Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in $\Q_{ 47 }$ to precision 12.
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 3 + 43\cdot 47 + 29\cdot 47^{2} + 8\cdot 47^{3} + 3\cdot 47^{4} + 8\cdot 47^{5} + 44\cdot 47^{6} + 17\cdot 47^{7} + 5\cdot 47^{9} + 26\cdot 47^{10} + 18\cdot 47^{11} +O\left(47^{ 12 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 18 + 6\cdot 47 + 34\cdot 47^{2} + 17\cdot 47^{3} + 32\cdot 47^{4} + 43\cdot 47^{5} + 23\cdot 47^{6} + 33\cdot 47^{7} + 31\cdot 47^{8} + 17\cdot 47^{9} + 22\cdot 47^{10} + 26\cdot 47^{11} +O\left(47^{ 12 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 19 + 23\cdot 47 + 21\cdot 47^{2} + 33\cdot 47^{3} + 16\cdot 47^{5} + 36\cdot 47^{6} + 36\cdot 47^{7} + 32\cdot 47^{8} + 13\cdot 47^{9} + 43\cdot 47^{10} + 34\cdot 47^{11} +O\left(47^{ 12 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 20 + 47 + 5\cdot 47^{2} + 23\cdot 47^{3} + 11\cdot 47^{4} + 6\cdot 47^{5} + 14\cdot 47^{6} + 18\cdot 47^{7} + 23\cdot 47^{8} + 7\cdot 47^{9} + 22\cdot 47^{10} + 2\cdot 47^{11} +O\left(47^{ 12 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 27 + 45\cdot 47 + 41\cdot 47^{2} + 23\cdot 47^{3} + 35\cdot 47^{4} + 40\cdot 47^{5} + 32\cdot 47^{6} + 28\cdot 47^{7} + 23\cdot 47^{8} + 39\cdot 47^{9} + 24\cdot 47^{10} + 44\cdot 47^{11} +O\left(47^{ 12 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 28 + 23\cdot 47 + 25\cdot 47^{2} + 13\cdot 47^{3} + 46\cdot 47^{4} + 30\cdot 47^{5} + 10\cdot 47^{6} + 10\cdot 47^{7} + 14\cdot 47^{8} + 33\cdot 47^{9} + 3\cdot 47^{10} + 12\cdot 47^{11} +O\left(47^{ 12 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 29 + 40\cdot 47 + 12\cdot 47^{2} + 29\cdot 47^{3} + 14\cdot 47^{4} + 3\cdot 47^{5} + 23\cdot 47^{6} + 13\cdot 47^{7} + 15\cdot 47^{8} + 29\cdot 47^{9} + 24\cdot 47^{10} + 20\cdot 47^{11} +O\left(47^{ 12 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 44 + 3\cdot 47 + 17\cdot 47^{2} + 38\cdot 47^{3} + 43\cdot 47^{4} + 38\cdot 47^{5} + 2\cdot 47^{6} + 29\cdot 47^{7} + 46\cdot 47^{8} + 41\cdot 47^{9} + 20\cdot 47^{10} + 28\cdot 47^{11} +O\left(47^{ 12 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Cycle notation |
| $(1,8)(2,7)(3,6)(4,5)$ |
| $(1,7,8,2)(3,4,6,5)$ |
| $(1,5,8,4)(2,3,7,6)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Character values |
| | |
$c1$ |
| $1$ |
$1$ |
$()$ |
$2$ |
| $1$ |
$2$ |
$(1,8)(2,7)(3,6)(4,5)$ |
$-2$ |
| $2$ |
$4$ |
$(1,5,8,4)(2,3,7,6)$ |
$0$ |
| $2$ |
$4$ |
$(1,7,8,2)(3,4,6,5)$ |
$0$ |
| $2$ |
$4$ |
$(1,3,8,6)(2,4,7,5)$ |
$0$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
