LMFDB - Artin representation 2.3004.120.a.b

Basic invariants

Dimension:	$2$
Group:	24T576
Conductor:	$3004$$\medspace = 2^{2} \cdot 751 $
Artin stem field:	Galois closure of 24.4.3740066297213363461879419371585536.2
Galois orbit size:	$4$
Smallest permutation container:	120
Parity:	odd
Determinant:	1.751.2t1.a.a
Projective image:	$A_5$
Projective stem field:	Galois closure of 5.1.2256004.1

Defining polynomial

$f(x)$

$=$

$ x^{24} - 3 x^{23} + x^{22} + 10 x^{21} - 43 x^{20} + 48 x^{19} + 120 x^{18} - 317 x^{17} + 184 x^{16} + \cdots + 1 $

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 43 }$ to precision 10.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 43 }$: $ x^{10} + 3x^{6} + 26x^{5} + 36x^{4} + 5x^{3} + 27x^{2} + 24x + 3 $ x^10 + 3*x^6 + 26*x^5 + 36*x^4 + 5*x^3 + 27*x^2 + 24*x + 3

Roots:

$r_{ 1 }$	$=$	\( 15 a^{9} + 35 a^{8} + 20 a^{7} + 33 a^{6} + 19 a^{5} + 2 a^{4} + 9 a^{3} + 32 a^{2} + 3 a + 38 + \left(6 a^{9} + 35 a^{8} + 35 a^{7} + 21 a^{6} + 42 a^{5} + 37 a^{4} + 23 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 43 + \left(3 a^{9} + 2 a^{8} + 12 a^{7} + 30 a^{6} + 27 a^{5} + 18 a^{4} + 12 a^{3} + 17 a^{2} + 14 a + 42\right)\cdot 43^{2} + \left(41 a^{9} + 3 a^{8} + 10 a^{7} + 24 a^{6} + 11 a^{5} + 37 a^{4} + 35 a^{3} + 19 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 43^{3} + \left(33 a^{9} + 35 a^{8} + 35 a^{7} + 2 a^{6} + 16 a^{5} + 39 a^{4} + 3 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 34\right)\cdot 43^{4} + \left(13 a^{9} + 42 a^{8} + 34 a^{7} + a^{6} + 42 a^{5} + 21 a^{4} + 19 a^{3} + 26 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 43^{5} + \left(30 a^{9} + 13 a^{8} + 18 a^{7} + 14 a^{6} + 8 a^{5} + 13 a^{4} + 42 a^{3} + a^{2} + 40 a + 32\right)\cdot 43^{6} + \left(10 a^{9} + 36 a^{8} + 3 a^{7} + 36 a^{6} + 17 a^{5} + 37 a^{4} + 25 a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 21\right)\cdot 43^{7} + \left(25 a^{9} + 3 a^{8} + 35 a^{7} + 10 a^{6} + 9 a^{5} + 7 a^{4} + 40 a^{3} + 22 a^{2} + 7 a + 40\right)\cdot 43^{8} + \left(16 a^{9} + 6 a^{8} + 16 a^{7} + 26 a^{6} + 29 a^{5} + 17 a^{4} + 39 a^{3} + 10 a^{2} + 33\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\) 15a^9 + 35a^8 + 20a^7 + 33a^6 + 19a^5 + 2a^4 + 9a^3 + 32a^2 + 3a + 38 + (6a^9 + 35a^8 + 35a^7 + 21a^6 + 42a^5 + 37a^4 + 23a^3 + 4a^2 + 7a + 3)43 + (3a^9 + 2a^8 + 12a^7 + 30a^6 + 27a^5 + 18a^4 + 12a^3 + 17a^2 + 14a + 42)43^2 + (41a^9 + 3a^8 + 10a^7 + 24a^6 + 11a^5 + 37a^4 + 35a^3 + 19a^2 + 10a + 12)43^3 + (33a^9 + 35a^8 + 35a^7 + 2a^6 + 16a^5 + 39a^4 + 3a^3 + 2a^2 + 3a + 34)43^4 + (13a^9 + 42a^8 + 34a^7 + a^6 + 42a^5 + 21a^4 + 19a^3 + 26a^2 + 12a + 3)43^5 + (30a^9 + 13a^8 + 18a^7 + 14a^6 + 8a^5 + 13a^4 + 42a^3 + a^2 + 40a + 32)43^6 + (10a^9 + 36a^8 + 3a^7 + 36a^6 + 17a^5 + 37a^4 + 25a^3 + 6a^2 + 12a + 21)43^7 + (25a^9 + 3a^8 + 35a^7 + 10a^6 + 9a^5 + 7a^4 + 40a^3 + 22a^2 + 7a + 40)43^8 + (16a^9 + 6a^8 + 16a^7 + 26a^6 + 29a^5 + 17a^4 + 39a^3 + 10a^2 + 33)43^9+O(43^10)
$r_{ 2 }$	$=$	\( a^{9} + 31 a^{8} + 30 a^{7} + 28 a^{6} + 7 a^{5} + 3 a^{4} + 35 a^{3} + 5 a^{2} + 26 a + 15 + \left(33 a^{9} + 29 a^{8} + 5 a^{7} + 2 a^{6} + 13 a^{5} + 40 a^{4} + 18 a^{3} + 17 a^{2} + 19 a + 23\right)\cdot 43 + \left(27 a^{9} + 20 a^{8} + 9 a^{7} + 8 a^{6} + 25 a^{5} + 13 a^{3} + 38 a^{2} + 17 a + 10\right)\cdot 43^{2} + \left(29 a^{9} + 42 a^{8} + 10 a^{7} + 11 a^{6} + 14 a^{5} + 32 a^{4} + 27 a^{3} + 33 a^{2} + 11 a + 29\right)\cdot 43^{3} + \left(32 a^{9} + 41 a^{8} + 20 a^{7} + 12 a^{6} + 31 a^{5} + 22 a^{4} + 19 a^{3} + 34 a^{2} + a + 28\right)\cdot 43^{4} + \left(25 a^{9} + 22 a^{8} + 9 a^{7} + 2 a^{6} + 41 a^{5} + 17 a^{4} + 34 a^{3} + 16 a^{2} + 18 a + 33\right)\cdot 43^{5} + \left(24 a^{9} + 27 a^{8} + a^{7} + 31 a^{6} + 24 a^{5} + 10 a^{4} + 28 a^{3} + 42 a^{2} + 7 a + 27\right)\cdot 43^{6} + \left(2 a^{9} + 32 a^{8} + 41 a^{7} + 38 a^{5} + 13 a^{4} + 16 a^{2} + 22 a + 5\right)\cdot 43^{7} + \left(26 a^{9} + 11 a^{8} + 17 a^{7} + 32 a^{6} + 9 a^{5} + 5 a^{4} + 37 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 41\right)\cdot 43^{8} + \left(41 a^{9} + 39 a^{8} + 19 a^{7} + 11 a^{6} + 36 a^{5} + 19 a^{4} + 34 a^{3} + 11 a^{2} + 16 a + 40\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\) a^9 + 31a^8 + 30a^7 + 28a^6 + 7a^5 + 3a^4 + 35a^3 + 5a^2 + 26a + 15 + (33a^9 + 29a^8 + 5a^7 + 2a^6 + 13a^5 + 40a^4 + 18a^3 + 17a^2 + 19a + 23)43 + (27a^9 + 20a^8 + 9a^7 + 8a^6 + 25a^5 + 13a^3 + 38a^2 + 17a + 10)43^2 + (29a^9 + 42a^8 + 10a^7 + 11a^6 + 14a^5 + 32a^4 + 27a^3 + 33a^2 + 11a + 29)43^3 + (32a^9 + 41a^8 + 20a^7 + 12a^6 + 31a^5 + 22a^4 + 19a^3 + 34a^2 + a + 28)43^4 + (25a^9 + 22a^8 + 9a^7 + 2a^6 + 41a^5 + 17a^4 + 34a^3 + 16a^2 + 18a + 33)43^5 + (24a^9 + 27a^8 + a^7 + 31a^6 + 24a^5 + 10a^4 + 28a^3 + 42a^2 + 7a + 27)43^6 + (2a^9 + 32a^8 + 41a^7 + 38a^5 + 13a^4 + 16a^2 + 22a + 5)43^7 + (26a^9 + 11a^8 + 17a^7 + 32a^6 + 9a^5 + 5a^4 + 37a^3 + 11a^2 + 5a + 41)43^8 + (41a^9 + 39a^8 + 19a^7 + 11a^6 + 36a^5 + 19a^4 + 34a^3 + 11a^2 + 16a + 40)*43^9+O(43^10)
$r_{ 3 }$	$=$	\( 28 a^{9} + 8 a^{8} + 23 a^{7} + 10 a^{6} + 24 a^{5} + 41 a^{4} + 34 a^{3} + 11 a^{2} + 40 a + 12 + \left(36 a^{9} + 7 a^{8} + 7 a^{7} + 21 a^{6} + 5 a^{4} + 19 a^{3} + 38 a^{2} + 35 a + 12\right)\cdot 43 + \left(39 a^{9} + 40 a^{8} + 30 a^{7} + 12 a^{6} + 15 a^{5} + 24 a^{4} + 30 a^{3} + 25 a^{2} + 28 a + 26\right)\cdot 43^{2} + \left(a^{9} + 39 a^{8} + 32 a^{7} + 18 a^{6} + 31 a^{5} + 5 a^{4} + 7 a^{3} + 23 a^{2} + 32 a + 40\right)\cdot 43^{3} + \left(9 a^{9} + 7 a^{8} + 7 a^{7} + 40 a^{6} + 26 a^{5} + 3 a^{4} + 39 a^{3} + 40 a^{2} + 39 a + 25\right)\cdot 43^{4} + \left(29 a^{9} + 8 a^{7} + 41 a^{6} + 21 a^{4} + 23 a^{3} + 16 a^{2} + 30 a + 18\right)\cdot 43^{5} + \left(12 a^{9} + 29 a^{8} + 24 a^{7} + 28 a^{6} + 34 a^{5} + 29 a^{4} + 41 a^{2} + 2 a + 18\right)\cdot 43^{6} + \left(32 a^{9} + 6 a^{8} + 39 a^{7} + 6 a^{6} + 25 a^{5} + 5 a^{4} + 17 a^{3} + 36 a^{2} + 30 a + 6\right)\cdot 43^{7} + \left(17 a^{9} + 39 a^{8} + 7 a^{7} + 32 a^{6} + 33 a^{5} + 35 a^{4} + 2 a^{3} + 20 a^{2} + 35 a + 20\right)\cdot 43^{8} + \left(26 a^{9} + 36 a^{8} + 26 a^{7} + 16 a^{6} + 13 a^{5} + 25 a^{4} + 3 a^{3} + 32 a^{2} + 42 a + 36\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\) 28a^9 + 8a^8 + 23a^7 + 10a^6 + 24a^5 + 41a^4 + 34a^3 + 11a^2 + 40a + 12 + (36a^9 + 7a^8 + 7a^7 + 21a^6 + 5a^4 + 19a^3 + 38a^2 + 35a + 12)43 + (39a^9 + 40a^8 + 30a^7 + 12a^6 + 15a^5 + 24a^4 + 30a^3 + 25a^2 + 28a + 26)43^2 + (a^9 + 39a^8 + 32a^7 + 18a^6 + 31a^5 + 5a^4 + 7a^3 + 23a^2 + 32a + 40)43^3 + (9a^9 + 7a^8 + 7a^7 + 40a^6 + 26a^5 + 3a^4 + 39a^3 + 40a^2 + 39a + 25)43^4 + (29a^9 + 8a^7 + 41a^6 + 21a^4 + 23a^3 + 16a^2 + 30a + 18)43^5 + (12a^9 + 29a^8 + 24a^7 + 28a^6 + 34a^5 + 29a^4 + 41a^2 + 2a + 18)43^6 + (32a^9 + 6a^8 + 39a^7 + 6a^6 + 25a^5 + 5a^4 + 17a^3 + 36a^2 + 30a + 6)43^7 + (17a^9 + 39a^8 + 7a^7 + 32a^6 + 33a^5 + 35a^4 + 2a^3 + 20a^2 + 35a + 20)43^8 + (26a^9 + 36a^8 + 26a^7 + 16a^6 + 13a^5 + 25a^4 + 3a^3 + 32a^2 + 42a + 36)43^9+O(43^10)
$r_{ 4 }$	$=$	\( 42 a^{9} + 12 a^{8} + 13 a^{7} + 15 a^{6} + 36 a^{5} + 40 a^{4} + 8 a^{3} + 38 a^{2} + 17 a + 19 + \left(9 a^{9} + 13 a^{8} + 37 a^{7} + 40 a^{6} + 29 a^{5} + 2 a^{4} + 24 a^{3} + 25 a^{2} + 23 a + 22\right)\cdot 43 + \left(15 a^{9} + 22 a^{8} + 33 a^{7} + 34 a^{6} + 17 a^{5} + 42 a^{4} + 29 a^{3} + 4 a^{2} + 25 a + 6\right)\cdot 43^{2} + \left(13 a^{9} + 32 a^{7} + 31 a^{6} + 28 a^{5} + 10 a^{4} + 15 a^{3} + 9 a^{2} + 31 a + 35\right)\cdot 43^{3} + \left(10 a^{9} + a^{8} + 22 a^{7} + 30 a^{6} + 11 a^{5} + 20 a^{4} + 23 a^{3} + 8 a^{2} + 41 a + 24\right)\cdot 43^{4} + \left(17 a^{9} + 20 a^{8} + 33 a^{7} + 40 a^{6} + a^{5} + 25 a^{4} + 8 a^{3} + 26 a^{2} + 24 a + 5\right)\cdot 43^{5} + \left(18 a^{9} + 15 a^{8} + 41 a^{7} + 11 a^{6} + 18 a^{5} + 32 a^{4} + 14 a^{3} + 35 a + 31\right)\cdot 43^{6} + \left(40 a^{9} + 10 a^{8} + a^{7} + 42 a^{6} + 4 a^{5} + 29 a^{4} + 42 a^{3} + 26 a^{2} + 20 a + 40\right)\cdot 43^{7} + \left(16 a^{9} + 31 a^{8} + 25 a^{7} + 10 a^{6} + 33 a^{5} + 37 a^{4} + 5 a^{3} + 31 a^{2} + 37 a + 27\right)\cdot 43^{8} + \left(a^{9} + 3 a^{8} + 23 a^{7} + 31 a^{6} + 6 a^{5} + 23 a^{4} + 8 a^{3} + 31 a^{2} + 26 a + 16\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\) 42a^9 + 12a^8 + 13a^7 + 15a^6 + 36a^5 + 40a^4 + 8a^3 + 38a^2 + 17a + 19 + (9a^9 + 13a^8 + 37a^7 + 40a^6 + 29a^5 + 2a^4 + 24a^3 + 25a^2 + 23a + 22)43 + (15a^9 + 22a^8 + 33a^7 + 34a^6 + 17a^5 + 42a^4 + 29a^3 + 4a^2 + 25a + 6)43^2 + (13a^9 + 32a^7 + 31a^6 + 28a^5 + 10a^4 + 15a^3 + 9a^2 + 31a + 35)43^3 + (10a^9 + a^8 + 22a^7 + 30a^6 + 11a^5 + 20a^4 + 23a^3 + 8a^2 + 41a + 24)43^4 + (17a^9 + 20a^8 + 33a^7 + 40a^6 + a^5 + 25a^4 + 8a^3 + 26a^2 + 24a + 5)43^5 + (18a^9 + 15a^8 + 41a^7 + 11a^6 + 18a^5 + 32a^4 + 14a^3 + 35a + 31)43^6 + (40a^9 + 10a^8 + a^7 + 42a^6 + 4a^5 + 29a^4 + 42a^3 + 26a^2 + 20a + 40)43^7 + (16a^9 + 31a^8 + 25a^7 + 10a^6 + 33a^5 + 37a^4 + 5a^3 + 31a^2 + 37a + 27)43^8 + (a^9 + 3a^8 + 23a^7 + 31a^6 + 6a^5 + 23a^4 + 8a^3 + 31a^2 + 26a + 16)*43^9+O(43^10)
$r_{ 5 }$	$=$	\( 25 a^{9} + 7 a^{8} + 37 a^{7} + 30 a^{6} + 29 a^{5} + 23 a^{4} + 28 a^{3} + 17 a^{2} + 8 a + 25 + \left(17 a^{9} + 11 a^{8} + 31 a^{7} + a^{6} + 42 a^{5} + 33 a^{4} + 6 a^{3} + 18 a^{2} + 18 a + 5\right)\cdot 43 + \left(8 a^{9} + 11 a^{8} + 19 a^{6} + 25 a^{4} + 16 a^{3} + 18 a + 17\right)\cdot 43^{2} + \left(6 a^{9} + 20 a^{8} + 21 a^{7} + 39 a^{6} + 40 a^{5} + 41 a^{4} + 16 a^{3} + 34 a^{2} + 40 a + 22\right)\cdot 43^{3} + \left(7 a^{9} + 26 a^{8} + 8 a^{7} + 34 a^{6} + 3 a^{5} + 16 a^{4} + 18 a^{3} + 39 a^{2} + 5 a + 28\right)\cdot 43^{4} + \left(34 a^{9} + 9 a^{8} + 7 a^{7} + 35 a^{6} + 9 a^{5} + 37 a^{4} + 3 a^{3} + 9 a^{2} + 25 a + 36\right)\cdot 43^{5} + \left(42 a^{9} + 28 a^{8} + 29 a^{7} + 23 a^{6} + 34 a^{5} + 21 a^{3} + a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 43^{6} + \left(29 a^{9} + 34 a^{8} + 41 a^{7} + 7 a^{6} + 20 a^{5} + 2 a^{4} + 23 a^{3} + 20 a^{2} + 9\right)\cdot 43^{7} + \left(29 a^{9} + 4 a^{8} + 11 a^{7} + 25 a^{6} + 25 a^{5} + 6 a^{4} + 8 a^{2} + a + 9\right)\cdot 43^{8} + \left(17 a^{9} + 11 a^{8} + 29 a^{7} + 26 a^{6} + 36 a^{5} + 3 a^{4} + 29 a^{3} + 10 a^{2} + 18 a + 25\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\) 25a^9 + 7a^8 + 37a^7 + 30a^6 + 29a^5 + 23a^4 + 28a^3 + 17a^2 + 8a + 25 + (17a^9 + 11a^8 + 31a^7 + a^6 + 42a^5 + 33a^4 + 6a^3 + 18a^2 + 18a + 5)43 + (8a^9 + 11a^8 + 19a^6 + 25a^4 + 16a^3 + 18a + 17)43^2 + (6a^9 + 20a^8 + 21a^7 + 39a^6 + 40a^5 + 41a^4 + 16a^3 + 34a^2 + 40a + 22)43^3 + (7a^9 + 26a^8 + 8a^7 + 34a^6 + 3a^5 + 16a^4 + 18a^3 + 39a^2 + 5a + 28)43^4 + (34a^9 + 9a^8 + 7a^7 + 35a^6 + 9a^5 + 37a^4 + 3a^3 + 9a^2 + 25a + 36)43^5 + (42a^9 + 28a^8 + 29a^7 + 23a^6 + 34a^5 + 21a^3 + a^2 + 11a + 7)43^6 + (29a^9 + 34a^8 + 41a^7 + 7a^6 + 20a^5 + 2a^4 + 23a^3 + 20a^2 + 9)43^7 + (29a^9 + 4a^8 + 11a^7 + 25a^6 + 25a^5 + 6a^4 + 8a^2 + a + 9)43^8 + (17a^9 + 11a^8 + 29a^7 + 26a^6 + 36a^5 + 3a^4 + 29a^3 + 10a^2 + 18a + 25)43^9+O(43^10)
$r_{ 6 }$	$=$	\( 25 a^{9} + 37 a^{8} + 34 a^{7} + 7 a^{6} + 23 a^{5} + 37 a^{4} + 13 a^{3} + 14 a^{2} + 37 a + 18 + \left(37 a^{9} + 26 a^{8} + 2 a^{7} + 7 a^{6} + 13 a^{5} + 30 a^{4} + 42 a^{3} + 27 a^{2} + 36 a + 25\right)\cdot 43 + \left(38 a^{9} + 9 a^{8} + 29 a^{7} + 16 a^{6} + 15 a^{5} + 25 a^{4} + a^{3} + 37 a^{2} + 23 a + 24\right)\cdot 43^{2} + \left(40 a^{9} + 18 a^{8} + 9 a^{7} + 20 a^{6} + 13 a^{4} + 42 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 28\right)\cdot 43^{3} + \left(36 a^{9} + 22 a^{8} + 4 a^{7} + 29 a^{6} + 32 a^{5} + 40 a^{4} + 30 a^{3} + 34 a^{2} + 38 a + 1\right)\cdot 43^{4} + \left(24 a^{9} + 18 a^{7} + 32 a^{6} + 15 a^{5} + 30 a^{4} + 29 a^{3} + 28 a^{2} + 4 a + 22\right)\cdot 43^{5} + \left(34 a^{9} + 11 a^{8} + 32 a^{7} + 18 a^{6} + 30 a^{5} + 16 a^{4} + 18 a^{3} + 42 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 43^{6} + \left(42 a^{8} + 7 a^{7} + 6 a^{6} + 7 a^{5} + 5 a^{4} + 2 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 43^{7} + \left(2 a^{9} + 40 a^{8} + 37 a^{7} + 25 a^{6} + 5 a^{5} + 6 a^{4} + 41 a^{3} + 10 a^{2} + 34 a + 19\right)\cdot 43^{8} + \left(26 a^{9} + 22 a^{8} + 5 a^{7} + 4 a^{6} + 6 a^{5} + 28 a^{4} + a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\) 25a^9 + 37a^8 + 34a^7 + 7a^6 + 23a^5 + 37a^4 + 13a^3 + 14a^2 + 37a + 18 + (37a^9 + 26a^8 + 2a^7 + 7a^6 + 13a^5 + 30a^4 + 42a^3 + 27a^2 + 36a + 25)43 + (38a^9 + 9a^8 + 29a^7 + 16a^6 + 15a^5 + 25a^4 + a^3 + 37a^2 + 23a + 24)43^2 + (40a^9 + 18a^8 + 9a^7 + 20a^6 + 13a^4 + 42a^3 + 3a^2 + 3a + 28)43^3 + (36a^9 + 22a^8 + 4a^7 + 29a^6 + 32a^5 + 40a^4 + 30a^3 + 34a^2 + 38a + 1)43^4 + (24a^9 + 18a^7 + 32a^6 + 15a^5 + 30a^4 + 29a^3 + 28a^2 + 4a + 22)43^5 + (34a^9 + 11a^8 + 32a^7 + 18a^6 + 30a^5 + 16a^4 + 18a^3 + 42a^2 + 6a + 15)43^6 + (42a^8 + 7a^7 + 6a^6 + 7a^5 + 5a^4 + 2a^3 + 4a^2 + 11a + 4)43^7 + (2a^9 + 40a^8 + 37a^7 + 25a^6 + 5a^5 + 6a^4 + 41a^3 + 10a^2 + 34a + 19)43^8 + (26a^9 + 22a^8 + 5a^7 + 4a^6 + 6a^5 + 28a^4 + a^3 + 8a^2 + 4a + 5)43^9+O(43^10)
$r_{ 7 }$	$=$	\( 28 a^{9} + 17 a^{8} + 36 a^{7} + 19 a^{6} + 26 a^{5} + 32 a^{4} + 17 a^{3} + 2 a^{2} + 22 a + 4 + \left(33 a^{8} + 28 a^{7} + 37 a^{6} + 14 a^{5} + 34 a^{4} + 17 a^{3} + 10 a^{2} + 42 a + 4\right)\cdot 43 + \left(13 a^{9} + 40 a^{8} + 32 a^{7} + 22 a^{6} + a^{5} + 32 a^{4} + 6 a^{3} + 34 a^{2} + 24 a + 25\right)\cdot 43^{2} + \left(34 a^{9} + 38 a^{8} + 32 a^{7} + 35 a^{6} + 26 a^{5} + 3 a^{4} + 24 a^{3} + 42 a^{2} + 13 a + 12\right)\cdot 43^{3} + \left(13 a^{9} + 8 a^{8} + 12 a^{7} + 35 a^{6} + 15 a^{5} + 6 a^{4} + 14 a^{3} + 14 a^{2} + 31\right)\cdot 43^{4} + \left(20 a^{9} + 29 a^{8} + 39 a^{7} + 34 a^{6} + 40 a^{5} + 37 a^{4} + 7 a^{3} + 18 a^{2} + 4 a + 24\right)\cdot 43^{5} + \left(9 a^{9} + 39 a^{8} + a^{7} + 24 a^{6} + 18 a^{5} + 23 a^{4} + 28 a^{3} + 10 a^{2} + 29 a + 1\right)\cdot 43^{6} + \left(28 a^{9} + 28 a^{8} + 14 a^{6} + 15 a^{5} + 19 a^{4} + 24 a^{3} + a^{2} + 21 a\right)\cdot 43^{7} + \left(9 a^{9} + 35 a^{8} + 16 a^{7} + 29 a^{6} + 4 a^{5} + 16 a^{4} + 18 a^{3} + 5 a^{2} + 24 a + 37\right)\cdot 43^{8} + \left(39 a^{9} + 4 a^{8} + 16 a^{7} + 16 a^{6} + 25 a^{5} + 40 a^{4} + 31 a^{3} + 14 a^{2} + 3 a + 24\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\) 28a^9 + 17a^8 + 36a^7 + 19a^6 + 26a^5 + 32a^4 + 17a^3 + 2a^2 + 22a + 4 + (33a^8 + 28a^7 + 37a^6 + 14a^5 + 34a^4 + 17a^3 + 10a^2 + 42a + 4)43 + (13a^9 + 40a^8 + 32a^7 + 22a^6 + a^5 + 32a^4 + 6a^3 + 34a^2 + 24a + 25)43^2 + (34a^9 + 38a^8 + 32a^7 + 35a^6 + 26a^5 + 3a^4 + 24a^3 + 42a^2 + 13a + 12)43^3 + (13a^9 + 8a^8 + 12a^7 + 35a^6 + 15a^5 + 6a^4 + 14a^3 + 14a^2 + 31)43^4 + (20a^9 + 29a^8 + 39a^7 + 34a^6 + 40a^5 + 37a^4 + 7a^3 + 18a^2 + 4a + 24)43^5 + (9a^9 + 39a^8 + a^7 + 24a^6 + 18a^5 + 23a^4 + 28a^3 + 10a^2 + 29a + 1)43^6 + (28a^9 + 28a^8 + 14a^6 + 15a^5 + 19a^4 + 24a^3 + a^2 + 21a)43^7 + (9a^9 + 35a^8 + 16a^7 + 29a^6 + 4a^5 + 16a^4 + 18a^3 + 5a^2 + 24a + 37)43^8 + (39a^9 + 4a^8 + 16a^7 + 16a^6 + 25a^5 + 40a^4 + 31a^3 + 14a^2 + 3a + 24)*43^9+O(43^10)
$r_{ 8 }$	$=$	\( 16 a^{9} + 10 a^{8} + 10 a^{7} + 21 a^{6} + 11 a^{5} + 10 a^{4} + 5 a^{3} + 23 a^{2} + 18 a + 20 + \left(33 a^{9} + 3 a^{8} + 21 a^{6} + 35 a^{5} + 16 a^{4} + 40 a^{2} + 14 a + 37\right)\cdot 43 + \left(29 a^{9} + a^{8} + 24 a^{7} + 5 a^{6} + 27 a^{5} + 20 a^{4} + 7 a^{3} + 20 a^{2} + 22 a + 27\right)\cdot 43^{2} + \left(7 a^{9} + 5 a^{8} + 20 a^{7} + 8 a^{6} + 12 a^{5} + 6 a^{4} + 10 a^{3} + 17 a^{2} + 19 a + 1\right)\cdot 43^{3} + \left(37 a^{9} + 14 a^{8} + 29 a^{7} + 11 a^{6} + 15 a^{5} + 19 a^{4} + 37 a^{3} + a^{2} + 10 a + 36\right)\cdot 43^{4} + \left(18 a^{9} + 25 a^{8} + 42 a^{7} + 37 a^{6} + 18 a^{5} + 10 a^{4} + 35 a^{3} + 2 a^{2} + 29\right)\cdot 43^{5} + \left(31 a^{9} + 4 a^{8} + 35 a^{7} + 6 a^{6} + 34 a^{5} + 21 a^{4} + 21 a^{3} + 36 a^{2} + 15 a + 29\right)\cdot 43^{6} + \left(36 a^{9} + 37 a^{8} + 11 a^{7} + 4 a^{6} + 41 a^{5} + 10 a^{4} + 14 a^{3} + 2 a^{2} + 28 a + 23\right)\cdot 43^{7} + \left(a^{9} + 19 a^{8} + 29 a^{7} + 21 a^{6} + 42 a^{5} + 12 a^{4} + 28 a^{3} + 42 a^{2} + 18 a + 32\right)\cdot 43^{8} + \left(40 a^{9} + 21 a^{8} + 15 a^{7} + 17 a^{6} + 26 a^{5} + 40 a^{4} + 23 a^{3} + 13 a^{2} + 24 a + 18\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\) 16a^9 + 10a^8 + 10a^7 + 21a^6 + 11a^5 + 10a^4 + 5a^3 + 23a^2 + 18a + 20 + (33a^9 + 3a^8 + 21a^6 + 35a^5 + 16a^4 + 40a^2 + 14a + 37)43 + (29a^9 + a^8 + 24a^7 + 5a^6 + 27a^5 + 20a^4 + 7a^3 + 20a^2 + 22a + 27)43^2 + (7a^9 + 5a^8 + 20a^7 + 8a^6 + 12a^5 + 6a^4 + 10a^3 + 17a^2 + 19a + 1)43^3 + (37a^9 + 14a^8 + 29a^7 + 11a^6 + 15a^5 + 19a^4 + 37a^3 + a^2 + 10a + 36)43^4 + (18a^9 + 25a^8 + 42a^7 + 37a^6 + 18a^5 + 10a^4 + 35a^3 + 2a^2 + 29)43^5 + (31a^9 + 4a^8 + 35a^7 + 6a^6 + 34a^5 + 21a^4 + 21a^3 + 36a^2 + 15a + 29)43^6 + (36a^9 + 37a^8 + 11a^7 + 4a^6 + 41a^5 + 10a^4 + 14a^3 + 2a^2 + 28a + 23)43^7 + (a^9 + 19a^8 + 29a^7 + 21a^6 + 42a^5 + 12a^4 + 28a^3 + 42a^2 + 18a + 32)43^8 + (40a^9 + 21a^8 + 15a^7 + 17a^6 + 26a^5 + 40a^4 + 23a^3 + 13a^2 + 24a + 18)*43^9+O(43^10)
$r_{ 9 }$	$=$	\( 42 a^{9} + 40 a^{8} + 29 a^{7} + 29 a^{6} + 6 a^{5} + 39 a^{4} + 19 a^{3} + 4 a^{2} + 32 a + 31 + \left(29 a^{9} + 4 a^{8} + 17 a^{7} + 19 a^{6} + 23 a^{5} + 20 a^{4} + 35 a^{3} + 18 a^{2} + a + 22\right)\cdot 43 + \left(15 a^{9} + 13 a^{8} + 6 a^{7} + 31 a^{6} + 3 a^{5} + 23 a^{4} + 29 a^{3} + 41 a^{2} + 9 a + 40\right)\cdot 43^{2} + \left(33 a^{9} + 7 a^{8} + 2 a^{7} + 27 a^{6} + 36 a^{5} + 37 a^{4} + 38 a^{3} + 9 a^{2} + 23 a + 32\right)\cdot 43^{3} + \left(18 a^{9} + 8 a^{8} + 29 a^{7} + 34 a^{6} + 20 a^{5} + 41 a^{4} + 29 a^{3} + 26 a^{2} + 5 a + 25\right)\cdot 43^{4} + \left(16 a^{9} + 30 a^{8} + 10 a^{7} + 16 a^{6} + 35 a^{5} + 5 a^{4} + 25 a^{3} + 33 a^{2} + 25 a + 27\right)\cdot 43^{5} + \left(23 a^{9} + 19 a^{8} + 3 a^{7} + 16 a^{6} + 17 a^{5} + 8 a^{4} + 23 a^{3} + 3 a^{2} + 27 a + 19\right)\cdot 43^{6} + \left(a^{9} + 16 a^{8} + 6 a^{7} + 20 a^{6} + 7 a^{5} + 41 a^{4} + 39 a^{3} + 21 a^{2} + 12 a + 23\right)\cdot 43^{7} + \left(8 a^{9} + 27 a^{8} + 41 a^{7} + 23 a^{6} + a^{5} + 32 a^{4} + 7 a^{3} + 26 a^{2} + 14 a + 11\right)\cdot 43^{8} + \left(39 a^{9} + 29 a^{8} + 14 a^{7} + 4 a^{6} + 37 a^{5} + 36 a^{4} + 4 a^{3} + 34 a^{2} + 41 a + 16\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\) 42a^9 + 40a^8 + 29a^7 + 29a^6 + 6a^5 + 39a^4 + 19a^3 + 4a^2 + 32a + 31 + (29a^9 + 4a^8 + 17a^7 + 19a^6 + 23a^5 + 20a^4 + 35a^3 + 18a^2 + a + 22)43 + (15a^9 + 13a^8 + 6a^7 + 31a^6 + 3a^5 + 23a^4 + 29a^3 + 41a^2 + 9a + 40)43^2 + (33a^9 + 7a^8 + 2a^7 + 27a^6 + 36a^5 + 37a^4 + 38a^3 + 9a^2 + 23a + 32)43^3 + (18a^9 + 8a^8 + 29a^7 + 34a^6 + 20a^5 + 41a^4 + 29a^3 + 26a^2 + 5a + 25)43^4 + (16a^9 + 30a^8 + 10a^7 + 16a^6 + 35a^5 + 5a^4 + 25a^3 + 33a^2 + 25a + 27)43^5 + (23a^9 + 19a^8 + 3a^7 + 16a^6 + 17a^5 + 8a^4 + 23a^3 + 3a^2 + 27a + 19)43^6 + (a^9 + 16a^8 + 6a^7 + 20a^6 + 7a^5 + 41a^4 + 39a^3 + 21a^2 + 12a + 23)43^7 + (8a^9 + 27a^8 + 41a^7 + 23a^6 + a^5 + 32a^4 + 7a^3 + 26a^2 + 14a + 11)43^8 + (39a^9 + 29a^8 + 14a^7 + 4a^6 + 37a^5 + 36a^4 + 4a^3 + 34a^2 + 41a + 16)43^9+O(43^10)
$r_{ 10 }$	$=$	\( 2 a^{9} + 23 a^{7} + 24 a^{6} + 39 a^{5} + 7 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 29 + \left(4 a^{9} + 14 a^{8} + 38 a^{7} + 5 a^{6} + 17 a^{5} + 31 a^{4} + 5 a^{3} + 28 a^{2} + 29 a + 1\right)\cdot 43 + \left(8 a^{9} + 20 a^{8} + 9 a^{7} + 23 a^{6} + 16 a^{5} + 30 a^{4} + 15 a^{3} + 20 a^{2} + 28 a + 15\right)\cdot 43^{2} + \left(17 a^{9} + 10 a^{8} + 25 a^{7} + 25 a^{6} + 15 a^{5} + 16 a^{4} + 5 a^{3} + 11 a^{2} + 24 a + 26\right)\cdot 43^{3} + \left(20 a^{9} + 41 a^{8} + 5 a^{7} + 7 a^{6} + 39 a^{5} + 22 a^{4} + 5 a^{3} + 36 a^{2} + 41 a + 28\right)\cdot 43^{4} + \left(14 a^{9} + 22 a^{8} + 19 a^{7} + 14 a^{6} + 21 a^{5} + 37 a^{4} + 9 a^{3} + 23 a^{2} + 17 a + 7\right)\cdot 43^{5} + \left(42 a^{9} + 29 a^{8} + 17 a^{7} + 30 a^{6} + 29 a^{5} + 13 a^{4} + 24 a^{3} + 8 a^{2} + 27 a + 17\right)\cdot 43^{6} + \left(2 a^{9} + 18 a^{8} + 19 a^{7} + 27 a^{6} + 32 a^{5} + 5 a^{4} + 4 a^{3} + 21 a^{2} + 32\right)\cdot 43^{7} + \left(39 a^{9} + 14 a^{7} + 7 a^{6} + 14 a^{5} + 3 a^{4} + 5 a^{3} + 32 a^{2} + 21 a + 2\right)\cdot 43^{8} + \left(4 a^{9} + a^{8} + 36 a^{7} + 15 a^{6} + 18 a^{5} + 30 a^{4} + 6 a^{3} + 25 a^{2} + 23 a + 25\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\) 2a^9 + 23a^7 + 24a^6 + 39a^5 + 7a^3 + 4a^2 + 5a + 29 + (4a^9 + 14a^8 + 38a^7 + 5a^6 + 17a^5 + 31a^4 + 5a^3 + 28a^2 + 29a + 1)43 + (8a^9 + 20a^8 + 9a^7 + 23a^6 + 16a^5 + 30a^4 + 15a^3 + 20a^2 + 28a + 15)43^2 + (17a^9 + 10a^8 + 25a^7 + 25a^6 + 15a^5 + 16a^4 + 5a^3 + 11a^2 + 24a + 26)43^3 + (20a^9 + 41a^8 + 5a^7 + 7a^6 + 39a^5 + 22a^4 + 5a^3 + 36a^2 + 41a + 28)43^4 + (14a^9 + 22a^8 + 19a^7 + 14a^6 + 21a^5 + 37a^4 + 9a^3 + 23a^2 + 17a + 7)43^5 + (42a^9 + 29a^8 + 17a^7 + 30a^6 + 29a^5 + 13a^4 + 24a^3 + 8a^2 + 27a + 17)43^6 + (2a^9 + 18a^8 + 19a^7 + 27a^6 + 32a^5 + 5a^4 + 4a^3 + 21a^2 + 32)43^7 + (39a^9 + 14a^7 + 7a^6 + 14a^5 + 3a^4 + 5a^3 + 32a^2 + 21a + 2)43^8 + (4a^9 + a^8 + 36a^7 + 15a^6 + 18a^5 + 30a^4 + 6a^3 + 25a^2 + 23a + 25)43^9+O(43^10)
$r_{ 11 }$	$=$	\( 2 a^{9} + 33 a^{8} + 9 a^{7} + a^{6} + 25 a^{5} + 24 a^{4} + 41 a^{3} + 39 a^{2} + 23 a + 22 + \left(4 a^{9} + 10 a^{8} + 24 a^{7} + 9 a^{6} + 27 a^{5} + 27 a^{4} + 10 a^{3} + 40 a^{2} + 26 a + 32\right)\cdot 43 + \left(24 a^{9} + 35 a^{8} + 15 a^{7} + 35 a^{6} + 7 a^{5} + 31 a^{4} + 30 a^{3} + 18 a^{2} + 39 a + 9\right)\cdot 43^{2} + \left(26 a^{9} + 10 a^{7} + 10 a^{6} + 17 a^{5} + 18 a^{4} + 28 a^{3} + 29 a^{2} + 35 a + 25\right)\cdot 43^{3} + \left(31 a^{9} + 11 a^{8} + 38 a^{7} + 37 a^{6} + 25 a^{5} + 32 a^{4} + 42 a^{3} + 18 a^{2} + 31 a + 32\right)\cdot 43^{4} + \left(4 a^{9} + 33 a^{8} + 2 a^{7} + 2 a^{6} + 38 a^{5} + 4 a^{4} + 26 a^{3} + 12 a^{2} + 27 a + 39\right)\cdot 43^{5} + \left(16 a^{9} + 27 a^{8} + 18 a^{7} + 5 a^{6} + 11 a^{5} + 8 a^{4} + 14 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a + 24\right)\cdot 43^{6} + \left(13 a^{9} + 11 a^{7} + 3 a^{6} + 38 a^{5} + 7 a^{4} + 24 a^{3} + 6 a^{2} + 18 a + 24\right)\cdot 43^{7} + \left(32 a^{9} + 3 a^{8} + 36 a^{7} + 10 a^{6} + 36 a^{5} + 18 a^{4} + 15 a^{3} + 18 a^{2} + 3 a + 14\right)\cdot 43^{8} + \left(23 a^{9} + 20 a^{7} + 35 a^{6} + 35 a^{5} + 28 a^{4} + 27 a^{3} + 10 a^{2} + 25 a + 33\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\) 2a^9 + 33a^8 + 9a^7 + a^6 + 25a^5 + 24a^4 + 41a^3 + 39a^2 + 23a + 22 + (4a^9 + 10a^8 + 24a^7 + 9a^6 + 27a^5 + 27a^4 + 10a^3 + 40a^2 + 26a + 32)43 + (24a^9 + 35a^8 + 15a^7 + 35a^6 + 7a^5 + 31a^4 + 30a^3 + 18a^2 + 39a + 9)43^2 + (26a^9 + 10a^7 + 10a^6 + 17a^5 + 18a^4 + 28a^3 + 29a^2 + 35a + 25)43^3 + (31a^9 + 11a^8 + 38a^7 + 37a^6 + 25a^5 + 32a^4 + 42a^3 + 18a^2 + 31a + 32)43^4 + (4a^9 + 33a^8 + 2a^7 + 2a^6 + 38a^5 + 4a^4 + 26a^3 + 12a^2 + 27a + 39)43^5 + (16a^9 + 27a^8 + 18a^7 + 5a^6 + 11a^5 + 8a^4 + 14a^3 + 5a^2 + 6a + 24)43^6 + (13a^9 + 11a^7 + 3a^6 + 38a^5 + 7a^4 + 24a^3 + 6a^2 + 18a + 24)43^7 + (32a^9 + 3a^8 + 36a^7 + 10a^6 + 36a^5 + 18a^4 + 15a^3 + 18a^2 + 3a + 14)43^8 + (23a^9 + 20a^7 + 35a^6 + 35a^5 + 28a^4 + 27a^3 + 10a^2 + 25a + 33)*43^9+O(43^10)
$r_{ 12 }$	$=$	\( 32 a^{9} + 32 a^{8} + 21 a^{7} + 7 a^{6} + 8 a^{5} + 37 a^{4} + 29 a^{3} + 24 a^{2} + 22 a + \left(25 a^{9} + 18 a^{8} + 16 a^{7} + 29 a^{5} + 8 a^{4} + 22 a^{3} + 37 a^{2} + 30 a + 11\right)\cdot 43 + \left(8 a^{9} + 21 a^{8} + 30 a^{7} + 31 a^{6} + 19 a^{5} + 14 a^{4} + 31 a^{3} + 40 a^{2} + 27 a + 30\right)\cdot 43^{2} + \left(36 a^{9} + a^{8} + 34 a^{7} + 31 a^{6} + 7 a^{5} + 11 a^{4} + 17 a^{3} + 22 a^{2} + 27 a + 17\right)\cdot 43^{3} + \left(41 a^{9} + 19 a^{8} + 3 a^{7} + 24 a^{6} + 3 a^{5} + 32 a^{4} + 20 a^{3} + 42 a^{2} + 39 a + 23\right)\cdot 43^{4} + \left(26 a^{9} + 7 a^{8} + 29 a^{7} + 34 a^{6} + 41 a^{5} + 30 a^{4} + 28 a^{3} + 13 a^{2} + 42 a + 9\right)\cdot 43^{5} + \left(10 a^{9} + 35 a^{8} + 19 a^{7} + 30 a^{6} + 32 a^{5} + 12 a^{4} + 33 a^{3} + 31 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 43^{6} + \left(23 a^{9} + 29 a^{8} + 21 a^{7} + 18 a^{6} + 32 a^{5} + 18 a^{4} + 12 a^{3} + 21 a^{2} + 6 a + 31\right)\cdot 43^{7} + \left(32 a^{9} + 30 a^{8} + 40 a^{7} + 29 a^{6} + 21 a^{5} + 6 a^{4} + 24 a^{3} + 39 a^{2} + 13 a + 18\right)\cdot 43^{8} + \left(15 a^{9} + 17 a^{8} + 5 a^{7} + 23 a^{6} + 3 a^{5} + 37 a^{4} + 29 a^{3} + 16 a^{2} + 9 a + 23\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\) 32a^9 + 32a^8 + 21a^7 + 7a^6 + 8a^5 + 37a^4 + 29a^3 + 24a^2 + 22a + (25a^9 + 18a^8 + 16a^7 + 29a^5 + 8a^4 + 22a^3 + 37a^2 + 30a + 11)43 + (8a^9 + 21a^8 + 30a^7 + 31a^6 + 19a^5 + 14a^4 + 31a^3 + 40a^2 + 27a + 30)43^2 + (36a^9 + a^8 + 34a^7 + 31a^6 + 7a^5 + 11a^4 + 17a^3 + 22a^2 + 27a + 17)43^3 + (41a^9 + 19a^8 + 3a^7 + 24a^6 + 3a^5 + 32a^4 + 20a^3 + 42a^2 + 39a + 23)43^4 + (26a^9 + 7a^8 + 29a^7 + 34a^6 + 41a^5 + 30a^4 + 28a^3 + 13a^2 + 42a + 9)43^5 + (10a^9 + 35a^8 + 19a^7 + 30a^6 + 32a^5 + 12a^4 + 33a^3 + 31a^2 + 4a + 1)43^6 + (23a^9 + 29a^8 + 21a^7 + 18a^6 + 32a^5 + 18a^4 + 12a^3 + 21a^2 + 6a + 31)43^7 + (32a^9 + 30a^8 + 40a^7 + 29a^6 + 21a^5 + 6a^4 + 24a^3 + 39a^2 + 13a + 18)43^8 + (15a^9 + 17a^8 + 5a^7 + 23a^6 + 3a^5 + 37a^4 + 29a^3 + 16a^2 + 9a + 23)*43^9+O(43^10)
$r_{ 13 }$	$=$	\( 28 a^{9} + 18 a^{8} + 4 a^{7} + 37 a^{6} + 15 a^{5} + 36 a^{4} + 4 a^{3} + 17 a^{2} + 41 a + 23 + \left(33 a^{9} + 39 a^{8} + 42 a^{6} + 34 a^{5} + 17 a^{4} + 19 a^{3} + 13 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 43 + \left(19 a^{9} + 14 a^{8} + 20 a^{7} + 15 a^{6} + 36 a^{5} + 6 a^{4} + 7 a^{3} + 31 a^{2} + 19 a + 26\right)\cdot 43^{2} + \left(27 a^{9} + 4 a^{8} + 35 a^{6} + 21 a^{5} + 40 a^{4} + a^{3} + 36 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 43^{3} + \left(2 a^{9} + 19 a^{8} + 16 a^{7} + 18 a^{6} + 38 a^{5} + 24 a^{4} + 2 a^{3} + 9 a^{2} + 28 a + 16\right)\cdot 43^{4} + \left(28 a^{9} + 2 a^{8} + 32 a^{7} + 8 a^{6} + 38 a^{5} + 38 a^{4} + 11 a^{3} + 25 a^{2} + 30 a + 21\right)\cdot 43^{5} + \left(35 a^{9} + 31 a^{8} + 41 a^{7} + 6 a^{6} + 14 a^{5} + 29 a^{4} + 4 a^{3} + 16 a^{2} + 27 a + 33\right)\cdot 43^{6} + \left(16 a^{9} + 24 a^{8} + 7 a^{7} + 20 a^{6} + 35 a^{5} + 32 a^{4} + 30 a^{3} + 10 a^{2} + 19 a + 14\right)\cdot 43^{7} + \left(34 a^{9} + 27 a^{8} + 21 a^{7} + 34 a^{6} + a^{5} + 35 a^{4} + 37 a^{3} + 3 a^{2} + 39 a + 42\right)\cdot 43^{8} + \left(31 a^{9} + 19 a^{8} + 31 a^{7} + 34 a^{6} + 35 a^{5} + a^{4} + 37 a^{3} + 38 a^{2} + 24 a + 9\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\) 28a^9 + 18a^8 + 4a^7 + 37a^6 + 15a^5 + 36a^4 + 4a^3 + 17a^2 + 41a + 23 + (33a^9 + 39a^8 + 42a^6 + 34a^5 + 17a^4 + 19a^3 + 13a^2 + 4a + 8)43 + (19a^9 + 14a^8 + 20a^7 + 15a^6 + 36a^5 + 6a^4 + 7a^3 + 31a^2 + 19a + 26)43^2 + (27a^9 + 4a^8 + 35a^6 + 21a^5 + 40a^4 + a^3 + 36a^2 + 8a + 16)43^3 + (2a^9 + 19a^8 + 16a^7 + 18a^6 + 38a^5 + 24a^4 + 2a^3 + 9a^2 + 28a + 16)43^4 + (28a^9 + 2a^8 + 32a^7 + 8a^6 + 38a^5 + 38a^4 + 11a^3 + 25a^2 + 30a + 21)43^5 + (35a^9 + 31a^8 + 41a^7 + 6a^6 + 14a^5 + 29a^4 + 4a^3 + 16a^2 + 27a + 33)43^6 + (16a^9 + 24a^8 + 7a^7 + 20a^6 + 35a^5 + 32a^4 + 30a^3 + 10a^2 + 19a + 14)43^7 + (34a^9 + 27a^8 + 21a^7 + 34a^6 + a^5 + 35a^4 + 37a^3 + 3a^2 + 39a + 42)43^8 + (31a^9 + 19a^8 + 31a^7 + 34a^6 + 35a^5 + a^4 + 37a^3 + 38a^2 + 24a + 9)43^9+O(43^10)
$r_{ 14 }$	$=$	\( 41 a^{9} + 16 a^{8} + 22 a^{7} + 13 a^{6} + 17 a^{5} + 15 a^{4} + 11 a^{3} + 14 a^{2} + 26 a + 10 + \left(39 a^{9} + 33 a^{8} + 33 a^{7} + 5 a^{6} + 36 a^{5} + 35 a^{4} + 13 a^{3} + 37 a^{2} + 38 a\right)\cdot 43 + \left(42 a^{9} + 9 a^{8} + 10 a^{7} + 28 a^{6} + 35 a^{5} + 19 a^{4} + 29 a^{3} + 25 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 43^{2} + \left(32 a^{9} + 41 a^{8} + 7 a^{7} + 28 a^{6} + 38 a^{5} + 6 a^{4} + 23 a^{3} + 36 a^{2} + 20 a + 23\right)\cdot 43^{3} + \left(19 a^{9} + 6 a^{8} + 36 a^{7} + 30 a^{6} + 7 a^{5} + 20 a^{4} + 3 a^{3} + 19 a^{2} + 12 a + 40\right)\cdot 43^{4} + \left(7 a^{9} + 18 a^{8} + 14 a^{7} + 32 a^{6} + 23 a^{5} + 2 a^{4} + 38 a^{3} + 19 a^{2} + 21 a + 15\right)\cdot 43^{5} + \left(6 a^{9} + 22 a^{8} + 2 a^{7} + 34 a^{6} + 16 a^{5} + 37 a^{4} + 6 a^{3} + 38 a^{2} + 39 a + 9\right)\cdot 43^{6} + \left(17 a^{9} + 5 a^{8} + 31 a^{7} + 13 a^{6} + 27 a^{5} + 17 a^{4} + a^{3} + 34 a^{2} + 41 a + 31\right)\cdot 43^{7} + \left(42 a^{9} + 35 a^{8} + 6 a^{7} + 14 a^{6} + 11 a^{5} + 12 a^{4} + 4 a^{3} + 24 a^{2} + 31 a + 30\right)\cdot 43^{8} + \left(8 a^{9} + 3 a^{8} + 38 a^{7} + 3 a^{6} + 23 a^{5} + 19 a^{4} + 29 a^{3} + 28 a^{2} + 6\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\) 41a^9 + 16a^8 + 22a^7 + 13a^6 + 17a^5 + 15a^4 + 11a^3 + 14a^2 + 26a + 10 + (39a^9 + 33a^8 + 33a^7 + 5a^6 + 36a^5 + 35a^4 + 13a^3 + 37a^2 + 38a)43 + (42a^9 + 9a^8 + 10a^7 + 28a^6 + 35a^5 + 19a^4 + 29a^3 + 25a^2 + 6a + 1)43^2 + (32a^9 + 41a^8 + 7a^7 + 28a^6 + 38a^5 + 6a^4 + 23a^3 + 36a^2 + 20a + 23)43^3 + (19a^9 + 6a^8 + 36a^7 + 30a^6 + 7a^5 + 20a^4 + 3a^3 + 19a^2 + 12a + 40)43^4 + (7a^9 + 18a^8 + 14a^7 + 32a^6 + 23a^5 + 2a^4 + 38a^3 + 19a^2 + 21a + 15)43^5 + (6a^9 + 22a^8 + 2a^7 + 34a^6 + 16a^5 + 37a^4 + 6a^3 + 38a^2 + 39a + 9)43^6 + (17a^9 + 5a^8 + 31a^7 + 13a^6 + 27a^5 + 17a^4 + a^3 + 34a^2 + 41a + 31)43^7 + (42a^9 + 35a^8 + 6a^7 + 14a^6 + 11a^5 + 12a^4 + 4a^3 + 24a^2 + 31a + 30)43^8 + (8a^9 + 3a^8 + 38a^7 + 3a^6 + 23a^5 + 19a^4 + 29a^3 + 28a^2 + 6)*43^9+O(43^10)
$r_{ 15 }$	$=$	\( 4 a^{9} + 40 a^{8} + 31 a^{7} + 18 a^{6} + 29 a^{5} + 21 a^{4} + 42 a^{3} + 37 a^{2} + 40 a + 36 + \left(23 a^{9} + 33 a^{8} + 37 a^{7} + 32 a^{6} + 41 a^{5} + 13 a^{4} + 38 a^{3} + 34 a^{2} + 33 a + 14\right)\cdot 43 + \left(16 a^{9} + 28 a^{8} + 31 a^{7} + 10 a^{6} + 30 a^{5} + 26 a^{4} + 40 a^{3} + 4 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 43^{2} + \left(6 a^{9} + a^{8} + 22 a^{7} + 29 a^{6} + 26 a^{5} + 37 a^{4} + 36 a^{3} + 2 a^{2} + 40 a + 5\right)\cdot 43^{3} + \left(23 a^{9} + 13 a^{8} + 42 a^{7} + 27 a^{6} + 40 a^{5} + 2 a^{4} + 4 a^{3} + 40 a^{2} + 30 a + 34\right)\cdot 43^{4} + \left(24 a^{9} + 25 a^{8} + 6 a^{7} + 10 a^{6} + 38 a^{5} + 10 a^{4} + 19 a^{3} + 36 a^{2} + 41 a + 34\right)\cdot 43^{5} + \left(2 a^{9} + 32 a^{8} + 10 a^{7} + 9 a^{6} + 33 a^{5} + 3 a^{4} + 32 a^{3} + 17 a^{2} + 6 a + 41\right)\cdot 43^{6} + \left(30 a^{9} + 41 a^{8} + 11 a^{7} + 18 a^{6} + 13 a^{5} + 41 a^{4} + 36 a^{3} + 36 a^{2} + 24 a + 22\right)\cdot 43^{7} + \left(23 a^{9} + 2 a^{8} + 35 a^{7} + 9 a^{6} + 33 a^{5} + 31 a^{4} + 33 a^{3} + 26 a^{2} + 24 a + 6\right)\cdot 43^{8} + \left(2 a^{9} + 25 a^{8} + 14 a^{7} + 4 a^{6} + 28 a^{5} + 5 a^{4} + 4 a^{3} + 17 a^{2} + 5 a + 41\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\) 4a^9 + 40a^8 + 31a^7 + 18a^6 + 29a^5 + 21a^4 + 42a^3 + 37a^2 + 40a + 36 + (23a^9 + 33a^8 + 37a^7 + 32a^6 + 41a^5 + 13a^4 + 38a^3 + 34a^2 + 33a + 14)43 + (16a^9 + 28a^8 + 31a^7 + 10a^6 + 30a^5 + 26a^4 + 40a^3 + 4a^2 + 12a + 13)43^2 + (6a^9 + a^8 + 22a^7 + 29a^6 + 26a^5 + 37a^4 + 36a^3 + 2a^2 + 40a + 5)43^3 + (23a^9 + 13a^8 + 42a^7 + 27a^6 + 40a^5 + 2a^4 + 4a^3 + 40a^2 + 30a + 34)43^4 + (24a^9 + 25a^8 + 6a^7 + 10a^6 + 38a^5 + 10a^4 + 19a^3 + 36a^2 + 41a + 34)43^5 + (2a^9 + 32a^8 + 10a^7 + 9a^6 + 33a^5 + 3a^4 + 32a^3 + 17a^2 + 6a + 41)43^6 + (30a^9 + 41a^8 + 11a^7 + 18a^6 + 13a^5 + 41a^4 + 36a^3 + 36a^2 + 24a + 22)43^7 + (23a^9 + 2a^8 + 35a^7 + 9a^6 + 33a^5 + 31a^4 + 33a^3 + 26a^2 + 24a + 6)43^8 + (2a^9 + 25a^8 + 14a^7 + 4a^6 + 28a^5 + 5a^4 + 4a^3 + 17a^2 + 5a + 41)43^9+O(43^10)
$r_{ 16 }$	$=$	\( 15 a^{9} + 19 a^{8} + 3 a^{7} + 25 a^{6} + 41 a^{5} + 5 a^{4} + 28 a^{3} + 30 a^{2} + 11 a + 41 + \left(10 a^{9} + 20 a^{8} + 37 a^{7} + 14 a^{6} + 25 a^{5} + 39 a^{4} + 9 a^{3} + 21 a^{2} + 37 a + 7\right)\cdot 43 + \left(8 a^{9} + 25 a^{8} + 24 a^{7} + 30 a^{6} + 4 a^{4} + 31 a^{2} + 27 a + 29\right)\cdot 43^{2} + \left(16 a^{9} + 3 a^{8} + 7 a^{7} + 6 a^{6} + 20 a^{5} + 8 a^{4} + 38 a^{3} + a^{2} + 4 a + 39\right)\cdot 43^{3} + \left(41 a^{9} + 10 a^{8} + 2 a^{7} + 24 a^{6} + 31 a^{5} + 9 a^{4} + 16 a^{3} + 22 a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 43^{4} + \left(20 a^{9} + 8 a^{8} + 30 a^{7} + 13 a^{6} + 30 a^{5} + 2 a^{4} + 17 a^{3} + 9 a^{2} + 40 a + 23\right)\cdot 43^{5} + \left(14 a^{9} + 41 a^{8} + 16 a^{7} + 24 a^{6} + 31 a^{5} + 5 a^{4} + 4 a^{3} + 20 a^{2} + 22 a + 25\right)\cdot 43^{6} + \left(38 a^{9} + 16 a^{8} + 25 a^{7} + 41 a^{6} + 27 a^{5} + 33 a^{4} + 27 a^{3} + 30 a^{2} + 18 a + 21\right)\cdot 43^{7} + \left(25 a^{9} + 21 a^{8} + 2 a^{7} + 17 a^{6} + 16 a^{5} + 21 a^{4} + 22 a^{3} + 22 a^{2} + 37 a + 40\right)\cdot 43^{8} + \left(28 a^{9} + 16 a^{8} + 12 a^{7} + 24 a^{6} + 5 a^{4} + 21 a^{3} + 6 a^{2} + 13 a + 5\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\) 15a^9 + 19a^8 + 3a^7 + 25a^6 + 41a^5 + 5a^4 + 28a^3 + 30a^2 + 11a + 41 + (10a^9 + 20a^8 + 37a^7 + 14a^6 + 25a^5 + 39a^4 + 9a^3 + 21a^2 + 37a + 7)43 + (8a^9 + 25a^8 + 24a^7 + 30a^6 + 4a^4 + 31a^2 + 27a + 29)43^2 + (16a^9 + 3a^8 + 7a^7 + 6a^6 + 20a^5 + 8a^4 + 38a^3 + a^2 + 4a + 39)43^3 + (41a^9 + 10a^8 + 2a^7 + 24a^6 + 31a^5 + 9a^4 + 16a^3 + 22a^2 + 17a + 12)43^4 + (20a^9 + 8a^8 + 30a^7 + 13a^6 + 30a^5 + 2a^4 + 17a^3 + 9a^2 + 40a + 23)43^5 + (14a^9 + 41a^8 + 16a^7 + 24a^6 + 31a^5 + 5a^4 + 4a^3 + 20a^2 + 22a + 25)43^6 + (38a^9 + 16a^8 + 25a^7 + 41a^6 + 27a^5 + 33a^4 + 27a^3 + 30a^2 + 18a + 21)43^7 + (25a^9 + 21a^8 + 2a^7 + 17a^6 + 16a^5 + 21a^4 + 22a^3 + 22a^2 + 37a + 40)43^8 + (28a^9 + 16a^8 + 12a^7 + 24a^6 + 5a^4 + 21a^3 + 6a^2 + 13a + 5)*43^9+O(43^10)
$r_{ 17 }$	$=$	\( 29 a^{9} + 17 a^{8} + 12 a^{7} + 7 a^{6} + 5 a^{5} + 16 a^{4} + 29 a^{3} + 27 a^{2} + 21 a + 8 + \left(36 a^{9} + 12 a^{8} + 41 a^{7} + 7 a^{6} + 17 a^{5} + 2 a^{4} + 28 a^{3} + 25 a^{2} + 24 a + 32\right)\cdot 43 + \left(22 a^{9} + 39 a^{8} + 29 a^{7} + 6 a^{6} + 28 a^{5} + 25 a^{4} + 26 a^{3} + 15 a^{2} + 7 a + 42\right)\cdot 43^{2} + \left(20 a^{9} + 36 a^{8} + 15 a^{7} + 3 a^{6} + 19 a^{4} + 22 a^{3} + 24 a^{2} + 26 a + 17\right)\cdot 43^{3} + \left(10 a^{9} + 25 a^{8} + 33 a^{7} + 34 a^{6} + 28 a^{5} + 22 a^{4} + 34 a^{3} + 25 a^{2} + 30 a + 16\right)\cdot 43^{4} + \left(28 a^{9} + 36 a^{8} + 31 a^{7} + 42 a^{6} + 9 a^{5} + 22 a^{4} + 30 a^{3} + a^{2} + 2 a\right)\cdot 43^{5} + \left(30 a^{9} + 10 a^{8} + 9 a^{7} + 42 a^{6} + 31 a^{5} + 38 a^{4} + 6 a^{3} + 6 a^{2} + 32 a + 31\right)\cdot 43^{6} + \left(32 a^{9} + 6 a^{8} + 34 a^{7} + 42 a^{6} + 41 a^{5} + 30 a^{3} + 39 a^{2} + 34 a + 13\right)\cdot 43^{7} + \left(39 a^{9} + 26 a^{8} + 9 a^{7} + 26 a^{6} + 8 a^{5} + 4 a^{4} + 9 a^{3} + 22 a^{2} + 42 a + 39\right)\cdot 43^{8} + \left(16 a^{9} + a^{8} + 25 a^{7} + 21 a^{6} + 26 a^{5} + 19 a^{4} + 7 a^{3} + 34 a^{2} + 16 a + 24\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\) 29a^9 + 17a^8 + 12a^7 + 7a^6 + 5a^5 + 16a^4 + 29a^3 + 27a^2 + 21a + 8 + (36a^9 + 12a^8 + 41a^7 + 7a^6 + 17a^5 + 2a^4 + 28a^3 + 25a^2 + 24a + 32)43 + (22a^9 + 39a^8 + 29a^7 + 6a^6 + 28a^5 + 25a^4 + 26a^3 + 15a^2 + 7a + 42)43^2 + (20a^9 + 36a^8 + 15a^7 + 3a^6 + 19a^4 + 22a^3 + 24a^2 + 26a + 17)43^3 + (10a^9 + 25a^8 + 33a^7 + 34a^6 + 28a^5 + 22a^4 + 34a^3 + 25a^2 + 30a + 16)43^4 + (28a^9 + 36a^8 + 31a^7 + 42a^6 + 9a^5 + 22a^4 + 30a^3 + a^2 + 2a)43^5 + (30a^9 + 10a^8 + 9a^7 + 42a^6 + 31a^5 + 38a^4 + 6a^3 + 6a^2 + 32a + 31)43^6 + (32a^9 + 6a^8 + 34a^7 + 42a^6 + 41a^5 + 30a^3 + 39a^2 + 34a + 13)43^7 + (39a^9 + 26a^8 + 9a^7 + 26a^6 + 8a^5 + 4a^4 + 9a^3 + 22a^2 + 42a + 39)43^8 + (16a^9 + a^8 + 25a^7 + 21a^6 + 26a^5 + 19a^4 + 7a^3 + 34a^2 + 16a + 24)*43^9+O(43^10)
$r_{ 18 }$	$=$	\( 13 a^{9} + 2 a^{8} + 17 a^{7} + 41 a^{6} + 4 a^{5} + 31 a^{4} + 17 a^{3} + 8 a^{2} + 38 a + 4 + \left(11 a^{9} + 24 a^{8} + 6 a^{7} + 7 a^{6} + 8 a^{5} + 26 a^{4} + 39 a^{3} + 38 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 43 + \left(25 a^{9} + 19 a^{8} + 30 a^{7} + 36 a^{6} + 9 a^{4} + 18 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 19\right)\cdot 43^{2} + \left(27 a^{9} + 31 a^{8} + 5 a^{7} + 16 a^{6} + 26 a^{5} + 9 a^{4} + 38 a^{3} + 28 a^{2} + 8 a + 21\right)\cdot 43^{3} + \left(41 a^{9} + 24 a^{8} + 38 a^{7} + 22 a^{6} + 39 a^{5} + 23 a^{4} + 26 a^{3} + 31 a^{2} + 37 a + 31\right)\cdot 43^{4} + \left(40 a^{9} + 3 a^{8} + 20 a^{7} + 34 a^{6} + 35 a^{5} + 28 a^{4} + 33 a^{3} + 29 a^{2} + 25 a + 41\right)\cdot 43^{5} + \left(26 a^{9} + 25 a^{8} + 15 a^{7} + 23 a^{6} + 16 a^{5} + 25 a^{4} + 41 a^{3} + 39 a^{2} + 41 a + 37\right)\cdot 43^{6} + \left(40 a^{9} + 33 a^{8} + 20 a^{7} + 34 a^{6} + 35 a^{5} + 26 a^{4} + 11 a^{3} + 2 a^{2} + 36 a + 14\right)\cdot 43^{7} + \left(20 a^{9} + 12 a^{8} + 27 a^{7} + 5 a^{6} + 36 a^{5} + 3 a^{4} + 22 a^{3} + 38 a^{2} + 18 a + 12\right)\cdot 43^{8} + \left(26 a^{9} + 7 a^{8} + 28 a^{7} + 38 a^{6} + 13 a^{5} + 39 a^{4} + 34 a^{3} + 18 a^{2} + 31 a + 6\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\) 13a^9 + 2a^8 + 17a^7 + 41a^6 + 4a^5 + 31a^4 + 17a^3 + 8a^2 + 38a + 4 + (11a^9 + 24a^8 + 6a^7 + 7a^6 + 8a^5 + 26a^4 + 39a^3 + 38a^2 + 9a + 9)43 + (25a^9 + 19a^8 + 30a^7 + 36a^6 + 9a^4 + 18a^3 + 5a^2 + 8a + 19)43^2 + (27a^9 + 31a^8 + 5a^7 + 16a^6 + 26a^5 + 9a^4 + 38a^3 + 28a^2 + 8a + 21)43^3 + (41a^9 + 24a^8 + 38a^7 + 22a^6 + 39a^5 + 23a^4 + 26a^3 + 31a^2 + 37a + 31)43^4 + (40a^9 + 3a^8 + 20a^7 + 34a^6 + 35a^5 + 28a^4 + 33a^3 + 29a^2 + 25a + 41)43^5 + (26a^9 + 25a^8 + 15a^7 + 23a^6 + 16a^5 + 25a^4 + 41a^3 + 39a^2 + 41a + 37)43^6 + (40a^9 + 33a^8 + 20a^7 + 34a^6 + 35a^5 + 26a^4 + 11a^3 + 2a^2 + 36a + 14)43^7 + (20a^9 + 12a^8 + 27a^7 + 5a^6 + 36a^5 + 3a^4 + 22a^3 + 38a^2 + 18a + 12)43^8 + (26a^9 + 7a^8 + 28a^7 + 38a^6 + 13a^5 + 39a^4 + 34a^3 + 18a^2 + 31a + 6)43^9+O(43^10)
$r_{ 19 }$	$=$	\( 4 a^{9} + 31 a^{8} + 23 a^{7} + 32 a^{6} + 38 a^{5} + 9 a^{4} + 29 a^{3} + 25 a^{2} + 11 a + 24 + \left(21 a^{9} + 28 a^{8} + 6 a^{7} + 11 a^{6} + 32 a^{5} + 24 a^{4} + 10 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 43 + \left(14 a^{9} + 41 a^{8} + 38 a^{7} + 9 a^{6} + 23 a^{5} + 36 a^{4} + 25 a^{3} + 27 a^{2} + 35 a + 29\right)\cdot 43^{2} + \left(23 a^{9} + 34 a^{8} + 6 a^{7} + 36 a^{6} + 16 a^{5} + 21 a^{4} + 42 a^{3} + 14 a^{2} + 17 a + 3\right)\cdot 43^{3} + \left(8 a^{9} + 31 a^{8} + 6 a^{7} + 5 a^{6} + 20 a^{5} + 15 a^{4} + 20 a^{3} + 20 a^{2} + 39 a + 11\right)\cdot 43^{4} + \left(14 a^{9} + 2 a^{8} + 41 a^{7} + 15 a^{5} + 8 a^{4} + 28 a^{3} + 32 a^{2} + 24 a + 30\right)\cdot 43^{5} + \left(40 a^{9} + 22 a^{8} + 21 a^{7} + 31 a^{6} + 28 a^{5} + 37 a^{4} + 31 a^{3} + 32 a^{2} + 42 a + 10\right)\cdot 43^{6} + \left(18 a^{8} + 24 a^{7} + 22 a^{6} + 33 a^{5} + 32 a^{4} + 34 a^{3} + 34 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 43^{7} + \left(18 a^{9} + 17 a^{8} + 39 a^{7} + 24 a^{6} + 41 a^{5} + 30 a^{4} + 34 a^{3} + 39 a^{2} + 40\right)\cdot 43^{8} + \left(32 a^{9} + 13 a^{8} + 38 a^{7} + 4 a^{5} + 10 a^{4} + 19 a^{3} + 36 a^{2} + 24 a + 2\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\) 4a^9 + 31a^8 + 23a^7 + 32a^6 + 38a^5 + 9a^4 + 29a^3 + 25a^2 + 11a + 24 + (21a^9 + 28a^8 + 6a^7 + 11a^6 + 32a^5 + 24a^4 + 10a^2 + 9a + 7)43 + (14a^9 + 41a^8 + 38a^7 + 9a^6 + 23a^5 + 36a^4 + 25a^3 + 27a^2 + 35a + 29)43^2 + (23a^9 + 34a^8 + 6a^7 + 36a^6 + 16a^5 + 21a^4 + 42a^3 + 14a^2 + 17a + 3)43^3 + (8a^9 + 31a^8 + 6a^7 + 5a^6 + 20a^5 + 15a^4 + 20a^3 + 20a^2 + 39a + 11)43^4 + (14a^9 + 2a^8 + 41a^7 + 15a^5 + 8a^4 + 28a^3 + 32a^2 + 24a + 30)43^5 + (40a^9 + 22a^8 + 21a^7 + 31a^6 + 28a^5 + 37a^4 + 31a^3 + 32a^2 + 42a + 10)43^6 + (18a^8 + 24a^7 + 22a^6 + 33a^5 + 32a^4 + 34a^3 + 34a^2 + 11a + 7)43^7 + (18a^9 + 17a^8 + 39a^7 + 24a^6 + 41a^5 + 30a^4 + 34a^3 + 39a^2 + 40)43^8 + (32a^9 + 13a^8 + 38a^7 + 4a^5 + 10a^4 + 19a^3 + 36a^2 + 24a + 2)43^9+O(43^10)
$r_{ 20 }$	$=$	\( 35 a^{9} + 38 a^{8} + 30 a^{7} + 10 a^{6} + 15 a^{5} + 41 a^{4} + 25 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a + 9 + \left(7 a^{9} + 5 a^{8} + 10 a^{7} + 21 a^{6} + 16 a^{5} + 23 a^{4} + 24 a^{3} + 25 a^{2} + 9 a + 18\right)\cdot 43 + \left(24 a^{9} + 29 a^{8} + 22 a^{7} + 42 a^{6} + 11 a^{5} + 4 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 35\right)\cdot 43^{2} + \left(34 a^{9} + 28 a^{8} + 23 a^{7} + 30 a^{6} + 4 a^{5} + 18 a^{4} + 5 a^{3} + 9 a^{2} + 20 a + 28\right)\cdot 43^{3} + \left(9 a^{9} + 12 a^{8} + 23 a^{7} + 5 a^{6} + 21 a^{5} + 18 a^{4} + 34 a^{3} + 25 a^{2} + 28 a + 41\right)\cdot 43^{4} + \left(33 a^{9} + 38 a^{8} + 16 a^{7} + 28 a^{6} + 9 a^{5} + 41 a^{4} + 22 a^{3} + 11 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 43^{5} + \left(13 a^{9} + 27 a^{8} + a^{7} + 35 a^{6} + a^{5} + 23 a^{4} + 13 a^{3} + 18 a^{2} + 18 a + 8\right)\cdot 43^{6} + \left(21 a^{9} + 29 a^{8} + 12 a^{7} + 38 a^{6} + 12 a^{5} + 34 a^{4} + 21 a^{3} + 28 a^{2} + 19 a + 16\right)\cdot 43^{7} + \left(12 a^{9} + 27 a^{8} + 14 a^{7} + 29 a^{6} + 34 a^{5} + 20 a^{4} + 19 a^{3} + 11 a^{2} + 36 a + 37\right)\cdot 43^{8} + \left(12 a^{9} + 4 a^{8} + 33 a^{7} + 42 a^{6} + 17 a^{5} + a^{4} + 25 a^{3} + 23 a^{2} + 20 a + 11\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\) 35a^9 + 38a^8 + 30a^7 + 10a^6 + 15a^5 + 41a^4 + 25a^3 + 10a^2 + 9a + 9 + (7a^9 + 5a^8 + 10a^7 + 21a^6 + 16a^5 + 23a^4 + 24a^3 + 25a^2 + 9a + 18)43 + (24a^9 + 29a^8 + 22a^7 + 42a^6 + 11a^5 + 4a^3 + 8a^2 + 7a + 35)43^2 + (34a^9 + 28a^8 + 23a^7 + 30a^6 + 4a^5 + 18a^4 + 5a^3 + 9a^2 + 20a + 28)43^3 + (9a^9 + 12a^8 + 23a^7 + 5a^6 + 21a^5 + 18a^4 + 34a^3 + 25a^2 + 28a + 41)43^4 + (33a^9 + 38a^8 + 16a^7 + 28a^6 + 9a^5 + 41a^4 + 22a^3 + 11a^2 + 3a + 10)43^5 + (13a^9 + 27a^8 + a^7 + 35a^6 + a^5 + 23a^4 + 13a^3 + 18a^2 + 18a + 8)43^6 + (21a^9 + 29a^8 + 12a^7 + 38a^6 + 12a^5 + 34a^4 + 21a^3 + 28a^2 + 19a + 16)43^7 + (12a^9 + 27a^8 + 14a^7 + 29a^6 + 34a^5 + 20a^4 + 19a^3 + 11a^2 + 36a + 37)43^8 + (12a^9 + 4a^8 + 33a^7 + 42a^6 + 17a^5 + a^4 + 25a^3 + 23a^2 + 20a + 11)*43^9+O(43^10)
$r_{ 21 }$	$=$	\( 22 a^{9} + 30 a^{8} + 10 a^{7} + 8 a^{6} + 32 a^{5} + 36 a^{4} + 20 a^{3} + 24 a^{2} + 7 a + \left(6 a^{9} + 5 a^{8} + 26 a^{7} + 8 a^{6} + 13 a^{5} + 31 a^{4} + 24 a^{3} + 22 a^{2} + 32 a + 27\right)\cdot 43 + \left(12 a^{9} + 4 a^{8} + 32 a^{7} + 23 a^{6} + 26 a^{5} + 28 a^{4} + 16 a^{3} + 16 a^{2} + 2 a\right)\cdot 43^{2} + \left(38 a^{9} + 10 a^{8} + 21 a^{7} + 15 a^{6} + 37 a^{5} + 18 a^{4} + 11 a^{3} + 17 a^{2} + 15 a + 17\right)\cdot 43^{3} + \left(35 a^{9} + 29 a^{8} + 7 a^{7} + 15 a^{6} + 31 a^{4} + 28 a^{3} + 10 a^{2} + 36 a + 26\right)\cdot 43^{4} + \left(14 a^{9} + 33 a^{8} + 37 a^{7} + 19 a^{6} + 16 a^{5} + 29 a^{4} + 26 a^{3} + 12 a^{2} + 17 a + 31\right)\cdot 43^{5} + \left(2 a^{9} + 28 a^{8} + 16 a^{7} + 30 a^{6} + 3 a^{5} + 14 a^{4} + 24 a^{3} + 13 a^{2} + 11 a + 13\right)\cdot 43^{6} + \left(19 a^{9} + 6 a^{8} + 22 a^{7} + a^{6} + 19 a^{5} + 40 a^{4} + 28 a^{3} + 16 a^{2} + 26 a + 16\right)\cdot 43^{7} + \left(20 a^{9} + 21 a^{8} + 35 a^{7} + 34 a^{6} + 16 a^{5} + 30 a^{4} + 20 a^{3} + 37 a^{2} + 40 a + 34\right)\cdot 43^{8} + \left(9 a^{9} + 27 a^{8} + 17 a^{7} + 19 a^{6} + 39 a^{5} + 26 a^{4} + 32 a^{3} + 21 a^{2} + 29 a + 8\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\) 22a^9 + 30a^8 + 10a^7 + 8a^6 + 32a^5 + 36a^4 + 20a^3 + 24a^2 + 7a + (6a^9 + 5a^8 + 26a^7 + 8a^6 + 13a^5 + 31a^4 + 24a^3 + 22a^2 + 32a + 27)43 + (12a^9 + 4a^8 + 32a^7 + 23a^6 + 26a^5 + 28a^4 + 16a^3 + 16a^2 + 2a)43^2 + (38a^9 + 10a^8 + 21a^7 + 15a^6 + 37a^5 + 18a^4 + 11a^3 + 17a^2 + 15a + 17)43^3 + (35a^9 + 29a^8 + 7a^7 + 15a^6 + 31a^4 + 28a^3 + 10a^2 + 36a + 26)43^4 + (14a^9 + 33a^8 + 37a^7 + 19a^6 + 16a^5 + 29a^4 + 26a^3 + 12a^2 + 17a + 31)43^5 + (2a^9 + 28a^8 + 16a^7 + 30a^6 + 3a^5 + 14a^4 + 24a^3 + 13a^2 + 11a + 13)43^6 + (19a^9 + 6a^8 + 22a^7 + a^6 + 19a^5 + 40a^4 + 28a^3 + 16a^2 + 26a + 16)43^7 + (20a^9 + 21a^8 + 35a^7 + 34a^6 + 16a^5 + 30a^4 + 20a^3 + 37a^2 + 40a + 34)43^8 + (9a^9 + 27a^8 + 17a^7 + 19a^6 + 39a^5 + 26a^4 + 32a^3 + 21a^2 + 29a + 8)*43^9+O(43^10)
$r_{ 22 }$	$=$	\( 34 a^{9} + 9 a^{8} + 22 a^{7} + 8 a^{6} + 28 a^{5} + 28 a^{4} + 12 a^{2} + 24 a + 22 + \left(3 a^{9} + 16 a^{8} + 25 a^{7} + 5 a^{6} + 14 a^{5} + 30 a^{4} + 33 a^{3} + 22 a^{2} + 36 a\right)\cdot 43 + \left(27 a^{9} + 9 a^{8} + 23 a^{7} + 15 a^{6} + 30 a^{5} + 4 a^{4} + 16 a^{3} + 32 a^{2} + 7 a + 29\right)\cdot 43^{2} + \left(29 a^{9} + 21 a^{8} + 34 a^{7} + 35 a^{6} + 24 a^{5} + 5 a^{4} + 27 a^{3} + 16 a^{2} + 32 a + 5\right)\cdot 43^{3} + \left(32 a^{9} + 18 a^{8} + 18 a^{7} + 9 a^{6} + 12 a^{5} + 30 a^{4} + 2 a^{3} + 39 a^{2} + 32 a + 7\right)\cdot 43^{4} + \left(23 a^{9} + 17 a^{8} + 34 a^{7} + 7 a^{5} + 28 a^{4} + 29 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 36\right)\cdot 43^{5} + \left(26 a^{9} + 27 a^{8} + 13 a^{7} + 3 a^{6} + a^{5} + 4 a^{4} + 33 a + 25\right)\cdot 43^{6} + \left(8 a^{9} + 33 a^{8} + 39 a^{7} + 10 a^{6} + 25 a^{5} + 30 a^{4} + 9 a^{3} + 12 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 43^{7} + \left(28 a^{9} + 13 a^{8} + 33 a^{7} + 30 a^{6} + 10 a^{5} + 11 a^{4} + 3 a^{3} + 35 a^{2} + 13 a + 19\right)\cdot 43^{8} + \left(24 a^{9} + 14 a^{8} + 5 a^{7} + 33 a^{6} + 5 a^{5} + 26 a^{4} + 21 a^{3} + 26 a^{2} + 25 a + 12\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\) 34a^9 + 9a^8 + 22a^7 + 8a^6 + 28a^5 + 28a^4 + 12a^2 + 24a + 22 + (3a^9 + 16a^8 + 25a^7 + 5a^6 + 14a^5 + 30a^4 + 33a^3 + 22a^2 + 36a)43 + (27a^9 + 9a^8 + 23a^7 + 15a^6 + 30a^5 + 4a^4 + 16a^3 + 32a^2 + 7a + 29)43^2 + (29a^9 + 21a^8 + 34a^7 + 35a^6 + 24a^5 + 5a^4 + 27a^3 + 16a^2 + 32a + 5)43^3 + (32a^9 + 18a^8 + 18a^7 + 9a^6 + 12a^5 + 30a^4 + 2a^3 + 39a^2 + 32a + 7)43^4 + (23a^9 + 17a^8 + 34a^7 + 7a^5 + 28a^4 + 29a^3 + 3a^2 + 3a + 36)43^5 + (26a^9 + 27a^8 + 13a^7 + 3a^6 + a^5 + 4a^4 + 33a + 25)43^6 + (8a^9 + 33a^8 + 39a^7 + 10a^6 + 25a^5 + 30a^4 + 9a^3 + 12a^2 + 12a + 3)43^7 + (28a^9 + 13a^8 + 33a^7 + 30a^6 + 10a^5 + 11a^4 + 3a^3 + 35a^2 + 13a + 19)43^8 + (24a^9 + 14a^8 + 5a^7 + 33a^6 + 5a^5 + 26a^4 + 21a^3 + 26a^2 + 25a + 12)43^9+O(43^10)
$r_{ 23 }$	$=$	\( 7 a^{9} + 9 a^{8} + 4 a^{7} + 37 a^{6} + 26 a^{5} + 26 a^{4} + 3 a^{3} + 30 a^{2} + 4 a + 3 + \left(15 a^{9} + 5 a^{8} + 34 a^{7} + 42 a^{6} + 34 a^{5} + 38 a^{4} + 19 a^{3} + 26 a^{2} + 39 a + 40\right)\cdot 43 + \left(30 a^{9} + a^{8} + 27 a^{7} + 13 a^{6} + 16 a^{5} + 14 a^{4} + 7 a^{3} + 40 a^{2} + 5 a + 42\right)\cdot 43^{2} + \left(20 a^{9} + 31 a^{8} + 11 a^{7} + 9 a^{6} + 11 a^{5} + 38 a^{4} + 14 a^{3} + 34 a^{2} + 4 a + 20\right)\cdot 43^{3} + \left(24 a^{9} + 21 a^{8} + 19 a^{7} + 18 a^{6} + 27 a^{5} + 39 a^{4} + 9 a^{3} + 22 a + 28\right)\cdot 43^{4} + \left(20 a^{9} + 13 a^{8} + 33 a^{7} + a^{6} + 11 a^{5} + 14 a^{4} + 11 a^{3} + 39 a^{2} + 21 a + 36\right)\cdot 43^{5} + \left(36 a^{9} + 36 a^{8} + 39 a^{7} + 18 a^{6} + 29 a^{5} + 15 a^{4} + 29 a^{3} + 35 a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 43^{6} + \left(12 a^{9} + 9 a^{8} + 7 a^{7} + 24 a^{6} + 31 a^{5} + 8 a^{4} + 22 a^{3} + 17 a^{2} + 15 a + 34\right)\cdot 43^{7} + \left(4 a^{9} + 29 a^{8} + 5 a^{7} + 13 a^{6} + 10 a^{5} + 24 a^{4} + 25 a^{3} + 3 a^{2} + 11 a + 34\right)\cdot 43^{8} + \left(3 a^{9} + 18 a^{8} + 34 a^{7} + 12 a^{6} + 20 a^{5} + 24 a^{4} + 10 a^{3} + 27 a^{2} + 9\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\) 7a^9 + 9a^8 + 4a^7 + 37a^6 + 26a^5 + 26a^4 + 3a^3 + 30a^2 + 4a + 3 + (15a^9 + 5a^8 + 34a^7 + 42a^6 + 34a^5 + 38a^4 + 19a^3 + 26a^2 + 39a + 40)43 + (30a^9 + a^8 + 27a^7 + 13a^6 + 16a^5 + 14a^4 + 7a^3 + 40a^2 + 5a + 42)43^2 + (20a^9 + 31a^8 + 11a^7 + 9a^6 + 11a^5 + 38a^4 + 14a^3 + 34a^2 + 4a + 20)43^3 + (24a^9 + 21a^8 + 19a^7 + 18a^6 + 27a^5 + 39a^4 + 9a^3 + 22a + 28)43^4 + (20a^9 + 13a^8 + 33a^7 + a^6 + 11a^5 + 14a^4 + 11a^3 + 39a^2 + 21a + 36)43^5 + (36a^9 + 36a^8 + 39a^7 + 18a^6 + 29a^5 + 15a^4 + 29a^3 + 35a^2 + 2a + 15)43^6 + (12a^9 + 9a^8 + 7a^7 + 24a^6 + 31a^5 + 8a^4 + 22a^3 + 17a^2 + 15a + 34)43^7 + (4a^9 + 29a^8 + 5a^7 + 13a^6 + 10a^5 + 24a^4 + 25a^3 + 3a^2 + 11a + 34)43^8 + (3a^9 + 18a^8 + 34a^7 + 12a^6 + 20a^5 + 24a^4 + 10a^3 + 27a^2 + 9)*43^9+O(43^10)
$r_{ 24 }$	$=$	\( 26 a^{9} + 25 a^{8} + 10 a^{7} + 13 a^{6} + 13 a^{5} + 7 a^{4} + 20 a^{3} + 26 a^{2} + 31 a + 20 + \left(24 a^{9} + 38 a^{8} + 10 a^{7} + 42 a^{6} + 36 a^{5} + 28 a^{4} + 38 a^{3} + 16 a^{2} + 40 a + 18\right)\cdot 43 + \left(39 a^{9} + 10 a^{8} + 32 a^{7} + 13 a^{6} + 9 a^{5} + 4 a^{4} + 11 a^{3} + 17 a^{2} + 7 a + 14\right)\cdot 43^{2} + \left(35 a^{9} + 39 a^{8} + 29 a^{7} + 26 a^{6} + 3 a^{5} + 14 a^{4} + 28 a^{3} + 35 a^{2} + a + 30\right)\cdot 43^{3} + \left(14 a^{9} + 21 a^{8} + 11 a^{7} + a^{6} + 6 a^{5} + 23 a^{4} + 3 a^{3} + 13 a^{2} + 27 a + 13\right)\cdot 43^{4} + \left(12 a^{9} + 28 a^{8} + 4 a^{7} + 29 a^{6} + 15 a^{5} + 7 a^{4} + 38 a^{3} + 22 a^{2} + 4 a + 16\right)\cdot 43^{5} + \left(26 a^{9} + 14 a^{8} + 39 a^{7} + 13 a^{6} + 11 a^{5} + 3 a^{4} + 4 a^{3} + 8 a^{2} + 23 a + 35\right)\cdot 43^{6} + \left(11 a^{9} + 37 a^{8} + 30 a^{7} + 15 a^{6} + 16 a^{5} + 22 a^{4} + 30 a^{3} + 24 a^{2} + 26 a + 9\right)\cdot 43^{7} + \left(4 a^{9} + 31 a^{8} + 14 a^{7} + 17 a^{6} + 11 a^{5} + 14 a^{4} + 11 a^{3} + 24 a^{2} + 2 a + 32\right)\cdot 43^{8} + \left(26 a^{9} + 39 a^{8} + 4 a^{7} + 7 a^{6} + 25 a^{5} + 5 a^{4} + 32 a^{3} + 15 a^{2} + 31\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\) 26a^9 + 25a^8 + 10a^7 + 13a^6 + 13a^5 + 7a^4 + 20a^3 + 26a^2 + 31a + 20 + (24a^9 + 38a^8 + 10a^7 + 42a^6 + 36a^5 + 28a^4 + 38a^3 + 16a^2 + 40a + 18)43 + (39a^9 + 10a^8 + 32a^7 + 13a^6 + 9a^5 + 4a^4 + 11a^3 + 17a^2 + 7a + 14)43^2 + (35a^9 + 39a^8 + 29a^7 + 26a^6 + 3a^5 + 14a^4 + 28a^3 + 35a^2 + a + 30)43^3 + (14a^9 + 21a^8 + 11a^7 + a^6 + 6a^5 + 23a^4 + 3a^3 + 13a^2 + 27a + 13)43^4 + (12a^9 + 28a^8 + 4a^7 + 29a^6 + 15a^5 + 7a^4 + 38a^3 + 22a^2 + 4a + 16)43^5 + (26a^9 + 14a^8 + 39a^7 + 13a^6 + 11a^5 + 3a^4 + 4a^3 + 8a^2 + 23a + 35)43^6 + (11a^9 + 37a^8 + 30a^7 + 15a^6 + 16a^5 + 22a^4 + 30a^3 + 24a^2 + 26a + 9)43^7 + (4a^9 + 31a^8 + 14a^7 + 17a^6 + 11a^5 + 14a^4 + 11a^3 + 24a^2 + 2a + 32)43^8 + (26a^9 + 39a^8 + 4a^7 + 7a^6 + 25a^5 + 5a^4 + 32a^3 + 15a^2 + 31)43^9+O(43^10)

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 24 }$

Cycle notation
$(1,9)(2,15)(3,24)(4,14)(5,6)(8,22)(12,19)(13,20)(16,18)(17,21)$
$(1,3)(2,4)(5,6)(7,11)(8,18)(9,24)(10,23)(12,13)(14,15)(16,22)(17,21)(19,20)$
$(1,4,3,2)(5,21,6,17)(7,23,11,10)(8,19,18,20)(9,14,24,15)(12,16,13,22)$
$(1,14,12,3,15,13)(2,9,22,4,24,16)(5,7,8,6,11,18)(10,20,21,23,19,17)$

Character values on conjugacy classes

Size	Order	Action on $r_1, \ldots, r_{ 24 }$	Character value
$1$	$1$	$()$	$2$
$1$	$2$	$(1,3)(2,4)(5,6)(7,11)(8,18)(9,24)(10,23)(12,13)(14,15)(16,22)(17,21)(19,20)$	$-2$
$30$	$2$	$(1,22)(2,13)(3,16)(4,12)(7,9)(8,18)(10,15)(11,24)(14,23)(19,20)$	$0$
$20$	$3$	$(1,12,15)(2,22,24)(3,13,14)(4,16,9)(5,8,11)(6,18,7)(10,21,19)(17,20,23)$	$-1$
$1$	$4$	$(1,4,3,2)(5,21,6,17)(7,23,11,10)(8,19,18,20)(9,14,24,15)(12,16,13,22)$	$-2 \zeta_{20}^{5}$
$1$	$4$	$(1,2,3,4)(5,17,6,21)(7,10,11,23)(8,20,18,19)(9,15,24,14)(12,22,13,16)$	$2 \zeta_{20}^{5}$
$30$	$4$	$(1,14,3,15)(2,9,4,24)(5,17,6,21)(7,23,11,10)(8,12,18,13)(16,20,22,19)$	$0$
$12$	$5$	$(5,19,24,16,10)(6,20,9,22,23)(7,21,18,15,13)(8,14,12,11,17)$	$-\zeta_{20}^{6} + \zeta_{20}^{4}$
$12$	$5$	$(5,16,19,10,24)(6,22,20,23,9)(7,15,21,13,18)(8,11,14,17,12)$	$\zeta_{20}^{6} - \zeta_{20}^{4} - 1$
$20$	$6$	$(1,14,12,3,15,13)(2,9,22,4,24,16)(5,7,8,6,11,18)(10,20,21,23,19,17)$	$1$
$12$	$10$	$(1,3)(2,4)(5,22,19,23,24,6,16,20,10,9)(7,14,21,12,18,11,15,17,13,8)$	$-\zeta_{20}^{6} + \zeta_{20}^{4} + 1$
$12$	$10$	$(1,3)(2,4)(5,23,16,9,19,6,10,22,24,20)(7,12,15,8,21,11,13,14,18,17)$	$\zeta_{20}^{6} - \zeta_{20}^{4}$
$20$	$12$	$(1,24,13,4,15,22,3,9,12,2,14,16)(5,23,18,21,11,20,6,10,8,17,7,19)$	$-\zeta_{20}^{5}$
$20$	$12$	$(1,9,13,2,15,16,3,24,12,4,14,22)(5,10,18,17,11,19,6,23,8,21,7,20)$	$\zeta_{20}^{5}$
$12$	$20$	$(1,4,3,2)(5,7,22,14,19,21,23,12,24,18,6,11,16,15,20,17,10,13,9,8)$	$-\zeta_{20}^{7} + \zeta_{20}^{5} - \zeta_{20}^{3}$
$12$	$20$	$(1,2,3,4)(5,14,23,18,16,17,9,7,19,12,6,15,10,8,22,21,24,11,20,13)$	$-\zeta_{20}^{7} - \zeta_{20}^{3}$
$12$	$20$	$(1,2,3,4)(5,11,22,15,19,17,23,13,24,8,6,7,16,14,20,21,10,12,9,18)$	$\zeta_{20}^{7} - \zeta_{20}^{5} + \zeta_{20}^{3}$
$12$	$20$	$(1,18,15,10,6,4,20,9,7,17,3,8,14,23,5,2,19,24,11,21)(12,16,13,22)$	$\zeta_{20}^{7} + \zeta_{20}^{3}$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Related objects

Downloads

Learn more

Basic invariants

Defining polynomial

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 24 }$

Character values on conjugacy classes

This project is supported by grants from the US National Science Foundation, the UK Engineering and Physical Sciences Research Council, and the Simons Foundation.

Label	2.3004.120.a.b
Dimension	$2$
Group	$\SL(2,5):C_2$
Conductor	$3004$
Root number	not computed
Indicator	$0$