Basic invariants
| Dimension: | $2$ |
| Group: | $S_3 \times C_4$ |
| Conductor: | $2816= 2^{8} \cdot 11 $ |
| Artin number field: | Splitting field of $f= x^{12} - 12 x^{8} + 20 x^{6} + 4 x^{4} - 8 x^{2} + 2 $ over $\Q$ |
| Size of Galois orbit: | 2 |
| Smallest containing permutation representation: | $S_3 \times C_4$ |
| Parity: | Odd |
| Determinant: | 1.2e3_11.2t1.2c1 |
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 13 }$ to precision 11.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 13 }$: $ x^{4} + 3 x^{2} + 12 x + 2 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ | $=$ | $ a^{3} + 5 a^{2} + 6 a + 10 + \left(9 a^{3} + 11 a^{2} + a + 7\right)\cdot 13 + \left(5 a^{3} + 11 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 13^{2} + \left(10 a^{2} + 11 a\right)\cdot 13^{3} + \left(11 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 13^{4} + \left(6 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 13^{5} + \left(12 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 13^{6} + \left(10 a^{2} + 4\right)\cdot 13^{7} + \left(3 a^{3} + 4 a^{2} + a + 2\right)\cdot 13^{8} + \left(4 a^{3} + 12 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 13^{9} + \left(8 a^{3} + 5 a + 4\right)\cdot 13^{10} +O\left(13^{ 11 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ | $=$ | $ 2 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 6 + \left(7 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 13 + \left(6 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 13^{2} + \left(11 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 13^{3} + \left(7 a^{3} + 10 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 13^{4} + \left(2 a^{3} + 6 a^{2} + a + 7\right)\cdot 13^{5} + \left(12 a^{3} + 7 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{6} + \left(9 a^{3} + a^{2} + 6 a\right)\cdot 13^{7} + \left(2 a^{3} + 3 a + 12\right)\cdot 13^{8} + \left(6 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 13^{9} + \left(10 a^{3} + 12 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 13^{10} +O\left(13^{ 11 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ | $=$ | $ 3 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a + 3 + \left(6 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 13 + \left(12 a^{3} + 12 a^{2} + a + 1\right)\cdot 13^{2} + \left(3 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 13^{3} + \left(6 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 13^{4} + \left(2 a^{3} + 6 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 13^{5} + \left(12 a^{3} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{6} + \left(11 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 13^{7} + \left(8 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 13^{8} + \left(8 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 13^{9} + \left(a^{3} + 5 a^{2} + 3\right)\cdot 13^{10} +O\left(13^{ 11 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ | $=$ | $ 4 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + \left(12 a^{3} + 10 a^{2} + a + 9\right)\cdot 13 + \left(10 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 13^{2} + \left(5 a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 13^{3} + \left(5 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 13^{4} + \left(9 a^{3} + a^{2} + 8\right)\cdot 13^{5} + \left(9 a^{3} + 6 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 13^{6} + \left(4 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{7} + \left(10 a^{3} + a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 13^{8} + \left(2 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 13^{9} + \left(3 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 13^{10} +O\left(13^{ 11 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ | $=$ | $ 10 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 6 + \left(a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 13 + \left(9 a^{3} + 11 a^{2} + a + 1\right)\cdot 13^{2} + \left(7 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 13^{3} + \left(5 a^{2} + 2 a\right)\cdot 13^{4} + \left(8 a^{2} + 10 a\right)\cdot 13^{5} + \left(2 a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 13^{6} + \left(7 a^{3} + 12 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 13^{7} + \left(7 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{8} + \left(7 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 13^{9} + \left(3 a^{3} + a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 13^{10} +O\left(13^{ 11 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ | $=$ | $ 8 a^{2} + 4 a + 12 + \left(3 a^{3} + 8 a^{2} + a\right)\cdot 13 + \left(2 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 13^{2} + \left(9 a^{3} + 9 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 13^{3} + \left(2 a^{3} + 9 a + 5\right)\cdot 13^{4} + \left(3 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 13^{5} + \left(10 a^{3} + a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 13^{6} + \left(11 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 13^{7} + \left(10 a^{3} + a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 13^{8} + \left(2 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 13^{9} + \left(8 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 13^{10} +O\left(13^{ 11 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ | $=$ | $ 12 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 3 + \left(3 a^{3} + a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 13 + \left(7 a^{3} + a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 13^{2} + \left(12 a^{3} + 2 a^{2} + a + 12\right)\cdot 13^{3} + \left(a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 13^{4} + \left(6 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 13^{5} + \left(9 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 13^{6} + \left(12 a^{3} + 2 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 13^{7} + \left(9 a^{3} + 8 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{8} + \left(8 a^{3} + 5 a + 1\right)\cdot 13^{9} + \left(4 a^{3} + 12 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 13^{10} +O\left(13^{ 11 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ | $=$ | $ 11 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 7 + \left(5 a^{3} + 9 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 13 + \left(6 a^{3} + 7 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 13^{2} + \left(a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 13^{3} + \left(5 a^{3} + 2 a^{2} + a + 4\right)\cdot 13^{4} + \left(10 a^{3} + 6 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 13^{5} + \left(5 a^{2} + a + 2\right)\cdot 13^{6} + \left(3 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 13^{7} + \left(10 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a\right)\cdot 13^{8} + \left(6 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 13^{9} + \left(2 a^{3} + a + 10\right)\cdot 13^{10} +O\left(13^{ 11 }\right)$ |
| $r_{ 9 }$ | $=$ | $ 10 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 10 + \left(6 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 13 + \left(11 a + 11\right)\cdot 13^{2} + \left(9 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{3} + \left(6 a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 13^{4} + \left(10 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{5} + \left(12 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 13^{6} + \left(12 a^{3} + a^{2} + a + 7\right)\cdot 13^{7} + \left(4 a^{3} + a^{2} + 2 a\right)\cdot 13^{8} + \left(4 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{9} + \left(11 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 13^{10} +O\left(13^{ 11 }\right)$ |
| $r_{ 10 }$ | $=$ | $ 9 a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + \left(2 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 13 + \left(2 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 13^{2} + \left(7 a^{3} + 6 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 13^{3} + \left(7 a^{3} + 9 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 13^{4} + \left(3 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 13^{5} + \left(3 a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 13^{6} + \left(8 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 13^{7} + \left(2 a^{3} + 11 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 13^{8} + \left(10 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 13^{9} + \left(9 a^{3} + 7 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 13^{10} +O\left(13^{ 11 }\right)$ |
| $r_{ 11 }$ | $=$ | $ 3 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 7 + \left(11 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 13 + \left(3 a^{3} + a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 13^{2} + \left(5 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 13^{3} + \left(12 a^{3} + 7 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 13^{4} + \left(12 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{5} + \left(10 a^{3} + 6 a^{2} + 10\right)\cdot 13^{6} + \left(5 a^{3} + 7\right)\cdot 13^{7} + \left(12 a^{3} + 5 a^{2} + a + 2\right)\cdot 13^{8} + \left(5 a^{3} + a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 13^{9} + \left(9 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 13^{10} +O\left(13^{ 11 }\right)$ |
| $r_{ 12 }$ | $=$ | $ 5 a^{2} + 9 a + 1 + \left(10 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 13 + \left(10 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 13^{2} + \left(3 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a\right)\cdot 13^{3} + \left(10 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 13^{4} + \left(9 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 13^{5} + \left(2 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 13^{6} + \left(a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 13^{7} + \left(2 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 13^{8} + \left(10 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 13^{9} + \left(4 a^{3} + 9 a + 11\right)\cdot 13^{10} +O\left(13^{ 11 }\right)$ |
Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 12 }$
| Cycle notation |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on $r_1, \ldots, r_{ 12 }$ | Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $2$ |
| $1$ | $2$ | $(1,7)(2,8)(3,9)(4,10)(5,11)(6,12)$ | $-2$ |
| $3$ | $2$ | $(2,5)(4,12)(6,10)(8,11)$ | $0$ |
| $3$ | $2$ | $(1,6)(2,9)(3,8)(4,10)(5,11)(7,12)$ | $0$ |
| $2$ | $3$ | $(1,4,12)(2,3,5)(6,7,10)(8,9,11)$ | $-1$ |
| $1$ | $4$ | $(1,3,7,9)(2,6,8,12)(4,5,10,11)$ | $-2 \zeta_{4}$ |
| $1$ | $4$ | $(1,9,7,3)(2,12,8,6)(4,11,10,5)$ | $2 \zeta_{4}$ |
| $3$ | $4$ | $(1,11,7,5)(2,12,8,6)(3,4,9,10)$ | $0$ |
| $3$ | $4$ | $(1,5,7,11)(2,6,8,12)(3,10,9,4)$ | $0$ |
| $2$ | $6$ | $(1,6,4,7,12,10)(2,11,3,8,5,9)$ | $1$ |
| $2$ | $12$ | $(1,11,6,3,4,8,7,5,12,9,10,2)$ | $-\zeta_{4}$ |
| $2$ | $12$ | $(1,5,6,9,4,2,7,11,12,3,10,8)$ | $\zeta_{4}$ |