Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in $\Q_{ 71 }$ to precision 14.
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 14 + 65\cdot 71 + 64\cdot 71^{2} + 4\cdot 71^{3} + 10\cdot 71^{4} + 11\cdot 71^{5} + 62\cdot 71^{6} + 12\cdot 71^{7} + 64\cdot 71^{8} + 2\cdot 71^{9} + 3\cdot 71^{10} + 63\cdot 71^{11} + 33\cdot 71^{12} + 8\cdot 71^{13} +O\left(71^{ 14 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 15 + 57\cdot 71 + 52\cdot 71^{2} + 42\cdot 71^{3} + 25\cdot 71^{4} + 64\cdot 71^{5} + 46\cdot 71^{6} + 65\cdot 71^{7} + 29\cdot 71^{8} + 49\cdot 71^{9} + 57\cdot 71^{10} + 17\cdot 71^{11} + 23\cdot 71^{12} + 14\cdot 71^{13} +O\left(71^{ 14 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 22 + 49\cdot 71 + 25\cdot 71^{2} + 55\cdot 71^{3} + 16\cdot 71^{4} + 52\cdot 71^{5} + 33\cdot 71^{6} + 67\cdot 71^{7} + 8\cdot 71^{8} + 57\cdot 71^{9} + 61\cdot 71^{10} + 64\cdot 71^{11} + 31\cdot 71^{12} + 3\cdot 71^{13} +O\left(71^{ 14 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 31 + 43\cdot 71 + 67\cdot 71^{2} + 30\cdot 71^{3} + 70\cdot 71^{4} + 26\cdot 71^{5} + 46\cdot 71^{6} + 39\cdot 71^{7} + 25\cdot 71^{8} + 66\cdot 71^{9} + 24\cdot 71^{10} + 47\cdot 71^{11} + 42\cdot 71^{12} + 56\cdot 71^{13} +O\left(71^{ 14 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 40 + 27\cdot 71 + 3\cdot 71^{2} + 40\cdot 71^{3} + 44\cdot 71^{5} + 24\cdot 71^{6} + 31\cdot 71^{7} + 45\cdot 71^{8} + 4\cdot 71^{9} + 46\cdot 71^{10} + 23\cdot 71^{11} + 28\cdot 71^{12} + 14\cdot 71^{13} +O\left(71^{ 14 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 49 + 21\cdot 71 + 45\cdot 71^{2} + 15\cdot 71^{3} + 54\cdot 71^{4} + 18\cdot 71^{5} + 37\cdot 71^{6} + 3\cdot 71^{7} + 62\cdot 71^{8} + 13\cdot 71^{9} + 9\cdot 71^{10} + 6\cdot 71^{11} + 39\cdot 71^{12} + 67\cdot 71^{13} +O\left(71^{ 14 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 56 + 13\cdot 71 + 18\cdot 71^{2} + 28\cdot 71^{3} + 45\cdot 71^{4} + 6\cdot 71^{5} + 24\cdot 71^{6} + 5\cdot 71^{7} + 41\cdot 71^{8} + 21\cdot 71^{9} + 13\cdot 71^{10} + 53\cdot 71^{11} + 47\cdot 71^{12} + 56\cdot 71^{13} +O\left(71^{ 14 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 57 + 5\cdot 71 + 6\cdot 71^{2} + 66\cdot 71^{3} + 60\cdot 71^{4} + 59\cdot 71^{5} + 8\cdot 71^{6} + 58\cdot 71^{7} + 6\cdot 71^{8} + 68\cdot 71^{9} + 67\cdot 71^{10} + 7\cdot 71^{11} + 37\cdot 71^{12} + 62\cdot 71^{13} +O\left(71^{ 14 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Cycle notation |
| $(1,5)(3,6)(4,8)$ |
| $(1,8)(2,7)(3,6)(4,5)$ |
| $(1,4,8,5)(2,6,7,3)$ |
| $(1,3,5,7,8,6,4,2)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $2$ |
| $1$ | $2$ | $(1,8)(2,7)(3,6)(4,5)$ | $-2$ |
| $4$ | $2$ | $(1,5)(3,6)(4,8)$ | $0$ |
| $2$ | $4$ | $(1,5,8,4)(2,3,7,6)$ | $0$ |
| $4$ | $4$ | $(1,6,8,3)(2,5,7,4)$ | $0$ |
| $2$ | $8$ | $(1,3,5,7,8,6,4,2)$ | $\zeta_{8}^{3} + \zeta_{8}$ |
| $2$ | $8$ | $(1,6,5,2,8,3,4,7)$ | $-\zeta_{8}^{3} - \zeta_{8}$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
