Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in $\Q_{ 113 }$ to precision 11.
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 2 + 28\cdot 113 + 49\cdot 113^{2} + 25\cdot 113^{3} + 98\cdot 113^{4} + 62\cdot 113^{5} + 10\cdot 113^{6} + 13\cdot 113^{7} + 49\cdot 113^{8} + 102\cdot 113^{9} + 18\cdot 113^{10} +O\left(113^{ 11 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 27 + 45\cdot 113 + 101\cdot 113^{2} + 81\cdot 113^{3} + 92\cdot 113^{4} + 37\cdot 113^{5} + 54\cdot 113^{6} + 92\cdot 113^{7} + 45\cdot 113^{8} + 55\cdot 113^{9} + 11\cdot 113^{10} +O\left(113^{ 11 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 30 + 111\cdot 113 + 73\cdot 113^{2} + 17\cdot 113^{3} + 105\cdot 113^{4} + 73\cdot 113^{5} + 24\cdot 113^{6} + 22\cdot 113^{7} + 61\cdot 113^{8} + 50\cdot 113^{9} + 84\cdot 113^{10} +O\left(113^{ 11 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 47 + 46\cdot 113 + 74\cdot 113^{2} + 22\cdot 113^{3} + 35\cdot 113^{4} + 10\cdot 113^{5} + 58\cdot 113^{6} + 32\cdot 113^{7} + 80\cdot 113^{8} + 33\cdot 113^{9} + 48\cdot 113^{10} +O\left(113^{ 11 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 66 + 66\cdot 113 + 38\cdot 113^{2} + 90\cdot 113^{3} + 77\cdot 113^{4} + 102\cdot 113^{5} + 54\cdot 113^{6} + 80\cdot 113^{7} + 32\cdot 113^{8} + 79\cdot 113^{9} + 64\cdot 113^{10} +O\left(113^{ 11 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 83 + 113 + 39\cdot 113^{2} + 95\cdot 113^{3} + 7\cdot 113^{4} + 39\cdot 113^{5} + 88\cdot 113^{6} + 90\cdot 113^{7} + 51\cdot 113^{8} + 62\cdot 113^{9} + 28\cdot 113^{10} +O\left(113^{ 11 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 86 + 67\cdot 113 + 11\cdot 113^{2} + 31\cdot 113^{3} + 20\cdot 113^{4} + 75\cdot 113^{5} + 58\cdot 113^{6} + 20\cdot 113^{7} + 67\cdot 113^{8} + 57\cdot 113^{9} + 101\cdot 113^{10} +O\left(113^{ 11 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 111 + 84\cdot 113 + 63\cdot 113^{2} + 87\cdot 113^{3} + 14\cdot 113^{4} + 50\cdot 113^{5} + 102\cdot 113^{6} + 99\cdot 113^{7} + 63\cdot 113^{8} + 10\cdot 113^{9} + 94\cdot 113^{10} +O\left(113^{ 11 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Cycle notation |
| $(1,8)(2,7)(3,6)(4,5)$ |
| $(1,4,8,5)(2,6,7,3)$ |
| $(1,3,8,6)(2,4,7,5)$ |
| $(1,3)(4,5)(6,8)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $2$ |
| $1$ | $2$ | $(1,8)(2,7)(3,6)(4,5)$ | $-2$ |
| $4$ | $2$ | $(1,3)(4,5)(6,8)$ | $0$ |
| $2$ | $4$ | $(1,3,8,6)(2,4,7,5)$ | $0$ |
| $4$ | $4$ | $(1,4,8,5)(2,6,7,3)$ | $0$ |
| $2$ | $8$ | $(1,5,3,2,8,4,6,7)$ | $-\zeta_{8}^{3} - \zeta_{8}$ |
| $2$ | $8$ | $(1,4,3,7,8,5,6,2)$ | $\zeta_{8}^{3} + \zeta_{8}$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
