LMFDB - Artin representation 2.3328.24t65.a.d

Basic invariants

Dimension:	$2$
Group:	24T65
Conductor:	$3328$$\medspace = 2^{8} \cdot 13 $
Artin stem field:	Galois closure of 24.0.3852179415897489839182437154816.1
Galois orbit size:	$4$
Smallest permutation container:	24T65
Parity:	odd
Determinant:	1.104.6t1.d.a
Projective image:	$S_3$
Projective stem field:	Galois closure of 3.1.676.1

Defining polynomial

$f(x)$

$=$

$ x^{24} - 3x^{16} - 8x^{12} + 18x^{8} + 8x^{4} + 1 $

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 43 }$ to precision 10.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 43 }$: $ x^{12} + 34x^{7} + 27x^{6} + 16x^{5} + 17x^{4} + 6x^{3} + 23x^{2} + 38x + 3 $ x^12 + 34*x^7 + 27*x^6 + 16*x^5 + 17*x^4 + 6*x^3 + 23*x^2 + 38*x + 3

Roots:

$r_{ 1 }$	$=$	\( 19 a^{11} + 4 a^{10} + 42 a^{9} + 19 a^{8} + 39 a^{7} + 31 a^{6} + 17 a^{5} + 27 a^{4} + 34 a^{3} + 28 a^{2} + 6 a + 32 + \left(36 a^{11} + 4 a^{10} + 40 a^{9} + 41 a^{8} + 13 a^{7} + 10 a^{6} + 4 a^{5} + 14 a^{4} + 29 a^{3} + 23 a^{2} + 39 a + 30\right)\cdot 43 + \left(3 a^{11} + 26 a^{10} + 35 a^{9} + 8 a^{8} + 33 a^{7} + 23 a^{6} + 37 a^{5} + 32 a^{4} + 41 a^{3} + 19 a^{2} + 8 a + 22\right)\cdot 43^{2} + \left(37 a^{11} + 37 a^{10} + 7 a^{8} + 30 a^{7} + 15 a^{6} + 7 a^{5} + 14 a^{4} + 14 a^{3} + 30 a^{2} + 8 a + 22\right)\cdot 43^{3} + \left(9 a^{11} + 30 a^{10} + 10 a^{9} + 19 a^{8} + 40 a^{7} + 31 a^{6} + 15 a^{5} + 35 a^{4} + 18 a^{3} + 35 a^{2} + 18 a + 29\right)\cdot 43^{4} + \left(31 a^{11} + 40 a^{10} + 12 a^{9} + 33 a^{7} + 4 a^{6} + 21 a^{5} + 14 a^{4} + 11 a^{3} + 22 a^{2} + 8 a + 27\right)\cdot 43^{5} + \left(5 a^{11} + 35 a^{10} + a^{9} + 30 a^{8} + 39 a^{7} + 21 a^{6} + 26 a^{5} + 32 a^{4} + 7 a^{3} + 9 a^{2} + 18 a + 27\right)\cdot 43^{6} + \left(22 a^{11} + 8 a^{10} + 5 a^{9} + 12 a^{8} + 34 a^{7} + 38 a^{6} + 5 a^{4} + 3 a^{3} + 41 a^{2} + 12 a + 42\right)\cdot 43^{7} + \left(13 a^{11} + 7 a^{10} + 2 a^{9} + 34 a^{8} + 14 a^{7} + 30 a^{6} + 7 a^{5} + 10 a^{4} + 34 a^{3} + 27 a^{2} + 36 a + 40\right)\cdot 43^{8} + \left(19 a^{11} + 9 a^{10} + 28 a^{9} + 22 a^{8} + 36 a^{7} + 40 a^{6} + 13 a^{5} + 5 a^{4} + 24 a^{3} + 35 a^{2} + 24 a + 7\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\) 19a^11 + 4a^10 + 42a^9 + 19a^8 + 39a^7 + 31a^6 + 17a^5 + 27a^4 + 34a^3 + 28a^2 + 6a + 32 + (36a^11 + 4a^10 + 40a^9 + 41a^8 + 13a^7 + 10a^6 + 4a^5 + 14a^4 + 29a^3 + 23a^2 + 39a + 30)43 + (3a^11 + 26a^10 + 35a^9 + 8a^8 + 33a^7 + 23a^6 + 37a^5 + 32a^4 + 41a^3 + 19a^2 + 8a + 22)43^2 + (37a^11 + 37a^10 + 7a^8 + 30a^7 + 15a^6 + 7a^5 + 14a^4 + 14a^3 + 30a^2 + 8a + 22)43^3 + (9a^11 + 30a^10 + 10a^9 + 19a^8 + 40a^7 + 31a^6 + 15a^5 + 35a^4 + 18a^3 + 35a^2 + 18a + 29)43^4 + (31a^11 + 40a^10 + 12a^9 + 33a^7 + 4a^6 + 21a^5 + 14a^4 + 11a^3 + 22a^2 + 8a + 27)43^5 + (5a^11 + 35a^10 + a^9 + 30a^8 + 39a^7 + 21a^6 + 26a^5 + 32a^4 + 7a^3 + 9a^2 + 18a + 27)43^6 + (22a^11 + 8a^10 + 5a^9 + 12a^8 + 34a^7 + 38a^6 + 5a^4 + 3a^3 + 41a^2 + 12a + 42)43^7 + (13a^11 + 7a^10 + 2a^9 + 34a^8 + 14a^7 + 30a^6 + 7a^5 + 10a^4 + 34a^3 + 27a^2 + 36a + 40)43^8 + (19a^11 + 9a^10 + 28a^9 + 22a^8 + 36a^7 + 40a^6 + 13a^5 + 5a^4 + 24a^3 + 35a^2 + 24a + 7)*43^9+O(43^10)
$r_{ 2 }$	$=$	\( 17 a^{11} + 37 a^{10} + 42 a^{9} + 13 a^{8} + 40 a^{7} + 2 a^{6} + 35 a^{5} + 9 a^{4} + a^{3} + 32 a^{2} + 25 a + 5 + \left(22 a^{11} + 37 a^{10} + a^{9} + 39 a^{8} + 35 a^{7} + 3 a^{6} + 40 a^{5} + 12 a^{4} + 36 a^{3} + 12 a^{2} + 16 a + 25\right)\cdot 43 + \left(16 a^{11} + 32 a^{10} + 23 a^{9} + 26 a^{8} + 12 a^{7} + 22 a^{6} + 29 a^{5} + 35 a^{4} + 16 a^{3} + 42 a^{2} + a + 14\right)\cdot 43^{2} + \left(41 a^{11} + 35 a^{10} + 3 a^{9} + 15 a^{8} + 35 a^{7} + 23 a^{6} + 33 a^{5} + 26 a^{4} + 16 a^{3} + 39 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 43^{3} + \left(28 a^{11} + 40 a^{10} + 41 a^{9} + 14 a^{8} + 29 a^{7} + 26 a^{6} + 5 a^{5} + 17 a^{4} + 26 a^{3} + 9 a^{2} + a + 34\right)\cdot 43^{4} + \left(29 a^{11} + 8 a^{10} + 32 a^{9} + 40 a^{8} + 35 a^{7} + 24 a^{6} + 39 a^{5} + 24 a^{4} + 4 a^{3} + 35 a^{2} + 19 a + 36\right)\cdot 43^{5} + \left(19 a^{11} + 27 a^{10} + 38 a^{9} + 7 a^{8} + 21 a^{7} + 34 a^{6} + 35 a^{4} + a^{3} + 27 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 43^{6} + \left(30 a^{11} + 26 a^{9} + 2 a^{8} + 36 a^{7} + 6 a^{6} + 42 a^{5} + 11 a^{4} + 29 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 26\right)\cdot 43^{7} + \left(16 a^{11} + 27 a^{10} + 5 a^{9} + 3 a^{8} + 13 a^{7} + 3 a^{6} + 7 a^{4} + 18 a^{3} + 13 a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 43^{8} + \left(15 a^{11} + 5 a^{10} + 6 a^{9} + 8 a^{8} + 10 a^{7} + 27 a^{6} + 33 a^{5} + 30 a^{4} + 18 a^{3} + 33 a^{2} + 41 a\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\) 17a^11 + 37a^10 + 42a^9 + 13a^8 + 40a^7 + 2a^6 + 35a^5 + 9a^4 + a^3 + 32a^2 + 25a + 5 + (22a^11 + 37a^10 + a^9 + 39a^8 + 35a^7 + 3a^6 + 40a^5 + 12a^4 + 36a^3 + 12a^2 + 16a + 25)43 + (16a^11 + 32a^10 + 23a^9 + 26a^8 + 12a^7 + 22a^6 + 29a^5 + 35a^4 + 16a^3 + 42a^2 + a + 14)43^2 + (41a^11 + 35a^10 + 3a^9 + 15a^8 + 35a^7 + 23a^6 + 33a^5 + 26a^4 + 16a^3 + 39a^2 + 3a + 4)43^3 + (28a^11 + 40a^10 + 41a^9 + 14a^8 + 29a^7 + 26a^6 + 5a^5 + 17a^4 + 26a^3 + 9a^2 + a + 34)43^4 + (29a^11 + 8a^10 + 32a^9 + 40a^8 + 35a^7 + 24a^6 + 39a^5 + 24a^4 + 4a^3 + 35a^2 + 19a + 36)43^5 + (19a^11 + 27a^10 + 38a^9 + 7a^8 + 21a^7 + 34a^6 + 35a^4 + a^3 + 27a^2 + 2a + 7)43^6 + (30a^11 + 26a^9 + 2a^8 + 36a^7 + 6a^6 + 42a^5 + 11a^4 + 29a^3 + 6a^2 + 8a + 26)43^7 + (16a^11 + 27a^10 + 5a^9 + 3a^8 + 13a^7 + 3a^6 + 7a^4 + 18a^3 + 13a^2 + 16a + 1)43^8 + (15a^11 + 5a^10 + 6a^9 + 8a^8 + 10a^7 + 27a^6 + 33a^5 + 30a^4 + 18a^3 + 33a^2 + 41a)*43^9+O(43^10)
$r_{ 3 }$	$=$	\( 41 a^{11} + 5 a^{10} + 4 a^{9} + 32 a^{8} + 16 a^{7} + 3 a^{6} + 28 a^{5} + 4 a^{4} + 29 a^{3} + 18 a^{2} + 13 a + 10 + \left(4 a^{11} + 37 a^{10} + 31 a^{9} + 13 a^{8} + 37 a^{7} + 36 a^{6} + 18 a^{5} + 30 a^{3} + 22 a^{2} + 12 a + 42\right)\cdot 43 + \left(4 a^{11} + 23 a^{10} + 11 a^{9} + 6 a^{8} + 19 a^{7} + 38 a^{6} + 5 a^{5} + 42 a^{4} + 13 a^{3} + 31 a + 20\right)\cdot 43^{2} + \left(40 a^{11} + 10 a^{10} + 29 a^{9} + 41 a^{8} + a^{7} + 14 a^{6} + 28 a^{5} + 41 a^{4} + 8 a^{3} + 24 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 43^{3} + \left(42 a^{11} + 34 a^{10} + 36 a^{9} + 32 a^{8} + 8 a^{7} + 39 a^{6} + 7 a^{5} + 4 a^{4} + 28 a^{3} + 21 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 43^{4} + \left(27 a^{11} + 13 a^{10} + 34 a^{9} + 27 a^{8} + 8 a^{7} + 36 a^{6} + 11 a^{5} + 9 a^{4} + 10 a^{3} + 13 a + 2\right)\cdot 43^{5} + \left(11 a^{11} + 35 a^{10} + 16 a^{9} + 21 a^{8} + 15 a^{7} + 11 a^{6} + 8 a^{5} + 3 a^{4} + 37 a^{3} + 39 a^{2} + 22 a + 17\right)\cdot 43^{6} + \left(27 a^{10} + 31 a^{9} + 31 a^{8} + 32 a^{7} + 30 a^{6} + 5 a^{5} + 16 a^{4} + 35 a^{3} + a^{2} + 28 a + 14\right)\cdot 43^{7} + \left(27 a^{11} + 23 a^{10} + 26 a^{9} + 27 a^{8} + 33 a^{7} + 41 a^{6} + 42 a^{5} + 21 a^{4} + 9 a^{2} + 41 a + 11\right)\cdot 43^{8} + \left(42 a^{11} + 32 a^{10} + 15 a^{9} + 13 a^{8} + 4 a^{7} + 3 a^{6} + 17 a^{5} + 36 a^{4} + 17 a^{3} + 27 a + 42\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\) 41a^11 + 5a^10 + 4a^9 + 32a^8 + 16a^7 + 3a^6 + 28a^5 + 4a^4 + 29a^3 + 18a^2 + 13a + 10 + (4a^11 + 37a^10 + 31a^9 + 13a^8 + 37a^7 + 36a^6 + 18a^5 + 30a^3 + 22a^2 + 12a + 42)43 + (4a^11 + 23a^10 + 11a^9 + 6a^8 + 19a^7 + 38a^6 + 5a^5 + 42a^4 + 13a^3 + 31a + 20)43^2 + (40a^11 + 10a^10 + 29a^9 + 41a^8 + a^7 + 14a^6 + 28a^5 + 41a^4 + 8a^3 + 24a^2 + 6a + 5)43^3 + (42a^11 + 34a^10 + 36a^9 + 32a^8 + 8a^7 + 39a^6 + 7a^5 + 4a^4 + 28a^3 + 21a^2 + 6a + 3)43^4 + (27a^11 + 13a^10 + 34a^9 + 27a^8 + 8a^7 + 36a^6 + 11a^5 + 9a^4 + 10a^3 + 13a + 2)43^5 + (11a^11 + 35a^10 + 16a^9 + 21a^8 + 15a^7 + 11a^6 + 8a^5 + 3a^4 + 37a^3 + 39a^2 + 22a + 17)43^6 + (27a^10 + 31a^9 + 31a^8 + 32a^7 + 30a^6 + 5a^5 + 16a^4 + 35a^3 + a^2 + 28a + 14)43^7 + (27a^11 + 23a^10 + 26a^9 + 27a^8 + 33a^7 + 41a^6 + 42a^5 + 21a^4 + 9a^2 + 41a + 11)43^8 + (42a^11 + 32a^10 + 15a^9 + 13a^8 + 4a^7 + 3a^6 + 17a^5 + 36a^4 + 17a^3 + 27a + 42)*43^9+O(43^10)
$r_{ 4 }$	$=$	\( 9 a^{11} + 20 a^{10} + 14 a^{9} + 38 a^{8} + 8 a^{7} + 13 a^{6} + 12 a^{5} + 30 a^{4} + 21 a^{3} + 40 a^{2} + 19 a + 20 + \left(12 a^{11} + 18 a^{10} + 3 a^{9} + 10 a^{8} + 22 a^{7} + 18 a^{6} + 29 a^{5} + 19 a^{4} + 18 a^{3} + 24 a^{2} + 40\right)\cdot 43 + \left(20 a^{11} + 40 a^{10} + 3 a^{9} + 5 a^{8} + 5 a^{7} + 8 a^{6} + 22 a^{5} + 22 a^{4} + 14 a^{3} + 31 a^{2} + 25 a + 27\right)\cdot 43^{2} + \left(22 a^{11} + 6 a^{10} + 12 a^{9} + 33 a^{8} + 37 a^{7} + 18 a^{6} + 13 a^{5} + 31 a^{4} + 35 a^{3} + 41 a^{2} + 7\right)\cdot 43^{3} + \left(16 a^{11} + 25 a^{10} + 38 a^{9} + 28 a^{8} + 42 a^{7} + 17 a^{6} + 33 a^{5} + 37 a^{4} + 3 a^{3} + 36 a^{2} + 7 a + 32\right)\cdot 43^{4} + \left(20 a^{11} + 4 a^{10} + 10 a^{9} + 33 a^{8} + a^{6} + 38 a^{5} + 10 a^{4} + 23 a^{3} + 31 a + 9\right)\cdot 43^{5} + \left(13 a^{11} + 11 a^{10} + 16 a^{9} + 7 a^{8} + 31 a^{7} + 8 a^{6} + 12 a^{5} + 3 a^{4} + a^{3} + 7 a^{2} + 38 a + 1\right)\cdot 43^{6} + \left(9 a^{11} + 27 a^{10} + 8 a^{9} + 4 a^{8} + 18 a^{7} + 3 a^{6} + 24 a^{5} + 21 a^{4} + 29 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 35\right)\cdot 43^{7} + \left(31 a^{11} + 33 a^{10} + 10 a^{9} + 10 a^{8} + 13 a^{7} + 12 a^{6} + 19 a^{5} + 27 a^{4} + 15 a^{3} + 21 a^{2} + 21\right)\cdot 43^{8} + \left(28 a^{11} + 15 a^{9} + 35 a^{8} + 22 a^{7} + a^{6} + 38 a^{5} + 30 a^{4} + 32 a^{3} + 28 a^{2} + 14 a + 35\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\) 9a^11 + 20a^10 + 14a^9 + 38a^8 + 8a^7 + 13a^6 + 12a^5 + 30a^4 + 21a^3 + 40a^2 + 19a + 20 + (12a^11 + 18a^10 + 3a^9 + 10a^8 + 22a^7 + 18a^6 + 29a^5 + 19a^4 + 18a^3 + 24a^2 + 40)43 + (20a^11 + 40a^10 + 3a^9 + 5a^8 + 5a^7 + 8a^6 + 22a^5 + 22a^4 + 14a^3 + 31a^2 + 25a + 27)43^2 + (22a^11 + 6a^10 + 12a^9 + 33a^8 + 37a^7 + 18a^6 + 13a^5 + 31a^4 + 35a^3 + 41a^2 + 7)43^3 + (16a^11 + 25a^10 + 38a^9 + 28a^8 + 42a^7 + 17a^6 + 33a^5 + 37a^4 + 3a^3 + 36a^2 + 7a + 32)43^4 + (20a^11 + 4a^10 + 10a^9 + 33a^8 + a^6 + 38a^5 + 10a^4 + 23a^3 + 31a + 9)43^5 + (13a^11 + 11a^10 + 16a^9 + 7a^8 + 31a^7 + 8a^6 + 12a^5 + 3a^4 + a^3 + 7a^2 + 38a + 1)43^6 + (9a^11 + 27a^10 + 8a^9 + 4a^8 + 18a^7 + 3a^6 + 24a^5 + 21a^4 + 29a^3 + 7a^2 + 5a + 35)43^7 + (31a^11 + 33a^10 + 10a^9 + 10a^8 + 13a^7 + 12a^6 + 19a^5 + 27a^4 + 15a^3 + 21a^2 + 21)43^8 + (28a^11 + 15a^9 + 35a^8 + 22a^7 + a^6 + 38a^5 + 30a^4 + 32a^3 + 28a^2 + 14a + 35)43^9+O(43^10)
$r_{ 5 }$	$=$	\( 11 a^{11} + 42 a^{10} + 26 a^{9} + 20 a^{8} + 3 a^{7} + 20 a^{6} + 12 a^{5} + 12 a^{4} + 33 a^{3} + 19 a^{2} + 22 a + 19 + \left(36 a^{11} + 34 a^{10} + 17 a^{9} + 36 a^{8} + 5 a^{7} + 24 a^{6} + 29 a^{5} + 20 a^{4} + 15 a^{3} + a^{2} + 26 a + 8\right)\cdot 43 + \left(23 a^{11} + 16 a^{10} + 22 a^{9} + 39 a^{8} + 33 a^{7} + 15 a^{6} + 27 a^{5} + 19 a^{4} + 12 a^{3} + 8 a^{2} + 27 a + 39\right)\cdot 43^{2} + \left(13 a^{11} + 21 a^{10} + 9 a^{9} + 39 a^{8} + 6 a^{7} + 31 a^{6} + 14 a^{5} + 37 a^{4} + 33 a^{3} + 14 a^{2} + a + 5\right)\cdot 43^{3} + \left(42 a^{11} + 11 a^{10} + 16 a^{9} + 34 a^{8} + 39 a^{7} + 32 a^{6} + 38 a^{5} + 22 a^{4} + 4 a^{3} + 36 a^{2} + 26 a + 21\right)\cdot 43^{4} + \left(24 a^{11} + 21 a^{10} + 36 a^{9} + 35 a^{8} + 32 a^{7} + 40 a^{6} + 37 a^{5} + 25 a^{4} + 22 a^{3} + 16 a^{2} + 35 a + 38\right)\cdot 43^{5} + \left(13 a^{11} + 39 a^{10} + 11 a^{9} + 39 a^{8} + 27 a^{7} + 30 a^{6} + 40 a^{5} + 18 a^{4} + 15 a^{3} + 3 a^{2} + 29 a + 1\right)\cdot 43^{6} + \left(5 a^{11} + 38 a^{10} + 12 a^{9} + 16 a^{8} + a^{7} + 42 a^{6} + 19 a^{5} + 4 a^{4} + 14 a^{3} + 26 a^{2} + 35 a + 40\right)\cdot 43^{7} + \left(12 a^{11} + 30 a^{10} + 5 a^{9} + 2 a^{8} + 4 a^{7} + 8 a^{6} + 38 a^{5} + 33 a^{4} + 25 a^{3} + 13 a^{2} + 15 a + 1\right)\cdot 43^{8} + \left(5 a^{11} + a^{10} + 22 a^{9} + 19 a^{8} + 16 a^{7} + 9 a^{6} + 29 a^{5} + 40 a^{4} + 14 a^{3} + 27 a^{2} + 19 a + 7\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\) 11a^11 + 42a^10 + 26a^9 + 20a^8 + 3a^7 + 20a^6 + 12a^5 + 12a^4 + 33a^3 + 19a^2 + 22a + 19 + (36a^11 + 34a^10 + 17a^9 + 36a^8 + 5a^7 + 24a^6 + 29a^5 + 20a^4 + 15a^3 + a^2 + 26a + 8)43 + (23a^11 + 16a^10 + 22a^9 + 39a^8 + 33a^7 + 15a^6 + 27a^5 + 19a^4 + 12a^3 + 8a^2 + 27a + 39)43^2 + (13a^11 + 21a^10 + 9a^9 + 39a^8 + 6a^7 + 31a^6 + 14a^5 + 37a^4 + 33a^3 + 14a^2 + a + 5)43^3 + (42a^11 + 11a^10 + 16a^9 + 34a^8 + 39a^7 + 32a^6 + 38a^5 + 22a^4 + 4a^3 + 36a^2 + 26a + 21)43^4 + (24a^11 + 21a^10 + 36a^9 + 35a^8 + 32a^7 + 40a^6 + 37a^5 + 25a^4 + 22a^3 + 16a^2 + 35a + 38)43^5 + (13a^11 + 39a^10 + 11a^9 + 39a^8 + 27a^7 + 30a^6 + 40a^5 + 18a^4 + 15a^3 + 3a^2 + 29a + 1)43^6 + (5a^11 + 38a^10 + 12a^9 + 16a^8 + a^7 + 42a^6 + 19a^5 + 4a^4 + 14a^3 + 26a^2 + 35a + 40)43^7 + (12a^11 + 30a^10 + 5a^9 + 2a^8 + 4a^7 + 8a^6 + 38a^5 + 33a^4 + 25a^3 + 13a^2 + 15a + 1)43^8 + (5a^11 + a^10 + 22a^9 + 19a^8 + 16a^7 + 9a^6 + 29a^5 + 40a^4 + 14a^3 + 27a^2 + 19a + 7)*43^9+O(43^10)
$r_{ 6 }$	$=$	\( 31 a^{11} + 26 a^{10} + 2 a^{9} + 29 a^{8} + 4 a^{7} + 34 a^{6} + 6 a^{5} + 20 a^{4} + 8 a^{3} + 18 a^{2} + 30 a + 36 + \left(5 a^{11} + 27 a^{10} + 33 a^{9} + 4 a^{8} + 36 a^{7} + 34 a^{6} + 19 a^{5} + 21 a^{4} + 19 a^{3} + 40 a^{2} + 30 a\right)\cdot 43 + \left(14 a^{11} + 27 a^{10} + 15 a^{9} + 15 a^{8} + 5 a^{7} + 19 a^{6} + 21 a^{5} + 27 a^{3} + 17 a^{2} + 14 a + 39\right)\cdot 43^{2} + \left(18 a^{11} + 30 a^{10} + 23 a^{9} + 38 a^{8} + 28 a^{7} + 8 a^{6} + 8 a^{5} + 14 a^{4} + 40 a^{3} + 38 a^{2} + 29 a\right)\cdot 43^{3} + \left(24 a^{11} + 33 a^{10} + 16 a^{9} + 27 a^{8} + 40 a^{7} + 33 a^{6} + 16 a^{4} + 15 a^{3} + 19 a^{2} + 6 a + 24\right)\cdot 43^{4} + \left(40 a^{11} + 31 a^{10} + 17 a^{9} + 10 a^{8} + 39 a^{7} + 5 a^{6} + 31 a^{5} + 9 a^{4} + 38 a^{3} + 40 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 43^{5} + \left(39 a^{11} + 39 a^{10} + 11 a^{9} + 10 a^{8} + 26 a^{7} + 27 a^{6} + 25 a^{5} + 26 a^{4} + 13 a^{3} + 42 a^{2} + 26 a + 42\right)\cdot 43^{6} + \left(9 a^{11} + 17 a^{10} + 11 a^{9} + 39 a^{8} + 29 a^{7} + a^{6} + 28 a^{5} + 3 a^{4} + 2 a^{3} + 23 a^{2} + 37 a + 42\right)\cdot 43^{7} + \left(32 a^{11} + 20 a^{10} + 24 a^{9} + 20 a^{8} + 34 a^{7} + 20 a^{6} + 27 a^{5} + 7 a^{4} + 23 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 31\right)\cdot 43^{8} + \left(16 a^{11} + 28 a^{10} + 18 a^{9} + 36 a^{8} + 28 a^{7} + 22 a^{6} + 36 a^{5} + 31 a^{4} + 16 a^{3} + 15 a^{2} + 26 a + 33\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\) 31a^11 + 26a^10 + 2a^9 + 29a^8 + 4a^7 + 34a^6 + 6a^5 + 20a^4 + 8a^3 + 18a^2 + 30a + 36 + (5a^11 + 27a^10 + 33a^9 + 4a^8 + 36a^7 + 34a^6 + 19a^5 + 21a^4 + 19a^3 + 40a^2 + 30a)43 + (14a^11 + 27a^10 + 15a^9 + 15a^8 + 5a^7 + 19a^6 + 21a^5 + 27a^3 + 17a^2 + 14a + 39)43^2 + (18a^11 + 30a^10 + 23a^9 + 38a^8 + 28a^7 + 8a^6 + 8a^5 + 14a^4 + 40a^3 + 38a^2 + 29a)43^3 + (24a^11 + 33a^10 + 16a^9 + 27a^8 + 40a^7 + 33a^6 + 16a^4 + 15a^3 + 19a^2 + 6a + 24)43^4 + (40a^11 + 31a^10 + 17a^9 + 10a^8 + 39a^7 + 5a^6 + 31a^5 + 9a^4 + 38a^3 + 40a^2 + 11a + 3)43^5 + (39a^11 + 39a^10 + 11a^9 + 10a^8 + 26a^7 + 27a^6 + 25a^5 + 26a^4 + 13a^3 + 42a^2 + 26a + 42)43^6 + (9a^11 + 17a^10 + 11a^9 + 39a^8 + 29a^7 + a^6 + 28a^5 + 3a^4 + 2a^3 + 23a^2 + 37a + 42)43^7 + (32a^11 + 20a^10 + 24a^9 + 20a^8 + 34a^7 + 20a^6 + 27a^5 + 7a^4 + 23a^3 + 10a^2 + 2a + 31)43^8 + (16a^11 + 28a^10 + 18a^9 + 36a^8 + 28a^7 + 22a^6 + 36a^5 + 31a^4 + 16a^3 + 15a^2 + 26a + 33)43^9+O(43^10)
$r_{ 7 }$	$=$	\( 27 a^{11} + 3 a^{10} + 29 a^{9} + 13 a^{8} + 37 a^{7} + 21 a^{6} + 28 a^{5} + 8 a^{4} + 39 a^{3} + 6 a^{2} + 41 a + 30 + \left(23 a^{11} + 5 a^{10} + 23 a^{9} + 11 a^{8} + 21 a^{7} + 39 a^{6} + 40 a^{5} + 17 a^{4} + 8 a^{3} + 2 a^{2} + 33 a + 37\right)\cdot 43 + \left(12 a^{11} + 10 a^{10} + 27 a^{9} + 3 a^{8} + 34 a^{7} + 28 a^{6} + 15 a^{5} + 26 a^{4} + 15 a^{3} + 13 a^{2} + 20 a + 27\right)\cdot 43^{2} + \left(35 a^{11} + 31 a^{10} + 17 a^{9} + 31 a^{8} + 42 a^{7} + 3 a^{6} + 25 a^{5} + 21 a^{4} + 21 a^{3} + 40 a^{2} + 3 a + 20\right)\cdot 43^{3} + \left(39 a^{11} + 5 a^{10} + 15 a^{9} + 24 a^{8} + 30 a^{7} + 33 a^{6} + 6 a^{5} + 4 a^{4} + 35 a^{2} + 27 a + 41\right)\cdot 43^{4} + \left(15 a^{11} + 41 a^{10} + 25 a^{9} + 23 a^{8} + 17 a^{7} + 19 a^{6} + 38 a^{4} + 5 a^{3} + 23 a^{2} + 16 a + 4\right)\cdot 43^{5} + \left(11 a^{11} + 42 a^{10} + 22 a^{9} + 41 a^{8} + 42 a^{7} + 21 a^{6} + 24 a^{5} + 42 a^{4} + 15 a^{3} + 39 a^{2} + 21 a + 14\right)\cdot 43^{6} + \left(20 a^{11} + 21 a^{10} + 41 a^{9} + 21 a^{8} + 14 a^{7} + 7 a^{6} + 14 a^{5} + 34 a^{4} + 6 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 43^{7} + \left(37 a^{11} + 19 a^{9} + 24 a^{8} + 8 a^{7} + 39 a^{6} + 23 a^{5} + 27 a^{4} + 26 a^{3} + 20 a^{2} + 29 a + 17\right)\cdot 43^{8} + \left(17 a^{11} + 5 a^{10} + 21 a^{9} + 10 a^{8} + 9 a^{7} + 35 a^{6} + a^{5} + 25 a^{4} + 5 a^{3} + 26 a^{2} + 34 a + 20\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\) 27a^11 + 3a^10 + 29a^9 + 13a^8 + 37a^7 + 21a^6 + 28a^5 + 8a^4 + 39a^3 + 6a^2 + 41a + 30 + (23a^11 + 5a^10 + 23a^9 + 11a^8 + 21a^7 + 39a^6 + 40a^5 + 17a^4 + 8a^3 + 2a^2 + 33a + 37)43 + (12a^11 + 10a^10 + 27a^9 + 3a^8 + 34a^7 + 28a^6 + 15a^5 + 26a^4 + 15a^3 + 13a^2 + 20a + 27)43^2 + (35a^11 + 31a^10 + 17a^9 + 31a^8 + 42a^7 + 3a^6 + 25a^5 + 21a^4 + 21a^3 + 40a^2 + 3a + 20)43^3 + (39a^11 + 5a^10 + 15a^9 + 24a^8 + 30a^7 + 33a^6 + 6a^5 + 4a^4 + 35a^2 + 27a + 41)43^4 + (15a^11 + 41a^10 + 25a^9 + 23a^8 + 17a^7 + 19a^6 + 38a^4 + 5a^3 + 23a^2 + 16a + 4)43^5 + (11a^11 + 42a^10 + 22a^9 + 41a^8 + 42a^7 + 21a^6 + 24a^5 + 42a^4 + 15a^3 + 39a^2 + 21a + 14)43^6 + (20a^11 + 21a^10 + 41a^9 + 21a^8 + 14a^7 + 7a^6 + 14a^5 + 34a^4 + 6a^2 + 5a + 4)43^7 + (37a^11 + 19a^9 + 24a^8 + 8a^7 + 39a^6 + 23a^5 + 27a^4 + 26a^3 + 20a^2 + 29a + 17)43^8 + (17a^11 + 5a^10 + 21a^9 + 10a^8 + 9a^7 + 35a^6 + a^5 + 25a^4 + 5a^3 + 26a^2 + 34a + 20)43^9+O(43^10)
$r_{ 8 }$	$=$	\( 39 a^{11} + 5 a^{10} + 36 a^{9} + 36 a^{8} + 26 a^{7} + 8 a^{6} + 18 a^{5} + 34 a^{4} + 9 a^{3} + 40 a^{2} + 10 a + 33 + \left(17 a^{11} + 11 a^{10} + 24 a^{9} + 20 a^{8} + 32 a^{7} + 12 a^{6} + 2 a^{5} + 26 a^{4} + 28 a^{3} + 26 a^{2} + 23 a + 12\right)\cdot 43 + \left(17 a^{11} + 41 a^{10} + a^{9} + 24 a^{8} + 14 a^{7} + 16 a^{6} + 5 a^{5} + 13 a^{4} + 16 a^{3} + 35 a^{2} + 27 a + 40\right)\cdot 43^{2} + \left(12 a^{11} + 26 a^{10} + 4 a^{9} + 37 a^{8} + a^{7} + 23 a^{6} + 5 a^{5} + 2 a^{4} + 38 a^{3} + 34 a^{2} + 28 a + 33\right)\cdot 43^{3} + \left(17 a^{11} + 20 a^{10} + 32 a^{9} + 24 a^{8} + 8 a^{7} + 28 a^{6} + 2 a^{5} + 12 a^{4} + 24 a^{3} + 39 a^{2} + 30 a + 12\right)\cdot 43^{4} + \left(41 a^{11} + 12 a^{10} + 33 a^{9} + 21 a^{8} + 6 a^{7} + 25 a^{6} + 22 a^{5} + 3 a^{4} + 10 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 34\right)\cdot 43^{5} + \left(a^{11} + 36 a^{10} + 42 a^{9} + 33 a^{8} + 17 a^{7} + a^{6} + 8 a^{5} + 40 a^{4} + 39 a^{3} + 40 a^{2} + 27 a + 7\right)\cdot 43^{6} + \left(18 a^{11} + 28 a^{10} + 4 a^{9} + 3 a^{8} + 41 a^{7} + 10 a^{6} + a^{5} + 4 a^{4} + 13 a^{3} + 19 a^{2} + 23 a + 19\right)\cdot 43^{7} + \left(14 a^{11} + 32 a^{10} + 20 a^{9} + 39 a^{8} + 11 a^{7} + 26 a^{6} + 27 a^{5} + 2 a^{4} + 27 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 24\right)\cdot 43^{8} + \left(25 a^{11} + 6 a^{10} + 6 a^{9} + 23 a^{8} + 22 a^{7} + 12 a^{6} + 4 a^{5} + 11 a^{4} + 33 a^{3} + 3 a^{2} + 32 a + 27\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\) 39a^11 + 5a^10 + 36a^9 + 36a^8 + 26a^7 + 8a^6 + 18a^5 + 34a^4 + 9a^3 + 40a^2 + 10a + 33 + (17a^11 + 11a^10 + 24a^9 + 20a^8 + 32a^7 + 12a^6 + 2a^5 + 26a^4 + 28a^3 + 26a^2 + 23a + 12)43 + (17a^11 + 41a^10 + a^9 + 24a^8 + 14a^7 + 16a^6 + 5a^5 + 13a^4 + 16a^3 + 35a^2 + 27a + 40)43^2 + (12a^11 + 26a^10 + 4a^9 + 37a^8 + a^7 + 23a^6 + 5a^5 + 2a^4 + 38a^3 + 34a^2 + 28a + 33)43^3 + (17a^11 + 20a^10 + 32a^9 + 24a^8 + 8a^7 + 28a^6 + 2a^5 + 12a^4 + 24a^3 + 39a^2 + 30a + 12)43^4 + (41a^11 + 12a^10 + 33a^9 + 21a^8 + 6a^7 + 25a^6 + 22a^5 + 3a^4 + 10a^3 + 6a^2 + 10a + 34)43^5 + (a^11 + 36a^10 + 42a^9 + 33a^8 + 17a^7 + a^6 + 8a^5 + 40a^4 + 39a^3 + 40a^2 + 27a + 7)43^6 + (18a^11 + 28a^10 + 4a^9 + 3a^8 + 41a^7 + 10a^6 + a^5 + 4a^4 + 13a^3 + 19a^2 + 23a + 19)43^7 + (14a^11 + 32a^10 + 20a^9 + 39a^8 + 11a^7 + 26a^6 + 27a^5 + 2a^4 + 27a^3 + 9a^2 + 12a + 24)43^8 + (25a^11 + 6a^10 + 6a^9 + 23a^8 + 22a^7 + 12a^6 + 4a^5 + 11a^4 + 33a^3 + 3a^2 + 32a + 27)43^9+O(43^10)
$r_{ 9 }$	$=$	\( 20 a^{11} + 28 a^{10} + 31 a^{9} + 37 a^{8} + 29 a^{7} + 21 a^{6} + 28 a^{5} + 17 a^{4} + 19 a^{3} + 4 a^{2} + 31 a + 18 + \left(36 a^{11} + a^{10} + 37 a^{9} + 3 a^{8} + 7 a^{7} + 40 a^{6} + 26 a^{5} + 21 a^{4} + 27 a^{3} + 19 a^{2} + 31 a + 12\right)\cdot 43 + \left(a^{11} + 6 a^{10} + 16 a^{9} + 7 a^{8} + 8 a^{7} + 19 a^{6} + 14 a^{5} + 33 a^{4} + 13 a^{3} + 37 a^{2} + 9 a + 30\right)\cdot 43^{2} + \left(37 a^{11} + 26 a^{10} + 38 a^{9} + 4 a^{8} + 21 a^{7} + 3 a^{6} + 19 a^{5} + 30 a^{4} + 6 a^{3} + 23 a^{2} + 23 a + 25\right)\cdot 43^{3} + \left(19 a^{11} + 18 a^{10} + 20 a^{9} + 22 a^{8} + 4 a^{7} + 24 a^{6} + 24 a^{5} + a^{4} + 10 a^{3} + 16 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 43^{4} + \left(25 a^{11} + 36 a^{10} + 3 a^{9} + 28 a^{8} + 5 a^{7} + 16 a^{6} + 31 a^{5} + a^{4} + 18 a^{3} + 38 a^{2} + 42 a + 24\right)\cdot 43^{5} + \left(39 a^{11} + 30 a^{10} + 34 a^{9} + 39 a^{8} + 7 a^{7} + 27 a^{6} + 31 a^{5} + 5 a^{4} + 26 a^{3} + 13 a^{2} + 8 a + 25\right)\cdot 43^{6} + \left(19 a^{11} + 31 a^{10} + 35 a^{9} + 23 a^{8} + 34 a^{7} + 33 a^{6} + 3 a^{5} + 23 a^{4} + 3 a^{3} + 11 a^{2} + 40 a + 24\right)\cdot 43^{7} + \left(9 a^{11} + 9 a^{10} + 5 a^{9} + 16 a^{8} + 5 a^{7} + 38 a^{6} + 39 a^{5} + 38 a^{4} + 29 a^{3} + 19 a^{2} + 39 a + 29\right)\cdot 43^{8} + \left(9 a^{11} + 35 a^{10} + 6 a^{9} + 3 a^{8} + 39 a^{7} + 18 a^{6} + 35 a^{5} + 17 a^{4} + 3 a^{3} + 3 a^{2} + 24 a + 11\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\) 20a^11 + 28a^10 + 31a^9 + 37a^8 + 29a^7 + 21a^6 + 28a^5 + 17a^4 + 19a^3 + 4a^2 + 31a + 18 + (36a^11 + a^10 + 37a^9 + 3a^8 + 7a^7 + 40a^6 + 26a^5 + 21a^4 + 27a^3 + 19a^2 + 31a + 12)43 + (a^11 + 6a^10 + 16a^9 + 7a^8 + 8a^7 + 19a^6 + 14a^5 + 33a^4 + 13a^3 + 37a^2 + 9a + 30)43^2 + (37a^11 + 26a^10 + 38a^9 + 4a^8 + 21a^7 + 3a^6 + 19a^5 + 30a^4 + 6a^3 + 23a^2 + 23a + 25)43^3 + (19a^11 + 18a^10 + 20a^9 + 22a^8 + 4a^7 + 24a^6 + 24a^5 + a^4 + 10a^3 + 16a^2 + 14a + 15)43^4 + (25a^11 + 36a^10 + 3a^9 + 28a^8 + 5a^7 + 16a^6 + 31a^5 + a^4 + 18a^3 + 38a^2 + 42a + 24)43^5 + (39a^11 + 30a^10 + 34a^9 + 39a^8 + 7a^7 + 27a^6 + 31a^5 + 5a^4 + 26a^3 + 13a^2 + 8a + 25)43^6 + (19a^11 + 31a^10 + 35a^9 + 23a^8 + 34a^7 + 33a^6 + 3a^5 + 23a^4 + 3a^3 + 11a^2 + 40a + 24)43^7 + (9a^11 + 9a^10 + 5a^9 + 16a^8 + 5a^7 + 38a^6 + 39a^5 + 38a^4 + 29a^3 + 19a^2 + 39a + 29)43^8 + (9a^11 + 35a^10 + 6a^9 + 3a^8 + 39a^7 + 18a^6 + 35a^5 + 17a^4 + 3a^3 + 3a^2 + 24a + 11)*43^9+O(43^10)
$r_{ 10 }$	$=$	\( 41 a^{11} + 22 a^{10} + 7 a^{9} + 40 a^{8} + 15 a^{7} + 33 a^{6} + 28 a^{4} + 38 a^{3} + 17 a^{2} + 13 a + 5 + \left(37 a^{11} + 2 a^{10} + 40 a^{9} + 31 a^{8} + 31 a^{7} + 19 a^{6} + 23 a^{5} + 2 a^{4} + 27 a^{3} + 35 a^{2} + 37\right)\cdot 43 + \left(11 a^{11} + 14 a^{10} + 29 a^{9} + 21 a^{8} + 24 a^{7} + 4 a^{6} + 15 a^{5} + 23 a^{4} + 15 a^{3} + 16 a^{2} + 6 a + 26\right)\cdot 43^{2} + \left(36 a^{11} + 36 a^{10} + 23 a^{9} + 11 a^{8} + 34 a^{7} + 30 a^{6} + 32 a^{5} + 14 a^{4} + 36 a^{3} + 41 a^{2} + 40 a + 1\right)\cdot 43^{3} + \left(23 a^{11} + 29 a^{10} + 34 a^{8} + 33 a^{7} + 6 a^{6} + 15 a^{5} + 31 a^{4} + 6 a^{3} + 25 a^{2} + 2 a + 25\right)\cdot 43^{4} + \left(3 a^{11} + 11 a^{9} + 24 a^{8} + 17 a^{7} + a^{6} + 32 a^{5} + 36 a^{4} + 7 a^{3} + 38 a^{2} + 23 a + 25\right)\cdot 43^{5} + \left(40 a^{11} + 23 a^{10} + 22 a^{8} + 41 a^{7} + 14 a^{6} + 25 a^{5} + 14 a^{4} + 37 a^{3} + 24 a^{2} + 39 a + 22\right)\cdot 43^{6} + \left(42 a^{11} + 20 a^{10} + 22 a^{9} + 17 a^{8} + 6 a^{7} + 14 a^{6} + 22 a^{5} + 6 a^{4} + 12 a^{3} + 28 a^{2} + 11 a + 40\right)\cdot 43^{7} + \left(16 a^{11} + 27 a^{10} + 30 a^{9} + 39 a^{8} + 30 a^{7} + 11 a^{6} + 2 a^{5} + 17 a^{4} + 27 a^{3} + 27 a^{2} + 13 a + 10\right)\cdot 43^{8} + \left(a^{11} + 18 a^{10} + 33 a^{9} + 11 a^{8} + a^{7} + 31 a^{6} + 41 a^{5} + 12 a^{4} + 34 a^{3} + 15 a^{2} + 17 a + 31\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\) 41a^11 + 22a^10 + 7a^9 + 40a^8 + 15a^7 + 33a^6 + 28a^4 + 38a^3 + 17a^2 + 13a + 5 + (37a^11 + 2a^10 + 40a^9 + 31a^8 + 31a^7 + 19a^6 + 23a^5 + 2a^4 + 27a^3 + 35a^2 + 37)43 + (11a^11 + 14a^10 + 29a^9 + 21a^8 + 24a^7 + 4a^6 + 15a^5 + 23a^4 + 15a^3 + 16a^2 + 6a + 26)43^2 + (36a^11 + 36a^10 + 23a^9 + 11a^8 + 34a^7 + 30a^6 + 32a^5 + 14a^4 + 36a^3 + 41a^2 + 40a + 1)43^3 + (23a^11 + 29a^10 + 34a^8 + 33a^7 + 6a^6 + 15a^5 + 31a^4 + 6a^3 + 25a^2 + 2a + 25)43^4 + (3a^11 + 11a^9 + 24a^8 + 17a^7 + a^6 + 32a^5 + 36a^4 + 7a^3 + 38a^2 + 23a + 25)43^5 + (40a^11 + 23a^10 + 22a^8 + 41a^7 + 14a^6 + 25a^5 + 14a^4 + 37a^3 + 24a^2 + 39a + 22)43^6 + (42a^11 + 20a^10 + 22a^9 + 17a^8 + 6a^7 + 14a^6 + 22a^5 + 6a^4 + 12a^3 + 28a^2 + 11a + 40)43^7 + (16a^11 + 27a^10 + 30a^9 + 39a^8 + 30a^7 + 11a^6 + 2a^5 + 17a^4 + 27a^3 + 27a^2 + 13a + 10)43^8 + (a^11 + 18a^10 + 33a^9 + 11a^8 + a^7 + 31a^6 + 41a^5 + 12a^4 + 34a^3 + 15a^2 + 17a + 31)*43^9+O(43^10)
$r_{ 11 }$	$=$	\( 8 a^{11} + 5 a^{10} + 34 a^{9} + 34 a^{8} + 14 a^{7} + 33 a^{6} + 34 a^{5} + 25 a^{4} + 33 a^{3} + 2 a^{2} + 39 a + 40 + \left(37 a^{11} + 41 a^{10} + 23 a^{9} + 20 a^{8} + 3 a^{7} + 12 a^{6} + 30 a^{5} + 13 a^{4} + 9 a^{3} + 25 a^{2} + 22 a + 28\right)\cdot 43 + \left(11 a^{11} + 24 a^{10} + 30 a^{9} + 42 a^{8} + a^{7} + 28 a^{6} + 5 a^{5} + 40 a^{4} + 42 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 43^{2} + \left(27 a^{11} + 2 a^{10} + 25 a^{9} + 11 a^{8} + 2 a^{7} + 35 a^{6} + 4 a^{5} + 27 a^{4} + a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 43^{3} + \left(33 a^{11} + 28 a^{10} + 5 a^{9} + 7 a^{8} + 3 a^{7} + 17 a^{6} + 23 a^{5} + 23 a^{4} + 17 a^{3} + 31 a^{2} + 42 a + 11\right)\cdot 43^{4} + \left(37 a^{11} + 20 a^{10} + 17 a^{9} + 27 a^{8} + 5 a^{7} + 34 a^{6} + 42 a^{5} + 37 a^{4} + 15 a^{3} + 21 a^{2} + 29 a + 5\right)\cdot 43^{5} + \left(11 a^{11} + 18 a^{10} + 12 a^{9} + 29 a^{8} + 33 a^{7} + 18 a^{6} + 32 a^{5} + 13 a^{4} + 5 a^{3} + 40 a^{2} + 21 a + 41\right)\cdot 43^{6} + \left(10 a^{11} + 35 a^{10} + 32 a^{9} + 14 a^{8} + 15 a^{7} + 13 a^{6} + 8 a^{5} + 14 a^{4} + 2 a^{3} + 26 a^{2} + 25 a + 3\right)\cdot 43^{7} + \left(27 a^{11} + 32 a^{10} + 9 a^{9} + 19 a^{8} + 2 a^{7} + 12 a^{6} + 35 a^{4} + 20 a^{3} + 16 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 43^{8} + \left(7 a^{11} + 38 a^{10} + 19 a^{9} + a^{8} + 39 a^{7} + 22 a^{6} + 17 a^{5} + 16 a^{4} + 39 a^{3} + 35 a^{2} + 33 a\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\) 8a^11 + 5a^10 + 34a^9 + 34a^8 + 14a^7 + 33a^6 + 34a^5 + 25a^4 + 33a^3 + 2a^2 + 39a + 40 + (37a^11 + 41a^10 + 23a^9 + 20a^8 + 3a^7 + 12a^6 + 30a^5 + 13a^4 + 9a^3 + 25a^2 + 22a + 28)43 + (11a^11 + 24a^10 + 30a^9 + 42a^8 + a^7 + 28a^6 + 5a^5 + 40a^4 + 42a^3 + 2a^2 + 8a + 9)43^2 + (27a^11 + 2a^10 + 25a^9 + 11a^8 + 2a^7 + 35a^6 + 4a^5 + 27a^4 + a^3 + 2a^2 + 11a + 10)43^3 + (33a^11 + 28a^10 + 5a^9 + 7a^8 + 3a^7 + 17a^6 + 23a^5 + 23a^4 + 17a^3 + 31a^2 + 42a + 11)43^4 + (37a^11 + 20a^10 + 17a^9 + 27a^8 + 5a^7 + 34a^6 + 42a^5 + 37a^4 + 15a^3 + 21a^2 + 29a + 5)43^5 + (11a^11 + 18a^10 + 12a^9 + 29a^8 + 33a^7 + 18a^6 + 32a^5 + 13a^4 + 5a^3 + 40a^2 + 21a + 41)43^6 + (10a^11 + 35a^10 + 32a^9 + 14a^8 + 15a^7 + 13a^6 + 8a^5 + 14a^4 + 2a^3 + 26a^2 + 25a + 3)43^7 + (27a^11 + 32a^10 + 9a^9 + 19a^8 + 2a^7 + 12a^6 + 35a^4 + 20a^3 + 16a^2 + 7a + 8)43^8 + (7a^11 + 38a^10 + 19a^9 + a^8 + 39a^7 + 22a^6 + 17a^5 + 16a^4 + 39a^3 + 35a^2 + 33a)*43^9+O(43^10)
$r_{ 12 }$	$=$	\( 30 a^{11} + 16 a^{10} + 27 a^{9} + 38 a^{8} + 8 a^{7} + 8 a^{6} + 15 a^{5} + 42 a^{4} + 7 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 35 + \left(29 a^{11} + 4 a^{10} + 11 a^{9} + 28 a^{8} + 4 a^{7} + 35 a^{6} + 16 a^{5} + 27 a^{4} + 31 a^{3} + 29 a^{2} + 17 a + 29\right)\cdot 43 + \left(18 a^{11} + 36 a^{10} + 40 a^{9} + 11 a^{8} + 29 a^{7} + 19 a^{6} + 31 a^{5} + 29 a^{4} + 25 a^{3} + 41 a^{2} + 24 a + 38\right)\cdot 43^{2} + \left(4 a^{11} + 22 a^{10} + 41 a^{9} + 21 a^{8} + 6 a^{7} + 4 a^{6} + 21 a^{5} + 8 a^{4} + 33 a^{3} + 22 a^{2} + 40 a + 20\right)\cdot 43^{3} + \left(28 a^{11} + 14 a^{10} + 27 a^{9} + 26 a^{8} + 29 a^{7} + 24 a^{6} + 31 a^{5} + 30 a^{4} + 42 a^{3} + 6 a^{2} + 32 a + 29\right)\cdot 43^{4} + \left(13 a^{11} + 11 a^{10} + 2 a^{9} + 34 a^{8} + 8 a^{7} + 5 a^{6} + 34 a^{5} + 33 a^{4} + 37 a^{3} + 19 a^{2} + 39 a + 16\right)\cdot 43^{5} + \left(25 a^{11} + 33 a^{10} + 28 a^{9} + 15 a^{8} + 30 a^{7} + 21 a^{6} + 18 a^{5} + 12 a^{4} + 7 a^{3} + 4 a^{2} + 19 a + 18\right)\cdot 43^{6} + \left(8 a^{11} + 16 a^{10} + 22 a^{9} + 13 a^{8} + 22 a^{7} + 34 a^{6} + 8 a^{5} + 4 a^{4} + 20 a^{3} + 4 a^{2} + 26 a + 38\right)\cdot 43^{7} + \left(6 a^{11} + 21 a^{10} + 24 a^{9} + 34 a^{8} + 21 a^{7} + 21 a^{6} + 34 a^{5} + 31 a^{4} + 40 a^{3} + 28 a^{2} + 40 a\right)\cdot 43^{8} + \left(42 a^{11} + 11 a^{10} + 14 a^{9} + 14 a^{8} + 9 a^{7} + 21 a^{6} + 9 a^{5} + 16 a^{4} + 41 a^{3} + 32 a^{2} + 35 a + 1\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\) 30a^11 + 16a^10 + 27a^9 + 38a^8 + 8a^7 + 8a^6 + 15a^5 + 42a^4 + 7a^3 + 8a^2 + 10a + 35 + (29a^11 + 4a^10 + 11a^9 + 28a^8 + 4a^7 + 35a^6 + 16a^5 + 27a^4 + 31a^3 + 29a^2 + 17a + 29)43 + (18a^11 + 36a^10 + 40a^9 + 11a^8 + 29a^7 + 19a^6 + 31a^5 + 29a^4 + 25a^3 + 41a^2 + 24a + 38)43^2 + (4a^11 + 22a^10 + 41a^9 + 21a^8 + 6a^7 + 4a^6 + 21a^5 + 8a^4 + 33a^3 + 22a^2 + 40a + 20)43^3 + (28a^11 + 14a^10 + 27a^9 + 26a^8 + 29a^7 + 24a^6 + 31a^5 + 30a^4 + 42a^3 + 6a^2 + 32a + 29)43^4 + (13a^11 + 11a^10 + 2a^9 + 34a^8 + 8a^7 + 5a^6 + 34a^5 + 33a^4 + 37a^3 + 19a^2 + 39a + 16)43^5 + (25a^11 + 33a^10 + 28a^9 + 15a^8 + 30a^7 + 21a^6 + 18a^5 + 12a^4 + 7a^3 + 4a^2 + 19a + 18)43^6 + (8a^11 + 16a^10 + 22a^9 + 13a^8 + 22a^7 + 34a^6 + 8a^5 + 4a^4 + 20a^3 + 4a^2 + 26a + 38)43^7 + (6a^11 + 21a^10 + 24a^9 + 34a^8 + 21a^7 + 21a^6 + 34a^5 + 31a^4 + 40a^3 + 28a^2 + 40a)43^8 + (42a^11 + 11a^10 + 14a^9 + 14a^8 + 9a^7 + 21a^6 + 9a^5 + 16a^4 + 41a^3 + 32a^2 + 35a + 1)*43^9+O(43^10)
$r_{ 13 }$	$=$	\( 24 a^{11} + 39 a^{10} + a^{9} + 24 a^{8} + 4 a^{7} + 12 a^{6} + 26 a^{5} + 16 a^{4} + 9 a^{3} + 15 a^{2} + 37 a + 11 + \left(6 a^{11} + 38 a^{10} + 2 a^{9} + a^{8} + 29 a^{7} + 32 a^{6} + 38 a^{5} + 28 a^{4} + 13 a^{3} + 19 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 43 + \left(39 a^{11} + 16 a^{10} + 7 a^{9} + 34 a^{8} + 9 a^{7} + 19 a^{6} + 5 a^{5} + 10 a^{4} + a^{3} + 23 a^{2} + 34 a + 20\right)\cdot 43^{2} + \left(5 a^{11} + 5 a^{10} + 42 a^{9} + 35 a^{8} + 12 a^{7} + 27 a^{6} + 35 a^{5} + 28 a^{4} + 28 a^{3} + 12 a^{2} + 34 a + 20\right)\cdot 43^{3} + \left(33 a^{11} + 12 a^{10} + 32 a^{9} + 23 a^{8} + 2 a^{7} + 11 a^{6} + 27 a^{5} + 7 a^{4} + 24 a^{3} + 7 a^{2} + 24 a + 13\right)\cdot 43^{4} + \left(11 a^{11} + 2 a^{10} + 30 a^{9} + 42 a^{8} + 9 a^{7} + 38 a^{6} + 21 a^{5} + 28 a^{4} + 31 a^{3} + 20 a^{2} + 34 a + 15\right)\cdot 43^{5} + \left(37 a^{11} + 7 a^{10} + 41 a^{9} + 12 a^{8} + 3 a^{7} + 21 a^{6} + 16 a^{5} + 10 a^{4} + 35 a^{3} + 33 a^{2} + 24 a + 15\right)\cdot 43^{6} + \left(20 a^{11} + 34 a^{10} + 37 a^{9} + 30 a^{8} + 8 a^{7} + 4 a^{6} + 42 a^{5} + 37 a^{4} + 39 a^{3} + a^{2} + 30 a\right)\cdot 43^{7} + \left(29 a^{11} + 35 a^{10} + 40 a^{9} + 8 a^{8} + 28 a^{7} + 12 a^{6} + 35 a^{5} + 32 a^{4} + 8 a^{3} + 15 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 43^{8} + \left(23 a^{11} + 33 a^{10} + 14 a^{9} + 20 a^{8} + 6 a^{7} + 2 a^{6} + 29 a^{5} + 37 a^{4} + 18 a^{3} + 7 a^{2} + 18 a + 35\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\) 24a^11 + 39a^10 + a^9 + 24a^8 + 4a^7 + 12a^6 + 26a^5 + 16a^4 + 9a^3 + 15a^2 + 37a + 11 + (6a^11 + 38a^10 + 2a^9 + a^8 + 29a^7 + 32a^6 + 38a^5 + 28a^4 + 13a^3 + 19a^2 + 3a + 12)43 + (39a^11 + 16a^10 + 7a^9 + 34a^8 + 9a^7 + 19a^6 + 5a^5 + 10a^4 + a^3 + 23a^2 + 34a + 20)43^2 + (5a^11 + 5a^10 + 42a^9 + 35a^8 + 12a^7 + 27a^6 + 35a^5 + 28a^4 + 28a^3 + 12a^2 + 34a + 20)43^3 + (33a^11 + 12a^10 + 32a^9 + 23a^8 + 2a^7 + 11a^6 + 27a^5 + 7a^4 + 24a^3 + 7a^2 + 24a + 13)43^4 + (11a^11 + 2a^10 + 30a^9 + 42a^8 + 9a^7 + 38a^6 + 21a^5 + 28a^4 + 31a^3 + 20a^2 + 34a + 15)43^5 + (37a^11 + 7a^10 + 41a^9 + 12a^8 + 3a^7 + 21a^6 + 16a^5 + 10a^4 + 35a^3 + 33a^2 + 24a + 15)43^6 + (20a^11 + 34a^10 + 37a^9 + 30a^8 + 8a^7 + 4a^6 + 42a^5 + 37a^4 + 39a^3 + a^2 + 30a)43^7 + (29a^11 + 35a^10 + 40a^9 + 8a^8 + 28a^7 + 12a^6 + 35a^5 + 32a^4 + 8a^3 + 15a^2 + 6a + 2)43^8 + (23a^11 + 33a^10 + 14a^9 + 20a^8 + 6a^7 + 2a^6 + 29a^5 + 37a^4 + 18a^3 + 7a^2 + 18a + 35)*43^9+O(43^10)
$r_{ 14 }$	$=$	\( 26 a^{11} + 6 a^{10} + a^{9} + 30 a^{8} + 3 a^{7} + 41 a^{6} + 8 a^{5} + 34 a^{4} + 42 a^{3} + 11 a^{2} + 18 a + 38 + \left(20 a^{11} + 5 a^{10} + 41 a^{9} + 3 a^{8} + 7 a^{7} + 39 a^{6} + 2 a^{5} + 30 a^{4} + 6 a^{3} + 30 a^{2} + 26 a + 17\right)\cdot 43 + \left(26 a^{11} + 10 a^{10} + 19 a^{9} + 16 a^{8} + 30 a^{7} + 20 a^{6} + 13 a^{5} + 7 a^{4} + 26 a^{3} + 41 a + 28\right)\cdot 43^{2} + \left(a^{11} + 7 a^{10} + 39 a^{9} + 27 a^{8} + 7 a^{7} + 19 a^{6} + 9 a^{5} + 16 a^{4} + 26 a^{3} + 3 a^{2} + 39 a + 38\right)\cdot 43^{3} + \left(14 a^{11} + 2 a^{10} + a^{9} + 28 a^{8} + 13 a^{7} + 16 a^{6} + 37 a^{5} + 25 a^{4} + 16 a^{3} + 33 a^{2} + 41 a + 8\right)\cdot 43^{4} + \left(13 a^{11} + 34 a^{10} + 10 a^{9} + 2 a^{8} + 7 a^{7} + 18 a^{6} + 3 a^{5} + 18 a^{4} + 38 a^{3} + 7 a^{2} + 23 a + 6\right)\cdot 43^{5} + \left(23 a^{11} + 15 a^{10} + 4 a^{9} + 35 a^{8} + 21 a^{7} + 8 a^{6} + 42 a^{5} + 7 a^{4} + 41 a^{3} + 15 a^{2} + 40 a + 35\right)\cdot 43^{6} + \left(12 a^{11} + 42 a^{10} + 16 a^{9} + 40 a^{8} + 6 a^{7} + 36 a^{6} + 31 a^{4} + 13 a^{3} + 36 a^{2} + 34 a + 16\right)\cdot 43^{7} + \left(26 a^{11} + 15 a^{10} + 37 a^{9} + 39 a^{8} + 29 a^{7} + 39 a^{6} + 42 a^{5} + 35 a^{4} + 24 a^{3} + 29 a^{2} + 26 a + 41\right)\cdot 43^{8} + \left(27 a^{11} + 37 a^{10} + 36 a^{9} + 34 a^{8} + 32 a^{7} + 15 a^{6} + 9 a^{5} + 12 a^{4} + 24 a^{3} + 9 a^{2} + a + 42\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\) 26a^11 + 6a^10 + a^9 + 30a^8 + 3a^7 + 41a^6 + 8a^5 + 34a^4 + 42a^3 + 11a^2 + 18a + 38 + (20a^11 + 5a^10 + 41a^9 + 3a^8 + 7a^7 + 39a^6 + 2a^5 + 30a^4 + 6a^3 + 30a^2 + 26a + 17)43 + (26a^11 + 10a^10 + 19a^9 + 16a^8 + 30a^7 + 20a^6 + 13a^5 + 7a^4 + 26a^3 + 41a + 28)43^2 + (a^11 + 7a^10 + 39a^9 + 27a^8 + 7a^7 + 19a^6 + 9a^5 + 16a^4 + 26a^3 + 3a^2 + 39a + 38)43^3 + (14a^11 + 2a^10 + a^9 + 28a^8 + 13a^7 + 16a^6 + 37a^5 + 25a^4 + 16a^3 + 33a^2 + 41a + 8)43^4 + (13a^11 + 34a^10 + 10a^9 + 2a^8 + 7a^7 + 18a^6 + 3a^5 + 18a^4 + 38a^3 + 7a^2 + 23a + 6)43^5 + (23a^11 + 15a^10 + 4a^9 + 35a^8 + 21a^7 + 8a^6 + 42a^5 + 7a^4 + 41a^3 + 15a^2 + 40a + 35)43^6 + (12a^11 + 42a^10 + 16a^9 + 40a^8 + 6a^7 + 36a^6 + 31a^4 + 13a^3 + 36a^2 + 34a + 16)43^7 + (26a^11 + 15a^10 + 37a^9 + 39a^8 + 29a^7 + 39a^6 + 42a^5 + 35a^4 + 24a^3 + 29a^2 + 26a + 41)43^8 + (27a^11 + 37a^10 + 36a^9 + 34a^8 + 32a^7 + 15a^6 + 9a^5 + 12a^4 + 24a^3 + 9a^2 + a + 42)*43^9+O(43^10)
$r_{ 15 }$	$=$	\( 2 a^{11} + 38 a^{10} + 39 a^{9} + 11 a^{8} + 27 a^{7} + 40 a^{6} + 15 a^{5} + 39 a^{4} + 14 a^{3} + 25 a^{2} + 30 a + 33 + \left(38 a^{11} + 5 a^{10} + 11 a^{9} + 29 a^{8} + 5 a^{7} + 6 a^{6} + 24 a^{5} + 42 a^{4} + 12 a^{3} + 20 a^{2} + 30 a\right)\cdot 43 + \left(38 a^{11} + 19 a^{10} + 31 a^{9} + 36 a^{8} + 23 a^{7} + 4 a^{6} + 37 a^{5} + 29 a^{3} + 42 a^{2} + 11 a + 22\right)\cdot 43^{2} + \left(2 a^{11} + 32 a^{10} + 13 a^{9} + a^{8} + 41 a^{7} + 28 a^{6} + 14 a^{5} + a^{4} + 34 a^{3} + 18 a^{2} + 36 a + 37\right)\cdot 43^{3} + \left(8 a^{10} + 6 a^{9} + 10 a^{8} + 34 a^{7} + 3 a^{6} + 35 a^{5} + 38 a^{4} + 14 a^{3} + 21 a^{2} + 36 a + 39\right)\cdot 43^{4} + \left(15 a^{11} + 29 a^{10} + 8 a^{9} + 15 a^{8} + 34 a^{7} + 6 a^{6} + 31 a^{5} + 33 a^{4} + 32 a^{3} + 42 a^{2} + 29 a + 40\right)\cdot 43^{5} + \left(31 a^{11} + 7 a^{10} + 26 a^{9} + 21 a^{8} + 27 a^{7} + 31 a^{6} + 34 a^{5} + 39 a^{4} + 5 a^{3} + 3 a^{2} + 20 a + 25\right)\cdot 43^{6} + \left(42 a^{11} + 15 a^{10} + 11 a^{9} + 11 a^{8} + 10 a^{7} + 12 a^{6} + 37 a^{5} + 26 a^{4} + 7 a^{3} + 41 a^{2} + 14 a + 28\right)\cdot 43^{7} + \left(15 a^{11} + 19 a^{10} + 16 a^{9} + 15 a^{8} + 9 a^{7} + a^{6} + 21 a^{4} + 42 a^{3} + 33 a^{2} + a + 31\right)\cdot 43^{8} + \left(10 a^{10} + 27 a^{9} + 29 a^{8} + 38 a^{7} + 39 a^{6} + 25 a^{5} + 6 a^{4} + 25 a^{3} + 42 a^{2} + 15 a\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\) 2a^11 + 38a^10 + 39a^9 + 11a^8 + 27a^7 + 40a^6 + 15a^5 + 39a^4 + 14a^3 + 25a^2 + 30a + 33 + (38a^11 + 5a^10 + 11a^9 + 29a^8 + 5a^7 + 6a^6 + 24a^5 + 42a^4 + 12a^3 + 20a^2 + 30a)43 + (38a^11 + 19a^10 + 31a^9 + 36a^8 + 23a^7 + 4a^6 + 37a^5 + 29a^3 + 42a^2 + 11a + 22)43^2 + (2a^11 + 32a^10 + 13a^9 + a^8 + 41a^7 + 28a^6 + 14a^5 + a^4 + 34a^3 + 18a^2 + 36a + 37)43^3 + (8a^10 + 6a^9 + 10a^8 + 34a^7 + 3a^6 + 35a^5 + 38a^4 + 14a^3 + 21a^2 + 36a + 39)43^4 + (15a^11 + 29a^10 + 8a^9 + 15a^8 + 34a^7 + 6a^6 + 31a^5 + 33a^4 + 32a^3 + 42a^2 + 29a + 40)43^5 + (31a^11 + 7a^10 + 26a^9 + 21a^8 + 27a^7 + 31a^6 + 34a^5 + 39a^4 + 5a^3 + 3a^2 + 20a + 25)43^6 + (42a^11 + 15a^10 + 11a^9 + 11a^8 + 10a^7 + 12a^6 + 37a^5 + 26a^4 + 7a^3 + 41a^2 + 14a + 28)43^7 + (15a^11 + 19a^10 + 16a^9 + 15a^8 + 9a^7 + a^6 + 21a^4 + 42a^3 + 33a^2 + a + 31)43^8 + (10a^10 + 27a^9 + 29a^8 + 38a^7 + 39a^6 + 25a^5 + 6a^4 + 25a^3 + 42a^2 + 15a)*43^9+O(43^10)
$r_{ 16 }$	$=$	\( 34 a^{11} + 23 a^{10} + 29 a^{9} + 5 a^{8} + 35 a^{7} + 30 a^{6} + 31 a^{5} + 13 a^{4} + 22 a^{3} + 3 a^{2} + 24 a + 23 + \left(30 a^{11} + 24 a^{10} + 39 a^{9} + 32 a^{8} + 20 a^{7} + 24 a^{6} + 13 a^{5} + 23 a^{4} + 24 a^{3} + 18 a^{2} + 42 a + 2\right)\cdot 43 + \left(22 a^{11} + 2 a^{10} + 39 a^{9} + 37 a^{8} + 37 a^{7} + 34 a^{6} + 20 a^{5} + 20 a^{4} + 28 a^{3} + 11 a^{2} + 17 a + 15\right)\cdot 43^{2} + \left(20 a^{11} + 36 a^{10} + 30 a^{9} + 9 a^{8} + 5 a^{7} + 24 a^{6} + 29 a^{5} + 11 a^{4} + 7 a^{3} + a^{2} + 42 a + 35\right)\cdot 43^{3} + \left(26 a^{11} + 17 a^{10} + 4 a^{9} + 14 a^{8} + 25 a^{6} + 9 a^{5} + 5 a^{4} + 39 a^{3} + 6 a^{2} + 35 a + 10\right)\cdot 43^{4} + \left(22 a^{11} + 38 a^{10} + 32 a^{9} + 9 a^{8} + 42 a^{7} + 41 a^{6} + 4 a^{5} + 32 a^{4} + 19 a^{3} + 42 a^{2} + 11 a + 33\right)\cdot 43^{5} + \left(29 a^{11} + 31 a^{10} + 26 a^{9} + 35 a^{8} + 11 a^{7} + 34 a^{6} + 30 a^{5} + 39 a^{4} + 41 a^{3} + 35 a^{2} + 4 a + 41\right)\cdot 43^{6} + \left(33 a^{11} + 15 a^{10} + 34 a^{9} + 38 a^{8} + 24 a^{7} + 39 a^{6} + 18 a^{5} + 21 a^{4} + 13 a^{3} + 35 a^{2} + 37 a + 7\right)\cdot 43^{7} + \left(11 a^{11} + 9 a^{10} + 32 a^{9} + 32 a^{8} + 29 a^{7} + 30 a^{6} + 23 a^{5} + 15 a^{4} + 27 a^{3} + 21 a^{2} + 42 a + 21\right)\cdot 43^{8} + \left(14 a^{11} + 42 a^{10} + 27 a^{9} + 7 a^{8} + 20 a^{7} + 41 a^{6} + 4 a^{5} + 12 a^{4} + 10 a^{3} + 14 a^{2} + 28 a + 7\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\) 34a^11 + 23a^10 + 29a^9 + 5a^8 + 35a^7 + 30a^6 + 31a^5 + 13a^4 + 22a^3 + 3a^2 + 24a + 23 + (30a^11 + 24a^10 + 39a^9 + 32a^8 + 20a^7 + 24a^6 + 13a^5 + 23a^4 + 24a^3 + 18a^2 + 42a + 2)43 + (22a^11 + 2a^10 + 39a^9 + 37a^8 + 37a^7 + 34a^6 + 20a^5 + 20a^4 + 28a^3 + 11a^2 + 17a + 15)43^2 + (20a^11 + 36a^10 + 30a^9 + 9a^8 + 5a^7 + 24a^6 + 29a^5 + 11a^4 + 7a^3 + a^2 + 42a + 35)43^3 + (26a^11 + 17a^10 + 4a^9 + 14a^8 + 25a^6 + 9a^5 + 5a^4 + 39a^3 + 6a^2 + 35a + 10)43^4 + (22a^11 + 38a^10 + 32a^9 + 9a^8 + 42a^7 + 41a^6 + 4a^5 + 32a^4 + 19a^3 + 42a^2 + 11a + 33)43^5 + (29a^11 + 31a^10 + 26a^9 + 35a^8 + 11a^7 + 34a^6 + 30a^5 + 39a^4 + 41a^3 + 35a^2 + 4a + 41)43^6 + (33a^11 + 15a^10 + 34a^9 + 38a^8 + 24a^7 + 39a^6 + 18a^5 + 21a^4 + 13a^3 + 35a^2 + 37a + 7)43^7 + (11a^11 + 9a^10 + 32a^9 + 32a^8 + 29a^7 + 30a^6 + 23a^5 + 15a^4 + 27a^3 + 21a^2 + 42a + 21)43^8 + (14a^11 + 42a^10 + 27a^9 + 7a^8 + 20a^7 + 41a^6 + 4a^5 + 12a^4 + 10a^3 + 14a^2 + 28a + 7)*43^9+O(43^10)
$r_{ 17 }$	$=$	\( 32 a^{11} + a^{10} + 17 a^{9} + 23 a^{8} + 40 a^{7} + 23 a^{6} + 31 a^{5} + 31 a^{4} + 10 a^{3} + 24 a^{2} + 21 a + 24 + \left(6 a^{11} + 8 a^{10} + 25 a^{9} + 6 a^{8} + 37 a^{7} + 18 a^{6} + 13 a^{5} + 22 a^{4} + 27 a^{3} + 41 a^{2} + 16 a + 34\right)\cdot 43 + \left(19 a^{11} + 26 a^{10} + 20 a^{9} + 3 a^{8} + 9 a^{7} + 27 a^{6} + 15 a^{5} + 23 a^{4} + 30 a^{3} + 34 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 43^{2} + \left(29 a^{11} + 21 a^{10} + 33 a^{9} + 3 a^{8} + 36 a^{7} + 11 a^{6} + 28 a^{5} + 5 a^{4} + 9 a^{3} + 28 a^{2} + 41 a + 37\right)\cdot 43^{3} + \left(31 a^{10} + 26 a^{9} + 8 a^{8} + 3 a^{7} + 10 a^{6} + 4 a^{5} + 20 a^{4} + 38 a^{3} + 6 a^{2} + 16 a + 21\right)\cdot 43^{4} + \left(18 a^{11} + 21 a^{10} + 6 a^{9} + 7 a^{8} + 10 a^{7} + 2 a^{6} + 5 a^{5} + 17 a^{4} + 20 a^{3} + 26 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 43^{5} + \left(29 a^{11} + 3 a^{10} + 31 a^{9} + 3 a^{8} + 15 a^{7} + 12 a^{6} + 2 a^{5} + 24 a^{4} + 27 a^{3} + 39 a^{2} + 13 a + 41\right)\cdot 43^{6} + \left(37 a^{11} + 4 a^{10} + 30 a^{9} + 26 a^{8} + 41 a^{7} + 23 a^{5} + 38 a^{4} + 28 a^{3} + 16 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 43^{7} + \left(30 a^{11} + 12 a^{10} + 37 a^{9} + 40 a^{8} + 38 a^{7} + 34 a^{6} + 4 a^{5} + 9 a^{4} + 17 a^{3} + 29 a^{2} + 27 a + 41\right)\cdot 43^{8} + \left(37 a^{11} + 41 a^{10} + 20 a^{9} + 23 a^{8} + 26 a^{7} + 33 a^{6} + 13 a^{5} + 2 a^{4} + 28 a^{3} + 15 a^{2} + 23 a + 35\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\) 32a^11 + a^10 + 17a^9 + 23a^8 + 40a^7 + 23a^6 + 31a^5 + 31a^4 + 10a^3 + 24a^2 + 21a + 24 + (6a^11 + 8a^10 + 25a^9 + 6a^8 + 37a^7 + 18a^6 + 13a^5 + 22a^4 + 27a^3 + 41a^2 + 16a + 34)43 + (19a^11 + 26a^10 + 20a^9 + 3a^8 + 9a^7 + 27a^6 + 15a^5 + 23a^4 + 30a^3 + 34a^2 + 15a + 3)43^2 + (29a^11 + 21a^10 + 33a^9 + 3a^8 + 36a^7 + 11a^6 + 28a^5 + 5a^4 + 9a^3 + 28a^2 + 41a + 37)43^3 + (31a^10 + 26a^9 + 8a^8 + 3a^7 + 10a^6 + 4a^5 + 20a^4 + 38a^3 + 6a^2 + 16a + 21)43^4 + (18a^11 + 21a^10 + 6a^9 + 7a^8 + 10a^7 + 2a^6 + 5a^5 + 17a^4 + 20a^3 + 26a^2 + 7a + 4)43^5 + (29a^11 + 3a^10 + 31a^9 + 3a^8 + 15a^7 + 12a^6 + 2a^5 + 24a^4 + 27a^3 + 39a^2 + 13a + 41)43^6 + (37a^11 + 4a^10 + 30a^9 + 26a^8 + 41a^7 + 23a^5 + 38a^4 + 28a^3 + 16a^2 + 7a + 2)43^7 + (30a^11 + 12a^10 + 37a^9 + 40a^8 + 38a^7 + 34a^6 + 4a^5 + 9a^4 + 17a^3 + 29a^2 + 27a + 41)43^8 + (37a^11 + 41a^10 + 20a^9 + 23a^8 + 26a^7 + 33a^6 + 13a^5 + 2a^4 + 28a^3 + 15a^2 + 23a + 35)43^9+O(43^10)
$r_{ 18 }$	$=$	\( 12 a^{11} + 17 a^{10} + 41 a^{9} + 14 a^{8} + 39 a^{7} + 9 a^{6} + 37 a^{5} + 23 a^{4} + 35 a^{3} + 25 a^{2} + 13 a + 7 + \left(37 a^{11} + 15 a^{10} + 9 a^{9} + 38 a^{8} + 6 a^{7} + 8 a^{6} + 23 a^{5} + 21 a^{4} + 23 a^{3} + 2 a^{2} + 12 a + 42\right)\cdot 43 + \left(28 a^{11} + 15 a^{10} + 27 a^{9} + 27 a^{8} + 37 a^{7} + 23 a^{6} + 21 a^{5} + 42 a^{4} + 15 a^{3} + 25 a^{2} + 28 a + 3\right)\cdot 43^{2} + \left(24 a^{11} + 12 a^{10} + 19 a^{9} + 4 a^{8} + 14 a^{7} + 34 a^{6} + 34 a^{5} + 28 a^{4} + 2 a^{3} + 4 a^{2} + 13 a + 42\right)\cdot 43^{3} + \left(18 a^{11} + 9 a^{10} + 26 a^{9} + 15 a^{8} + 2 a^{7} + 9 a^{6} + 42 a^{5} + 26 a^{4} + 27 a^{3} + 23 a^{2} + 36 a + 18\right)\cdot 43^{4} + \left(2 a^{11} + 11 a^{10} + 25 a^{9} + 32 a^{8} + 3 a^{7} + 37 a^{6} + 11 a^{5} + 33 a^{4} + 4 a^{3} + 2 a^{2} + 31 a + 39\right)\cdot 43^{5} + \left(3 a^{11} + 3 a^{10} + 31 a^{9} + 32 a^{8} + 16 a^{7} + 15 a^{6} + 17 a^{5} + 16 a^{4} + 29 a^{3} + 16 a\right)\cdot 43^{6} + \left(33 a^{11} + 25 a^{10} + 31 a^{9} + 3 a^{8} + 13 a^{7} + 41 a^{6} + 14 a^{5} + 39 a^{4} + 40 a^{3} + 19 a^{2} + 5 a\right)\cdot 43^{7} + \left(10 a^{11} + 22 a^{10} + 18 a^{9} + 22 a^{8} + 8 a^{7} + 22 a^{6} + 15 a^{5} + 35 a^{4} + 19 a^{3} + 32 a^{2} + 40 a + 11\right)\cdot 43^{8} + \left(26 a^{11} + 14 a^{10} + 24 a^{9} + 6 a^{8} + 14 a^{7} + 20 a^{6} + 6 a^{5} + 11 a^{4} + 26 a^{3} + 27 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\) 12a^11 + 17a^10 + 41a^9 + 14a^8 + 39a^7 + 9a^6 + 37a^5 + 23a^4 + 35a^3 + 25a^2 + 13a + 7 + (37a^11 + 15a^10 + 9a^9 + 38a^8 + 6a^7 + 8a^6 + 23a^5 + 21a^4 + 23a^3 + 2a^2 + 12a + 42)43 + (28a^11 + 15a^10 + 27a^9 + 27a^8 + 37a^7 + 23a^6 + 21a^5 + 42a^4 + 15a^3 + 25a^2 + 28a + 3)43^2 + (24a^11 + 12a^10 + 19a^9 + 4a^8 + 14a^7 + 34a^6 + 34a^5 + 28a^4 + 2a^3 + 4a^2 + 13a + 42)43^3 + (18a^11 + 9a^10 + 26a^9 + 15a^8 + 2a^7 + 9a^6 + 42a^5 + 26a^4 + 27a^3 + 23a^2 + 36a + 18)43^4 + (2a^11 + 11a^10 + 25a^9 + 32a^8 + 3a^7 + 37a^6 + 11a^5 + 33a^4 + 4a^3 + 2a^2 + 31a + 39)43^5 + (3a^11 + 3a^10 + 31a^9 + 32a^8 + 16a^7 + 15a^6 + 17a^5 + 16a^4 + 29a^3 + 16a)43^6 + (33a^11 + 25a^10 + 31a^9 + 3a^8 + 13a^7 + 41a^6 + 14a^5 + 39a^4 + 40a^3 + 19a^2 + 5a)43^7 + (10a^11 + 22a^10 + 18a^9 + 22a^8 + 8a^7 + 22a^6 + 15a^5 + 35a^4 + 19a^3 + 32a^2 + 40a + 11)43^8 + (26a^11 + 14a^10 + 24a^9 + 6a^8 + 14a^7 + 20a^6 + 6a^5 + 11a^4 + 26a^3 + 27a^2 + 16a + 9)43^9+O(43^10)
$r_{ 19 }$	$=$	\( 16 a^{11} + 40 a^{10} + 14 a^{9} + 30 a^{8} + 6 a^{7} + 22 a^{6} + 15 a^{5} + 35 a^{4} + 4 a^{3} + 37 a^{2} + 2 a + 13 + \left(19 a^{11} + 37 a^{10} + 19 a^{9} + 31 a^{8} + 21 a^{7} + 3 a^{6} + 2 a^{5} + 25 a^{4} + 34 a^{3} + 40 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 43 + \left(30 a^{11} + 32 a^{10} + 15 a^{9} + 39 a^{8} + 8 a^{7} + 14 a^{6} + 27 a^{5} + 16 a^{4} + 27 a^{3} + 29 a^{2} + 22 a + 15\right)\cdot 43^{2} + \left(7 a^{11} + 11 a^{10} + 25 a^{9} + 11 a^{8} + 39 a^{6} + 17 a^{5} + 21 a^{4} + 21 a^{3} + 2 a^{2} + 39 a + 22\right)\cdot 43^{3} + \left(3 a^{11} + 37 a^{10} + 27 a^{9} + 18 a^{8} + 12 a^{7} + 9 a^{6} + 36 a^{5} + 38 a^{4} + 42 a^{3} + 7 a^{2} + 15 a + 1\right)\cdot 43^{4} + \left(27 a^{11} + a^{10} + 17 a^{9} + 19 a^{8} + 25 a^{7} + 23 a^{6} + 42 a^{5} + 4 a^{4} + 37 a^{3} + 19 a^{2} + 26 a + 38\right)\cdot 43^{5} + \left(31 a^{11} + 20 a^{9} + a^{8} + 21 a^{6} + 18 a^{5} + 27 a^{3} + 3 a^{2} + 21 a + 28\right)\cdot 43^{6} + \left(22 a^{11} + 21 a^{10} + a^{9} + 21 a^{8} + 28 a^{7} + 35 a^{6} + 28 a^{5} + 8 a^{4} + 42 a^{3} + 36 a^{2} + 37 a + 38\right)\cdot 43^{7} + \left(5 a^{11} + 42 a^{10} + 23 a^{9} + 18 a^{8} + 34 a^{7} + 3 a^{6} + 19 a^{5} + 15 a^{4} + 16 a^{3} + 22 a^{2} + 13 a + 25\right)\cdot 43^{8} + \left(25 a^{11} + 37 a^{10} + 21 a^{9} + 32 a^{8} + 33 a^{7} + 7 a^{6} + 41 a^{5} + 17 a^{4} + 37 a^{3} + 16 a^{2} + 8 a + 22\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\) 16a^11 + 40a^10 + 14a^9 + 30a^8 + 6a^7 + 22a^6 + 15a^5 + 35a^4 + 4a^3 + 37a^2 + 2a + 13 + (19a^11 + 37a^10 + 19a^9 + 31a^8 + 21a^7 + 3a^6 + 2a^5 + 25a^4 + 34a^3 + 40a^2 + 9a + 5)43 + (30a^11 + 32a^10 + 15a^9 + 39a^8 + 8a^7 + 14a^6 + 27a^5 + 16a^4 + 27a^3 + 29a^2 + 22a + 15)43^2 + (7a^11 + 11a^10 + 25a^9 + 11a^8 + 39a^6 + 17a^5 + 21a^4 + 21a^3 + 2a^2 + 39a + 22)43^3 + (3a^11 + 37a^10 + 27a^9 + 18a^8 + 12a^7 + 9a^6 + 36a^5 + 38a^4 + 42a^3 + 7a^2 + 15a + 1)43^4 + (27a^11 + a^10 + 17a^9 + 19a^8 + 25a^7 + 23a^6 + 42a^5 + 4a^4 + 37a^3 + 19a^2 + 26a + 38)43^5 + (31a^11 + 20a^9 + a^8 + 21a^6 + 18a^5 + 27a^3 + 3a^2 + 21a + 28)43^6 + (22a^11 + 21a^10 + a^9 + 21a^8 + 28a^7 + 35a^6 + 28a^5 + 8a^4 + 42a^3 + 36a^2 + 37a + 38)43^7 + (5a^11 + 42a^10 + 23a^9 + 18a^8 + 34a^7 + 3a^6 + 19a^5 + 15a^4 + 16a^3 + 22a^2 + 13a + 25)43^8 + (25a^11 + 37a^10 + 21a^9 + 32a^8 + 33a^7 + 7a^6 + 41a^5 + 17a^4 + 37a^3 + 16a^2 + 8a + 22)43^9+O(43^10)
$r_{ 20 }$	$=$	\( 4 a^{11} + 38 a^{10} + 7 a^{9} + 7 a^{8} + 17 a^{7} + 35 a^{6} + 25 a^{5} + 9 a^{4} + 34 a^{3} + 3 a^{2} + 33 a + 10 + \left(25 a^{11} + 31 a^{10} + 18 a^{9} + 22 a^{8} + 10 a^{7} + 30 a^{6} + 40 a^{5} + 16 a^{4} + 14 a^{3} + 16 a^{2} + 19 a + 30\right)\cdot 43 + \left(25 a^{11} + a^{10} + 41 a^{9} + 18 a^{8} + 28 a^{7} + 26 a^{6} + 37 a^{5} + 29 a^{4} + 26 a^{3} + 7 a^{2} + 15 a + 2\right)\cdot 43^{2} + \left(30 a^{11} + 16 a^{10} + 38 a^{9} + 5 a^{8} + 41 a^{7} + 19 a^{6} + 37 a^{5} + 40 a^{4} + 4 a^{3} + 8 a^{2} + 14 a + 9\right)\cdot 43^{3} + \left(25 a^{11} + 22 a^{10} + 10 a^{9} + 18 a^{8} + 34 a^{7} + 14 a^{6} + 40 a^{5} + 30 a^{4} + 18 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 30\right)\cdot 43^{4} + \left(a^{11} + 30 a^{10} + 9 a^{9} + 21 a^{8} + 36 a^{7} + 17 a^{6} + 20 a^{5} + 39 a^{4} + 32 a^{3} + 36 a^{2} + 32 a + 8\right)\cdot 43^{5} + \left(41 a^{11} + 6 a^{10} + 9 a^{8} + 25 a^{7} + 41 a^{6} + 34 a^{5} + 2 a^{4} + 3 a^{3} + 2 a^{2} + 15 a + 35\right)\cdot 43^{6} + \left(24 a^{11} + 14 a^{10} + 38 a^{9} + 39 a^{8} + a^{7} + 32 a^{6} + 41 a^{5} + 38 a^{4} + 29 a^{3} + 23 a^{2} + 19 a + 23\right)\cdot 43^{7} + \left(28 a^{11} + 10 a^{10} + 22 a^{9} + 3 a^{8} + 31 a^{7} + 16 a^{6} + 15 a^{5} + 40 a^{4} + 15 a^{3} + 33 a^{2} + 30 a + 18\right)\cdot 43^{8} + \left(17 a^{11} + 36 a^{10} + 36 a^{9} + 19 a^{8} + 20 a^{7} + 30 a^{6} + 38 a^{5} + 31 a^{4} + 9 a^{3} + 39 a^{2} + 10 a + 15\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\) 4a^11 + 38a^10 + 7a^9 + 7a^8 + 17a^7 + 35a^6 + 25a^5 + 9a^4 + 34a^3 + 3a^2 + 33a + 10 + (25a^11 + 31a^10 + 18a^9 + 22a^8 + 10a^7 + 30a^6 + 40a^5 + 16a^4 + 14a^3 + 16a^2 + 19a + 30)43 + (25a^11 + a^10 + 41a^9 + 18a^8 + 28a^7 + 26a^6 + 37a^5 + 29a^4 + 26a^3 + 7a^2 + 15a + 2)43^2 + (30a^11 + 16a^10 + 38a^9 + 5a^8 + 41a^7 + 19a^6 + 37a^5 + 40a^4 + 4a^3 + 8a^2 + 14a + 9)43^3 + (25a^11 + 22a^10 + 10a^9 + 18a^8 + 34a^7 + 14a^6 + 40a^5 + 30a^4 + 18a^3 + 3a^2 + 12a + 30)43^4 + (a^11 + 30a^10 + 9a^9 + 21a^8 + 36a^7 + 17a^6 + 20a^5 + 39a^4 + 32a^3 + 36a^2 + 32a + 8)43^5 + (41a^11 + 6a^10 + 9a^8 + 25a^7 + 41a^6 + 34a^5 + 2a^4 + 3a^3 + 2a^2 + 15a + 35)43^6 + (24a^11 + 14a^10 + 38a^9 + 39a^8 + a^7 + 32a^6 + 41a^5 + 38a^4 + 29a^3 + 23a^2 + 19a + 23)43^7 + (28a^11 + 10a^10 + 22a^9 + 3a^8 + 31a^7 + 16a^6 + 15a^5 + 40a^4 + 15a^3 + 33a^2 + 30a + 18)43^8 + (17a^11 + 36a^10 + 36a^9 + 19a^8 + 20a^7 + 30a^6 + 38a^5 + 31a^4 + 9a^3 + 39a^2 + 10a + 15)*43^9+O(43^10)
$r_{ 21 }$	$=$	\( 23 a^{11} + 15 a^{10} + 12 a^{9} + 6 a^{8} + 14 a^{7} + 22 a^{6} + 15 a^{5} + 26 a^{4} + 24 a^{3} + 39 a^{2} + 12 a + 25 + \left(6 a^{11} + 41 a^{10} + 5 a^{9} + 39 a^{8} + 35 a^{7} + 2 a^{6} + 16 a^{5} + 21 a^{4} + 15 a^{3} + 23 a^{2} + 11 a + 30\right)\cdot 43 + \left(41 a^{11} + 36 a^{10} + 26 a^{9} + 35 a^{8} + 34 a^{7} + 23 a^{6} + 28 a^{5} + 9 a^{4} + 29 a^{3} + 5 a^{2} + 33 a + 12\right)\cdot 43^{2} + \left(5 a^{11} + 16 a^{10} + 4 a^{9} + 38 a^{8} + 21 a^{7} + 39 a^{6} + 23 a^{5} + 12 a^{4} + 36 a^{3} + 19 a^{2} + 19 a + 17\right)\cdot 43^{3} + \left(23 a^{11} + 24 a^{10} + 22 a^{9} + 20 a^{8} + 38 a^{7} + 18 a^{6} + 18 a^{5} + 41 a^{4} + 32 a^{3} + 26 a^{2} + 28 a + 27\right)\cdot 43^{4} + \left(17 a^{11} + 6 a^{10} + 39 a^{9} + 14 a^{8} + 37 a^{7} + 26 a^{6} + 11 a^{5} + 41 a^{4} + 24 a^{3} + 4 a^{2} + 18\right)\cdot 43^{5} + \left(3 a^{11} + 12 a^{10} + 8 a^{9} + 3 a^{8} + 35 a^{7} + 15 a^{6} + 11 a^{5} + 37 a^{4} + 16 a^{3} + 29 a^{2} + 34 a + 17\right)\cdot 43^{6} + \left(23 a^{11} + 11 a^{10} + 7 a^{9} + 19 a^{8} + 8 a^{7} + 9 a^{6} + 39 a^{5} + 19 a^{4} + 39 a^{3} + 31 a^{2} + 2 a + 18\right)\cdot 43^{7} + \left(33 a^{11} + 33 a^{10} + 37 a^{9} + 26 a^{8} + 37 a^{7} + 4 a^{6} + 3 a^{5} + 4 a^{4} + 13 a^{3} + 23 a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 43^{8} + \left(33 a^{11} + 7 a^{10} + 36 a^{9} + 39 a^{8} + 3 a^{7} + 24 a^{6} + 7 a^{5} + 25 a^{4} + 39 a^{3} + 39 a^{2} + 18 a + 31\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\) 23a^11 + 15a^10 + 12a^9 + 6a^8 + 14a^7 + 22a^6 + 15a^5 + 26a^4 + 24a^3 + 39a^2 + 12a + 25 + (6a^11 + 41a^10 + 5a^9 + 39a^8 + 35a^7 + 2a^6 + 16a^5 + 21a^4 + 15a^3 + 23a^2 + 11a + 30)43 + (41a^11 + 36a^10 + 26a^9 + 35a^8 + 34a^7 + 23a^6 + 28a^5 + 9a^4 + 29a^3 + 5a^2 + 33a + 12)43^2 + (5a^11 + 16a^10 + 4a^9 + 38a^8 + 21a^7 + 39a^6 + 23a^5 + 12a^4 + 36a^3 + 19a^2 + 19a + 17)43^3 + (23a^11 + 24a^10 + 22a^9 + 20a^8 + 38a^7 + 18a^6 + 18a^5 + 41a^4 + 32a^3 + 26a^2 + 28a + 27)43^4 + (17a^11 + 6a^10 + 39a^9 + 14a^8 + 37a^7 + 26a^6 + 11a^5 + 41a^4 + 24a^3 + 4a^2 + 18)43^5 + (3a^11 + 12a^10 + 8a^9 + 3a^8 + 35a^7 + 15a^6 + 11a^5 + 37a^4 + 16a^3 + 29a^2 + 34a + 17)43^6 + (23a^11 + 11a^10 + 7a^9 + 19a^8 + 8a^7 + 9a^6 + 39a^5 + 19a^4 + 39a^3 + 31a^2 + 2a + 18)43^7 + (33a^11 + 33a^10 + 37a^9 + 26a^8 + 37a^7 + 4a^6 + 3a^5 + 4a^4 + 13a^3 + 23a^2 + 3a + 13)43^8 + (33a^11 + 7a^10 + 36a^9 + 39a^8 + 3a^7 + 24a^6 + 7a^5 + 25a^4 + 39a^3 + 39a^2 + 18a + 31)43^9+O(43^10)
$r_{ 22 }$	$=$	\( 2 a^{11} + 21 a^{10} + 36 a^{9} + 3 a^{8} + 28 a^{7} + 10 a^{6} + 15 a^{4} + 5 a^{3} + 26 a^{2} + 30 a + 38 + \left(5 a^{11} + 40 a^{10} + 2 a^{9} + 11 a^{8} + 11 a^{7} + 23 a^{6} + 20 a^{5} + 40 a^{4} + 15 a^{3} + 7 a^{2} + 42 a + 5\right)\cdot 43 + \left(31 a^{11} + 28 a^{10} + 13 a^{9} + 21 a^{8} + 18 a^{7} + 38 a^{6} + 27 a^{5} + 19 a^{4} + 27 a^{3} + 26 a^{2} + 36 a + 16\right)\cdot 43^{2} + \left(6 a^{11} + 6 a^{10} + 19 a^{9} + 31 a^{8} + 8 a^{7} + 12 a^{6} + 10 a^{5} + 28 a^{4} + 6 a^{3} + a^{2} + 2 a + 41\right)\cdot 43^{3} + \left(19 a^{11} + 13 a^{10} + 42 a^{9} + 8 a^{8} + 9 a^{7} + 36 a^{6} + 27 a^{5} + 11 a^{4} + 36 a^{3} + 17 a^{2} + 40 a + 17\right)\cdot 43^{4} + \left(39 a^{11} + 42 a^{10} + 31 a^{9} + 18 a^{8} + 25 a^{7} + 41 a^{6} + 10 a^{5} + 6 a^{4} + 35 a^{3} + 4 a^{2} + 19 a + 17\right)\cdot 43^{5} + \left(2 a^{11} + 19 a^{10} + 42 a^{9} + 20 a^{8} + a^{7} + 28 a^{6} + 17 a^{5} + 28 a^{4} + 5 a^{3} + 18 a^{2} + 3 a + 20\right)\cdot 43^{6} + \left(22 a^{10} + 20 a^{9} + 25 a^{8} + 36 a^{7} + 28 a^{6} + 20 a^{5} + 36 a^{4} + 30 a^{3} + 14 a^{2} + 31 a + 2\right)\cdot 43^{7} + \left(26 a^{11} + 15 a^{10} + 12 a^{9} + 3 a^{8} + 12 a^{7} + 31 a^{6} + 40 a^{5} + 25 a^{4} + 15 a^{3} + 15 a^{2} + 29 a + 32\right)\cdot 43^{8} + \left(41 a^{11} + 24 a^{10} + 9 a^{9} + 31 a^{8} + 41 a^{7} + 11 a^{6} + a^{5} + 30 a^{4} + 8 a^{3} + 27 a^{2} + 25 a + 11\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\) 2a^11 + 21a^10 + 36a^9 + 3a^8 + 28a^7 + 10a^6 + 15a^4 + 5a^3 + 26a^2 + 30a + 38 + (5a^11 + 40a^10 + 2a^9 + 11a^8 + 11a^7 + 23a^6 + 20a^5 + 40a^4 + 15a^3 + 7a^2 + 42a + 5)43 + (31a^11 + 28a^10 + 13a^9 + 21a^8 + 18a^7 + 38a^6 + 27a^5 + 19a^4 + 27a^3 + 26a^2 + 36a + 16)43^2 + (6a^11 + 6a^10 + 19a^9 + 31a^8 + 8a^7 + 12a^6 + 10a^5 + 28a^4 + 6a^3 + a^2 + 2a + 41)43^3 + (19a^11 + 13a^10 + 42a^9 + 8a^8 + 9a^7 + 36a^6 + 27a^5 + 11a^4 + 36a^3 + 17a^2 + 40a + 17)43^4 + (39a^11 + 42a^10 + 31a^9 + 18a^8 + 25a^7 + 41a^6 + 10a^5 + 6a^4 + 35a^3 + 4a^2 + 19a + 17)43^5 + (2a^11 + 19a^10 + 42a^9 + 20a^8 + a^7 + 28a^6 + 17a^5 + 28a^4 + 5a^3 + 18a^2 + 3a + 20)43^6 + (22a^10 + 20a^9 + 25a^8 + 36a^7 + 28a^6 + 20a^5 + 36a^4 + 30a^3 + 14a^2 + 31a + 2)43^7 + (26a^11 + 15a^10 + 12a^9 + 3a^8 + 12a^7 + 31a^6 + 40a^5 + 25a^4 + 15a^3 + 15a^2 + 29a + 32)43^8 + (41a^11 + 24a^10 + 9a^9 + 31a^8 + 41a^7 + 11a^6 + a^5 + 30a^4 + 8a^3 + 27a^2 + 25a + 11)43^9+O(43^10)
$r_{ 23 }$	$=$	\( 35 a^{11} + 38 a^{10} + 9 a^{9} + 9 a^{8} + 29 a^{7} + 10 a^{6} + 9 a^{5} + 18 a^{4} + 10 a^{3} + 41 a^{2} + 4 a + 3 + \left(5 a^{11} + a^{10} + 19 a^{9} + 22 a^{8} + 39 a^{7} + 30 a^{6} + 12 a^{5} + 29 a^{4} + 33 a^{3} + 17 a^{2} + 20 a + 14\right)\cdot 43 + \left(31 a^{11} + 18 a^{10} + 12 a^{9} + 41 a^{7} + 14 a^{6} + 37 a^{5} + 2 a^{4} + 40 a^{2} + 34 a + 33\right)\cdot 43^{2} + \left(15 a^{11} + 40 a^{10} + 17 a^{9} + 31 a^{8} + 40 a^{7} + 7 a^{6} + 38 a^{5} + 15 a^{4} + 41 a^{3} + 40 a^{2} + 31 a + 32\right)\cdot 43^{3} + \left(9 a^{11} + 14 a^{10} + 37 a^{9} + 35 a^{8} + 39 a^{7} + 25 a^{6} + 19 a^{5} + 19 a^{4} + 25 a^{3} + 11 a^{2} + 31\right)\cdot 43^{4} + \left(5 a^{11} + 22 a^{10} + 25 a^{9} + 15 a^{8} + 37 a^{7} + 8 a^{6} + 5 a^{4} + 27 a^{3} + 21 a^{2} + 13 a + 37\right)\cdot 43^{5} + \left(31 a^{11} + 24 a^{10} + 30 a^{9} + 13 a^{8} + 9 a^{7} + 24 a^{6} + 10 a^{5} + 29 a^{4} + 37 a^{3} + 2 a^{2} + 21 a + 1\right)\cdot 43^{6} + \left(32 a^{11} + 7 a^{10} + 10 a^{9} + 28 a^{8} + 27 a^{7} + 29 a^{6} + 34 a^{5} + 28 a^{4} + 40 a^{3} + 16 a^{2} + 17 a + 39\right)\cdot 43^{7} + \left(15 a^{11} + 10 a^{10} + 33 a^{9} + 23 a^{8} + 40 a^{7} + 30 a^{6} + 42 a^{5} + 7 a^{4} + 22 a^{3} + 26 a^{2} + 35 a + 34\right)\cdot 43^{8} + \left(35 a^{11} + 4 a^{10} + 23 a^{9} + 41 a^{8} + 3 a^{7} + 20 a^{6} + 25 a^{5} + 26 a^{4} + 3 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 42\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\) 35a^11 + 38a^10 + 9a^9 + 9a^8 + 29a^7 + 10a^6 + 9a^5 + 18a^4 + 10a^3 + 41a^2 + 4a + 3 + (5a^11 + a^10 + 19a^9 + 22a^8 + 39a^7 + 30a^6 + 12a^5 + 29a^4 + 33a^3 + 17a^2 + 20a + 14)43 + (31a^11 + 18a^10 + 12a^9 + 41a^7 + 14a^6 + 37a^5 + 2a^4 + 40a^2 + 34a + 33)43^2 + (15a^11 + 40a^10 + 17a^9 + 31a^8 + 40a^7 + 7a^6 + 38a^5 + 15a^4 + 41a^3 + 40a^2 + 31a + 32)43^3 + (9a^11 + 14a^10 + 37a^9 + 35a^8 + 39a^7 + 25a^6 + 19a^5 + 19a^4 + 25a^3 + 11a^2 + 31)43^4 + (5a^11 + 22a^10 + 25a^9 + 15a^8 + 37a^7 + 8a^6 + 5a^4 + 27a^3 + 21a^2 + 13a + 37)43^5 + (31a^11 + 24a^10 + 30a^9 + 13a^8 + 9a^7 + 24a^6 + 10a^5 + 29a^4 + 37a^3 + 2a^2 + 21a + 1)43^6 + (32a^11 + 7a^10 + 10a^9 + 28a^8 + 27a^7 + 29a^6 + 34a^5 + 28a^4 + 40a^3 + 16a^2 + 17a + 39)43^7 + (15a^11 + 10a^10 + 33a^9 + 23a^8 + 40a^7 + 30a^6 + 42a^5 + 7a^4 + 22a^3 + 26a^2 + 35a + 34)43^8 + (35a^11 + 4a^10 + 23a^9 + 41a^8 + 3a^7 + 20a^6 + 25a^5 + 26a^4 + 3a^3 + 7a^2 + 9a + 42)43^9+O(43^10)
$r_{ 24 }$	$=$	\( 13 a^{11} + 27 a^{10} + 16 a^{9} + 5 a^{8} + 35 a^{7} + 35 a^{6} + 28 a^{5} + a^{4} + 36 a^{3} + 35 a^{2} + 33 a + 8 + \left(13 a^{11} + 38 a^{10} + 31 a^{9} + 14 a^{8} + 38 a^{7} + 7 a^{6} + 26 a^{5} + 15 a^{4} + 11 a^{3} + 13 a^{2} + 25 a + 13\right)\cdot 43 + \left(24 a^{11} + 6 a^{10} + 2 a^{9} + 31 a^{8} + 13 a^{7} + 23 a^{6} + 11 a^{5} + 13 a^{4} + 17 a^{3} + a^{2} + 18 a + 4\right)\cdot 43^{2} + \left(38 a^{11} + 20 a^{10} + a^{9} + 21 a^{8} + 36 a^{7} + 38 a^{6} + 21 a^{5} + 34 a^{4} + 9 a^{3} + 20 a^{2} + 2 a + 22\right)\cdot 43^{3} + \left(14 a^{11} + 28 a^{10} + 15 a^{9} + 16 a^{8} + 13 a^{7} + 18 a^{6} + 11 a^{5} + 12 a^{4} + 36 a^{2} + 10 a + 13\right)\cdot 43^{4} + \left(29 a^{11} + 31 a^{10} + 40 a^{9} + 8 a^{8} + 34 a^{7} + 37 a^{6} + 8 a^{5} + 9 a^{4} + 5 a^{3} + 23 a^{2} + 3 a + 26\right)\cdot 43^{5} + \left(17 a^{11} + 9 a^{10} + 14 a^{9} + 27 a^{8} + 12 a^{7} + 21 a^{6} + 24 a^{5} + 30 a^{4} + 35 a^{3} + 38 a^{2} + 23 a + 24\right)\cdot 43^{6} + \left(34 a^{11} + 26 a^{10} + 20 a^{9} + 29 a^{8} + 20 a^{7} + 8 a^{6} + 34 a^{5} + 38 a^{4} + 22 a^{3} + 38 a^{2} + 16 a + 4\right)\cdot 43^{7} + \left(36 a^{11} + 21 a^{10} + 18 a^{9} + 8 a^{8} + 21 a^{7} + 21 a^{6} + 8 a^{5} + 11 a^{4} + 2 a^{3} + 14 a^{2} + 2 a + 42\right)\cdot 43^{8} + \left(31 a^{10} + 28 a^{9} + 28 a^{8} + 33 a^{7} + 21 a^{6} + 33 a^{5} + 26 a^{4} + a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 41\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\) 13a^11 + 27a^10 + 16a^9 + 5a^8 + 35a^7 + 35a^6 + 28a^5 + a^4 + 36a^3 + 35a^2 + 33a + 8 + (13a^11 + 38a^10 + 31a^9 + 14a^8 + 38a^7 + 7a^6 + 26a^5 + 15a^4 + 11a^3 + 13a^2 + 25a + 13)43 + (24a^11 + 6a^10 + 2a^9 + 31a^8 + 13a^7 + 23a^6 + 11a^5 + 13a^4 + 17a^3 + a^2 + 18a + 4)43^2 + (38a^11 + 20a^10 + a^9 + 21a^8 + 36a^7 + 38a^6 + 21a^5 + 34a^4 + 9a^3 + 20a^2 + 2a + 22)43^3 + (14a^11 + 28a^10 + 15a^9 + 16a^8 + 13a^7 + 18a^6 + 11a^5 + 12a^4 + 36a^2 + 10a + 13)43^4 + (29a^11 + 31a^10 + 40a^9 + 8a^8 + 34a^7 + 37a^6 + 8a^5 + 9a^4 + 5a^3 + 23a^2 + 3a + 26)43^5 + (17a^11 + 9a^10 + 14a^9 + 27a^8 + 12a^7 + 21a^6 + 24a^5 + 30a^4 + 35a^3 + 38a^2 + 23a + 24)43^6 + (34a^11 + 26a^10 + 20a^9 + 29a^8 + 20a^7 + 8a^6 + 34a^5 + 38a^4 + 22a^3 + 38a^2 + 16a + 4)43^7 + (36a^11 + 21a^10 + 18a^9 + 8a^8 + 21a^7 + 21a^6 + 8a^5 + 11a^4 + 2a^3 + 14a^2 + 2a + 42)43^8 + (31a^10 + 28a^9 + 28a^8 + 33a^7 + 21a^6 + 33a^5 + 26a^4 + a^3 + 10a^2 + 7a + 41)*43^9+O(43^10)

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 24 }$

Cycle notation
$(3,10,21)(5,7,8)(9,15,22)(17,19,20)$
$(1,13)(2,14)(3,15)(4,16)(5,17)(6,18)(7,19)(8,20)(9,21)(10,22)(11,23)(12,24)$
$(1,23,14)(2,13,11)(3,21,10)(4,18,24)(5,8,7)(6,12,16)(9,22,15)(17,20,19)$
$(1,15,14,9,23,22)(2,21,11,10,13,3)(4,8,24,7,18,5)(6,17,16,20,12,19)$
$(1,16,13,4)(2,24,14,12)(3,8,15,20)(5,22,17,10)(6,11,18,23)(7,9,19,21)$

Character values on conjugacy classes

Size	Order	Action on $r_1, \ldots, r_{ 24 }$	Character value
$1$	$1$	$()$	$2$
$1$	$2$	$(1,13)(2,14)(3,15)(4,16)(5,17)(6,18)(7,19)(8,20)(9,21)(10,22)(11,23)(12,24)$	$-2$
$3$	$2$	$(1,9)(2,10)(3,11)(4,7)(5,24)(6,20)(8,18)(12,17)(13,21)(14,22)(15,23)(16,19)$	$0$
$3$	$2$	$(1,21)(2,22)(3,23)(4,19)(5,12)(6,8)(7,16)(9,13)(10,14)(11,15)(17,24)(18,20)$	$0$
$1$	$3$	$(1,14,23)(2,11,13)(3,21,10)(4,24,18)(5,8,7)(6,16,12)(9,22,15)(17,20,19)$	$-2 \zeta_{12}^{2}$
$1$	$3$	$(1,23,14)(2,13,11)(3,10,21)(4,18,24)(5,7,8)(6,12,16)(9,15,22)(17,19,20)$	$2 \zeta_{12}^{2} - 2$
$2$	$3$	$(1,23,14)(2,13,11)(3,21,10)(4,18,24)(5,8,7)(6,12,16)(9,22,15)(17,20,19)$	$-1$
$2$	$3$	$(3,10,21)(5,7,8)(9,15,22)(17,19,20)$	$\zeta_{12}^{2}$
$2$	$3$	$(3,21,10)(5,8,7)(9,22,15)(17,20,19)$	$-\zeta_{12}^{2} + 1$
$1$	$4$	$(1,16,13,4)(2,24,14,12)(3,8,15,20)(5,22,17,10)(6,11,18,23)(7,9,19,21)$	$-2 \zeta_{12}^{3}$
$1$	$4$	$(1,4,13,16)(2,12,14,24)(3,20,15,8)(5,10,17,22)(6,23,18,11)(7,21,19,9)$	$2 \zeta_{12}^{3}$
$3$	$4$	$(1,7,13,19)(2,17,14,5)(3,6,15,18)(4,21,16,9)(8,11,20,23)(10,12,22,24)$	$0$
$3$	$4$	$(1,19,13,7)(2,5,14,17)(3,18,15,6)(4,9,16,21)(8,23,20,11)(10,24,22,12)$	$0$
$1$	$6$	$(1,2,23,13,14,11)(3,9,10,15,21,22)(4,12,18,16,24,6)(5,20,7,17,8,19)$	$2 \zeta_{12}^{2}$
$1$	$6$	$(1,11,14,13,23,2)(3,22,21,15,10,9)(4,6,24,16,18,12)(5,19,8,17,7,20)$	$-2 \zeta_{12}^{2} + 2$
$2$	$6$	$(1,11,14,13,23,2)(3,9,10,15,21,22)(4,6,24,16,18,12)(5,20,7,17,8,19)$	$1$
$2$	$6$	$(1,13)(2,14)(3,22,21,15,10,9)(4,16)(5,19,8,17,7,20)(6,18)(11,23)(12,24)$	$-\zeta_{12}^{2}$
$2$	$6$	$(1,13)(2,14)(3,9,10,15,21,22)(4,16)(5,20,7,17,8,19)(6,18)(11,23)(12,24)$	$\zeta_{12}^{2} - 1$
$3$	$6$	$(1,15,14,9,23,22)(2,21,11,10,13,3)(4,8,24,7,18,5)(6,17,16,20,12,19)$	$0$
$3$	$6$	$(1,22,23,9,14,15)(2,3,13,10,11,21)(4,5,18,7,24,8)(6,19,12,20,16,17)$	$0$
$3$	$6$	$(1,3,14,21,23,10)(2,9,11,22,13,15)(4,20,24,19,18,17)(5,16,8,12,7,6)$	$0$
$3$	$6$	$(1,10,23,21,14,3)(2,15,13,22,11,9)(4,17,18,19,24,20)(5,6,7,12,8,16)$	$0$
$1$	$12$	$(1,12,11,4,14,6,13,24,23,16,2,18)(3,7,22,20,21,5,15,19,10,8,9,17)$	$2 \zeta_{12}^{3} - 2 \zeta_{12}$
$1$	$12$	$(1,6,2,4,23,12,13,18,14,16,11,24)(3,5,9,20,10,7,15,17,21,8,22,19)$	$2 \zeta_{12}$
$1$	$12$	$(1,24,11,16,14,18,13,12,23,4,2,6)(3,19,22,8,21,17,15,7,10,20,9,5)$	$-2 \zeta_{12}^{3} + 2 \zeta_{12}$
$1$	$12$	$(1,18,2,16,23,24,13,6,14,4,11,12)(3,17,9,8,10,19,15,5,21,20,22,7)$	$-2 \zeta_{12}$
$2$	$12$	$(1,6,2,4,23,12,13,18,14,16,11,24)(3,7,22,20,21,5,15,19,10,8,9,17)$	$\zeta_{12}^{3}$
$2$	$12$	$(1,18,2,16,23,24,13,6,14,4,11,12)(3,19,22,8,21,17,15,7,10,20,9,5)$	$-\zeta_{12}^{3}$
$2$	$12$	$(1,16,13,4)(2,24,14,12)(3,5,9,20,10,7,15,17,21,8,22,19)(6,11,18,23)$	$-\zeta_{12}^{3} + \zeta_{12}$
$2$	$12$	$(1,16,13,4)(2,24,14,12)(3,7,22,20,21,5,15,19,10,8,9,17)(6,11,18,23)$	$-\zeta_{12}$
$2$	$12$	$(1,4,13,16)(2,12,14,24)(3,17,9,8,10,19,15,5,21,20,22,7)(6,23,18,11)$	$\zeta_{12}^{3} - \zeta_{12}$
$2$	$12$	$(1,4,13,16)(2,12,14,24)(3,19,22,8,21,17,15,7,10,20,9,5)(6,23,18,11)$	$\zeta_{12}$
$3$	$12$	$(1,20,2,7,23,17,13,8,14,19,11,5)(3,24,9,6,10,4,15,12,21,18,22,16)$	$0$
$3$	$12$	$(1,17,11,7,14,20,13,5,23,19,2,8)(3,4,22,6,21,24,15,16,10,18,9,12)$	$0$
$3$	$12$	$(1,8,2,19,23,5,13,20,14,7,11,17)(3,12,9,18,10,16,15,24,21,6,22,4)$	$0$
$3$	$12$	$(1,5,11,19,14,8,13,17,23,7,2,20)(3,16,22,18,21,12,15,4,10,6,9,24)$	$0$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Related objects

Downloads

Learn more

Basic invariants

Defining polynomial

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 24 }$

Character values on conjugacy classes

This project is supported by grants from the US National Science Foundation, the UK Engineering and Physical Sciences Research Council, and the Simons Foundation.

Label	2.3328.24t65.a.d
Dimension	$2$
Group	$S_3\times C_{12}$
Conductor	$3328$
Root number	not computed
Indicator	$0$