Basic invariants
| Dimension: | $2$ |
| Group: | $D_{26}$ |
| Conductor: | \(3279\)\(\medspace = 3 \cdot 1093 \) |
| Frobenius-Schur indicator: | $1$ |
| Root number: | $1$ |
| Artin stem field: | Galois closure of 26.0.4634664002656599036916177705626061158525123.1 |
| Galois orbit size: | $6$ |
| Smallest permutation container: | $D_{26}$ |
| Parity: | odd |
| Determinant: | 1.3279.2t1.a.a |
| Projective image: | $D_{13}$ |
| Projective stem field: | Galois closure of 13.1.1242935235998051916321.1 |
Defining polynomial
| $f(x)$ | $=$ |
\( x^{26} - 9 x^{24} - 20 x^{23} - 12 x^{22} + 186 x^{21} + 794 x^{20} - 27 x^{19} - 4404 x^{18} + \cdots + 2259171 \)
|
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 31 }$ to precision 10.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 31 }$:
\( x^{13} + 6x + 28 \)
Roots:
| $r_{ 1 }$ | $=$ |
\( 5 a^{12} + 24 a^{11} + 21 a^{10} + 26 a^{9} + 9 a^{8} + 10 a^{7} + 8 a^{6} + 4 a^{5} + 9 a^{4} + 26 a^{3} + 27 a^{2} + 10 a + 27 + \left(2 a^{12} + 13 a^{11} + 28 a^{10} + 24 a^{9} + 10 a^{8} + a^{7} + a^{6} + 7 a^{5} + 13 a^{4} + 2 a^{2} + 11 a + 25\right)\cdot 31 + \left(12 a^{12} + 30 a^{11} + 15 a^{10} + 5 a^{9} + 21 a^{8} + 6 a^{7} + 10 a^{6} + 19 a^{5} + 17 a^{4} + 24 a^{3} + 11 a^{2} + 27 a + 2\right)\cdot 31^{2} + \left(10 a^{12} + 21 a^{11} + 16 a^{10} + 13 a^{9} + 13 a^{7} + 22 a^{6} + 12 a^{5} + 16 a^{3} + 15 a^{2} + 8 a + 22\right)\cdot 31^{3} + \left(25 a^{12} + 26 a^{11} + 26 a^{10} + 5 a^{9} + 7 a^{8} + 27 a^{7} + 20 a^{6} + 29 a^{5} + 15 a^{4} + 23 a^{3} + 10 a^{2} + 12 a + 26\right)\cdot 31^{4} + \left(24 a^{12} + 14 a^{11} + 22 a^{10} + 11 a^{9} + 12 a^{8} + 15 a^{7} + 11 a^{6} + 19 a^{5} + 8 a^{4} + 11 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 31^{5} + \left(9 a^{12} + 8 a^{11} + 26 a^{10} + 13 a^{8} + 16 a^{7} + 14 a^{6} + 2 a^{5} + 9 a^{4} + 13 a^{3} + 13 a^{2} + 15 a + 15\right)\cdot 31^{6} + \left(22 a^{12} + 4 a^{11} + 30 a^{10} + 9 a^{9} + 23 a^{8} + 16 a^{7} + 11 a^{6} + 15 a^{5} + 11 a^{4} + 27 a^{3} + a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 31^{7} + \left(15 a^{12} + 4 a^{11} + 21 a^{10} + 2 a^{9} + 22 a^{8} + 10 a^{7} + 10 a^{6} + 5 a^{5} + 9 a^{4} + 2 a^{3} + 12 a^{2} + 25 a + 6\right)\cdot 31^{8} + \left(29 a^{12} + 13 a^{11} + 10 a^{10} + 27 a^{9} + 16 a^{7} + 22 a^{6} + 22 a^{5} + 15 a^{4} + 2 a^{3} + 25 a^{2} + 23 a + 15\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 2 }$ | $=$ |
\( 6 a^{12} + 17 a^{11} + 18 a^{10} + 29 a^{9} + 9 a^{8} + 9 a^{7} + 7 a^{6} + 22 a^{5} + 9 a^{4} + 15 a^{3} + 19 a^{2} + 27 a + 22 + \left(7 a^{12} + 14 a^{11} + 26 a^{10} + 28 a^{9} + 19 a^{8} + 2 a^{7} + 19 a^{5} + 3 a^{4} + 12 a^{2} + 23 a + 30\right)\cdot 31 + \left(4 a^{12} + 10 a^{11} + 21 a^{10} + 6 a^{9} + 15 a^{8} + 30 a^{7} + 21 a^{6} + 23 a^{5} + 24 a^{4} + 28 a^{3} + 27 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 31^{2} + \left(17 a^{12} + 24 a^{11} + 29 a^{10} + 8 a^{9} + 4 a^{8} + 3 a^{7} + 18 a^{6} + 3 a^{5} + 14 a^{4} + 4 a^{3} + 18 a^{2} + 26 a + 11\right)\cdot 31^{3} + \left(23 a^{12} + 5 a^{11} + 26 a^{10} + 2 a^{9} + 10 a^{8} + 21 a^{7} + 6 a^{6} + 8 a^{5} + 24 a^{4} + 7 a^{3} + 28 a^{2} + a + 10\right)\cdot 31^{4} + \left(28 a^{12} + 19 a^{11} + 10 a^{10} + 17 a^{9} + 20 a^{8} + 14 a^{7} + 16 a^{6} + 30 a^{5} + 3 a^{4} + 15 a^{3} + 16 a^{2} + 22 a + 2\right)\cdot 31^{5} + \left(30 a^{12} + 3 a^{11} + 7 a^{10} + 17 a^{9} + 15 a^{8} + 29 a^{7} + 2 a^{6} + 4 a^{5} + 21 a^{4} + 29 a^{3} + 18 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 31^{6} + \left(30 a^{12} + 13 a^{11} + 27 a^{10} + 17 a^{9} + 15 a^{8} + 5 a^{7} + 2 a^{6} + 21 a^{4} + 30 a^{3} + 25 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 31^{7} + \left(7 a^{12} + 22 a^{11} + 13 a^{10} + 28 a^{9} + 16 a^{8} + 2 a^{7} + 2 a^{6} + 19 a^{5} + 13 a^{4} + 13 a^{3} + 27 a^{2} + 17 a + 22\right)\cdot 31^{8} + \left(30 a^{12} + 18 a^{11} + 3 a^{10} + 29 a^{9} + 26 a^{8} + 30 a^{7} + 16 a^{6} + 2 a^{5} + 19 a^{4} + 5 a^{3} + 28 a^{2} + 5 a + 17\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 3 }$ | $=$ |
\( 6 a^{12} + 25 a^{11} + 16 a^{10} + 23 a^{9} + 17 a^{8} + 23 a^{7} + 28 a^{6} + 9 a^{5} + 6 a^{4} + 29 a^{3} + 23 a + 23 + \left(3 a^{12} + 11 a^{11} + 4 a^{10} + 4 a^{9} + 5 a^{8} + 21 a^{7} + 27 a^{6} + 15 a^{5} + 21 a^{4} + 18 a^{3} + 17 a^{2} + 13 a + 7\right)\cdot 31 + \left(30 a^{12} + 21 a^{11} + 13 a^{10} + 20 a^{9} + 11 a^{8} + 2 a^{7} + 16 a^{6} + 28 a^{5} + 2 a^{4} + 18 a^{3} + a + 19\right)\cdot 31^{2} + \left(16 a^{12} + 10 a^{11} + 17 a^{10} + 4 a^{9} + 15 a^{8} + 13 a^{7} + 12 a^{6} + 26 a^{5} + 16 a^{4} + 7 a^{3} + 9 a^{2} + 3 a + 15\right)\cdot 31^{3} + \left(27 a^{12} + a^{11} + 20 a^{10} + 9 a^{9} + 2 a^{8} + 21 a^{7} + 11 a^{6} + 30 a^{5} + a^{4} + 8 a^{3} + 17 a^{2} + 21 a + 17\right)\cdot 31^{4} + \left(13 a^{12} + 18 a^{11} + 24 a^{10} + 10 a^{9} + 5 a^{8} + 26 a^{7} + 2 a^{6} + 9 a^{5} + 4 a^{4} + 23 a^{3} + 26 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 31^{5} + \left(29 a^{12} + 6 a^{11} + 27 a^{10} + 7 a^{9} + 19 a^{8} + 23 a^{7} + 22 a^{6} + 29 a^{5} + 30 a^{4} + 24 a^{3} + 28 a^{2} + 3 a + 19\right)\cdot 31^{6} + \left(20 a^{12} + 29 a^{11} + 11 a^{10} + 13 a^{9} + 14 a^{8} + 28 a^{7} + 13 a^{6} + 4 a^{5} + 24 a^{4} + 3 a^{3} + 4 a^{2} + 26 a + 24\right)\cdot 31^{7} + \left(15 a^{12} + 9 a^{11} + 9 a^{10} + 2 a^{9} + 12 a^{8} + 7 a^{7} + 4 a^{6} + 19 a^{5} + 15 a^{4} + 20 a^{3} + 27 a^{2} + 5 a + 15\right)\cdot 31^{8} + \left(25 a^{12} + 17 a^{11} + 13 a^{10} + a^{9} + 30 a^{8} + 20 a^{7} + 30 a^{6} + 12 a^{5} + 29 a^{4} + 12 a^{3} + 11 a^{2} + 18 a + 14\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 4 }$ | $=$ |
\( 7 a^{12} + 12 a^{11} + 28 a^{10} + 18 a^{9} + 6 a^{8} + 15 a^{7} + 6 a^{6} + 22 a^{5} + 28 a^{4} + 21 a^{3} + 20 a^{2} + 16 a + 18 + \left(3 a^{12} + 9 a^{11} + 6 a^{10} + 14 a^{9} + 30 a^{8} + 28 a^{7} + 22 a^{6} + 25 a^{5} + 30 a^{4} + 5 a^{3} + 30 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 31 + \left(5 a^{12} + 29 a^{11} + 23 a^{10} + 30 a^{9} + 21 a^{8} + 6 a^{7} + 6 a^{6} + 12 a^{5} + 25 a^{4} + 9 a^{3} + 29 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 31^{2} + \left(21 a^{12} + 26 a^{11} + 30 a^{10} + 10 a^{9} + 20 a^{8} + 28 a^{7} + 11 a^{6} + 15 a^{5} + 20 a^{4} + 17 a^{3} + 9 a^{2} + 16 a + 19\right)\cdot 31^{3} + \left(17 a^{12} + 29 a^{10} + 28 a^{9} + 23 a^{8} + 25 a^{7} + 9 a^{6} + 3 a^{5} + 27 a^{4} + 4 a^{3} + 21 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 31^{4} + \left(20 a^{12} + 23 a^{11} + 3 a^{10} + 28 a^{8} + 29 a^{7} + a^{5} + 6 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 31^{5} + \left(5 a^{12} + 5 a^{11} + 22 a^{10} + 29 a^{9} + 23 a^{8} + 30 a^{7} + 3 a^{6} + 30 a^{5} + 9 a^{4} + 21 a^{3} + 27 a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 31^{6} + \left(8 a^{12} + 10 a^{11} + 3 a^{10} + 7 a^{9} + 8 a^{8} + 18 a^{7} + 6 a^{6} + 25 a^{5} + 9 a^{4} + 12 a^{3} + 14 a^{2} + 22 a + 27\right)\cdot 31^{7} + \left(13 a^{12} + 22 a^{11} + 3 a^{9} + 16 a^{8} + 13 a^{7} + 9 a^{6} + 25 a^{5} + 15 a^{4} + 14 a^{3} + 20 a^{2} + 7 a + 22\right)\cdot 31^{8} + \left(11 a^{12} + 18 a^{11} + 13 a^{10} + 9 a^{9} + 14 a^{8} + 16 a^{7} + 19 a^{6} + 24 a^{5} + 12 a^{4} + 21 a^{3} + 15 a^{2} + 6 a + 20\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 5 }$ | $=$ |
\( 9 a^{12} + 2 a^{11} + 16 a^{10} + 9 a^{9} + 15 a^{8} + a^{7} + 10 a^{6} + 9 a^{5} + 12 a^{4} + 23 a^{3} + 20 a^{2} + 19 a + 10 + \left(6 a^{12} + 19 a^{11} + 17 a^{10} + 19 a^{9} + 20 a^{8} + 16 a^{7} + 30 a^{6} + 20 a^{5} + 26 a^{4} + 10 a^{3} + 4 a^{2} + 23 a + 23\right)\cdot 31 + \left(24 a^{12} + 25 a^{11} + 2 a^{10} + 16 a^{9} + 10 a^{8} + 20 a^{7} + 25 a^{6} + 14 a^{5} + 5 a^{4} + 18 a^{3} + 6 a^{2} + 26 a + 28\right)\cdot 31^{2} + \left(19 a^{12} + 29 a^{11} + 6 a^{10} + 19 a^{9} + 12 a^{8} + 2 a^{7} + 11 a^{6} + 27 a^{5} + a^{4} + 24 a^{3} + 18 a^{2} + a + 1\right)\cdot 31^{3} + \left(16 a^{12} + 26 a^{11} + 21 a^{10} + 10 a^{9} + 2 a^{8} + 16 a^{7} + a^{6} + 5 a^{5} + 10 a^{4} + 5 a^{3} + 11 a^{2} + 23 a + 3\right)\cdot 31^{4} + \left(24 a^{12} + 3 a^{11} + 15 a^{10} + 14 a^{9} + 13 a^{8} + 24 a^{7} + 28 a^{6} + 18 a^{5} + 7 a^{4} + 11 a^{3} + 30 a^{2} + 27 a + 17\right)\cdot 31^{5} + \left(5 a^{12} + 19 a^{11} + 18 a^{10} + 21 a^{9} + 3 a^{8} + 23 a^{7} + 4 a^{6} + 8 a^{5} + 19 a^{4} + 9 a^{3} + 8 a^{2} + 14 a + 11\right)\cdot 31^{6} + \left(21 a^{12} + 25 a^{11} + 25 a^{10} + 17 a^{9} + 22 a^{8} + 8 a^{7} + 26 a^{6} + 13 a^{5} + 12 a^{4} + 27 a^{3} + a^{2} + 20\right)\cdot 31^{7} + \left(26 a^{12} + 23 a^{11} + 7 a^{10} + 9 a^{9} + 17 a^{8} + 20 a^{7} + 29 a^{6} + 18 a^{5} + 18 a^{4} + 15 a^{3} + 30 a^{2} + 16 a + 25\right)\cdot 31^{8} + \left(29 a^{12} + 19 a^{11} + a^{10} + 3 a^{9} + 29 a^{8} + 11 a^{7} + 18 a^{6} + 10 a^{5} + 7 a^{4} + 24 a^{3} + 13 a + 29\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 6 }$ | $=$ |
\( 9 a^{12} + 17 a^{11} + 29 a^{10} + 7 a^{9} + 11 a^{8} + 2 a^{7} + 12 a^{6} + 16 a^{5} + 26 a^{4} + 2 a^{3} + 22 a^{2} + 4 a + 11 + \left(9 a^{12} + 15 a^{11} + 24 a^{10} + 20 a^{9} + 17 a^{8} + 24 a^{7} + 10 a^{6} + 13 a^{5} + 11 a^{4} + 10 a^{3} + 28 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 31 + \left(a^{12} + 6 a^{11} + 9 a^{10} + 22 a^{9} + 23 a^{8} + 13 a^{7} + 30 a^{6} + 28 a^{5} + 4 a^{4} + 19 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 17\right)\cdot 31^{2} + \left(14 a^{12} + 10 a^{11} + 24 a^{10} + 4 a^{9} + 27 a^{8} + 26 a^{7} + 12 a^{6} + 24 a^{5} + 14 a^{4} + 15 a^{3} + 29 a^{2} + 21 a + 6\right)\cdot 31^{3} + \left(17 a^{12} + 25 a^{11} + 2 a^{10} + 18 a^{9} + 27 a^{8} + 20 a^{7} + 22 a^{6} + 24 a^{5} + 14 a^{4} + 2 a^{3} + 20 a^{2} + 14 a + 21\right)\cdot 31^{4} + \left(a^{12} + 13 a^{11} + a^{10} + 9 a^{9} + 27 a^{8} + 4 a^{7} + 30 a^{6} + 25 a^{5} + 20 a^{4} + 26 a^{3} + 24 a^{2} + 16 a + 29\right)\cdot 31^{5} + \left(15 a^{12} + 25 a^{11} + 10 a^{9} + 9 a^{8} + 27 a^{7} + 3 a^{6} + 14 a^{5} + 23 a^{4} + 30 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 29\right)\cdot 31^{6} + \left(21 a^{12} + a^{11} + 17 a^{10} + 14 a^{9} + 28 a^{8} + 28 a^{7} + 23 a^{6} + 20 a^{5} + 13 a^{4} + 7 a^{3} + 7 a^{2} + 15 a + 29\right)\cdot 31^{7} + \left(10 a^{12} + 17 a^{11} + 3 a^{10} + 11 a^{9} + 29 a^{8} + 18 a^{7} + 21 a^{6} + a^{5} + 28 a^{4} + 17 a^{3} + 13 a^{2} + 7 a + 23\right)\cdot 31^{8} + \left(29 a^{12} + 16 a^{11} + 18 a^{10} + 29 a^{9} + 13 a^{8} + 23 a^{7} + 8 a^{6} + a^{5} + 13 a^{4} + 26 a^{3} + 24 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 7 }$ | $=$ |
\( 10 a^{12} + 6 a^{11} + 4 a^{10} + 4 a^{9} + 9 a^{8} + 23 a^{7} + 8 a^{6} + 3 a^{5} + 17 a^{4} + 12 a^{3} + 4 a^{2} + a + 7 + \left(11 a^{12} + 23 a^{11} + 25 a^{10} + 2 a^{9} + 15 a^{8} + 2 a^{7} + 19 a^{6} + 22 a^{5} + a^{4} + 20 a^{3} + 19 a^{2} + 18 a + 12\right)\cdot 31 + \left(5 a^{12} + 4 a^{11} + 26 a^{10} + 14 a^{9} + 9 a^{8} + 13 a^{7} + 26 a^{5} + 22 a^{4} + 12 a^{3} + 14 a^{2} + 15 a + 13\right)\cdot 31^{2} + \left(25 a^{12} + 14 a^{11} + 23 a^{10} + 17 a^{9} + 22 a^{8} + 27 a^{7} + 18 a^{6} + 28 a^{5} + 18 a^{4} + 29 a^{3} + 27 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 31^{3} + \left(6 a^{12} + 20 a^{11} + a^{10} + 12 a^{9} + 7 a^{8} + 30 a^{7} + 21 a^{6} + 28 a^{5} + 10 a^{4} + 15 a^{3} + 26 a^{2} + 25 a + 29\right)\cdot 31^{4} + \left(24 a^{12} + 21 a^{11} + 20 a^{10} + 22 a^{9} + 27 a^{8} + 7 a^{7} + 8 a^{6} + 30 a^{5} + 28 a^{4} + 30 a^{3} + 27 a^{2} + 25 a + 4\right)\cdot 31^{5} + \left(26 a^{12} + 5 a^{10} + 28 a^{9} + 12 a^{8} + 6 a^{7} + 5 a^{6} + 13 a^{5} + 20 a^{4} + 29 a^{3} + 7 a^{2} + 14 a + 28\right)\cdot 31^{6} + \left(a^{12} + 20 a^{11} + 14 a^{10} + 25 a^{9} + 25 a^{8} + 27 a^{6} + 14 a^{5} + 7 a^{4} + 10 a^{3} + 12 a^{2} + 25 a + 11\right)\cdot 31^{7} + \left(24 a^{12} + 20 a^{11} + 16 a^{10} + 15 a^{9} + 7 a^{8} + 13 a^{7} + 6 a^{6} + 14 a^{5} + 27 a^{4} + a^{3} + 9 a^{2} + 30 a + 7\right)\cdot 31^{8} + \left(28 a^{12} + 19 a^{11} + 16 a^{10} + 23 a^{9} + 6 a^{8} + 14 a^{7} + 5 a^{6} + 12 a^{5} + 24 a^{4} + 22 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 30\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 8 }$ | $=$ |
\( 11 a^{12} + 27 a^{11} + 19 a^{10} + 6 a^{9} + 14 a^{8} + 17 a^{7} + 29 a^{6} + 25 a^{5} + 11 a^{4} + 26 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 3 + \left(8 a^{12} + 9 a^{11} + 6 a^{10} + 23 a^{9} + 2 a^{8} + 27 a^{7} + 10 a^{6} + 4 a^{5} + 13 a^{4} + a^{3} + 17 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 31 + \left(26 a^{12} + 6 a^{11} + 2 a^{10} + 29 a^{9} + 6 a^{8} + 30 a^{7} + 24 a^{6} + 16 a^{5} + 10 a^{4} + 17 a^{3} + 14 a^{2} + 27 a + 12\right)\cdot 31^{2} + \left(7 a^{12} + 10 a^{11} + 25 a^{10} + 28 a^{9} + a^{8} + 4 a^{7} + 21 a^{6} + 11 a^{5} + 30 a^{4} + 15 a^{3} + 16 a^{2} + 14 a + 10\right)\cdot 31^{3} + \left(11 a^{11} + 24 a^{10} + 15 a^{9} + 29 a^{8} + 29 a^{6} + 17 a^{5} + 6 a^{4} + 26 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 21\right)\cdot 31^{4} + \left(4 a^{12} + 24 a^{11} + 22 a^{10} + a^{9} + 11 a^{8} + 22 a^{7} + 12 a^{6} + 8 a^{5} + 8 a^{4} + 13 a^{3} + 9 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 31^{5} + \left(16 a^{12} + 10 a^{11} + 11 a^{10} + a^{9} + 7 a^{8} + 17 a^{7} + 18 a^{6} + 23 a^{5} + 25 a^{4} + 21 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 31^{6} + \left(10 a^{12} + 26 a^{11} + 11 a^{10} + 14 a^{9} + 22 a^{8} + 27 a^{7} + 29 a^{6} + 19 a^{5} + 3 a^{4} + 3 a^{3} + 30 a^{2} + 18 a + 7\right)\cdot 31^{7} + \left(27 a^{12} + 27 a^{11} + 5 a^{10} + 28 a^{8} + 2 a^{7} + 16 a^{6} + 20 a^{5} + 7 a^{4} + 14 a^{3} + 10 a^{2} + 25 a + 11\right)\cdot 31^{8} + \left(29 a^{12} + 8 a^{11} + 16 a^{10} + 2 a^{9} + 8 a^{8} + 26 a^{7} + 9 a^{6} + 29 a^{5} + 21 a^{4} + 3 a^{3} + 24 a^{2} + 24 a + 5\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 9 }$ | $=$ |
\( 13 a^{12} + 18 a^{10} + 24 a^{9} + 3 a^{8} + 9 a^{7} + 22 a^{6} + 20 a^{5} + 4 a^{4} + 18 a^{3} + 29 a^{2} + 9 a + 25 + \left(5 a^{12} + 7 a^{11} + 10 a^{10} + 16 a^{9} + 10 a^{8} + 9 a^{7} + 17 a^{6} + 15 a^{5} + 20 a^{4} + a^{3} + 15 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 31 + \left(25 a^{12} + 9 a^{11} + 10 a^{10} + 2 a^{9} + 9 a^{8} + 15 a^{7} + 18 a^{6} + 14 a^{5} + 3 a^{4} + 17 a^{3} + a^{2} + 4 a + 15\right)\cdot 31^{2} + \left(25 a^{12} + 4 a^{11} + 3 a^{10} + 14 a^{9} + 21 a^{7} + 30 a^{6} + 22 a^{5} + a^{4} + 6 a^{3} + 25 a^{2} + 15 a + 11\right)\cdot 31^{3} + \left(5 a^{12} + 27 a^{10} + 5 a^{9} + 8 a^{8} + 28 a^{7} + 5 a^{6} + 22 a^{5} + 24 a^{4} + 4 a^{3} + 23 a^{2} + 26 a + 12\right)\cdot 31^{4} + \left(18 a^{12} + 15 a^{11} + 10 a^{10} + 22 a^{9} + 2 a^{8} + a^{6} + 2 a^{5} + 18 a^{4} + 4 a^{3} + 12 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 31^{5} + \left(19 a^{12} + 27 a^{11} + 26 a^{10} + 3 a^{9} + 7 a^{8} + 25 a^{7} + 2 a^{6} + 21 a^{5} + 29 a^{4} + 21 a^{3} + 9 a^{2} + 19 a + 2\right)\cdot 31^{6} + \left(9 a^{12} + 2 a^{11} + 14 a^{10} + 14 a^{9} + 15 a^{8} + a^{7} + 8 a^{6} + 14 a^{5} + 21 a^{4} + 12 a^{3} + 25 a^{2} + 25 a + 4\right)\cdot 31^{7} + \left(24 a^{12} + 10 a^{11} + 8 a^{10} + 21 a^{9} + 26 a^{8} + 16 a^{7} + 17 a^{6} + 5 a^{5} + 4 a^{4} + 26 a^{3} + 27 a^{2} + 18 a + 10\right)\cdot 31^{8} + \left(27 a^{12} + 4 a^{11} + 12 a^{10} + 20 a^{9} + 5 a^{8} + 4 a^{7} + 20 a^{6} + 28 a^{5} + 12 a^{4} + 6 a^{3} + a^{2} + 27 a + 18\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 10 }$ | $=$ |
\( 13 a^{12} + 10 a^{11} + 10 a^{10} + a^{9} + 7 a^{8} + 27 a^{7} + 29 a^{6} + 11 a^{5} + 16 a^{4} + 4 a^{3} + 11 a^{2} + 25 + \left(7 a^{12} + 29 a^{11} + 17 a^{10} + 4 a^{9} + 20 a^{8} + 3 a^{7} + 24 a^{6} + 2 a^{5} + 20 a^{4} + 15 a^{3} + 13 a^{2} + 8 a + 24\right)\cdot 31 + \left(21 a^{12} + 4 a^{11} + 29 a^{9} + 17 a^{8} + 15 a^{7} + 9 a^{6} + 27 a^{5} + a^{4} + 25 a^{3} + 15 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 31^{2} + \left(22 a^{12} + 14 a^{11} + 20 a^{10} + 21 a^{9} + 7 a^{8} + 15 a^{7} + 17 a^{6} + 4 a^{5} + 25 a^{4} + 2 a^{3} + 23 a^{2} + 19 a + 6\right)\cdot 31^{3} + \left(13 a^{12} + 5 a^{11} + 5 a^{10} + 23 a^{9} + 4 a^{8} + 13 a^{7} + 29 a^{6} + 22 a^{5} + 15 a^{4} + 30 a^{3} + a^{2} + 6 a + 13\right)\cdot 31^{4} + \left(18 a^{12} + 27 a^{11} + 14 a^{10} + 8 a^{9} + 21 a^{8} + 9 a^{7} + 10 a^{6} + 22 a^{5} + 3 a^{4} + 21 a^{3} + 22 a^{2} + 15 a + 2\right)\cdot 31^{5} + \left(9 a^{12} + 15 a^{11} + 13 a^{10} + 19 a^{9} + 21 a^{8} + 21 a^{7} + 19 a^{6} + 22 a^{5} + 8 a^{4} + 22 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 23\right)\cdot 31^{6} + \left(24 a^{12} + 23 a^{11} + 2 a^{10} + 18 a^{9} + 30 a^{8} + 5 a^{7} + 14 a^{6} + 12 a^{5} + 10 a^{4} + 10 a^{3} + 23 a^{2} + a + 25\right)\cdot 31^{7} + \left(23 a^{12} + 2 a^{11} + 24 a^{10} + 21 a^{9} + 22 a^{8} + 3 a^{7} + 15 a^{6} + 13 a^{5} + 24 a^{4} + 27 a^{3} + 26 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 31^{8} + \left(15 a^{12} + 22 a^{11} + 8 a^{10} + 22 a^{9} + 20 a^{8} + 8 a^{7} + 23 a^{6} + 23 a^{5} + 10 a^{4} + 12 a^{3} + 14 a^{2} + 4 a + 16\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 11 }$ | $=$ |
\( 13 a^{12} + 14 a^{11} + 2 a^{10} + 11 a^{9} + 4 a^{8} + 28 a^{7} + 18 a^{6} + 29 a^{4} + 24 a^{3} + 22 a^{2} + 5 a + 25 + \left(22 a^{12} + 6 a^{11} + 2 a^{10} + 18 a^{9} + 4 a^{8} + 17 a^{6} + 7 a^{5} + 2 a^{4} + 22 a^{3} + 28 a^{2} + 30 a + 26\right)\cdot 31 + \left(7 a^{12} + 11 a^{11} + 21 a^{10} + 13 a^{9} + 16 a^{8} + 10 a^{7} + 28 a^{6} + 11 a^{5} + 11 a^{4} + 7 a^{3} + 19 a^{2} + 29 a + 1\right)\cdot 31^{2} + \left(23 a^{12} + 16 a^{11} + 14 a^{10} + 4 a^{9} + 16 a^{8} + 24 a^{7} + 21 a^{6} + 14 a^{5} + 17 a^{4} + 28 a^{3} + 17 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 31^{3} + \left(24 a^{12} + 7 a^{11} + 13 a^{10} + 18 a^{9} + 25 a^{8} + 18 a^{7} + 6 a^{6} + 22 a^{5} + 15 a^{4} + 3 a^{3} + 6 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 31^{4} + \left(22 a^{12} + 8 a^{11} + 21 a^{10} + 29 a^{9} + 12 a^{8} + 7 a^{7} + 23 a^{6} + 15 a^{5} + 25 a^{4} + 27 a^{3} + 8 a^{2} + 28 a + 24\right)\cdot 31^{5} + \left(24 a^{12} + 3 a^{11} + 16 a^{10} + 23 a^{9} + 23 a^{8} + 3 a^{7} + 19 a^{6} + 27 a^{5} + 30 a^{4} + 24 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 31^{6} + \left(25 a^{12} + 8 a^{11} + 5 a^{10} + 26 a^{9} + 25 a^{8} + 6 a^{7} + 8 a^{6} + 29 a^{5} + 9 a^{4} + 3 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 29\right)\cdot 31^{7} + \left(16 a^{12} + 27 a^{11} + 3 a^{10} + 8 a^{8} + 25 a^{7} + 9 a^{6} + 20 a^{5} + 28 a^{4} + 27 a^{3} + 22 a^{2} + 30 a + 25\right)\cdot 31^{8} + \left(3 a^{12} + 4 a^{11} + 18 a^{10} + 17 a^{9} + 5 a^{8} + 20 a^{7} + 18 a^{6} + 22 a^{5} + 20 a^{4} + 25 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 12 }$ | $=$ |
\( 16 a^{12} + 19 a^{11} + 22 a^{10} + 24 a^{9} + 14 a^{8} + 5 a^{7} + 27 a^{6} + 16 a^{5} + 27 a^{2} + 21 a + 14 + \left(28 a^{12} + 13 a^{11} + 17 a^{10} + 9 a^{9} + 16 a^{8} + 8 a^{7} + 20 a^{6} + 10 a^{5} + 17 a^{4} + 25 a^{3} + 30 a + 14\right)\cdot 31 + \left(28 a^{12} + 2 a^{11} + 13 a^{10} + 3 a^{9} + 25 a^{8} + 15 a^{7} + a^{6} + 21 a^{5} + 22 a^{4} + 25 a^{3} + 23 a^{2} + 17 a + 17\right)\cdot 31^{2} + \left(28 a^{12} + 6 a^{10} + 15 a^{9} + a^{8} + 28 a^{7} + 3 a^{6} + 25 a^{4} + 15 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 31^{3} + \left(18 a^{12} + 21 a^{11} + 12 a^{10} + 25 a^{9} + 28 a^{8} + 30 a^{7} + 6 a^{6} + 8 a^{5} + 30 a^{4} + 7 a^{3} + 3 a^{2} + 17 a + 3\right)\cdot 31^{4} + \left(20 a^{12} + 3 a^{11} + a^{10} + 21 a^{8} + 28 a^{7} + 4 a^{6} + 22 a^{5} + 24 a^{4} + 4 a^{3} + 28 a^{2} + 28 a + 23\right)\cdot 31^{5} + \left(9 a^{12} + 8 a^{11} + 22 a^{10} + 17 a^{9} + 18 a^{8} + 16 a^{7} + 23 a^{6} + 13 a^{5} + 4 a^{4} + 18 a^{3} + 24 a^{2} + 21 a + 28\right)\cdot 31^{6} + \left(5 a^{12} + 13 a^{11} + 11 a^{10} + 25 a^{9} + 16 a^{8} + 29 a^{7} + 28 a^{6} + 28 a^{5} + 6 a^{4} + 3 a^{3} + 15 a^{2} + 26 a + 11\right)\cdot 31^{7} + \left(18 a^{12} + 22 a^{11} + 18 a^{10} + 10 a^{9} + 20 a^{8} + 27 a^{7} + 12 a^{6} + 27 a^{5} + 6 a^{4} + 3 a^{3} + 15 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 31^{8} + \left(9 a^{12} + 20 a^{11} + 17 a^{9} + 22 a^{8} + 28 a^{7} + 16 a^{6} + 8 a^{5} + 26 a^{4} + 30 a^{3} + 7 a^{2} + 24 a + 24\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 13 }$ | $=$ |
\( 17 a^{12} + 8 a^{11} + 15 a^{10} + 12 a^{9} + 13 a^{8} + a^{7} + 5 a^{6} + 21 a^{5} + 19 a^{4} + 17 a^{3} + 16 a^{2} + 15 a + 10 + \left(22 a^{12} + 18 a^{11} + 5 a^{10} + 4 a^{9} + 3 a^{8} + 3 a^{7} + 22 a^{6} + 8 a^{5} + 10 a^{4} + 4 a^{3} + 20 a^{2} + 27 a + 24\right)\cdot 31 + \left(23 a^{12} + 30 a^{11} + 25 a^{10} + 4 a^{9} + 24 a^{8} + 17 a^{7} + 13 a^{6} + 30 a^{5} + 27 a^{4} + 12 a^{3} + 4 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 31^{2} + \left(8 a^{12} + 21 a^{11} + 18 a^{10} + 11 a^{9} + 2 a^{8} + 24 a^{7} + 24 a^{6} + 25 a^{5} + 17 a^{4} + 2 a^{3} + 25 a^{2} + 20\right)\cdot 31^{3} + \left(15 a^{12} + 24 a^{11} + 14 a^{10} + 10 a^{9} + 26 a^{8} + 5 a^{7} + 16 a^{6} + 26 a^{5} + 22 a^{4} + 6 a^{3} + 17 a^{2} + 18 a + 30\right)\cdot 31^{4} + \left(27 a^{12} + 19 a^{11} + 11 a^{10} + 5 a^{9} + 10 a^{8} + 11 a^{7} + 27 a^{6} + 3 a^{5} + 9 a^{4} + 23 a^{3} + 30 a^{2} + 17 a + 3\right)\cdot 31^{5} + \left(12 a^{12} + 28 a^{11} + 5 a^{10} + 19 a^{9} + 8 a^{8} + 19 a^{7} + 2 a^{6} + 12 a^{5} + 30 a^{4} + 7 a^{3} + 30 a^{2} + 8 a + 25\right)\cdot 31^{6} + \left(22 a^{12} + 8 a^{11} + 12 a^{10} + 7 a^{9} + 18 a^{8} + 18 a^{7} + 22 a^{6} + 18 a^{5} + 23 a^{4} + 22 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 20\right)\cdot 31^{7} + \left(27 a^{12} + 7 a^{11} + 20 a^{10} + 6 a^{9} + 26 a^{8} + 23 a^{7} + 9 a^{6} + 24 a^{5} + 17 a^{4} + 28 a^{3} + 2 a^{2} + 23 a + 27\right)\cdot 31^{8} + \left(13 a^{12} + 13 a^{11} + 19 a^{10} + 20 a^{9} + a^{8} + 30 a^{7} + 6 a^{6} + 10 a^{5} + 28 a^{4} + 2 a^{3} + 25 a + 28\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 14 }$ | $=$ |
\( 17 a^{12} + 9 a^{11} + 12 a^{10} + 25 a^{9} + 13 a^{8} + 21 a^{7} + 14 a^{6} + 23 a^{5} + 26 a^{4} + 20 a^{3} + 23 a^{2} + 30 a + 9 + \left(22 a^{11} + 22 a^{10} + 21 a^{9} + 13 a^{8} + 12 a^{7} + 19 a^{6} + 27 a^{5} + 3 a^{4} + 15 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 27\right)\cdot 31 + \left(27 a^{12} + 9 a^{11} + 4 a^{9} + 3 a^{8} + 23 a^{7} + 17 a^{5} + 16 a^{4} + 25 a^{3} + 28 a^{2} + 20 a + 22\right)\cdot 31^{2} + \left(13 a^{12} + 3 a^{11} + 15 a^{10} + 26 a^{9} + 4 a^{8} + 9 a^{7} + 22 a^{6} + 4 a^{5} + 8 a^{4} + 11 a^{3} + 28 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 31^{3} + \left(21 a^{12} + 4 a^{11} + 14 a^{10} + 18 a^{9} + 19 a^{8} + 3 a^{7} + 5 a^{6} + 15 a^{5} + 11 a^{4} + 19 a^{3} + 3 a^{2} + 11 a + 27\right)\cdot 31^{4} + \left(20 a^{12} + 7 a^{11} + 19 a^{10} + 7 a^{9} + 24 a^{8} + 13 a^{7} + a^{6} + 24 a^{4} + a^{3} + 3 a^{2} + 14\right)\cdot 31^{5} + \left(30 a^{12} + 24 a^{11} + a^{10} + 4 a^{9} + 18 a^{8} + 20 a^{7} + 11 a^{6} + 21 a^{5} + 30 a^{4} + 24 a^{3} + 7 a^{2} + 18 a + 1\right)\cdot 31^{6} + \left(15 a^{12} + 15 a^{11} + 10 a^{10} + a^{9} + 13 a^{8} + 21 a^{7} + 4 a^{4} + 15 a^{3} + 30 a^{2} + 28 a + 13\right)\cdot 31^{7} + \left(3 a^{12} + 30 a^{11} + 28 a^{10} + 24 a^{9} + 6 a^{8} + 10 a^{7} + 16 a^{6} + 13 a^{5} + 25 a^{4} + 19 a^{3} + 22 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 31^{8} + \left(5 a^{12} + 3 a^{11} + 13 a^{10} + 13 a^{9} + 23 a^{8} + 19 a^{7} + a^{6} + 6 a^{5} + a^{4} + 3 a^{3} + 9 a^{2} + 14 a + 26\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 15 }$ | $=$ |
\( 17 a^{12} + 11 a^{11} + 15 a^{10} + 27 a^{9} + 28 a^{8} + 8 a^{7} + 11 a^{6} + 5 a^{5} + 17 a^{4} + 18 a^{3} + 9 a^{2} + 27 a + 9 + \left(20 a^{12} + 19 a^{11} + 11 a^{10} + 16 a^{9} + 18 a^{8} + 22 a^{7} + 13 a^{6} + 5 a^{5} + a^{4} + 14 a^{3} + 24 a^{2} + 25 a + 9\right)\cdot 31 + \left(19 a^{12} + 12 a^{11} + 6 a^{10} + 4 a^{9} + 2 a^{8} + 17 a^{7} + 8 a^{6} + 22 a^{5} + 10 a^{3} + 3 a^{2} + 30 a + 20\right)\cdot 31^{2} + \left(29 a^{12} + 18 a^{11} + 9 a^{10} + 30 a^{9} + 22 a^{8} + a^{7} + 25 a^{6} + 29 a^{5} + 27 a^{3} + 3 a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 31^{3} + \left(4 a^{12} + 24 a^{9} + 22 a^{8} + 5 a^{7} + 7 a^{6} + 13 a^{5} + 6 a^{4} + 16 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 17\right)\cdot 31^{4} + \left(13 a^{12} + 22 a^{11} + 16 a^{10} + a^{9} + 30 a^{8} + 3 a^{7} + 25 a^{6} + 18 a^{5} + 18 a^{4} + 27 a^{3} + 5 a + 6\right)\cdot 31^{5} + \left(5 a^{12} + 7 a^{11} + 20 a^{10} + 10 a^{9} + 28 a^{8} + 9 a^{7} + 29 a^{6} + 11 a^{5} + 30 a^{4} + 29 a^{3} + 5 a^{2} + 30 a + 26\right)\cdot 31^{6} + \left(21 a^{12} + 24 a^{11} + 20 a^{10} + 4 a^{9} + 26 a^{8} + 24 a^{7} + 6 a^{6} + a^{5} + 23 a^{4} + 19 a^{3} + 23 a^{2} + 15 a + 29\right)\cdot 31^{7} + \left(21 a^{12} + 5 a^{11} + 29 a^{10} + 29 a^{9} + 13 a^{8} + 7 a^{7} + 8 a^{6} + 2 a^{5} + 11 a^{4} + 7 a^{3} + 22 a^{2} + 26 a + 28\right)\cdot 31^{8} + \left(8 a^{12} + 6 a^{11} + 23 a^{10} + 2 a^{9} + 7 a^{8} + 12 a^{7} + 18 a^{6} + 7 a^{5} + 10 a^{4} + 5 a^{3} + 18 a^{2} + 5 a + 19\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 16 }$ | $=$ |
\( 18 a^{12} + 11 a^{11} + 7 a^{10} + 29 a^{9} + 28 a^{8} + 27 a^{7} + 21 a^{6} + 2 a^{5} + 15 a^{4} + 26 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 6 + \left(18 a^{12} + 27 a^{11} + 25 a^{10} + 5 a^{9} + 8 a^{8} + 16 a^{7} + 22 a^{6} + 21 a^{5} + 27 a^{4} + 10 a^{3} + 6 a^{2} + 27 a + 26\right)\cdot 31 + \left(6 a^{11} + 29 a^{10} + 4 a^{9} + 11 a^{8} + 23 a^{7} + 22 a^{6} + 18 a^{5} + 30 a^{4} + 30 a^{3} + 8 a^{2} + 24 a + 10\right)\cdot 31^{2} + \left(28 a^{12} + 24 a^{11} + 15 a^{10} + 12 a^{9} + 3 a^{8} + 22 a^{6} + 18 a^{4} + 28 a^{3} + 19 a^{2} + 11 a + 24\right)\cdot 31^{3} + \left(10 a^{12} + 12 a^{11} + 19 a^{10} + 26 a^{9} + 20 a^{8} + 29 a^{7} + 19 a^{6} + a^{5} + 2 a^{4} + 10 a^{3} + 11 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 31^{4} + \left(18 a^{12} + 2 a^{11} + 23 a^{10} + 19 a^{9} + 21 a^{8} + a^{7} + 12 a^{6} + 16 a^{5} + 15 a^{4} + 23 a^{3} + 23 a^{2} + 29 a + 27\right)\cdot 31^{5} + \left(a^{12} + 10 a^{11} + 13 a^{10} + 13 a^{9} + 22 a^{8} + 24 a^{7} + 12 a^{6} + 20 a^{5} + 9 a^{4} + 7 a^{3} + 4 a^{2} + 26 a + 7\right)\cdot 31^{6} + \left(12 a^{12} + 5 a^{11} + 14 a^{10} + 14 a^{9} + 14 a^{8} + 23 a^{7} + 6 a^{6} + a^{5} + 9 a^{4} + 8 a^{3} + 2 a^{2} + 18\right)\cdot 31^{7} + \left(13 a^{12} + 4 a^{11} + 26 a^{10} + 27 a^{9} + 4 a^{8} + 18 a^{7} + a^{6} + 25 a^{5} + 5 a^{4} + 26 a^{3} + 5 a^{2} + 26 a + 24\right)\cdot 31^{8} + \left(15 a^{12} + 20 a^{11} + 7 a^{10} + 10 a^{9} + 16 a^{8} + 28 a^{7} + 25 a^{6} + 19 a^{5} + 11 a^{4} + 2 a^{3} + 11 a^{2} + 26 a + 8\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 17 }$ | $=$ |
\( 20 a^{12} + a^{10} + 2 a^{9} + a^{8} + 26 a^{7} + 13 a^{6} + 25 a^{5} + 11 a^{4} + 29 a^{3} + 26 a^{2} + 16 a + 28 + \left(30 a^{12} + 26 a^{11} + 28 a^{10} + 17 a^{9} + 26 a^{8} + 20 a^{7} + 13 a^{6} + 5 a^{5} + 20 a^{4} + 25 a^{3} + 22 a^{2} + 12 a + 19\right)\cdot 31 + \left(22 a^{12} + 23 a^{10} + 12 a^{9} + 9 a^{8} + 29 a^{7} + 14 a^{6} + 2 a^{5} + a^{4} + 15 a^{2} + 25 a + 19\right)\cdot 31^{2} + \left(20 a^{12} + 24 a^{11} + 4 a^{10} + 25 a^{9} + 6 a^{8} + 11 a^{7} + 23 a^{6} + 11 a^{5} + 8 a^{4} + 16 a^{3} + 12 a^{2} + 23 a + 9\right)\cdot 31^{3} + \left(20 a^{12} + 6 a^{11} + 25 a^{10} + 18 a^{9} + 14 a^{8} + 29 a^{7} + 17 a^{6} + 13 a^{5} + 5 a^{4} + 26 a^{3} + 27 a^{2} + 27 a + 6\right)\cdot 31^{4} + \left(12 a^{12} + 27 a^{11} + 4 a^{9} + 6 a^{8} + 19 a^{7} + 24 a^{6} + 6 a^{5} + 30 a^{4} + 8 a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 31^{5} + \left(30 a^{12} + 27 a^{11} + 28 a^{10} + 2 a^{9} + 29 a^{8} + 15 a^{7} + 6 a^{6} + 12 a^{5} + 13 a^{4} + 29 a^{3} + 12 a^{2} + 26 a + 7\right)\cdot 31^{6} + \left(26 a^{12} + 4 a^{11} + 9 a^{10} + 25 a^{9} + 10 a^{8} + 25 a^{7} + 5 a^{6} + 23 a^{5} + 5 a^{4} + 30 a^{3} + 22 a^{2} + 16 a + 26\right)\cdot 31^{7} + \left(21 a^{11} + 15 a^{10} + 29 a^{9} + 21 a^{8} + 22 a^{7} + 15 a^{6} + 3 a^{5} + 6 a^{3} + 29 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 31^{8} + \left(22 a^{12} + 12 a^{11} + 21 a^{10} + 20 a^{9} + 9 a^{8} + 16 a^{7} + 18 a^{6} + 16 a^{5} + 2 a^{4} + 23 a^{2} + 23 a + 17\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 18 }$ | $=$ |
\( 20 a^{12} + 23 a^{11} + 29 a^{10} + 29 a^{9} + 21 a^{8} + 28 a^{7} + 15 a^{6} + 24 a^{5} + 18 a^{4} + 6 a^{3} + 9 a^{2} + 17 a + 29 + \left(27 a^{12} + 18 a^{11} + 27 a^{10} + 15 a^{9} + 23 a^{8} + 19 a^{7} + 4 a^{6} + 23 a^{5} + 15 a^{4} + 6 a^{3} + 28 a^{2} + 28 a + 23\right)\cdot 31 + \left(12 a^{12} + 5 a^{11} + 10 a^{10} + 30 a^{9} + 17 a^{8} + 24 a^{7} + 25 a^{6} + 12 a^{5} + 21 a^{4} + 23 a^{3} + 23 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 31^{2} + \left(12 a^{12} + 11 a^{11} + 3 a^{10} + 3 a^{9} + 30 a^{8} + 17 a^{7} + 23 a^{6} + 22 a^{5} + 4 a^{4} + 16 a^{3} + 5 a^{2} + 15 a + 2\right)\cdot 31^{3} + \left(11 a^{12} + 10 a^{11} + 28 a^{10} + 19 a^{9} + 10 a^{8} + 21 a^{7} + 27 a^{6} + 12 a^{5} + 2 a^{4} + 15 a^{3} + 11 a^{2} + 26 a + 21\right)\cdot 31^{4} + \left(27 a^{12} + 15 a^{11} + 20 a^{10} + 29 a^{8} + 10 a^{7} + 24 a^{6} + 17 a^{5} + 5 a^{4} + 24 a^{3} + 26 a^{2} + 29 a + 5\right)\cdot 31^{5} + \left(12 a^{12} + 8 a^{10} + 10 a^{9} + 17 a^{8} + 25 a^{7} + 30 a^{6} + 4 a^{5} + 12 a^{4} + 22 a^{3} + 9 a^{2} + a + 13\right)\cdot 31^{6} + \left(29 a^{12} + 29 a^{11} + 7 a^{10} + 22 a^{9} + 26 a^{8} + 7 a^{7} + a^{6} + 11 a^{5} + 3 a^{4} + 6 a^{3} + 25 a^{2} + 12 a + 21\right)\cdot 31^{7} + \left(16 a^{12} + 5 a^{11} + 26 a^{10} + 18 a^{9} + 26 a^{8} + 4 a^{7} + 12 a^{6} + a^{5} + 19 a^{4} + 27 a^{3} + 19 a^{2} + 17 a + 15\right)\cdot 31^{8} + \left(8 a^{12} + 15 a^{11} + 25 a^{10} + 6 a^{9} + a^{8} + 21 a^{7} + 13 a^{6} + 29 a^{5} + 29 a^{4} + 17 a^{3} + 26 a^{2} + 16 a + 25\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 19 }$ | $=$ |
\( 21 a^{12} + 24 a^{11} + 11 a^{10} + 11 a^{9} + 3 a^{8} + 12 a^{7} + 18 a^{6} + 17 a^{5} + 14 a^{4} + 7 a^{3} + a^{2} + 25 a + 25 + \left(12 a^{12} + 11 a^{11} + 20 a^{10} + 26 a^{9} + 23 a^{8} + 30 a^{7} + 3 a^{6} + 9 a^{5} + 12 a^{4} + 12 a^{3} + 2 a^{2} + 30 a + 7\right)\cdot 31 + \left(6 a^{12} + 11 a^{11} + 14 a^{10} + 17 a^{9} + 25 a^{8} + 30 a^{7} + 12 a^{6} + 27 a^{5} + 10 a^{4} + 21 a^{3} + 13 a^{2} + 16 a + 7\right)\cdot 31^{2} + \left(15 a^{12} + 20 a^{11} + 8 a^{10} + 23 a^{9} + 11 a^{7} + 12 a^{6} + 3 a^{5} + 27 a^{4} + 21 a^{3} + 10 a^{2} + 8\right)\cdot 31^{3} + \left(24 a^{12} + 4 a^{11} + 30 a^{10} + 27 a^{9} + 9 a^{8} + 28 a^{7} + 22 a^{6} + 27 a^{5} + 10 a^{4} + 13 a^{3} + 18 a^{2} + 12 a + 17\right)\cdot 31^{4} + \left(26 a^{12} + 9 a^{10} + 7 a^{9} + 18 a^{7} + 3 a^{5} + 3 a^{4} + 17 a^{3} + 22 a^{2} + 26 a + 21\right)\cdot 31^{5} + \left(21 a^{12} + 27 a^{11} + 17 a^{10} + 4 a^{9} + 8 a^{8} + 8 a^{7} + 14 a^{6} + 30 a^{5} + 16 a^{4} + 17 a^{3} + 28 a^{2} + 25 a + 5\right)\cdot 31^{6} + \left(10 a^{12} + 27 a^{11} + 15 a^{10} + 29 a^{9} + 6 a^{8} + 22 a^{7} + 22 a^{6} + 6 a^{5} + 15 a^{4} + 28 a^{3} + 5 a^{2} + 27 a + 13\right)\cdot 31^{7} + \left(26 a^{12} + 3 a^{11} + 19 a^{10} + 18 a^{9} + 27 a^{8} + 8 a^{7} + 6 a^{6} + 10 a^{5} + 23 a^{4} + 6 a^{2} + 9 a + 22\right)\cdot 31^{8} + \left(15 a^{12} + a^{11} + 26 a^{10} + 9 a^{8} + 17 a^{7} + 19 a^{5} + 30 a^{4} + 8 a^{3} + a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 20 }$ | $=$ |
\( 24 a^{12} + 13 a^{11} + 17 a^{10} + 26 a^{9} + 27 a^{8} + 3 a^{7} + a^{6} + 15 a^{5} + 2 a^{4} + 19 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 12 + \left(6 a^{12} + 10 a^{11} + 15 a^{10} + 23 a^{9} + 30 a^{8} + 10 a^{7} + 30 a^{6} + 30 a^{5} + 12 a^{4} + 8 a^{3} + 6 a^{2} + 25 a + 28\right)\cdot 31 + \left(8 a^{12} + 2 a^{11} + 21 a^{10} + 18 a^{9} + 15 a^{8} + 8 a^{7} + a^{6} + 3 a^{5} + 5 a^{4} + 2 a^{3} + 14 a^{2} + 30 a + 18\right)\cdot 31^{2} + \left(2 a^{12} + 25 a^{11} + 12 a^{10} + 3 a^{9} + 9 a^{8} + 8 a^{7} + 27 a^{6} + 8 a^{5} + 6 a^{4} + 26 a^{3} + 3 a^{2} + 15 a + 14\right)\cdot 31^{3} + \left(9 a^{12} + 22 a^{11} + 20 a^{10} + 23 a^{9} + 11 a^{8} + 16 a^{7} + 28 a^{6} + 15 a^{5} + 15 a^{4} + 11 a^{3} + 7 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 31^{4} + \left(23 a^{12} + 11 a^{11} + a^{10} + 10 a^{9} + 10 a^{8} + 14 a^{7} + 19 a^{6} + 18 a^{5} + 2 a^{4} + 7 a^{3} + 21 a^{2} + 26 a + 10\right)\cdot 31^{5} + \left(13 a^{12} + 16 a^{11} + 25 a^{10} + 25 a^{9} + 18 a^{8} + 20 a^{7} + 3 a^{6} + 19 a^{5} + 17 a^{4} + 16 a^{3} + 9 a^{2} + 10\right)\cdot 31^{6} + \left(4 a^{12} + 13 a^{11} + a^{10} + 3 a^{9} + 14 a^{8} + 10 a^{7} + 9 a^{6} + 15 a^{5} + 30 a^{4} + 5 a^{3} + 6 a^{2} + 29 a + 6\right)\cdot 31^{7} + \left(21 a^{12} + 29 a^{11} + 12 a^{10} + 11 a^{9} + 6 a^{8} + 10 a^{7} + 26 a^{6} + 23 a^{5} + 27 a^{4} + 16 a^{3} + 11 a^{2} + 26 a + 21\right)\cdot 31^{8} + \left(7 a^{12} + 29 a^{11} + 3 a^{10} + 25 a^{9} + 6 a^{8} + 16 a^{7} + 27 a^{6} + 27 a^{5} + 7 a^{4} + 29 a^{3} + 19 a^{2} + 13 a + 16\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 21 }$ | $=$ |
\( 25 a^{12} + 17 a^{11} + 7 a^{10} + 24 a^{9} + 4 a^{8} + 30 a^{7} + 11 a^{6} + 12 a^{5} + 22 a^{4} + 21 a^{3} + 24 a^{2} + 9 a + 8 + \left(12 a^{12} + 17 a^{11} + 3 a^{10} + a^{9} + 12 a^{8} + 8 a^{7} + 26 a^{6} + 21 a^{5} + 19 a^{4} + 29 a^{3} + 16 a^{2} + 27 a + 21\right)\cdot 31 + \left(3 a^{12} + 28 a^{11} + 16 a^{10} + 5 a^{9} + 24 a^{8} + 27 a^{7} + 11 a^{6} + 16 a^{5} + 4 a^{3} + 24 a^{2} + 12 a + 25\right)\cdot 31^{2} + \left(a^{12} + 6 a^{10} + 11 a^{9} + 28 a^{8} + 15 a^{7} + 24 a^{6} + 28 a^{5} + 10 a^{4} + 9 a^{3} + 20 a + 5\right)\cdot 31^{3} + \left(18 a^{12} + 21 a^{10} + 10 a^{9} + 5 a^{8} + 21 a^{7} + 8 a^{6} + 26 a^{5} + 22 a^{4} + 26 a^{3} + 12 a + 13\right)\cdot 31^{4} + \left(9 a^{12} + 26 a^{11} + 14 a^{10} + 30 a^{9} + 12 a^{8} + 28 a^{7} + 16 a^{6} + 16 a^{5} + 13 a^{4} + 29 a^{3} + 13 a^{2} + 20 a + 3\right)\cdot 31^{5} + \left(18 a^{11} + a^{10} + 14 a^{9} + 14 a^{8} + 26 a^{7} + 15 a^{6} + 29 a^{5} + 2 a^{4} + a^{3} + 10 a^{2} + 19 a + 24\right)\cdot 31^{6} + \left(27 a^{12} + 10 a^{11} + 16 a^{10} + 4 a^{9} + 5 a^{8} + 6 a^{7} + a^{6} + 9 a^{5} + 9 a^{4} + 28 a^{2} + a + 28\right)\cdot 31^{7} + \left(21 a^{12} + 7 a^{11} + 25 a^{10} + 30 a^{9} + 14 a^{8} + 17 a^{7} + 5 a^{6} + a^{5} + 17 a^{4} + 9 a^{3} + 4 a^{2} + 28 a + 10\right)\cdot 31^{8} + \left(29 a^{11} + 9 a^{10} + 25 a^{9} + 13 a^{8} + 5 a^{7} + 29 a^{6} + 29 a^{5} + 2 a^{4} + 3 a^{3} + 23 a^{2} + 21 a + 23\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 22 }$ | $=$ |
\( 26 a^{12} + 20 a^{10} + 3 a^{9} + 19 a^{8} + 25 a^{7} + 14 a^{6} + 2 a^{4} + 19 a^{3} + 9 a^{2} + 17 a + 4 + \left(10 a^{12} + 27 a^{11} + 28 a^{10} + 11 a^{9} + 21 a^{8} + 11 a^{7} + 9 a^{6} + a^{5} + 6 a^{4} + 24 a^{3} + a^{2} + 30 a + 15\right)\cdot 31 + \left(2 a^{12} + 7 a^{11} + 11 a^{10} + 14 a^{9} + 22 a^{8} + 9 a^{7} + 9 a^{6} + 20 a^{5} + 29 a^{3} + 29 a^{2} + a + 5\right)\cdot 31^{2} + \left(7 a^{12} + 14 a^{11} + 8 a^{10} + 17 a^{9} + 10 a^{8} + 13 a^{7} + 2 a^{6} + 3 a^{5} + 9 a^{4} + 17 a^{3} + 9 a^{2} + 19 a + 22\right)\cdot 31^{3} + \left(2 a^{12} + a^{11} + 8 a^{10} + 12 a^{9} + 6 a^{8} + 9 a^{7} + 17 a^{6} + 5 a^{5} + 24 a^{4} + 8 a^{3} + 19 a^{2} + 28 a + 6\right)\cdot 31^{4} + \left(15 a^{12} + 17 a^{11} + 18 a^{10} + 23 a^{9} + 4 a^{8} + 20 a^{7} + 19 a^{6} + 8 a^{5} + 7 a^{4} + 21 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 31^{5} + \left(18 a^{12} + 8 a^{11} + a^{10} + 26 a^{9} + 7 a^{8} + 26 a^{6} + 12 a^{5} + 15 a^{4} + 25 a^{3} + 17 a^{2} + 25 a + 3\right)\cdot 31^{6} + \left(6 a^{12} + 28 a^{11} + 17 a^{10} + 9 a^{9} + 22 a^{8} + 9 a^{7} + 29 a^{6} + a^{5} + 17 a^{4} + 22 a^{2} + 26 a + 11\right)\cdot 31^{7} + \left(8 a^{12} + 11 a^{11} + a^{9} + 27 a^{8} + 24 a^{7} + 16 a^{6} + a^{5} + 28 a^{4} + 25 a^{3} + 30 a + 16\right)\cdot 31^{8} + \left(19 a^{12} + 21 a^{11} + 14 a^{10} + 16 a^{9} + 8 a^{8} + 18 a^{6} + 23 a^{5} + 2 a^{4} + 13 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 23 }$ | $=$ |
\( 26 a^{12} + 14 a^{11} + 15 a^{10} + 9 a^{9} + 18 a^{8} + 23 a^{7} + 24 a^{6} + 12 a^{5} + 22 a^{4} + 17 a^{3} + 8 a + 5 + \left(a^{12} + 25 a^{11} + 6 a^{10} + 25 a^{9} + 7 a^{8} + 2 a^{7} + 5 a^{5} + 28 a^{4} + 22 a^{3} + 4 a^{2} + 22 a + 12\right)\cdot 31 + \left(6 a^{12} + 23 a^{11} + 26 a^{10} + 2 a^{9} + 9 a^{8} + 28 a^{7} + a^{6} + a^{5} + 27 a^{4} + 28 a^{3} + 25 a^{2} + 23 a + 24\right)\cdot 31^{2} + \left(9 a^{12} + 11 a^{11} + a^{10} + 30 a^{9} + 30 a^{8} + 24 a^{7} + 23 a^{6} + 24 a^{5} + 9 a^{4} + 5 a^{3} + 17 a^{2} + 29\right)\cdot 31^{3} + \left(9 a^{12} + 4 a^{11} + 6 a^{10} + 30 a^{9} + 25 a^{8} + 3 a^{7} + 28 a^{6} + 28 a^{5} + 30 a^{4} + 8 a^{3} + 16 a^{2} + 17 a + 18\right)\cdot 31^{4} + \left(9 a^{12} + 21 a^{10} + 16 a^{9} + 14 a^{8} + 28 a^{7} + a^{6} + 20 a^{5} + 27 a^{4} + 9 a^{3} + 28 a^{2} + 8 a + 29\right)\cdot 31^{5} + \left(2 a^{12} + 16 a^{11} + 15 a^{10} + 15 a^{9} + 4 a^{8} + 13 a^{7} + 21 a^{6} + 5 a^{5} + 9 a^{4} + 17 a^{3} + 6 a^{2} + 15 a + 18\right)\cdot 31^{6} + \left(2 a^{12} + 26 a^{11} + 25 a^{10} + 25 a^{9} + 9 a^{8} + 22 a^{7} + 15 a^{6} + 5 a^{5} + 28 a^{4} + 14 a^{3} + 3 a^{2} + 13 a + 22\right)\cdot 31^{7} + \left(8 a^{12} + 11 a^{11} + 28 a^{10} + 4 a^{9} + a^{8} + 13 a^{7} + 8 a^{6} + 29 a^{5} + 17 a^{4} + 28 a^{3} + 17 a + 23\right)\cdot 31^{8} + \left(28 a^{12} + 29 a^{11} + a^{10} + 25 a^{9} + 9 a^{8} + 28 a^{7} + 7 a^{6} + 10 a^{5} + 30 a^{4} + 9 a^{3} + 22 a^{2} + 18 a + 29\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 24 }$ | $=$ |
\( 27 a^{12} + 19 a^{11} + 22 a^{10} + 18 a^{9} + 19 a^{8} + 15 a^{7} + 30 a^{6} + 22 a^{5} + 8 a^{4} + 17 a^{3} + 7 a + \left(20 a^{12} + 8 a^{11} + 26 a^{10} + 22 a^{9} + 20 a^{8} + 7 a^{7} + 22 a^{6} + 3 a^{5} + 18 a^{4} + 10 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 23\right)\cdot 31 + \left(14 a^{12} + 2 a^{11} + 25 a^{10} + 26 a^{9} + 15 a^{8} + 3 a^{7} + 28 a^{6} + 30 a^{5} + 27 a^{4} + 6 a^{3} + a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 31^{2} + \left(12 a^{12} + 15 a^{11} + 24 a^{10} + 23 a^{9} + 11 a^{8} + 29 a^{7} + 11 a^{6} + 11 a^{5} + a^{4} + 24 a^{3} + 14 a^{2} + 4\right)\cdot 31^{3} + \left(7 a^{12} + 10 a^{11} + 2 a^{10} + 19 a^{9} + a^{8} + 7 a^{7} + 9 a^{6} + 11 a^{5} + 15 a^{4} + 20 a^{3} + 29 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 31^{4} + \left(20 a^{12} + 9 a^{11} + 7 a^{10} + 14 a^{9} + 30 a^{8} + 30 a^{7} + 30 a^{6} + 26 a^{5} + 29 a^{4} + 24 a^{3} + 16 a^{2} + 26 a + 24\right)\cdot 31^{5} + \left(21 a^{12} + 7 a^{11} + 3 a^{10} + 18 a^{9} + 4 a^{8} + 20 a^{7} + 9 a^{6} + 26 a^{5} + 19 a^{4} + 23 a^{3} + 12 a^{2} + 21 a + 8\right)\cdot 31^{6} + \left(25 a^{12} + 5 a^{11} + 3 a^{9} + 5 a^{8} + 9 a^{7} + 5 a^{6} + 5 a^{5} + 8 a^{4} + 14 a^{3} + 22 a^{2} + 2 a + 26\right)\cdot 31^{7} + \left(26 a^{12} + 2 a^{11} + 17 a^{10} + 6 a^{9} + 18 a^{8} + 12 a^{7} + 15 a^{6} + 7 a^{5} + a^{4} + 7 a^{3} + 6 a + 28\right)\cdot 31^{8} + \left(3 a^{12} + 25 a^{11} + 11 a^{10} + 9 a^{9} + 14 a^{8} + 23 a^{7} + 17 a^{6} + 26 a^{5} + 13 a^{4} + 27 a^{3} + 29 a^{2} + 5 a + 28\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 25 }$ | $=$ |
\( 28 a^{12} + 28 a^{11} + 18 a^{9} + 7 a^{8} + 13 a^{7} + 14 a^{6} + 30 a^{5} + 9 a^{4} + 22 a^{3} + 29 a^{2} + 2 a + 28 + \left(25 a^{12} + 28 a^{11} + 18 a^{10} + 18 a^{9} + 27 a^{8} + a^{7} + 21 a^{6} + 7 a^{5} + 19 a^{4} + 7 a^{3} + 19 a^{2} + 26 a + 11\right)\cdot 31 + \left(21 a^{12} + 19 a^{11} + 30 a^{10} + 14 a^{9} + 29 a^{8} + 11 a^{7} + 18 a^{6} + 10 a^{5} + 7 a^{4} + 20 a^{3} + 24 a^{2} + 3 a + 16\right)\cdot 31^{2} + \left(15 a^{12} + 10 a^{11} + 15 a^{10} + 13 a^{9} + 7 a^{8} + 18 a^{6} + 6 a^{5} + 29 a^{4} + 17 a^{3} + 7 a^{2} + 11 a + 20\right)\cdot 31^{3} + \left(24 a^{12} + 5 a^{11} + 15 a^{10} + 12 a^{9} + 20 a^{8} + 23 a^{7} + 28 a^{6} + 7 a^{5} + 10 a^{4} + 22 a^{3} + 13 a^{2} + 23 a\right)\cdot 31^{4} + \left(12 a^{12} + 22 a^{11} + 2 a^{10} + 29 a^{9} + 7 a^{8} + 6 a^{7} + a^{5} + 5 a^{4} + 29 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 31^{5} + \left(13 a^{12} + 20 a^{11} + 29 a^{10} + 24 a^{9} + 13 a^{8} + 9 a^{7} + 23 a^{6} + 18 a^{5} + 12 a^{4} + 20 a^{3} + 26 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 31^{6} + \left(12 a^{12} + 7 a^{11} + 11 a^{10} + 18 a^{9} + 28 a^{8} + 16 a^{7} + 13 a^{6} + 2 a^{5} + 11 a^{4} + 10 a^{3} + 20 a^{2} + 2 a + 25\right)\cdot 31^{7} + \left(8 a^{12} + 29 a^{11} + a^{10} + 3 a^{9} + 6 a^{8} + 18 a^{7} + 8 a^{6} + 25 a^{5} + 25 a^{4} + 19 a^{3} + 28 a^{2} + 20 a + 20\right)\cdot 31^{8} + \left(23 a^{12} + 4 a^{11} + 13 a^{10} + 9 a^{9} + 29 a^{8} + 26 a^{7} + 19 a^{6} + 22 a^{5} + 13 a^{4} + 2 a^{3} + 15 a^{2} + 14 a + 11\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 26 }$ | $=$ |
\( 30 a^{12} + 22 a^{11} + 29 a^{10} + 19 a^{9} + 22 a^{8} + 2 a^{7} + 8 a^{6} + 7 a^{5} + 20 a^{4} + 27 a^{3} + 5 a^{2} + 17 a + 20 + \left(13 a^{12} + 29 a^{11} + 5 a^{10} + 4 a^{9} + 24 a^{8} + 26 a^{7} + 20 a^{6} + 5 a^{5} + 24 a^{4} + 13 a^{3} + 19 a^{2} + a\right)\cdot 31 + \left(10 a^{12} + 15 a^{11} + 29 a^{10} + 16 a^{9} + a^{8} + 30 a^{7} + 8 a^{6} + 7 a^{5} + 11 a^{4} + 25 a^{3} + 18 a^{2} + 1\right)\cdot 31^{2} + \left(24 a^{12} + 18 a^{11} + 7 a^{10} + 7 a^{9} + 10 a^{8} + 22 a^{7} + a^{6} + 28 a^{5} + 3 a^{4} + 22 a^{3} + 28 a^{2} + 23 a + 23\right)\cdot 31^{3} + \left(24 a^{12} + 17 a^{11} + 14 a^{10} + 3 a^{9} + 2 a^{8} + 4 a^{7} + 23 a^{6} + 4 a^{5} + 27 a^{4} + 24 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 31^{4} + \left(5 a^{12} + 29 a^{11} + 3 a^{10} + 19 a^{9} + 26 a^{8} + 2 a^{7} + 15 a^{6} + 5 a^{5} + 24 a^{4} + 10 a^{3} + 17 a^{2} + 12 a + 17\right)\cdot 31^{5} + \left(14 a^{12} + 22 a^{11} + 2 a^{10} + 2 a^{9} + 29 a^{8} + 8 a^{7} + 25 a^{6} + 28 a^{5} + 12 a^{4} + 15 a^{3} + 15 a^{2} + 20 a + 27\right)\cdot 31^{6} + \left(14 a^{12} + 16 a^{11} + 2 a^{10} + 28 a^{9} + 13 a^{8} + 5 a^{7} + 5 a^{5} + 26 a^{4} + 6 a^{3} + 17 a^{2} + 26 a + 14\right)\cdot 31^{7} + \left(4 a^{12} + 21 a^{11} + 19 a^{10} + a^{8} + 17 a^{7} + 4 a^{6} + 12 a^{5} + 13 a^{4} + 27 a^{3} + 4 a^{2} + 24 a + 20\right)\cdot 31^{8} + \left(21 a^{12} + 5 a^{11} + 15 a^{10} + 13 a^{9} + 4 a^{8} + 27 a^{7} + 22 a^{6} + 17 a^{5} + 3 a^{4} + 13 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 26 }$
| Cycle notation |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on $r_1, \ldots, r_{ 26 }$ | Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $2$ |
| $1$ | $2$ | $(1,14)(2,26)(3,4)(5,18)(6,24)(7,20)(8,11)(9,12)(10,16)(13,21)(15,25)(17,23)(19,22)$ | $-2$ |
| $13$ | $2$ | $(1,5)(2,6)(3,9)(4,12)(7,20)(8,22)(10,23)(11,19)(13,15)(14,18)(16,17)(21,25)(24,26)$ | $0$ |
| $13$ | $2$ | $(1,18)(2,24)(3,12)(4,9)(5,14)(6,26)(8,19)(10,17)(11,22)(13,25)(15,21)(16,23)$ | $0$ |
| $2$ | $13$ | $(1,7,18,6,23,25,19,12,3,8,13,16,26)(2,14,20,5,24,17,15,22,9,4,11,21,10)$ | $\zeta_{13}^{7} + \zeta_{13}^{6}$ |
| $2$ | $13$ | $(1,18,23,19,3,13,26,7,6,25,12,8,16)(2,20,24,15,9,11,10,14,5,17,22,4,21)$ | $-\zeta_{13}^{11} - \zeta_{13}^{10} - \zeta_{13}^{9} - \zeta_{13}^{8} - \zeta_{13}^{7} - \zeta_{13}^{6} - \zeta_{13}^{5} - \zeta_{13}^{4} - \zeta_{13}^{3} - \zeta_{13}^{2} - 1$ |
| $2$ | $13$ | $(1,6,19,8,26,18,25,3,16,7,23,12,13)(2,5,15,4,10,20,17,9,21,14,24,22,11)$ | $\zeta_{13}^{8} + \zeta_{13}^{5}$ |
| $2$ | $13$ | $(1,23,3,26,6,12,16,18,19,13,7,25,8)(2,24,9,10,5,22,21,20,15,11,14,17,4)$ | $\zeta_{13}^{11} + \zeta_{13}^{2}$ |
| $2$ | $13$ | $(1,25,13,18,12,26,23,8,7,19,16,6,3)(2,17,11,20,22,10,24,4,14,15,21,5,9)$ | $\zeta_{13}^{9} + \zeta_{13}^{4}$ |
| $2$ | $13$ | $(1,19,26,25,16,23,13,6,8,18,3,7,12)(2,15,10,17,21,24,11,5,4,20,9,14,22)$ | $\zeta_{13}^{10} + \zeta_{13}^{3}$ |
| $2$ | $26$ | $(1,20,18,24,23,15,19,9,3,11,13,10,26,14,7,5,6,17,25,22,12,4,8,21,16,2)$ | $-\zeta_{13}^{7} - \zeta_{13}^{6}$ |
| $2$ | $26$ | $(1,24,19,11,26,5,25,4,16,20,23,9,13,14,6,22,8,2,18,15,3,10,7,17,12,21)$ | $-\zeta_{13}^{8} - \zeta_{13}^{5}$ |
| $2$ | $26$ | $(1,15,13,5,12,2,23,11,7,22,16,24,3,14,25,21,18,9,26,17,8,20,19,10,6,4)$ | $-\zeta_{13}^{9} - \zeta_{13}^{4}$ |
| $2$ | $26$ | $(1,9,7,4,18,11,6,21,23,10,25,2,19,14,12,20,3,5,8,24,13,17,16,15,26,22)$ | $-\zeta_{13}^{10} - \zeta_{13}^{3}$ |
| $2$ | $26$ | $(1,11,25,20,13,22,18,10,12,24,26,4,23,14,8,15,7,21,19,5,16,9,6,2,3,17)$ | $-\zeta_{13}^{11} - \zeta_{13}^{2}$ |
| $2$ | $26$ | $(1,10,8,9,25,24,7,2,13,4,19,17,18,14,16,11,12,15,6,20,26,21,3,22,23,5)$ | $\zeta_{13}^{11} + \zeta_{13}^{10} + \zeta_{13}^{9} + \zeta_{13}^{8} + \zeta_{13}^{7} + \zeta_{13}^{6} + \zeta_{13}^{5} + \zeta_{13}^{4} + \zeta_{13}^{3} + \zeta_{13}^{2} + 1$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.