Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in $\Q_{ 13 }$ to precision 16.
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 2 + 3\cdot 13 + 6\cdot 13^{2} + 4\cdot 13^{3} + 11\cdot 13^{4} + 10\cdot 13^{5} + 13^{6} + 3\cdot 13^{7} + 5\cdot 13^{8} + 7\cdot 13^{9} + 10\cdot 13^{10} + 2\cdot 13^{11} + 5\cdot 13^{12} + 13^{13} + 5\cdot 13^{14} + 12\cdot 13^{15} +O\left(13^{ 16 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 3 + 3\cdot 13^{2} + 8\cdot 13^{3} + 8\cdot 13^{4} + 13^{5} + 6\cdot 13^{6} + 11\cdot 13^{7} + 11\cdot 13^{8} + 6\cdot 13^{9} + 3\cdot 13^{10} + 6\cdot 13^{11} + 12\cdot 13^{12} + 10\cdot 13^{13} + 2\cdot 13^{14} + 5\cdot 13^{15} +O\left(13^{ 16 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 4 + 3\cdot 13 + 10\cdot 13^{2} + 13^{3} + 7\cdot 13^{4} + 6\cdot 13^{5} + 8\cdot 13^{6} + 10\cdot 13^{7} + 9\cdot 13^{8} + 4\cdot 13^{9} + 8\cdot 13^{10} + 6\cdot 13^{11} + 3\cdot 13^{12} + 13^{13} + 13^{14} + 2\cdot 13^{15} +O\left(13^{ 16 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 6 + 2\cdot 13 + 6\cdot 13^{2} + 13^{3} + 3\cdot 13^{4} + 10\cdot 13^{5} + 13^{6} + 3\cdot 13^{7} + 12\cdot 13^{8} + 5\cdot 13^{9} + 7\cdot 13^{10} + 8\cdot 13^{11} + 9\cdot 13^{12} + 7\cdot 13^{13} + 2\cdot 13^{14} +O\left(13^{ 16 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 7 + 10\cdot 13 + 6\cdot 13^{2} + 11\cdot 13^{3} + 9\cdot 13^{4} + 2\cdot 13^{5} + 11\cdot 13^{6} + 9\cdot 13^{7} + 7\cdot 13^{9} + 5\cdot 13^{10} + 4\cdot 13^{11} + 3\cdot 13^{12} + 5\cdot 13^{13} + 10\cdot 13^{14} + 12\cdot 13^{15} +O\left(13^{ 16 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 9 + 9\cdot 13 + 2\cdot 13^{2} + 11\cdot 13^{3} + 5\cdot 13^{4} + 6\cdot 13^{5} + 4\cdot 13^{6} + 2\cdot 13^{7} + 3\cdot 13^{8} + 8\cdot 13^{9} + 4\cdot 13^{10} + 6\cdot 13^{11} + 9\cdot 13^{12} + 11\cdot 13^{13} + 11\cdot 13^{14} + 10\cdot 13^{15} +O\left(13^{ 16 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 10 + 12\cdot 13 + 9\cdot 13^{2} + 4\cdot 13^{3} + 4\cdot 13^{4} + 11\cdot 13^{5} + 6\cdot 13^{6} + 13^{7} + 13^{8} + 6\cdot 13^{9} + 9\cdot 13^{10} + 6\cdot 13^{11} + 2\cdot 13^{13} + 10\cdot 13^{14} + 7\cdot 13^{15} +O\left(13^{ 16 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 11 + 9\cdot 13 + 6\cdot 13^{2} + 8\cdot 13^{3} + 13^{4} + 2\cdot 13^{5} + 11\cdot 13^{6} + 9\cdot 13^{7} + 7\cdot 13^{8} + 5\cdot 13^{9} + 2\cdot 13^{10} + 10\cdot 13^{11} + 7\cdot 13^{12} + 11\cdot 13^{13} + 7\cdot 13^{14} +O\left(13^{ 16 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Cycle notation |
| $(1,8)(2,7)(3,6)(4,5)$ |
| $(2,7)(3,4)(5,6)$ |
| $(1,2,8,7)(3,4,6,5)$ |
| $(1,6,2,5,8,3,7,4)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $2$ |
| $1$ | $2$ | $(1,8)(2,7)(3,6)(4,5)$ | $-2$ |
| $4$ | $2$ | $(2,7)(3,4)(5,6)$ | $0$ |
| $2$ | $4$ | $(1,2,8,7)(3,4,6,5)$ | $0$ |
| $4$ | $4$ | $(1,5,8,4)(2,6,7,3)$ | $0$ |
| $2$ | $8$ | $(1,6,2,5,8,3,7,4)$ | $\zeta_{8}^{3} + \zeta_{8}$ |
| $2$ | $8$ | $(1,3,2,4,8,6,7,5)$ | $-\zeta_{8}^{3} - \zeta_{8}$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
