Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in $\Q_{ 31 }$ to precision 17.
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 2 + 22\cdot 31 + 8\cdot 31^{2} + 6\cdot 31^{3} + 12\cdot 31^{4} + 18\cdot 31^{5} + 11\cdot 31^{6} + 14\cdot 31^{7} + 8\cdot 31^{9} + 18\cdot 31^{10} + 10\cdot 31^{12} + 6\cdot 31^{13} + 5\cdot 31^{14} + 22\cdot 31^{15} + 19\cdot 31^{16} +O\left(31^{ 17 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 7 + 26\cdot 31 + 3\cdot 31^{2} + 4\cdot 31^{3} + 21\cdot 31^{4} + 31^{5} + 25\cdot 31^{6} + 12\cdot 31^{7} + 31^{8} + 13\cdot 31^{9} + 13\cdot 31^{10} + 24\cdot 31^{11} + 22\cdot 31^{12} + 24\cdot 31^{13} + 16\cdot 31^{14} + 17\cdot 31^{15} + 18\cdot 31^{16} +O\left(31^{ 17 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 11 + 29\cdot 31 + 7\cdot 31^{2} + 15\cdot 31^{3} + 22\cdot 31^{4} + 30\cdot 31^{5} + 23\cdot 31^{6} + 20\cdot 31^{7} + 30\cdot 31^{8} + 30\cdot 31^{9} + 19\cdot 31^{10} + 23\cdot 31^{11} + 7\cdot 31^{13} + 17\cdot 31^{14} + 20\cdot 31^{15} + 28\cdot 31^{16} +O\left(31^{ 17 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 15 + 18\cdot 31 + 2\cdot 31^{2} + 25\cdot 31^{3} + 11\cdot 31^{4} + 27\cdot 31^{5} + 2\cdot 31^{6} + 14\cdot 31^{7} + 27\cdot 31^{8} + 8\cdot 31^{9} + 2\cdot 31^{10} + 5\cdot 31^{11} + 4\cdot 31^{12} + 26\cdot 31^{13} + 2\cdot 31^{14} + 17\cdot 31^{15} + 27\cdot 31^{16} +O\left(31^{ 17 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 16 + 12\cdot 31 + 28\cdot 31^{2} + 5\cdot 31^{3} + 19\cdot 31^{4} + 3\cdot 31^{5} + 28\cdot 31^{6} + 16\cdot 31^{7} + 3\cdot 31^{8} + 22\cdot 31^{9} + 28\cdot 31^{10} + 25\cdot 31^{11} + 26\cdot 31^{12} + 4\cdot 31^{13} + 28\cdot 31^{14} + 13\cdot 31^{15} + 3\cdot 31^{16} +O\left(31^{ 17 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 20 + 31 + 23\cdot 31^{2} + 15\cdot 31^{3} + 8\cdot 31^{4} + 7\cdot 31^{6} + 10\cdot 31^{7} + 11\cdot 31^{10} + 7\cdot 31^{11} + 30\cdot 31^{12} + 23\cdot 31^{13} + 13\cdot 31^{14} + 10\cdot 31^{15} + 2\cdot 31^{16} +O\left(31^{ 17 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 24 + 4\cdot 31 + 27\cdot 31^{2} + 26\cdot 31^{3} + 9\cdot 31^{4} + 29\cdot 31^{5} + 5\cdot 31^{6} + 18\cdot 31^{7} + 29\cdot 31^{8} + 17\cdot 31^{9} + 17\cdot 31^{10} + 6\cdot 31^{11} + 8\cdot 31^{12} + 6\cdot 31^{13} + 14\cdot 31^{14} + 13\cdot 31^{15} + 12\cdot 31^{16} +O\left(31^{ 17 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 29 + 8\cdot 31 + 22\cdot 31^{2} + 24\cdot 31^{3} + 18\cdot 31^{4} + 12\cdot 31^{5} + 19\cdot 31^{6} + 16\cdot 31^{7} + 30\cdot 31^{8} + 22\cdot 31^{9} + 12\cdot 31^{10} + 30\cdot 31^{11} + 20\cdot 31^{12} + 24\cdot 31^{13} + 25\cdot 31^{14} + 8\cdot 31^{15} + 11\cdot 31^{16} +O\left(31^{ 17 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Cycle notation |
| $(1,8)(2,7)(3,6)(4,5)$ |
| $(1,2,8,7)(3,5,6,4)$ |
| $(1,5,2,6,8,4,7,3)$ |
| $(1,6,8,3)(2,5,7,4)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $2$ |
| $1$ | $2$ | $(1,8)(2,7)(3,6)(4,5)$ | $-2$ |
| $4$ | $2$ | $(1,2)(4,5)(7,8)$ | $0$ |
| $2$ | $4$ | $(1,2,8,7)(3,5,6,4)$ | $0$ |
| $4$ | $4$ | $(1,3,8,6)(2,4,7,5)$ | $0$ |
| $2$ | $8$ | $(1,5,2,6,8,4,7,3)$ | $-\zeta_{8}^{3} - \zeta_{8}$ |
| $2$ | $8$ | $(1,4,2,3,8,5,7,6)$ | $\zeta_{8}^{3} + \zeta_{8}$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
