Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in $\Q_{ 227 }$ to precision 10.
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 15 + 3\cdot 227 + 158\cdot 227^{2} + 37\cdot 227^{3} + 222\cdot 227^{4} + 73\cdot 227^{5} + 43\cdot 227^{6} + 54\cdot 227^{7} + 135\cdot 227^{8} + 153\cdot 227^{9} +O\left(227^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 59 + 125\cdot 227 + 220\cdot 227^{2} + 116\cdot 227^{3} + 125\cdot 227^{4} + 156\cdot 227^{5} + 87\cdot 227^{6} + 52\cdot 227^{7} + 50\cdot 227^{8} + 153\cdot 227^{9} +O\left(227^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 73 + 226\cdot 227 + 22\cdot 227^{2} + 110\cdot 227^{3} + 4\cdot 227^{4} + 209\cdot 227^{5} + 168\cdot 227^{6} + 148\cdot 227^{7} + 198\cdot 227^{8} + 166\cdot 227^{9} +O\left(227^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 113 + 35\cdot 227 + 170\cdot 227^{2} + 82\cdot 227^{3} + 12\cdot 227^{4} + 223\cdot 227^{5} + 104\cdot 227^{6} + 75\cdot 227^{7} + 94\cdot 227^{8} + 39\cdot 227^{9} +O\left(227^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 114 + 191\cdot 227 + 56\cdot 227^{2} + 144\cdot 227^{3} + 214\cdot 227^{4} + 3\cdot 227^{5} + 122\cdot 227^{6} + 151\cdot 227^{7} + 132\cdot 227^{8} + 187\cdot 227^{9} +O\left(227^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 154 + 204\cdot 227^{2} + 116\cdot 227^{3} + 222\cdot 227^{4} + 17\cdot 227^{5} + 58\cdot 227^{6} + 78\cdot 227^{7} + 28\cdot 227^{8} + 60\cdot 227^{9} +O\left(227^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 168 + 101\cdot 227 + 6\cdot 227^{2} + 110\cdot 227^{3} + 101\cdot 227^{4} + 70\cdot 227^{5} + 139\cdot 227^{6} + 174\cdot 227^{7} + 176\cdot 227^{8} + 73\cdot 227^{9} +O\left(227^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 212 + 223\cdot 227 + 68\cdot 227^{2} + 189\cdot 227^{3} + 4\cdot 227^{4} + 153\cdot 227^{5} + 183\cdot 227^{6} + 172\cdot 227^{7} + 91\cdot 227^{8} + 73\cdot 227^{9} +O\left(227^{ 10 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Cycle notation |
| $(1,8)(2,7)(3,6)(4,5)$ |
| $(1,6,8,3)(2,4,7,5)$ |
| $(1,6)(3,8)(4,5)$ |
| $(1,5,6,2,8,4,3,7)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $2$ |
| $1$ | $2$ | $(1,8)(2,7)(3,6)(4,5)$ | $-2$ |
| $4$ | $2$ | $(1,6)(3,8)(4,5)$ | $0$ |
| $2$ | $4$ | $(1,6,8,3)(2,4,7,5)$ | $0$ |
| $4$ | $4$ | $(1,4,8,5)(2,3,7,6)$ | $0$ |
| $2$ | $8$ | $(1,5,6,2,8,4,3,7)$ | $-\zeta_{8}^{3} - \zeta_{8}$ |
| $2$ | $8$ | $(1,4,6,7,8,5,3,2)$ | $\zeta_{8}^{3} + \zeta_{8}$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
