 a^{14} + a^{13} + 20 a^{12} + 17 a^{11} + 5 a^{10} + 32 a^{9} + 24 a^{8} + 23 a^{7} + 2 a^{6} + 27 a^{5} + 34 a^{4} + 30 a^{3} + 36 a^{2} + 32 a\right)\cdot 43^{5} + \left(20 a^{20} + 9 a^{19} + 29 a^{18} + 2 a^{17} + 25 a^{16} + 33 a^{15} + 41 a^{14} + 32 a^{13} + 9 a^{12} + 31 a^{11} + 29 a^{10} + 30 a^{9} + 34 a^{8} + 24 a^{7} + 20 a^{6} + 35 a^{5} + 26 a^{4} + 42 a^{3} + 28 a^{2} + 15 a\right)\cdot 43^{6} + \left(11 a^{20} + 25 a^{19} + 21 a^{18} + 4 a^{17} + 9 a^{16} + 38 a^{15} + 12 a^{14} + 34 a^{13} + 26 a^{12} + 8 a^{11} + 23 a^{10} + 24 a^{9} + 35 a^{8} + 37 a^{7} + 22 a^{6} + 22 a^{5} + 4 a^{4} + 36 a^{3} + 40 a^{2} + 25 a\right)\cdot 43^{7} + \left(7 a^{20} + 17 a^{19} + 33 a^{18} + 32 a^{17} + 42 a^{16} + 31 a^{15} + 41 a^{14} + 5 a^{13} + 2 a^{12} + 25 a^{11} + 3 a^{10} + 21 a^{9} + 28 a^{8} + 13 a^{7} + 25 a^{6} + 4 a^{5} + 17 a^{4} + 12 a^{3} + 42 a^{2} + 8 a\right)\cdot 43^{8} + \left(9 a^{19} + 31 a^{18} + 18 a^{17} + 16 a^{16} + 41 a^{15} + 27 a^{14} + 30 a^{13} + a^{12} + 17 a^{11} + 8 a^{10} + 23 a^{9} + 16 a^{8} + 20 a^{7} + 6 a^{6} + 16 a^{5} + 26 a^{4} + 3 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\)
|
| $r_{ 32 }$ | $=$ |
\( 5 a^{20} + 8 a^{19} + 13 a^{18} + 36 a^{17} + 12 a^{16} + 31 a^{15} + a^{14} + a^{13} + 38 a^{12} + 36 a^{11} + 18 a^{10} + 9 a^{9} + 4 a^{8} + 34 a^{7} + 14 a^{6} + 24 a^{5} + 30 a^{4} + 4 a^{3} + 4 a^{2} + 19 a + \left(3 a^{20} + 22 a^{19} + 6 a^{18} + 2 a^{17} + 33 a^{16} + 23 a^{15} + a^{14} + 4 a^{13} + 34 a^{12} + 12 a^{11} + 19 a^{10} + 6 a^{9} + 30 a^{8} + 32 a^{7} + 14 a^{6} + 16 a^{5} + 27 a^{4} + 28 a^{3} + 28 a^{2} + 40 a\right)\cdot 43 + \left(32 a^{20} + 27 a^{19} + 12 a^{18} + 25 a^{17} + 3 a^{16} + 7 a^{15} + 37 a^{14} + 42 a^{13} + 36 a^{12} + 12 a^{11} + 40 a^{10} + 14 a^{9} + 11 a^{8} + 12 a^{7} + 10 a^{6} + 40 a^{5} + a^{4} + 39 a^{3} + 26 a^{2}\right)\cdot 43^{2} + \left(14 a^{20} + 3 a^{19} + 2 a^{18} + 7 a^{17} + 40 a^{16} + 19 a^{15} + 6 a^{14} + 18 a^{13} + 2 a^{12} + 9 a^{11} + 32 a^{10} + 28 a^{9} + 40 a^{8} + 35 a^{7} + 9 a^{6} + 18 a^{5} + 28 a^{4} + 15 a^{3} + 36 a^{2} + 7 a\right)\cdot 43^{3} + \left(15 a^{19} + 22 a^{18} + 19 a^{17} + 10 a^{16} + 28 a^{15} + 42 a^{14} + 3 a^{13} + 11 a^{12} + 41 a^{11} + 41 a^{10} + 6 a^{9} + 27 a^{8} + 10 a^{7} + 10 a^{6} + 18 a^{5} + 23 a^{4} + 14 a^{3} + 7 a^{2} + 17 a\right)\cdot 43^{4} + \left(35 a^{20} + 30 a^{19} + 37 a^{18} + 2 a^{17} + 19 a^{16} + 40 a^{15} + 15 a^{14} + 30 a^{13} + 39 a^{12} + 41 a^{11} + 22 a^{10} + 12 a^{9} + 21 a^{8} + 13 a^{7} + 21 a^{6} + 3 a^{5} + 41 a^{4} + 38 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a\right)\cdot 43^{5} + \left(15 a^{20} + 38 a^{19} + 22 a^{18} + 23 a^{17} + 34 a^{16} + 2 a^{15} + 23 a^{14} + 35 a^{13} + 42 a^{12} + 28 a^{11} + 17 a^{10} + 41 a^{9} + 32 a^{8} + 31 a^{7} + 6 a^{6} + 31 a^{5} + 19 a^{4} + 37 a^{3} + 27 a^{2} + 19 a\right)\cdot 43^{6} + \left(29 a^{20} + 4 a^{19} + 33 a^{18} + 31 a^{17} + 12 a^{16} + 4 a^{15} + 3 a^{14} + 22 a^{13} + 12 a^{12} + 26 a^{11} + 28 a^{10} + 3 a^{9} + 20 a^{8} + 27 a^{7} + 22 a^{6} + 7 a^{5} + 37 a^{4} + 36 a^{3} + 16 a^{2}\right)\cdot 43^{7} + \left(25 a^{20} + 33 a^{19} + 27 a^{18} + 23 a^{17} + 34 a^{16} + 26 a^{15} + 19 a^{14} + 6 a^{13} + 31 a^{12} + 14 a^{11} + 3 a^{10} + 2 a^{9} + a^{8} + 18 a^{7} + 9 a^{6} + 37 a^{5} + 20 a^{4} + a^{3} + 36 a^{2} + 25 a\right)\cdot 43^{8} + \left(23 a^{20} + 16 a^{19} + 38 a^{18} + 9 a^{17} + a^{16} + 24 a^{15} + 24 a^{14} + 39 a^{13} + 18 a^{12} + 36 a^{11} + 42 a^{10} + 24 a^{9} + 18 a^{8} + a^{7} + 3 a^{6} + 2 a^{5} + 18 a^{4} + 23 a^{3} + 11 a^{2} + 25 a\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\)
|
| $r_{ 33 }$ | $=$ |
\( 26 a^{20} + 34 a^{19} + 25 a^{18} + 16 a^{17} + 22 a^{16} + 6 a^{15} + 6 a^{14} + 14 a^{13} + 23 a^{12} + 35 a^{11} + 5 a^{10} + 13 a^{9} + 31 a^{8} + 20 a^{7} + 15 a^{6} + 17 a^{5} + 3 a^{4} + 21 a^{3} + 6 a^{2} + 2 a + \left(24 a^{20} + 22 a^{19} + 18 a^{18} + 25 a^{17} + 10 a^{15} + 39 a^{14} + 42 a^{13} + 42 a^{12} + 29 a^{11} + a^{10} + 7 a^{9} + 14 a^{8} + 24 a^{7} + 2 a^{6} + 29 a^{5} + 21 a^{4} + 12 a^{3} + 33 a^{2} + 18 a\right)\cdot 43 + \left(26 a^{20} + 41 a^{19} + 10 a^{18} + 42 a^{17} + 17 a^{16} + 14 a^{15} + 15 a^{14} + 25 a^{13} + 2 a^{12} + 35 a^{11} + 19 a^{10} + 32 a^{9} + 26 a^{8} + 22 a^{7} + 14 a^{6} + 7 a^{5} + 2 a^{4} + 3 a^{3} + 26 a^{2} + 29 a\right)\cdot 43^{2} + \left(35 a^{19} + 39 a^{18} + 27 a^{17} + 33 a^{16} + 24 a^{15} + 13 a^{14} + 5 a^{13} + 24 a^{12} + 25 a^{11} + 32 a^{10} + 12 a^{9} + 14 a^{7} + 9 a^{6} + 7 a^{4} + 11 a^{2} + 4 a\right)\cdot 43^{3} + \left(30 a^{20} + 19 a^{19} + 42 a^{18} + 22 a^{17} + 10 a^{16} + 16 a^{15} + 6 a^{13} + 14 a^{12} + 28 a^{11} + 28 a^{10} + 23 a^{9} + 33 a^{8} + 24 a^{7} + 27 a^{6} + 37 a^{5} + 12 a^{4} + 35 a^{3} + 24 a^{2} + 19 a\right)\cdot 43^{4} + \left(36 a^{20} + 21 a^{19} + 6 a^{18} + 33 a^{17} + 32 a^{16} + 5 a^{15} + 8 a^{14} + 7 a^{13} + 20 a^{12} + 27 a^{11} + 11 a^{10} + 32 a^{9} + 16 a^{8} + 6 a^{7} + 2 a^{6} + 5 a^{5} + a^{4} + 30 a^{3} + 9 a^{2} + 34 a\right)\cdot 43^{5} + \left(13 a^{20} + 8 a^{19} + 29 a^{18} + 10 a^{17} + 14 a^{16} + 33 a^{15} + 21 a^{14} + 7 a^{13} + 9 a^{12} + 25 a^{11} + 21 a^{10} + 30 a^{9} + 31 a^{8} + 30 a^{7} + 20 a^{6} + 31 a^{5} + 21 a^{4} + 42 a^{3} + 20 a^{2} + 34 a\right)\cdot 43^{6} + \left(15 a^{20} + 13 a^{19} + 21 a^{18} + 18 a^{17} + 26 a^{16} + 38 a^{15} + 26 a^{14} + 32 a^{13} + 26 a^{12} + 26 a^{11} + 2 a^{10} + 24 a^{9} + 17 a^{8} + 20 a^{7} + 22 a^{6} + 21 a^{5} + 6 a^{4} + 36 a^{3} + 26 a^{2} + 42 a\right)\cdot 43^{7} + \left(2 a^{20} + 33 a^{18} + a^{17} + 15 a^{16} + 31 a^{15} + 25 a^{14} + 28 a^{13} + 2 a^{12} + 4 a^{11} + 39 a^{10} + 21 a^{9} + 20 a^{8} + 10 a^{7} + 25 a^{6} + 29 a^{5} + 16 a^{4} + 12 a^{3} + 11 a^{2} + 29 a\right)\cdot 43^{8} + \left(16 a^{20} + 13 a^{19} + 31 a^{18} + 14 a^{17} + 10 a^{16} + 41 a^{15} + 33 a^{14} + 29 a^{13} + a^{12} + 25 a^{11} + 41 a^{10} + 23 a^{9} + 34 a^{8} + 21 a^{7} + 6 a^{6} + 41 a^{5} + 3 a^{3} + 8 a^{2} + 11 a\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\)
|
| $r_{ 34 }$ | $=$ |
\( 41 a^{20} + 40 a^{19} + 26 a^{18} + 3 a^{17} + 9 a^{16} + 5 a^{15} + 7 a^{14} + 20 a^{13} + 3 a^{12} + 12 a^{11} + 11 a^{10} + 28 a^{9} + 26 a^{8} + 11 a^{7} + 18 a^{6} + 32 a^{5} + 16 a^{4} + 2 a^{3} + 18 a^{2} + 17 a + \left(6 a^{20} + 27 a^{19} + 17 a^{18} + 9 a^{17} + 12 a^{16} + 26 a^{15} + 40 a^{14} + 28 a^{13} + 31 a^{12} + 23 a^{11} + 37 a^{10} + 34 a^{9} + 4 a^{8} + 14 a^{7} + 42 a^{6} + 38 a^{5} + 3 a^{4} + 7 a^{3} + 6 a^{2} + 37 a\right)\cdot 43 + \left(30 a^{20} + 33 a^{19} + a^{18} + 20 a^{17} + 40 a^{16} + 26 a^{15} + 9 a^{14} + 8 a^{13} + 29 a^{12} + 27 a^{11} + 8 a^{10} + 29 a^{9} + 26 a^{8} + 35 a^{7} + 15 a^{6} + 9 a^{5} + 28 a^{4} + 20 a^{3} + 2 a^{2} + 18 a\right)\cdot 43^{2} + \left(23 a^{20} + 15 a^{19} + 18 a^{18} + 19 a^{17} + 33 a^{16} + 32 a^{15} + 20 a^{14} + 8 a^{13} + 37 a^{12} + 42 a^{11} + 4 a^{10} + 12 a^{9} + 11 a^{8} + 6 a^{7} + 34 a^{6} + 16 a^{5} + 14 a^{4} + 25 a^{3} + 32 a^{2} + 23 a\right)\cdot 43^{3} + \left(22 a^{20} + 2 a^{19} + 39 a^{18} + 2 a^{17} + 29 a^{16} + 16 a^{15} + 42 a^{14} + 24 a^{13} + 24 a^{12} + 16 a^{11} + 12 a^{10} + 6 a^{8} + 35 a^{7} + 14 a^{6} + 16 a^{5} + 35 a^{4} + 27 a^{3} + 18 a^{2} + 28 a\right)\cdot 43^{4} + \left(19 a^{20} + 26 a^{19} + 5 a^{18} + 12 a^{17} + 39 a^{16} + 27 a^{15} + 23 a^{14} + 16 a^{13} + 40 a^{12} + 36 a^{11} + 19 a^{10} + 19 a^{9} + 34 a^{8} + 19 a^{7} + 21 a^{6} + 38 a^{5} + 40 a^{4} + 31 a^{3} + 4 a^{2} + 24 a\right)\cdot 43^{5} + \left(28 a^{20} + 33 a^{19} + 19 a^{18} + 34 a^{17} + 17 a^{16} + 21 a^{15} + a^{14} + 28 a^{13} + 36 a^{12} + 4 a^{11} + 10 a^{10} + 41 a^{9} + 19 a^{8} + 18 a^{7} + 14 a^{6} + 4 a^{5} + 23 a^{4} + 3 a^{3} + 9 a^{2} + 35 a\right)\cdot 43^{6} + \left(5 a^{20} + 20 a^{19} + 19 a^{18} + 41 a^{17} + 10 a^{16} + 8 a^{15} + 30 a^{14} + 21 a^{12} + 11 a^{11} + 34 a^{10} + 11 a^{9} + 13 a^{8} + 5 a^{7} + 12 a^{6} + 10 a^{5} + 16 a^{4} + 12 a^{3} + 23 a^{2} + 15 a\right)\cdot 43^{7} + \left(40 a^{20} + 42 a^{19} + 7 a^{18} + 12 a^{17} + 36 a^{16} + 3 a^{15} + a^{14} + 20 a^{12} + 11 a^{11} + 17 a^{10} + 39 a^{9} + 42 a^{8} + 29 a^{7} + 30 a^{6} + 31 a^{5} + 28 a^{4} + 13 a^{3} + 27 a^{2} + 8 a\right)\cdot 43^{8} + \left(19 a^{20} + 24 a^{18} + 34 a^{17} + 9 a^{16} + 30 a^{15} + 15 a^{14} + 17 a^{13} + 26 a^{12} + 38 a^{11} + 37 a^{10} + 42 a^{9} + 40 a^{8} + 22 a^{7} + 8 a^{6} + 32 a^{4} + 42 a^{3} + 28 a^{2} + 9 a\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\)
|
| $r_{ 35 }$ | $=$ |
\( 6 a^{20} + 16 a^{19} + 29 a^{18} + 28 a^{17} + 6 a^{16} + 33 a^{15} + 42 a^{14} + 27 a^{13} + 33 a^{12} + 34 a^{11} + 14 a^{10} + 26 a^{9} + 32 a^{8} + 9 a^{7} + 34 a^{6} + 5 a^{5} + 14 a^{4} + 27 a^{3} + 2 a^{2} + 23 a + \left(34 a^{20} + 14 a^{19} + 42 a^{18} + 12 a^{17} + 17 a^{16} + 41 a^{15} + 41 a^{14} + 12 a^{13} + 34 a^{12} + 16 a^{11} + 20 a^{10} + 19 a^{9} + 17 a^{8} + 10 a^{7} + 31 a^{6} + 29 a^{5} + 13 a^{4} + 33 a^{3} + 7 a^{2} + 27 a\right)\cdot 43 + \left(4 a^{20} + 10 a^{19} + 24 a^{18} + 22 a^{17} + 38 a^{16} + 17 a^{15} + 5 a^{14} + 27 a^{13} + 12 a^{12} + 33 a^{11} + 40 a^{10} + 5 a^{9} + 17 a^{8} + 30 a^{7} + 4 a^{6} + 26 a^{5} + 20 a^{4} + 32 a^{3} + 35 a^{2} + 22 a\right)\cdot 43^{2} + \left(37 a^{20} + 32 a^{19} + 3 a^{18} + 15 a^{17} + 13 a^{16} + 14 a^{15} + 36 a^{14} + 36 a^{12} + 39 a^{11} + 5 a^{10} + 25 a^{9} + 30 a^{8} + 7 a^{7} + 41 a^{6} + 35 a^{5} + 9 a^{4} + 24 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a\right)\cdot 43^{3} + \left(21 a^{20} + 34 a^{19} + 13 a^{18} + 27 a^{17} + 9 a^{16} + 13 a^{15} + 42 a^{13} + 21 a^{12} + 37 a^{11} + 20 a^{10} + a^{9} + 28 a^{8} + 32 a^{7} + 42 a^{5} + 8 a^{4} + 35 a^{3} + 26 a^{2} + a\right)\cdot 43^{4} + \left(40 a^{20} + 34 a^{19} + 17 a^{18} + 25 a^{17} + a^{16} + 30 a^{15} + 27 a^{14} + 38 a^{13} + 15 a^{12} + 22 a^{11} + 17 a^{10} + 36 a^{9} + 32 a^{8} + 29 a^{7} + 8 a^{6} + 26 a^{5} + 28 a^{4} + 14 a^{3} + 41 a^{2} + 34 a\right)\cdot 43^{5} + \left(2 a^{20} + 4 a^{19} + 36 a^{18} + 7 a^{17} + 26 a^{16} + 6 a^{15} + 19 a^{14} + 41 a^{13} + 19 a^{12} + 41 a^{11} + 42 a^{10} + 24 a^{9} + 13 a^{8} + 11 a^{7} + 19 a^{6} + 16 a^{5} + 36 a^{4} + 37 a^{3} + 4 a^{2} + 40 a\right)\cdot 43^{6} + \left(2 a^{20} + 30 a^{19} + 17 a^{18} + 34 a^{17} + 16 a^{16} + 12 a^{15} + 39 a^{14} + 11 a^{13} + 25 a^{12} + 14 a^{11} + 27 a^{10} + 35 a^{9} + 40 a^{8} + 15 a^{7} + 42 a^{6} + 32 a^{5} + 34 a^{4} + 11 a^{3} + 32 a^{2} + 29 a\right)\cdot 43^{7} + \left(36 a^{20} + 32 a^{19} + 15 a^{18} + 36 a^{17} + 12 a^{16} + 31 a^{15} + 23 a^{14} + 30 a^{13} + 5 a^{12} + 34 a^{11} + 10 a^{10} + 3 a^{9} + 23 a^{8} + 24 a^{7} + 42 a^{6} + 21 a^{5} + 11 a^{4} + 15 a^{3} + 14 a^{2} + 11 a\right)\cdot 43^{8} + \left(23 a^{20} + 23 a^{19} + 26 a^{18} + 4 a^{17} + 18 a^{16} + 28 a^{15} + 18 a^{14} + 15 a^{13} + 11 a^{12} + 5 a^{11} + 10 a^{10} + 13 a^{9} + 15 a^{8} + 41 a^{7} + 34 a^{6} + 7 a^{5} + 27 a^{4} + 42 a^{3} + 36 a^{2} + 3 a\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\)
|
| $r_{ 36 }$ | $=$ |
\( 14 a^{20} + 25 a^{19} + 26 a^{18} + 22 a^{17} + 11 a^{16} + 5 a^{15} + 37 a^{14} + 34 a^{13} + 3 a^{12} + 2 a^{11} + 23 a^{10} + 28 a^{9} + 33 a^{8} + 23 a^{7} + 18 a^{6} + 34 a^{5} + 10 a^{4} + 2 a^{3} + 3 a^{2} + 16 a + \left(17 a^{20} + 25 a^{19} + 17 a^{18} + 9 a^{17} + 26 a^{16} + 26 a^{15} + 3 a^{14} + 13 a^{13} + 31 a^{12} + 27 a^{10} + 34 a^{9} + 12 a^{8} + 18 a^{7} + 42 a^{6} + 5 a^{5} + 32 a^{4} + 7 a^{3} + 6 a^{2} + 11 a\right)\cdot 43 + \left(25 a^{20} + 37 a^{19} + a^{18} + 21 a^{17} + 32 a^{16} + 26 a^{15} + 27 a^{14} + 18 a^{13} + 29 a^{12} + 27 a^{11} + 18 a^{10} + 29 a^{9} + 14 a^{8} + 20 a^{7} + 15 a^{6} + 11 a^{5} + 8 a^{4} + 20 a^{3} + 8 a^{2} + 19 a\right)\cdot 43^{2} + \left(4 a^{20} + 7 a^{19} + 18 a^{18} + 42 a^{17} + 15 a^{16} + 32 a^{15} + 29 a^{14} + 40 a^{13} + 37 a^{12} + a^{11} + 26 a^{10} + 12 a^{9} + 36 a^{8} + 28 a^{7} + 34 a^{6} + 7 a^{5} + 8 a^{4} + 25 a^{3} + 10 a^{2} + 4 a\right)\cdot 43^{3} + \left(27 a^{20} + 13 a^{19} + 39 a^{18} + a^{17} + 36 a^{16} + 16 a^{15} + 42 a^{14} + 25 a^{13} + 24 a^{12} + a^{11} + 38 a^{10} + 18 a^{7} + 14 a^{6} + 5 a^{5} + 2 a^{4} + 27 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a\right)\cdot 43^{4} + \left(8 a^{20} + 37 a^{19} + 5 a^{18} + 12 a^{17} + 34 a^{16} + 27 a^{15} + 34 a^{14} + 7 a^{13} + 40 a^{12} + 19 a^{11} + 29 a^{10} + 19 a^{9} + 16 a^{8} + 36 a^{7} + 21 a^{6} + 5 a^{5} + a^{4} + 31 a^{3} + 11 a^{2} + 40 a\right)\cdot 43^{5} + \left(35 a^{20} + 13 a^{19} + 19 a^{18} + 10 a^{17} + 26 a^{16} + 21 a^{15} + 21 a^{14} + 40 a^{13} + 36 a^{12} + 13 a^{11} + 41 a^{9} + 21 a^{8} + 12 a^{7} + 14 a^{6} + 31 a^{5} + 16 a^{4} + 3 a^{3} + 26 a^{2} + a\right)\cdot 43^{6} + \left(15 a^{20} + 33 a^{19} + 19 a^{18} + 4 a^{17} + 8 a^{16} + 8 a^{15} + 16 a^{14} + 34 a^{13} + 21 a^{12} + 37 a^{11} + 15 a^{10} + 11 a^{9} + 33 a^{8} + 22 a^{7} + 12 a^{6} + 20 a^{5} + 39 a^{4} + 12 a^{3} + 40 a^{2} + 18 a\right)\cdot 43^{7} + \left(a^{20} + 17 a^{19} + 7 a^{18} + 18 a^{17} + 3 a^{16} + 3 a^{15} + 17 a^{14} + 18 a^{13} + 20 a^{12} + 13 a^{11} + 40 a^{10} + 39 a^{9} + 33 a^{8} + 32 a^{7} + 30 a^{6} + 10 a^{4} + 13 a^{3} + 28 a^{2} + 7 a\right)\cdot 43^{8} + \left(29 a^{20} + 15 a^{19} + 24 a^{18} + 4 a^{17} + 16 a^{16} + 30 a^{15} + 9 a^{14} + 12 a^{13} + 26 a^{12} + 6 a^{10} + 42 a^{9} + 23 a^{8} + 21 a^{7} + 8 a^{6} + 28 a^{5} + 12 a^{4} + 42 a^{3} + 26 a^{2} + 27 a\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\)
|
| $r_{ 37 }$ | $=$ |
\( 32 a^{20} + 37 a^{19} + 15 a^{18} + 31 a^{17} + 26 a^{16} + 40 a^{15} + 36 a^{14} + 24 a^{13} + 6 a^{12} + 40 a^{11} + 42 a^{10} + 14 a^{9} + 36 a^{8} + 32 a^{7} + 13 a^{6} + 21 a^{5} + 39 a^{4} + 35 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + \left(35 a^{20} + 34 a^{19} + 30 a^{18} + 8 a^{17} + 22 a^{16} + 26 a^{15} + 2 a^{14} + 9 a^{13} + 40 a^{12} + 25 a^{11} + 15 a^{10} + 11 a^{9} + 27 a^{8} + 28 a^{7} + 19 a^{6} + 37 a^{4} + a^{3} + 36 a^{2} + 7 a\right)\cdot 43 + \left(a^{20} + 36 a^{19} + 10 a^{18} + 33 a^{17} + 29 a^{16} + 11 a^{15} + 33 a^{14} + 26 a^{13} + 29 a^{12} + 20 a^{11} + 41 a^{10} + 21 a^{9} + 9 a^{8} + 7 a^{7} + 29 a^{6} + 7 a^{5} + 9 a^{4} + 39 a^{3} + 29 a^{2} + 8 a\right)\cdot 43^{2} + \left(8 a^{20} + 41 a^{19} + 18 a^{18} + 8 a^{17} + 2 a^{16} + 4 a^{15} + 22 a^{14} + 26 a^{13} + 22 a^{12} + 31 a^{11} + 23 a^{10} + 30 a^{9} + 6 a^{8} + 36 a^{7} + 27 a^{6} + 36 a^{5} + 28 a^{4} + 5 a^{3} + 41 a^{2} + 16 a\right)\cdot 43^{3} + \left(a^{20} + 28 a^{19} + 11 a^{18} + 22 a^{17} + 27 a^{16} + 24 a^{15} + 29 a^{13} + 19 a^{12} + 42 a^{11} + 8 a^{10} + 21 a^{9} + 15 a^{8} + 7 a^{7} + 7 a^{6} + 29 a^{5} + 34 a^{4} + 23 a^{3} + 35 a^{2} + 7 a\right)\cdot 43^{4} + \left(39 a^{20} + 6 a^{19} + 25 a^{18} + 14 a^{17} + 14 a^{16} + 32 a^{15} + 19 a^{14} + 27 a^{13} + 13 a^{12} + 23 a^{11} + 14 a^{10} + 30 a^{9} + 41 a^{8} + 23 a^{7} + 41 a^{6} + 23 a^{5} + 27 a^{4} + 11 a^{3} + 21 a^{2} + 35 a\right)\cdot 43^{5} + \left(38 a^{20} + 23 a^{19} + 40 a^{18} + 17 a^{17} + 28 a^{16} + 37 a^{15} + 41 a^{14} + 27 a^{13} + 14 a^{12} + 12 a^{11} + 15 a^{10} + 21 a^{9} + 22 a^{8} + 24 a^{7} + 26 a^{6} + 42 a^{5} + a^{4} + 30 a^{3} + 9 a^{2} + 40 a\right)\cdot 43^{6} + \left(5 a^{20} + 29 a^{19} + 29 a^{18} + 16 a^{16} + 41 a^{15} + 12 a^{14} + 18 a^{13} + 2 a^{12} + 8 a^{11} + 7 a^{10} + 15 a^{9} + 5 a^{8} + 37 a^{7} + 7 a^{6} + 39 a^{5} + 2 a^{4} + 18 a^{3} + 5 a^{2} + 19 a\right)\cdot 43^{7} + \left(40 a^{20} + 15 a^{19} + 19 a^{18} + 10 a^{17} + a^{16} + 11 a^{15} + 41 a^{14} + 36 a^{13} + 6 a^{12} + 39 a^{11} + 39 a^{10} + 33 a^{9} + 38 a^{8} + 13 a^{7} + 11 a^{6} + 17 a^{5} + 9 a^{4} + 3 a^{3} + 40 a^{2} + 23 a\right)\cdot 43^{8} + \left(38 a^{20} + 21 a^{19} + 3 a^{18} + 10 a^{17} + 33 a^{16} + 36 a^{15} + 27 a^{14} + 24 a^{13} + 11 a^{12} + 39 a^{11} + 9 a^{10} + 31 a^{9} + 10 a^{8} + 20 a^{7} + 11 a^{6} + 37 a^{5} + 36 a^{4} + 6 a^{3} + 31 a^{2} + 32 a\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\)
|
| $r_{ 38 }$ | $=$ |
\( 33 a^{20} + 32 a^{19} + 25 a^{18} + 17 a^{17} + 3 a^{16} + 6 a^{15} + a^{14} + 41 a^{13} + 23 a^{12} + 13 a^{11} + 30 a^{10} + 13 a^{9} + 41 a^{8} + 34 a^{7} + 15 a^{6} + 10 a^{5} + 18 a^{4} + 21 a^{3} + a^{2} + 12 a + \left(a^{20} + 11 a^{19} + 18 a^{18} + 25 a^{17} + 41 a^{16} + 10 a^{15} + a^{14} + 27 a^{13} + 42 a^{12} + 12 a^{11} + 42 a^{10} + 7 a^{9} + 34 a^{8} + 32 a^{7} + 2 a^{6} + 7 a^{5} + 10 a^{4} + 12 a^{3} + 2 a\right)\cdot 43 + \left(39 a^{20} + 22 a^{19} + 10 a^{18} + 38 a^{17} + 41 a^{16} + 14 a^{15} + 37 a^{14} + 41 a^{13} + 2 a^{12} + 28 a^{11} + 25 a^{10} + 32 a^{9} + 18 a^{8} + 12 a^{7} + 14 a^{6} + 3 a^{5} + 33 a^{4} + 3 a^{3} + 30 a^{2} + 34 a\right)\cdot 43^{2} + \left(38 a^{20} + 35 a^{19} + 39 a^{18} + 40 a^{17} + 7 a^{16} + 24 a^{15} + 6 a^{14} + 25 a^{13} + 24 a^{12} + 6 a^{10} + 12 a^{9} + 28 a^{8} + 35 a^{7} + 9 a^{6} + 3 a^{5} + 10 a^{4} + 26 a^{2} + 34 a\right)\cdot 43^{3} + \left(6 a^{20} + 37 a^{19} + 42 a^{18} + 26 a^{17} + 40 a^{16} + 16 a^{15} + 42 a^{14} + 17 a^{13} + 14 a^{12} + a^{11} + 27 a^{10} + 23 a^{9} + 27 a^{8} + 10 a^{7} + 27 a^{6} + 15 a^{5} + 19 a^{4} + 35 a^{3} + 40 a^{2} + 20 a\right)\cdot 43^{4} + \left(15 a^{20} + 9 a^{19} + 6 a^{18} + 22 a^{17} + 14 a^{16} + 5 a^{15} + 15 a^{14} + 34 a^{13} + 20 a^{12} + 41 a^{11} + 25 a^{10} + 32 a^{9} + a^{8} + 13 a^{7} + 2 a^{6} + 9 a^{5} + 7 a^{4} + 30 a^{3} + 39 a^{2} + 19 a\right)\cdot 43^{5} + \left(8 a^{20} + 25 a^{19} + 29 a^{18} + 29 a^{17} + 2 a^{16} + 33 a^{15} + 23 a^{14} + 3 a^{13} + 9 a^{12} + 28 a^{11} + 35 a^{10} + 30 a^{9} + 20 a^{8} + 31 a^{7} + 20 a^{6} + 19 a^{5} + 38 a^{4} + 42 a^{3} + 36 a^{2} + 35 a\right)\cdot 43^{6} + \left(16 a^{20} + 4 a^{19} + 21 a^{18} + 20 a^{17} + 7 a^{16} + 38 a^{15} + 3 a^{14} + 19 a^{13} + 26 a^{12} + 7 a^{11} + 16 a^{10} + 24 a^{9} + 32 a^{8} + 27 a^{7} + 22 a^{6} + 41 a^{5} + 31 a^{4} + 36 a^{3} + 18 a^{2} + 17 a\right)\cdot 43^{7} + \left(33 a^{20} + 25 a^{19} + 33 a^{18} + 9 a^{17} + 28 a^{16} + 31 a^{15} + 19 a^{14} + 8 a^{13} + 2 a^{12} + 13 a^{11} + 21 a^{9} + 36 a^{8} + 18 a^{7} + 25 a^{6} + 8 a^{5} + 9 a^{4} + 12 a^{3} + 31 a^{2} + 4 a\right)\cdot 43^{8} + \left(26 a^{20} + 20 a^{19} + 31 a^{18} + 10 a^{17} + 15 a^{16} + 41 a^{15} + 24 a^{14} + 26 a^{13} + a^{12} + 36 a^{10} + 23 a^{9} + 34 a^{8} + a^{7} + 6 a^{6} + 28 a^{5} + 16 a^{4} + 3 a^{3} + 22 a^{2} + 25 a\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\)
|
| $r_{ 39 }$ | $=$ |
\( 34 a^{20} + 7 a^{19} + 15 a^{18} + 41 a^{17} + 27 a^{16} + 40 a^{15} + 6 a^{14} + 15 a^{13} + 6 a^{12} + 21 a^{11} + 37 a^{10} + 14 a^{9} + 6 a^{8} + 20 a^{7} + 13 a^{6} + 25 a^{5} + 19 a^{4} + 35 a^{3} + 23 a^{2} + 42 a + \left(26 a^{20} + 11 a^{19} + 30 a^{18} + 33 a^{17} + 4 a^{16} + 26 a^{15} + 39 a^{14} + 32 a^{13} + 40 a^{12} + 3 a^{11} + 19 a^{10} + 11 a^{9} + 36 a^{8} + 24 a^{7} + 19 a^{6} + 34 a^{5} + 9 a^{4} + a^{3} + 8 a^{2} + 15 a\right)\cdot 43 + \left(37 a^{20} + 16 a^{19} + 10 a^{18} + 39 a^{17} + 15 a^{16} + 11 a^{15} + 15 a^{14} + a^{13} + 29 a^{12} + 26 a^{10} + 21 a^{9} + 42 a^{8} + 22 a^{7} + 29 a^{6} + 29 a^{5} + 34 a^{4} + 39 a^{3} + 25 a^{2} + 24 a\right)\cdot 43^{2} + \left(40 a^{20} + 26 a^{19} + 18 a^{18} + 24 a^{17} + 34 a^{16} + 4 a^{15} + 13 a^{14} + 5 a^{13} + 22 a^{12} + 32 a^{11} + 11 a^{10} + 30 a^{9} + 21 a^{8} + 14 a^{7} + 27 a^{6} + 33 a^{5} + 14 a^{4} + 5 a^{3} + 23 a^{2} + 4 a\right)\cdot 43^{3} + \left(33 a^{20} + 16 a^{19} + 11 a^{18} + 14 a^{17} + 22 a^{16} + 24 a^{15} + 22 a^{13} + 19 a^{12} + 21 a^{11} + 10 a^{10} + 21 a^{9} + 14 a^{8} + 24 a^{7} + 7 a^{6} + 26 a^{5} + 29 a^{4} + 23 a^{3} + 25 a^{2} + 17 a\right)\cdot 43^{4} + \left(31 a^{20} + 5 a^{19} + 25 a^{18} + 34 a^{17} + 6 a^{16} + 32 a^{15} + 8 a^{14} + 20 a^{13} + 13 a^{12} + 28 a^{11} + 8 a^{10} + 30 a^{9} + 13 a^{8} + 6 a^{7} + 41 a^{6} + 24 a^{5} + 15 a^{4} + 11 a^{3} + 18 a^{2} + a\right)\cdot 43^{5} + \left(33 a^{20} + 42 a^{19} + 40 a^{18} + 28 a^{17} + 37 a^{15} + 21 a^{14} + 26 a^{13} + 14 a^{12} + 32 a^{11} + 22 a^{10} + 21 a^{9} + 2 a^{8} + 30 a^{7} + 26 a^{6} + 21 a^{5} + 26 a^{4} + 30 a^{3} + 38 a^{2} + 25 a\right)\cdot 43^{6} + \left(21 a^{20} + 26 a^{19} + 29 a^{18} + 33 a^{17} + 25 a^{16} + 41 a^{15} + 26 a^{14} + 4 a^{13} + 2 a^{12} + 36 a^{11} + 23 a^{10} + 15 a^{9} + 13 a^{8} + 20 a^{7} + 7 a^{6} + 15 a^{5} + 39 a^{4} + 18 a^{3} + 31 a^{2} + 40 a\right)\cdot 43^{7} + \left(3 a^{20} + 34 a^{19} + 19 a^{18} + 25 a^{17} + 4 a^{16} + 11 a^{15} + 25 a^{14} + 24 a^{13} + 6 a^{12} + 5 a^{11} + 32 a^{10} + 33 a^{9} + 39 a^{8} + 10 a^{7} + 11 a^{6} + 34 a^{5} + 33 a^{4} + 3 a^{3} + a^{2} + 40 a\right)\cdot 43^{8} + \left(2 a^{20} + 9 a^{19} + 3 a^{18} + 9 a^{17} + a^{16} + 36 a^{15} + 33 a^{14} + 10 a^{13} + 11 a^{12} + 16 a^{11} + 31 a^{10} + 31 a^{9} + 30 a^{8} + 21 a^{7} + 11 a^{6} + 19 a^{4} + 6 a^{3} + 31 a^{2} + 22 a\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\)
|
| $r_{ 40 }$ | $=$ |
\( 4 a^{20} + 31 a^{19} + 7 a^{18} + 5 a^{17} + 13 a^{16} + 19 a^{15} + 7 a^{14} + 3 a^{13} + 12 a^{12} + 33 a^{11} + 4 a^{10} + 7 a^{9} + 30 a^{8} + 11 a^{7} + 7 a^{6} + 42 a^{5} + a^{4} + 32 a^{3} + 26 a^{2} + 13 a + \left(27 a^{19} + 40 a^{18} + 30 a^{16} + 6 a^{15} + 40 a^{14} + 18 a^{13} + 36 a^{12} + 9 a^{11} + 7 a^{10} + 24 a^{9} + 21 a^{8} + 14 a^{7} + 4 a^{6} + 18 a^{5} + 5 a^{4} + a^{3} + 34 a^{2}\right)\cdot 43 + \left(13 a^{20} + 37 a^{19} + 41 a^{18} + 6 a^{16} + 8 a^{15} + 9 a^{14} + 25 a^{13} + 18 a^{12} + 3 a^{11} + 24 a^{10} + 13 a^{9} + 6 a^{8} + 35 a^{7} + 35 a^{6} + 8 a^{5} + 18 a^{4} + 30 a^{3} + 3 a^{2} + 23 a\right)\cdot 43^{2} + \left(a^{20} + 28 a^{19} + 30 a^{18} + 10 a^{17} + 34 a^{16} + 14 a^{15} + 20 a^{14} + 32 a^{13} + 25 a^{12} + 36 a^{11} + 27 a^{10} + 33 a^{9} + 6 a^{8} + 6 a^{7} + 19 a^{6} + 23 a^{5} + 28 a^{4} + 2 a^{3} + 10 a^{2} + 40 a\right)\cdot 43^{3} + \left(11 a^{20} + 37 a^{19} + 28 a^{18} + 3 a^{17} + 29 a^{16} + 12 a^{15} + 42 a^{14} + 12 a^{13} + 3 a^{12} + 18 a^{11} + 21 a^{10} + 5 a^{9} + 26 a^{8} + 35 a^{7} + 15 a^{6} + 12 a^{5} + 13 a^{4} + 17 a^{3} + 5 a^{2} + 32 a\right)\cdot 43^{4} + \left(23 a^{20} + 2 a^{19} + 26 a^{18} + 19 a^{17} + 14 a^{16} + 29 a^{15} + 23 a^{14} + 38 a^{13} + 12 a^{12} + 4 a^{11} + 18 a^{10} + 10 a^{9} + 18 a^{8} + 19 a^{7} + 2 a^{6} + 14 a^{5} + 9 a^{4} + 23 a^{3} + 29 a^{2} + 29 a\right)\cdot 43^{5} + \left(10 a^{20} + 31 a^{19} + 15 a^{18} + 29 a^{17} + 41 a^{16} + 10 a^{15} + a^{14} + 5 a^{13} + 18 a^{12} + 41 a^{11} + 4 a^{10} + 11 a^{9} + 13 a^{8} + 18 a^{7} + 33 a^{6} + 6 a^{5} + 2 a^{4} + 14 a^{3} + 21 a^{2} + 11 a\right)\cdot 43^{6} + \left(9 a^{20} + 20 a^{19} + 3 a^{18} + 10 a^{17} + 28 a^{15} + 30 a^{14} + 29 a^{13} + 39 a^{12} + 9 a^{11} + 2 a^{10} + 13 a^{9} + 39 a^{8} + 5 a^{7} + 11 a^{6} + 35 a^{5} + 38 a^{4} + 12 a^{3} + 10 a\right)\cdot 43^{7} + \left(31 a^{19} + 42 a^{18} + 29 a^{17} + 22 a^{16} + 11 a^{15} + a^{14} + 25 a^{13} + 22 a^{12} + 21 a^{11} + 28 a^{10} + 39 a^{9} + 8 a^{8} + 29 a^{7} + 6 a^{6} + 21 a^{5} + 12 a^{4} + a^{3} + 19 a^{2} + 9 a\right)\cdot 43^{8} + \left(27 a^{20} + 6 a^{19} + 6 a^{18} + 33 a^{17} + 31 a^{16} + 22 a^{15} + 15 a^{14} + 6 a^{13} + 18 a^{12} + 30 a^{11} + 3 a^{10} + 36 a^{9} + 32 a^{8} + 22 a^{7} + 5 a^{5} + 21 a^{4} + 7 a^{3} + 5 a^{2} + 21 a\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\)
|
| $r_{ 41 }$ | $=$ |
\( 31 a^{20} + 21 a^{19} + 26 a^{18} + 18 a^{17} + 23 a^{16} + 5 a^{15} + 42 a^{14} + 32 a^{13} + 3 a^{12} + 29 a^{11} + 9 a^{10} + 28 a^{9} + 27 a^{8} + 9 a^{7} + 18 a^{6} + 20 a^{5} + 17 a^{4} + 2 a^{3} + 22 a^{2} + 10 a + \left(18 a^{20} + 32 a^{19} + 17 a^{18} + 24 a^{17} + 4 a^{16} + 26 a^{15} + 41 a^{14} + 31 a^{12} + 19 a^{11} + 21 a^{10} + 34 a^{9} + 25 a^{8} + 10 a^{7} + 42 a^{6} + 41 a^{5} + 7 a^{4} + 7 a^{3} + 30 a^{2} + 37 a\right)\cdot 43 + \left(30 a^{20} + 14 a^{19} + a^{18} + a^{17} + 13 a^{16} + 26 a^{15} + 5 a^{14} + 16 a^{13} + 29 a^{12} + 31 a^{11} + 15 a^{10} + 29 a^{9} + 2 a^{8} + 30 a^{7} + 15 a^{6} + 21 a^{5} + 6 a^{4} + 20 a^{3} + 32 a^{2} + 4 a\right)\cdot 43^{2} + \left(14 a^{20} + 19 a^{19} + 18 a^{18} + 24 a^{17} + 36 a^{16} + 32 a^{15} + 36 a^{14} + 37 a^{13} + 37 a^{12} + 41 a^{11} + 12 a^{10} + 12 a^{9} + 38 a^{8} + 7 a^{7} + 34 a^{6} + 19 a^{5} + 20 a^{4} + 25 a^{3} + 15 a\right)\cdot 43^{3} + \left(36 a^{20} + 27 a^{19} + 39 a^{18} + 38 a^{17} + 19 a^{16} + 16 a^{15} + 35 a^{13} + 24 a^{12} + 24 a^{11} + 35 a^{10} + 35 a^{8} + 32 a^{7} + 14 a^{6} + 21 a^{5} + 5 a^{4} + 27 a^{3} + 20 a^{2} + 4 a\right)\cdot 43^{4} + \left(14 a^{20} + 22 a^{19} + 5 a^{18} + 18 a^{17} + 11 a^{16} + 27 a^{15} + 27 a^{14} + 18 a^{13} + 40 a^{12} + 30 a^{11} + 36 a^{10} + 19 a^{9} + 35 a^{8} + 29 a^{7} + 21 a^{6} + 42 a^{5} + a^{4} + 31 a^{3} + 27 a^{2} + 21 a\right)\cdot 43^{5} + \left(22 a^{20} + 38 a^{19} + 19 a^{18} + 41 a^{17} + 41 a^{16} + 21 a^{15} + 19 a^{14} + 17 a^{13} + 36 a^{12} + 24 a^{11} + 31 a^{10} + 41 a^{9} + a^{8} + 11 a^{7} + 14 a^{6} + 6 a^{5} + 3 a^{4} + 3 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a\right)\cdot 43^{6} + \left(21 a^{20} + 31 a^{19} + 19 a^{18} + 39 a^{17} + 23 a^{16} + 8 a^{15} + 39 a^{14} + 7 a^{13} + 21 a^{12} + 37 a^{11} + 36 a^{10} + 11 a^{9} + 39 a^{8} + 15 a^{7} + 12 a^{6} + 12 a^{5} + 30 a^{4} + 12 a^{3} + 22 a^{2} + 9 a\right)\cdot 43^{7} + \left(a^{20} + 25 a^{19} + 7 a^{18} + 11 a^{17} + 3 a^{16} + 3 a^{15} + 23 a^{14} + 24 a^{13} + 20 a^{12} + 17 a^{11} + 27 a^{10} + 39 a^{9} + 9 a^{8} + 24 a^{7} + 30 a^{6} + 11 a^{5} + 3 a^{4} + 13 a^{3} + 29 a^{2} + 27 a\right)\cdot 43^{8} + \left(37 a^{20} + 26 a^{19} + 24 a^{18} + 4 a^{17} + 17 a^{16} + 30 a^{15} + 18 a^{14} + 13 a^{13} + 26 a^{12} + 4 a^{11} + 41 a^{10} + 42 a^{9} + 21 a^{8} + 41 a^{7} + 8 a^{6} + 14 a^{5} + 41 a^{4} + 42 a^{3} + 30 a^{2} + 6 a\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\)
|
| $r_{ 42 }$ | $=$ |
\( 15 a^{20} + 14 a^{19} + 7 a^{18} + 8 a^{17} + 35 a^{16} + 19 a^{15} + 37 a^{14} + 18 a^{13} + 12 a^{12} + 27 a^{11} + 24 a^{10} + 7 a^{9} + 5 a^{8} + 23 a^{7} + 7 a^{6} + 7 a^{5} + 6 a^{4} + 32 a^{3} + 33 a^{2} + 35 a + \left(39 a^{20} + 28 a^{19} + 40 a^{18} + 6 a^{17} + 8 a^{16} + 6 a^{15} + 3 a^{14} + 35 a^{13} + 36 a^{12} + 3 a^{11} + 2 a^{10} + 24 a^{9} + 19 a^{8} + 18 a^{7} + 4 a^{6} + 29 a^{5} + 20 a^{4} + a^{3} + 17 a^{2}\right)\cdot 43 + \left(5 a^{20} + 21 a^{19} + 41 a^{18} + 35 a^{17} + 27 a^{16} + 8 a^{15} + 27 a^{14} + 28 a^{13} + 18 a^{12} + 7 a^{11} + 21 a^{10} + 13 a^{9} + 31 a^{8} + 20 a^{7} + 35 a^{6} + 20 a^{5} + 34 a^{4} + 30 a^{3} + 40 a^{2} + 38 a\right)\cdot 43^{2} + \left(31 a^{20} + 16 a^{19} + 30 a^{18} + 32 a^{17} + 10 a^{16} + 14 a^{15} + 29 a^{14} + 6 a^{13} + 25 a^{12} + 29 a^{11} + 17 a^{10} + 33 a^{9} + 24 a^{8} + 28 a^{7} + 19 a^{6} + 13 a^{5} + 20 a^{4} + 2 a^{3} + 27 a^{2} + 3 a\right)\cdot 43^{3} + \left(15 a^{20} + 13 a^{19} + 28 a^{18} + 23 a^{17} + 24 a^{16} + 12 a^{15} + 42 a^{14} + 8 a^{13} + 3 a^{12} + 11 a^{11} + 11 a^{10} + 5 a^{9} + 3 a^{8} + 18 a^{7} + 15 a^{6} + 32 a^{5} + 30 a^{4} + 17 a^{3} + 14 a^{2} + 16 a\right)\cdot 43^{4} + \left(32 a^{20} + 30 a^{19} + 26 a^{18} + 20 a^{17} + 4 a^{16} + 29 a^{15} + 34 a^{14} + 30 a^{13} + 12 a^{12} + 8 a^{11} + 32 a^{10} + 10 a^{9} + 40 a^{8} + 36 a^{7} + 2 a^{6} + 2 a^{5} + 3 a^{4} + 23 a^{3} + 39 a^{2} + 22 a\right)\cdot 43^{5} + \left(31 a^{20} + 2 a^{19} + 15 a^{18} + 29 a^{17} + 42 a^{16} + 10 a^{15} + 21 a^{14} + 38 a^{13} + 18 a^{12} + 16 a^{11} + 10 a^{10} + 11 a^{9} + 42 a^{8} + 12 a^{7} + 33 a^{6} + a^{5} + 18 a^{4} + 14 a^{3} + 31 a\right)\cdot 43^{6} + \left(13 a^{20} + 40 a^{19} + 3 a^{18} + 10 a^{17} + 14 a^{16} + 28 a^{15} + 16 a^{14} + 8 a^{13} + 39 a^{12} + 14 a^{11} + 26 a^{10} + 13 a^{9} + 18 a^{8} + 22 a^{7} + 11 a^{6} + 12 a^{5} + 31 a^{4} + 12 a^{3} + 12 a^{2} + 21 a\right)\cdot 43^{7} + \left(21 a^{20} + 15 a^{19} + 42 a^{18} + 28 a^{17} + 3 a^{16} + 11 a^{15} + 17 a^{14} + 40 a^{13} + 22 a^{12} + 12 a^{11} + 36 a^{10} + 39 a^{9} + 10 a^{8} + 32 a^{7} + 6 a^{6} + 29 a^{5} + 13 a^{4} + a^{3} + 41 a^{2} + 22 a\right)\cdot 43^{8} + \left(33 a^{20} + 31 a^{19} + 6 a^{18} + 21 a^{17} + 13 a^{16} + 22 a^{15} + 9 a^{14} + 18 a^{12} + 22 a^{10} + 36 a^{9} + 23 a^{8} + 21 a^{7} + 31 a^{5} + 32 a^{4} + 7 a^{3} + 9 a^{2} + 31 a\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\)
|
Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 42 }$
| Cycle notation |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on $r_1, \ldots, r_{ 42 }$ | Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $2$ |
| $3$ | $2$ | $(1,29)(2,16)(3,24)(4,32)(5,19)(6,27)(7,35)(8,22)(9,30)(10,38)(11,25)(12,33)(13,41)(14,28)(15,36)(17,31)(18,39)(20,34)(21,42)(23,37)(26,40)$ | $0$ |
| $2$ | $3$ | $(1,3,8)(2,37,39)(4,6,11)(5,40,42)(7,9,14)(10,12,17)(13,15,20)(16,18,23)(19,21,26)(22,24,29)(25,27,32)(28,30,35)(31,33,38)(34,36,41)$ | $-1$ |
| $1$ | $7$ | $(1,25,7,31,13,37,19)(2,26,8,32,14,38,20)(3,27,9,33,15,39,21)(4,28,10,34,16,40,22)(5,29,11,35,17,41,23)(6,30,12,36,18,42,24)$ | $2 \zeta_{7}^{5}$ |
| $1$ | $7$ | $(1,7,13,19,25,31,37)(2,8,14,20,26,32,38)(3,9,15,21,27,33,39)(4,10,16,22,28,34,40)(5,11,17,23,29,35,41)(6,12,18,24,30,36,42)$ | $2 \zeta_{7}^{3}$ |
| $1$ | $7$ | $(1,31,19,7,37,25,13)(2,32,20,8,38,26,14)(3,33,21,9,39,27,15)(4,34,22,10,40,28,16)(5,35,23,11,41,29,17)(6,36,24,12,42,30,18)$ | $2 \zeta_{7}$ |
| $1$ | $7$ | $(1,13,25,37,7,19,31)(2,14,26,38,8,20,32)(3,15,27,39,9,21,33)(4,16,28,40,10,22,34)(5,17,29,41,11,23,35)(6,18,30,42,12,24,36)$ | $-2 \zeta_{7}^{5} - 2 \zeta_{7}^{4} - 2 \zeta_{7}^{3} - 2 \zeta_{7}^{2} - 2 \zeta_{7} - 2$ |
| $1$ | $7$ | $(1,37,31,25,19,13,7)(2,38,32,26,20,14,8)(3,39,33,27,21,15,9)(4,40,34,28,22,16,10)(5,41,35,29,23,17,11)(6,42,36,30,24,18,12)$ | $2 \zeta_{7}^{4}$ |
| $1$ | $7$ | $(1,19,37,13,31,7,25)(2,20,38,14,32,8,26)(3,21,39,15,33,9,27)(4,22,40,16,34,10,28)(5,23,41,17,35,11,29)(6,24,42,18,36,12,30)$ | $2 \zeta_{7}^{2}$ |
| $3$ | $14$ | $(1,41,25,23,7,5,31,29,13,11,37,35,19,17)(2,28,26,10,8,34,32,16,14,40,38,22,20,4)(3,36,27,18,9,42,33,24,15,6,39,30,21,12)$ | $0$ |
| $3$ | $14$ | $(1,23,31,11,19,41,7,29,37,17,25,5,13,35)(2,10,32,40,20,28,8,16,38,4,26,34,14,22)(3,18,33,6,21,36,9,24,39,12,27,42,15,30)$ | $0$ |
| $3$ | $14$ | $(1,5,37,41,31,35,25,29,19,23,13,17,7,11)(2,34,38,28,32,22,26,16,20,10,14,4,8,40)(3,42,39,36,33,30,27,24,21,18,15,12,9,6)$ | $0$ |
| $3$ | $14$ | $(1,11,7,17,13,23,19,29,25,35,31,41,37,5)(2,40,8,4,14,10,20,16,26,22,32,28,38,34)(3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,42)$ | $0$ |
| $3$ | $14$ | $(1,35,13,5,25,17,37,29,7,41,19,11,31,23)(2,22,14,34,26,4,38,16,8,28,20,40,32,10)(3,30,15,42,27,12,39,24,9,36,21,6,33,18)$ | $0$ |
| $3$ | $14$ | $(1,17,19,35,37,11,13,29,31,5,7,23,25,41)(2,4,20,22,38,40,14,16,32,34,8,10,26,28)(3,12,21,30,39,6,15,24,33,42,9,18,27,36)$ | $0$ |
| $2$ | $21$ | $(1,27,14,31,15,2,19,3,32,7,33,20,37,21,8,25,9,38,13,39,26)(4,30,17,34,18,5,22,6,35,10,36,23,40,24,11,28,12,41,16,42,29)$ | $-\zeta_{7}^{5}$ |
| $2$ | $21$ | $(1,14,15,19,32,33,37,8,9,13,26,27,31,2,3,7,20,21,25,38,39)(4,17,18,22,35,36,40,11,12,16,29,30,34,5,6,10,23,24,28,41,42)$ | $-\zeta_{7}^{3}$ |
| $2$ | $21$ | $(1,15,32,37,9,26,31,3,20,25,39,14,19,33,8,13,27,2,7,21,38)(4,18,35,40,12,29,34,6,23,28,42,17,22,36,11,16,30,5,10,24,41)$ | $\zeta_{7}^{5} + \zeta_{7}^{4} + \zeta_{7}^{3} + \zeta_{7}^{2} + \zeta_{7} + 1$ |
| $2$ | $21$ | $(1,2,33,25,26,15,7,8,39,31,32,21,13,14,3,37,38,27,19,20,9)(4,5,36,28,29,18,10,11,42,34,35,24,16,17,6,40,41,30,22,23,12)$ | $-\zeta_{7}^{4}$ |
| $2$ | $21$ | $(1,33,26,7,39,32,13,3,38,19,9,2,25,15,8,31,21,14,37,27,20)(4,36,29,10,42,35,16,6,41,22,12,5,28,18,11,34,24,17,40,30,23)$ | $-\zeta_{7}$ |
| $2$ | $21$ | $(1,21,2,13,33,14,25,3,26,37,15,38,7,27,8,19,39,20,31,9,32)(4,24,5,16,36,17,28,6,29,40,18,41,10,30,11,22,42,23,34,12,35)$ | $-\zeta_{7}^{2}$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.