LMFDB - Galois orbit of Artin representations 2.3040.12t18.d

Basic invariants

Dimension:	$2$
Group:	$S_3 \times C_6$
Conductor:	$3040$$\medspace = 2^{5} \cdot 5 \cdot 19 $
Artin number field:	Galois closure of 18.0.4641657809149437673472000000000.1
Galois orbit size:	$2$
Smallest permutation container:	$C_6\times S_3$
Parity:	odd
Projective image:	$S_3$
Projective field:	Galois closure of 3.1.14440.1

Galois action

Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 29 }$ to precision 7.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 29 }$: $ x^{6} + x^{4} + 25x^{3} + 17x^{2} + 13x + 2 $

Roots:

$r_{ 1 }$	$=$	$ 10 a^{5} + 17 a^{4} + 17 a^{3} + 24 a^{2} + 4 a + 4 + \left(27 a^{5} + 10 a^{4} + 8 a^{3} + 10 a^{2} + a + 17\right)\cdot 29 + \left(4 a^{5} + 6 a^{4} + 28 a^{3} + 7 a^{2} + 16 a + 22\right)\cdot 29^{2} + \left(12 a^{5} + 16 a^{4} + 26 a^{3} + 24 a^{2} + a + 24\right)\cdot 29^{3} + \left(a^{5} + 10 a^{4} + 16 a^{3} + 15 a^{2} + 26 a + 23\right)\cdot 29^{4} + \left(27 a^{5} + 25 a^{4} + 3 a^{3} + 18 a^{2} + 17 a + 26\right)\cdot 29^{5} + \left(14 a^{5} + 10 a^{4} + 7 a^{3} + 27 a^{2} + a + 1\right)\cdot 29^{6} +O(29^{7})$ 10a^5 + 17a^4 + 17a^3 + 24a^2 + 4a + 4 + (27a^5 + 10a^4 + 8a^3 + 10a^2 + a + 17)29 + (4a^5 + 6a^4 + 28a^3 + 7a^2 + 16a + 22)29^2 + (12a^5 + 16a^4 + 26a^3 + 24a^2 + a + 24)29^3 + (a^5 + 10a^4 + 16a^3 + 15a^2 + 26a + 23)29^4 + (27a^5 + 25a^4 + 3a^3 + 18a^2 + 17a + 26)29^5 + (14a^5 + 10a^4 + 7a^3 + 27a^2 + a + 1)*29^6+O(29^7)
$r_{ 2 }$	$=$	$ 14 a^{5} + 5 a^{4} + 9 a^{3} + 18 a^{2} + 23 a + 19 + \left(18 a^{5} + 21 a^{4} + 6 a^{3} + 18 a^{2} + 24 a + 4\right)\cdot 29 + \left(8 a^{5} + 26 a^{4} + 2 a^{3} + 11 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 29^{2} + \left(3 a^{5} + 5 a^{4} + 4 a^{3} + 3 a^{2} + 27 a + 15\right)\cdot 29^{3} + \left(17 a^{5} + 18 a^{4} + 2 a^{3} + 28 a^{2} + 21 a + 1\right)\cdot 29^{4} + \left(24 a^{5} + a^{4} + 5 a^{3} + 28 a^{2} + 21 a\right)\cdot 29^{5} + \left(16 a^{5} + 24 a^{4} + 23 a^{3} + 24 a^{2} + 17 a + 26\right)\cdot 29^{6} +O(29^{7})$ 14a^5 + 5a^4 + 9a^3 + 18a^2 + 23a + 19 + (18a^5 + 21a^4 + 6a^3 + 18a^2 + 24a + 4)29 + (8a^5 + 26a^4 + 2a^3 + 11a^2 + 8a + 12)29^2 + (3a^5 + 5a^4 + 4a^3 + 3a^2 + 27a + 15)29^3 + (17a^5 + 18a^4 + 2a^3 + 28a^2 + 21a + 1)29^4 + (24a^5 + a^4 + 5a^3 + 28a^2 + 21a)29^5 + (16a^5 + 24a^4 + 23a^3 + 24a^2 + 17a + 26)29^6+O(29^7)
$r_{ 3 }$	$=$	$ a^{5} + 26 a^{4} + 27 a^{3} + 13 a^{2} + 12 a + 4 + \left(15 a^{5} + 9 a^{4} + 16 a^{3} + 8 a^{2} + 24 a + 25\right)\cdot 29 + \left(10 a^{5} + 9 a^{4} + 9 a^{2} + 13 a + 12\right)\cdot 29^{2} + \left(18 a^{5} + 12 a^{4} + a^{3} + 19 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 29^{3} + \left(a^{5} + 4 a^{4} + 12 a^{3} + 24 a^{2} + 19 a + 6\right)\cdot 29^{4} + \left(18 a^{5} + 15 a^{4} + 7 a^{3} + 23 a^{2} + 8 a + 24\right)\cdot 29^{5} + \left(21 a^{5} + 17 a^{4} + 18 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 29^{6} +O(29^{7})$ a^5 + 26a^4 + 27a^3 + 13a^2 + 12a + 4 + (15a^5 + 9a^4 + 16a^3 + 8a^2 + 24a + 25)29 + (10a^5 + 9a^4 + 9a^2 + 13a + 12)29^2 + (18a^5 + 12a^4 + a^3 + 19a^2 + 8a + 13)29^3 + (a^5 + 4a^4 + 12a^3 + 24a^2 + 19a + 6)29^4 + (18a^5 + 15a^4 + 7a^3 + 23a^2 + 8a + 24)29^5 + (21a^5 + 17a^4 + 18a^3 + 5a^2 + 7a + 2)*29^6+O(29^7)
$r_{ 4 }$	$=$	$ 14 a^{5} + 27 a^{4} + 22 a^{3} + 27 a^{2} + 23 a + 6 + \left(24 a^{5} + 26 a^{4} + 5 a^{3} + a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 29 + \left(9 a^{5} + 21 a^{4} + 26 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 29^{2} + \left(7 a^{5} + 10 a^{4} + 23 a^{3} + 6 a^{2} + 22 a + 11\right)\cdot 29^{3} + \left(10 a^{5} + 6 a^{4} + 14 a^{3} + 5 a^{2} + 16 a + 18\right)\cdot 29^{4} + \left(15 a^{5} + 12 a^{4} + 16 a^{3} + 5 a^{2} + 27 a + 5\right)\cdot 29^{5} + \left(19 a^{5} + 16 a^{4} + 16 a^{3} + 27 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 29^{6} +O(29^{7})$ 14a^5 + 27a^4 + 22a^3 + 27a^2 + 23a + 6 + (24a^5 + 26a^4 + 5a^3 + a^2 + 8a + 5)29 + (9a^5 + 21a^4 + 26a^3 + 8a^2 + 6a + 4)29^2 + (7a^5 + 10a^4 + 23a^3 + 6a^2 + 22a + 11)29^3 + (10a^5 + 6a^4 + 14a^3 + 5a^2 + 16a + 18)29^4 + (15a^5 + 12a^4 + 16a^3 + 5a^2 + 27a + 5)29^5 + (19a^5 + 16a^4 + 16a^3 + 27a^2 + 3a + 12)29^6+O(29^7)
$r_{ 5 }$	$=$	$ 3 a^{5} + 5 a^{4} + 26 a^{3} + 21 a^{2} + 7 a + 10 + \left(18 a^{5} + 8 a^{4} + 5 a^{3} + 12 a + 7\right)\cdot 29 + \left(25 a^{4} + 10 a^{3} + 19 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 29^{2} + \left(20 a^{5} + 15 a^{4} + 8 a^{3} + 9 a^{2} + 22 a + 14\right)\cdot 29^{3} + \left(12 a^{5} + 2 a^{4} + 4 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 28\right)\cdot 29^{4} + \left(12 a^{5} + 5 a^{4} + 27 a^{3} + 6 a^{2} + 26 a + 17\right)\cdot 29^{5} + \left(11 a^{5} + 7 a^{4} + 9 a^{3} + 28 a^{2} + 19 a + 2\right)\cdot 29^{6} +O(29^{7})$ 3a^5 + 5a^4 + 26a^3 + 21a^2 + 7a + 10 + (18a^5 + 8a^4 + 5a^3 + 12a + 7)29 + (25a^4 + 10a^3 + 19a^2 + 2a + 3)29^2 + (20a^5 + 15a^4 + 8a^3 + 9a^2 + 22a + 14)29^3 + (12a^5 + 2a^4 + 4a^3 + 4a^2 + 3a + 28)29^4 + (12a^5 + 5a^4 + 27a^3 + 6a^2 + 26a + 17)29^5 + (11a^5 + 7a^4 + 9a^3 + 28a^2 + 19a + 2)*29^6+O(29^7)
$r_{ 6 }$	$=$	$ 16 a^{5} + 7 a^{4} + 15 a^{3} + 13 a^{2} + 18 a + 18 + \left(12 a^{5} + 10 a^{4} + 14 a^{3} + 17 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 29 + \left(23 a^{5} + 26 a^{4} + 19 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 28\right)\cdot 29^{2} + \left(25 a^{5} + 25 a^{4} + 22 a^{3} + 24 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 29^{3} + \left(14 a^{5} + 15 a^{4} + 7 a^{3} + 8 a^{2} + 28 a + 5\right)\cdot 29^{4} + \left(18 a^{5} + 27 a^{4} + 27 a^{3} + 4 a^{2} + 13 a + 2\right)\cdot 29^{5} + \left(2 a^{5} + 10 a^{4} + 11 a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 13\right)\cdot 29^{6} +O(29^{7})$ 16a^5 + 7a^4 + 15a^3 + 13a^2 + 18a + 18 + (12a^5 + 10a^4 + 14a^3 + 17a^2 + 15a + 5)29 + (23a^5 + 26a^4 + 19a^3 + 2a^2 + 10a + 28)29^2 + (25a^5 + 25a^4 + 22a^3 + 24a^2 + 5a + 3)29^3 + (14a^5 + 15a^4 + 7a^3 + 8a^2 + 28a + 5)29^4 + (18a^5 + 27a^4 + 27a^3 + 4a^2 + 13a + 2)29^5 + (2a^5 + 10a^4 + 11a^3 + 2a^2 + 7a + 13)*29^6+O(29^7)
$r_{ 7 }$	$=$	$ 15 a^{5} + 19 a^{4} + 20 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 8 + \left(2 a^{5} + a^{4} + 23 a^{3} + 22 a^{2} + 8 a\right)\cdot 29 + \left(a^{5} + 2 a^{4} + 24 a^{3} + 4 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 29^{2} + \left(25 a^{5} + 15 a^{4} + a^{3} + 12 a^{2} + a + 6\right)\cdot 29^{3} + \left(15 a^{5} + 23 a^{4} + 9 a^{3} + 18 a^{2} + 21 a\right)\cdot 29^{4} + \left(5 a^{5} + a^{4} + 28 a^{3} + 24 a^{2} + 23 a + 4\right)\cdot 29^{5} + \left(12 a^{5} + 24 a^{4} + 24 a^{3} + 12 a + 21\right)\cdot 29^{6} +O(29^{7})$ 15a^5 + 19a^4 + 20a^3 + 2a^2 + 2a + 8 + (2a^5 + a^4 + 23a^3 + 22a^2 + 8a)29 + (a^5 + 2a^4 + 24a^3 + 4a^2 + 16a + 9)29^2 + (25a^5 + 15a^4 + a^3 + 12a^2 + a + 6)29^3 + (15a^5 + 23a^4 + 9a^3 + 18a^2 + 21a)29^4 + (5a^5 + a^4 + 28a^3 + 24a^2 + 23a + 4)29^5 + (12a^5 + 24a^4 + 24a^3 + 12a + 21)*29^6+O(29^7)
$r_{ 8 }$	$=$	$ 21 a^{5} + 18 a^{4} + 8 a^{3} + 23 a^{2} + 2 a + 26 + \left(6 a^{5} + 7 a^{4} + 28 a^{3} + 26 a^{2} + 23 a + 19\right)\cdot 29 + \left(6 a^{5} + 18 a^{4} + 20 a^{3} + 20 a^{2} + 19 a + 20\right)\cdot 29^{2} + \left(17 a^{5} + 17 a^{4} + 5 a^{3} + 16 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 29^{3} + \left(27 a^{5} + 25 a^{4} + 4 a^{3} + 16 a + 3\right)\cdot 29^{4} + \left(11 a^{5} + 25 a^{4} + 11 a^{3} + 24 a^{2} + 22 a + 14\right)\cdot 29^{5} + \left(12 a^{5} + 10 a^{4} + 24 a^{3} + 14 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 29^{6} +O(29^{7})$ 21a^5 + 18a^4 + 8a^3 + 23a^2 + 2a + 26 + (6a^5 + 7a^4 + 28a^3 + 26a^2 + 23a + 19)29 + (6a^5 + 18a^4 + 20a^3 + 20a^2 + 19a + 20)29^2 + (17a^5 + 17a^4 + 5a^3 + 16a^2 + 2a + 12)29^3 + (27a^5 + 25a^4 + 4a^3 + 16a + 3)29^4 + (11a^5 + 25a^4 + 11a^3 + 24a^2 + 22a + 14)29^5 + (12a^5 + 10a^4 + 24a^3 + 14a^2 + 7a + 11)29^6+O(29^7)
$r_{ 9 }$	$=$	$ 26 a^{5} + 10 a^{4} + 17 a^{3} + 8 a + 17 + \left(16 a^{5} + 7 a^{4} + 4 a^{3} + 26 a^{2} + 24 a\right)\cdot 29 + \left(21 a^{5} + 19 a^{4} + 10 a^{3} + a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 29^{2} + \left(2 a^{5} + 4 a^{4} + 3 a^{3} + 12 a^{2} + 25 a + 17\right)\cdot 29^{3} + \left(20 a^{5} + 19 a^{4} + 19 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 20\right)\cdot 29^{4} + \left(16 a^{5} + 10 a^{4} + 17 a^{3} + 27 a^{2} + 16 a + 26\right)\cdot 29^{5} + \left(26 a^{5} + 12 a^{4} + 2 a^{3} + 27 a^{2} + 27 a + 4\right)\cdot 29^{6} +O(29^{7})$ 26a^5 + 10a^4 + 17a^3 + 8a + 17 + (16a^5 + 7a^4 + 4a^3 + 26a^2 + 24a)29 + (21a^5 + 19a^4 + 10a^3 + a^2 + 15a + 12)29^2 + (2a^5 + 4a^4 + 3a^3 + 12a^2 + 25a + 17)29^3 + (20a^5 + 19a^4 + 19a^3 + 2a^2 + 8a + 20)29^4 + (16a^5 + 10a^4 + 17a^3 + 27a^2 + 16a + 26)29^5 + (26a^5 + 12a^4 + 2a^3 + 27a^2 + 27a + 4)*29^6+O(29^7)
$r_{ 10 }$	$=$	$ 19 a^{5} + 22 a^{4} + 17 a^{3} + 9 a^{2} + 22 a + 18 + \left(15 a^{5} + 26 a^{4} + 21 a^{3} + 9 a^{2} + 3 a + 14\right)\cdot 29 + \left(12 a^{5} + 6 a^{4} + 26 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 29^{2} + \left(15 a^{5} + 15 a^{4} + 19 a^{3} + 14 a^{2} + 7 a + 15\right)\cdot 29^{3} + \left(25 a^{5} + 28 a^{4} + 3 a^{3} + 9 a^{2} + 21 a + 8\right)\cdot 29^{4} + \left(11 a^{5} + 5 a^{4} + 25 a^{3} + 14 a^{2} + 21 a + 5\right)\cdot 29^{5} + \left(21 a^{5} + 24 a^{4} + 18 a^{3} + 9 a^{2} + 3 a\right)\cdot 29^{6} +O(29^{7})$ 19a^5 + 22a^4 + 17a^3 + 9a^2 + 22a + 18 + (15a^5 + 26a^4 + 21a^3 + 9a^2 + 3a + 14)29 + (12a^5 + 6a^4 + 26a^3 + 3a^2 + 9a + 16)29^2 + (15a^5 + 15a^4 + 19a^3 + 14a^2 + 7a + 15)29^3 + (25a^5 + 28a^4 + 3a^3 + 9a^2 + 21a + 8)29^4 + (11a^5 + 5a^4 + 25a^3 + 14a^2 + 21a + 5)29^5 + (21a^5 + 24a^4 + 18a^3 + 9a^2 + 3a)*29^6+O(29^7)
$r_{ 11 }$	$=$	$ a^{5} + 11 a^{4} + 18 a^{3} + 5 a^{2} + 24 a + 6 + \left(20 a^{4} + a^{3} + 15 a^{2} + 22 a + 22\right)\cdot 29 + \left(15 a^{5} + 4 a^{4} + 17 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 20\right)\cdot 29^{2} + \left(28 a^{5} + 10 a^{4} + 22 a^{3} + 4 a^{2} + 27 a + 8\right)\cdot 29^{3} + \left(6 a^{5} + 21 a^{4} + 13 a^{3} + 6 a^{2} + 19 a + 3\right)\cdot 29^{4} + \left(27 a^{5} + 26 a^{4} + 2 a^{3} + 7 a^{2} + 7\right)\cdot 29^{5} + \left(7 a^{5} + 10 a^{4} + 2 a^{3} + 27 a^{2} + 24 a + 7\right)\cdot 29^{6} +O(29^{7})$ a^5 + 11a^4 + 18a^3 + 5a^2 + 24a + 6 + (20a^4 + a^3 + 15a^2 + 22a + 22)29 + (15a^5 + 4a^4 + 17a^3 + 4a^2 + 3a + 20)29^2 + (28a^5 + 10a^4 + 22a^3 + 4a^2 + 27a + 8)29^3 + (6a^5 + 21a^4 + 13a^3 + 6a^2 + 19a + 3)29^4 + (27a^5 + 26a^4 + 2a^3 + 7a^2 + 7)29^5 + (7a^5 + 10a^4 + 2a^3 + 27a^2 + 24a + 7)*29^6+O(29^7)
$r_{ 12 }$	$=$	$ 7 a^{5} + 27 a^{4} + 5 a^{3} + 27 a^{2} + 11 a + 20 + \left(14 a^{5} + 11 a^{4} + 14 a^{3} + 13 a^{2} + 24 a + 1\right)\cdot 29 + \left(25 a^{5} + 16 a^{4} + 17 a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 29^{2} + \left(13 a^{5} + 16 a^{4} + 5 a^{3} + 28 a^{2} + 23 a + 4\right)\cdot 29^{3} + \left(14 a^{5} + 24 a^{3} + 11 a^{2} + 14 a + 20\right)\cdot 29^{4} + \left(2 a^{5} + 5 a^{4} + 5 a^{3} + 28 a^{2} + 18 a + 6\right)\cdot 29^{5} + \left(24 a^{5} + 18 a^{4} + 27 a^{3} + 26 a^{2} + 16 a + 12\right)\cdot 29^{6} +O(29^{7})$ 7a^5 + 27a^4 + 5a^3 + 27a^2 + 11a + 20 + (14a^5 + 11a^4 + 14a^3 + 13a^2 + 24a + 1)29 + (25a^5 + 16a^4 + 17a^2 + 13a + 11)29^2 + (13a^5 + 16a^4 + 5a^3 + 28a^2 + 23a + 4)29^3 + (14a^5 + 24a^3 + 11a^2 + 14a + 20)29^4 + (2a^5 + 5a^4 + 5a^3 + 28a^2 + 18a + 6)29^5 + (24a^5 + 18a^4 + 27a^3 + 26a^2 + 16a + 12)*29^6+O(29^7)
$r_{ 13 }$	$=$	$ 8 a^{5} + 16 a^{4} + 6 a^{3} + 10 a^{2} + 13 a + 8 + \left(5 a^{5} + 20 a^{4} + 9 a^{3} + 2 a^{2} + 25 a + 12\right)\cdot 29 + \left(25 a^{5} + 3 a^{4} + 16 a^{3} + 9 a^{2} + 6 a\right)\cdot 29^{2} + \left(5 a^{5} + 11 a^{4} + 6 a^{3} + 19 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 29^{3} + \left(7 a^{5} + 5 a^{4} + 12 a^{3} + 4 a^{2} + 23 a + 9\right)\cdot 29^{4} + \left(19 a^{5} + 4 a^{4} + 3 a^{3} + 11 a^{2} + 23 a + 17\right)\cdot 29^{5} + \left(25 a^{5} + 21 a^{4} + 23 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 26\right)\cdot 29^{6} +O(29^{7})$ 8a^5 + 16a^4 + 6a^3 + 10a^2 + 13a + 8 + (5a^5 + 20a^4 + 9a^3 + 2a^2 + 25a + 12)29 + (25a^5 + 3a^4 + 16a^3 + 9a^2 + 6a)29^2 + (5a^5 + 11a^4 + 6a^3 + 19a^2 + 9a + 8)29^3 + (7a^5 + 5a^4 + 12a^3 + 4a^2 + 23a + 9)29^4 + (19a^5 + 4a^4 + 3a^3 + 11a^2 + 23a + 17)29^5 + (25a^5 + 21a^4 + 23a^3 + 7a^2 + 5a + 26)*29^6+O(29^7)
$r_{ 14 }$	$=$	$ 25 a^{5} + 16 a^{4} + 28 a^{3} + 10 a^{2} + 28 a + 26 + \left(19 a^{5} + 20 a^{4} + 10 a^{3} + 21 a^{2} + 5\right)\cdot 29 + \left(15 a^{5} + 19 a^{4} + 21 a^{3} + 20 a^{2} + 21 a\right)\cdot 29^{2} + \left(7 a^{5} + 25 a^{4} + 10 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 16\right)\cdot 29^{3} + \left(3 a^{5} + 15 a^{4} + 27 a^{3} + 14 a^{2} + 21 a + 13\right)\cdot 29^{4} + \left(13 a^{5} + 3 a^{4} + 12 a^{2} + 21 a + 2\right)\cdot 29^{5} + \left(6 a^{5} + 7 a^{4} + 12 a^{3} + 12 a^{2} + 25 a\right)\cdot 29^{6} +O(29^{7})$ 25a^5 + 16a^4 + 28a^3 + 10a^2 + 28a + 26 + (19a^5 + 20a^4 + 10a^3 + 21a^2 + 5)29 + (15a^5 + 19a^4 + 21a^3 + 20a^2 + 21a)29^2 + (7a^5 + 25a^4 + 10a^3 + 7a^2 + 12a + 16)29^3 + (3a^5 + 15a^4 + 27a^3 + 14a^2 + 21a + 13)29^4 + (13a^5 + 3a^4 + 12a^2 + 21a + 2)29^5 + (6a^5 + 7a^4 + 12a^3 + 12a^2 + 25a)*29^6+O(29^7)
$r_{ 15 }$	$=$	$ 21 a^{5} + 8 a^{4} + 8 a^{3} + 13 a^{2} + 5 a + 19 + \left(6 a^{5} + 10 a^{3} + 17 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 29 + \left(17 a^{5} + 24 a^{4} + 22 a^{3} + 7 a + 13\right)\cdot 29^{2} + \left(28 a^{5} + 12 a^{4} + 19 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 29^{3} + \left(12 a^{5} + 26 a^{4} + 15 a^{3} + 17 a^{2} + 25 a\right)\cdot 29^{4} + \left(20 a^{5} + 11 a^{4} + 25 a^{3} + 16 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 29^{5} + \left(3 a^{5} + 11 a^{4} + 28 a^{3} + 23 a^{2} + 7 a + 28\right)\cdot 29^{6} +O(29^{7})$ 21a^5 + 8a^4 + 8a^3 + 13a^2 + 5a + 19 + (6a^5 + 10a^3 + 17a^2 + 5a + 10)29 + (17a^5 + 24a^4 + 22a^3 + 7a + 13)29^2 + (28a^5 + 12a^4 + 19a^2 + 6a + 2)29^3 + (12a^5 + 26a^4 + 15a^3 + 17a^2 + 25a)29^4 + (20a^5 + 11a^4 + 25a^3 + 16a^2 + 7a + 1)29^5 + (3a^5 + 11a^4 + 28a^3 + 23a^2 + 7a + 28)29^6+O(29^7)
$r_{ 16 }$	$=$	$ 13 a^{5} + 4 a^{4} + 28 a^{3} + 14 a^{2} + 14 a + 24 + \left(4 a^{5} + 25 a^{4} + 2 a^{3} + 17 a^{2} + 6 a + 23\right)\cdot 29 + \left(8 a^{5} + 24 a^{4} + 13 a^{3} + 8 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 29^{2} + \left(9 a^{5} + 14 a^{4} + 14 a^{3} + 22 a^{2} + 25 a + 7\right)\cdot 29^{3} + \left(26 a^{5} + 6 a^{4} + 22 a^{3} + 4 a^{2} + 16\right)\cdot 29^{4} + \left(21 a^{5} + 10 a^{4} + 2 a^{3} + 16 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 29^{5} + \left(9 a^{5} + 14 a^{4} + 18 a^{3} + 20 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 29^{6} +O(29^{7})$ 13a^5 + 4a^4 + 28a^3 + 14a^2 + 14a + 24 + (4a^5 + 25a^4 + 2a^3 + 17a^2 + 6a + 23)29 + (8a^5 + 24a^4 + 13a^3 + 8a^2 + 16a + 6)29^2 + (9a^5 + 14a^4 + 14a^3 + 22a^2 + 25a + 7)29^3 + (26a^5 + 6a^4 + 22a^3 + 4a^2 + 16)29^4 + (21a^5 + 10a^4 + 2a^3 + 16a^2 + 6a + 1)29^5 + (9a^5 + 14a^4 + 18a^3 + 20a^2 + 9a + 12)29^6+O(29^7)
$r_{ 17 }$	$=$	$ 19 a^{5} + 9 a^{4} + 13 a^{3} + 3 a^{2} + 13 a + 26 + \left(17 a^{5} + 5 a^{4} + 21 a^{3} + 27 a^{2} + 26 a + 23\right)\cdot 29 + \left(9 a^{5} + 9 a^{4} + 3 a^{3} + 17 a^{2} + 20 a + 24\right)\cdot 29^{2} + \left(25 a^{5} + 27 a^{4} + 18 a^{2} + 11 a + 25\right)\cdot 29^{3} + \left(23 a^{5} + 21 a^{4} + 26 a^{3} + 23 a^{2} + 20 a + 18\right)\cdot 29^{4} + \left(3 a^{5} + 21 a^{4} + 4 a^{3} + 11 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 29^{5} + \left(8 a^{5} + 28 a^{4} + 18 a^{3} + a^{2} + 7\right)\cdot 29^{6} +O(29^{7})$ 19a^5 + 9a^4 + 13a^3 + 3a^2 + 13a + 26 + (17a^5 + 5a^4 + 21a^3 + 27a^2 + 26a + 23)29 + (9a^5 + 9a^4 + 3a^3 + 17a^2 + 20a + 24)29^2 + (25a^5 + 27a^4 + 18a^2 + 11a + 25)29^3 + (23a^5 + 21a^4 + 26a^3 + 23a^2 + 20a + 18)29^4 + (3a^5 + 21a^4 + 4a^3 + 11a^2 + 15a + 5)29^5 + (8a^5 + 28a^4 + 18a^3 + a^2 + 7)29^6+O(29^7)
$r_{ 18 }$	$=$	$ 28 a^{5} + 14 a^{4} + 6 a^{3} + 3 a + 4 + \left(5 a^{5} + 26 a^{4} + 25 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 29 + \left(16 a^{5} + 24 a^{4} + 25 a^{3} + 6 a^{2} + 23 a + 13\right)\cdot 29^{2} + \left(23 a^{5} + 2 a^{4} + 24 a^{3} + 28 a^{2} + 20 a + 24\right)\cdot 29^{3} + \left(18 a^{5} + 8 a^{4} + 25 a^{3} + a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 29^{4} + \left(19 a^{5} + 17 a^{4} + 16 a^{3} + 9 a^{2} + 24 a + 5\right)\cdot 29^{5} + \left(15 a^{5} + 19 a^{4} + 2 a^{3} + a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 29^{6} +O(29^{7})$ 28a^5 + 14a^4 + 6a^3 + 3a + 4 + (5a^5 + 26a^4 + 25a^3 + 4a^2 + 3a + 2)29 + (16a^5 + 24a^4 + 25a^3 + 6a^2 + 23a + 13)29^2 + (23a^5 + 2a^4 + 24a^3 + 28a^2 + 20a + 24)29^3 + (18a^5 + 8a^4 + 25a^3 + a^2 + 9a + 4)29^4 + (19a^5 + 17a^4 + 16a^3 + 9a^2 + 24a + 5)29^5 + (15a^5 + 19a^4 + 2a^3 + a^2 + 3a + 13)29^6+O(29^7)

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 18 }$

Cycle notation
$(1,2,5,3,6,4)(7,11,14,16,9,12)(8,10,15,18,13,17)$
$(1,13)(2,11)(3,16)(4,12)(5,8)(6,15)$
$(1,16,7,3,13,10)(2,15,17,6,11,9)(4,8,18,5,12,14)$
$(7,13)(8,14)(9,15)(10,16)(11,17)(12,18)$

Character values on conjugacy classes

Size	Order	Action on $r_1, \ldots, r_{ 18 }$	Character values
			$c1$	$c2$
$1$	$1$	$()$	$2$	$2$
$1$	$2$	$(1,3)(2,6)(4,5)(7,10)(8,12)(9,17)(11,15)(13,16)(14,18)$	$-2$	$-2$
$3$	$2$	$(1,3)(2,6)(4,5)(7,16)(8,18)(9,11)(10,13)(12,14)(15,17)$	$0$	$0$
$3$	$2$	$(1,13)(2,11)(3,16)(4,12)(5,8)(6,15)$	$0$	$0$
$1$	$3$	$(1,5,6)(2,3,4)(7,14,9)(8,15,13)(10,18,17)(11,16,12)$	$2 \zeta_{3}$	$-2 \zeta_{3} - 2$
$1$	$3$	$(1,6,5)(2,4,3)(7,9,14)(8,13,15)(10,17,18)(11,12,16)$	$-2 \zeta_{3} - 2$	$2 \zeta_{3}$
$2$	$3$	$(1,7,13)(2,17,11)(3,10,16)(4,18,12)(5,14,8)(6,9,15)$	$-1$	$-1$
$2$	$3$	$(1,14,15)(2,10,12)(3,18,11)(4,17,16)(5,9,13)(6,7,8)$	$-\zeta_{3}$	$\zeta_{3} + 1$
$2$	$3$	$(1,15,14)(2,12,10)(3,11,18)(4,16,17)(5,13,9)(6,8,7)$	$\zeta_{3} + 1$	$-\zeta_{3}$
$1$	$6$	$(1,2,5,3,6,4)(7,17,14,10,9,18)(8,16,15,12,13,11)$	$2 \zeta_{3} + 2$	$-2 \zeta_{3}$
$1$	$6$	$(1,4,6,3,5,2)(7,18,9,10,14,17)(8,11,13,12,15,16)$	$-2 \zeta_{3}$	$2 \zeta_{3} + 2$
$2$	$6$	$(1,16,7,3,13,10)(2,15,17,6,11,9)(4,8,18,5,12,14)$	$1$	$1$
$2$	$6$	$(1,11,14,3,15,18)(2,8,10,6,12,7)(4,13,17,5,16,9)$	$-\zeta_{3} - 1$	$\zeta_{3}$
$2$	$6$	$(1,18,15,3,14,11)(2,7,12,6,10,8)(4,9,16,5,17,13)$	$\zeta_{3}$	$-\zeta_{3} - 1$
$3$	$6$	$(1,2,5,3,6,4)(7,11,14,16,9,12)(8,10,15,18,13,17)$	$0$	$0$
$3$	$6$	$(1,4,6,3,5,2)(7,12,9,16,14,11)(8,17,13,18,15,10)$	$0$	$0$
$3$	$6$	$(1,15,5,13,6,8)(2,12,3,11,4,16)(7,9,14)(10,17,18)$	$0$	$0$
$3$	$6$	$(1,8,6,13,5,15)(2,16,4,11,3,12)(7,14,9)(10,18,17)$	$0$	$0$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Related objects

Downloads

Learn more

Basic invariants

Galois action

Roots of defining polynomial

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 18 }$

Character values on conjugacy classes

This project is supported by grants from the US National Science Foundation, the UK Engineering and Physical Sciences Research Council, and the Simons Foundation.

Label	2.3040.12t18.d
Dimension	$2$
Group	$S_3 \times C_6$
Conductor	$3040$
Indicator	$0$

$r_{ 1 }$	$=$	\( 10 a^{5} + 17 a^{4} + 17 a^{3} + 24 a^{2} + 4 a + 4 + \left(27 a^{5} + 10 a^{4} + 8 a^{3} + 10 a^{2} + a + 17\right)\cdot 29 + \left(4 a^{5} + 6 a^{4} + 28 a^{3} + 7 a^{2} + 16 a + 22\right)\cdot 29^{2} + \left(12 a^{5} + 16 a^{4} + 26 a^{3} + 24 a^{2} + a + 24\right)\cdot 29^{3} + \left(a^{5} + 10 a^{4} + 16 a^{3} + 15 a^{2} + 26 a + 23\right)\cdot 29^{4} + \left(27 a^{5} + 25 a^{4} + 3 a^{3} + 18 a^{2} + 17 a + 26\right)\cdot 29^{5} + \left(14 a^{5} + 10 a^{4} + 7 a^{3} + 27 a^{2} + a + 1\right)\cdot 29^{6} +O(29^{7})\) 10a^5 + 17a^4 + 17a^3 + 24a^2 + 4a + 4 + (27a^5 + 10a^4 + 8a^3 + 10a^2 + a + 17)29 + (4a^5 + 6a^4 + 28a^3 + 7a^2 + 16a + 22)29^2 + (12a^5 + 16a^4 + 26a^3 + 24a^2 + a + 24)29^3 + (a^5 + 10a^4 + 16a^3 + 15a^2 + 26a + 23)29^4 + (27a^5 + 25a^4 + 3a^3 + 18a^2 + 17a + 26)29^5 + (14a^5 + 10a^4 + 7a^3 + 27a^2 + a + 1)*29^6+O(29^7)
$r_{ 2 }$	$=$	\( 14 a^{5} + 5 a^{4} + 9 a^{3} + 18 a^{2} + 23 a + 19 + \left(18 a^{5} + 21 a^{4} + 6 a^{3} + 18 a^{2} + 24 a + 4\right)\cdot 29 + \left(8 a^{5} + 26 a^{4} + 2 a^{3} + 11 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 29^{2} + \left(3 a^{5} + 5 a^{4} + 4 a^{3} + 3 a^{2} + 27 a + 15\right)\cdot 29^{3} + \left(17 a^{5} + 18 a^{4} + 2 a^{3} + 28 a^{2} + 21 a + 1\right)\cdot 29^{4} + \left(24 a^{5} + a^{4} + 5 a^{3} + 28 a^{2} + 21 a\right)\cdot 29^{5} + \left(16 a^{5} + 24 a^{4} + 23 a^{3} + 24 a^{2} + 17 a + 26\right)\cdot 29^{6} +O(29^{7})\) 14a^5 + 5a^4 + 9a^3 + 18a^2 + 23a + 19 + (18a^5 + 21a^4 + 6a^3 + 18a^2 + 24a + 4)29 + (8a^5 + 26a^4 + 2a^3 + 11a^2 + 8a + 12)29^2 + (3a^5 + 5a^4 + 4a^3 + 3a^2 + 27a + 15)29^3 + (17a^5 + 18a^4 + 2a^3 + 28a^2 + 21a + 1)29^4 + (24a^5 + a^4 + 5a^3 + 28a^2 + 21a)29^5 + (16a^5 + 24a^4 + 23a^3 + 24a^2 + 17a + 26)29^6+O(29^7)
$r_{ 3 }$	$=$	\( a^{5} + 26 a^{4} + 27 a^{3} + 13 a^{2} + 12 a + 4 + \left(15 a^{5} + 9 a^{4} + 16 a^{3} + 8 a^{2} + 24 a + 25\right)\cdot 29 + \left(10 a^{5} + 9 a^{4} + 9 a^{2} + 13 a + 12\right)\cdot 29^{2} + \left(18 a^{5} + 12 a^{4} + a^{3} + 19 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 29^{3} + \left(a^{5} + 4 a^{4} + 12 a^{3} + 24 a^{2} + 19 a + 6\right)\cdot 29^{4} + \left(18 a^{5} + 15 a^{4} + 7 a^{3} + 23 a^{2} + 8 a + 24\right)\cdot 29^{5} + \left(21 a^{5} + 17 a^{4} + 18 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 29^{6} +O(29^{7})\) a^5 + 26a^4 + 27a^3 + 13a^2 + 12a + 4 + (15a^5 + 9a^4 + 16a^3 + 8a^2 + 24a + 25)29 + (10a^5 + 9a^4 + 9a^2 + 13a + 12)29^2 + (18a^5 + 12a^4 + a^3 + 19a^2 + 8a + 13)29^3 + (a^5 + 4a^4 + 12a^3 + 24a^2 + 19a + 6)29^4 + (18a^5 + 15a^4 + 7a^3 + 23a^2 + 8a + 24)29^5 + (21a^5 + 17a^4 + 18a^3 + 5a^2 + 7a + 2)*29^6+O(29^7)
$r_{ 4 }$	$=$	\( 14 a^{5} + 27 a^{4} + 22 a^{3} + 27 a^{2} + 23 a + 6 + \left(24 a^{5} + 26 a^{4} + 5 a^{3} + a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 29 + \left(9 a^{5} + 21 a^{4} + 26 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 29^{2} + \left(7 a^{5} + 10 a^{4} + 23 a^{3} + 6 a^{2} + 22 a + 11\right)\cdot 29^{3} + \left(10 a^{5} + 6 a^{4} + 14 a^{3} + 5 a^{2} + 16 a + 18\right)\cdot 29^{4} + \left(15 a^{5} + 12 a^{4} + 16 a^{3} + 5 a^{2} + 27 a + 5\right)\cdot 29^{5} + \left(19 a^{5} + 16 a^{4} + 16 a^{3} + 27 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 29^{6} +O(29^{7})\) 14a^5 + 27a^4 + 22a^3 + 27a^2 + 23a + 6 + (24a^5 + 26a^4 + 5a^3 + a^2 + 8a + 5)29 + (9a^5 + 21a^4 + 26a^3 + 8a^2 + 6a + 4)29^2 + (7a^5 + 10a^4 + 23a^3 + 6a^2 + 22a + 11)29^3 + (10a^5 + 6a^4 + 14a^3 + 5a^2 + 16a + 18)29^4 + (15a^5 + 12a^4 + 16a^3 + 5a^2 + 27a + 5)29^5 + (19a^5 + 16a^4 + 16a^3 + 27a^2 + 3a + 12)29^6+O(29^7)
$r_{ 5 }$	$=$	\( 3 a^{5} + 5 a^{4} + 26 a^{3} + 21 a^{2} + 7 a + 10 + \left(18 a^{5} + 8 a^{4} + 5 a^{3} + 12 a + 7\right)\cdot 29 + \left(25 a^{4} + 10 a^{3} + 19 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 29^{2} + \left(20 a^{5} + 15 a^{4} + 8 a^{3} + 9 a^{2} + 22 a + 14\right)\cdot 29^{3} + \left(12 a^{5} + 2 a^{4} + 4 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 28\right)\cdot 29^{4} + \left(12 a^{5} + 5 a^{4} + 27 a^{3} + 6 a^{2} + 26 a + 17\right)\cdot 29^{5} + \left(11 a^{5} + 7 a^{4} + 9 a^{3} + 28 a^{2} + 19 a + 2\right)\cdot 29^{6} +O(29^{7})\) 3a^5 + 5a^4 + 26a^3 + 21a^2 + 7a + 10 + (18a^5 + 8a^4 + 5a^3 + 12a + 7)29 + (25a^4 + 10a^3 + 19a^2 + 2a + 3)29^2 + (20a^5 + 15a^4 + 8a^3 + 9a^2 + 22a + 14)29^3 + (12a^5 + 2a^4 + 4a^3 + 4a^2 + 3a + 28)29^4 + (12a^5 + 5a^4 + 27a^3 + 6a^2 + 26a + 17)29^5 + (11a^5 + 7a^4 + 9a^3 + 28a^2 + 19a + 2)*29^6+O(29^7)
$r_{ 6 }$	$=$	\( 16 a^{5} + 7 a^{4} + 15 a^{3} + 13 a^{2} + 18 a + 18 + \left(12 a^{5} + 10 a^{4} + 14 a^{3} + 17 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 29 + \left(23 a^{5} + 26 a^{4} + 19 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 28\right)\cdot 29^{2} + \left(25 a^{5} + 25 a^{4} + 22 a^{3} + 24 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 29^{3} + \left(14 a^{5} + 15 a^{4} + 7 a^{3} + 8 a^{2} + 28 a + 5\right)\cdot 29^{4} + \left(18 a^{5} + 27 a^{4} + 27 a^{3} + 4 a^{2} + 13 a + 2\right)\cdot 29^{5} + \left(2 a^{5} + 10 a^{4} + 11 a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 13\right)\cdot 29^{6} +O(29^{7})\) 16a^5 + 7a^4 + 15a^3 + 13a^2 + 18a + 18 + (12a^5 + 10a^4 + 14a^3 + 17a^2 + 15a + 5)29 + (23a^5 + 26a^4 + 19a^3 + 2a^2 + 10a + 28)29^2 + (25a^5 + 25a^4 + 22a^3 + 24a^2 + 5a + 3)29^3 + (14a^5 + 15a^4 + 7a^3 + 8a^2 + 28a + 5)29^4 + (18a^5 + 27a^4 + 27a^3 + 4a^2 + 13a + 2)29^5 + (2a^5 + 10a^4 + 11a^3 + 2a^2 + 7a + 13)*29^6+O(29^7)
$r_{ 7 }$	$=$	\( 15 a^{5} + 19 a^{4} + 20 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 8 + \left(2 a^{5} + a^{4} + 23 a^{3} + 22 a^{2} + 8 a\right)\cdot 29 + \left(a^{5} + 2 a^{4} + 24 a^{3} + 4 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 29^{2} + \left(25 a^{5} + 15 a^{4} + a^{3} + 12 a^{2} + a + 6\right)\cdot 29^{3} + \left(15 a^{5} + 23 a^{4} + 9 a^{3} + 18 a^{2} + 21 a\right)\cdot 29^{4} + \left(5 a^{5} + a^{4} + 28 a^{3} + 24 a^{2} + 23 a + 4\right)\cdot 29^{5} + \left(12 a^{5} + 24 a^{4} + 24 a^{3} + 12 a + 21\right)\cdot 29^{6} +O(29^{7})\) 15a^5 + 19a^4 + 20a^3 + 2a^2 + 2a + 8 + (2a^5 + a^4 + 23a^3 + 22a^2 + 8a)29 + (a^5 + 2a^4 + 24a^3 + 4a^2 + 16a + 9)29^2 + (25a^5 + 15a^4 + a^3 + 12a^2 + a + 6)29^3 + (15a^5 + 23a^4 + 9a^3 + 18a^2 + 21a)29^4 + (5a^5 + a^4 + 28a^3 + 24a^2 + 23a + 4)29^5 + (12a^5 + 24a^4 + 24a^3 + 12a + 21)*29^6+O(29^7)
$r_{ 8 }$	$=$	\( 21 a^{5} + 18 a^{4} + 8 a^{3} + 23 a^{2} + 2 a + 26 + \left(6 a^{5} + 7 a^{4} + 28 a^{3} + 26 a^{2} + 23 a + 19\right)\cdot 29 + \left(6 a^{5} + 18 a^{4} + 20 a^{3} + 20 a^{2} + 19 a + 20\right)\cdot 29^{2} + \left(17 a^{5} + 17 a^{4} + 5 a^{3} + 16 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 29^{3} + \left(27 a^{5} + 25 a^{4} + 4 a^{3} + 16 a + 3\right)\cdot 29^{4} + \left(11 a^{5} + 25 a^{4} + 11 a^{3} + 24 a^{2} + 22 a + 14\right)\cdot 29^{5} + \left(12 a^{5} + 10 a^{4} + 24 a^{3} + 14 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 29^{6} +O(29^{7})\) 21a^5 + 18a^4 + 8a^3 + 23a^2 + 2a + 26 + (6a^5 + 7a^4 + 28a^3 + 26a^2 + 23a + 19)29 + (6a^5 + 18a^4 + 20a^3 + 20a^2 + 19a + 20)29^2 + (17a^5 + 17a^4 + 5a^3 + 16a^2 + 2a + 12)29^3 + (27a^5 + 25a^4 + 4a^3 + 16a + 3)29^4 + (11a^5 + 25a^4 + 11a^3 + 24a^2 + 22a + 14)29^5 + (12a^5 + 10a^4 + 24a^3 + 14a^2 + 7a + 11)29^6+O(29^7)
$r_{ 9 }$	$=$	\( 26 a^{5} + 10 a^{4} + 17 a^{3} + 8 a + 17 + \left(16 a^{5} + 7 a^{4} + 4 a^{3} + 26 a^{2} + 24 a\right)\cdot 29 + \left(21 a^{5} + 19 a^{4} + 10 a^{3} + a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 29^{2} + \left(2 a^{5} + 4 a^{4} + 3 a^{3} + 12 a^{2} + 25 a + 17\right)\cdot 29^{3} + \left(20 a^{5} + 19 a^{4} + 19 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 20\right)\cdot 29^{4} + \left(16 a^{5} + 10 a^{4} + 17 a^{3} + 27 a^{2} + 16 a + 26\right)\cdot 29^{5} + \left(26 a^{5} + 12 a^{4} + 2 a^{3} + 27 a^{2} + 27 a + 4\right)\cdot 29^{6} +O(29^{7})\) 26a^5 + 10a^4 + 17a^3 + 8a + 17 + (16a^5 + 7a^4 + 4a^3 + 26a^2 + 24a)29 + (21a^5 + 19a^4 + 10a^3 + a^2 + 15a + 12)29^2 + (2a^5 + 4a^4 + 3a^3 + 12a^2 + 25a + 17)29^3 + (20a^5 + 19a^4 + 19a^3 + 2a^2 + 8a + 20)29^4 + (16a^5 + 10a^4 + 17a^3 + 27a^2 + 16a + 26)29^5 + (26a^5 + 12a^4 + 2a^3 + 27a^2 + 27a + 4)*29^6+O(29^7)
$r_{ 10 }$	$=$	\( 19 a^{5} + 22 a^{4} + 17 a^{3} + 9 a^{2} + 22 a + 18 + \left(15 a^{5} + 26 a^{4} + 21 a^{3} + 9 a^{2} + 3 a + 14\right)\cdot 29 + \left(12 a^{5} + 6 a^{4} + 26 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 29^{2} + \left(15 a^{5} + 15 a^{4} + 19 a^{3} + 14 a^{2} + 7 a + 15\right)\cdot 29^{3} + \left(25 a^{5} + 28 a^{4} + 3 a^{3} + 9 a^{2} + 21 a + 8\right)\cdot 29^{4} + \left(11 a^{5} + 5 a^{4} + 25 a^{3} + 14 a^{2} + 21 a + 5\right)\cdot 29^{5} + \left(21 a^{5} + 24 a^{4} + 18 a^{3} + 9 a^{2} + 3 a\right)\cdot 29^{6} +O(29^{7})\) 19a^5 + 22a^4 + 17a^3 + 9a^2 + 22a + 18 + (15a^5 + 26a^4 + 21a^3 + 9a^2 + 3a + 14)29 + (12a^5 + 6a^4 + 26a^3 + 3a^2 + 9a + 16)29^2 + (15a^5 + 15a^4 + 19a^3 + 14a^2 + 7a + 15)29^3 + (25a^5 + 28a^4 + 3a^3 + 9a^2 + 21a + 8)29^4 + (11a^5 + 5a^4 + 25a^3 + 14a^2 + 21a + 5)29^5 + (21a^5 + 24a^4 + 18a^3 + 9a^2 + 3a)*29^6+O(29^7)
$r_{ 11 }$	$=$	\( a^{5} + 11 a^{4} + 18 a^{3} + 5 a^{2} + 24 a + 6 + \left(20 a^{4} + a^{3} + 15 a^{2} + 22 a + 22\right)\cdot 29 + \left(15 a^{5} + 4 a^{4} + 17 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 20\right)\cdot 29^{2} + \left(28 a^{5} + 10 a^{4} + 22 a^{3} + 4 a^{2} + 27 a + 8\right)\cdot 29^{3} + \left(6 a^{5} + 21 a^{4} + 13 a^{3} + 6 a^{2} + 19 a + 3\right)\cdot 29^{4} + \left(27 a^{5} + 26 a^{4} + 2 a^{3} + 7 a^{2} + 7\right)\cdot 29^{5} + \left(7 a^{5} + 10 a^{4} + 2 a^{3} + 27 a^{2} + 24 a + 7\right)\cdot 29^{6} +O(29^{7})\) a^5 + 11a^4 + 18a^3 + 5a^2 + 24a + 6 + (20a^4 + a^3 + 15a^2 + 22a + 22)29 + (15a^5 + 4a^4 + 17a^3 + 4a^2 + 3a + 20)29^2 + (28a^5 + 10a^4 + 22a^3 + 4a^2 + 27a + 8)29^3 + (6a^5 + 21a^4 + 13a^3 + 6a^2 + 19a + 3)29^4 + (27a^5 + 26a^4 + 2a^3 + 7a^2 + 7)29^5 + (7a^5 + 10a^4 + 2a^3 + 27a^2 + 24a + 7)*29^6+O(29^7)
$r_{ 12 }$	$=$	\( 7 a^{5} + 27 a^{4} + 5 a^{3} + 27 a^{2} + 11 a + 20 + \left(14 a^{5} + 11 a^{4} + 14 a^{3} + 13 a^{2} + 24 a + 1\right)\cdot 29 + \left(25 a^{5} + 16 a^{4} + 17 a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 29^{2} + \left(13 a^{5} + 16 a^{4} + 5 a^{3} + 28 a^{2} + 23 a + 4\right)\cdot 29^{3} + \left(14 a^{5} + 24 a^{3} + 11 a^{2} + 14 a + 20\right)\cdot 29^{4} + \left(2 a^{5} + 5 a^{4} + 5 a^{3} + 28 a^{2} + 18 a + 6\right)\cdot 29^{5} + \left(24 a^{5} + 18 a^{4} + 27 a^{3} + 26 a^{2} + 16 a + 12\right)\cdot 29^{6} +O(29^{7})\) 7a^5 + 27a^4 + 5a^3 + 27a^2 + 11a + 20 + (14a^5 + 11a^4 + 14a^3 + 13a^2 + 24a + 1)29 + (25a^5 + 16a^4 + 17a^2 + 13a + 11)29^2 + (13a^5 + 16a^4 + 5a^3 + 28a^2 + 23a + 4)29^3 + (14a^5 + 24a^3 + 11a^2 + 14a + 20)29^4 + (2a^5 + 5a^4 + 5a^3 + 28a^2 + 18a + 6)29^5 + (24a^5 + 18a^4 + 27a^3 + 26a^2 + 16a + 12)*29^6+O(29^7)
$r_{ 13 }$	$=$	\( 8 a^{5} + 16 a^{4} + 6 a^{3} + 10 a^{2} + 13 a + 8 + \left(5 a^{5} + 20 a^{4} + 9 a^{3} + 2 a^{2} + 25 a + 12\right)\cdot 29 + \left(25 a^{5} + 3 a^{4} + 16 a^{3} + 9 a^{2} + 6 a\right)\cdot 29^{2} + \left(5 a^{5} + 11 a^{4} + 6 a^{3} + 19 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 29^{3} + \left(7 a^{5} + 5 a^{4} + 12 a^{3} + 4 a^{2} + 23 a + 9\right)\cdot 29^{4} + \left(19 a^{5} + 4 a^{4} + 3 a^{3} + 11 a^{2} + 23 a + 17\right)\cdot 29^{5} + \left(25 a^{5} + 21 a^{4} + 23 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 26\right)\cdot 29^{6} +O(29^{7})\) 8a^5 + 16a^4 + 6a^3 + 10a^2 + 13a + 8 + (5a^5 + 20a^4 + 9a^3 + 2a^2 + 25a + 12)29 + (25a^5 + 3a^4 + 16a^3 + 9a^2 + 6a)29^2 + (5a^5 + 11a^4 + 6a^3 + 19a^2 + 9a + 8)29^3 + (7a^5 + 5a^4 + 12a^3 + 4a^2 + 23a + 9)29^4 + (19a^5 + 4a^4 + 3a^3 + 11a^2 + 23a + 17)29^5 + (25a^5 + 21a^4 + 23a^3 + 7a^2 + 5a + 26)*29^6+O(29^7)
$r_{ 14 }$	$=$	\( 25 a^{5} + 16 a^{4} + 28 a^{3} + 10 a^{2} + 28 a + 26 + \left(19 a^{5} + 20 a^{4} + 10 a^{3} + 21 a^{2} + 5\right)\cdot 29 + \left(15 a^{5} + 19 a^{4} + 21 a^{3} + 20 a^{2} + 21 a\right)\cdot 29^{2} + \left(7 a^{5} + 25 a^{4} + 10 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 16\right)\cdot 29^{3} + \left(3 a^{5} + 15 a^{4} + 27 a^{3} + 14 a^{2} + 21 a + 13\right)\cdot 29^{4} + \left(13 a^{5} + 3 a^{4} + 12 a^{2} + 21 a + 2\right)\cdot 29^{5} + \left(6 a^{5} + 7 a^{4} + 12 a^{3} + 12 a^{2} + 25 a\right)\cdot 29^{6} +O(29^{7})\) 25a^5 + 16a^4 + 28a^3 + 10a^2 + 28a + 26 + (19a^5 + 20a^4 + 10a^3 + 21a^2 + 5)29 + (15a^5 + 19a^4 + 21a^3 + 20a^2 + 21a)29^2 + (7a^5 + 25a^4 + 10a^3 + 7a^2 + 12a + 16)29^3 + (3a^5 + 15a^4 + 27a^3 + 14a^2 + 21a + 13)29^4 + (13a^5 + 3a^4 + 12a^2 + 21a + 2)29^5 + (6a^5 + 7a^4 + 12a^3 + 12a^2 + 25a)*29^6+O(29^7)
$r_{ 15 }$	$=$	\( 21 a^{5} + 8 a^{4} + 8 a^{3} + 13 a^{2} + 5 a + 19 + \left(6 a^{5} + 10 a^{3} + 17 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 29 + \left(17 a^{5} + 24 a^{4} + 22 a^{3} + 7 a + 13\right)\cdot 29^{2} + \left(28 a^{5} + 12 a^{4} + 19 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 29^{3} + \left(12 a^{5} + 26 a^{4} + 15 a^{3} + 17 a^{2} + 25 a\right)\cdot 29^{4} + \left(20 a^{5} + 11 a^{4} + 25 a^{3} + 16 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 29^{5} + \left(3 a^{5} + 11 a^{4} + 28 a^{3} + 23 a^{2} + 7 a + 28\right)\cdot 29^{6} +O(29^{7})\) 21a^5 + 8a^4 + 8a^3 + 13a^2 + 5a + 19 + (6a^5 + 10a^3 + 17a^2 + 5a + 10)29 + (17a^5 + 24a^4 + 22a^3 + 7a + 13)29^2 + (28a^5 + 12a^4 + 19a^2 + 6a + 2)29^3 + (12a^5 + 26a^4 + 15a^3 + 17a^2 + 25a)29^4 + (20a^5 + 11a^4 + 25a^3 + 16a^2 + 7a + 1)29^5 + (3a^5 + 11a^4 + 28a^3 + 23a^2 + 7a + 28)29^6+O(29^7)
$r_{ 16 }$	$=$	\( 13 a^{5} + 4 a^{4} + 28 a^{3} + 14 a^{2} + 14 a + 24 + \left(4 a^{5} + 25 a^{4} + 2 a^{3} + 17 a^{2} + 6 a + 23\right)\cdot 29 + \left(8 a^{5} + 24 a^{4} + 13 a^{3} + 8 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 29^{2} + \left(9 a^{5} + 14 a^{4} + 14 a^{3} + 22 a^{2} + 25 a + 7\right)\cdot 29^{3} + \left(26 a^{5} + 6 a^{4} + 22 a^{3} + 4 a^{2} + 16\right)\cdot 29^{4} + \left(21 a^{5} + 10 a^{4} + 2 a^{3} + 16 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 29^{5} + \left(9 a^{5} + 14 a^{4} + 18 a^{3} + 20 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 29^{6} +O(29^{7})\) 13a^5 + 4a^4 + 28a^3 + 14a^2 + 14a + 24 + (4a^5 + 25a^4 + 2a^3 + 17a^2 + 6a + 23)29 + (8a^5 + 24a^4 + 13a^3 + 8a^2 + 16a + 6)29^2 + (9a^5 + 14a^4 + 14a^3 + 22a^2 + 25a + 7)29^3 + (26a^5 + 6a^4 + 22a^3 + 4a^2 + 16)29^4 + (21a^5 + 10a^4 + 2a^3 + 16a^2 + 6a + 1)29^5 + (9a^5 + 14a^4 + 18a^3 + 20a^2 + 9a + 12)29^6+O(29^7)
$r_{ 17 }$	$=$	\( 19 a^{5} + 9 a^{4} + 13 a^{3} + 3 a^{2} + 13 a + 26 + \left(17 a^{5} + 5 a^{4} + 21 a^{3} + 27 a^{2} + 26 a + 23\right)\cdot 29 + \left(9 a^{5} + 9 a^{4} + 3 a^{3} + 17 a^{2} + 20 a + 24\right)\cdot 29^{2} + \left(25 a^{5} + 27 a^{4} + 18 a^{2} + 11 a + 25\right)\cdot 29^{3} + \left(23 a^{5} + 21 a^{4} + 26 a^{3} + 23 a^{2} + 20 a + 18\right)\cdot 29^{4} + \left(3 a^{5} + 21 a^{4} + 4 a^{3} + 11 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 29^{5} + \left(8 a^{5} + 28 a^{4} + 18 a^{3} + a^{2} + 7\right)\cdot 29^{6} +O(29^{7})\) 19a^5 + 9a^4 + 13a^3 + 3a^2 + 13a + 26 + (17a^5 + 5a^4 + 21a^3 + 27a^2 + 26a + 23)29 + (9a^5 + 9a^4 + 3a^3 + 17a^2 + 20a + 24)29^2 + (25a^5 + 27a^4 + 18a^2 + 11a + 25)29^3 + (23a^5 + 21a^4 + 26a^3 + 23a^2 + 20a + 18)29^4 + (3a^5 + 21a^4 + 4a^3 + 11a^2 + 15a + 5)29^5 + (8a^5 + 28a^4 + 18a^3 + a^2 + 7)29^6+O(29^7)
$r_{ 18 }$	$=$	\( 28 a^{5} + 14 a^{4} + 6 a^{3} + 3 a + 4 + \left(5 a^{5} + 26 a^{4} + 25 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 29 + \left(16 a^{5} + 24 a^{4} + 25 a^{3} + 6 a^{2} + 23 a + 13\right)\cdot 29^{2} + \left(23 a^{5} + 2 a^{4} + 24 a^{3} + 28 a^{2} + 20 a + 24\right)\cdot 29^{3} + \left(18 a^{5} + 8 a^{4} + 25 a^{3} + a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 29^{4} + \left(19 a^{5} + 17 a^{4} + 16 a^{3} + 9 a^{2} + 24 a + 5\right)\cdot 29^{5} + \left(15 a^{5} + 19 a^{4} + 2 a^{3} + a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 29^{6} +O(29^{7})\) 28a^5 + 14a^4 + 6a^3 + 3a + 4 + (5a^5 + 26a^4 + 25a^3 + 4a^2 + 3a + 2)29 + (16a^5 + 24a^4 + 25a^3 + 6a^2 + 23a + 13)29^2 + (23a^5 + 2a^4 + 24a^3 + 28a^2 + 20a + 24)29^3 + (18a^5 + 8a^4 + 25a^3 + a^2 + 9a + 4)29^4 + (19a^5 + 17a^4 + 16a^3 + 9a^2 + 24a + 5)29^5 + (15a^5 + 19a^4 + 2a^3 + a^2 + 3a + 13)29^6+O(29^7)