Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in $\Q_{ 83 }$ to precision 14.
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 3 + 5\cdot 83 + 55\cdot 83^{2} + 73\cdot 83^{3} + 39\cdot 83^{4} + 54\cdot 83^{5} + 52\cdot 83^{6} + 65\cdot 83^{7} + 33\cdot 83^{8} + 20\cdot 83^{9} + 26\cdot 83^{10} + 18\cdot 83^{11} + 33\cdot 83^{12} + 55\cdot 83^{13} +O\left(83^{ 14 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 9 + 69\cdot 83 + 41\cdot 83^{2} + 19\cdot 83^{3} + 83^{4} + 31\cdot 83^{5} + 5\cdot 83^{6} + 69\cdot 83^{7} + 39\cdot 83^{8} + 33\cdot 83^{9} + 41\cdot 83^{10} + 34\cdot 83^{11} + 68\cdot 83^{12} + 56\cdot 83^{13} +O\left(83^{ 14 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 27 + 61\cdot 83 + 8\cdot 83^{2} + 29\cdot 83^{3} + 73\cdot 83^{4} + 26\cdot 83^{5} + 6\cdot 83^{6} + 70\cdot 83^{7} + 50\cdot 83^{8} + 77\cdot 83^{9} + 37\cdot 83^{10} + 77\cdot 83^{11} + 42\cdot 83^{12} + 8\cdot 83^{13} +O\left(83^{ 14 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 40 + 10\cdot 83 + 43\cdot 83^{2} + 32\cdot 83^{3} + 25\cdot 83^{4} + 13\cdot 83^{5} + 73\cdot 83^{6} + 45\cdot 83^{7} + 76\cdot 83^{8} + 81\cdot 83^{9} + 78\cdot 83^{10} + 2\cdot 83^{11} + 79\cdot 83^{12} + 61\cdot 83^{13} +O\left(83^{ 14 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 43 + 72\cdot 83 + 39\cdot 83^{2} + 50\cdot 83^{3} + 57\cdot 83^{4} + 69\cdot 83^{5} + 9\cdot 83^{6} + 37\cdot 83^{7} + 6\cdot 83^{8} + 83^{9} + 4\cdot 83^{10} + 80\cdot 83^{11} + 3\cdot 83^{12} + 21\cdot 83^{13} +O\left(83^{ 14 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 56 + 21\cdot 83 + 74\cdot 83^{2} + 53\cdot 83^{3} + 9\cdot 83^{4} + 56\cdot 83^{5} + 76\cdot 83^{6} + 12\cdot 83^{7} + 32\cdot 83^{8} + 5\cdot 83^{9} + 45\cdot 83^{10} + 5\cdot 83^{11} + 40\cdot 83^{12} + 74\cdot 83^{13} +O\left(83^{ 14 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 74 + 13\cdot 83 + 41\cdot 83^{2} + 63\cdot 83^{3} + 81\cdot 83^{4} + 51\cdot 83^{5} + 77\cdot 83^{6} + 13\cdot 83^{7} + 43\cdot 83^{8} + 49\cdot 83^{9} + 41\cdot 83^{10} + 48\cdot 83^{11} + 14\cdot 83^{12} + 26\cdot 83^{13} +O\left(83^{ 14 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 80 + 77\cdot 83 + 27\cdot 83^{2} + 9\cdot 83^{3} + 43\cdot 83^{4} + 28\cdot 83^{5} + 30\cdot 83^{6} + 17\cdot 83^{7} + 49\cdot 83^{8} + 62\cdot 83^{9} + 56\cdot 83^{10} + 64\cdot 83^{11} + 49\cdot 83^{12} + 27\cdot 83^{13} +O\left(83^{ 14 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Cycle notation |
| $(1,4)(3,6)(5,8)$ |
| $(1,8)(2,7)(3,6)(4,5)$ |
| $(1,6,4,7,8,3,5,2)$ |
| $(1,4,8,5)(2,6,7,3)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $2$ |
| $1$ | $2$ | $(1,8)(2,7)(3,6)(4,5)$ | $-2$ |
| $4$ | $2$ | $(1,4)(3,6)(5,8)$ | $0$ |
| $2$ | $4$ | $(1,4,8,5)(2,6,7,3)$ | $0$ |
| $4$ | $4$ | $(1,3,8,6)(2,4,7,5)$ | $0$ |
| $2$ | $8$ | $(1,6,4,7,8,3,5,2)$ | $-\zeta_{8}^{3} - \zeta_{8}$ |
| $2$ | $8$ | $(1,3,4,2,8,6,5,7)$ | $\zeta_{8}^{3} + \zeta_{8}$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
