Basic invariants
| Dimension: | $2$ |
| Group: | $D_{28}$ |
| Conductor: | \(3143\)\(\medspace = 7 \cdot 449 \) |
| Frobenius-Schur indicator: | $1$ |
| Root number: | $1$ |
| Artin stem field: | Galois closure of 28.0.20444429365013571404907915184985572799247638801.1 |
| Galois orbit size: | $6$ |
| Smallest permutation container: | $D_{28}$ |
| Parity: | odd |
| Determinant: | 1.3143.2t1.a.a |
| Projective image: | $D_{14}$ |
| Projective stem field: | Galois closure of 14.0.6747833004465577869943.1 |
Defining polynomial
| $f(x)$ | $=$ |
\( x^{28} - 6 x^{27} + 18 x^{26} + 6 x^{25} - 69 x^{24} + 47 x^{23} + 257 x^{22} - 674 x^{21} + 321 x^{20} + \cdots + 2675 \)
|
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 53 }$ to precision 10.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 53 }$:
\( x^{14} + x^{8} + 45x^{7} + 23x^{6} + 52x^{5} + 37x^{3} + 12x^{2} + 23x + 2 \)
Roots:
| $r_{ 1 }$ | $=$ |
\( 18 a^{13} + 27 a^{12} + 42 a^{11} + 43 a^{10} + 29 a^{9} + 24 a^{8} + 5 a^{7} + 26 a^{6} + 4 a^{5} + 40 a^{4} + 21 a^{3} + 20 a^{2} + 16 a + 22 + \left(32 a^{13} + 33 a^{12} + 46 a^{11} + 28 a^{10} + 13 a^{9} + 36 a^{8} + 48 a^{7} + 50 a^{6} + 32 a^{5} + 51 a^{4} + 39 a^{3} + 46 a^{2} + 18 a + 14\right)\cdot 53 + \left(13 a^{13} + 17 a^{12} + 19 a^{11} + 50 a^{10} + 49 a^{9} + 11 a^{8} + 41 a^{7} + 47 a^{6} + 36 a^{5} + 25 a^{4} + 49 a^{3} + 16 a^{2} + 16 a + 42\right)\cdot 53^{2} + \left(28 a^{13} + 48 a^{12} + 33 a^{11} + 49 a^{10} + 35 a^{9} + 7 a^{8} + 10 a^{7} + 50 a^{6} + 45 a^{5} + 10 a^{4} + 12 a^{3} + 18 a + 48\right)\cdot 53^{3} + \left(13 a^{13} + 12 a^{12} + 18 a^{11} + 41 a^{10} + 49 a^{9} + 2 a^{8} + 51 a^{7} + 49 a^{6} + 34 a^{5} + 27 a^{4} + 37 a^{3} + 37 a^{2} + 40 a + 51\right)\cdot 53^{4} + \left(29 a^{13} + 15 a^{12} + 43 a^{11} + 15 a^{10} + 9 a^{9} + 16 a^{8} + 13 a^{7} + 27 a^{6} + 34 a^{5} + 33 a^{4} + 4 a^{3} + 5 a^{2} + 22 a + 23\right)\cdot 53^{5} + \left(10 a^{13} + 3 a^{12} + 15 a^{11} + 39 a^{10} + 32 a^{9} + 50 a^{7} + 48 a^{6} + 48 a^{5} + 48 a^{4} + 24 a^{3} + 46 a^{2} + 51 a + 51\right)\cdot 53^{6} + \left(25 a^{13} + 20 a^{12} + 7 a^{11} + 27 a^{10} + 15 a^{9} + 27 a^{8} + 43 a^{7} + 18 a^{6} + 29 a^{5} + 10 a^{4} + 51 a^{3} + 43 a^{2} + 8 a + 15\right)\cdot 53^{7} + \left(35 a^{13} + 9 a^{12} + 39 a^{11} + 38 a^{10} + 49 a^{9} + 28 a^{8} + 43 a^{7} + 5 a^{6} + 14 a^{5} + 48 a^{4} + 30 a^{3} + 15 a^{2} + 18 a + 22\right)\cdot 53^{8} + \left(34 a^{13} + 24 a^{12} + a^{11} + 28 a^{10} + 24 a^{9} + 3 a^{8} + 7 a^{7} + 20 a^{6} + 3 a^{5} + 37 a^{4} + 10 a^{3} + 28 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\)
|
| $r_{ 2 }$ | $=$ |
\( 35 a^{13} + 39 a^{12} + a^{11} + 10 a^{10} + 43 a^{9} + 40 a^{8} + 10 a^{7} + 9 a^{6} + 36 a^{5} + 16 a^{4} + 7 a^{3} + 10 a^{2} + 40 a + 13 + \left(34 a^{13} + 25 a^{12} + 43 a^{11} + 23 a^{10} + 7 a^{9} + 47 a^{8} + 46 a^{7} + 15 a^{6} + 3 a^{5} + a^{4} + 47 a^{3} + 48 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 53 + \left(7 a^{13} + 40 a^{12} + 40 a^{11} + 11 a^{10} + 47 a^{9} + 25 a^{8} + 27 a^{7} + 51 a^{6} + 50 a^{5} + 29 a^{4} + 5 a^{3} + 5 a + 50\right)\cdot 53^{2} + \left(33 a^{13} + 32 a^{12} + 25 a^{11} + 52 a^{10} + 30 a^{9} + 43 a^{8} + 30 a^{7} + 29 a^{6} + 25 a^{5} + 52 a^{4} + 35 a^{3} + 33 a^{2} + 41 a + 29\right)\cdot 53^{3} + \left(13 a^{13} + 20 a^{12} + 2 a^{11} + 14 a^{10} + 4 a^{9} + 12 a^{8} + 9 a^{7} + 39 a^{6} + 19 a^{5} + 23 a^{4} + 48 a^{3} + 25 a^{2} + 48 a + 51\right)\cdot 53^{4} + \left(41 a^{13} + 31 a^{12} + 27 a^{11} + 29 a^{10} + 51 a^{9} + 26 a^{8} + 45 a^{7} + 17 a^{6} + 49 a^{5} + 14 a^{4} + 15 a^{3} + 17 a^{2} + 41 a + 20\right)\cdot 53^{5} + \left(43 a^{13} + 2 a^{12} + 6 a^{11} + 9 a^{10} + 49 a^{9} + 43 a^{8} + 9 a^{7} + 22 a^{6} + 51 a^{5} + 24 a^{4} + 45 a^{3} + 24 a^{2} + 49 a + 48\right)\cdot 53^{6} + \left(a^{13} + 42 a^{12} + 30 a^{11} + 12 a^{10} + 50 a^{9} + 52 a^{8} + 51 a^{7} + 18 a^{6} + 11 a^{5} + 19 a^{4} + 34 a^{3} + 31 a^{2} + 30 a + 16\right)\cdot 53^{7} + \left(52 a^{13} + 38 a^{12} + 24 a^{10} + 16 a^{9} + 2 a^{8} + 16 a^{7} + 27 a^{6} + 43 a^{5} + 33 a^{4} + 37 a^{3} + 21 a^{2} + 51 a + 25\right)\cdot 53^{8} + \left(28 a^{13} + 38 a^{12} + 24 a^{11} + 46 a^{10} + 38 a^{9} + 22 a^{8} + 34 a^{7} + 29 a^{6} + 16 a^{5} + 8 a^{4} + 34 a^{3} + 35 a^{2} + 44 a + 34\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\)
|
| $r_{ 3 }$ | $=$ |
\( 21 a^{13} + 17 a^{12} + 8 a^{11} + 2 a^{10} + 8 a^{9} + 39 a^{8} + 36 a^{7} + 40 a^{6} + 36 a^{5} + 6 a^{4} + 37 a^{3} + 4 a^{2} + 52 a + 15 + \left(3 a^{13} + 4 a^{12} + 32 a^{11} + 22 a^{10} + 42 a^{9} + 17 a^{8} + 8 a^{7} + 42 a^{5} + 35 a^{3} + 18 a^{2} + 50 a + 31\right)\cdot 53 + \left(12 a^{13} + 39 a^{12} + 10 a^{11} + 8 a^{10} + 6 a^{9} + 34 a^{8} + 47 a^{7} + 6 a^{6} + 18 a^{5} + 22 a^{4} + 46 a^{3} + 25 a^{2} + 38 a + 46\right)\cdot 53^{2} + \left(45 a^{13} + 41 a^{12} + 25 a^{11} + 12 a^{10} + 30 a^{9} + 26 a^{8} + 33 a^{7} + 25 a^{6} + 3 a^{5} + 29 a^{4} + 47 a^{3} + 48 a^{2} + 34 a + 33\right)\cdot 53^{3} + \left(9 a^{13} + 14 a^{12} + 33 a^{11} + 7 a^{10} + 27 a^{9} + 52 a^{8} + 10 a^{7} + a^{6} + 51 a^{5} + 32 a^{4} + 37 a^{2} + 12 a + 24\right)\cdot 53^{4} + \left(44 a^{13} + 49 a^{12} + 29 a^{11} + 41 a^{10} + 9 a^{9} + 29 a^{8} + 4 a^{7} + 43 a^{6} + 47 a^{5} + 19 a^{4} + 35 a^{3} + 3 a^{2} + 29 a + 5\right)\cdot 53^{5} + \left(13 a^{13} + 19 a^{12} + 28 a^{11} + 50 a^{10} + 8 a^{9} + 50 a^{8} + 31 a^{6} + 36 a^{5} + 43 a^{4} + 38 a^{3} + 41 a^{2} + 44 a + 9\right)\cdot 53^{6} + \left(37 a^{13} + 42 a^{12} + 36 a^{11} + 8 a^{9} + 49 a^{8} + 39 a^{7} + 19 a^{6} + 16 a^{5} + 35 a^{4} + 20 a^{3} + 30 a^{2} + 27 a + 1\right)\cdot 53^{7} + \left(42 a^{13} + 25 a^{12} + 28 a^{11} + 27 a^{10} + 46 a^{9} + 50 a^{8} + 9 a^{7} + 10 a^{6} + 21 a^{5} + 49 a^{4} + 51 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 17\right)\cdot 53^{8} + \left(41 a^{13} + a^{12} + 3 a^{11} + 38 a^{10} + 33 a^{9} + 24 a^{8} + 47 a^{7} + 45 a^{6} + 41 a^{5} + 13 a^{4} + 26 a^{3} + 15 a^{2} + 7 a + 48\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\)
|
| $r_{ 4 }$ | $=$ |
\( 25 a^{13} + 4 a^{12} + 14 a^{11} + 19 a^{10} + 26 a^{9} + 37 a^{8} + 14 a^{7} + 11 a^{6} + 33 a^{5} + 8 a^{4} + 18 a^{3} + 26 a^{2} + 3 a + 40 + \left(32 a^{13} + 17 a^{12} + 31 a^{11} + 49 a^{10} + 5 a^{9} + 31 a^{8} + 28 a^{7} + 37 a^{6} + 3 a^{4} + 52 a^{3} + 37 a + 7\right)\cdot 53 + \left(3 a^{13} + 31 a^{12} + 2 a^{11} + 2 a^{10} + 6 a^{9} + 35 a^{8} + 33 a^{7} + 8 a^{6} + 22 a^{5} + 8 a^{4} + 51 a^{3} + 10 a^{2} + 11 a + 48\right)\cdot 53^{2} + \left(20 a^{13} + 33 a^{12} + 2 a^{11} + 15 a^{10} + 43 a^{9} + 38 a^{8} + 5 a^{7} + 26 a^{6} + 8 a^{5} + 34 a^{4} + 15 a^{3} + 23 a^{2} + 43 a + 23\right)\cdot 53^{3} + \left(37 a^{13} + 18 a^{12} + 13 a^{11} + 16 a^{10} + 42 a^{9} + 34 a^{8} + 49 a^{7} + 38 a^{6} + 50 a^{5} + 36 a^{4} + 4 a^{3} + 29 a^{2} + 2 a + 29\right)\cdot 53^{4} + \left(31 a^{13} + 30 a^{12} + 28 a^{11} + 30 a^{10} + 37 a^{9} + 47 a^{8} + 15 a^{7} + 37 a^{6} + 19 a^{5} + 32 a^{4} + 31 a^{3} + a^{2} + 35 a + 30\right)\cdot 53^{5} + \left(26 a^{13} + 39 a^{12} + 37 a^{11} + 14 a^{10} + 4 a^{9} + 22 a^{8} + 36 a^{7} + 45 a^{6} + 15 a^{5} + 18 a^{4} + 43 a^{3} + 4 a^{2} + 40 a + 44\right)\cdot 53^{6} + \left(46 a^{13} + 24 a^{12} + 21 a^{11} + 52 a^{10} + 39 a^{9} + 29 a^{8} + 6 a^{7} + 3 a^{6} + 24 a^{5} + 10 a^{4} + 51 a^{3} + 33 a^{2} + 42 a + 17\right)\cdot 53^{7} + \left(32 a^{13} + 10 a^{12} + 21 a^{11} + 9 a^{10} + 16 a^{8} + 35 a^{7} + 31 a^{6} + 34 a^{5} + 22 a^{4} + 17 a^{3} + 40 a^{2} + 21 a + 13\right)\cdot 53^{8} + \left(29 a^{13} + 26 a^{12} + 10 a^{11} + 38 a^{10} + 13 a^{9} + 38 a^{8} + 50 a^{7} + 34 a^{6} + 38 a^{5} + 36 a^{4} + 4 a^{3} + 37 a^{2} + 3 a + 46\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\)
|
| $r_{ 5 }$ | $=$ |
\( 18 a^{13} + 49 a^{12} + 48 a^{11} + 11 a^{10} + 42 a^{9} + 24 a^{8} + 2 a^{7} + 13 a^{6} + 36 a^{5} + 26 a^{4} + 2 a^{3} + 35 a^{2} + 7 a + 29 + \left(12 a^{13} + 30 a^{12} + 42 a^{11} + 42 a^{10} + 3 a^{9} + 19 a^{8} + 35 a^{7} + 42 a^{6} + 35 a^{5} + 51 a^{4} + 3 a^{3} + 31 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 53 + \left(9 a^{13} + 29 a^{12} + 50 a^{11} + 4 a^{10} + 36 a^{9} + 49 a^{8} + 26 a^{7} + 17 a^{6} + 36 a^{5} + 15 a^{4} + a^{3} + 31 a^{2} + 32 a + 52\right)\cdot 53^{2} + \left(45 a^{13} + 14 a^{12} + 10 a^{11} + 32 a^{10} + 45 a^{9} + 11 a^{8} + 26 a^{7} + 3 a^{6} + 24 a^{5} + 51 a^{4} + 2 a^{3} + 40 a^{2} + 11 a + 33\right)\cdot 53^{3} + \left(31 a^{13} + 37 a^{12} + 42 a^{11} + 11 a^{10} + 13 a^{9} + a^{8} + 10 a^{7} + 41 a^{6} + 30 a^{5} + 49 a^{4} + 23 a^{3} + 47 a^{2} + 47 a + 41\right)\cdot 53^{4} + \left(22 a^{13} + 40 a^{12} + 10 a^{10} + 4 a^{9} + 26 a^{8} + 32 a^{7} + 46 a^{6} + 39 a^{5} + 35 a^{4} + 35 a^{3} + 32 a^{2} + 42 a + 40\right)\cdot 53^{5} + \left(34 a^{13} + 24 a^{12} + 21 a^{11} + 51 a^{10} + 19 a^{9} + 34 a^{8} + 12 a^{7} + 49 a^{6} + 9 a^{5} + 52 a^{4} + 34 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 53^{6} + \left(52 a^{13} + 4 a^{12} + 29 a^{11} + 11 a^{10} + 7 a^{9} + 45 a^{8} + 9 a^{7} + 49 a^{6} + 50 a^{5} + 2 a^{4} + 5 a^{3} + 37 a^{2} + 24 a + 16\right)\cdot 53^{7} + \left(14 a^{13} + 31 a^{12} + 50 a^{11} + 31 a^{10} + 14 a^{9} + 11 a^{8} + 37 a^{7} + a^{6} + 4 a^{5} + 29 a^{4} + 35 a^{3} + 27 a^{2} + 27 a + 43\right)\cdot 53^{8} + \left(31 a^{13} + 45 a^{12} + 8 a^{11} + 43 a^{10} + 21 a^{9} + 36 a^{8} + 16 a^{7} + 29 a^{6} + 25 a^{5} + 36 a^{4} + 25 a^{3} + 29 a^{2} + 15 a + 2\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\)
|
| $r_{ 6 }$ | $=$ |
\( 39 a^{13} + 7 a^{12} + 20 a^{11} + 2 a^{10} + 48 a^{9} + 46 a^{8} + 23 a^{7} + 35 a^{6} + 6 a^{5} + 52 a^{4} + 4 a^{3} + 43 a^{2} + 41 a + 44 + \left(47 a^{13} + 35 a^{12} + 44 a^{11} + 42 a^{10} + 44 a^{9} + 2 a^{8} + 9 a^{6} + 15 a^{5} + 41 a^{4} + 22 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 25\right)\cdot 53 + \left(15 a^{13} + 31 a^{12} + 2 a^{11} + 19 a^{10} + 36 a^{9} + 8 a^{8} + 39 a^{7} + 10 a^{6} + 48 a^{5} + 33 a^{4} + 9 a^{3} + 35 a^{2} + 20 a + 44\right)\cdot 53^{2} + \left(29 a^{13} + 22 a^{12} + 51 a^{11} + 40 a^{10} + 27 a^{9} + 5 a^{8} + 11 a^{7} + 32 a^{6} + a^{5} + 51 a^{4} + 43 a^{3} + 5 a^{2} + 28\right)\cdot 53^{3} + \left(14 a^{12} + 44 a^{11} + 42 a^{10} + 52 a^{9} + 2 a^{8} + 15 a^{7} + 35 a^{6} + 12 a^{5} + 2 a^{4} + 31 a^{3} + 15 a^{2} + 10 a + 20\right)\cdot 53^{4} + \left(20 a^{13} + 33 a^{12} + 15 a^{11} + 31 a^{10} + 43 a^{9} + 22 a^{7} + 30 a^{6} + 20 a^{5} + 12 a^{4} + 24 a^{3} + 38 a^{2} + 2 a + 37\right)\cdot 53^{5} + \left(31 a^{13} + 13 a^{12} + 38 a^{11} + 22 a^{10} + 25 a^{9} + 45 a^{8} + 31 a^{7} + 9 a^{6} + 44 a^{5} + 8 a^{4} + 42 a^{3} + 50 a^{2} + 25 a + 16\right)\cdot 53^{6} + \left(a^{13} + 16 a^{12} + a^{11} + 34 a^{10} + 13 a^{9} + 30 a^{8} + 51 a^{7} + 50 a^{6} + 18 a^{5} + 27 a^{4} + 13 a^{3} + 38 a^{2} + 33 a + 28\right)\cdot 53^{7} + \left(40 a^{13} + 23 a^{12} + 30 a^{11} + 32 a^{10} + 35 a^{9} + 12 a^{8} + 25 a^{7} + 4 a^{6} + 32 a^{5} + 32 a^{4} + 35 a^{3} + 21 a^{2} + 8 a + 23\right)\cdot 53^{8} + \left(32 a^{13} + 42 a^{12} + 7 a^{11} + 27 a^{10} + 3 a^{9} + 16 a^{8} + 4 a^{7} + 36 a^{6} + 31 a^{5} + 26 a^{4} + 13 a^{3} + 24 a^{2} + 36 a + 35\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\)
|
| $r_{ 7 }$ | $=$ |
\( 29 a^{13} + 19 a^{12} + 18 a^{11} + 41 a^{9} + 23 a^{8} + 19 a^{7} + 27 a^{6} + 14 a^{5} + 20 a^{4} + 35 a^{3} + 35 a^{2} + 28 a + 27 + \left(40 a^{13} + 7 a^{12} + 51 a^{11} + 52 a^{10} + 14 a^{9} + 15 a^{8} + 4 a^{7} + 52 a^{6} + 30 a^{5} + 7 a^{4} + 2 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 43\right)\cdot 53 + \left(15 a^{13} + 8 a^{12} + 7 a^{11} + 38 a^{10} + 3 a^{9} + 28 a^{8} + 9 a^{7} + 37 a^{6} + 14 a^{5} + 9 a^{4} + 13 a^{3} + 28 a^{2} + 20 a + 21\right)\cdot 53^{2} + \left(42 a^{13} + 28 a^{12} + 3 a^{11} + 2 a^{10} + 44 a^{9} + 34 a^{8} + 26 a^{7} + 28 a^{6} + 14 a^{5} + 12 a^{4} + 27 a^{3} + 35 a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 53^{3} + \left(10 a^{13} + 25 a^{12} + 24 a^{10} + 19 a^{9} + 4 a^{8} + 20 a^{7} + 37 a^{6} + 39 a^{5} + 27 a^{4} + 37 a^{3} + 12 a^{2} + 43 a + 30\right)\cdot 53^{4} + \left(2 a^{13} + 48 a^{12} + a^{11} + 11 a^{10} + 44 a^{9} + 20 a^{8} + 16 a^{7} + 28 a^{6} + 21 a^{5} + 23 a^{4} + 6 a^{3} + 8 a^{2} + 19 a + 42\right)\cdot 53^{5} + \left(34 a^{13} + 15 a^{12} + 38 a^{11} + 6 a^{10} + 49 a^{9} + 6 a^{8} + 2 a^{7} + 3 a^{6} + 31 a^{5} + 6 a^{4} + 25 a^{3} + 26 a^{2} + 7 a + 41\right)\cdot 53^{6} + \left(38 a^{13} + 34 a^{12} + 25 a^{11} + 11 a^{10} + 18 a^{9} + 2 a^{8} + 2 a^{7} + 17 a^{6} + 25 a^{5} + 13 a^{4} + 5 a^{3} + 36 a^{2} + 14 a + 18\right)\cdot 53^{7} + \left(38 a^{13} + 40 a^{12} + 27 a^{11} + 50 a^{10} + 42 a^{9} + 9 a^{8} + 24 a^{7} + 38 a^{6} + 24 a^{5} + 7 a^{4} + 29 a^{3} + 18 a^{2} + 46 a + 13\right)\cdot 53^{8} + \left(9 a^{13} + 41 a^{12} + 27 a^{11} + 3 a^{10} + 36 a^{9} + 52 a^{8} + 15 a^{7} + 43 a^{6} + 23 a^{5} + 36 a^{4} + 49 a^{3} + 30 a^{2} + 13 a + 43\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\)
|
| $r_{ 8 }$ | $=$ |
\( 33 a^{13} + 28 a^{12} + 44 a^{11} + 27 a^{10} + 37 a^{9} + 14 a^{8} + 10 a^{7} + 41 a^{6} + a^{5} + 36 a^{4} + 41 a^{3} + 41 a^{2} + 40 a + 12 + \left(18 a^{13} + 29 a^{12} + 12 a^{11} + 17 a^{10} + 16 a^{9} + 8 a^{8} + 15 a^{6} + 19 a^{5} + 5 a^{4} + 15 a^{3} + 30 a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 53 + \left(39 a^{13} + 7 a^{12} + 39 a^{11} + 24 a^{10} + 17 a^{9} + 42 a^{8} + 39 a^{7} + 33 a^{6} + 2 a^{5} + 23 a^{4} + 38 a^{3} + 29 a^{2} + 19 a + 32\right)\cdot 53^{2} + \left(45 a^{13} + 3 a^{12} + 16 a^{11} + 50 a^{10} + 3 a^{9} + 25 a^{8} + 9 a^{7} + 45 a^{6} + 47 a^{5} + 24 a^{4} + 42 a^{3} + 29 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 53^{3} + \left(4 a^{13} + 23 a^{12} + 33 a^{11} + 32 a^{10} + 30 a^{9} + 35 a^{8} + 52 a^{7} + 39 a^{6} + a^{5} + 15 a^{4} + 41 a^{3} + 25 a^{2} + 4 a + 45\right)\cdot 53^{4} + \left(41 a^{13} + 2 a^{12} + 50 a^{11} + 7 a^{10} + 38 a^{9} + 19 a^{8} + 2 a^{7} + 19 a^{6} + 29 a^{5} + 10 a^{4} + 11 a^{3} + 39 a^{2} + 35 a + 34\right)\cdot 53^{5} + \left(38 a^{13} + 19 a^{12} + 8 a^{11} + 40 a^{10} + 7 a^{9} + 31 a^{8} + 24 a^{7} + 24 a^{6} + 31 a^{5} + 13 a^{4} + 29 a^{2} + 8 a + 41\right)\cdot 53^{6} + \left(34 a^{13} + 6 a^{12} + 20 a^{11} + 12 a^{10} + 42 a^{9} + 29 a^{8} + 23 a^{7} + 50 a^{6} + 44 a^{5} + 35 a^{4} + 7 a^{3} + 20 a^{2} + 40 a + 22\right)\cdot 53^{7} + \left(34 a^{13} + 24 a^{12} + 12 a^{11} + 12 a^{10} + 50 a^{9} + 27 a^{8} + 10 a^{7} + 20 a^{6} + 43 a^{5} + 40 a^{4} + 7 a^{3} + 7 a^{2} + 17 a + 28\right)\cdot 53^{8} + \left(10 a^{13} + 20 a^{12} + 27 a^{11} + 36 a^{10} + 45 a^{9} + 35 a^{8} + 8 a^{7} + 5 a^{6} + 9 a^{5} + 28 a^{4} + 42 a^{3} + 18 a^{2} + 50 a + 16\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\)
|
| $r_{ 9 }$ | $=$ |
\( 2 a^{13} + 29 a^{12} + 45 a^{11} + 26 a^{10} + 37 a^{9} + 5 a^{8} + 49 a^{7} + 26 a^{6} + 3 a^{5} + 38 a^{4} + 27 a^{3} + 20 a^{2} + 4 a + 6 + \left(29 a^{13} + 10 a^{12} + 52 a^{11} + 33 a^{10} + 20 a^{9} + 15 a^{8} + 48 a^{7} + 39 a^{6} + 26 a^{5} + 42 a^{4} + 31 a^{3} + 20 a^{2} + 17 a\right)\cdot 53 + \left(31 a^{13} + 2 a^{12} + 12 a^{11} + 52 a^{10} + 46 a^{9} + 27 a^{8} + 9 a^{7} + 10 a^{6} + 12 a^{5} + 39 a^{4} + 38 a^{3} + 20 a^{2} + 13 a + 7\right)\cdot 53^{2} + \left(39 a^{13} + 44 a^{12} + 29 a^{11} + 13 a^{10} + 22 a^{9} + 43 a^{8} + 9 a^{7} + 2 a^{6} + 14 a^{4} + 36 a^{3} + 12 a^{2} + 8 a + 51\right)\cdot 53^{3} + \left(11 a^{13} + 48 a^{12} + 15 a^{11} + 2 a^{10} + 19 a^{9} + 10 a^{8} + 13 a^{7} + 37 a^{6} + 14 a^{5} + 10 a^{4} + 20 a^{3} + 18 a^{2} + 4 a + 40\right)\cdot 53^{4} + \left(40 a^{13} + 18 a^{12} + 44 a^{11} + 33 a^{10} + 24 a^{9} + 29 a^{8} + 17 a^{7} + 40 a^{6} + 38 a^{5} + 34 a^{4} + 29 a^{3} + 28 a^{2} + 7 a + 41\right)\cdot 53^{5} + \left(43 a^{13} + 30 a^{12} + 12 a^{11} + 24 a^{10} + 35 a^{9} + 40 a^{8} + 52 a^{7} + 3 a^{5} + 8 a^{4} + 39 a^{3} + 5 a^{2} + 30 a + 35\right)\cdot 53^{6} + \left(10 a^{13} + 38 a^{12} + 14 a^{11} + 49 a^{10} + 32 a^{9} + 6 a^{8} + 18 a^{7} + 13 a^{6} + 13 a^{5} + 20 a^{4} + 33 a^{3} + a^{2} + 8 a + 17\right)\cdot 53^{7} + \left(9 a^{13} + 50 a^{12} + 29 a^{11} + 11 a^{10} + 8 a^{9} + 45 a^{8} + 35 a^{7} + 46 a^{6} + 8 a^{5} + 5 a^{4} + 27 a^{3} + 18 a^{2} + 45 a + 16\right)\cdot 53^{8} + \left(47 a^{13} + 31 a^{12} + 23 a^{11} + 4 a^{10} + 18 a^{9} + 21 a^{8} + 2 a^{7} + 27 a^{6} + 19 a^{5} + 43 a^{4} + 26 a^{3} + 32 a^{2} + 16 a + 48\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\)
|
| $r_{ 10 }$ | $=$ |
\( 41 a^{13} + 22 a^{12} + 23 a^{11} + 51 a^{10} + 14 a^{9} + 5 a^{8} + 7 a^{7} + 17 a^{6} + 11 a^{5} + 24 a^{4} + 10 a^{3} + 22 a^{2} + 8 a + 16 + \left(49 a^{13} + 15 a^{12} + 40 a^{11} + 3 a^{10} + 7 a^{9} + 11 a^{8} + 33 a^{7} + 30 a^{6} + 20 a^{4} + 18 a^{3} + 27 a^{2} + 2 a + 34\right)\cdot 53 + \left(38 a^{13} + 23 a^{12} + 15 a^{11} + 29 a^{10} + 40 a^{9} + 2 a^{8} + 38 a^{7} + 51 a^{6} + 8 a^{5} + 10 a^{3} + 15 a^{2} + 13 a + 45\right)\cdot 53^{2} + \left(11 a^{13} + 51 a^{12} + 30 a^{11} + 34 a^{10} + 37 a^{9} + 32 a^{8} + 21 a^{7} + 22 a^{6} + 14 a^{5} + 5 a^{4} + 39 a^{3} + 12 a^{2} + 15 a + 13\right)\cdot 53^{3} + \left(2 a^{13} + 6 a^{12} + 16 a^{11} + 47 a^{10} + 24 a^{9} + 10 a^{8} + 39 a^{7} + 6 a^{6} + 17 a^{5} + 4 a^{4} + 28 a^{3} + 13 a^{2} + 16 a + 24\right)\cdot 53^{4} + \left(37 a^{13} + 33 a^{12} + 34 a^{11} + 26 a^{10} + 33 a^{9} + 27 a^{8} + 13 a^{7} + 22 a^{6} + 9 a^{5} + 30 a^{4} + 27 a^{3} + 31 a^{2} + 32 a + 45\right)\cdot 53^{5} + \left(49 a^{13} + 17 a^{12} + 44 a^{11} + 10 a^{10} + 37 a^{9} + 23 a^{8} + 26 a^{7} + 42 a^{6} + 31 a^{5} + 15 a^{4} + 43 a^{3} + 51 a^{2} + 49 a + 27\right)\cdot 53^{6} + \left(31 a^{13} + 5 a^{12} + 44 a^{11} + 3 a^{10} + 39 a^{9} + 39 a^{8} + 47 a^{7} + 28 a^{6} + 18 a^{5} + 34 a^{4} + 4 a^{3} + 37 a^{2} + 42 a + 45\right)\cdot 53^{7} + \left(36 a^{13} + 26 a^{11} + 40 a^{10} + 30 a^{9} + 35 a^{8} + 9 a^{7} + 19 a^{6} + 32 a^{5} + 38 a^{4} + 35 a^{3} + 7 a^{2} + 26 a + 5\right)\cdot 53^{8} + \left(49 a^{13} + 35 a^{12} + 13 a^{11} + 41 a^{10} + 44 a^{9} + 52 a^{8} + 35 a^{7} + 23 a^{6} + 45 a^{5} + 6 a^{4} + 24 a^{3} + 25 a^{2} + a + 34\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\)
|
| $r_{ 11 }$ | $=$ |
\( 5 a^{13} + 8 a^{12} + 8 a^{11} + 35 a^{10} + 29 a^{9} + 7 a^{8} + 20 a^{7} + 46 a^{6} + 27 a^{5} + 19 a^{4} + 21 a^{3} + 8 a^{2} + 32 a + 3 + \left(21 a^{13} + 38 a^{12} + 37 a^{11} + 7 a^{10} + 33 a^{9} + 36 a^{8} + 12 a^{7} + 15 a^{6} + 51 a^{5} + 38 a^{4} + 29 a^{3} + 36 a^{2} + 40 a + 22\right)\cdot 53 + \left(13 a^{13} + 34 a^{12} + 37 a^{11} + 41 a^{10} + 28 a^{9} + a^{8} + 34 a^{7} + a^{6} + 52 a^{5} + 38 a^{4} + 8 a^{3} + 39 a^{2} + 45 a + 3\right)\cdot 53^{2} + \left(18 a^{13} + 2 a^{12} + 24 a^{11} + 24 a^{10} + 30 a^{9} + 13 a^{8} + 36 a^{7} + 12 a^{6} + 5 a^{5} + 7 a^{4} + 23 a^{3} + 48 a^{2} + 8 a + 35\right)\cdot 53^{3} + \left(29 a^{13} + 17 a^{12} + 8 a^{11} + 25 a^{10} + 4 a^{9} + 24 a^{8} + 46 a^{7} + 35 a^{6} + 16 a^{5} + 35 a^{4} + 29 a^{3} + 49 a^{2} + 24 a + 15\right)\cdot 53^{4} + \left(13 a^{13} + 49 a^{12} + 24 a^{11} + 51 a^{10} + 10 a^{9} + 33 a^{8} + 44 a^{7} + 3 a^{6} + 5 a^{4} + 49 a^{3} + 34 a^{2} + 26 a + 8\right)\cdot 53^{5} + \left(25 a^{13} + 18 a^{12} + 8 a^{11} + 10 a^{10} + 51 a^{9} + 21 a^{8} + 46 a^{6} + 15 a^{5} + 45 a^{4} + 3 a^{3} + 23 a^{2} + 23 a + 1\right)\cdot 53^{6} + \left(27 a^{13} + 23 a^{12} + 42 a^{11} + 16 a^{10} + 34 a^{9} + 7 a^{8} + 37 a^{7} + 39 a^{6} + 52 a^{5} + 22 a^{4} + 34 a^{3} + 15 a^{2} + 14 a + 20\right)\cdot 53^{7} + \left(33 a^{13} + 36 a^{12} + 18 a^{11} + 34 a^{10} + 14 a^{9} + 37 a^{8} + 33 a^{7} + 45 a^{6} + 45 a^{5} + 32 a^{4} + 30 a^{3} + 5 a^{2} + 33 a + 42\right)\cdot 53^{8} + \left(26 a^{13} + 21 a^{12} + 7 a^{11} + 45 a^{10} + 18 a^{9} + 26 a^{8} + 19 a^{7} + 50 a^{6} + 18 a^{5} + 7 a^{4} + 32 a^{3} + 52 a^{2} + 7 a + 40\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\)
|
| $r_{ 12 }$ | $=$ |
\( 48 a^{13} + 28 a^{12} + 22 a^{11} + 40 a^{10} + 30 a^{9} + 39 a^{8} + 14 a^{7} + 27 a^{6} + 41 a^{5} + 15 a^{4} + 38 a^{3} + 5 a^{2} + 48 a + 32 + \left(3 a^{13} + 30 a^{12} + 43 a^{11} + 20 a^{10} + 31 a^{9} + 23 a^{8} + 21 a^{7} + 36 a^{6} + 26 a^{5} + 24 a^{4} + 29 a^{3} + 21 a^{2} + 46 a + 39\right)\cdot 53 + \left(23 a^{12} + 45 a^{11} + 8 a^{10} + 21 a^{9} + 26 a^{8} + 10 a^{7} + 28 a^{6} + 49 a^{5} + 8 a^{4} + 25 a^{3} + 24 a^{2} + 50 a + 16\right)\cdot 53^{2} + \left(14 a^{13} + 9 a^{12} + 47 a^{11} + 12 a^{10} + 32 a^{9} + 37 a^{8} + 37 a^{7} + 51 a^{6} + 13 a^{5} + 50 a^{4} + 50 a^{3} + 34 a^{2} + 51 a + 37\right)\cdot 53^{3} + \left(20 a^{13} + 38 a^{12} + 9 a^{11} + 11 a^{10} + 52 a^{9} + 15 a^{8} + 11 a^{7} + 32 a^{6} + 11 a^{5} + 43 a^{4} + 39 a^{3} + 13 a + 39\right)\cdot 53^{4} + \left(19 a^{12} + 13 a^{11} + 38 a^{10} + 39 a^{9} + 8 a^{7} + 9 a^{6} + 24 a^{5} + 33 a^{4} + 47 a^{3} + 36 a^{2} + 6 a + 51\right)\cdot 53^{5} + \left(47 a^{13} + 32 a^{12} + 18 a^{11} + 40 a^{10} + 31 a^{9} + 6 a^{8} + 42 a^{7} + 50 a^{6} + 16 a^{5} + 23 a^{4} + 31 a^{3} + 49 a^{2} + 37 a + 34\right)\cdot 53^{6} + \left(49 a^{13} + 35 a^{12} + 41 a^{11} + 28 a^{10} + 42 a^{9} + 44 a^{8} + 18 a^{7} + 18 a^{6} + 27 a^{5} + 12 a^{4} + 2 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a\right)\cdot 53^{7} + \left(28 a^{13} + 25 a^{12} + 22 a^{11} + 31 a^{10} + 52 a^{9} + 21 a^{8} + 42 a^{7} + 14 a^{6} + 24 a^{5} + 42 a^{4} + 2 a^{3} + 36 a^{2} + 27 a + 19\right)\cdot 53^{8} + \left(18 a^{13} + 4 a^{12} + 50 a^{11} + 12 a^{10} + 11 a^{9} + 39 a^{8} + 33 a^{7} + 49 a^{6} + 22 a^{5} + 24 a^{4} + 49 a^{3} + 19 a^{2} + 22 a + 34\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\)
|
| $r_{ 13 }$ | $=$ |
\( 8 a^{13} + 31 a^{12} + 43 a^{11} + 28 a^{10} + 10 a^{9} + 52 a^{8} + 6 a^{7} + 18 a^{6} + 44 a^{5} + 51 a^{4} + 51 a^{3} + 15 a^{2} + 19 a + 24 + \left(49 a^{13} + 48 a^{12} + 35 a^{11} + 25 a^{10} + 5 a^{9} + 48 a^{8} + 43 a^{7} + 35 a^{6} + 17 a^{5} + 50 a^{4} + 22 a^{3} + 13 a^{2} + 23 a + 1\right)\cdot 53 + \left(20 a^{13} + 40 a^{12} + 8 a^{11} + 2 a^{10} + a^{9} + 7 a^{8} + 49 a^{7} + 49 a^{6} + 3 a^{5} + 24 a^{4} + 48 a^{3} + 32 a^{2} + 42 a + 8\right)\cdot 53^{2} + \left(39 a^{13} + 16 a^{12} + 52 a^{11} + 10 a^{10} + 11 a^{9} + 28 a^{8} + 47 a^{7} + 5 a^{6} + 34 a^{5} + 23 a^{4} + 37 a^{3} + 23 a^{2} + 26 a + 1\right)\cdot 53^{3} + \left(3 a^{13} + 31 a^{12} + 44 a^{11} + 23 a^{10} + 51 a^{9} + 51 a^{8} + 6 a^{7} + 32 a^{6} + 23 a^{5} + a^{4} + 31 a^{3} + 5 a^{2} + 35 a + 2\right)\cdot 53^{4} + \left(44 a^{13} + 18 a^{12} + 43 a^{11} + 20 a^{9} + 3 a^{8} + 12 a^{7} + 43 a^{6} + 6 a^{5} + 16 a^{4} + 39 a^{3} + 42 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 53^{5} + \left(10 a^{13} + 16 a^{12} + 33 a^{11} + 14 a^{10} + 40 a^{9} + 15 a^{8} + 26 a^{6} + 41 a^{5} + 11 a^{4} + 15 a^{3} + 17 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 53^{6} + \left(9 a^{13} + 10 a^{12} + 4 a^{11} + a^{10} + 16 a^{9} + 19 a^{8} + 34 a^{7} + 52 a^{6} + 37 a^{5} + 45 a^{4} + 27 a^{3} + 43 a^{2} + 35 a + 37\right)\cdot 53^{7} + \left(24 a^{13} + 18 a^{12} + 8 a^{11} + 30 a^{10} + 43 a^{9} + 14 a^{8} + 39 a^{7} + 17 a^{6} + 44 a^{5} + 3 a^{4} + 47 a^{3} + 50 a^{2} + 39 a + 7\right)\cdot 53^{8} + \left(39 a^{13} + 40 a^{12} + 10 a^{11} + 42 a^{10} + 24 a^{9} + 41 a^{8} + a^{7} + 23 a^{6} + 4 a^{5} + 47 a^{4} + 38 a^{3} + 3 a^{2} + a + 36\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\)
|
| $r_{ 14 }$ | $=$ |
\( 25 a^{13} + 31 a^{12} + 46 a^{11} + 19 a^{10} + 8 a^{9} + 51 a^{8} + 41 a^{7} + 44 a^{6} + 47 a^{5} + 12 a^{4} + 48 a^{2} + 17 a + 51 + \left(34 a^{13} + 32 a^{12} + a^{11} + 34 a^{10} + 15 a^{9} + 44 a^{8} + 21 a^{7} + 27 a^{6} + 19 a^{5} + 49 a^{4} + 9 a^{3} + 18 a^{2} + 9 a + 43\right)\cdot 53 + \left(7 a^{13} + 21 a^{12} + 44 a^{11} + 40 a^{10} + 24 a^{9} + 27 a^{8} + 23 a^{7} + 28 a^{6} + 30 a^{5} + 10 a^{4} + 3 a^{3} + 25 a^{2} + 26 a + 13\right)\cdot 53^{2} + \left(22 a^{13} + 45 a^{12} + 21 a^{11} + 24 a^{10} + 17 a^{9} + 23 a^{8} + 22 a^{7} + 23 a^{6} + 24 a^{5} + 11 a^{4} + 43 a^{3} + 50 a^{2} + 21 a + 31\right)\cdot 53^{3} + \left(48 a^{13} + 23 a^{12} + 34 a^{11} + 37 a^{10} + 37 a^{9} + 19 a^{8} + 24 a^{7} + 36 a^{6} + 47 a^{5} + 4 a^{4} + 25 a^{3} + 25 a^{2} + 40 a + 43\right)\cdot 53^{4} + \left(51 a^{13} + 3 a^{12} + 5 a^{11} + 31 a^{9} + 51 a^{8} + 43 a^{7} + 32 a^{6} + 39 a^{5} + 51 a^{4} + 40 a^{3} + a^{2} + 23 a + 39\right)\cdot 53^{5} + \left(3 a^{12} + 17 a^{11} + 28 a^{10} + 44 a^{9} + 38 a^{8} + 19 a^{7} + 22 a^{6} + 44 a^{5} + 30 a^{4} + 9 a^{3} + 2 a^{2} + 40 a + 5\right)\cdot 53^{6} + \left(41 a^{13} + 26 a^{12} + 24 a^{11} + 51 a^{10} + 42 a^{9} + 13 a^{8} + 5 a^{7} + a^{6} + 16 a^{5} + 14 a^{4} + 49 a^{3} + 16 a^{2} + 21 a + 24\right)\cdot 53^{7} + \left(36 a^{13} + 21 a^{12} + 47 a^{11} + 48 a^{10} + 12 a^{8} + 24 a^{7} + 50 a^{6} + 27 a^{5} + 14 a^{4} + 40 a^{3} + 46 a^{2} + 6 a + 32\right)\cdot 53^{8} + \left(9 a^{13} + 17 a^{12} + 25 a^{11} + 5 a^{10} + 41 a^{9} + 36 a^{8} + 15 a^{7} + 49 a^{6} + 38 a^{5} + 27 a^{4} + 12 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\)
|
| $r_{ 15 }$ | $=$ |
\( 20 a^{13} + 8 a^{12} + 9 a^{11} + 16 a^{10} + 20 a^{9} + 17 a^{8} + 32 a^{7} + 7 a^{6} + 32 a^{5} + 32 a^{4} + 9 a^{2} + 47 a + 48 + \left(32 a^{13} + 12 a^{12} + 47 a^{11} + 31 a^{10} + 25 a^{9} + 19 a^{8} + 6 a^{7} + 27 a^{6} + 9 a^{5} + 40 a^{4} + 44 a^{3} + 46 a^{2} + 6 a + 28\right)\cdot 53 + \left(18 a^{13} + 41 a^{12} + 8 a^{11} + 52 a^{10} + 27 a^{9} + 24 a^{8} + 43 a^{7} + 19 a^{6} + 10 a^{5} + 29 a^{4} + 48 a^{3} + 13 a^{2} + 23 a + 3\right)\cdot 53^{2} + \left(50 a^{13} + 21 a^{12} + 5 a^{11} + 38 a^{10} + 16 a^{9} + 21 a^{8} + 19 a^{7} + 28 a^{6} + 40 a^{5} + 44 a^{4} + 22 a^{3} + 25 a^{2} + 45 a\right)\cdot 53^{3} + \left(18 a^{13} + 22 a^{12} + 43 a^{11} + 31 a^{10} + 40 a^{9} + 5 a^{8} + 36 a^{7} + 46 a^{6} + 50 a^{5} + 45 a^{4} + 7 a^{3} + 6 a^{2} + 34 a + 16\right)\cdot 53^{4} + \left(25 a^{13} + 46 a^{12} + 49 a^{11} + 30 a^{10} + 38 a^{9} + 28 a^{8} + 2 a^{7} + 52 a^{6} + 26 a^{5} + 20 a^{4} + 5 a^{3} + 38 a^{2} + 24 a + 1\right)\cdot 53^{5} + \left(19 a^{13} + 19 a^{12} + 39 a^{11} + 8 a^{10} + 47 a^{9} + 16 a^{8} + 37 a^{7} + 30 a^{6} + 17 a^{5} + 18 a^{4} + 32 a^{3} + 22 a^{2} + 39 a + 30\right)\cdot 53^{6} + \left(41 a^{13} + 38 a^{12} + 2 a^{11} + 17 a^{10} + 20 a^{9} + 46 a^{8} + 47 a^{7} + 48 a^{6} + 30 a^{5} + 18 a^{4} + 23 a^{3} + 4 a^{2} + 48 a + 19\right)\cdot 53^{7} + \left(52 a^{13} + 50 a^{12} + 3 a^{11} + 41 a^{10} + 6 a^{9} + 32 a^{8} + 20 a^{7} + 39 a^{6} + 45 a^{5} + 48 a^{4} + 22 a^{3} + 11 a^{2} + 41 a + 30\right)\cdot 53^{8} + \left(49 a^{13} + 15 a^{12} + 17 a^{11} + 16 a^{10} + 48 a^{9} + 18 a^{8} + 3 a^{7} + 16 a^{6} + 22 a^{5} + 18 a^{4} + 22 a^{3} + 43 a^{2} + 29 a + 16\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\)
|
| $r_{ 16 }$ | $=$ |
\( 48 a^{13} + 3 a^{12} + 41 a^{11} + 52 a^{10} + 26 a^{9} + 33 a^{8} + 12 a^{7} + 8 a^{6} + 19 a^{5} + 23 a^{4} + 45 a^{3} + 2 a^{2} + 44 a + 23 + \left(45 a^{13} + 52 a^{12} + 4 a^{11} + 50 a^{10} + 22 a^{9} + 9 a^{8} + 19 a^{7} + 32 a^{6} + 13 a^{5} + 49 a^{4} + 7 a^{3} + 15 a^{2} + 4 a + 20\right)\cdot 53 + \left(39 a^{13} + 19 a^{12} + 39 a^{11} + 13 a^{10} + 8 a^{9} + 48 a^{8} + 11 a^{7} + 38 a^{6} + 7 a^{5} + 32 a^{4} + 10 a^{3} + 18 a^{2} + 51 a + 21\right)\cdot 53^{2} + \left(19 a^{13} + 51 a^{12} + 26 a^{11} + 41 a^{9} + 42 a^{8} + 44 a^{7} + 43 a^{6} + 17 a^{5} + 15 a^{4} + 46 a^{3} + 12 a^{2} + 32 a + 21\right)\cdot 53^{3} + \left(28 a^{13} + 11 a^{12} + 20 a^{11} + 46 a^{10} + 46 a^{9} + 24 a^{8} + 43 a^{7} + 36 a^{5} + 17 a^{4} + 27 a^{3} + 29 a^{2} + 30 a + 50\right)\cdot 53^{4} + \left(46 a^{13} + 32 a^{12} + 18 a^{11} + 11 a^{10} + 35 a^{9} + 21 a^{8} + 18 a^{7} + 12 a^{6} + 28 a^{5} + 16 a^{4} + 37 a^{3} + 28 a^{2} + 45 a + 9\right)\cdot 53^{5} + \left(6 a^{13} + 20 a^{12} + 24 a^{11} + 33 a^{10} + 31 a^{9} + 47 a^{8} + 18 a^{7} + 37 a^{6} + 40 a^{5} + 14 a^{4} + 12 a^{3} + 23 a^{2} + 42 a + 4\right)\cdot 53^{6} + \left(28 a^{13} + 50 a^{12} + 32 a^{11} + 2 a^{10} + 32 a^{9} + 20 a^{8} + 8 a^{7} + a^{5} + 52 a^{4} + 50 a^{3} + 51 a^{2} + 42 a + 33\right)\cdot 53^{7} + \left(49 a^{13} + 43 a^{12} + 15 a^{11} + 25 a^{10} + 24 a^{9} + 42 a^{8} + 6 a^{7} + 40 a^{6} + 52 a^{5} + 20 a^{4} + 42 a^{3} + 26 a^{2} + 21 a + 21\right)\cdot 53^{8} + \left(17 a^{13} + 22 a^{12} + 50 a^{11} + 37 a^{10} + 50 a^{9} + 20 a^{8} + 19 a^{7} + 20 a^{6} + 12 a^{5} + 3 a^{4} + 8 a^{3} + 39 a^{2} + 42 a + 40\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\)
|
| $r_{ 17 }$ | $=$ |
\( 6 a^{13} + 28 a^{12} + 37 a^{11} + 43 a^{10} + 24 a^{9} + 39 a^{8} + 21 a^{7} + 10 a^{6} + 17 a^{5} + 8 a^{4} + 12 a^{3} + 2 a^{2} + 52 a + 34 + \left(41 a^{13} + 38 a^{12} + 48 a^{11} + 9 a^{10} + 46 a^{9} + 3 a^{8} + 50 a^{7} + 15 a^{6} + 45 a^{5} + 17 a^{4} + 9 a^{3} + 18 a^{2} + 25 a + 29\right)\cdot 53 + \left(2 a^{13} + 49 a^{12} + 50 a^{11} + 37 a^{10} + 25 a^{9} + 49 a^{8} + 26 a^{7} + 18 a^{6} + 12 a^{5} + 16 a^{4} + 36 a^{3} + 24 a^{2} + 46 a + 51\right)\cdot 53^{2} + \left(a^{13} + 9 a^{12} + 32 a^{11} + 12 a^{10} + 37 a^{9} + a^{8} + 18 a^{7} + 23 a^{6} + 46 a^{5} + 47 a^{4} + 28 a^{3} + 31 a^{2} + 32 a + 47\right)\cdot 53^{3} + \left(3 a^{13} + 38 a^{12} + 25 a^{11} + 18 a^{10} + 8 a^{9} + 6 a^{8} + 50 a^{7} + 38 a^{6} + 23 a^{5} + 51 a^{4} + 18 a^{3} + 3 a^{2} + 11 a + 42\right)\cdot 53^{4} + \left(15 a^{13} + 44 a^{12} + 24 a^{11} + 50 a^{10} + 29 a^{9} + 36 a^{8} + 27 a^{7} + 42 a^{6} + 18 a^{5} + 44 a^{4} + 11 a^{3} + 29 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 53^{5} + \left(52 a^{13} + 14 a^{12} + 20 a^{11} + 20 a^{10} + 5 a^{9} + 39 a^{8} + 47 a^{7} + 42 a^{6} + 19 a^{5} + 27 a^{4} + 8 a^{3} + 35 a^{2} + 22 a + 14\right)\cdot 53^{6} + \left(44 a^{13} + 34 a^{12} + 12 a^{11} + 38 a^{10} + 7 a^{9} + 12 a^{8} + a^{7} + 51 a^{6} + 33 a^{5} + 26 a^{4} + 26 a^{3} + 48 a^{2} + 10 a + 48\right)\cdot 53^{7} + \left(48 a^{13} + 39 a^{12} + 15 a^{11} + 8 a^{10} + 44 a^{8} + 31 a^{6} + 37 a^{5} + 18 a^{4} + 16 a^{3} + 29 a^{2} + 40 a + 34\right)\cdot 53^{8} + \left(44 a^{13} + 49 a^{12} + 46 a^{11} + 48 a^{10} + 37 a^{9} + 40 a^{8} + 17 a^{7} + a^{6} + 52 a^{5} + 34 a^{4} + 24 a^{3} + 21 a^{2} + 40 a + 27\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\)
|
| $r_{ 18 }$ | $=$ |
\( 8 a^{13} + 23 a^{12} + 45 a^{11} + 25 a^{10} + 29 a^{9} + 47 a^{8} + 5 a^{7} + 52 a^{6} + 28 a^{5} + 31 a^{4} + 28 a^{3} + 35 a^{2} + 13 a + 31 + \left(17 a^{13} + 6 a^{12} + 18 a^{11} + a^{9} + 22 a^{8} + 48 a^{7} + 17 a^{6} + 29 a^{5} + 51 a^{4} + 5 a^{3} + 48 a^{2} + 39 a + 3\right)\cdot 53 + \left(18 a^{13} + 31 a^{12} + 34 a^{11} + 38 a^{10} + 33 a^{9} + 23 a^{8} + 25 a^{7} + 25 a^{6} + 20 a^{5} + 22 a^{4} + 41 a^{3} + 48 a^{2} + 39 a + 22\right)\cdot 53^{2} + \left(18 a^{13} + 40 a^{12} + 17 a^{11} + 11 a^{10} + 31 a^{9} + 11 a^{8} + 50 a^{7} + 3 a^{6} + 2 a^{5} + 19 a^{4} + 51 a^{3} + 18 a^{2} + 44 a + 2\right)\cdot 53^{3} + \left(13 a^{13} + 13 a^{12} + a^{11} + 2 a^{10} + 19 a^{9} + 12 a^{8} + 33 a^{7} + 19 a^{6} + 17 a^{5} + 3 a^{4} + 8 a^{3} + 33 a^{2} + 17 a + 32\right)\cdot 53^{4} + \left(a^{13} + 44 a^{12} + 46 a^{11} + a^{10} + a^{9} + 16 a^{8} + 32 a^{7} + 43 a^{6} + 43 a^{5} + 35 a^{4} + 42 a^{3} + 17 a^{2} + 20 a + 8\right)\cdot 53^{5} + \left(22 a^{13} + 8 a^{12} + 18 a^{11} + 15 a^{10} + 9 a^{9} + 50 a^{8} + 36 a^{7} + 21 a^{6} + 24 a^{5} + 31 a^{4} + 38 a^{3} + 11 a^{2} + 35 a + 32\right)\cdot 53^{6} + \left(a^{13} + 27 a^{12} + 51 a^{11} + 15 a^{10} + 7 a^{9} + 29 a^{8} + 45 a^{7} + 14 a^{6} + 52 a^{5} + 7 a^{4} + 4 a^{3} + 29 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 53^{7} + \left(8 a^{13} + 7 a^{12} + 44 a^{11} + 7 a^{10} + 22 a^{9} + 35 a^{8} + 29 a^{7} + 10 a^{6} + 11 a^{5} + 44 a^{4} + 19 a^{3} + 44 a^{2} + 37 a + 27\right)\cdot 53^{8} + \left(40 a^{13} + 31 a^{12} + 34 a^{11} + 47 a^{10} + 43 a^{9} + 11 a^{8} + 51 a^{7} + 25 a^{6} + 23 a^{5} + 46 a^{4} + 5 a^{3} + 18 a + 8\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\)
|
| $r_{ 19 }$ | $=$ |
\( 42 a^{13} + 30 a^{12} + 12 a^{11} + 12 a^{10} + 2 a^{9} + 15 a^{8} + 6 a^{7} + 7 a^{6} + 18 a^{5} + 39 a^{4} + 2 a^{2} + 36 a + 26 + \left(2 a^{13} + 6 a^{12} + 2 a^{11} + 6 a^{10} + 3 a^{9} + 18 a^{8} + 33 a^{7} + 48 a^{6} + 39 a^{5} + 15 a^{4} + 22 a^{3} + 38 a^{2} + 39 a + 21\right)\cdot 53 + \left(20 a^{13} + 6 a^{12} + 14 a^{11} + 39 a^{10} + 17 a^{9} + 24 a^{8} + 18 a^{7} + 38 a^{6} + 26 a^{5} + 5 a^{4} + 45 a^{3} + 3 a^{2} + 37 a + 14\right)\cdot 53^{2} + \left(23 a^{13} + 28 a^{12} + 12 a^{11} + 18 a^{10} + 26 a^{9} + 33 a^{8} + 26 a^{7} + 8 a^{6} + 17 a^{5} + 39 a^{4} + 11 a^{3} + 48 a^{2} + 32 a + 43\right)\cdot 53^{3} + \left(37 a^{13} + 30 a^{12} + 23 a^{11} + 16 a^{10} + 25 a^{8} + 34 a^{7} + 31 a^{6} + 6 a^{5} + 5 a^{4} + 27 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 40\right)\cdot 53^{4} + \left(31 a^{13} + 5 a^{12} + 39 a^{11} + 33 a^{10} + 23 a^{9} + 7 a^{8} + 40 a^{7} + 29 a^{6} + 8 a^{5} + 49 a^{4} + 18 a^{3} + 7 a^{2} + 24 a + 31\right)\cdot 53^{5} + \left(49 a^{13} + 14 a^{12} + 10 a^{11} + 22 a^{10} + 6 a^{9} + 31 a^{8} + 28 a^{7} + 3 a^{6} + 45 a^{5} + 11 a^{4} + 21 a^{3} + 44 a^{2} + 21 a + 52\right)\cdot 53^{6} + \left(4 a^{13} + 24 a^{12} + 26 a^{11} + 50 a^{10} + 28 a^{9} + 28 a^{8} + 35 a^{7} + 39 a^{6} + 10 a^{4} + 39 a^{3} + 12 a^{2} + 20 a + 52\right)\cdot 53^{7} + \left(36 a^{13} + 10 a^{12} + 18 a^{11} + 24 a^{10} + 43 a^{9} + 45 a^{8} + 13 a^{7} + 12 a^{6} + 41 a^{5} + 31 a^{4} + 12 a^{3} + 28 a^{2} + 19 a + 28\right)\cdot 53^{8} + \left(9 a^{13} + 30 a^{12} + 29 a^{11} + 28 a^{10} + 16 a^{9} + 4 a^{8} + 37 a^{7} + 8 a^{6} + 46 a^{5} + 50 a^{4} + 46 a^{3} + 33 a^{2} + 39 a + 28\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\)
|
| $r_{ 20 }$ | $=$ |
\( 40 a^{13} + 19 a^{12} + 20 a^{11} + 39 a^{10} + 34 a^{9} + 48 a^{8} + 17 a^{7} + 4 a^{6} + 30 a^{5} + 42 a^{4} + 21 a^{3} + 12 a^{2} + 19 a + 44 + \left(8 a^{13} + 25 a^{12} + 11 a^{10} + 11 a^{9} + 16 a^{8} + 14 a^{7} + 8 a^{6} + 43 a^{5} + 22 a^{4} + 21 a^{3} + 33 a^{2} + 20 a + 34\right)\cdot 53 + \left(51 a^{13} + 39 a^{12} + 17 a^{11} + 38 a^{10} + 4 a^{9} + 18 a^{8} + 37 a^{7} + 51 a^{6} + 14 a^{5} + 35 a^{4} + 8 a^{3} + 28 a^{2} + 40 a + 20\right)\cdot 53^{2} + \left(12 a^{13} + 15 a^{12} + 45 a^{11} + 29 a^{10} + 30 a^{9} + 27 a^{8} + 6 a^{7} + 52 a^{6} + 16 a^{5} + 30 a^{4} + 48 a^{3} + 30 a^{2} + 36 a + 24\right)\cdot 53^{3} + \left(9 a^{13} + 51 a^{12} + 45 a^{11} + 49 a^{10} + 30 a^{9} + 5 a^{8} + 40 a^{7} + 25 a^{6} + 12 a^{5} + 17 a^{4} + 27 a^{3} + 26 a^{2} + 49 a + 31\right)\cdot 53^{4} + \left(33 a^{13} + 7 a^{12} + 18 a^{11} + 27 a^{10} + 50 a^{9} + 47 a^{8} + 25 a^{7} + 26 a^{6} + 39 a^{5} + 28 a^{4} + 15 a^{3} + 24 a^{2} + 11 a + 29\right)\cdot 53^{5} + \left(48 a^{13} + 30 a^{12} + 51 a^{11} + 21 a^{10} + 47 a^{9} + 50 a^{8} + 20 a^{7} + 30 a^{6} + 48 a^{5} + 25 a^{4} + 43 a^{3} + 24 a^{2} + 4 a + 29\right)\cdot 53^{6} + \left(43 a^{13} + 28 a^{12} + 35 a^{11} + 51 a^{10} + 30 a^{9} + 9 a^{8} + 36 a^{7} + a^{6} + 34 a^{5} + 29 a^{4} + 35 a^{3} + 13 a^{2} + 42 a + 9\right)\cdot 53^{7} + \left(19 a^{13} + 29 a^{12} + 14 a^{11} + 43 a^{10} + 48 a^{9} + 43 a^{8} + a^{7} + 49 a^{6} + 2 a^{5} + 35 a^{4} + 19 a^{3} + 38 a + 42\right)\cdot 53^{8} + \left(44 a^{13} + 32 a^{12} + 37 a^{11} + 8 a^{10} + 15 a^{9} + 45 a^{8} + 52 a^{7} + 25 a^{6} + 11 a^{5} + 49 a^{4} + 2 a^{3} + 13 a^{2} + 12 a + 46\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\)
|
| $r_{ 21 }$ | $=$ |
\( 40 a^{13} + 17 a^{12} + 45 a^{11} + 17 a^{10} + 15 a^{9} + 52 a^{8} + 46 a^{7} + 52 a^{6} + 48 a^{5} + 18 a^{4} + 43 a^{3} + 40 a^{2} + 27 a + 39 + \left(6 a^{13} + 32 a^{12} + 29 a^{11} + 33 a^{10} + 41 a^{9} + 36 a^{8} + 31 a^{7} + 10 a^{6} + 44 a^{5} + 18 a^{4} + 31 a^{3} + 44 a^{2} + 50 a + 39\right)\cdot 53 + \left(32 a^{13} + 33 a^{12} + 47 a^{11} + 42 a^{10} + 23 a^{9} + 8 a^{8} + 19 a^{7} + 2 a^{6} + 13 a^{5} + 41 a^{4} + 21 a^{3} + 49 a^{2} + 50 a + 8\right)\cdot 53^{2} + \left(40 a^{13} + 43 a^{12} + 35 a^{11} + 46 a^{10} + 20 a^{9} + 45 a^{8} + 42 a^{7} + 15 a^{6} + 25 a^{5} + 52 a^{4} + 43 a^{3} + 16 a^{2} + 36 a\right)\cdot 53^{3} + \left(38 a^{13} + 21 a^{12} + 47 a^{11} + 33 a^{10} + 42 a^{9} + 51 a^{8} + 29 a^{7} + 23 a^{6} + 34 a^{5} + 49 a^{4} + 33 a^{3} + a^{2} + 44 a + 3\right)\cdot 53^{4} + \left(7 a^{13} + 47 a^{12} + 32 a^{11} + 44 a^{10} + 2 a^{9} + 34 a^{8} + 18 a^{7} + a^{6} + 40 a^{5} + 23 a^{4} + 43 a^{3} + 25 a^{2} + 7 a\right)\cdot 53^{5} + \left(13 a^{13} + 3 a^{12} + 30 a^{11} + 48 a^{10} + 30 a^{9} + 9 a^{8} + 3 a^{7} + 25 a^{6} + 50 a^{5} + 46 a^{4} + 7 a^{3} + 18 a^{2} + 45 a\right)\cdot 53^{6} + \left(40 a^{13} + 31 a^{12} + 35 a^{11} + 14 a^{10} + 4 a^{9} + 46 a^{8} + 51 a^{7} + 24 a^{6} + 7 a^{5} + 26 a^{4} + 3 a^{3} + 19 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 53^{7} + \left(44 a^{13} + 24 a^{12} + 7 a^{11} + 19 a^{10} + 45 a^{9} + 44 a^{8} + 4 a^{7} + 27 a^{6} + 15 a^{5} + 11 a^{4} + 37 a^{3} + 34 a^{2} + 34 a + 26\right)\cdot 53^{8} + \left(47 a^{13} + 11 a^{12} + 16 a^{11} + 47 a^{10} + 45 a^{9} + 25 a^{8} + 36 a^{7} + 40 a^{6} + 44 a^{5} + 15 a^{4} + 30 a^{3} + 42 a^{2} + 14 a + 16\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\)
|
| $r_{ 22 }$ | $=$ |
\( 35 a^{13} + 23 a^{12} + 28 a^{11} + 32 a^{10} + 35 a^{9} + 23 a^{8} + 8 a^{7} + 2 a^{6} + 15 a^{5} + 28 a^{4} + 5 a^{3} + 35 a^{2} + 19 a + 37 + \left(34 a^{13} + 2 a^{12} + 29 a^{11} + 39 a^{10} + a^{9} + 6 a^{8} + 13 a^{7} + 10 a^{6} + 9 a^{5} + 5 a^{4} + 22 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 53 + \left(6 a^{13} + 21 a^{12} + 46 a^{11} + 34 a^{10} + 50 a^{9} + 18 a^{8} + 15 a^{6} + 43 a^{5} + 36 a^{4} + 9 a^{3} + 15 a^{2} + 47 a + 35\right)\cdot 53^{2} + \left(23 a^{13} + 41 a^{12} + 7 a^{11} + 29 a^{10} + 10 a^{9} + 28 a^{8} + 39 a^{7} + 23 a^{6} + 16 a^{5} + 13 a^{4} + 20 a^{3} + 46 a^{2} + 40 a + 22\right)\cdot 53^{3} + \left(48 a^{13} + 22 a^{12} + 47 a^{11} + 40 a^{9} + 18 a^{8} + 22 a^{7} + 45 a^{6} + 43 a^{5} + 12 a^{4} + 15 a^{3} + 43 a^{2} + 47 a + 21\right)\cdot 53^{4} + \left(a^{13} + 50 a^{12} + 30 a^{11} + 52 a^{10} + 16 a^{9} + 35 a^{8} + 24 a^{7} + 9 a^{6} + 28 a^{5} + 24 a^{4} + 3 a^{3} + 15 a^{2} + 49 a + 42\right)\cdot 53^{5} + \left(7 a^{13} + 4 a^{12} + 28 a^{11} + 41 a^{10} + 29 a^{9} + 8 a^{8} + 21 a^{7} + 47 a^{6} + 50 a^{5} + 29 a^{4} + 34 a^{3} + 40 a^{2} + 39 a + 4\right)\cdot 53^{6} + \left(28 a^{13} + 2 a^{12} + 44 a^{11} + 17 a^{10} + 29 a^{9} + 33 a^{8} + 28 a^{7} + 24 a^{6} + 3 a^{5} + 26 a^{4} + 21 a^{3} + 27 a^{2} + 37 a + 9\right)\cdot 53^{7} + \left(2 a^{13} + 8 a^{12} + 23 a^{11} + 8 a^{10} + 50 a^{9} + 30 a^{8} + 49 a^{7} + 18 a^{6} + 22 a^{5} + 45 a^{4} + 34 a^{3} + 9 a^{2} + 50 a + 40\right)\cdot 53^{8} + \left(6 a^{13} + 49 a^{12} + 39 a^{11} + 49 a^{10} + a^{9} + 38 a^{7} + 18 a^{6} + 3 a^{5} + 41 a^{4} + 41 a^{3} + 24 a^{2} + 8 a + 41\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\)
|
| $r_{ 23 }$ | $=$ |
\( 26 a^{13} + 24 a^{12} + 3 a^{11} + 15 a^{10} + 51 a^{9} + 45 a^{8} + 3 a^{7} + 16 a^{6} + 36 a^{5} + 20 a^{4} + 34 a^{3} + 37 a^{2} + 41 a + 17 + \left(15 a^{13} + 49 a^{12} + 33 a^{11} + 45 a^{10} + 34 a^{9} + 50 a^{8} + 20 a^{7} + 10 a^{6} + 48 a^{5} + 34 a^{4} + 19 a^{3} + 48 a^{2} + 12 a + 40\right)\cdot 53 + \left(30 a^{13} + 32 a^{12} + 24 a^{11} + 9 a^{10} + 35 a^{9} + 43 a^{8} + 48 a^{7} + 47 a^{6} + 50 a^{5} + 34 a^{4} + 13 a^{3} + 18 a^{2} + 39 a + 21\right)\cdot 53^{2} + \left(6 a^{13} + 20 a^{12} + a^{11} + 32 a^{10} + 4 a^{9} + 22 a^{8} + 38 a^{7} + a^{6} + 30 a^{5} + 39 a^{4} + 51 a^{3} + 30 a^{2} + 30 a + 9\right)\cdot 53^{3} + \left(50 a^{13} + 17 a^{12} + 22 a^{11} + 13 a^{10} + 40 a^{9} + 9 a^{8} + 20 a^{7} + 23 a^{5} + 50 a^{4} + 19 a^{3} + 40 a^{2} + 30 a + 26\right)\cdot 53^{4} + \left(41 a^{13} + 18 a^{12} + 37 a^{11} + 22 a^{10} + 43 a^{9} + 6 a^{8} + 43 a^{7} + 46 a^{6} + 38 a^{5} + 16 a^{4} + 49 a^{3} + 27 a^{2} + 34 a + 17\right)\cdot 53^{5} + \left(28 a^{13} + 34 a^{12} + 6 a^{11} + 18 a^{10} + 27 a^{9} + a^{8} + 2 a^{7} + 42 a^{6} + 37 a^{5} + 21 a^{4} + 2 a^{3} + 39 a^{2} + 30 a + 29\right)\cdot 53^{6} + \left(38 a^{13} + 32 a^{12} + 24 a^{11} + 9 a^{10} + 9 a^{9} + 16 a^{8} + 51 a^{7} + 23 a^{6} + 41 a^{5} + 47 a^{4} + 21 a^{3} + 33 a^{2} + 43 a\right)\cdot 53^{7} + \left(14 a^{13} + 20 a^{12} + 8 a^{11} + 13 a^{10} + 13 a^{9} + 50 a^{8} + 8 a^{7} + 10 a^{6} + 39 a^{5} + 43 a^{4} + 28 a^{3} + 26 a^{2} + 36 a + 25\right)\cdot 53^{8} + \left(23 a^{13} + 13 a^{12} + 15 a^{11} + 8 a^{10} + 52 a^{9} + 49 a^{8} + 32 a^{7} + 27 a^{6} + 27 a^{5} + 41 a^{4} + 28 a^{3} + 43 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\)
|
| $r_{ 24 }$ | $=$ |
\( 12 a^{13} + 20 a^{12} + 31 a^{11} + 39 a^{10} + 12 a^{9} + 14 a^{8} + 2 a^{7} + 11 a^{6} + 15 a^{5} + 35 a^{4} + 4 a^{3} + 37 a^{2} + 31 a + 27 + \left(21 a^{13} + 16 a^{12} + 16 a^{11} + 44 a^{10} + 50 a^{9} + 22 a^{8} + 31 a^{7} + 21 a^{6} + 49 a^{5} + a^{4} + 48 a^{3} + 20 a^{2} + 12 a\right)\cdot 53 + \left(24 a^{13} + 43 a^{12} + 6 a^{11} + 41 a^{10} + 19 a^{9} + 45 a^{8} + 22 a^{7} + 31 a^{6} + 45 a^{5} + 22 a^{4} + 14 a^{3} + 37 a^{2} + 37 a + 31\right)\cdot 53^{2} + \left(42 a^{13} + 49 a^{12} + 6 a^{11} + 51 a^{10} + 14 a^{9} + 9 a^{8} + 22 a^{7} + 22 a^{6} + 43 a^{5} + 50 a^{4} + a^{3} + 19 a^{2} + 44 a + 13\right)\cdot 53^{3} + \left(2 a^{13} + 44 a^{12} + 31 a^{11} + 23 a^{10} + 33 a^{9} + a^{8} + 47 a^{7} + 32 a^{6} + 34 a^{5} + 28 a^{4} + 16 a^{3} + 16 a^{2} + 44 a + 50\right)\cdot 53^{4} + \left(3 a^{13} + 13 a^{12} + 52 a^{11} + 45 a^{10} + a^{9} + 26 a^{8} + 27 a^{7} + 49 a^{6} + 49 a^{5} + 24 a^{4} + 7 a^{3} + 52 a^{2} + 47 a + 20\right)\cdot 53^{5} + \left(48 a^{13} + 42 a^{12} + 19 a^{11} + 2 a^{10} + 7 a^{9} + 8 a^{8} + 15 a^{7} + 35 a^{6} + 8 a^{5} + 20 a^{4} + 42 a^{3} + 36 a^{2} + 41 a + 38\right)\cdot 53^{6} + \left(2 a^{13} + 9 a^{12} + 18 a^{11} + 43 a^{10} + 52 a^{9} + 27 a^{8} + 18 a^{7} + 6 a^{6} + 28 a^{5} + 21 a^{4} + 37 a^{3} + 44 a^{2} + 10 a + 26\right)\cdot 53^{7} + \left(52 a^{13} + 51 a^{12} + 24 a^{11} + 33 a^{10} + 5 a^{9} + 3 a^{8} + 34 a^{7} + 52 a^{6} + 48 a^{5} + a^{4} + 17 a^{3} + 8 a + 1\right)\cdot 53^{8} + \left(49 a^{13} + 27 a^{12} + 23 a^{11} + 8 a^{10} + 2 a^{9} + 7 a^{8} + 45 a^{6} + 38 a^{5} + 14 a^{4} + 17 a^{3} + 50 a^{2} + 18 a + 17\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\)
|
| $r_{ 25 }$ | $=$ |
\( 4 a^{13} + 39 a^{12} + 30 a^{11} + 47 a^{10} + 31 a^{9} + 13 a^{8} + 20 a^{7} + 17 a^{6} + 9 a^{5} + 39 a^{4} + 21 a^{3} + 39 a^{2} + 4 a + 4 + \left(45 a^{13} + 24 a^{12} + 48 a^{11} + 33 a^{8} + 43 a^{7} + 48 a^{6} + 38 a^{5} + 7 a^{4} + 11 a^{3} + 23 a^{2} + 31 a + 15\right)\cdot 53 + \left(4 a^{13} + 15 a^{12} + 22 a^{11} + 16 a^{10} + 2 a^{9} + 3 a^{8} + 24 a^{7} + 52 a^{6} + 17 a^{5} + 18 a^{4} + 33 a^{3} + 42 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 53^{2} + \left(7 a^{13} + 25 a^{12} + 35 a^{11} + 21 a^{10} + 11 a^{9} + 50 a^{8} + 49 a^{7} + 34 a^{6} + 11 a^{5} + 17 a^{4} + 19 a^{3} + 30 a^{2} + 15 a + 11\right)\cdot 53^{3} + \left(27 a^{13} + 16 a^{12} + 33 a^{11} + 8 a^{10} + 11 a^{9} + 16 a^{8} + 38 a^{7} + 36 a^{6} + 51 a^{5} + 19 a^{4} + 42 a^{3} + 5 a^{2} + 22 a + 5\right)\cdot 53^{4} + \left(41 a^{13} + 29 a^{12} + 35 a^{11} + a^{10} + 32 a^{8} + 17 a^{6} + 28 a^{5} + 19 a^{4} + 46 a^{3} + 47 a^{2} + 44 a + 9\right)\cdot 53^{5} + \left(14 a^{13} + 5 a^{12} + 28 a^{11} + 13 a^{10} + 2 a^{9} + 27 a^{8} + 16 a^{7} + 46 a^{6} + 48 a^{5} + 22 a^{4} + 45 a^{3} + 36 a^{2} + 26 a + 3\right)\cdot 53^{6} + \left(12 a^{13} + 44 a^{12} + 39 a^{11} + 15 a^{10} + 28 a^{9} + 30 a^{8} + 9 a^{7} + 22 a^{6} + 24 a^{5} + 17 a^{4} + 31 a^{3} + 9 a^{2} + 29 a + 44\right)\cdot 53^{7} + \left(30 a^{13} + 37 a^{12} + 3 a^{11} + 30 a^{10} + 4 a^{9} + 17 a^{8} + 33 a^{7} + 3 a^{6} + 51 a^{5} + 30 a^{4} + 43 a^{3} + 11 a^{2} + 24 a + 17\right)\cdot 53^{8} + \left(43 a^{13} + 52 a^{12} + 13 a^{11} + 12 a^{10} + 34 a^{9} + 16 a^{8} + a^{7} + 52 a^{6} + 8 a^{5} + 28 a^{4} + 39 a^{2} + 3 a + 29\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\)
|
| $r_{ 26 }$ | $=$ |
\( 33 a^{13} + 44 a^{12} + 16 a^{11} + 36 a^{10} + 48 a^{9} + 47 a^{8} + 27 a^{7} + 41 a^{6} + 31 a^{5} + 7 a^{4} + 48 a^{3} + 48 a^{2} + 12 a + 21 + \left(15 a^{13} + 27 a^{12} + 25 a^{11} + 35 a^{10} + 28 a^{9} + 12 a^{8} + 44 a^{6} + 39 a^{5} + 42 a^{4} + 12 a^{3} + 33 a^{2} + 29 a + 13\right)\cdot 53 + \left(23 a^{13} + 37 a^{12} + 11 a^{11} + 31 a^{10} + 26 a^{9} + 21 a^{8} + 41 a^{7} + 10 a^{6} + 16 a^{5} + 20 a^{4} + 52 a^{3} + 18 a^{2} + 46 a + 31\right)\cdot 53^{2} + \left(12 a^{13} + 16 a^{12} + 24 a^{11} + 48 a^{10} + 11 a^{9} + 47 a^{8} + 13 a^{7} + 2 a^{6} + 34 a^{5} + 37 a^{4} + 48 a^{3} + 17 a^{2} + 17 a + 47\right)\cdot 53^{3} + \left(48 a^{13} + 32 a^{12} + 14 a^{11} + 23 a^{10} + 49 a^{9} + 50 a^{8} + 12 a^{7} + 17 a^{6} + 40 a^{5} + 31 a^{4} + 21 a^{3} + 16 a^{2} + 23 a + 33\right)\cdot 53^{4} + \left(49 a^{13} + 29 a^{12} + 32 a^{11} + 11 a^{10} + 15 a^{9} + 10 a^{8} + 8 a^{7} + 19 a^{6} + 44 a^{5} + 29 a^{4} + 18 a^{3} + 27 a^{2} + 24 a + 35\right)\cdot 53^{5} + \left(50 a^{13} + 48 a^{12} + 29 a^{11} + 38 a^{10} + 6 a^{9} + 27 a^{8} + 39 a^{7} + a^{6} + 46 a^{5} + 10 a^{4} + 45 a^{3} + 41 a^{2} + 17 a + 14\right)\cdot 53^{6} + \left(41 a^{13} + 14 a^{12} + 43 a^{11} + 27 a^{10} + 18 a^{9} + 27 a^{8} + 43 a^{7} + 22 a^{6} + 42 a^{5} + 23 a^{4} + 42 a^{3} + 31 a^{2} + 44 a + 3\right)\cdot 53^{7} + \left(33 a^{13} + 52 a^{12} + 37 a^{11} + 18 a^{10} + 21 a^{9} + 47 a^{8} + 14 a^{7} + a^{6} + 35 a^{5} + 13 a^{4} + 34 a^{3} + 50 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 53^{8} + \left(48 a^{13} + 3 a^{12} + 32 a^{11} + 35 a^{10} + 33 a^{9} + a^{8} + 47 a^{7} + 22 a^{6} + 50 a^{5} + 26 a^{4} + 45 a^{3} + 17 a^{2} + 48 a + 8\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\)
|
| $r_{ 27 }$ | $=$ |
\( 5 a^{13} + 36 a^{12} + 2 a^{11} + 22 a^{10} + 50 a^{9} + 24 a^{8} + 12 a^{7} + a^{6} + 7 a^{5} + a^{4} + 44 a^{2} + 47 a + 13 + \left(18 a^{13} + 9 a^{12} + 27 a^{11} + 12 a^{10} + 42 a^{9} + 37 a^{8} + 9 a^{7} + 49 a^{6} + 26 a^{5} + 11 a^{4} + 39 a^{3} + 24 a^{2} + 36 a + 52\right)\cdot 53 + \left(52 a^{13} + 34 a^{12} + 17 a^{11} + 36 a^{10} + 45 a^{9} + 48 a^{8} + 44 a^{7} + a^{6} + 18 a^{5} + 11 a^{4} + 51 a^{3} + 47 a^{2} + 3 a + 27\right)\cdot 53^{2} + \left(a^{13} + 4 a^{12} + 10 a^{11} + 51 a^{10} + 32 a^{9} + 28 a^{8} + 26 a^{7} + 43 a^{6} + 41 a^{5} + 20 a^{4} + 29 a^{3} + 38 a^{2} + 25 a + 36\right)\cdot 53^{3} + \left(20 a^{13} + 3 a^{12} + 23 a^{11} + 34 a^{10} + 14 a^{9} + 31 a^{8} + 33 a^{7} + 20 a^{6} + 10 a^{5} + 32 a^{4} + 44 a^{3} + 43 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 53^{4} + \left(45 a^{13} + 48 a^{12} + 51 a^{11} + 26 a^{10} + 37 a^{9} + 9 a^{8} + 48 a^{7} + 15 a^{6} + 2 a^{5} + 9 a^{4} + 35 a^{3} + 38 a^{2} + 6 a + 13\right)\cdot 53^{5} + \left(44 a^{13} + 8 a^{12} + 19 a^{11} + 17 a^{10} + 38 a^{9} + 39 a^{8} + 38 a^{7} + 4 a^{6} + 27 a^{5} + 24 a^{4} + 21 a^{3} + 18 a^{2} + 49 a\right)\cdot 53^{6} + \left(27 a^{13} + 28 a^{12} + 50 a^{11} + 49 a^{10} + 36 a^{9} + 36 a^{8} + 38 a^{7} + 48 a^{6} + 48 a^{5} + 4 a^{4} + 11 a^{3} + 32 a^{2} + 36 a + 51\right)\cdot 53^{7} + \left(22 a^{13} + 38 a^{12} + 35 a^{11} + 27 a^{10} + 44 a^{9} + 13 a^{8} + 18 a^{7} + 16 a^{6} + 6 a^{5} + 28 a^{4} + 5 a^{3} + 41 a^{2} + 5 a + 19\right)\cdot 53^{8} + \left(24 a^{13} + 3 a^{12} + 30 a^{11} + 20 a^{10} + 30 a^{9} + 6 a^{8} + 37 a^{7} + 26 a^{6} + 22 a^{5} + 28 a^{4} + 51 a^{3} + 45 a^{2} + 36 a + 32\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\)
|
| $r_{ 28 }$ | $=$ |
\( 23 a^{13} + 36 a^{12} + 41 a^{11} + 34 a^{10} + 16 a^{9} + 25 a^{8} + 10 a^{7} + 28 a^{6} + 45 a^{5} + 3 a^{4} + 10 a^{3} + 15 a^{2} + 48 a + 50 + \left(27 a^{13} + 25 a^{12} + 52 a^{11} + 16 a^{10} + 9 a^{9} + 38 a^{8} + 16 a^{7} + 42 a^{6} + 36 a^{5} + 35 a^{4} + 35 a^{3} + 22 a^{2} + 30 a + 40\right)\cdot 53 + \left(28 a^{13} + 37 a^{12} + 7 a^{11} + 27 a^{10} + 4 a^{9} + 35 a^{8} + 4 a^{6} + 3 a^{5} + 18 a^{4} + 4 a^{3} + 39 a^{2} + 16 a + 12\right)\cdot 53^{2} + \left(47 a^{13} + 30 a^{12} + 25 a^{10} + 40 a^{9} + 52 a^{8} + 13 a^{7} + 25 a^{6} + 28 a^{5} + 41 a^{4} + 19 a^{3} + 29 a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 53^{3} + \left(51 a^{13} + 28 a^{12} + 45 a^{11} + 46 a^{10} + 39 a^{9} + 44 a^{8} + 42 a^{7} + 46 a^{6} + 40 a^{5} + 6 a^{4} + 28 a^{3} + 21 a^{2} + 25 a + 17\right)\cdot 53^{4} + \left(30 a^{13} + 35 a^{12} + 15 a^{11} + a^{10} + 44 a^{9} + 45 a^{8} + 22 a^{7} + 23 a^{6} + 15 a^{5} + 46 a^{4} + 7 a^{3} + 41 a^{2} + 4 a + 36\right)\cdot 53^{5} + \left(30 a^{13} + 15 a^{12} + 29 a^{11} + 23 a^{10} + 13 a^{9} + 3 a^{8} + a^{7} + 12 a^{5} + 33 a^{4} + 40 a^{3} + 24 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 53^{6} + \left(29 a^{13} + 46 a^{12} + 33 a^{11} + 22 a^{10} + 31 a^{9} + 31 a^{8} + 43 a^{7} + 30 a^{6} + 2 a^{5} + 19 a^{4} + 49 a^{3} + 39 a^{2} + 6 a + 44\right)\cdot 53^{7} + \left(24 a^{13} + 23 a^{12} + 18 a^{11} + 16 a^{10} + 4 a^{9} + 16 a^{8} + 10 a^{7} + 40 a^{6} + 35 a^{5} + 22 a^{4} + 31 a^{3} + 49 a^{2} + 51\right)\cdot 53^{8} + \left(39 a^{13} + 5 a^{12} + 8 a^{11} + 10 a^{10} + 6 a^{9} + 44 a^{8} + 21 a^{7} + 48 a^{6} + 36 a^{5} + 13 a^{4} + 24 a^{3} + 21 a^{2} + 29 a + 35\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\)
|
Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 28 }$
| Cycle notation |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on $r_1, \ldots, r_{ 28 }$ | Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $2$ |
| $1$ | $2$ | $(1,16)(2,8)(3,20)(4,21)(5,28)(6,18)(7,26)(9,22)(10,13)(11,24)(12,19)(14,15)(17,25)(23,27)$ | $-2$ |
| $14$ | $2$ | $(1,16)(2,22)(3,23)(5,25)(6,26)(7,18)(8,9)(10,15)(11,12)(13,14)(17,28)(19,24)(20,27)$ | $0$ |
| $14$ | $2$ | $(1,4)(2,27)(3,22)(5,19)(6,10)(7,15)(8,23)(9,20)(11,25)(12,28)(13,18)(14,26)(16,21)(17,24)$ | $0$ |
| $2$ | $4$ | $(1,21,16,4)(2,3,8,20)(5,11,28,24)(6,14,18,15)(7,13,26,10)(9,23,22,27)(12,25,19,17)$ | $0$ |
| $2$ | $7$ | $(1,25,26,23,20,18,28)(2,15,24,21,19,10,22)(3,6,5,16,17,7,27)(4,12,13,9,8,14,11)$ | $-\zeta_{28}^{10} + \zeta_{28}^{4}$ |
| $2$ | $7$ | $(1,26,20,28,25,23,18)(2,24,19,22,15,21,10)(3,5,17,27,6,16,7)(4,13,8,11,12,9,14)$ | $\zeta_{28}^{8} - \zeta_{28}^{6}$ |
| $2$ | $7$ | $(1,23,28,26,18,25,20)(2,21,22,24,10,15,19)(3,16,27,5,7,6,17)(4,9,11,13,14,12,8)$ | $\zeta_{28}^{10} - \zeta_{28}^{8} + \zeta_{28}^{6} - \zeta_{28}^{4} - 1$ |
| $2$ | $14$ | $(1,17,26,27,20,6,28,16,25,7,23,3,18,5)(2,14,24,4,19,13,22,8,15,11,21,12,10,9)$ | $\zeta_{28}^{10} - \zeta_{28}^{4}$ |
| $2$ | $14$ | $(1,27,28,7,18,17,20,16,23,5,26,6,25,3)(2,4,22,11,10,14,19,8,21,9,24,13,15,12)$ | $-\zeta_{28}^{10} + \zeta_{28}^{8} - \zeta_{28}^{6} + \zeta_{28}^{4} + 1$ |
| $2$ | $14$ | $(1,6,23,17,28,3,26,16,18,27,25,5,20,7)(2,13,21,14,22,12,24,8,10,4,15,9,19,11)$ | $-\zeta_{28}^{8} + \zeta_{28}^{6}$ |
| $2$ | $28$ | $(1,19,7,9,20,15,5,4,25,10,27,8,18,24,16,12,26,22,3,14,28,21,17,13,23,2,6,11)$ | $\zeta_{28}^{11} - \zeta_{28}^{3}$ |
| $2$ | $28$ | $(1,9,5,10,18,12,3,21,23,11,7,15,25,8,16,22,28,13,6,19,20,4,27,24,26,14,17,2)$ | $-\zeta_{28}^{9} + \zeta_{28}^{5}$ |
| $2$ | $28$ | $(1,15,27,12,28,2,7,4,18,22,17,11,20,10,16,14,23,19,5,8,26,21,6,9,25,24,3,13)$ | $-\zeta_{28}^{11} + \zeta_{28}^{9} - \zeta_{28}^{7} + \zeta_{28}^{5} - \zeta_{28}^{3} + 2 \zeta_{28}$ |
| $2$ | $28$ | $(1,10,3,11,25,22,6,4,26,2,5,12,23,15,16,13,20,24,17,9,18,21,7,8,28,19,27,14)$ | $\zeta_{28}^{11} - \zeta_{28}^{9} + \zeta_{28}^{7} - \zeta_{28}^{5} + \zeta_{28}^{3} - 2 \zeta_{28}$ |
| $2$ | $28$ | $(1,8,17,15,26,11,27,21,20,12,6,10,28,9,16,2,25,14,7,24,23,4,3,19,18,13,5,22)$ | $\zeta_{28}^{9} - \zeta_{28}^{5}$ |
| $2$ | $28$ | $(1,24,6,8,23,10,17,4,28,15,3,9,26,19,16,11,18,2,27,13,25,21,5,14,20,22,7,12)$ | $-\zeta_{28}^{11} + \zeta_{28}^{3}$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.