↑

Properties

Label	2.3143.14t3.a
Dimension	$2$
Group	$D_{14}$
Conductor	$3143$
Indicator	$1$

Related objects

Downloads

Underlying data

Learn more

Basic invariants

Dimension:	$2$
Group:	$D_{14}$
Conductor:	\(3143\)\(\medspace = 7 \cdot 449 \)
Frobenius-Schur indicator:	$1$
Root number:	$1$
Artin number field:	Galois closure of 14.2.432825288429292066229201.1
Galois orbit size:	$3$
Smallest permutation container:	$D_{14}$
Parity:	odd
Projective image:	$D_7$
Projective field:	Galois closure of 7.1.31047965207.1

Galois action

Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 23 }$ to precision 10.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 23 }$: \( x^{7} + 21x + 18 \)

Toggle raw display

Roots:

$r_{ 1 }$	$=$	\( 7 a^{5} + 6 a^{4} + 3 a^{3} + 16 a^{2} + 8 a + 1 + \left(21 a^{6} + 11 a^{5} + 8 a^{4} + 20 a^{3} + 17 a^{2} + 15 a + 17\right)\cdot 23 + \left(14 a^{6} + 21 a^{5} + 16 a^{4} + a^{3} + 2 a^{2} + 14 a + 12\right)\cdot 23^{2} + \left(17 a^{6} + 17 a^{5} + 20 a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 17\right)\cdot 23^{3} + \left(20 a^{6} + 11 a^{5} + 4 a^{4} + a^{3} + 19 a^{2} + 21 a + 7\right)\cdot 23^{4} + \left(12 a^{6} + 5 a^{5} + 21 a^{4} + 9 a^{3} + 15 a^{2} + 21 a + 6\right)\cdot 23^{5} + \left(11 a^{6} + 17 a^{5} + 21 a^{4} + 22 a^{3} + 16 a^{2} + 12 a + 22\right)\cdot 23^{6} + \left(11 a^{6} + 3 a^{5} + 4 a^{4} + 2 a^{3} + 5 a^{2} + 14 a + 2\right)\cdot 23^{7} + \left(19 a^{6} + 17 a^{5} + 2 a^{4} + 22 a^{3} + 18 a^{2} + 22 a + 17\right)\cdot 23^{8} + \left(4 a^{6} + 15 a^{5} + 7 a^{4} + a^{3} + 17 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 7a^5 + 6a^4 + 3a^3 + 16a^2 + 8a + 1 + (21a^6 + 11a^5 + 8a^4 + 20a^3 + 17a^2 + 15a + 17)23 + (14a^6 + 21a^5 + 16a^4 + a^3 + 2a^2 + 14a + 12)23^2 + (17a^6 + 17a^5 + 20a^3 + 2a^2 + 7a + 17)23^3 + (20a^6 + 11a^5 + 4a^4 + a^3 + 19a^2 + 21a + 7)23^4 + (12a^6 + 5a^5 + 21a^4 + 9a^3 + 15a^2 + 21a + 6)23^5 + (11a^6 + 17a^5 + 21a^4 + 22a^3 + 16a^2 + 12a + 22)23^6 + (11a^6 + 3a^5 + 4a^4 + 2a^3 + 5a^2 + 14a + 2)23^7 + (19a^6 + 17a^5 + 2a^4 + 22a^3 + 18a^2 + 22a + 17)23^8 + (4a^6 + 15a^5 + 7a^4 + a^3 + 17a^2 + 3a + 3)23^9+O(23^10)
$r_{ 2 }$	$=$	\( a^{6} + 21 a^{5} + 8 a^{4} + 3 a^{3} + a^{2} + 7 a + 21 + \left(6 a^{6} + 13 a^{5} + 10 a^{4} + 22 a^{3} + 11 a^{2} + 19 a + 22\right)\cdot 23 + \left(12 a^{6} + 19 a^{4} + 3 a^{3} + 8 a^{2} + 15 a + 22\right)\cdot 23^{2} + \left(a^{6} + 6 a^{5} + 21 a^{4} + 13 a^{3} + 21 a^{2} + 16 a + 8\right)\cdot 23^{3} + \left(4 a^{6} + 7 a^{5} + 20 a^{4} + a^{2} + 18 a + 15\right)\cdot 23^{4} + \left(16 a^{6} + 10 a^{5} + 9 a^{4} + 13 a^{3} + a^{2} + 17\right)\cdot 23^{5} + \left(20 a^{6} + 10 a^{5} + 3 a^{4} + 2 a^{3} + 11 a^{2} + 18 a + 9\right)\cdot 23^{6} + \left(12 a^{6} + 7 a^{5} + 12 a^{4} + 20 a^{3} + 17 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 23^{7} + \left(20 a^{5} + 15 a^{3} + 19 a^{2} + a + 5\right)\cdot 23^{8} + \left(19 a^{6} + 10 a^{5} + 7 a^{3} + 5 a^{2} + a + 15\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) a^6 + 21a^5 + 8a^4 + 3a^3 + a^2 + 7a + 21 + (6a^6 + 13a^5 + 10a^4 + 22a^3 + 11a^2 + 19a + 22)23 + (12a^6 + 19a^4 + 3a^3 + 8a^2 + 15a + 22)23^2 + (a^6 + 6a^5 + 21a^4 + 13a^3 + 21a^2 + 16a + 8)23^3 + (4a^6 + 7a^5 + 20a^4 + a^2 + 18a + 15)23^4 + (16a^6 + 10a^5 + 9a^4 + 13a^3 + a^2 + 17)23^5 + (20a^6 + 10a^5 + 3a^4 + 2a^3 + 11a^2 + 18a + 9)23^6 + (12a^6 + 7a^5 + 12a^4 + 20a^3 + 17a^2 + 9a + 12)23^7 + (20a^5 + 15a^3 + 19a^2 + a + 5)23^8 + (19a^6 + 10a^5 + 7a^3 + 5a^2 + a + 15)23^9+O(23^10)
$r_{ 3 }$	$=$	\( 4 a^{6} + 14 a^{5} + 21 a^{4} + 8 a^{3} + 3 a^{2} + 15 a + 4 + \left(18 a^{6} + 6 a^{5} + 20 a^{4} + 21 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 23 + \left(15 a^{6} + 18 a^{5} + 12 a^{4} + 20 a^{3} + 17 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 23^{2} + \left(15 a^{6} + 11 a^{5} + 3 a^{4} + 12 a^{3} + 16 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 23^{3} + \left(9 a^{6} + 13 a^{5} + 12 a^{4} + 13 a^{3} + 14 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 23^{4} + \left(20 a^{6} + 13 a^{5} + 15 a^{4} + 4 a^{3} + 12 a^{2} + 18 a + 3\right)\cdot 23^{5} + \left(15 a^{6} + 18 a^{5} + 14 a^{4} + 22 a^{3} + 14 a + 8\right)\cdot 23^{6} + \left(19 a^{6} + 16 a^{5} + 2 a^{4} + 11 a^{3} + a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 23^{7} + \left(22 a^{6} + 14 a^{5} + 11 a^{4} + 9 a^{3} + 19 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 23^{8} + \left(8 a^{6} + 15 a^{5} + 21 a^{4} + 3 a^{3} + 15 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 4a^6 + 14a^5 + 21a^4 + 8a^3 + 3a^2 + 15a + 4 + (18a^6 + 6a^5 + 20a^4 + 21a^3 + 11a^2 + 2a + 12)23 + (15a^6 + 18a^5 + 12a^4 + 20a^3 + 17a^2 + 3a + 5)23^2 + (15a^6 + 11a^5 + 3a^4 + 12a^3 + 16a^2 + 11a + 5)23^3 + (9a^6 + 13a^5 + 12a^4 + 13a^3 + 14a^2 + 6a + 15)23^4 + (20a^6 + 13a^5 + 15a^4 + 4a^3 + 12a^2 + 18a + 3)23^5 + (15a^6 + 18a^5 + 14a^4 + 22a^3 + 14a + 8)23^6 + (19a^6 + 16a^5 + 2a^4 + 11a^3 + a^2 + 11a + 12)23^7 + (22a^6 + 14a^5 + 11a^4 + 9a^3 + 19a^2 + 12a + 8)23^8 + (8a^6 + 15a^5 + 21a^4 + 3a^3 + 15a^2 + 9a + 9)*23^9+O(23^10)
$r_{ 4 }$	$=$	\( 7 a^{6} + 20 a^{5} + 18 a^{4} + 11 a^{3} + 6 a^{2} + a + 14 + \left(15 a^{6} + 19 a^{5} + 17 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 23 + \left(19 a^{6} + 13 a^{5} + 18 a^{4} + 8 a^{3} + 20 a^{2} + 8 a + 18\right)\cdot 23^{2} + \left(4 a^{6} + 18 a^{5} + 11 a^{4} + 7 a^{3} + 11 a^{2} + 19 a + 22\right)\cdot 23^{3} + \left(4 a^{6} + 9 a^{5} + 14 a^{4} + 17 a^{3} + 12 a^{2} + 2 a + 17\right)\cdot 23^{4} + \left(3 a^{6} + 19 a^{5} + 8 a^{3} + 18 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 23^{5} + \left(7 a^{6} + 8 a^{5} + 11 a^{4} + 16 a^{3} + 22 a^{2} + 5 a + 18\right)\cdot 23^{6} + \left(6 a^{6} + 2 a^{5} + 5 a^{4} + 14 a^{3} + 6 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 23^{7} + \left(3 a^{6} + 18 a^{5} + 18 a^{4} + 14 a^{3} + 17 a^{2} + 20 a + 8\right)\cdot 23^{8} + \left(9 a^{6} + 9 a^{5} + 21 a^{4} + 2 a^{3} + 2 a^{2} + 20 a + 21\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 7a^6 + 20a^5 + 18a^4 + 11a^3 + 6a^2 + a + 14 + (15a^6 + 19a^5 + 17a^3 + 8a^2 + 6a + 5)23 + (19a^6 + 13a^5 + 18a^4 + 8a^3 + 20a^2 + 8a + 18)23^2 + (4a^6 + 18a^5 + 11a^4 + 7a^3 + 11a^2 + 19a + 22)23^3 + (4a^6 + 9a^5 + 14a^4 + 17a^3 + 12a^2 + 2a + 17)23^4 + (3a^6 + 19a^5 + 8a^3 + 18a^2 + 4a + 13)23^5 + (7a^6 + 8a^5 + 11a^4 + 16a^3 + 22a^2 + 5a + 18)23^6 + (6a^6 + 2a^5 + 5a^4 + 14a^3 + 6a^2 + 15a + 8)23^7 + (3a^6 + 18a^5 + 18a^4 + 14a^3 + 17a^2 + 20a + 8)23^8 + (9a^6 + 9a^5 + 21a^4 + 2a^3 + 2a^2 + 20a + 21)23^9+O(23^10)
$r_{ 5 }$	$=$	\( 8 a^{6} + 10 a^{5} + 17 a^{4} + 18 a^{3} + 10 a^{2} + 22 a + 9 + \left(19 a^{6} + 10 a^{5} + 2 a^{4} + 20 a^{3} + 14 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 23 + \left(22 a^{6} + 4 a^{5} + 19 a^{4} + 18 a^{3} + 10 a^{2} + 18 a + 6\right)\cdot 23^{2} + \left(16 a^{6} + 12 a^{5} + 19 a^{4} + 13 a^{3} + 15 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 23^{3} + \left(18 a^{6} + 11 a^{5} + 9 a^{4} + 13 a^{3} + 21 a^{2} + 3\right)\cdot 23^{4} + \left(3 a^{6} + 22 a^{5} + 12 a^{4} + 21 a^{3} + 15 a^{2} + 22 a + 2\right)\cdot 23^{5} + \left(12 a^{6} + 12 a^{5} + 16 a^{4} + 17 a^{3} + 11 a^{2} + 22 a + 17\right)\cdot 23^{6} + \left(7 a^{6} + 20 a^{5} + 18 a^{4} + 14 a^{3} + 22 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 23^{7} + \left(6 a^{6} + 20 a^{5} + 9 a^{4} + 17 a^{3} + 22 a^{2} + 3 a + 17\right)\cdot 23^{8} + \left(17 a^{6} + a^{5} + 15 a^{4} + a^{3} + 2 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 8a^6 + 10a^5 + 17a^4 + 18a^3 + 10a^2 + 22a + 9 + (19a^6 + 10a^5 + 2a^4 + 20a^3 + 14a^2 + 15a + 9)23 + (22a^6 + 4a^5 + 19a^4 + 18a^3 + 10a^2 + 18a + 6)23^2 + (16a^6 + 12a^5 + 19a^4 + 13a^3 + 15a^2 + 9a + 11)23^3 + (18a^6 + 11a^5 + 9a^4 + 13a^3 + 21a^2 + 3)23^4 + (3a^6 + 22a^5 + 12a^4 + 21a^3 + 15a^2 + 22a + 2)23^5 + (12a^6 + 12a^5 + 16a^4 + 17a^3 + 11a^2 + 22a + 17)23^6 + (7a^6 + 20a^5 + 18a^4 + 14a^3 + 22a^2 + 8a + 7)23^7 + (6a^6 + 20a^5 + 9a^4 + 17a^3 + 22a^2 + 3a + 17)23^8 + (17a^6 + a^5 + 15a^4 + a^3 + 2a^2 + 12a + 6)23^9+O(23^10)
$r_{ 6 }$	$=$	\( 9 a^{6} + 21 a^{5} + 20 a^{4} + 4 a^{3} + 15 a^{2} + 11 a + 4 + \left(7 a^{6} + 16 a^{5} + 3 a^{4} + 9 a^{3} + 2 a^{2} + 21 a + 1\right)\cdot 23 + \left(7 a^{6} + 19 a^{5} + 21 a^{4} + 18 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 23^{2} + \left(5 a^{6} + 14 a^{5} + 3 a^{4} + 20 a^{3} + 22 a^{2} + 20 a + 8\right)\cdot 23^{3} + \left(19 a^{6} + 17 a^{5} + 2 a^{4} + 20 a^{3} + 11 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 23^{4} + \left(a^{6} + 18 a^{5} + a^{4} + 6 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 23^{5} + \left(13 a^{6} + 19 a^{5} + 8 a^{4} + 11 a^{3} + 13 a^{2} + 18 a + 10\right)\cdot 23^{6} + \left(16 a^{6} + 6 a^{5} + 2 a^{4} + 3 a^{3} + 9 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 23^{7} + \left(13 a^{6} + 7 a^{5} + 22 a^{4} + 3 a^{3} + 14 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 23^{8} + \left(20 a^{6} + 7 a^{5} + 22 a^{4} + 19 a^{3} + 22 a^{2} + 12 a + 20\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 9a^6 + 21a^5 + 20a^4 + 4a^3 + 15a^2 + 11a + 4 + (7a^6 + 16a^5 + 3a^4 + 9a^3 + 2a^2 + 21a + 1)23 + (7a^6 + 19a^5 + 21a^4 + 18a^3 + 11a^2 + 7a + 3)23^2 + (5a^6 + 14a^5 + 3a^4 + 20a^3 + 22a^2 + 20a + 8)23^3 + (19a^6 + 17a^5 + 2a^4 + 20a^3 + 11a^2 + 3a + 12)23^4 + (a^6 + 18a^5 + a^4 + 6a^3 + 2a^2 + 6a + 12)23^5 + (13a^6 + 19a^5 + 8a^4 + 11a^3 + 13a^2 + 18a + 10)23^6 + (16a^6 + 6a^5 + 2a^4 + 3a^3 + 9a^2 + 6a + 9)23^7 + (13a^6 + 7a^5 + 22a^4 + 3a^3 + 14a^2 + 2a + 12)23^8 + (20a^6 + 7a^5 + 22a^4 + 19a^3 + 22a^2 + 12a + 20)*23^9+O(23^10)
$r_{ 7 }$	$=$	\( 10 a^{6} + 20 a^{5} + 11 a^{4} + 16 a^{3} + 14 a + 20 + \left(14 a^{6} + 17 a^{5} + 10 a^{4} + 16 a^{3} + 11 a^{2} + 17 a + 13\right)\cdot 23 + \left(5 a^{6} + 11 a^{5} + 3 a^{4} + 15 a^{3} + 9 a^{2} + 14 a + 6\right)\cdot 23^{2} + \left(18 a^{6} + 5 a^{5} + 15 a^{3} + 2 a^{2} + 17 a + 5\right)\cdot 23^{3} + \left(15 a^{6} + 2 a^{5} + 6 a^{4} + 9 a^{3} + 10 a + 10\right)\cdot 23^{4} + \left(6 a^{6} + 22 a^{5} + 4 a^{4} + 3 a^{3} + 15 a^{2} + a + 9\right)\cdot 23^{5} + \left(9 a^{6} + 4 a^{5} + 18 a^{4} + 7 a^{3} + 13 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 23^{6} + \left(9 a^{6} + 3 a^{5} + 11 a^{4} + 22 a^{3} + 8 a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 23^{7} + \left(10 a^{6} + 6 a^{5} + 5 a^{4} + a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 23^{8} + \left(a^{6} + 13 a^{5} + 7 a^{4} + 11 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 10a^6 + 20a^5 + 11a^4 + 16a^3 + 14a + 20 + (14a^6 + 17a^5 + 10a^4 + 16a^3 + 11a^2 + 17a + 13)23 + (5a^6 + 11a^5 + 3a^4 + 15a^3 + 9a^2 + 14a + 6)23^2 + (18a^6 + 5a^5 + 15a^3 + 2a^2 + 17a + 5)23^3 + (15a^6 + 2a^5 + 6a^4 + 9a^3 + 10a + 10)23^4 + (6a^6 + 22a^5 + 4a^4 + 3a^3 + 15a^2 + a + 9)23^5 + (9a^6 + 4a^5 + 18a^4 + 7a^3 + 13a^2 + 15a + 4)23^6 + (9a^6 + 3a^5 + 11a^4 + 22a^3 + 8a^2 + 13a + 11)23^7 + (10a^6 + 6a^5 + 5a^4 + a^3 + 10a^2 + 2a + 14)23^8 + (a^6 + 13a^5 + 7a^4 + 11a^3 + 7a^2 + 9a + 11)*23^9+O(23^10)
$r_{ 8 }$	$=$	\( 12 a^{6} + a^{5} + 6 a^{4} + 7 a^{3} + 15 a^{2} + a + 12 + \left(6 a^{6} + 15 a^{5} + 17 a^{4} + 2 a^{3} + 2 a + 8\right)\cdot 23 + \left(17 a^{6} + 7 a^{5} + 18 a^{4} + 9 a^{3} + 2 a^{2} + a + 21\right)\cdot 23^{2} + \left(2 a^{6} + 10 a^{5} + 7 a^{4} + 7 a^{3} + 10 a^{2} + 21 a + 7\right)\cdot 23^{3} + \left(8 a^{6} + 3 a^{5} + 18 a^{4} + 18 a^{3} + 7 a^{2} + 7 a + 19\right)\cdot 23^{4} + \left(15 a^{6} + 3 a^{5} + 8 a^{3} + 21 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 23^{5} + \left(20 a^{6} + 8 a^{4} + 16 a^{3} + 20 a^{2} + 17 a + 9\right)\cdot 23^{6} + \left(9 a^{5} + 19 a^{4} + 7 a^{3} + 14 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 23^{7} + \left(7 a^{6} + 21 a^{5} + 21 a^{4} + 20 a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 23^{8} + \left(4 a^{6} + 5 a^{5} + 14 a^{4} + 22 a^{3} + 16 a^{2} + a + 3\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 12a^6 + a^5 + 6a^4 + 7a^3 + 15a^2 + a + 12 + (6a^6 + 15a^5 + 17a^4 + 2a^3 + 2a + 8)23 + (17a^6 + 7a^5 + 18a^4 + 9a^3 + 2a^2 + a + 21)23^2 + (2a^6 + 10a^5 + 7a^4 + 7a^3 + 10a^2 + 21a + 7)23^3 + (8a^6 + 3a^5 + 18a^4 + 18a^3 + 7a^2 + 7a + 19)23^4 + (15a^6 + 3a^5 + 8a^3 + 21a^2 + 12a + 2)23^5 + (20a^6 + 8a^4 + 16a^3 + 20a^2 + 17a + 9)23^6 + (9a^5 + 19a^4 + 7a^3 + 14a^2 + 6a + 3)23^7 + (7a^6 + 21a^5 + 21a^4 + 20a^3 + 2a^2 + 7a + 7)23^8 + (4a^6 + 5a^5 + 14a^4 + 22a^3 + 16a^2 + a + 3)*23^9+O(23^10)
$r_{ 9 }$	$=$	\( 12 a^{6} + 6 a^{5} + 21 a^{4} + 7 a^{3} + 2 a + 12 + \left(12 a^{6} + 10 a^{5} + 4 a^{3} + a + 1\right)\cdot 23 + \left(13 a^{6} + 7 a^{5} + 7 a^{4} + 16 a^{3} + 14 a^{2} + 16 a\right)\cdot 23^{2} + \left(22 a^{6} + 2 a^{5} + 14 a^{4} + 4 a^{3} + 22 a^{2} + 11 a + 20\right)\cdot 23^{3} + \left(4 a^{6} + 21 a^{5} + 19 a^{4} + 2 a^{3} + 20 a^{2} + 17 a + 8\right)\cdot 23^{4} + \left(a^{6} + 2 a^{5} + 19 a^{4} + 6 a^{3} + 18 a^{2} + 1\right)\cdot 23^{5} + \left(10 a^{6} + 2 a^{4} + 10 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 23^{6} + \left(18 a^{6} + 14 a^{5} + 20 a^{4} + 6 a^{3} + 17 a^{2} + 11 a + 20\right)\cdot 23^{7} + \left(15 a^{6} + 20 a^{5} + 6 a^{4} + 4 a^{3} + 13 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 23^{8} + \left(19 a^{6} + 5 a^{5} + a^{4} + 10 a^{3} + 11 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 12a^6 + 6a^5 + 21a^4 + 7a^3 + 2a + 12 + (12a^6 + 10a^5 + 4a^3 + a + 1)23 + (13a^6 + 7a^5 + 7a^4 + 16a^3 + 14a^2 + 16a)23^2 + (22a^6 + 2a^5 + 14a^4 + 4a^3 + 22a^2 + 11a + 20)23^3 + (4a^6 + 21a^5 + 19a^4 + 2a^3 + 20a^2 + 17a + 8)23^4 + (a^6 + 2a^5 + 19a^4 + 6a^3 + 18a^2 + 1)23^5 + (10a^6 + 2a^4 + 10a^3 + 7a^2 + 6a + 2)23^6 + (18a^6 + 14a^5 + 20a^4 + 6a^3 + 17a^2 + 11a + 20)23^7 + (15a^6 + 20a^5 + 6a^4 + 4a^3 + 13a^2 + 11a + 3)23^8 + (19a^6 + 5a^5 + a^4 + 10a^3 + 11a^2 + 9a + 4)*23^9+O(23^10)
$r_{ 10 }$	$=$	\( 18 a^{6} + a^{5} + 14 a^{4} + 17 a^{3} + 14 a^{2} + a + 3 + \left(16 a^{6} + 16 a^{4} + 4 a^{3} + 7 a^{2} + 17 a + 10\right)\cdot 23 + \left(15 a^{5} + 2 a^{4} + 3 a^{3} + 20 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 23^{2} + \left(20 a^{6} + 10 a^{5} + 14 a^{4} + 20 a^{3} + a^{2} + a + 14\right)\cdot 23^{3} + \left(8 a^{6} + 22 a^{5} + 3 a^{4} + 15 a^{3} + 5 a\right)\cdot 23^{4} + \left(15 a^{6} + 8 a^{5} + 13 a^{4} + 22 a^{3} + a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 23^{5} + \left(15 a^{6} + 12 a^{5} + 5 a^{4} + 21 a^{3} + 12 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 23^{6} + \left(2 a^{6} + 20 a^{4} + 7 a^{3} + 6 a^{2} + 22 a + 5\right)\cdot 23^{7} + \left(2 a^{6} + 21 a^{5} + 10 a^{4} + 21 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 23^{8} + \left(5 a^{6} + 19 a^{5} + 18 a^{4} + 8 a^{3} + 18 a^{2} + 22 a + 8\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 18a^6 + a^5 + 14a^4 + 17a^3 + 14a^2 + a + 3 + (16a^6 + 16a^4 + 4a^3 + 7a^2 + 17a + 10)23 + (15a^5 + 2a^4 + 3a^3 + 20a^2 + 11a + 10)23^2 + (20a^6 + 10a^5 + 14a^4 + 20a^3 + a^2 + a + 14)23^3 + (8a^6 + 22a^5 + 3a^4 + 15a^3 + 5a)23^4 + (15a^6 + 8a^5 + 13a^4 + 22a^3 + a^2 + 11a + 5)23^5 + (15a^6 + 12a^5 + 5a^4 + 21a^3 + 12a^2 + 7a + 4)23^6 + (2a^6 + 20a^4 + 7a^3 + 6a^2 + 22a + 5)23^7 + (2a^6 + 21a^5 + 10a^4 + 21a^2 + 10a + 3)23^8 + (5a^6 + 19a^5 + 18a^4 + 8a^3 + 18a^2 + 22a + 8)*23^9+O(23^10)
$r_{ 11 }$	$=$	\( 18 a^{6} + 9 a^{5} + 17 a^{4} + 3 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 3 + \left(22 a^{6} + 18 a^{4} + 16 a^{3} + 22 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 23 + \left(18 a^{6} + 18 a^{5} + 22 a^{4} + 19 a^{3} + 13 a^{2} + 22 a + 17\right)\cdot 23^{2} + \left(10 a^{6} + 10 a^{5} + 12 a^{4} + 13 a^{3} + 10 a^{2} + 19 a + 9\right)\cdot 23^{3} + \left(17 a^{6} + 11 a^{5} + a^{4} + 9 a^{3} + 14 a^{2} + 21 a + 17\right)\cdot 23^{4} + \left(8 a^{6} + 6 a^{5} + 6 a^{4} + 11 a^{3} + 12 a^{2} + 14 a\right)\cdot 23^{5} + \left(21 a^{6} + 13 a^{5} + 5 a^{4} + 20 a^{3} + 20 a^{2} + 20 a + 15\right)\cdot 23^{6} + \left(3 a^{6} + 10 a^{5} + 14 a^{4} + 22 a^{3} + 19 a^{2} + 21 a + 4\right)\cdot 23^{7} + \left(11 a^{6} + 3 a^{5} + 19 a^{4} + 11 a^{3} + 17 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 23^{8} + \left(11 a^{6} + 5 a^{4} + 8 a^{3} + 18 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 18a^6 + 9a^5 + 17a^4 + 3a^3 + 2a^2 + 11a + 3 + (22a^6 + 18a^4 + 16a^3 + 22a^2 + 3a + 3)23 + (18a^6 + 18a^5 + 22a^4 + 19a^3 + 13a^2 + 22a + 17)23^2 + (10a^6 + 10a^5 + 12a^4 + 13a^3 + 10a^2 + 19a + 9)23^3 + (17a^6 + 11a^5 + a^4 + 9a^3 + 14a^2 + 21a + 17)23^4 + (8a^6 + 6a^5 + 6a^4 + 11a^3 + 12a^2 + 14a)23^5 + (21a^6 + 13a^5 + 5a^4 + 20a^3 + 20a^2 + 20a + 15)23^6 + (3a^6 + 10a^5 + 14a^4 + 22a^3 + 19a^2 + 21a + 4)23^7 + (11a^6 + 3a^5 + 19a^4 + 11a^3 + 17a^2 + 5a + 5)23^8 + (11a^6 + 5a^4 + 8a^3 + 18a^2 + 5a + 8)23^9+O(23^10)
$r_{ 12 }$	$=$	\( 20 a^{6} + 13 a^{5} + 2 a^{4} + 19 a^{3} + 22 a^{2} + 2 a + 18 + \left(a^{6} + 5 a^{5} + 10 a^{4} + 15 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 16\right)\cdot 23 + \left(22 a^{6} + 15 a^{5} + 11 a^{4} + 16 a^{3} + 2 a^{2} + a + 15\right)\cdot 23^{2} + \left(14 a^{6} + 4 a^{5} + 12 a^{4} + a^{3} + 11 a^{2} + 16 a + 20\right)\cdot 23^{3} + \left(9 a^{6} + 21 a^{5} + 6 a^{4} + 19 a^{3} + 15 a^{2} + 17 a\right)\cdot 23^{4} + \left(4 a^{6} + 14 a^{5} + a^{4} + 3 a^{3} + 13 a^{2} + 22 a + 13\right)\cdot 23^{5} + \left(8 a^{6} + 16 a^{5} + 19 a^{4} + 17 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 14\right)\cdot 23^{6} + \left(6 a^{6} + 8 a^{5} + 13 a^{4} + a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 23^{7} + \left(22 a^{6} + 6 a^{5} + 12 a^{4} + 16 a^{3} + a^{2} + 22 a + 5\right)\cdot 23^{8} + \left(a^{6} + 4 a^{5} + 15 a^{4} + 4 a^{3} + 7 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 20a^6 + 13a^5 + 2a^4 + 19a^3 + 22a^2 + 2a + 18 + (a^6 + 5a^5 + 10a^4 + 15a^3 + 8a^2 + 3a + 16)23 + (22a^6 + 15a^5 + 11a^4 + 16a^3 + 2a^2 + a + 15)23^2 + (14a^6 + 4a^5 + 12a^4 + a^3 + 11a^2 + 16a + 20)23^3 + (9a^6 + 21a^5 + 6a^4 + 19a^3 + 15a^2 + 17a)23^4 + (4a^6 + 14a^5 + a^4 + 3a^3 + 13a^2 + 22a + 13)23^5 + (8a^6 + 16a^5 + 19a^4 + 17a^3 + 4a^2 + 3a + 14)23^6 + (6a^6 + 8a^5 + 13a^4 + a^3 + 3a^2 + 10a + 9)23^7 + (22a^6 + 6a^5 + 12a^4 + 16a^3 + a^2 + 22a + 5)23^8 + (a^6 + 4a^5 + 15a^4 + 4a^3 + 7a^2 + 11a + 7)23^9+O(23^10)
$r_{ 13 }$	$=$	\( 21 a^{6} + 8 a^{5} + 10 a^{4} + 14 a^{3} + 4 a^{2} + 22 a + 11 + \left(18 a^{6} + 21 a^{5} + 9 a^{4} + 8 a^{3} + 17 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 23 + \left(11 a^{6} + 2 a^{5} + 17 a^{4} + 19 a^{3} + 13 a^{2} + 22 a + 3\right)\cdot 23^{2} + \left(a^{6} + 10 a^{5} + 13 a^{4} + 2 a^{3} + 14 a^{2} + 3\right)\cdot 23^{3} + \left(3 a^{6} + 15 a^{5} + 4 a^{4} + 2 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 23^{4} + \left(5 a^{6} + 5 a^{5} + 8 a^{4} + 14 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 23^{5} + \left(21 a^{6} + 5 a^{5} + 12 a^{4} + 22 a^{3} + 12 a^{2} + 13 a + 12\right)\cdot 23^{6} + \left(7 a^{6} + 7 a^{5} + 2 a^{4} + 4 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 23^{7} + \left(16 a^{6} + 8 a^{5} + 12 a^{4} + 15 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 23^{8} + \left(2 a^{6} + 13 a^{5} + 17 a^{3} + 10 a^{2} + 15 a + 11\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 21a^6 + 8a^5 + 10a^4 + 14a^3 + 4a^2 + 22a + 11 + (18a^6 + 21a^5 + 9a^4 + 8a^3 + 17a^2 + 4a + 2)23 + (11a^6 + 2a^5 + 17a^4 + 19a^3 + 13a^2 + 22a + 3)23^2 + (a^6 + 10a^5 + 13a^4 + 2a^3 + 14a^2 + 3)23^3 + (3a^6 + 15a^5 + 4a^4 + 2a^3 + 2a^2 + 10a + 11)23^4 + (5a^6 + 5a^5 + 8a^4 + 14a^2 + 2a + 4)23^5 + (21a^6 + 5a^5 + 12a^4 + 22a^3 + 12a^2 + 13a + 12)23^6 + (7a^6 + 7a^5 + 2a^4 + 4a^3 + 3a^2 + 10a + 7)23^7 + (16a^6 + 8a^5 + 12a^4 + 15a^3 + 5a^2 + 10a + 6)23^8 + (2a^6 + 13a^5 + 17a^3 + 10a^2 + 15a + 11)*23^9+O(23^10)
$r_{ 14 }$	$=$	\( 21 a^{6} + 10 a^{5} + 13 a^{4} + 8 a^{3} + 7 a^{2} + 21 a + 11 + \left(2 a^{6} + 11 a^{5} + 7 a^{4} + 4 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 13\right)\cdot 23 + \left(a^{6} + 4 a^{5} + 16 a^{4} + 11 a^{3} + 14 a^{2} + 3 a + 17\right)\cdot 23^{2} + \left(8 a^{6} + 2 a^{5} + 6 a^{3} + 20 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 23^{3} + \left(16 a^{6} + 15 a^{5} + 14 a^{4} + 16 a^{3} + 17 a^{2} + 16 a + 20\right)\cdot 23^{4} + \left(22 a^{6} + 6 a^{5} + 17 a^{3} + 20 a^{2} + 21 a + 21\right)\cdot 23^{5} + \left(19 a^{6} + 20 a^{5} + 14 a^{4} + 21 a^{3} + 15 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 23^{6} + \left(13 a^{6} + 3 a^{5} + 12 a^{4} + 18 a^{3} + 20 a + 22\right)\cdot 23^{7} + \left(9 a^{6} + 21 a^{5} + 7 a^{4} + 7 a^{3} + 3 a + 22\right)\cdot 23^{8} + \left(11 a^{6} + 13 a^{5} + 8 a^{4} + 18 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 21a^6 + 10a^5 + 13a^4 + 8a^3 + 7a^2 + 21a + 11 + (2a^6 + 11a^5 + 7a^4 + 4a^3 + 5a^2 + 7a + 13)23 + (a^6 + 4a^5 + 16a^4 + 11a^3 + 14a^2 + 3a + 17)23^2 + (8a^6 + 2a^5 + 6a^3 + 20a^2 + 10a + 5)23^3 + (16a^6 + 15a^5 + 14a^4 + 16a^3 + 17a^2 + 16a + 20)23^4 + (22a^6 + 6a^5 + 17a^3 + 20a^2 + 21a + 21)23^5 + (19a^6 + 20a^5 + 14a^4 + 21a^3 + 15a^2 + 7a + 12)23^6 + (13a^6 + 3a^5 + 12a^4 + 18a^3 + 20a + 22)23^7 + (9a^6 + 21a^5 + 7a^4 + 7a^3 + 3a + 22)23^8 + (11a^6 + 13a^5 + 8a^4 + 18a^3 + 3a^2 + 3a + 6)23^9+O(23^10)

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 14 }$

Cycle notation
$(1,2)(3,4)(5,7)(6,13)(8,11)(9,14)(10,12)$
$(1,12)(2,10)(3,8)(4,11)(5,7)(6,14)(9,13)$
$(1,6)(2,11)(3,5)(4,10)(7,8)(9,13)(12,14)$

Character values on conjugacy classes

Size	Order	Action on $r_1, \ldots, r_{ 14 }$	Character values
			$c1$	$c2$	$c3$
$1$	$1$	$()$	$2$	$2$	$2$
$1$	$2$	$(1,12)(2,10)(3,8)(4,11)(5,7)(6,14)(9,13)$	$-2$	$-2$	$-2$
$7$	$2$	$(1,2)(3,4)(5,7)(6,13)(8,11)(9,14)(10,12)$	$0$	$0$	$0$
$7$	$2$	$(1,10)(2,12)(3,11)(4,8)(6,9)(13,14)$	$0$	$0$	$0$
$2$	$7$	$(1,11,7,3,10,14,13)(2,6,9,12,4,5,8)$	$\zeta_{7}^{5} + \zeta_{7}^{2}$	$-\zeta_{7}^{5} - \zeta_{7}^{4} - \zeta_{7}^{3} - \zeta_{7}^{2} - 1$	$\zeta_{7}^{4} + \zeta_{7}^{3}$
$2$	$7$	$(1,7,10,13,11,3,14)(2,9,4,8,6,12,5)$	$\zeta_{7}^{4} + \zeta_{7}^{3}$	$\zeta_{7}^{5} + \zeta_{7}^{2}$	$-\zeta_{7}^{5} - \zeta_{7}^{4} - \zeta_{7}^{3} - \zeta_{7}^{2} - 1$
$2$	$7$	$(1,3,13,7,14,11,10)(2,12,8,9,5,6,4)$	$-\zeta_{7}^{5} - \zeta_{7}^{4} - \zeta_{7}^{3} - \zeta_{7}^{2} - 1$	$\zeta_{7}^{4} + \zeta_{7}^{3}$	$\zeta_{7}^{5} + \zeta_{7}^{2}$
$2$	$14$	$(1,4,7,8,10,6,13,12,11,5,3,2,14,9)$	$-\zeta_{7}^{5} - \zeta_{7}^{2}$	$\zeta_{7}^{5} + \zeta_{7}^{4} + \zeta_{7}^{3} + \zeta_{7}^{2} + 1$	$-\zeta_{7}^{4} - \zeta_{7}^{3}$
$2$	$14$	$(1,8,13,5,14,4,10,12,3,9,7,6,11,2)$	$\zeta_{7}^{5} + \zeta_{7}^{4} + \zeta_{7}^{3} + \zeta_{7}^{2} + 1$	$-\zeta_{7}^{4} - \zeta_{7}^{3}$	$-\zeta_{7}^{5} - \zeta_{7}^{2}$
$2$	$14$	$(1,6,3,4,13,2,7,12,14,8,11,9,10,5)$	$-\zeta_{7}^{4} - \zeta_{7}^{3}$	$-\zeta_{7}^{5} - \zeta_{7}^{2}$	$\zeta_{7}^{5} + \zeta_{7}^{4} + \zeta_{7}^{3} + \zeta_{7}^{2} + 1$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.