Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in $\Q_{ 43 }$ to precision 13.
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 5 + 29\cdot 43 + 2\cdot 43^{2} + 5\cdot 43^{3} + 34\cdot 43^{4} + 20\cdot 43^{5} + 26\cdot 43^{6} + 31\cdot 43^{7} + 39\cdot 43^{8} + 4\cdot 43^{9} + 24\cdot 43^{10} + 2\cdot 43^{11} + 18\cdot 43^{12} +O\left(43^{ 13 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 11 + 3\cdot 43 + 43^{2} + 39\cdot 43^{3} + 21\cdot 43^{4} + 28\cdot 43^{5} + 43^{6} + 10\cdot 43^{7} + 14\cdot 43^{8} + 3\cdot 43^{9} + 17\cdot 43^{10} + 24\cdot 43^{11} + 3\cdot 43^{12} +O\left(43^{ 13 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 12 + 14\cdot 43 + 24\cdot 43^{2} + 30\cdot 43^{3} + 6\cdot 43^{4} + 17\cdot 43^{5} + 18\cdot 43^{6} + 25\cdot 43^{7} + 32\cdot 43^{8} + 6\cdot 43^{9} + 10\cdot 43^{10} + 27\cdot 43^{11} + 35\cdot 43^{12} +O\left(43^{ 13 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 20 + 36\cdot 43 + 28\cdot 43^{3} + 43^{4} + 19\cdot 43^{5} + 8\cdot 43^{6} + 11\cdot 43^{7} + 9\cdot 43^{8} + 18\cdot 43^{9} + 35\cdot 43^{10} + 12\cdot 43^{11} + 21\cdot 43^{12} +O\left(43^{ 13 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 23 + 6\cdot 43 + 42\cdot 43^{2} + 14\cdot 43^{3} + 41\cdot 43^{4} + 23\cdot 43^{5} + 34\cdot 43^{6} + 31\cdot 43^{7} + 33\cdot 43^{8} + 24\cdot 43^{9} + 7\cdot 43^{10} + 30\cdot 43^{11} + 21\cdot 43^{12} +O\left(43^{ 13 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 31 + 28\cdot 43 + 18\cdot 43^{2} + 12\cdot 43^{3} + 36\cdot 43^{4} + 25\cdot 43^{5} + 24\cdot 43^{6} + 17\cdot 43^{7} + 10\cdot 43^{8} + 36\cdot 43^{9} + 32\cdot 43^{10} + 15\cdot 43^{11} + 7\cdot 43^{12} +O\left(43^{ 13 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 32 + 39\cdot 43 + 41\cdot 43^{2} + 3\cdot 43^{3} + 21\cdot 43^{4} + 14\cdot 43^{5} + 41\cdot 43^{6} + 32\cdot 43^{7} + 28\cdot 43^{8} + 39\cdot 43^{9} + 25\cdot 43^{10} + 18\cdot 43^{11} + 39\cdot 43^{12} +O\left(43^{ 13 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 38 + 13\cdot 43 + 40\cdot 43^{2} + 37\cdot 43^{3} + 8\cdot 43^{4} + 22\cdot 43^{5} + 16\cdot 43^{6} + 11\cdot 43^{7} + 3\cdot 43^{8} + 38\cdot 43^{9} + 18\cdot 43^{10} + 40\cdot 43^{11} + 24\cdot 43^{12} +O\left(43^{ 13 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Cycle notation |
| $(1,8)(2,7)(3,6)(4,5)$ |
| $(1,4,8,5)(2,3,7,6)$ |
| $(1,2,8,7)(3,4,6,5)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $2$ |
| $1$ | $2$ | $(1,8)(2,7)(3,6)(4,5)$ | $-2$ |
| $2$ | $4$ | $(1,4,8,5)(2,3,7,6)$ | $0$ |
| $2$ | $4$ | $(1,2,8,7)(3,4,6,5)$ | $0$ |
| $2$ | $4$ | $(1,6,8,3)(2,4,7,5)$ | $0$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
