Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in $\Q_{ 47 }$ to precision 15.
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 4 + 23\cdot 47 + 27\cdot 47^{2} + 21\cdot 47^{3} + 13\cdot 47^{4} + 13\cdot 47^{5} + 24\cdot 47^{6} + 20\cdot 47^{7} + 37\cdot 47^{8} + 15\cdot 47^{9} + 20\cdot 47^{10} + 2\cdot 47^{11} + 15\cdot 47^{12} + 24\cdot 47^{13} +O\left(47^{ 15 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 10 + 9\cdot 47 + 46\cdot 47^{3} + 27\cdot 47^{4} + 33\cdot 47^{5} + 8\cdot 47^{6} + 17\cdot 47^{7} + 17\cdot 47^{8} + 21\cdot 47^{9} + 35\cdot 47^{10} + 42\cdot 47^{11} + 26\cdot 47^{12} + 29\cdot 47^{13} + 37\cdot 47^{14} +O\left(47^{ 15 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 13 + 14\cdot 47 + 6\cdot 47^{2} + 2\cdot 47^{3} + 12\cdot 47^{4} + 26\cdot 47^{5} + 33\cdot 47^{6} + 45\cdot 47^{7} + 21\cdot 47^{8} + 37\cdot 47^{9} + 29\cdot 47^{10} + 6\cdot 47^{11} + 19\cdot 47^{12} + 26\cdot 47^{13} + 26\cdot 47^{14} +O\left(47^{ 15 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 15 + 10\cdot 47 + 35\cdot 47^{2} + 31\cdot 47^{3} + 17\cdot 47^{4} + 10\cdot 47^{5} + 9\cdot 47^{6} + 6\cdot 47^{7} + 32\cdot 47^{8} + 40\cdot 47^{9} + 8\cdot 47^{10} + 39\cdot 47^{11} + 5\cdot 47^{12} + 4\cdot 47^{13} + 37\cdot 47^{14} +O\left(47^{ 15 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 32 + 36\cdot 47 + 11\cdot 47^{2} + 15\cdot 47^{3} + 29\cdot 47^{4} + 36\cdot 47^{5} + 37\cdot 47^{6} + 40\cdot 47^{7} + 14\cdot 47^{8} + 6\cdot 47^{9} + 38\cdot 47^{10} + 7\cdot 47^{11} + 41\cdot 47^{12} + 42\cdot 47^{13} + 9\cdot 47^{14} +O\left(47^{ 15 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 34 + 32\cdot 47 + 40\cdot 47^{2} + 44\cdot 47^{3} + 34\cdot 47^{4} + 20\cdot 47^{5} + 13\cdot 47^{6} + 47^{7} + 25\cdot 47^{8} + 9\cdot 47^{9} + 17\cdot 47^{10} + 40\cdot 47^{11} + 27\cdot 47^{12} + 20\cdot 47^{13} + 20\cdot 47^{14} +O\left(47^{ 15 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 37 + 37\cdot 47 + 46\cdot 47^{2} + 19\cdot 47^{4} + 13\cdot 47^{5} + 38\cdot 47^{6} + 29\cdot 47^{7} + 29\cdot 47^{8} + 25\cdot 47^{9} + 11\cdot 47^{10} + 4\cdot 47^{11} + 20\cdot 47^{12} + 17\cdot 47^{13} + 9\cdot 47^{14} +O\left(47^{ 15 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 43 + 23\cdot 47 + 19\cdot 47^{2} + 25\cdot 47^{3} + 33\cdot 47^{4} + 33\cdot 47^{5} + 22\cdot 47^{6} + 26\cdot 47^{7} + 9\cdot 47^{8} + 31\cdot 47^{9} + 26\cdot 47^{10} + 44\cdot 47^{11} + 31\cdot 47^{12} + 22\cdot 47^{13} + 46\cdot 47^{14} +O\left(47^{ 15 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Cycle notation |
| $(1,8)(2,7)(3,6)(4,5)$ |
| $(1,4,8,5)(2,6,7,3)$ |
| $(1,7,8,2)(3,4,6,5)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Character values |
| | |
$c1$ |
| $1$ |
$1$ |
$()$ |
$2$ |
| $1$ |
$2$ |
$(1,8)(2,7)(3,6)(4,5)$ |
$-2$ |
| $2$ |
$4$ |
$(1,4,8,5)(2,6,7,3)$ |
$0$ |
| $2$ |
$4$ |
$(1,7,8,2)(3,4,6,5)$ |
$0$ |
| $2$ |
$4$ |
$(1,6,8,3)(2,5,7,4)$ |
$0$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
