LMFDB - Galois orbit of Artin representations 2.309.16t60.a

Basic invariants

Dimension:	$2$
Group:	16T60
Conductor:	$309$$\medspace = 3 \cdot 103 $
Artin number field:	Galois closure of 16.0.83112785039841492321.1
Galois orbit size:	$4$
Smallest permutation container:	16T60
Parity:	odd
Projective image:	$A_4$
Projective field:	Galois closure of 4.0.95481.1

Galois action

Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 19 }$ to precision 10.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 19 }$: $ x^{6} + 17x^{3} + 17x^{2} + 6x + 2 $

Roots:

$r_{ 1 }$	$=$	$ 3 a^{5} + 11 a^{4} + 4 a^{3} + 13 a^{2} + 2 a + 1 + \left(17 a^{5} + 9 a^{4} + 18 a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 19 + \left(12 a^{4} + 18 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 17\right)\cdot 19^{2} + \left(12 a^{5} + 16 a^{3} + 18 a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 19^{3} + \left(15 a^{5} + 5 a^{4} + 6 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 19^{4} + \left(6 a^{5} + 6 a^{4} + 9 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 13\right)\cdot 19^{5} + \left(10 a^{5} + 12 a^{4} + 12 a^{3} + 7 a^{2} + 16 a + 14\right)\cdot 19^{6} + \left(18 a^{5} + 12 a^{4} + 11 a^{3} + 6 a^{2} + 15 a + 17\right)\cdot 19^{7} + \left(13 a^{5} + 2 a^{4} + 2 a^{3} + 15 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 19^{8} + \left(6 a^{5} + 3 a^{4} + 4 a^{3} + 7 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})$ 3a^5 + 11a^4 + 4a^3 + 13a^2 + 2a + 1 + (17a^5 + 9a^4 + 18a^3 + 7a^2 + 3a + 7)19 + (12a^4 + 18a^3 + 7a^2 + 9a + 17)19^2 + (12a^5 + 16a^3 + 18a^2 + 16a + 11)19^3 + (15a^5 + 5a^4 + 6a^3 + 2a^2 + 10a + 11)19^4 + (6a^5 + 6a^4 + 9a^3 + 2a^2 + 10a + 13)19^5 + (10a^5 + 12a^4 + 12a^3 + 7a^2 + 16a + 14)19^6 + (18a^5 + 12a^4 + 11a^3 + 6a^2 + 15a + 17)19^7 + (13a^5 + 2a^4 + 2a^3 + 15a^2 + 15a + 5)19^8 + (6a^5 + 3a^4 + 4a^3 + 7a^2 + 14a + 13)*19^9+O(19^10)
$r_{ 2 }$	$=$	$ 10 a^{5} + 17 a^{4} + 2 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 12 + \left(14 a^{5} + 18 a^{4} + 2 a^{3} + 9 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 19 + \left(8 a^{5} + 8 a^{4} + 13 a^{3} + 4 a^{2} + 4\right)\cdot 19^{2} + \left(17 a^{5} + 12 a^{4} + a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 19^{3} + \left(3 a^{5} + a^{4} + 8 a^{3} + 8 a^{2} + 13 a + 5\right)\cdot 19^{4} + \left(12 a^{5} + 2 a^{4} + 16 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 19^{5} + \left(12 a^{5} + a^{4} + 6 a^{3} + a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 19^{6} + \left(4 a^{5} + 17 a^{4} + 18 a^{3} + 17 a^{2} + 15 a + 14\right)\cdot 19^{7} + \left(15 a^{4} + 11 a^{3} + 17 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 19^{8} + \left(12 a^{5} + 15 a^{4} + 8 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})$ 10a^5 + 17a^4 + 2a^3 + 2a^2 + 5a + 12 + (14a^5 + 18a^4 + 2a^3 + 9a^2 + 15a + 9)19 + (8a^5 + 8a^4 + 13a^3 + 4a^2 + 4)19^2 + (17a^5 + 12a^4 + a^3 + 8a^2 + 4a + 12)19^3 + (3a^5 + a^4 + 8a^3 + 8a^2 + 13a + 5)19^4 + (12a^5 + 2a^4 + 16a^3 + 6a^2 + 6a + 2)19^5 + (12a^5 + a^4 + 6a^3 + a^2 + 5a + 1)19^6 + (4a^5 + 17a^4 + 18a^3 + 17a^2 + 15a + 14)19^7 + (15a^4 + 11a^3 + 17a^2 + 10a + 6)19^8 + (12a^5 + 15a^4 + 8a^3 + 7a^2 + 12a + 1)*19^9+O(19^10)
$r_{ 3 }$	$=$	$ 12 a^{5} + 17 a^{4} + a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 4 + \left(a^{4} + 11 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 19 + \left(17 a^{5} + 8 a^{4} + 8 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a\right)\cdot 19^{2} + \left(18 a^{5} + 8 a^{4} + 10 a^{3} + 14 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 19^{3} + \left(3 a^{5} + a^{4} + 3 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 19^{4} + \left(9 a^{5} + 9 a^{4} + a^{3} + 2 a^{2} + 6\right)\cdot 19^{5} + \left(14 a^{5} + 11 a^{4} + 4 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 19^{6} + \left(13 a^{5} + 9 a^{4} + 8 a^{3} + 16 a^{2} + 15 a + 2\right)\cdot 19^{7} + \left(6 a^{5} + 8 a^{3} + 16 a + 15\right)\cdot 19^{8} + \left(18 a^{5} + 3 a^{4} + 10 a^{3} + 8 a + 7\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})$ 12a^5 + 17a^4 + a^3 + 6a^2 + 3a + 4 + (a^4 + 11a^3 + 2a^2 + 9a + 7)19 + (17a^5 + 8a^4 + 8a^3 + 7a^2 + 5a)19^2 + (18a^5 + 8a^4 + 10a^3 + 14a^2 + 2a + 10)19^3 + (3a^5 + a^4 + 3a^3 + 6a^2 + 10a + 12)19^4 + (9a^5 + 9a^4 + a^3 + 2a^2 + 6)19^5 + (14a^5 + 11a^4 + 4a^3 + 10a^2 + 2a + 15)19^6 + (13a^5 + 9a^4 + 8a^3 + 16a^2 + 15a + 2)19^7 + (6a^5 + 8a^3 + 16a + 15)19^8 + (18a^5 + 3a^4 + 10a^3 + 8a + 7)19^9+O(19^10)
$r_{ 4 }$	$=$	$ 16 a^{5} + a^{4} + 17 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 4 + \left(13 a^{5} + 9 a^{4} + 13 a^{3} + 17 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 19 + \left(13 a^{5} + 6 a^{4} + 4 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 15\right)\cdot 19^{2} + \left(5 a^{5} + 12 a^{4} + 9 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 19^{3} + \left(7 a^{5} + 7 a^{3} + 15 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 19^{4} + \left(13 a^{5} + 7 a^{4} + 18 a + 16\right)\cdot 19^{5} + \left(13 a^{5} + 11 a^{4} + 7 a^{3} + 6 a^{2} + 15 a + 6\right)\cdot 19^{6} + \left(6 a^{5} + 16 a^{4} + 17 a^{3} + 8 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 19^{7} + \left(4 a^{5} + 14 a^{4} + 14 a^{3} + a + 12\right)\cdot 19^{8} + \left(4 a^{5} + 9 a^{4} + 11 a^{3} + 4 a^{2} + 15\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})$ 16a^5 + a^4 + 17a^3 + 3a^2 + 6a + 4 + (13a^5 + 9a^4 + 13a^3 + 17a^2 + 2a + 1)19 + (13a^5 + 6a^4 + 4a^3 + 9a^2 + 8a + 15)19^2 + (5a^5 + 12a^4 + 9a^3 + 7a^2 + 12a + 6)19^3 + (7a^5 + 7a^3 + 15a^2 + 12a + 12)19^4 + (13a^5 + 7a^4 + 18a + 16)19^5 + (13a^5 + 11a^4 + 7a^3 + 6a^2 + 15a + 6)19^6 + (6a^5 + 16a^4 + 17a^3 + 8a^2 + 11a + 4)19^7 + (4a^5 + 14a^4 + 14a^3 + a + 12)19^8 + (4a^5 + 9a^4 + 11a^3 + 4a^2 + 15)19^9+O(19^10)
$r_{ 5 }$	$=$	$ 16 a^{5} + 11 a^{4} + 11 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 11 + \left(a^{5} + 5 a^{4} + 4 a^{3} + 17 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 19 + \left(9 a^{5} + a^{4} + 17 a^{3} + 10 a^{2} + 18\right)\cdot 19^{2} + \left(6 a^{5} + 16 a^{4} + a^{3} + 16 a^{2} + 1\right)\cdot 19^{3} + \left(18 a^{5} + 4 a^{4} + 4 a^{3} + 4 a^{2} + 13 a + 9\right)\cdot 19^{4} + \left(2 a^{5} + 14 a^{4} + 3 a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 19^{5} + \left(4 a^{5} + 18 a^{4} + 7 a^{3} + 5 a^{2} + 15 a + 14\right)\cdot 19^{6} + \left(10 a^{5} + a^{4} + 2 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 19^{7} + \left(13 a^{5} + 10 a^{4} + 7 a^{3} + 17 a^{2} + 14 a + 11\right)\cdot 19^{8} + \left(12 a^{4} + 3 a^{3} + 8 a^{2} + a + 15\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})$ 16a^5 + 11a^4 + 11a^3 + 3a^2 + 12a + 11 + (a^5 + 5a^4 + 4a^3 + 17a^2 + 12a + 11)19 + (9a^5 + a^4 + 17a^3 + 10a^2 + 18)19^2 + (6a^5 + 16a^4 + a^3 + 16a^2 + 1)19^3 + (18a^5 + 4a^4 + 4a^3 + 4a^2 + 13a + 9)19^4 + (2a^5 + 14a^4 + 3a^2 + 11a + 14)19^5 + (4a^5 + 18a^4 + 7a^3 + 5a^2 + 15a + 14)19^6 + (10a^5 + a^4 + 2a^3 + 8a^2 + 3a + 1)19^7 + (13a^5 + 10a^4 + 7a^3 + 17a^2 + 14a + 11)19^8 + (12a^4 + 3a^3 + 8a^2 + a + 15)19^9+O(19^10)
$r_{ 6 }$	$=$	$ 2 a^{5} + 4 a^{4} + 10 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 2 + \left(15 a^{5} + 3 a^{4} + a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 19 + \left(5 a^{5} + 17 a^{4} + 14 a^{3} + a^{2} + 17 a + 6\right)\cdot 19^{2} + \left(6 a^{5} + 14 a^{4} + 9 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 13\right)\cdot 19^{3} + \left(16 a^{5} + 6 a^{4} + 16 a^{3} + 13 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 19^{4} + \left(12 a^{5} + 7 a^{4} + 9 a^{3} + 17 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 19^{5} + \left(2 a^{5} + 10 a^{4} + 15 a^{3} + 15 a^{2} + 16 a + 16\right)\cdot 19^{6} + \left(8 a^{4} + 4 a^{3} + 17 a^{2} + 10 a + 14\right)\cdot 19^{7} + \left(5 a^{4} + 15 a^{3} + 12 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 19^{8} + \left(5 a^{5} + 3 a^{4} + 17 a^{3} + 10 a^{2} + 16 a + 16\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})$ 2a^5 + 4a^4 + 10a^3 + 5a^2 + 10a + 2 + (15a^5 + 3a^4 + a^3 + 9a^2 + 4a + 6)19 + (5a^5 + 17a^4 + 14a^3 + a^2 + 17a + 6)19^2 + (6a^5 + 14a^4 + 9a^3 + 11a^2 + 2a + 13)19^3 + (16a^5 + 6a^4 + 16a^3 + 13a^2 + 16a + 15)19^4 + (12a^5 + 7a^4 + 9a^3 + 17a^2 + 3a + 10)19^5 + (2a^5 + 10a^4 + 15a^3 + 15a^2 + 16a + 16)19^6 + (8a^4 + 4a^3 + 17a^2 + 10a + 14)19^7 + (5a^4 + 15a^3 + 12a^2 + 17a + 16)19^8 + (5a^5 + 3a^4 + 17a^3 + 10a^2 + 16a + 16)*19^9+O(19^10)
$r_{ 7 }$	$=$	$ 18 a^{4} + 16 a^{3} + 2 a^{2} + 13 a + 18 + \left(18 a^{5} + 9 a^{4} + 13 a^{3} + 4 a^{2} + 17 a + 17\right)\cdot 19 + \left(5 a^{5} + 6 a^{4} + 6 a^{3} + 3 a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 19^{2} + \left(10 a^{5} + a^{4} + 12 a^{3} + 6 a^{2} + 12\right)\cdot 19^{3} + \left(18 a^{5} + 16 a^{4} + a^{3} + 10 a^{2} + 17 a + 5\right)\cdot 19^{4} + \left(16 a^{5} + 3 a^{4} + 6 a^{3} + 5 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 19^{5} + \left(5 a^{5} + 6 a^{4} + 12 a^{3} + 3 a^{2} + a + 8\right)\cdot 19^{6} + \left(12 a^{5} + 3 a^{4} + 15 a^{3} + 4 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 19^{7} + \left(15 a^{5} + 11 a^{4} + 4 a^{3} + 7 a + 1\right)\cdot 19^{8} + \left(7 a^{5} + 4 a^{4} + a^{3} + 18 a^{2} + 10 a\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})$ 18a^4 + 16a^3 + 2a^2 + 13a + 18 + (18a^5 + 9a^4 + 13a^3 + 4a^2 + 17a + 17)19 + (5a^5 + 6a^4 + 6a^3 + 3a^2 + 13a + 13)19^2 + (10a^5 + a^4 + 12a^3 + 6a^2 + 12)19^3 + (18a^5 + 16a^4 + a^3 + 10a^2 + 17a + 5)19^4 + (16a^5 + 3a^4 + 6a^3 + 5a^2 + 14a + 13)19^5 + (5a^5 + 6a^4 + 12a^3 + 3a^2 + a + 8)19^6 + (12a^5 + 3a^4 + 15a^3 + 4a^2 + 12a + 10)19^7 + (15a^5 + 11a^4 + 4a^3 + 7a + 1)19^8 + (7a^5 + 4a^4 + a^3 + 18a^2 + 10a)19^9+O(19^10)
$r_{ 8 }$	$=$	$ 8 a^{5} + 4 a^{4} + 17 a^{3} + 3 a^{2} + 18 a + 4 + \left(13 a^{5} + 6 a^{4} + 13 a^{3} + 9 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 19 + \left(5 a^{5} + 7 a^{4} + 6 a^{3} + 16 a^{2} + 16 a + 7\right)\cdot 19^{2} + \left(13 a^{5} + 11 a^{4} + 18 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 19^{3} + \left(13 a^{5} + 10 a^{4} + 6 a^{3} + 10 a^{2} + a + 16\right)\cdot 19^{4} + \left(5 a^{5} + 12 a^{4} + 11 a^{3} + 10 a^{2} + 12 a + 18\right)\cdot 19^{5} + \left(15 a^{5} + 4 a^{4} + 16 a^{3} + 18 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 19^{6} + \left(3 a^{5} + 4 a^{4} + 18 a^{3} + 14 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 19^{7} + \left(11 a^{5} + 3 a^{4} + 8 a^{3} + 17 a^{2} + 9 a + 17\right)\cdot 19^{8} + \left(11 a^{5} + 15 a^{4} + 6 a^{3} + 9 a^{2} + a + 3\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})$ 8a^5 + 4a^4 + 17a^3 + 3a^2 + 18a + 4 + (13a^5 + 6a^4 + 13a^3 + 9a^2 + 9a + 15)19 + (5a^5 + 7a^4 + 6a^3 + 16a^2 + 16a + 7)19^2 + (13a^5 + 11a^4 + 18a^3 + 6a^2 + 7a + 11)19^3 + (13a^5 + 10a^4 + 6a^3 + 10a^2 + a + 16)19^4 + (5a^5 + 12a^4 + 11a^3 + 10a^2 + 12a + 18)19^5 + (15a^5 + 4a^4 + 16a^3 + 18a^2 + 3a + 3)19^6 + (3a^5 + 4a^4 + 18a^3 + 14a^2 + 5a + 3)19^7 + (11a^5 + 3a^4 + 8a^3 + 17a^2 + 9a + 17)19^8 + (11a^5 + 15a^4 + 6a^3 + 9a^2 + a + 3)*19^9+O(19^10)
$r_{ 9 }$	$=$	$ 16 a^{5} + 8 a^{4} + 15 a^{3} + 6 a^{2} + 17 a + 2 + \left(a^{5} + 9 a^{4} + 11 a^{2} + 15 a + 18\right)\cdot 19 + \left(18 a^{5} + 6 a^{4} + 11 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 19^{2} + \left(6 a^{5} + 18 a^{4} + 2 a^{3} + 2 a + 11\right)\cdot 19^{3} + \left(3 a^{5} + 13 a^{4} + 12 a^{3} + 16 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 19^{4} + \left(12 a^{5} + 12 a^{4} + 9 a^{3} + 16 a^{2} + 8 a + 17\right)\cdot 19^{5} + \left(8 a^{5} + 6 a^{4} + 6 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 19^{6} + \left(6 a^{4} + 7 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 19^{7} + \left(5 a^{5} + 16 a^{4} + 16 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 19^{8} + \left(12 a^{5} + 15 a^{4} + 14 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})$ 16a^5 + 8a^4 + 15a^3 + 6a^2 + 17a + 2 + (a^5 + 9a^4 + 11a^2 + 15a + 18)19 + (18a^5 + 6a^4 + 11a^2 + 9a + 16)19^2 + (6a^5 + 18a^4 + 2a^3 + 2a + 11)19^3 + (3a^5 + 13a^4 + 12a^3 + 16a^2 + 8a + 16)19^4 + (12a^5 + 12a^4 + 9a^3 + 16a^2 + 8a + 17)19^5 + (8a^5 + 6a^4 + 6a^3 + 11a^2 + 2a + 1)19^6 + (6a^4 + 7a^3 + 12a^2 + 3a + 6)19^7 + (5a^5 + 16a^4 + 16a^3 + 3a^2 + 3a + 8)19^8 + (12a^5 + 15a^4 + 14a^3 + 11a^2 + 4a + 13)19^9+O(19^10)
$r_{ 10 }$	$=$	$ 5 a^{5} + 12 a^{4} + 13 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 8 + \left(2 a^{5} + 9 a^{4} + 8 a^{3} + 13 a^{2} + 7 a + 16\right)\cdot 19 + \left(9 a^{5} + 6 a^{4} + 16 a^{3} + 18 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 19^{2} + \left(3 a^{5} + 2 a^{4} + 3 a^{3} + 11 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 19^{3} + \left(13 a^{5} + 14 a^{4} + 4 a^{3} + 17 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 19^{4} + \left(16 a^{5} + 7 a^{4} + 7 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 13\right)\cdot 19^{5} + \left(9 a^{5} + 11 a^{4} + a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 19^{6} + \left(11 a^{4} + 16 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 19^{7} + \left(12 a^{5} + 2 a^{4} + a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 19^{8} + \left(8 a^{5} + 15 a^{4} + 11 a^{3} + 16 a^{2} + 16 a\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})$ 5a^5 + 12a^4 + 13a^3 + 9a^2 + 8a + 8 + (2a^5 + 9a^4 + 8a^3 + 13a^2 + 7a + 16)19 + (9a^5 + 6a^4 + 16a^3 + 18a^2 + 15a + 12)19^2 + (3a^5 + 2a^4 + 3a^3 + 11a^2 + 8a + 10)19^3 + (13a^5 + 14a^4 + 4a^3 + 17a^2 + 6a + 14)19^4 + (16a^5 + 7a^4 + 7a^3 + 5a^2 + 7a + 13)19^5 + (9a^5 + 11a^4 + a^3 + 8a^2 + 7a + 6)19^6 + (11a^4 + 16a^3 + 7a^2 + 4a + 13)19^7 + (12a^5 + 2a^4 + a^3 + 2a^2 + 6a + 12)19^8 + (8a^5 + 15a^4 + 11a^3 + 16a^2 + 16a)19^9+O(19^10)
$r_{ 11 }$	$=$	$ a^{5} + 17 a^{4} + 12 a^{3} + a^{2} + 7 a + 14 + \left(7 a^{5} + 12 a^{4} + 3 a^{3} + 3 a^{2} + 16 a + 2\right)\cdot 19 + \left(a^{5} + 3 a^{4} + 13 a^{3} + 16 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 19^{2} + \left(8 a^{5} + 12 a^{4} + 10 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 13\right)\cdot 19^{3} + \left(10 a^{5} + 13 a^{4} + 2 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 19^{4} + \left(5 a^{5} + 9 a^{4} + 4 a^{3} + 17 a^{2} + 16 a + 14\right)\cdot 19^{5} + \left(2 a^{4} + 17 a^{3} + 7 a^{2} + 15 a + 14\right)\cdot 19^{6} + \left(17 a^{5} + 14 a^{3} + 2 a^{2} + 17 a + 9\right)\cdot 19^{7} + \left(11 a^{5} + 13 a^{4} + 4 a^{3} + 17 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 19^{8} + \left(11 a^{5} + 16 a^{4} + 11 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})$ a^5 + 17a^4 + 12a^3 + a^2 + 7a + 14 + (7a^5 + 12a^4 + 3a^3 + 3a^2 + 16a + 2)19 + (a^5 + 3a^4 + 13a^3 + 16a^2 + 9a + 6)19^2 + (8a^5 + 12a^4 + 10a^3 + 4a^2 + 10a + 13)19^3 + (10a^5 + 13a^4 + 2a^3 + 7a^2 + 6a + 6)19^4 + (5a^5 + 9a^4 + 4a^3 + 17a^2 + 16a + 14)19^5 + (2a^4 + 17a^3 + 7a^2 + 15a + 14)19^6 + (17a^5 + 14a^3 + 2a^2 + 17a + 9)19^7 + (11a^5 + 13a^4 + 4a^3 + 17a^2 + 6a + 15)19^8 + (11a^5 + 16a^4 + 11a^3 + 11a^2 + 5a + 2)19^9+O(19^10)
$r_{ 12 }$	$=$	$ 13 a^{5} + 12 a^{4} + 12 a^{3} + 17 a^{2} + 9 a + 11 + \left(18 a^{5} + 4 a^{4} + 17 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 19 + \left(6 a^{5} + 4 a^{4} + 17 a + 2\right)\cdot 19^{2} + \left(3 a^{5} + 9 a^{4} + 2 a^{3} + 10 a^{2} + 18 a + 6\right)\cdot 19^{3} + \left(18 a^{5} + 6 a^{4} + 12 a^{3} + a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 19^{4} + \left(18 a^{5} + 2 a^{4} + 8 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 19^{5} + \left(5 a^{5} + a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 19^{6} + \left(14 a^{5} + 2 a^{4} + a^{3} + 5 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 19^{7} + \left(2 a^{5} + 10 a^{4} + 15 a^{3} + 18 a^{2} + 14 a + 8\right)\cdot 19^{8} + \left(2 a^{5} + 15 a^{4} + 3 a^{3} + 16 a^{2} + 13 a + 2\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})$ 13a^5 + 12a^4 + 12a^3 + 17a^2 + 9a + 11 + (18a^5 + 4a^4 + 17a^3 + 11a^2 + 6a + 16)19 + (6a^5 + 4a^4 + 17a + 2)19^2 + (3a^5 + 9a^4 + 2a^3 + 10a^2 + 18a + 6)19^3 + (18a^5 + 6a^4 + 12a^3 + a^2 + 7a + 4)19^4 + (18a^5 + 2a^4 + 8a^3 + 5a^2 + 7a + 1)19^5 + (5a^5 + a^3 + 4a^2 + 10a + 12)19^6 + (14a^5 + 2a^4 + a^3 + 5a^2 + 11a + 7)19^7 + (2a^5 + 10a^4 + 15a^3 + 18a^2 + 14a + 8)19^8 + (2a^5 + 15a^4 + 3a^3 + 16a^2 + 13a + 2)*19^9+O(19^10)
$r_{ 13 }$	$=$	$ 9 a^{5} + 12 a^{4} + 14 a^{3} + 9 a^{2} + 16 a + 16 + \left(15 a^{5} + 11 a^{4} + 2 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 19 + \left(15 a^{5} + 12 a^{4} + 11 a^{3} + a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 19^{2} + \left(14 a^{5} + 2 a^{4} + 10 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 16\right)\cdot 19^{3} + \left(2 a^{5} + 6 a^{4} + 15 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 19^{4} + \left(6 a^{5} + 5 a^{4} + 9 a^{3} + 12 a^{2} + a + 13\right)\cdot 19^{5} + \left(4 a^{5} + 13 a^{4} + a^{3} + 14 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 19^{6} + \left(5 a^{5} + a^{3} + 7 a^{2} + a + 8\right)\cdot 19^{7} + \left(15 a^{5} + 3 a^{4} + 10 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 18\right)\cdot 19^{8} + \left(7 a^{5} + 8 a^{4} + 17 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})$ 9a^5 + 12a^4 + 14a^3 + 9a^2 + 16a + 16 + (15a^5 + 11a^4 + 2a^3 + 5a^2 + 2a + 2)19 + (15a^5 + 12a^4 + 11a^3 + a^2 + 9a + 5)19^2 + (14a^5 + 2a^4 + 10a^3 + 5a^2 + 10a + 16)19^3 + (2a^5 + 6a^4 + 15a^2 + 7a + 10)19^4 + (6a^5 + 5a^4 + 9a^3 + 12a^2 + a + 13)19^5 + (4a^5 + 13a^4 + a^3 + 14a^2 + 4a + 4)19^6 + (5a^5 + a^3 + 7a^2 + a + 8)19^7 + (15a^5 + 3a^4 + 10a^3 + 3a^2 + 3a + 18)19^8 + (7a^5 + 8a^4 + 17a^2 + 2a + 8)*19^9+O(19^10)
$r_{ 14 }$	$=$	$ 2 a^{5} + 5 a^{4} + 13 a^{3} + 3 a^{2} + 15 a + 4 + \left(15 a^{5} + 16 a^{4} + a^{3} + 10 a^{2} + 5 a\right)\cdot 19 + \left(14 a^{5} + 3 a^{4} + 4 a^{3} + 12 a^{2} + 5 a + 15\right)\cdot 19^{2} + \left(15 a^{5} + 15 a^{4} + 6 a^{3} + 15 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 19^{3} + \left(3 a^{5} + 5 a^{4} + 17 a^{3} + 3 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 19^{4} + \left(11 a^{5} + 3 a^{4} + 16 a^{2} + 5 a\right)\cdot 19^{5} + \left(18 a^{5} + 16 a^{4} + 5 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 19^{6} + \left(9 a^{5} + 17 a^{4} + 11 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 19^{7} + \left(8 a^{5} + 6 a^{4} + 12 a^{3} + 17 a^{2} + 7 a + 15\right)\cdot 19^{8} + \left(8 a^{5} + 17 a^{4} + 3 a^{3} + 12 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})$ 2a^5 + 5a^4 + 13a^3 + 3a^2 + 15a + 4 + (15a^5 + 16a^4 + a^3 + 10a^2 + 5a)19 + (14a^5 + 3a^4 + 4a^3 + 12a^2 + 5a + 15)19^2 + (15a^5 + 15a^4 + 6a^3 + 15a^2 + 7a + 8)19^3 + (3a^5 + 5a^4 + 17a^3 + 3a^2 + 14a + 15)19^4 + (11a^5 + 3a^4 + 16a^2 + 5a)19^5 + (18a^5 + 16a^4 + 5a^3 + 8a^2 + 2a + 3)19^6 + (9a^5 + 17a^4 + 11a^3 + 3a^2 + 12a + 12)19^7 + (8a^5 + 6a^4 + 12a^3 + 17a^2 + 7a + 15)19^8 + (8a^5 + 17a^4 + 3a^3 + 12a^2 + 13a + 3)*19^9+O(19^10)
$r_{ 15 }$	$=$	$ 9 a^{5} + 7 a^{4} + 12 a^{3} + 16 a^{2} + 10 a + 12 + \left(10 a^{5} + 10 a^{4} + 13 a^{3} + 10 a^{2} + 13 a + 8\right)\cdot 19 + \left(5 a^{5} + 15 a^{4} + 3 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 19^{2} + \left(3 a^{5} + 6 a^{4} + 16 a^{3} + 2 a^{2} + 16 a + 18\right)\cdot 19^{3} + \left(16 a^{5} + 17 a^{4} + 16 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 19^{4} + \left(6 a^{5} + 3 a^{4} + 11 a^{3} + a^{2} + 9\right)\cdot 19^{5} + \left(2 a^{5} + 11 a^{4} + 15 a^{3} + 9 a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 19^{6} + \left(5 a^{4} + 2 a^{3} + 15 a^{2} + 16 a + 8\right)\cdot 19^{7} + \left(4 a^{5} + a^{4} + 7 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 19^{8} + \left(8 a^{5} + 11 a^{4} + 11 a^{3} + 8 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})$ 9a^5 + 7a^4 + 12a^3 + 16a^2 + 10a + 12 + (10a^5 + 10a^4 + 13a^3 + 10a^2 + 13a + 8)19 + (5a^5 + 15a^4 + 3a^3 + 8a^2 + 10a + 9)19^2 + (3a^5 + 6a^4 + 16a^3 + 2a^2 + 16a + 18)19^3 + (16a^5 + 17a^4 + 16a^3 + 9a^2 + 7a + 10)19^4 + (6a^5 + 3a^4 + 11a^3 + a^2 + 9)19^5 + (2a^5 + 11a^4 + 15a^3 + 9a^2 + 17a + 12)19^6 + (5a^4 + 2a^3 + 15a^2 + 16a + 8)19^7 + (4a^5 + a^4 + 7a^3 + 5a^2 + 6a + 9)19^8 + (8a^5 + 11a^4 + 11a^3 + 8a^2 + 12a + 9)*19^9+O(19^10)
$r_{ 16 }$	$=$	$ 11 a^{5} + 15 a^{4} + 2 a^{3} + 16 a^{2} + a + 13 + \left(5 a^{5} + 12 a^{4} + 5 a^{3} + 9 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 19 + \left(13 a^{5} + 11 a^{4} + 12 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 18\right)\cdot 19^{2} + \left(5 a^{5} + 7 a^{4} + 12 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 19^{3} + \left(5 a^{5} + 8 a^{4} + 12 a^{3} + 8 a^{2} + 17 a + 2\right)\cdot 19^{4} + \left(13 a^{5} + 6 a^{4} + 7 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 19^{5} + \left(3 a^{5} + 14 a^{4} + 2 a^{3} + 15 a + 14\right)\cdot 19^{6} + \left(15 a^{5} + 14 a^{4} + 4 a^{2} + 13 a + 16\right)\cdot 19^{7} + \left(7 a^{5} + 15 a^{4} + 10 a^{3} + a^{2} + 9 a + 14\right)\cdot 19^{8} + \left(7 a^{5} + 3 a^{4} + 12 a^{3} + 9 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})$ 11a^5 + 15a^4 + 2a^3 + 16a^2 + a + 13 + (5a^5 + 12a^4 + 5a^3 + 9a^2 + 9a + 10)19 + (13a^5 + 11a^4 + 12a^3 + 2a^2 + 2a + 18)19^2 + (5a^5 + 7a^4 + 12a^2 + 11a + 4)19^3 + (5a^5 + 8a^4 + 12a^3 + 8a^2 + 17a + 2)19^4 + (13a^5 + 6a^4 + 7a^3 + 8a^2 + 6a + 3)19^5 + (3a^5 + 14a^4 + 2a^3 + 15a + 14)19^6 + (15a^5 + 14a^4 + 4a^2 + 13a + 16)19^7 + (7a^5 + 15a^4 + 10a^3 + a^2 + 9a + 14)19^8 + (7a^5 + 3a^4 + 12a^3 + 9a^2 + 17a + 16)19^9+O(19^10)

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 16 }$

Cycle notation
$(1,13,9,5)(2,16,10,8)(3,4,11,12)(6,7,14,15)$
$(1,15,9,7)(2,4,10,12)(3,8,11,16)(5,6,13,14)$
$(1,9)(2,10)(3,11)(4,12)(5,13)(6,14)(7,15)(8,16)$
$(1,13,14)(2,4,8)(5,6,9)(10,12,16)$
$(1,16,9,8)(2,13,10,5)(3,7,11,15)(4,14,12,6)$

Character values on conjugacy classes

Size	Order	Action on $r_1, \ldots, r_{ 16 }$	Character values
			$c1$	$c2$	$c3$	$c4$
$1$	$1$	$()$	$2$	$2$	$2$	$2$
$1$	$2$	$(1,9)(2,10)(3,11)(4,12)(5,13)(6,14)(7,15)(8,16)$	$-2$	$-2$	$-2$	$-2$
$6$	$2$	$(1,10)(2,9)(3,14)(4,15)(5,16)(6,11)(7,12)(8,13)$	$0$	$0$	$0$	$0$
$4$	$3$	$(2,12,3)(4,11,10)(5,14,15)(6,7,13)$	$\zeta_{12}^{2}$	$-\zeta_{12}^{2} + 1$	$-\zeta_{12}^{2} + 1$	$\zeta_{12}^{2}$
$4$	$3$	$(2,3,12)(4,10,11)(5,15,14)(6,13,7)$	$-\zeta_{12}^{2} + 1$	$\zeta_{12}^{2}$	$\zeta_{12}^{2}$	$-\zeta_{12}^{2} + 1$
$1$	$4$	$(1,16,9,8)(2,13,10,5)(3,7,11,15)(4,14,12,6)$	$2 \zeta_{12}^{3}$	$-2 \zeta_{12}^{3}$	$2 \zeta_{12}^{3}$	$-2 \zeta_{12}^{3}$
$1$	$4$	$(1,8,9,16)(2,5,10,13)(3,15,11,7)(4,6,12,14)$	$-2 \zeta_{12}^{3}$	$2 \zeta_{12}^{3}$	$-2 \zeta_{12}^{3}$	$2 \zeta_{12}^{3}$
$6$	$4$	$(1,13,9,5)(2,16,10,8)(3,4,11,12)(6,7,14,15)$	$0$	$0$	$0$	$0$
$4$	$6$	$(1,9)(2,11,12,10,3,4)(5,7,14,13,15,6)(8,16)$	$\zeta_{12}^{2} - 1$	$-\zeta_{12}^{2}$	$-\zeta_{12}^{2}$	$\zeta_{12}^{2} - 1$
$4$	$6$	$(1,9)(2,4,3,10,12,11)(5,6,15,13,14,7)(8,16)$	$-\zeta_{12}^{2}$	$\zeta_{12}^{2} - 1$	$\zeta_{12}^{2} - 1$	$-\zeta_{12}^{2}$
$4$	$12$	$(1,16,9,8)(2,6,11,5,12,7,10,14,3,13,4,15)$	$\zeta_{12}^{3} - \zeta_{12}$	$-\zeta_{12}$	$\zeta_{12}$	$-\zeta_{12}^{3} + \zeta_{12}$
$4$	$12$	$(1,16,9,8)(2,7,4,5,3,6,10,15,12,13,11,14)$	$\zeta_{12}$	$-\zeta_{12}^{3} + \zeta_{12}$	$\zeta_{12}^{3} - \zeta_{12}$	$-\zeta_{12}$
$4$	$12$	$(1,8,9,16)(2,14,11,13,12,15,10,6,3,5,4,7)$	$-\zeta_{12}^{3} + \zeta_{12}$	$\zeta_{12}$	$-\zeta_{12}$	$\zeta_{12}^{3} - \zeta_{12}$
$4$	$12$	$(1,8,9,16)(2,15,4,13,3,14,10,7,12,5,11,6)$	$-\zeta_{12}$	$\zeta_{12}^{3} - \zeta_{12}$	$-\zeta_{12}^{3} + \zeta_{12}$	$\zeta_{12}$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Related objects

Downloads

Learn more

Basic invariants

Galois action

Roots of defining polynomial

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 16 }$

Character values on conjugacy classes

This project is supported by grants from the US National Science Foundation, the UK Engineering and Physical Sciences Research Council, and the Simons Foundation.

Label	2.309.16t60.a
Dimension	$2$
Group	$\SL(2,3):C_2$
Conductor	$309$
Indicator	$0$

$r_{ 1 }$	$=$	\( 3 a^{5} + 11 a^{4} + 4 a^{3} + 13 a^{2} + 2 a + 1 + \left(17 a^{5} + 9 a^{4} + 18 a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 19 + \left(12 a^{4} + 18 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 17\right)\cdot 19^{2} + \left(12 a^{5} + 16 a^{3} + 18 a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 19^{3} + \left(15 a^{5} + 5 a^{4} + 6 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 19^{4} + \left(6 a^{5} + 6 a^{4} + 9 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 13\right)\cdot 19^{5} + \left(10 a^{5} + 12 a^{4} + 12 a^{3} + 7 a^{2} + 16 a + 14\right)\cdot 19^{6} + \left(18 a^{5} + 12 a^{4} + 11 a^{3} + 6 a^{2} + 15 a + 17\right)\cdot 19^{7} + \left(13 a^{5} + 2 a^{4} + 2 a^{3} + 15 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 19^{8} + \left(6 a^{5} + 3 a^{4} + 4 a^{3} + 7 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})\) 3a^5 + 11a^4 + 4a^3 + 13a^2 + 2a + 1 + (17a^5 + 9a^4 + 18a^3 + 7a^2 + 3a + 7)19 + (12a^4 + 18a^3 + 7a^2 + 9a + 17)19^2 + (12a^5 + 16a^3 + 18a^2 + 16a + 11)19^3 + (15a^5 + 5a^4 + 6a^3 + 2a^2 + 10a + 11)19^4 + (6a^5 + 6a^4 + 9a^3 + 2a^2 + 10a + 13)19^5 + (10a^5 + 12a^4 + 12a^3 + 7a^2 + 16a + 14)19^6 + (18a^5 + 12a^4 + 11a^3 + 6a^2 + 15a + 17)19^7 + (13a^5 + 2a^4 + 2a^3 + 15a^2 + 15a + 5)19^8 + (6a^5 + 3a^4 + 4a^3 + 7a^2 + 14a + 13)*19^9+O(19^10)
$r_{ 2 }$	$=$	\( 10 a^{5} + 17 a^{4} + 2 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 12 + \left(14 a^{5} + 18 a^{4} + 2 a^{3} + 9 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 19 + \left(8 a^{5} + 8 a^{4} + 13 a^{3} + 4 a^{2} + 4\right)\cdot 19^{2} + \left(17 a^{5} + 12 a^{4} + a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 19^{3} + \left(3 a^{5} + a^{4} + 8 a^{3} + 8 a^{2} + 13 a + 5\right)\cdot 19^{4} + \left(12 a^{5} + 2 a^{4} + 16 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 19^{5} + \left(12 a^{5} + a^{4} + 6 a^{3} + a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 19^{6} + \left(4 a^{5} + 17 a^{4} + 18 a^{3} + 17 a^{2} + 15 a + 14\right)\cdot 19^{7} + \left(15 a^{4} + 11 a^{3} + 17 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 19^{8} + \left(12 a^{5} + 15 a^{4} + 8 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})\) 10a^5 + 17a^4 + 2a^3 + 2a^2 + 5a + 12 + (14a^5 + 18a^4 + 2a^3 + 9a^2 + 15a + 9)19 + (8a^5 + 8a^4 + 13a^3 + 4a^2 + 4)19^2 + (17a^5 + 12a^4 + a^3 + 8a^2 + 4a + 12)19^3 + (3a^5 + a^4 + 8a^3 + 8a^2 + 13a + 5)19^4 + (12a^5 + 2a^4 + 16a^3 + 6a^2 + 6a + 2)19^5 + (12a^5 + a^4 + 6a^3 + a^2 + 5a + 1)19^6 + (4a^5 + 17a^4 + 18a^3 + 17a^2 + 15a + 14)19^7 + (15a^4 + 11a^3 + 17a^2 + 10a + 6)19^8 + (12a^5 + 15a^4 + 8a^3 + 7a^2 + 12a + 1)*19^9+O(19^10)
$r_{ 3 }$	$=$	\( 12 a^{5} + 17 a^{4} + a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 4 + \left(a^{4} + 11 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 19 + \left(17 a^{5} + 8 a^{4} + 8 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a\right)\cdot 19^{2} + \left(18 a^{5} + 8 a^{4} + 10 a^{3} + 14 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 19^{3} + \left(3 a^{5} + a^{4} + 3 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 19^{4} + \left(9 a^{5} + 9 a^{4} + a^{3} + 2 a^{2} + 6\right)\cdot 19^{5} + \left(14 a^{5} + 11 a^{4} + 4 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 19^{6} + \left(13 a^{5} + 9 a^{4} + 8 a^{3} + 16 a^{2} + 15 a + 2\right)\cdot 19^{7} + \left(6 a^{5} + 8 a^{3} + 16 a + 15\right)\cdot 19^{8} + \left(18 a^{5} + 3 a^{4} + 10 a^{3} + 8 a + 7\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})\) 12a^5 + 17a^4 + a^3 + 6a^2 + 3a + 4 + (a^4 + 11a^3 + 2a^2 + 9a + 7)19 + (17a^5 + 8a^4 + 8a^3 + 7a^2 + 5a)19^2 + (18a^5 + 8a^4 + 10a^3 + 14a^2 + 2a + 10)19^3 + (3a^5 + a^4 + 3a^3 + 6a^2 + 10a + 12)19^4 + (9a^5 + 9a^4 + a^3 + 2a^2 + 6)19^5 + (14a^5 + 11a^4 + 4a^3 + 10a^2 + 2a + 15)19^6 + (13a^5 + 9a^4 + 8a^3 + 16a^2 + 15a + 2)19^7 + (6a^5 + 8a^3 + 16a + 15)19^8 + (18a^5 + 3a^4 + 10a^3 + 8a + 7)19^9+O(19^10)
$r_{ 4 }$	$=$	\( 16 a^{5} + a^{4} + 17 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 4 + \left(13 a^{5} + 9 a^{4} + 13 a^{3} + 17 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 19 + \left(13 a^{5} + 6 a^{4} + 4 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 15\right)\cdot 19^{2} + \left(5 a^{5} + 12 a^{4} + 9 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 19^{3} + \left(7 a^{5} + 7 a^{3} + 15 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 19^{4} + \left(13 a^{5} + 7 a^{4} + 18 a + 16\right)\cdot 19^{5} + \left(13 a^{5} + 11 a^{4} + 7 a^{3} + 6 a^{2} + 15 a + 6\right)\cdot 19^{6} + \left(6 a^{5} + 16 a^{4} + 17 a^{3} + 8 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 19^{7} + \left(4 a^{5} + 14 a^{4} + 14 a^{3} + a + 12\right)\cdot 19^{8} + \left(4 a^{5} + 9 a^{4} + 11 a^{3} + 4 a^{2} + 15\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})\) 16a^5 + a^4 + 17a^3 + 3a^2 + 6a + 4 + (13a^5 + 9a^4 + 13a^3 + 17a^2 + 2a + 1)19 + (13a^5 + 6a^4 + 4a^3 + 9a^2 + 8a + 15)19^2 + (5a^5 + 12a^4 + 9a^3 + 7a^2 + 12a + 6)19^3 + (7a^5 + 7a^3 + 15a^2 + 12a + 12)19^4 + (13a^5 + 7a^4 + 18a + 16)19^5 + (13a^5 + 11a^4 + 7a^3 + 6a^2 + 15a + 6)19^6 + (6a^5 + 16a^4 + 17a^3 + 8a^2 + 11a + 4)19^7 + (4a^5 + 14a^4 + 14a^3 + a + 12)19^8 + (4a^5 + 9a^4 + 11a^3 + 4a^2 + 15)19^9+O(19^10)
$r_{ 5 }$	$=$	\( 16 a^{5} + 11 a^{4} + 11 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 11 + \left(a^{5} + 5 a^{4} + 4 a^{3} + 17 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 19 + \left(9 a^{5} + a^{4} + 17 a^{3} + 10 a^{2} + 18\right)\cdot 19^{2} + \left(6 a^{5} + 16 a^{4} + a^{3} + 16 a^{2} + 1\right)\cdot 19^{3} + \left(18 a^{5} + 4 a^{4} + 4 a^{3} + 4 a^{2} + 13 a + 9\right)\cdot 19^{4} + \left(2 a^{5} + 14 a^{4} + 3 a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 19^{5} + \left(4 a^{5} + 18 a^{4} + 7 a^{3} + 5 a^{2} + 15 a + 14\right)\cdot 19^{6} + \left(10 a^{5} + a^{4} + 2 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 19^{7} + \left(13 a^{5} + 10 a^{4} + 7 a^{3} + 17 a^{2} + 14 a + 11\right)\cdot 19^{8} + \left(12 a^{4} + 3 a^{3} + 8 a^{2} + a + 15\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})\) 16a^5 + 11a^4 + 11a^3 + 3a^2 + 12a + 11 + (a^5 + 5a^4 + 4a^3 + 17a^2 + 12a + 11)19 + (9a^5 + a^4 + 17a^3 + 10a^2 + 18)19^2 + (6a^5 + 16a^4 + a^3 + 16a^2 + 1)19^3 + (18a^5 + 4a^4 + 4a^3 + 4a^2 + 13a + 9)19^4 + (2a^5 + 14a^4 + 3a^2 + 11a + 14)19^5 + (4a^5 + 18a^4 + 7a^3 + 5a^2 + 15a + 14)19^6 + (10a^5 + a^4 + 2a^3 + 8a^2 + 3a + 1)19^7 + (13a^5 + 10a^4 + 7a^3 + 17a^2 + 14a + 11)19^8 + (12a^4 + 3a^3 + 8a^2 + a + 15)19^9+O(19^10)
$r_{ 6 }$	$=$	\( 2 a^{5} + 4 a^{4} + 10 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 2 + \left(15 a^{5} + 3 a^{4} + a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 19 + \left(5 a^{5} + 17 a^{4} + 14 a^{3} + a^{2} + 17 a + 6\right)\cdot 19^{2} + \left(6 a^{5} + 14 a^{4} + 9 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 13\right)\cdot 19^{3} + \left(16 a^{5} + 6 a^{4} + 16 a^{3} + 13 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 19^{4} + \left(12 a^{5} + 7 a^{4} + 9 a^{3} + 17 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 19^{5} + \left(2 a^{5} + 10 a^{4} + 15 a^{3} + 15 a^{2} + 16 a + 16\right)\cdot 19^{6} + \left(8 a^{4} + 4 a^{3} + 17 a^{2} + 10 a + 14\right)\cdot 19^{7} + \left(5 a^{4} + 15 a^{3} + 12 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 19^{8} + \left(5 a^{5} + 3 a^{4} + 17 a^{3} + 10 a^{2} + 16 a + 16\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})\) 2a^5 + 4a^4 + 10a^3 + 5a^2 + 10a + 2 + (15a^5 + 3a^4 + a^3 + 9a^2 + 4a + 6)19 + (5a^5 + 17a^4 + 14a^3 + a^2 + 17a + 6)19^2 + (6a^5 + 14a^4 + 9a^3 + 11a^2 + 2a + 13)19^3 + (16a^5 + 6a^4 + 16a^3 + 13a^2 + 16a + 15)19^4 + (12a^5 + 7a^4 + 9a^3 + 17a^2 + 3a + 10)19^5 + (2a^5 + 10a^4 + 15a^3 + 15a^2 + 16a + 16)19^6 + (8a^4 + 4a^3 + 17a^2 + 10a + 14)19^7 + (5a^4 + 15a^3 + 12a^2 + 17a + 16)19^8 + (5a^5 + 3a^4 + 17a^3 + 10a^2 + 16a + 16)*19^9+O(19^10)
$r_{ 7 }$	$=$	\( 18 a^{4} + 16 a^{3} + 2 a^{2} + 13 a + 18 + \left(18 a^{5} + 9 a^{4} + 13 a^{3} + 4 a^{2} + 17 a + 17\right)\cdot 19 + \left(5 a^{5} + 6 a^{4} + 6 a^{3} + 3 a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 19^{2} + \left(10 a^{5} + a^{4} + 12 a^{3} + 6 a^{2} + 12\right)\cdot 19^{3} + \left(18 a^{5} + 16 a^{4} + a^{3} + 10 a^{2} + 17 a + 5\right)\cdot 19^{4} + \left(16 a^{5} + 3 a^{4} + 6 a^{3} + 5 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 19^{5} + \left(5 a^{5} + 6 a^{4} + 12 a^{3} + 3 a^{2} + a + 8\right)\cdot 19^{6} + \left(12 a^{5} + 3 a^{4} + 15 a^{3} + 4 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 19^{7} + \left(15 a^{5} + 11 a^{4} + 4 a^{3} + 7 a + 1\right)\cdot 19^{8} + \left(7 a^{5} + 4 a^{4} + a^{3} + 18 a^{2} + 10 a\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})\) 18a^4 + 16a^3 + 2a^2 + 13a + 18 + (18a^5 + 9a^4 + 13a^3 + 4a^2 + 17a + 17)19 + (5a^5 + 6a^4 + 6a^3 + 3a^2 + 13a + 13)19^2 + (10a^5 + a^4 + 12a^3 + 6a^2 + 12)19^3 + (18a^5 + 16a^4 + a^3 + 10a^2 + 17a + 5)19^4 + (16a^5 + 3a^4 + 6a^3 + 5a^2 + 14a + 13)19^5 + (5a^5 + 6a^4 + 12a^3 + 3a^2 + a + 8)19^6 + (12a^5 + 3a^4 + 15a^3 + 4a^2 + 12a + 10)19^7 + (15a^5 + 11a^4 + 4a^3 + 7a + 1)19^8 + (7a^5 + 4a^4 + a^3 + 18a^2 + 10a)19^9+O(19^10)
$r_{ 8 }$	$=$	\( 8 a^{5} + 4 a^{4} + 17 a^{3} + 3 a^{2} + 18 a + 4 + \left(13 a^{5} + 6 a^{4} + 13 a^{3} + 9 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 19 + \left(5 a^{5} + 7 a^{4} + 6 a^{3} + 16 a^{2} + 16 a + 7\right)\cdot 19^{2} + \left(13 a^{5} + 11 a^{4} + 18 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 19^{3} + \left(13 a^{5} + 10 a^{4} + 6 a^{3} + 10 a^{2} + a + 16\right)\cdot 19^{4} + \left(5 a^{5} + 12 a^{4} + 11 a^{3} + 10 a^{2} + 12 a + 18\right)\cdot 19^{5} + \left(15 a^{5} + 4 a^{4} + 16 a^{3} + 18 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 19^{6} + \left(3 a^{5} + 4 a^{4} + 18 a^{3} + 14 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 19^{7} + \left(11 a^{5} + 3 a^{4} + 8 a^{3} + 17 a^{2} + 9 a + 17\right)\cdot 19^{8} + \left(11 a^{5} + 15 a^{4} + 6 a^{3} + 9 a^{2} + a + 3\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})\) 8a^5 + 4a^4 + 17a^3 + 3a^2 + 18a + 4 + (13a^5 + 6a^4 + 13a^3 + 9a^2 + 9a + 15)19 + (5a^5 + 7a^4 + 6a^3 + 16a^2 + 16a + 7)19^2 + (13a^5 + 11a^4 + 18a^3 + 6a^2 + 7a + 11)19^3 + (13a^5 + 10a^4 + 6a^3 + 10a^2 + a + 16)19^4 + (5a^5 + 12a^4 + 11a^3 + 10a^2 + 12a + 18)19^5 + (15a^5 + 4a^4 + 16a^3 + 18a^2 + 3a + 3)19^6 + (3a^5 + 4a^4 + 18a^3 + 14a^2 + 5a + 3)19^7 + (11a^5 + 3a^4 + 8a^3 + 17a^2 + 9a + 17)19^8 + (11a^5 + 15a^4 + 6a^3 + 9a^2 + a + 3)*19^9+O(19^10)
$r_{ 9 }$	$=$	\( 16 a^{5} + 8 a^{4} + 15 a^{3} + 6 a^{2} + 17 a + 2 + \left(a^{5} + 9 a^{4} + 11 a^{2} + 15 a + 18\right)\cdot 19 + \left(18 a^{5} + 6 a^{4} + 11 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 19^{2} + \left(6 a^{5} + 18 a^{4} + 2 a^{3} + 2 a + 11\right)\cdot 19^{3} + \left(3 a^{5} + 13 a^{4} + 12 a^{3} + 16 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 19^{4} + \left(12 a^{5} + 12 a^{4} + 9 a^{3} + 16 a^{2} + 8 a + 17\right)\cdot 19^{5} + \left(8 a^{5} + 6 a^{4} + 6 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 19^{6} + \left(6 a^{4} + 7 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 19^{7} + \left(5 a^{5} + 16 a^{4} + 16 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 19^{8} + \left(12 a^{5} + 15 a^{4} + 14 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})\) 16a^5 + 8a^4 + 15a^3 + 6a^2 + 17a + 2 + (a^5 + 9a^4 + 11a^2 + 15a + 18)19 + (18a^5 + 6a^4 + 11a^2 + 9a + 16)19^2 + (6a^5 + 18a^4 + 2a^3 + 2a + 11)19^3 + (3a^5 + 13a^4 + 12a^3 + 16a^2 + 8a + 16)19^4 + (12a^5 + 12a^4 + 9a^3 + 16a^2 + 8a + 17)19^5 + (8a^5 + 6a^4 + 6a^3 + 11a^2 + 2a + 1)19^6 + (6a^4 + 7a^3 + 12a^2 + 3a + 6)19^7 + (5a^5 + 16a^4 + 16a^3 + 3a^2 + 3a + 8)19^8 + (12a^5 + 15a^4 + 14a^3 + 11a^2 + 4a + 13)19^9+O(19^10)
$r_{ 10 }$	$=$	\( 5 a^{5} + 12 a^{4} + 13 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 8 + \left(2 a^{5} + 9 a^{4} + 8 a^{3} + 13 a^{2} + 7 a + 16\right)\cdot 19 + \left(9 a^{5} + 6 a^{4} + 16 a^{3} + 18 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 19^{2} + \left(3 a^{5} + 2 a^{4} + 3 a^{3} + 11 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 19^{3} + \left(13 a^{5} + 14 a^{4} + 4 a^{3} + 17 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 19^{4} + \left(16 a^{5} + 7 a^{4} + 7 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 13\right)\cdot 19^{5} + \left(9 a^{5} + 11 a^{4} + a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 19^{6} + \left(11 a^{4} + 16 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 19^{7} + \left(12 a^{5} + 2 a^{4} + a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 19^{8} + \left(8 a^{5} + 15 a^{4} + 11 a^{3} + 16 a^{2} + 16 a\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})\) 5a^5 + 12a^4 + 13a^3 + 9a^2 + 8a + 8 + (2a^5 + 9a^4 + 8a^3 + 13a^2 + 7a + 16)19 + (9a^5 + 6a^4 + 16a^3 + 18a^2 + 15a + 12)19^2 + (3a^5 + 2a^4 + 3a^3 + 11a^2 + 8a + 10)19^3 + (13a^5 + 14a^4 + 4a^3 + 17a^2 + 6a + 14)19^4 + (16a^5 + 7a^4 + 7a^3 + 5a^2 + 7a + 13)19^5 + (9a^5 + 11a^4 + a^3 + 8a^2 + 7a + 6)19^6 + (11a^4 + 16a^3 + 7a^2 + 4a + 13)19^7 + (12a^5 + 2a^4 + a^3 + 2a^2 + 6a + 12)19^8 + (8a^5 + 15a^4 + 11a^3 + 16a^2 + 16a)19^9+O(19^10)
$r_{ 11 }$	$=$	\( a^{5} + 17 a^{4} + 12 a^{3} + a^{2} + 7 a + 14 + \left(7 a^{5} + 12 a^{4} + 3 a^{3} + 3 a^{2} + 16 a + 2\right)\cdot 19 + \left(a^{5} + 3 a^{4} + 13 a^{3} + 16 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 19^{2} + \left(8 a^{5} + 12 a^{4} + 10 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 13\right)\cdot 19^{3} + \left(10 a^{5} + 13 a^{4} + 2 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 19^{4} + \left(5 a^{5} + 9 a^{4} + 4 a^{3} + 17 a^{2} + 16 a + 14\right)\cdot 19^{5} + \left(2 a^{4} + 17 a^{3} + 7 a^{2} + 15 a + 14\right)\cdot 19^{6} + \left(17 a^{5} + 14 a^{3} + 2 a^{2} + 17 a + 9\right)\cdot 19^{7} + \left(11 a^{5} + 13 a^{4} + 4 a^{3} + 17 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 19^{8} + \left(11 a^{5} + 16 a^{4} + 11 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})\) a^5 + 17a^4 + 12a^3 + a^2 + 7a + 14 + (7a^5 + 12a^4 + 3a^3 + 3a^2 + 16a + 2)19 + (a^5 + 3a^4 + 13a^3 + 16a^2 + 9a + 6)19^2 + (8a^5 + 12a^4 + 10a^3 + 4a^2 + 10a + 13)19^3 + (10a^5 + 13a^4 + 2a^3 + 7a^2 + 6a + 6)19^4 + (5a^5 + 9a^4 + 4a^3 + 17a^2 + 16a + 14)19^5 + (2a^4 + 17a^3 + 7a^2 + 15a + 14)19^6 + (17a^5 + 14a^3 + 2a^2 + 17a + 9)19^7 + (11a^5 + 13a^4 + 4a^3 + 17a^2 + 6a + 15)19^8 + (11a^5 + 16a^4 + 11a^3 + 11a^2 + 5a + 2)19^9+O(19^10)
$r_{ 12 }$	$=$	\( 13 a^{5} + 12 a^{4} + 12 a^{3} + 17 a^{2} + 9 a + 11 + \left(18 a^{5} + 4 a^{4} + 17 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 19 + \left(6 a^{5} + 4 a^{4} + 17 a + 2\right)\cdot 19^{2} + \left(3 a^{5} + 9 a^{4} + 2 a^{3} + 10 a^{2} + 18 a + 6\right)\cdot 19^{3} + \left(18 a^{5} + 6 a^{4} + 12 a^{3} + a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 19^{4} + \left(18 a^{5} + 2 a^{4} + 8 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 19^{5} + \left(5 a^{5} + a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 19^{6} + \left(14 a^{5} + 2 a^{4} + a^{3} + 5 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 19^{7} + \left(2 a^{5} + 10 a^{4} + 15 a^{3} + 18 a^{2} + 14 a + 8\right)\cdot 19^{8} + \left(2 a^{5} + 15 a^{4} + 3 a^{3} + 16 a^{2} + 13 a + 2\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})\) 13a^5 + 12a^4 + 12a^3 + 17a^2 + 9a + 11 + (18a^5 + 4a^4 + 17a^3 + 11a^2 + 6a + 16)19 + (6a^5 + 4a^4 + 17a + 2)19^2 + (3a^5 + 9a^4 + 2a^3 + 10a^2 + 18a + 6)19^3 + (18a^5 + 6a^4 + 12a^3 + a^2 + 7a + 4)19^4 + (18a^5 + 2a^4 + 8a^3 + 5a^2 + 7a + 1)19^5 + (5a^5 + a^3 + 4a^2 + 10a + 12)19^6 + (14a^5 + 2a^4 + a^3 + 5a^2 + 11a + 7)19^7 + (2a^5 + 10a^4 + 15a^3 + 18a^2 + 14a + 8)19^8 + (2a^5 + 15a^4 + 3a^3 + 16a^2 + 13a + 2)*19^9+O(19^10)
$r_{ 13 }$	$=$	\( 9 a^{5} + 12 a^{4} + 14 a^{3} + 9 a^{2} + 16 a + 16 + \left(15 a^{5} + 11 a^{4} + 2 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 19 + \left(15 a^{5} + 12 a^{4} + 11 a^{3} + a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 19^{2} + \left(14 a^{5} + 2 a^{4} + 10 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 16\right)\cdot 19^{3} + \left(2 a^{5} + 6 a^{4} + 15 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 19^{4} + \left(6 a^{5} + 5 a^{4} + 9 a^{3} + 12 a^{2} + a + 13\right)\cdot 19^{5} + \left(4 a^{5} + 13 a^{4} + a^{3} + 14 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 19^{6} + \left(5 a^{5} + a^{3} + 7 a^{2} + a + 8\right)\cdot 19^{7} + \left(15 a^{5} + 3 a^{4} + 10 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 18\right)\cdot 19^{8} + \left(7 a^{5} + 8 a^{4} + 17 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})\) 9a^5 + 12a^4 + 14a^3 + 9a^2 + 16a + 16 + (15a^5 + 11a^4 + 2a^3 + 5a^2 + 2a + 2)19 + (15a^5 + 12a^4 + 11a^3 + a^2 + 9a + 5)19^2 + (14a^5 + 2a^4 + 10a^3 + 5a^2 + 10a + 16)19^3 + (2a^5 + 6a^4 + 15a^2 + 7a + 10)19^4 + (6a^5 + 5a^4 + 9a^3 + 12a^2 + a + 13)19^5 + (4a^5 + 13a^4 + a^3 + 14a^2 + 4a + 4)19^6 + (5a^5 + a^3 + 7a^2 + a + 8)19^7 + (15a^5 + 3a^4 + 10a^3 + 3a^2 + 3a + 18)19^8 + (7a^5 + 8a^4 + 17a^2 + 2a + 8)*19^9+O(19^10)
$r_{ 14 }$	$=$	\( 2 a^{5} + 5 a^{4} + 13 a^{3} + 3 a^{2} + 15 a + 4 + \left(15 a^{5} + 16 a^{4} + a^{3} + 10 a^{2} + 5 a\right)\cdot 19 + \left(14 a^{5} + 3 a^{4} + 4 a^{3} + 12 a^{2} + 5 a + 15\right)\cdot 19^{2} + \left(15 a^{5} + 15 a^{4} + 6 a^{3} + 15 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 19^{3} + \left(3 a^{5} + 5 a^{4} + 17 a^{3} + 3 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 19^{4} + \left(11 a^{5} + 3 a^{4} + 16 a^{2} + 5 a\right)\cdot 19^{5} + \left(18 a^{5} + 16 a^{4} + 5 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 19^{6} + \left(9 a^{5} + 17 a^{4} + 11 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 19^{7} + \left(8 a^{5} + 6 a^{4} + 12 a^{3} + 17 a^{2} + 7 a + 15\right)\cdot 19^{8} + \left(8 a^{5} + 17 a^{4} + 3 a^{3} + 12 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})\) 2a^5 + 5a^4 + 13a^3 + 3a^2 + 15a + 4 + (15a^5 + 16a^4 + a^3 + 10a^2 + 5a)19 + (14a^5 + 3a^4 + 4a^3 + 12a^2 + 5a + 15)19^2 + (15a^5 + 15a^4 + 6a^3 + 15a^2 + 7a + 8)19^3 + (3a^5 + 5a^4 + 17a^3 + 3a^2 + 14a + 15)19^4 + (11a^5 + 3a^4 + 16a^2 + 5a)19^5 + (18a^5 + 16a^4 + 5a^3 + 8a^2 + 2a + 3)19^6 + (9a^5 + 17a^4 + 11a^3 + 3a^2 + 12a + 12)19^7 + (8a^5 + 6a^4 + 12a^3 + 17a^2 + 7a + 15)19^8 + (8a^5 + 17a^4 + 3a^3 + 12a^2 + 13a + 3)*19^9+O(19^10)
$r_{ 15 }$	$=$	\( 9 a^{5} + 7 a^{4} + 12 a^{3} + 16 a^{2} + 10 a + 12 + \left(10 a^{5} + 10 a^{4} + 13 a^{3} + 10 a^{2} + 13 a + 8\right)\cdot 19 + \left(5 a^{5} + 15 a^{4} + 3 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 19^{2} + \left(3 a^{5} + 6 a^{4} + 16 a^{3} + 2 a^{2} + 16 a + 18\right)\cdot 19^{3} + \left(16 a^{5} + 17 a^{4} + 16 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 19^{4} + \left(6 a^{5} + 3 a^{4} + 11 a^{3} + a^{2} + 9\right)\cdot 19^{5} + \left(2 a^{5} + 11 a^{4} + 15 a^{3} + 9 a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 19^{6} + \left(5 a^{4} + 2 a^{3} + 15 a^{2} + 16 a + 8\right)\cdot 19^{7} + \left(4 a^{5} + a^{4} + 7 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 19^{8} + \left(8 a^{5} + 11 a^{4} + 11 a^{3} + 8 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})\) 9a^5 + 7a^4 + 12a^3 + 16a^2 + 10a + 12 + (10a^5 + 10a^4 + 13a^3 + 10a^2 + 13a + 8)19 + (5a^5 + 15a^4 + 3a^3 + 8a^2 + 10a + 9)19^2 + (3a^5 + 6a^4 + 16a^3 + 2a^2 + 16a + 18)19^3 + (16a^5 + 17a^4 + 16a^3 + 9a^2 + 7a + 10)19^4 + (6a^5 + 3a^4 + 11a^3 + a^2 + 9)19^5 + (2a^5 + 11a^4 + 15a^3 + 9a^2 + 17a + 12)19^6 + (5a^4 + 2a^3 + 15a^2 + 16a + 8)19^7 + (4a^5 + a^4 + 7a^3 + 5a^2 + 6a + 9)19^8 + (8a^5 + 11a^4 + 11a^3 + 8a^2 + 12a + 9)*19^9+O(19^10)
$r_{ 16 }$	$=$	\( 11 a^{5} + 15 a^{4} + 2 a^{3} + 16 a^{2} + a + 13 + \left(5 a^{5} + 12 a^{4} + 5 a^{3} + 9 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 19 + \left(13 a^{5} + 11 a^{4} + 12 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 18\right)\cdot 19^{2} + \left(5 a^{5} + 7 a^{4} + 12 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 19^{3} + \left(5 a^{5} + 8 a^{4} + 12 a^{3} + 8 a^{2} + 17 a + 2\right)\cdot 19^{4} + \left(13 a^{5} + 6 a^{4} + 7 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 19^{5} + \left(3 a^{5} + 14 a^{4} + 2 a^{3} + 15 a + 14\right)\cdot 19^{6} + \left(15 a^{5} + 14 a^{4} + 4 a^{2} + 13 a + 16\right)\cdot 19^{7} + \left(7 a^{5} + 15 a^{4} + 10 a^{3} + a^{2} + 9 a + 14\right)\cdot 19^{8} + \left(7 a^{5} + 3 a^{4} + 12 a^{3} + 9 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})\) 11a^5 + 15a^4 + 2a^3 + 16a^2 + a + 13 + (5a^5 + 12a^4 + 5a^3 + 9a^2 + 9a + 10)19 + (13a^5 + 11a^4 + 12a^3 + 2a^2 + 2a + 18)19^2 + (5a^5 + 7a^4 + 12a^2 + 11a + 4)19^3 + (5a^5 + 8a^4 + 12a^3 + 8a^2 + 17a + 2)19^4 + (13a^5 + 6a^4 + 7a^3 + 8a^2 + 6a + 3)19^5 + (3a^5 + 14a^4 + 2a^3 + 15a + 14)19^6 + (15a^5 + 14a^4 + 4a^2 + 13a + 16)19^7 + (7a^5 + 15a^4 + 10a^3 + a^2 + 9a + 14)19^8 + (7a^5 + 3a^4 + 12a^3 + 9a^2 + 17a + 16)19^9+O(19^10)