Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in $\Q_{ 19 }$ to precision 14.
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 1 + 6\cdot 19 + 14\cdot 19^{2} + 19^{3} + 12\cdot 19^{4} + 13\cdot 19^{5} + 18\cdot 19^{6} + 9\cdot 19^{8} + 8\cdot 19^{9} + 12\cdot 19^{10} + 5\cdot 19^{11} + 8\cdot 19^{13} +O\left(19^{ 14 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 4 + 7\cdot 19 + 3\cdot 19^{2} + 15\cdot 19^{3} + 19^{4} + 10\cdot 19^{5} + 13\cdot 19^{6} + 17\cdot 19^{7} + 10\cdot 19^{8} + 11\cdot 19^{9} + 10\cdot 19^{10} + 10\cdot 19^{11} + 3\cdot 19^{12} + 12\cdot 19^{13} +O\left(19^{ 14 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 6 + 12\cdot 19 + 19^{2} + 18\cdot 19^{3} + 13\cdot 19^{4} + 13\cdot 19^{5} + 4\cdot 19^{6} + 10\cdot 19^{7} + 2\cdot 19^{9} + 15\cdot 19^{10} + 11\cdot 19^{11} + 17\cdot 19^{12} + 14\cdot 19^{13} +O\left(19^{ 14 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 8 + 2\cdot 19 + 2\cdot 19^{2} + 3\cdot 19^{3} + 5\cdot 19^{4} + 10\cdot 19^{5} + 9\cdot 19^{7} + 17\cdot 19^{8} + 12\cdot 19^{9} + 9\cdot 19^{11} + 3\cdot 19^{12} + 3\cdot 19^{13} +O\left(19^{ 14 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 11 + 16\cdot 19 + 16\cdot 19^{2} + 15\cdot 19^{3} + 13\cdot 19^{4} + 8\cdot 19^{5} + 18\cdot 19^{6} + 9\cdot 19^{7} + 19^{8} + 6\cdot 19^{9} + 18\cdot 19^{10} + 9\cdot 19^{11} + 15\cdot 19^{12} + 15\cdot 19^{13} +O\left(19^{ 14 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 13 + 6\cdot 19 + 17\cdot 19^{2} + 5\cdot 19^{4} + 5\cdot 19^{5} + 14\cdot 19^{6} + 8\cdot 19^{7} + 18\cdot 19^{8} + 16\cdot 19^{9} + 3\cdot 19^{10} + 7\cdot 19^{11} + 19^{12} + 4\cdot 19^{13} +O\left(19^{ 14 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 15 + 11\cdot 19 + 15\cdot 19^{2} + 3\cdot 19^{3} + 17\cdot 19^{4} + 8\cdot 19^{5} + 5\cdot 19^{6} + 19^{7} + 8\cdot 19^{8} + 7\cdot 19^{9} + 8\cdot 19^{10} + 8\cdot 19^{11} + 15\cdot 19^{12} + 6\cdot 19^{13} +O\left(19^{ 14 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 18 + 12\cdot 19 + 4\cdot 19^{2} + 17\cdot 19^{3} + 6\cdot 19^{4} + 5\cdot 19^{5} + 18\cdot 19^{7} + 9\cdot 19^{8} + 10\cdot 19^{9} + 6\cdot 19^{10} + 13\cdot 19^{11} + 18\cdot 19^{12} + 10\cdot 19^{13} +O\left(19^{ 14 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Cycle notation |
| $(1,8)(2,7)(3,6)(4,5)$ |
| $(1,4,8,5)(2,6,7,3)$ |
| $(1,6,8,3)(2,5,7,4)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $2$ |
| $1$ | $2$ | $(1,8)(2,7)(3,6)(4,5)$ | $-2$ |
| $2$ | $4$ | $(1,6,8,3)(2,5,7,4)$ | $0$ |
| $2$ | $4$ | $(1,4,8,5)(2,6,7,3)$ | $0$ |
| $2$ | $4$ | $(1,7,8,2)(3,4,6,5)$ | $0$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
