Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in $\Q_{ 47 }$ to precision 13.
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 1 + 2\cdot 47 + 25\cdot 47^{2} + 6\cdot 47^{3} + 3\cdot 47^{4} + 40\cdot 47^{5} + 46\cdot 47^{6} + 43\cdot 47^{7} + 39\cdot 47^{8} + 44\cdot 47^{9} + 18\cdot 47^{10} + 25\cdot 47^{11} + 16\cdot 47^{12} +O\left(47^{ 13 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 6 + 22\cdot 47 + 25\cdot 47^{2} + 8\cdot 47^{3} + 45\cdot 47^{4} + 6\cdot 47^{5} + 37\cdot 47^{6} + 19\cdot 47^{7} + 5\cdot 47^{8} + 3\cdot 47^{9} + 46\cdot 47^{11} + 46\cdot 47^{12} +O\left(47^{ 13 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 9 + 45\cdot 47 + 35\cdot 47^{2} + 41\cdot 47^{3} + 30\cdot 47^{4} + 27\cdot 47^{5} + 21\cdot 47^{6} + 5\cdot 47^{7} + 47^{8} + 29\cdot 47^{9} + 40\cdot 47^{10} + 23\cdot 47^{11} + 47^{12} +O\left(47^{ 13 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 22 + 18\cdot 47 + 47^{2} + 17\cdot 47^{3} + 47^{4} + 26\cdot 47^{5} + 9\cdot 47^{6} + 32\cdot 47^{7} + 9\cdot 47^{8} + 17\cdot 47^{9} + 17\cdot 47^{10} + 33\cdot 47^{11} + 45\cdot 47^{12} +O\left(47^{ 13 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 25 + 28\cdot 47 + 45\cdot 47^{2} + 29\cdot 47^{3} + 45\cdot 47^{4} + 20\cdot 47^{5} + 37\cdot 47^{6} + 14\cdot 47^{7} + 37\cdot 47^{8} + 29\cdot 47^{9} + 29\cdot 47^{10} + 13\cdot 47^{11} + 47^{12} +O\left(47^{ 13 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 38 + 47 + 11\cdot 47^{2} + 5\cdot 47^{3} + 16\cdot 47^{4} + 19\cdot 47^{5} + 25\cdot 47^{6} + 41\cdot 47^{7} + 45\cdot 47^{8} + 17\cdot 47^{9} + 6\cdot 47^{10} + 23\cdot 47^{11} + 45\cdot 47^{12} +O\left(47^{ 13 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 41 + 24\cdot 47 + 21\cdot 47^{2} + 38\cdot 47^{3} + 47^{4} + 40\cdot 47^{5} + 9\cdot 47^{6} + 27\cdot 47^{7} + 41\cdot 47^{8} + 43\cdot 47^{9} + 46\cdot 47^{10} +O\left(47^{ 13 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 46 + 44\cdot 47 + 21\cdot 47^{2} + 40\cdot 47^{3} + 43\cdot 47^{4} + 6\cdot 47^{5} + 3\cdot 47^{7} + 7\cdot 47^{8} + 2\cdot 47^{9} + 28\cdot 47^{10} + 21\cdot 47^{11} + 30\cdot 47^{12} +O\left(47^{ 13 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Cycle notation |
| $(1,8)(2,7)(3,6)(4,5)$ |
| $(1,4,8,5)(2,6,7,3)$ |
| $(1,2,8,7)(3,5,6,4)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $2$ |
| $1$ | $2$ | $(1,8)(2,7)(3,6)(4,5)$ | $-2$ |
| $2$ | $4$ | $(1,2,8,7)(3,5,6,4)$ | $0$ |
| $2$ | $4$ | $(1,4,8,5)(2,6,7,3)$ | $0$ |
| $2$ | $4$ | $(1,6,8,3)(2,5,7,4)$ | $0$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
