Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in $\Q_{ 23 }$ to precision 15.
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 2 + 10\cdot 23 + 5\cdot 23^{2} + 18\cdot 23^{5} + 10\cdot 23^{6} + 15\cdot 23^{7} + 4\cdot 23^{8} + 2\cdot 23^{9} + 15\cdot 23^{10} + 3\cdot 23^{11} + 10\cdot 23^{12} + 21\cdot 23^{13} +O\left(23^{ 15 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 6 + 19\cdot 23 + 14\cdot 23^{2} + 22\cdot 23^{3} + 18\cdot 23^{4} + 2\cdot 23^{6} + 23^{7} + 23^{8} + 20\cdot 23^{10} + 4\cdot 23^{11} + 15\cdot 23^{12} + 10\cdot 23^{13} + 19\cdot 23^{14} +O\left(23^{ 15 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 10 + 18\cdot 23 + 22\cdot 23^{2} + 5\cdot 23^{3} + 14\cdot 23^{4} + 5\cdot 23^{5} + 4\cdot 23^{6} + 10\cdot 23^{7} + 11\cdot 23^{8} + 6\cdot 23^{9} + 7\cdot 23^{10} + 15\cdot 23^{11} + 19\cdot 23^{12} + 6\cdot 23^{13} + 11\cdot 23^{14} +O\left(23^{ 15 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 11 + 22\cdot 23 + 14\cdot 23^{2} + 18\cdot 23^{3} + 19\cdot 23^{4} + 19\cdot 23^{5} + 21\cdot 23^{6} + 19\cdot 23^{7} + 17\cdot 23^{8} + 14\cdot 23^{9} + 9\cdot 23^{10} + 18\cdot 23^{11} + 15\cdot 23^{12} + 7\cdot 23^{13} + 5\cdot 23^{14} +O\left(23^{ 15 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 12 + 8\cdot 23^{2} + 4\cdot 23^{3} + 3\cdot 23^{4} + 3\cdot 23^{5} + 23^{6} + 3\cdot 23^{7} + 5\cdot 23^{8} + 8\cdot 23^{9} + 13\cdot 23^{10} + 4\cdot 23^{11} + 7\cdot 23^{12} + 15\cdot 23^{13} + 17\cdot 23^{14} +O\left(23^{ 15 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 13 + 4\cdot 23 + 17\cdot 23^{3} + 8\cdot 23^{4} + 17\cdot 23^{5} + 18\cdot 23^{6} + 12\cdot 23^{7} + 11\cdot 23^{8} + 16\cdot 23^{9} + 15\cdot 23^{10} + 7\cdot 23^{11} + 3\cdot 23^{12} + 16\cdot 23^{13} + 11\cdot 23^{14} +O\left(23^{ 15 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 17 + 3\cdot 23 + 8\cdot 23^{2} + 4\cdot 23^{4} + 22\cdot 23^{5} + 20\cdot 23^{6} + 21\cdot 23^{7} + 21\cdot 23^{8} + 22\cdot 23^{9} + 2\cdot 23^{10} + 18\cdot 23^{11} + 7\cdot 23^{12} + 12\cdot 23^{13} + 3\cdot 23^{14} +O\left(23^{ 15 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 21 + 12\cdot 23 + 17\cdot 23^{2} + 22\cdot 23^{3} + 22\cdot 23^{4} + 4\cdot 23^{5} + 12\cdot 23^{6} + 7\cdot 23^{7} + 18\cdot 23^{8} + 20\cdot 23^{9} + 7\cdot 23^{10} + 19\cdot 23^{11} + 12\cdot 23^{12} + 23^{13} + 22\cdot 23^{14} +O\left(23^{ 15 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Cycle notation |
| $(1,8)(2,7)(3,6)(4,5)$ |
| $(1,4,8,5)(2,6,7,3)$ |
| $(1,2,8,7)(3,5,6,4)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Character values |
| | |
$c1$ |
| $1$ |
$1$ |
$()$ |
$2$ |
| $1$ |
$2$ |
$(1,8)(2,7)(3,6)(4,5)$ |
$-2$ |
| $2$ |
$4$ |
$(1,2,8,7)(3,5,6,4)$ |
$0$ |
| $2$ |
$4$ |
$(1,4,8,5)(2,6,7,3)$ |
$0$ |
| $2$ |
$4$ |
$(1,6,8,3)(2,5,7,4)$ |
$0$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
