Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in $\Q_{ 61 }$ to precision 16.
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 9 + 10\cdot 61 + 28\cdot 61^{2} + 60\cdot 61^{3} + 24\cdot 61^{4} + 40\cdot 61^{5} + 56\cdot 61^{6} + 36\cdot 61^{7} + 6\cdot 61^{8} + 56\cdot 61^{9} + 53\cdot 61^{10} + 43\cdot 61^{11} + 57\cdot 61^{12} + 43\cdot 61^{13} + 46\cdot 61^{14} + 45\cdot 61^{15} +O\left(61^{ 16 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 15 + 2\cdot 61 + 19\cdot 61^{2} + 37\cdot 61^{3} + 15\cdot 61^{4} + 7\cdot 61^{5} + 21\cdot 61^{6} + 25\cdot 61^{7} + 58\cdot 61^{8} + 48\cdot 61^{9} + 8\cdot 61^{10} + 56\cdot 61^{11} + 42\cdot 61^{12} + 47\cdot 61^{13} + 29\cdot 61^{14} + 40\cdot 61^{15} +O\left(61^{ 16 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 18 + 54\cdot 61 + 36\cdot 61^{2} + 28\cdot 61^{3} + 20\cdot 61^{4} + 38\cdot 61^{5} + 8\cdot 61^{6} + 32\cdot 61^{7} + 59\cdot 61^{8} + 48\cdot 61^{9} + 15\cdot 61^{10} + 7\cdot 61^{11} + 10\cdot 61^{12} + 33\cdot 61^{13} + 49\cdot 61^{14} + 41\cdot 61^{15} +O\left(61^{ 16 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 23 + 33\cdot 61 + 9\cdot 61^{2} + 13\cdot 61^{3} + 56\cdot 61^{4} + 52\cdot 61^{5} + 13\cdot 61^{6} + 10\cdot 61^{7} + 61^{8} + 61^{9} + 18\cdot 61^{10} + 61^{11} + 40\cdot 61^{12} + 53\cdot 61^{13} + 20\cdot 61^{14} + 53\cdot 61^{15} +O\left(61^{ 16 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 38 + 27\cdot 61 + 51\cdot 61^{2} + 47\cdot 61^{3} + 4\cdot 61^{4} + 8\cdot 61^{5} + 47\cdot 61^{6} + 50\cdot 61^{7} + 59\cdot 61^{8} + 59\cdot 61^{9} + 42\cdot 61^{10} + 59\cdot 61^{11} + 20\cdot 61^{12} + 7\cdot 61^{13} + 40\cdot 61^{14} + 7\cdot 61^{15} +O\left(61^{ 16 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 43 + 6\cdot 61 + 24\cdot 61^{2} + 32\cdot 61^{3} + 40\cdot 61^{4} + 22\cdot 61^{5} + 52\cdot 61^{6} + 28\cdot 61^{7} + 61^{8} + 12\cdot 61^{9} + 45\cdot 61^{10} + 53\cdot 61^{11} + 50\cdot 61^{12} + 27\cdot 61^{13} + 11\cdot 61^{14} + 19\cdot 61^{15} +O\left(61^{ 16 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 46 + 58\cdot 61 + 41\cdot 61^{2} + 23\cdot 61^{3} + 45\cdot 61^{4} + 53\cdot 61^{5} + 39\cdot 61^{6} + 35\cdot 61^{7} + 2\cdot 61^{8} + 12\cdot 61^{9} + 52\cdot 61^{10} + 4\cdot 61^{11} + 18\cdot 61^{12} + 13\cdot 61^{13} + 31\cdot 61^{14} + 20\cdot 61^{15} +O\left(61^{ 16 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 52 + 50\cdot 61 + 32\cdot 61^{2} + 36\cdot 61^{4} + 20\cdot 61^{5} + 4\cdot 61^{6} + 24\cdot 61^{7} + 54\cdot 61^{8} + 4\cdot 61^{9} + 7\cdot 61^{10} + 17\cdot 61^{11} + 3\cdot 61^{12} + 17\cdot 61^{13} + 14\cdot 61^{14} + 15\cdot 61^{15} +O\left(61^{ 16 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Cycle notation |
| $(1,5)(3,6)(4,8)$ |
| $(1,8)(2,7)(3,6)(4,5)$ |
| $(1,3,5,7,8,6,4,2)$ |
| $(1,5,8,4)(2,3,7,6)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Character values |
| | |
$c1$ |
$c2$ |
| $1$ |
$1$ |
$()$ |
$2$ |
$2$ |
| $1$ |
$2$ |
$(1,8)(2,7)(3,6)(4,5)$ |
$-2$ |
$-2$ |
| $4$ |
$2$ |
$(1,5)(3,6)(4,8)$ |
$0$ |
$0$ |
| $2$ |
$4$ |
$(1,5,8,4)(2,3,7,6)$ |
$0$ |
$0$ |
| $4$ |
$4$ |
$(1,6,8,3)(2,5,7,4)$ |
$0$ |
$0$ |
| $2$ |
$8$ |
$(1,3,5,7,8,6,4,2)$ |
$-\zeta_{8}^{3} - \zeta_{8}$ |
$\zeta_{8}^{3} + \zeta_{8}$ |
| $2$ |
$8$ |
$(1,6,5,2,8,3,4,7)$ |
$\zeta_{8}^{3} + \zeta_{8}$ |
$-\zeta_{8}^{3} - \zeta_{8}$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
