Basic invariants
| Dimension: | $2$ |
| Group: | $S_3 \times C_4$ |
| Conductor: | $2816= 2^{8} \cdot 11 $ |
| Artin number field: | Splitting field of $f= x^{12} - 12 x^{8} - 20 x^{6} + 4 x^{4} + 8 x^{2} + 2 $ over $\Q$ |
| Size of Galois orbit: | 2 |
| Smallest containing permutation representation: | $S_3 \times C_4$ |
| Parity: | Odd |
| Determinant: | 1.2e3_11.2t1.2c1 |
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 13 }$ to precision 11.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 13 }$: $ x^{4} + 3 x^{2} + 12 x + 2 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ | $=$ | $ 11 a^{3} + 6 a^{2} + 9 a + 4 + \left(6 a^{3} + 11 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 13 + \left(12 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 13^{2} + \left(7 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 13^{3} + \left(9 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 13^{4} + \left(4 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 13^{5} + \left(10 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 13^{6} + \left(a^{3} + 9 a^{2} + 11\right)\cdot 13^{7} + \left(10 a^{3} + 12 a + 7\right)\cdot 13^{8} + \left(7 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a\right)\cdot 13^{9} + \left(11 a^{3} + 8 a^{2} + a + 7\right)\cdot 13^{10} +O\left(13^{ 11 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ | $=$ | $ a^{2} + 7 a + 8 + \left(2 a^{3} + 5 a^{2} + 12\right)\cdot 13 + \left(9 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 13^{2} + \left(8 a^{3} + 8 a + 1\right)\cdot 13^{3} + \left(9 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{4} + \left(a^{3} + 9 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 13^{5} + \left(5 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 13^{6} + \left(4 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a\right)\cdot 13^{7} + \left(3 a^{3} + 5 a + 5\right)\cdot 13^{8} + \left(5 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 13^{9} + \left(6 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 13^{10} +O\left(13^{ 11 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ | $=$ | $ 8 a^{3} + a^{2} + 9 a + 2 + \left(a^{3} + 9 a^{2} + a + 2\right)\cdot 13 + \left(3 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 13^{2} + \left(12 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a\right)\cdot 13^{3} + \left(9 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 13^{4} + \left(2 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 13^{5} + \left(12 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 13^{6} + \left(2 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a\right)\cdot 13^{7} + \left(7 a^{3} + 5 a + 1\right)\cdot 13^{8} + \left(11 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 13^{9} + \left(12 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 13^{10} +O\left(13^{ 11 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ | $=$ | $ 3 a^{3} + a^{2} + 11 a + 9 + \left(6 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 13 + \left(7 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 13^{2} + \left(6 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 13^{3} + \left(3 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 13^{4} + \left(7 a^{3} + 6 a^{2} + 10\right)\cdot 13^{5} + \left(3 a^{3} + 12 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 13^{6} + \left(10 a^{3} + 10 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 13^{7} + \left(9 a + 8\right)\cdot 13^{8} + \left(a^{3} + 7 a^{2} + 6 a\right)\cdot 13^{9} + \left(12 a^{3} + 7 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 13^{10} +O\left(13^{ 11 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ | $=$ | $ 11 a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 11 + \left(5 a^{3} + 10 a\right)\cdot 13 + \left(7 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 13^{2} + \left(2 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 13^{3} + \left(12 a^{3} + 3 a^{2} + a + 4\right)\cdot 13^{4} + \left(9 a^{3} + a + 5\right)\cdot 13^{5} + \left(5 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 13^{6} + \left(12 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 13^{7} + \left(5 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 13^{8} + \left(6 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 13^{9} + \left(8 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 13^{10} +O\left(13^{ 11 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ | $=$ | $ 6 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + \left(9 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 13 + \left(9 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a\right)\cdot 13^{2} + \left(7 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a\right)\cdot 13^{3} + \left(3 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{4} + \left(7 a^{3} + 11 a\right)\cdot 13^{5} + \left(12 a^{3} + 10 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 13^{6} + \left(3 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 13^{7} + \left(12 a^{3} + 9 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 13^{8} + \left(12 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 13^{9} + \left(2 a^{3} + 7 a^{2} + 6\right)\cdot 13^{10} +O\left(13^{ 11 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ | $=$ | $ 2 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 9 + \left(6 a^{3} + a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 13 + \left(7 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 13^{2} + \left(5 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 13^{3} + \left(3 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 13^{4} + \left(8 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 13^{5} + \left(2 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 13^{6} + \left(11 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 13^{7} + \left(2 a^{3} + 12 a^{2} + 5\right)\cdot 13^{8} + \left(5 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 13^{9} + \left(a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 13^{10} +O\left(13^{ 11 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ | $=$ | $ 12 a^{2} + 6 a + 5 + \left(11 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a\right)\cdot 13 + \left(12 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 13^{2} + \left(4 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 13^{3} + \left(3 a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 13^{4} + \left(11 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 13^{5} + \left(7 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 13^{6} + \left(8 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 13^{7} + \left(9 a^{3} + 12 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 13^{8} + \left(7 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{9} + \left(6 a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 13^{10} +O\left(13^{ 11 }\right)$ |
| $r_{ 9 }$ | $=$ | $ 5 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 11 + \left(11 a^{3} + 3 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13 + \left(9 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 13^{2} + \left(8 a^{2} + a + 12\right)\cdot 13^{3} + \left(3 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 13^{4} + \left(10 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{5} + \left(6 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 13^{6} + \left(10 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 13^{7} + \left(5 a^{3} + 12 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 13^{8} + \left(a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 13^{9} + \left(8 a^{2} + a + 1\right)\cdot 13^{10} +O\left(13^{ 11 }\right)$ |
| $r_{ 10 }$ | $=$ | $ 10 a^{3} + 12 a^{2} + 2 a + 4 + \left(6 a^{3} + 2 a^{2} + 7 a\right)\cdot 13 + \left(5 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 13^{2} + \left(6 a^{3} + a^{2} + 8\right)\cdot 13^{3} + \left(9 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 13^{4} + \left(5 a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 13^{5} + \left(9 a^{3} + 5 a + 1\right)\cdot 13^{6} + \left(2 a^{3} + 2 a^{2} + a + 8\right)\cdot 13^{7} + \left(12 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 13^{8} + \left(11 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 13^{9} + \left(5 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 13^{10} +O\left(13^{ 11 }\right)$ |
| $r_{ 11 }$ | $=$ | $ 2 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 2 + \left(7 a^{3} + 12 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13 + \left(5 a^{3} + 10 a^{2} + a + 7\right)\cdot 13^{2} + \left(10 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 13^{3} + \left(9 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 13^{4} + \left(3 a^{3} + 12 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 13^{5} + \left(7 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 13^{6} + \left(8 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 13^{7} + \left(7 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 13^{8} + \left(6 a^{3} + 6 a + 1\right)\cdot 13^{9} + \left(4 a^{3} + a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 13^{10} +O\left(13^{ 11 }\right)$ |
| $r_{ 12 }$ | $=$ | $ 7 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + \left(3 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 13 + \left(3 a^{3} + a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 13^{2} + \left(5 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 13^{3} + \left(9 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a\right)\cdot 13^{4} + \left(5 a^{3} + 12 a^{2} + a + 12\right)\cdot 13^{5} + \left(2 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 13^{6} + \left(9 a^{3} + 9 a^{2} + 4\right)\cdot 13^{7} + \left(3 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 13^{8} + \left(2 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 13^{9} + \left(10 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 13^{10} +O\left(13^{ 11 }\right)$ |
Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 12 }$
| Cycle notation |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on $r_1, \ldots, r_{ 12 }$ | Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $2$ |
| $1$ | $2$ | $(1,7)(2,8)(3,9)(4,10)(5,11)(6,12)$ | $-2$ |
| $3$ | $2$ | $(1,7)(2,9)(3,8)(4,11)(5,10)(6,12)$ | $0$ |
| $3$ | $2$ | $(2,3)(4,5)(8,9)(10,11)$ | $0$ |
| $2$ | $3$ | $(1,11,10)(2,6,3)(4,7,5)(8,12,9)$ | $-1$ |
| $1$ | $4$ | $(1,12,7,6)(2,10,8,4)(3,11,9,5)$ | $-2 \zeta_{4}$ |
| $1$ | $4$ | $(1,6,7,12)(2,4,8,10)(3,5,9,11)$ | $2 \zeta_{4}$ |
| $3$ | $4$ | $(1,9,7,3)(2,10,8,4)(5,6,11,12)$ | $0$ |
| $3$ | $4$ | $(1,3,7,9)(2,4,8,10)(5,12,11,6)$ | $0$ |
| $2$ | $6$ | $(1,4,11,7,10,5)(2,9,6,8,3,12)$ | $1$ |
| $2$ | $12$ | $(1,3,4,12,11,2,7,9,10,6,5,8)$ | $-\zeta_{4}$ |
| $2$ | $12$ | $(1,9,4,6,11,8,7,3,10,12,5,2)$ | $\zeta_{4}$ |