Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in $\Q_{ 47 }$ to precision 9.
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 1 + 20\cdot 47 + 35\cdot 47^{2} + 41\cdot 47^{3} + 9\cdot 47^{4} + 42\cdot 47^{5} + 25\cdot 47^{6} + 13\cdot 47^{7} + 32\cdot 47^{8} +O\left(47^{ 9 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 8 + 29\cdot 47 + 9\cdot 47^{2} + 6\cdot 47^{3} + 14\cdot 47^{4} + 5\cdot 47^{5} + 15\cdot 47^{6} + 37\cdot 47^{7} + 42\cdot 47^{8} +O\left(47^{ 9 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 12 + 36\cdot 47 + 10\cdot 47^{2} + 29\cdot 47^{3} + 33\cdot 47^{4} + 26\cdot 47^{5} + 20\cdot 47^{6} + 7\cdot 47^{7} + 5\cdot 47^{8} +O\left(47^{ 9 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 22 + 38\cdot 47 + 43\cdot 47^{2} + 35\cdot 47^{3} + 22\cdot 47^{4} + 17\cdot 47^{5} + 5\cdot 47^{6} + 44\cdot 47^{7} + 32\cdot 47^{8} +O\left(47^{ 9 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 25 + 8\cdot 47 + 3\cdot 47^{2} + 11\cdot 47^{3} + 24\cdot 47^{4} + 29\cdot 47^{5} + 41\cdot 47^{6} + 2\cdot 47^{7} + 14\cdot 47^{8} +O\left(47^{ 9 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 35 + 10\cdot 47 + 36\cdot 47^{2} + 17\cdot 47^{3} + 13\cdot 47^{4} + 20\cdot 47^{5} + 26\cdot 47^{6} + 39\cdot 47^{7} + 41\cdot 47^{8} +O\left(47^{ 9 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 39 + 17\cdot 47 + 37\cdot 47^{2} + 40\cdot 47^{3} + 32\cdot 47^{4} + 41\cdot 47^{5} + 31\cdot 47^{6} + 9\cdot 47^{7} + 4\cdot 47^{8} +O\left(47^{ 9 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 46 + 26\cdot 47 + 11\cdot 47^{2} + 5\cdot 47^{3} + 37\cdot 47^{4} + 4\cdot 47^{5} + 21\cdot 47^{6} + 33\cdot 47^{7} + 14\cdot 47^{8} +O\left(47^{ 9 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Cycle notation |
| $(1,8)(2,7)(3,6)(4,5)$ |
| $(1,2,8,7)(3,5,6,4)$ |
| $(1,6,8,3)(2,5,7,4)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $2$ |
| $1$ | $2$ | $(1,8)(2,7)(3,6)(4,5)$ | $-2$ |
| $2$ | $4$ | $(1,2,8,7)(3,5,6,4)$ | $0$ |
| $2$ | $4$ | $(1,6,8,3)(2,5,7,4)$ | $0$ |
| $2$ | $4$ | $(1,5,8,4)(2,3,7,6)$ | $0$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
