Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in $\Q_{ 73 }$ to precision 14.
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 1 + 33\cdot 73 + 19\cdot 73^{2} + 12\cdot 73^{3} + 58\cdot 73^{4} + 15\cdot 73^{5} + 40\cdot 73^{6} + 38\cdot 73^{7} + 22\cdot 73^{8} + 26\cdot 73^{9} + 42\cdot 73^{10} + 33\cdot 73^{11} + 73^{12} + 59\cdot 73^{13} +O\left(73^{ 14 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 25 + 34\cdot 73 + 63\cdot 73^{2} + 41\cdot 73^{3} + 64\cdot 73^{4} + 25\cdot 73^{5} + 39\cdot 73^{6} + 3\cdot 73^{7} + 15\cdot 73^{8} + 35\cdot 73^{9} + 62\cdot 73^{10} + 39\cdot 73^{11} + 38\cdot 73^{12} + 69\cdot 73^{13} +O\left(73^{ 14 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 28 + 56\cdot 73 + 26\cdot 73^{2} + 46\cdot 73^{3} + 12\cdot 73^{4} + 61\cdot 73^{5} + 12\cdot 73^{6} + 73^{7} + 4\cdot 73^{8} + 8\cdot 73^{9} + 28\cdot 73^{10} + 29\cdot 73^{11} + 73^{12} + 59\cdot 73^{13} +O\left(73^{ 14 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 33 + 28\cdot 73 + 14\cdot 73^{2} + 46\cdot 73^{3} + 22\cdot 73^{5} + 13\cdot 73^{6} + 48\cdot 73^{7} + 30\cdot 73^{8} + 5\cdot 73^{9} + 44\cdot 73^{10} + 30\cdot 73^{11} + 60\cdot 73^{12} + 30\cdot 73^{13} +O\left(73^{ 14 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 40 + 44\cdot 73 + 58\cdot 73^{2} + 26\cdot 73^{3} + 72\cdot 73^{4} + 50\cdot 73^{5} + 59\cdot 73^{6} + 24\cdot 73^{7} + 42\cdot 73^{8} + 67\cdot 73^{9} + 28\cdot 73^{10} + 42\cdot 73^{11} + 12\cdot 73^{12} + 42\cdot 73^{13} +O\left(73^{ 14 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 45 + 16\cdot 73 + 46\cdot 73^{2} + 26\cdot 73^{3} + 60\cdot 73^{4} + 11\cdot 73^{5} + 60\cdot 73^{6} + 71\cdot 73^{7} + 68\cdot 73^{8} + 64\cdot 73^{9} + 44\cdot 73^{10} + 43\cdot 73^{11} + 71\cdot 73^{12} + 13\cdot 73^{13} +O\left(73^{ 14 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 48 + 38\cdot 73 + 9\cdot 73^{2} + 31\cdot 73^{3} + 8\cdot 73^{4} + 47\cdot 73^{5} + 33\cdot 73^{6} + 69\cdot 73^{7} + 57\cdot 73^{8} + 37\cdot 73^{9} + 10\cdot 73^{10} + 33\cdot 73^{11} + 34\cdot 73^{12} + 3\cdot 73^{13} +O\left(73^{ 14 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 72 + 39\cdot 73 + 53\cdot 73^{2} + 60\cdot 73^{3} + 14\cdot 73^{4} + 57\cdot 73^{5} + 32\cdot 73^{6} + 34\cdot 73^{7} + 50\cdot 73^{8} + 46\cdot 73^{9} + 30\cdot 73^{10} + 39\cdot 73^{11} + 71\cdot 73^{12} + 13\cdot 73^{13} +O\left(73^{ 14 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Cycle notation |
| $(1,8)(2,7)(3,6)(4,5)$ |
| $(1,3,8,6)(2,4,7,5)$ |
| $(1,2,8,7)(3,5,6,4)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $2$ |
| $1$ | $2$ | $(1,8)(2,7)(3,6)(4,5)$ | $-2$ |
| $2$ | $4$ | $(1,2,8,7)(3,5,6,4)$ | $0$ |
| $2$ | $4$ | $(1,3,8,6)(2,4,7,5)$ | $0$ |
| $2$ | $4$ | $(1,4,8,5)(2,6,7,3)$ | $0$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
