Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in $\Q_{ 43 }$ to precision 11.
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 1 + 22\cdot 43 + 9\cdot 43^{2} + 13\cdot 43^{3} + 7\cdot 43^{4} + 9\cdot 43^{5} + 33\cdot 43^{6} + 35\cdot 43^{7} + 24\cdot 43^{8} + 30\cdot 43^{9} + 7\cdot 43^{10} +O\left(43^{ 11 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 2 + 27\cdot 43 + 2\cdot 43^{2} + 42\cdot 43^{3} + 32\cdot 43^{4} + 26\cdot 43^{5} + 15\cdot 43^{6} + 4\cdot 43^{7} + 15\cdot 43^{8} + 6\cdot 43^{9} + 5\cdot 43^{10} +O\left(43^{ 11 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 5 + 37\cdot 43 + 10\cdot 43^{2} + 2\cdot 43^{3} + 41\cdot 43^{4} + 30\cdot 43^{5} + 27\cdot 43^{6} + 24\cdot 43^{7} + 2\cdot 43^{8} + 3\cdot 43^{9} + 3\cdot 43^{10} +O\left(43^{ 11 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 21 + 15\cdot 43 + 36\cdot 43^{2} + 19\cdot 43^{3} + 38\cdot 43^{4} + 11\cdot 43^{5} + 14\cdot 43^{6} + 18\cdot 43^{7} + 36\cdot 43^{8} + 28\cdot 43^{9} + 41\cdot 43^{10} +O\left(43^{ 11 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 22 + 27\cdot 43 + 6\cdot 43^{2} + 23\cdot 43^{3} + 4\cdot 43^{4} + 31\cdot 43^{5} + 28\cdot 43^{6} + 24\cdot 43^{7} + 6\cdot 43^{8} + 14\cdot 43^{9} + 43^{10} +O\left(43^{ 11 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 38 + 5\cdot 43 + 32\cdot 43^{2} + 40\cdot 43^{3} + 43^{4} + 12\cdot 43^{5} + 15\cdot 43^{6} + 18\cdot 43^{7} + 40\cdot 43^{8} + 39\cdot 43^{9} + 39\cdot 43^{10} +O\left(43^{ 11 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 41 + 15\cdot 43 + 40\cdot 43^{2} + 10\cdot 43^{4} + 16\cdot 43^{5} + 27\cdot 43^{6} + 38\cdot 43^{7} + 27\cdot 43^{8} + 36\cdot 43^{9} + 37\cdot 43^{10} +O\left(43^{ 11 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 42 + 20\cdot 43 + 33\cdot 43^{2} + 29\cdot 43^{3} + 35\cdot 43^{4} + 33\cdot 43^{5} + 9\cdot 43^{6} + 7\cdot 43^{7} + 18\cdot 43^{8} + 12\cdot 43^{9} + 35\cdot 43^{10} +O\left(43^{ 11 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Cycle notation |
| $(1,8)(2,7)(3,6)(4,5)$ |
| $(1,2,8,7)(3,5,6,4)$ |
| $(1,6,8,3)(2,5,7,4)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Character values |
| | |
$c1$ |
| $1$ |
$1$ |
$()$ |
$2$ |
| $1$ |
$2$ |
$(1,8)(2,7)(3,6)(4,5)$ |
$-2$ |
| $2$ |
$4$ |
$(1,2,8,7)(3,5,6,4)$ |
$0$ |
| $2$ |
$4$ |
$(1,6,8,3)(2,5,7,4)$ |
$0$ |
| $2$ |
$4$ |
$(1,5,8,4)(2,3,7,6)$ |
$0$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
