Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in $\Q_{ 47 }$ to precision 12.
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 10 + 11\cdot 47 + 8\cdot 47^{2} + 41\cdot 47^{3} + 15\cdot 47^{4} + 9\cdot 47^{5} + 19\cdot 47^{6} + 41\cdot 47^{7} + 6\cdot 47^{8} + 2\cdot 47^{9} + 18\cdot 47^{10} + 41\cdot 47^{11} +O\left(47^{ 12 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 11 + 20\cdot 47 + 6\cdot 47^{2} + 19\cdot 47^{3} + 10\cdot 47^{4} + 45\cdot 47^{5} + 22\cdot 47^{6} + 25\cdot 47^{7} + 6\cdot 47^{8} + 2\cdot 47^{9} + 26\cdot 47^{10} + 3\cdot 47^{11} +O\left(47^{ 12 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 14 + 45\cdot 47 + 2\cdot 47^{2} + 13\cdot 47^{3} + 44\cdot 47^{4} + 43\cdot 47^{5} + 12\cdot 47^{6} + 34\cdot 47^{7} + 26\cdot 47^{8} + 5\cdot 47^{9} + 8\cdot 47^{10} + 44\cdot 47^{11} +O\left(47^{ 12 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 19 + 43\cdot 47 + 8\cdot 47^{2} + 9\cdot 47^{3} + 37\cdot 47^{4} + 6\cdot 47^{5} + 44\cdot 47^{6} + 2\cdot 47^{7} + 29\cdot 47^{8} + 21\cdot 47^{9} + 15\cdot 47^{10} + 11\cdot 47^{11} +O\left(47^{ 12 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 28 + 3\cdot 47 + 38\cdot 47^{2} + 37\cdot 47^{3} + 9\cdot 47^{4} + 40\cdot 47^{5} + 2\cdot 47^{6} + 44\cdot 47^{7} + 17\cdot 47^{8} + 25\cdot 47^{9} + 31\cdot 47^{10} + 35\cdot 47^{11} +O\left(47^{ 12 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 33 + 47 + 44\cdot 47^{2} + 33\cdot 47^{3} + 2\cdot 47^{4} + 3\cdot 47^{5} + 34\cdot 47^{6} + 12\cdot 47^{7} + 20\cdot 47^{8} + 41\cdot 47^{9} + 38\cdot 47^{10} + 2\cdot 47^{11} +O\left(47^{ 12 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 36 + 26\cdot 47 + 40\cdot 47^{2} + 27\cdot 47^{3} + 36\cdot 47^{4} + 47^{5} + 24\cdot 47^{6} + 21\cdot 47^{7} + 40\cdot 47^{8} + 44\cdot 47^{9} + 20\cdot 47^{10} + 43\cdot 47^{11} +O\left(47^{ 12 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 37 + 35\cdot 47 + 38\cdot 47^{2} + 5\cdot 47^{3} + 31\cdot 47^{4} + 37\cdot 47^{5} + 27\cdot 47^{6} + 5\cdot 47^{7} + 40\cdot 47^{8} + 44\cdot 47^{9} + 28\cdot 47^{10} + 5\cdot 47^{11} +O\left(47^{ 12 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Cycle notation |
| $(1,8)(2,7)(3,6)(4,5)$ |
| $(1,7,8,2)(3,5,6,4)$ |
| $(1,5,8,4)(2,6,7,3)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Character values |
| | |
$c1$ |
| $1$ |
$1$ |
$()$ |
$2$ |
| $1$ |
$2$ |
$(1,8)(2,7)(3,6)(4,5)$ |
$-2$ |
| $2$ |
$4$ |
$(1,5,8,4)(2,6,7,3)$ |
$0$ |
| $2$ |
$4$ |
$(1,7,8,2)(3,5,6,4)$ |
$0$ |
| $2$ |
$4$ |
$(1,6,8,3)(2,4,7,5)$ |
$0$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
