Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 43 }$ to precision 10.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 43 }$: $ x^{2} + 42 x + 3 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 25 a + 9 + \left(31 a + 18\right)\cdot 43 + \left(24 a + 3\right)\cdot 43^{2} + \left(42 a + 34\right)\cdot 43^{3} + \left(21 a + 31\right)\cdot 43^{4} + \left(25 a + 19\right)\cdot 43^{5} + \left(38 a + 36\right)\cdot 43^{6} + \left(41 a + 19\right)\cdot 43^{7} + \left(34 a + 3\right)\cdot 43^{8} + \left(26 a + 4\right)\cdot 43^{9} +O\left(43^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 10 a + 13 + \left(26 a + 13\right)\cdot 43 + \left(34 a + 15\right)\cdot 43^{2} + \left(19 a + 5\right)\cdot 43^{3} + \left(38 a + 28\right)\cdot 43^{4} + \left(27 a + 32\right)\cdot 43^{5} + \left(38 a + 7\right)\cdot 43^{6} + 34 a\cdot 43^{7} + \left(33 a + 12\right)\cdot 43^{8} + 15\cdot 43^{9} +O\left(43^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 33 a + 23 + \left(16 a + 29\right)\cdot 43 + \left(8 a + 23\right)\cdot 43^{2} + \left(23 a + 33\right)\cdot 43^{3} + \left(4 a + 3\right)\cdot 43^{4} + \left(15 a + 22\right)\cdot 43^{5} + \left(4 a + 18\right)\cdot 43^{6} + \left(8 a + 39\right)\cdot 43^{7} + \left(9 a + 10\right)\cdot 43^{8} + \left(42 a + 25\right)\cdot 43^{9} +O\left(43^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 26 + 4\cdot 43 + 8\cdot 43^{2} + 22\cdot 43^{3} + 38\cdot 43^{4} + 28\cdot 43^{5} + 27\cdot 43^{6} + 7\cdot 43^{7} + 20\cdot 43^{8} + 25\cdot 43^{9} +O\left(43^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 18 a + 34 + \left(11 a + 24\right)\cdot 43 + \left(18 a + 39\right)\cdot 43^{2} + 8\cdot 43^{3} + \left(21 a + 11\right)\cdot 43^{4} + \left(17 a + 23\right)\cdot 43^{5} + \left(4 a + 6\right)\cdot 43^{6} + \left(a + 23\right)\cdot 43^{7} + \left(8 a + 39\right)\cdot 43^{8} + \left(16 a + 38\right)\cdot 43^{9} +O\left(43^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 33 a + 30 + \left(16 a + 29\right)\cdot 43 + \left(8 a + 27\right)\cdot 43^{2} + \left(23 a + 37\right)\cdot 43^{3} + \left(4 a + 14\right)\cdot 43^{4} + \left(15 a + 10\right)\cdot 43^{5} + \left(4 a + 35\right)\cdot 43^{6} + \left(8 a + 42\right)\cdot 43^{7} + \left(9 a + 30\right)\cdot 43^{8} + \left(42 a + 27\right)\cdot 43^{9} +O\left(43^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 10 a + 20 + \left(26 a + 13\right)\cdot 43 + \left(34 a + 19\right)\cdot 43^{2} + \left(19 a + 9\right)\cdot 43^{3} + \left(38 a + 39\right)\cdot 43^{4} + \left(27 a + 20\right)\cdot 43^{5} + \left(38 a + 24\right)\cdot 43^{6} + \left(34 a + 3\right)\cdot 43^{7} + \left(33 a + 32\right)\cdot 43^{8} + 17\cdot 43^{9} +O\left(43^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 17 + 38\cdot 43 + 34\cdot 43^{2} + 20\cdot 43^{3} + 4\cdot 43^{4} + 14\cdot 43^{5} + 15\cdot 43^{6} + 35\cdot 43^{7} + 22\cdot 43^{8} + 17\cdot 43^{9} +O\left(43^{ 10 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Cycle notation |
| $(1,3,8)(4,5,7)$ |
| $(1,8,5,4)(2,7,6,3)$ |
| $(1,5)(3,4)(7,8)$ |
| $(1,5)(2,6)(3,7)(4,8)$ |
| $(1,7,5,3)(2,4,6,8)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $2$ |
| $1$ | $2$ | $(1,5)(2,6)(3,7)(4,8)$ | $-2$ |
| $12$ | $2$ | $(1,5)(3,4)(7,8)$ | $0$ |
| $8$ | $3$ | $(1,3,8)(4,5,7)$ | $-1$ |
| $6$ | $4$ | $(1,8,5,4)(2,7,6,3)$ | $0$ |
| $8$ | $6$ | $(1,7,8,5,3,4)(2,6)$ | $1$ |
| $6$ | $8$ | $(1,4,2,7,5,8,6,3)$ | $-\zeta_{8}^{3} - \zeta_{8}$ |
| $6$ | $8$ | $(1,8,2,3,5,4,6,7)$ | $\zeta_{8}^{3} + \zeta_{8}$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
