Basic invariants
| Dimension: | $2$ |
| Group: | $S_3 \times C_6$ |
| Conductor: | $2240= 2^{6} \cdot 5 \cdot 7 $ |
| Artin number field: | Splitting field of $f= x^{18} + 14 x^{16} + 77 x^{14} + 310 x^{12} + 994 x^{10} + 1876 x^{8} + 3289 x^{6} + 3290 x^{4} + 1400 x^{2} + 1000 $ over $\Q$ |
| Size of Galois orbit: | 2 |
| Smallest containing permutation representation: | $C_6\times S_3$ |
| Parity: | Odd |
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 19 }$ to precision 26.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 19 }$: $ x^{6} + 17 x^{3} + 17 x^{2} + 6 x + 2 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ | $=$ | $ 5 a^{5} + 15 a^{4} + 18 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 15 + \left(5 a^{3} + 9 a + 3\right)\cdot 19 + \left(7 a^{5} + 18 a^{4} + 4 a^{3} + 10 a^{2} + 15 a + 13\right)\cdot 19^{2} + \left(6 a^{5} + 14 a^{4} + 2 a^{3} + 4 a^{2} + 13 a + 5\right)\cdot 19^{3} + \left(10 a^{5} + 12 a^{4} + 16 a^{3} + 11 a^{2} + 15 a + 18\right)\cdot 19^{4} + \left(12 a^{5} + 5 a^{4} + a^{3} + 12 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 19^{5} + \left(14 a^{5} + 10 a^{4} + 15 a^{3} + 6 a^{2} + 18 a + 7\right)\cdot 19^{6} + \left(10 a^{5} + 14 a^{4} + 7 a^{3} + 14 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 19^{7} + \left(13 a^{5} + 17 a^{4} + 17 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 16\right)\cdot 19^{8} + \left(16 a^{5} + 8 a^{4} + 14 a^{3} + a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 19^{9} + \left(13 a^{5} + 6 a^{4} + 13 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 19^{10} + \left(6 a^{5} + 7 a^{4} + 18 a^{3} + 14 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 19^{11} + \left(15 a^{5} + 12 a^{4} + 17 a^{3} + 4 a^{2} + 18 a + 15\right)\cdot 19^{12} + \left(7 a^{5} + 11 a^{4} + 7 a^{3} + 13 a^{2} + 18 a + 14\right)\cdot 19^{13} + \left(6 a^{5} + 8 a^{4} + 8 a^{3} + a^{2} + 13 a + 15\right)\cdot 19^{14} + \left(17 a^{5} + a^{4} + 17 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 19^{15} + \left(5 a^{5} + a^{4} + 18 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 19^{16} + \left(10 a^{4} + 10 a^{3} + 18 a^{2} + 11 a\right)\cdot 19^{17} + \left(14 a^{5} + 2 a^{4} + 8 a^{3} + 16 a^{2} + 7\right)\cdot 19^{18} + \left(16 a^{5} + 13 a^{4} + 18 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 19^{19} + \left(6 a^{5} + 9 a^{4} + 17 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 19^{20} + \left(6 a^{5} + 15 a^{4} + 13 a^{3} + 12 a^{2} + 14 a + 9\right)\cdot 19^{21} + \left(4 a^{5} + 15 a^{4} + 5 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 19^{22} + \left(5 a^{5} + 11 a^{4} + 4 a^{3} + 8 a^{2} + a + 12\right)\cdot 19^{23} + \left(11 a^{5} + 13 a^{4} + 5 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 19^{24} + \left(3 a^{5} + 7 a^{4} + 4 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 19^{25} +O\left(19^{ 26 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ | $=$ | $ 7 a^{5} + 17 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 8 + \left(11 a^{5} + 12 a^{4} + 12 a^{3} + 12 a^{2} + 2 a + 17\right)\cdot 19 + \left(5 a^{5} + 12 a^{4} + 4 a^{3} + 18 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 19^{2} + \left(6 a^{5} + 6 a^{4} + 12 a^{3} + a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 19^{3} + \left(7 a^{5} + 4 a^{4} + 15 a^{3} + 13 a^{2} + a + 14\right)\cdot 19^{4} + \left(5 a^{5} + 12 a^{3} + a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 19^{5} + \left(7 a^{5} + 5 a^{4} + 9 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 19^{6} + \left(13 a^{5} + 16 a^{4} + a^{3} + a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 19^{7} + \left(4 a^{5} + 18 a^{4} + 12 a^{3} + 9 a^{2} + 3 a + 18\right)\cdot 19^{8} + \left(16 a^{5} + 3 a^{4} + 15 a^{3} + 7 a^{2} + 17 a + 13\right)\cdot 19^{9} + \left(16 a^{5} + a^{3} + 14 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 19^{10} + \left(9 a^{5} + 8 a^{4} + 4 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 19^{11} + \left(7 a^{5} + 18 a^{4} + a^{3} + 13 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 19^{12} + \left(9 a^{5} + 10 a^{4} + 11 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a\right)\cdot 19^{13} + \left(10 a^{5} + 12 a^{4} + 12 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 19^{14} + \left(5 a^{5} + a^{4} + 4 a^{3} + a^{2} + 17 a\right)\cdot 19^{15} + \left(16 a^{5} + 4 a^{4} + 10 a^{3} + 18 a^{2} + 10 a + 14\right)\cdot 19^{16} + \left(11 a^{5} + 9 a^{4} + 3 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a\right)\cdot 19^{17} + \left(8 a^{5} + 10 a^{4} + 8 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 13\right)\cdot 19^{18} + \left(14 a^{5} + 12 a^{4} + 11 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 19^{19} + \left(3 a^{5} + 8 a^{4} + 11 a^{3} + 10 a^{2} + 14\right)\cdot 19^{20} + \left(10 a^{5} + 11 a^{4} + 12 a^{3} + 5 a^{2} + 13 a + 12\right)\cdot 19^{21} + \left(11 a^{5} + 18 a^{4} + 16 a^{3} + 17 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 19^{22} + \left(10 a^{5} + 6 a^{4} + 12 a^{3} + 16 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 19^{23} + \left(10 a^{5} + 5 a^{4} + 6 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 19^{24} + \left(11 a^{5} + 17 a^{4} + a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 19^{25} +O\left(19^{ 26 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ | $=$ | $ 7 a^{5} + 4 a^{4} + 3 a^{3} + 10 a^{2} + 12 a + 4 + \left(7 a^{5} + 6 a^{4} + 6 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 19 + \left(6 a^{5} + 7 a^{4} + 10 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a\right)\cdot 19^{2} + \left(6 a^{5} + 16 a^{4} + 4 a^{3} + 12 a^{2} + 14 a + 16\right)\cdot 19^{3} + \left(a^{5} + a^{4} + 6 a^{3} + 13 a^{2} + a + 18\right)\cdot 19^{4} + \left(a^{5} + 13 a^{4} + 4 a^{3} + 4 a^{2} + 2\right)\cdot 19^{5} + \left(16 a^{5} + 3 a^{4} + 13 a^{3} + 3 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 19^{6} + \left(13 a^{5} + 7 a^{4} + 9 a^{3} + 3 a^{2} + a + 10\right)\cdot 19^{7} + \left(a^{4} + 8 a^{3} + 17 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 19^{8} + \left(5 a^{5} + 6 a^{4} + 7 a^{3} + 9 a^{2} + 13 a + 16\right)\cdot 19^{9} + \left(7 a^{5} + 12 a^{4} + 16 a^{3} + 10 a^{2} + 18 a + 1\right)\cdot 19^{10} + \left(2 a^{5} + 3 a^{4} + 15 a^{3} + 14 a^{2} + 7 a\right)\cdot 19^{11} + \left(15 a^{5} + 7 a^{4} + 18 a^{3} + 9 a + 17\right)\cdot 19^{12} + \left(a^{5} + 15 a^{4} + 18 a^{3} + 2 a^{2} + 14 a + 6\right)\cdot 19^{13} + \left(2 a^{5} + 16 a^{4} + 16 a^{3} + 12 a^{2} + 14\right)\cdot 19^{14} + \left(15 a^{5} + 15 a^{4} + 15 a^{3} + 11 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 19^{15} + \left(15 a^{5} + 13 a^{4} + 8 a^{3} + 8 a^{2} + a + 8\right)\cdot 19^{16} + \left(6 a^{5} + 18 a^{4} + 4 a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 18\right)\cdot 19^{17} + \left(15 a^{5} + 5 a^{4} + 2 a^{3} + 12 a^{2} + 13 a + 17\right)\cdot 19^{18} + \left(6 a^{5} + 12 a^{4} + 7 a^{3} + 16 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 19^{19} + \left(8 a^{5} + 9 a^{3} + 4 a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 19^{20} + \left(2 a^{5} + 11 a^{4} + 11 a^{3} + a^{2} + 10 a + 16\right)\cdot 19^{21} + \left(3 a^{5} + 3 a^{4} + 15 a^{3} + 9 a^{2} + a + 4\right)\cdot 19^{22} + \left(3 a^{5} + a^{3} + 12 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 19^{23} + \left(16 a^{5} + 13 a^{3} + 8 a + 10\right)\cdot 19^{24} + \left(3 a^{5} + 13 a^{4} + 13 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 19^{25} +O\left(19^{ 26 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ | $=$ | $ 14 a^{5} + 4 a^{4} + a^{3} + 15 a^{2} + 14 a + 4 + \left(18 a^{5} + 18 a^{4} + 13 a^{3} + 18 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 19 + \left(11 a^{5} + 14 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 19^{2} + \left(12 a^{5} + 4 a^{4} + 16 a^{3} + 14 a^{2} + 5 a + 13\right)\cdot 19^{3} + \left(8 a^{5} + 6 a^{4} + 2 a^{3} + 7 a^{2} + 3 a\right)\cdot 19^{4} + \left(6 a^{5} + 13 a^{4} + 17 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 19^{5} + \left(4 a^{5} + 8 a^{4} + 3 a^{3} + 12 a^{2} + 11\right)\cdot 19^{6} + \left(8 a^{5} + 4 a^{4} + 11 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 19^{7} + \left(5 a^{5} + a^{4} + a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 19^{8} + \left(2 a^{5} + 10 a^{4} + 4 a^{3} + 17 a^{2} + 11 a + 16\right)\cdot 19^{9} + \left(5 a^{5} + 12 a^{4} + 18 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 19^{10} + \left(12 a^{5} + 11 a^{4} + 4 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 19^{11} + \left(3 a^{5} + 6 a^{4} + a^{3} + 14 a^{2} + 3\right)\cdot 19^{12} + \left(11 a^{5} + 7 a^{4} + 11 a^{3} + 5 a^{2} + 4\right)\cdot 19^{13} + \left(12 a^{5} + 10 a^{4} + 10 a^{3} + 17 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 19^{14} + \left(a^{5} + 17 a^{4} + a^{3} + 12 a^{2} + 14 a + 5\right)\cdot 19^{15} + \left(13 a^{5} + 17 a^{4} + 7 a^{2} + 12 a + 17\right)\cdot 19^{16} + \left(18 a^{5} + 8 a^{4} + 8 a^{3} + 7 a + 18\right)\cdot 19^{17} + \left(4 a^{5} + 16 a^{4} + 10 a^{3} + 2 a^{2} + 18 a + 11\right)\cdot 19^{18} + \left(2 a^{5} + 5 a^{4} + 18 a^{3} + 11 a + 7\right)\cdot 19^{19} + \left(12 a^{5} + 9 a^{4} + a^{3} + 15 a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 19^{20} + \left(12 a^{5} + 3 a^{4} + 5 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 19^{21} + \left(14 a^{5} + 3 a^{4} + 13 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 13\right)\cdot 19^{22} + \left(13 a^{5} + 7 a^{4} + 14 a^{3} + 10 a^{2} + 17 a + 6\right)\cdot 19^{23} + \left(7 a^{5} + 5 a^{4} + 13 a^{3} + 7 a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 19^{24} + \left(15 a^{5} + 11 a^{4} + 14 a^{3} + 14 a^{2} + 10 a + 13\right)\cdot 19^{25} +O\left(19^{ 26 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ | $=$ | $ 12 a^{5} + 2 a^{3} + 14 a^{2} + 17 a + 11 + \left(7 a^{5} + 7 a^{4} + 6 a^{3} + 6 a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 19 + \left(13 a^{5} + 6 a^{4} + 14 a^{3} + 8 a + 14\right)\cdot 19^{2} + \left(12 a^{5} + 12 a^{4} + 6 a^{3} + 17 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 19^{3} + \left(11 a^{5} + 14 a^{4} + 3 a^{3} + 5 a^{2} + 17 a + 4\right)\cdot 19^{4} + \left(13 a^{5} + 18 a^{4} + 6 a^{3} + 17 a^{2} + 12 a + 14\right)\cdot 19^{5} + \left(11 a^{5} + 13 a^{4} + 9 a^{3} + 9 a^{2} + 14 a + 8\right)\cdot 19^{6} + \left(5 a^{5} + 2 a^{4} + 17 a^{3} + 17 a^{2} + 13 a + 12\right)\cdot 19^{7} + \left(14 a^{5} + 6 a^{3} + 9 a^{2} + 15 a\right)\cdot 19^{8} + \left(2 a^{5} + 15 a^{4} + 3 a^{3} + 11 a^{2} + a + 5\right)\cdot 19^{9} + \left(2 a^{5} + 18 a^{4} + 17 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 19^{10} + \left(9 a^{5} + 10 a^{4} + 14 a^{3} + 10 a^{2} + 15 a + 16\right)\cdot 19^{11} + \left(11 a^{5} + 17 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 19^{12} + \left(9 a^{5} + 8 a^{4} + 7 a^{3} + 15 a^{2} + 14 a + 18\right)\cdot 19^{13} + \left(8 a^{5} + 6 a^{4} + 6 a^{3} + 13 a^{2} + 14 a + 6\right)\cdot 19^{14} + \left(13 a^{5} + 17 a^{4} + 14 a^{3} + 17 a^{2} + a + 18\right)\cdot 19^{15} + \left(2 a^{5} + 14 a^{4} + 8 a^{3} + 8 a + 4\right)\cdot 19^{16} + \left(7 a^{5} + 9 a^{4} + 15 a^{3} + 7 a^{2} + 14 a + 18\right)\cdot 19^{17} + \left(10 a^{5} + 8 a^{4} + 10 a^{3} + 10 a^{2} + 13 a + 5\right)\cdot 19^{18} + \left(4 a^{5} + 6 a^{4} + 7 a^{3} + 16 a^{2} + 14 a + 8\right)\cdot 19^{19} + \left(15 a^{5} + 10 a^{4} + 7 a^{3} + 8 a^{2} + 18 a + 4\right)\cdot 19^{20} + \left(8 a^{5} + 7 a^{4} + 6 a^{3} + 13 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 19^{21} + \left(7 a^{5} + 2 a^{3} + a^{2} + 14 a + 11\right)\cdot 19^{22} + \left(8 a^{5} + 12 a^{4} + 6 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 19^{23} + \left(8 a^{5} + 13 a^{4} + 18 a^{3} + 12 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 19^{24} + \left(7 a^{5} + a^{4} + 17 a^{3} + 14 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 19^{25} +O\left(19^{ 26 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ | $=$ | $ 12 a^{5} + 15 a^{4} + 16 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 15 + \left(11 a^{5} + 12 a^{4} + 18 a^{3} + 12 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 19 + \left(12 a^{5} + 11 a^{4} + 8 a^{3} + 9 a^{2} + 6 a + 18\right)\cdot 19^{2} + \left(12 a^{5} + 2 a^{4} + 14 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 19^{3} + \left(17 a^{5} + 17 a^{4} + 12 a^{3} + 5 a^{2} + 17 a\right)\cdot 19^{4} + \left(17 a^{5} + 5 a^{4} + 14 a^{3} + 14 a^{2} + 18 a + 16\right)\cdot 19^{5} + \left(2 a^{5} + 15 a^{4} + 5 a^{3} + 15 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 19^{6} + \left(5 a^{5} + 11 a^{4} + 9 a^{3} + 15 a^{2} + 17 a + 8\right)\cdot 19^{7} + \left(18 a^{5} + 17 a^{4} + 10 a^{3} + a^{2} + 15 a + 11\right)\cdot 19^{8} + \left(13 a^{5} + 12 a^{4} + 11 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 19^{9} + \left(11 a^{5} + 6 a^{4} + 2 a^{3} + 8 a^{2} + 17\right)\cdot 19^{10} + \left(16 a^{5} + 15 a^{4} + 3 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 18\right)\cdot 19^{11} + \left(3 a^{5} + 11 a^{4} + 18 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 19^{12} + \left(17 a^{5} + 3 a^{4} + 16 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 19^{13} + \left(16 a^{5} + 2 a^{4} + 2 a^{3} + 6 a^{2} + 18 a + 4\right)\cdot 19^{14} + \left(3 a^{5} + 3 a^{4} + 3 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 19^{15} + \left(3 a^{5} + 5 a^{4} + 10 a^{3} + 10 a^{2} + 17 a + 10\right)\cdot 19^{16} + \left(12 a^{5} + 14 a^{3} + 11 a^{2} + 15 a\right)\cdot 19^{17} + \left(3 a^{5} + 13 a^{4} + 16 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 19^{18} + \left(12 a^{5} + 6 a^{4} + 11 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 13\right)\cdot 19^{19} + \left(10 a^{5} + 18 a^{4} + 9 a^{3} + 14 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 19^{20} + \left(16 a^{5} + 7 a^{4} + 7 a^{3} + 17 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 19^{21} + \left(15 a^{5} + 15 a^{4} + 3 a^{3} + 9 a^{2} + 17 a + 14\right)\cdot 19^{22} + \left(15 a^{5} + 18 a^{4} + 17 a^{3} + 6 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 19^{23} + \left(2 a^{5} + 18 a^{4} + 5 a^{3} + 18 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 19^{24} + \left(15 a^{5} + 5 a^{4} + 5 a^{3} + 8 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 19^{25} +O\left(19^{ 26 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ | $=$ | $ 11 a^{5} + 17 a^{4} + 4 a^{3} + 3 a^{2} + 15 a + 8 + \left(16 a^{5} + a^{4} + 11 a^{3} + 18 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 19 + \left(9 a^{5} + 16 a^{4} + 6 a^{3} + 18 a + 18\right)\cdot 19^{2} + \left(10 a^{5} + 2 a^{4} + 11 a^{3} + 16 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 19^{3} + \left(8 a^{5} + 2 a^{4} + a^{3} + 15 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 19^{4} + \left(10 a^{5} + 6 a^{4} + a^{3} + 12 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 19^{5} + \left(6 a^{5} + 9 a^{4} + 9 a^{3} + 4 a^{2} + 18 a + 14\right)\cdot 19^{6} + \left(15 a^{5} + 18 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a\right)\cdot 19^{7} + \left(a^{5} + 9 a^{4} + 9 a^{3} + 14 a^{2} + 2 a + 18\right)\cdot 19^{8} + \left(7 a^{5} + 17 a^{4} + 5 a^{3} + 12 a + 8\right)\cdot 19^{9} + \left(11 a^{5} + 16 a^{4} + 6 a^{3} + 14 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 19^{10} + \left(2 a^{5} + 13 a^{4} + 18 a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 19^{11} + \left(18 a^{5} + 4 a^{4} + 7 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 19^{12} + \left(15 a^{5} + 10 a^{3} + 7 a^{2} + 18\right)\cdot 19^{13} + \left(18 a^{5} + 12 a^{4} + 10 a^{3} + 18 a^{2} + a + 8\right)\cdot 19^{14} + \left(8 a^{5} + 17 a^{4} + 13 a^{3} + 5 a^{2} + a + 16\right)\cdot 19^{15} + \left(13 a^{5} + 11 a^{4} + 11 a^{3} + 15 a^{2} + 18 a + 9\right)\cdot 19^{16} + \left(18 a^{5} + 14 a^{2} + 17 a + 4\right)\cdot 19^{17} + \left(4 a^{5} + a^{4} + 15 a^{3} + 16 a^{2} + 13 a + 9\right)\cdot 19^{18} + \left(11 a^{5} + 16 a^{4} + 17 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 17\right)\cdot 19^{19} + \left(5 a^{5} + 9 a^{4} + 10 a^{3} + 17 a^{2} + 8 a + 17\right)\cdot 19^{20} + \left(18 a^{5} + 13 a^{4} + 8 a^{3} + 13 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 19^{21} + \left(13 a^{5} + 11 a^{4} + 7 a^{3} + 4 a^{2} + a + 3\right)\cdot 19^{22} + \left(14 a^{4} + 3 a^{3} + 13 a^{2} + 17 a + 10\right)\cdot 19^{23} + \left(10 a^{5} + 4 a^{4} + 15 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 19^{24} + \left(12 a^{5} + 10 a^{4} + 3 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 19^{25} +O\left(19^{ 26 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ | $=$ | $ 18 a^{5} + 17 a^{4} + 2 a^{3} + 8 a^{2} + 17 a + 16 + \left(8 a^{5} + 13 a^{4} + 5 a^{3} + 11 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 19 + \left(15 a^{5} + 9 a^{4} + 11 a^{3} + 9 a + 4\right)\cdot 19^{2} + \left(16 a^{5} + 9 a^{4} + 4 a^{3} + 18 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 19^{3} + \left(15 a^{5} + 6 a^{4} + 17 a^{3} + 9 a^{2} + 16 a + 10\right)\cdot 19^{4} + \left(15 a^{5} + 6 a^{4} + 13 a^{3} + 14 a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 19^{5} + \left(13 a^{5} + 14 a^{4} + 18 a^{3} + 13 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 19^{6} + \left(9 a^{5} + 16 a^{4} + 7 a^{2} + 14 a + 7\right)\cdot 19^{7} + \left(6 a^{5} + 8 a^{4} + 3 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 17\right)\cdot 19^{8} + \left(4 a^{5} + 2 a^{4} + 2 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 19^{9} + \left(9 a^{5} + 17 a^{4} + 8 a^{3} + 9 a^{2} + 6 a + 13\right)\cdot 19^{10} + \left(12 a^{5} + 2 a^{4} + 3 a^{3} + 15 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 19^{11} + \left(6 a^{5} + 4 a^{4} + 9 a^{3} + 4 a^{2} + a\right)\cdot 19^{12} + \left(6 a^{5} + 11 a^{4} + 2 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a\right)\cdot 19^{13} + \left(10 a^{5} + 5 a^{4} + 4 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 19^{14} + \left(14 a^{5} + 18 a^{3} + 7 a^{2} + 18 a + 17\right)\cdot 19^{15} + \left(10 a^{5} + 16 a^{4} + 2 a^{3} + 14 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 19^{16} + \left(11 a^{5} + 9 a^{4} + 4 a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 19^{17} + \left(13 a^{5} + 11 a^{4} + 4 a^{3} + 6 a^{2} + 3\right)\cdot 19^{18} + \left(6 a^{5} + 9 a^{4} + 10 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 19^{19} + \left(9 a^{5} + 18 a^{4} + 3 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 19^{20} + \left(9 a^{5} + 5 a^{4} + 2 a^{3} + 15 a + 16\right)\cdot 19^{21} + \left(6 a^{5} + 11 a^{4} + 5 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 19^{22} + \left(11 a^{5} + 2 a^{4} + 16 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 19^{23} + \left(a^{5} + 10 a^{4} + 3 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 19^{24} + \left(5 a^{5} + 8 a^{4} + 4 a^{3} + 13 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 19^{25} +O\left(19^{ 26 }\right)$ |
| $r_{ 9 }$ | $=$ | $ 14 a^{5} + 8 a^{4} + 4 a^{3} + 14 a^{2} + 3 a + 16 + \left(6 a^{5} + 2 a^{4} + 9 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 19 + \left(5 a^{5} + 2 a^{4} + 9 a^{3} + 5 a^{2} + a + 11\right)\cdot 19^{2} + \left(13 a^{5} + 16 a^{4} + a^{3} + 9 a^{2} + 17 a + 9\right)\cdot 19^{3} + \left(18 a^{5} + 10 a^{4} + 3 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 15\right)\cdot 19^{4} + \left(14 a^{5} + 6 a^{4} + 7 a^{3} + 14 a^{2} + a + 4\right)\cdot 19^{5} + \left(14 a^{5} + a^{4} + 17 a^{3} + a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 19^{6} + \left(5 a^{5} + 10 a^{4} + 2 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 19^{7} + \left(18 a^{5} + 10 a^{4} + 14 a^{3} + 3 a^{2} + a + 1\right)\cdot 19^{8} + \left(13 a^{5} + 3 a^{4} + 17 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 19^{9} + \left(5 a^{5} + 15 a^{4} + 6 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 19^{10} + \left(9 a^{5} + 12 a^{3} + 9 a + 15\right)\cdot 19^{11} + \left(5 a^{5} + 11 a^{4} + 16 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 19^{12} + \left(14 a^{4} + 18 a^{3} + 17 a^{2} + 14 a\right)\cdot 19^{13} + \left(3 a^{5} + 16 a^{4} + 8 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 19^{14} + \left(7 a^{3} + 14 a^{2} + 10 a + 15\right)\cdot 19^{15} + \left(3 a^{5} + 17 a^{4} + 16 a^{3} + 7 a^{2} + 10\right)\cdot 19^{16} + \left(11 a^{5} + 9 a^{4} + 10 a + 10\right)\cdot 19^{17} + \left(17 a^{5} + 10 a^{4} + 9 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 19^{18} + \left(16 a^{5} + 6 a^{3} + 9 a^{2} + 14 a + 11\right)\cdot 19^{19} + \left(a^{5} + 2 a^{4} + 4 a^{3} + 7 a^{2} + 17 a + 3\right)\cdot 19^{20} + \left(14 a^{5} + 16 a^{4} + 4 a^{3} + 11 a^{2} + a + 10\right)\cdot 19^{21} + \left(15 a^{5} + 2 a^{4} + 14 a^{3} + 15 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 19^{22} + \left(6 a^{5} + 13 a^{4} + 7 a^{3} + 14 a^{2} + 10 a + 16\right)\cdot 19^{23} + \left(16 a^{5} + 16 a^{4} + a^{3} + 12 a + 12\right)\cdot 19^{24} + \left(a^{5} + 3 a^{4} + 10 a^{3} + 10 a^{2} + 17 a + 7\right)\cdot 19^{25} +O\left(19^{ 26 }\right)$ |
| $r_{ 10 }$ | $=$ | $ 2 a^{5} + 12 a^{4} + 7 a^{3} + 5 a^{2} + 15 a + 1 + \left(14 a^{5} + 8 a^{4} + 9 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 19 + \left(11 a^{5} + 9 a^{4} + 14 a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 19^{2} + \left(13 a^{4} + 6 a^{3} + 2 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 19^{3} + \left(a^{5} + 12 a^{4} + 9 a^{3} + 18 a^{2} + 12 a + 15\right)\cdot 19^{4} + \left(16 a^{5} + 11 a^{3} + 18 a^{2} + a + 7\right)\cdot 19^{5} + \left(11 a^{5} + 5 a^{4} + 11 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 19^{6} + \left(17 a^{4} + 12 a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 19^{7} + \left(11 a^{4} + 3 a^{3} + a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 19^{8} + \left(9 a^{4} + 6 a^{3} + 18 a^{2} + 17 a + 18\right)\cdot 19^{9} + \left(13 a^{5} + 8 a^{4} + 4 a^{3} + 15 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 19^{10} + \left(11 a^{5} + 4 a^{4} + 9 a^{3} + 14 a^{2} + 17 a + 15\right)\cdot 19^{11} + \left(a^{5} + 18 a^{4} + 16 a^{3} + 3 a^{2} + 15 a + 6\right)\cdot 19^{12} + \left(2 a^{5} + 10 a^{4} + 18 a^{3} + 9 a + 7\right)\cdot 19^{13} + \left(5 a^{5} + 14 a^{4} + 17 a^{3} + 2 a^{2} + 13 a + 2\right)\cdot 19^{14} + \left(15 a^{5} + 16 a^{4} + 3 a^{3} + 7 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 19^{15} + \left(18 a^{5} + 11 a^{4} + 6 a^{3} + 16 a^{2} + 2 a\right)\cdot 19^{16} + \left(17 a^{5} + 9 a^{4} + 5 a^{3} + 7 a^{2} + 13 a + 10\right)\cdot 19^{17} + \left(13 a^{5} + 16 a^{4} + 11 a^{3} + a^{2} + 18 a + 7\right)\cdot 19^{18} + \left(4 a^{5} + 12 a^{4} + 13 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 17\right)\cdot 19^{19} + \left(10 a^{5} + 2 a^{4} + 13 a^{3} + 12 a^{2} + 12 a + 16\right)\cdot 19^{20} + \left(16 a^{5} + 8 a^{4} + 15 a^{3} + 12 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 19^{21} + \left(18 a^{5} + 6 a^{4} + 10 a^{3} + 5 a^{2} + 15 a + 18\right)\cdot 19^{22} + \left(9 a^{5} + 13 a^{4} + 9 a^{3} + 8 a^{2} + 4\right)\cdot 19^{23} + \left(13 a^{5} + 16 a^{4} + 14 a^{3} + a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 19^{24} + \left(5 a^{5} + 16 a^{4} + 4 a^{3} + a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 19^{25} +O\left(19^{ 26 }\right)$ |
| $r_{ 11 }$ | $=$ | $ 14 a^{5} + 10 a^{4} + 6 a^{3} + a^{2} + 17 a + 14 + \left(18 a^{5} + a^{4} + 10 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a\right)\cdot 19 + \left(7 a^{5} + 13 a^{4} + 14 a^{3} + 5 a^{2} + a + 14\right)\cdot 19^{2} + \left(18 a^{5} + 16 a^{4} + 6 a^{3} + a^{2} + 9 a + 17\right)\cdot 19^{3} + \left(4 a^{5} + 4 a^{4} + 7 a^{3} + 9 a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 19^{4} + \left(13 a^{5} + 11 a^{4} + 12 a^{3} + 13 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 19^{5} + \left(2 a^{5} + 14 a^{4} + a^{3} + 13 a^{2} + 17 a + 10\right)\cdot 19^{6} + \left(14 a^{5} + a^{4} + 16 a^{3} + 9 a^{2} + 16 a\right)\cdot 19^{7} + \left(5 a^{5} + 18 a^{3} + 7\right)\cdot 19^{8} + \left(a^{5} + 10 a^{4} + 7 a^{3} + 8 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 19^{9} + \left(17 a^{5} + 17 a^{4} + 16 a^{3} + 13 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 19^{10} + \left(a^{5} + 5 a^{4} + 15 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 19^{11} + \left(12 a^{5} + 12 a^{3} + 18 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 19^{12} + \left(6 a^{5} + 5 a^{4} + 4 a^{3} + 8 a^{2} + 16\right)\cdot 19^{13} + \left(17 a^{5} + 7 a^{4} + 4 a^{3} + 9 a^{2} + 13 a + 15\right)\cdot 19^{14} + \left(9 a^{5} + 8 a^{4} + 7 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 19^{15} + \left(5 a^{5} + 8 a^{4} + 4 a^{3} + 15 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 19^{16} + \left(6 a^{5} + 7 a^{4} + 6 a^{3} + 18 a + 7\right)\cdot 19^{17} + \left(14 a^{5} + 4 a^{4} + 14 a^{3} + 11 a^{2} + 14 a + 18\right)\cdot 19^{18} + \left(7 a^{5} + 14 a^{4} + 16 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 19^{19} + \left(16 a^{5} + 2 a^{4} + 8 a^{3} + 10 a^{2} + 18 a + 1\right)\cdot 19^{20} + \left(13 a^{5} + 16 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 19^{21} + \left(11 a^{5} + 9 a^{3} + 10 a^{2} + 17 a + 3\right)\cdot 19^{22} + \left(7 a^{5} + 13 a^{4} + 16 a^{3} + 5 a^{2} + 17 a + 7\right)\cdot 19^{23} + \left(9 a^{5} + 2 a^{4} + 17 a^{3} + 16 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 19^{24} + \left(3 a^{4} + 7 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 18\right)\cdot 19^{25} +O\left(19^{ 26 }\right)$ |
| $r_{ 12 }$ | $=$ | $ 9 a^{5} + 14 a^{4} + 7 a^{3} + 16 a^{2} + 12 a + 18 + \left(18 a^{5} + 4 a^{3} + 10 a^{2} + 17 a + 15\right)\cdot 19 + \left(14 a^{4} + 10 a^{3} + 14 a^{2} + 4 a\right)\cdot 19^{2} + \left(12 a^{5} + a^{4} + 4 a^{3} + 15 a^{2} + 14 a + 12\right)\cdot 19^{3} + \left(13 a^{5} + 11 a^{4} + 10 a^{3} + 16 a^{2} + 12\right)\cdot 19^{4} + \left(5 a^{4} + 10 a^{3} + 1\right)\cdot 19^{5} + \left(7 a^{5} + 4 a^{4} + 5 a^{3} + 7 a^{2} + 18 a + 3\right)\cdot 19^{6} + \left(3 a^{5} + 6 a^{4} + 8 a^{3} + 14 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 19^{7} + \left(11 a^{5} + a^{4} + a^{3} + 7 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 19^{8} + \left(3 a^{5} + a^{4} + 12 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a\right)\cdot 19^{9} + \left(3 a^{5} + 11 a^{4} + 15 a^{3} + 16\right)\cdot 19^{10} + \left(14 a^{5} + 17 a^{4} + 16 a^{3} + 9 a^{2} + 17 a + 17\right)\cdot 19^{11} + \left(15 a^{5} + 6 a^{4} + 13 a^{3} + 13 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 19^{12} + \left(17 a^{5} + 12 a^{4} + 15 a^{3} + 14 a^{2} + 1\right)\cdot 19^{13} + \left(10 a^{5} + 17 a^{4} + 14 a^{3} + 7 a^{2} + 18 a\right)\cdot 19^{14} + \left(11 a^{5} + 6 a^{4} + 8 a^{3} + 6 a^{2} + 17 a + 10\right)\cdot 19^{15} + \left(18 a^{5} + 7 a^{4} + 4 a^{3} + 4 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 19^{16} + \left(5 a^{5} + 16 a^{4} + 14 a^{3} + a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 19^{17} + \left(a^{4} + 5 a^{3} + 13 a^{2} + 14 a + 11\right)\cdot 19^{18} + \left(10 a^{5} + a^{4} + 16 a^{3} + 4 a^{2} + 18 a + 9\right)\cdot 19^{19} + \left(9 a^{5} + 12 a^{4} + 10 a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 14\right)\cdot 19^{20} + \left(7 a^{5} + 3 a^{4} + 2 a^{3} + 18 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 19^{21} + \left(7 a^{5} + 3 a^{4} + 4 a^{3} + 17 a^{2} + 4 a + 16\right)\cdot 19^{22} + \left(2 a^{5} + a^{4} + 12 a^{3} + 15 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 19^{23} + \left(17 a^{5} + 8 a^{4} + 12 a^{3} + 4 a^{2} + 18 a + 1\right)\cdot 19^{24} + \left(15 a^{5} + 14 a^{4} + 3 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 19^{25} +O\left(19^{ 26 }\right)$ |
| $r_{ 13 }$ | $=$ | $ 8 a^{5} + 2 a^{4} + 15 a^{3} + 16 a^{2} + 4 a + 11 + \left(2 a^{5} + 17 a^{4} + 7 a^{3} + 12 a + 4\right)\cdot 19 + \left(9 a^{5} + 2 a^{4} + 12 a^{3} + 18 a^{2}\right)\cdot 19^{2} + \left(8 a^{5} + 16 a^{4} + 7 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 17\right)\cdot 19^{3} + \left(10 a^{5} + 16 a^{4} + 17 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 19^{4} + \left(8 a^{5} + 12 a^{4} + 17 a^{3} + 6 a^{2} + 13 a + 8\right)\cdot 19^{5} + \left(12 a^{5} + 9 a^{4} + 9 a^{3} + 14 a^{2} + 4\right)\cdot 19^{6} + \left(3 a^{5} + 18 a^{4} + 12 a^{2} + 10 a + 18\right)\cdot 19^{7} + \left(17 a^{5} + 9 a^{4} + 9 a^{3} + 4 a^{2} + 16 a\right)\cdot 19^{8} + \left(11 a^{5} + a^{4} + 13 a^{3} + 18 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 19^{9} + \left(7 a^{5} + 2 a^{4} + 12 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 19^{10} + \left(16 a^{5} + 5 a^{4} + 12 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 19^{11} + \left(14 a^{4} + 11 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 19^{12} + \left(3 a^{5} + 18 a^{4} + 8 a^{3} + 11 a^{2} + 18 a\right)\cdot 19^{13} + \left(6 a^{4} + 8 a^{3} + 17 a + 10\right)\cdot 19^{14} + \left(10 a^{5} + a^{4} + 5 a^{3} + 13 a^{2} + 17 a + 2\right)\cdot 19^{15} + \left(5 a^{5} + 7 a^{4} + 7 a^{3} + 3 a^{2} + 9\right)\cdot 19^{16} + \left(18 a^{4} + 18 a^{3} + 4 a^{2} + a + 14\right)\cdot 19^{17} + \left(14 a^{5} + 17 a^{4} + 3 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 19^{18} + \left(7 a^{5} + 2 a^{4} + a^{3} + 15 a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 19^{19} + \left(13 a^{5} + 9 a^{4} + 8 a^{3} + a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 19^{20} + \left(5 a^{4} + 10 a^{3} + 5 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 19^{21} + \left(5 a^{5} + 7 a^{4} + 11 a^{3} + 14 a^{2} + 17 a + 15\right)\cdot 19^{22} + \left(18 a^{5} + 4 a^{4} + 15 a^{3} + 5 a^{2} + a + 8\right)\cdot 19^{23} + \left(8 a^{5} + 14 a^{4} + 18 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 15\right)\cdot 19^{24} + \left(6 a^{5} + 8 a^{4} + 15 a^{3} + 10 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 19^{25} +O\left(19^{ 26 }\right)$ |
| $r_{ 14 }$ | $=$ | $ a^{5} + 2 a^{4} + 17 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 3 + \left(10 a^{5} + 5 a^{4} + 13 a^{3} + 7 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 19 + \left(3 a^{5} + 9 a^{4} + 7 a^{3} + 18 a^{2} + 9 a + 14\right)\cdot 19^{2} + \left(2 a^{5} + 9 a^{4} + 14 a^{3} + 15 a + 7\right)\cdot 19^{3} + \left(3 a^{5} + 12 a^{4} + a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 19^{4} + \left(3 a^{5} + 12 a^{4} + 5 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 19^{5} + \left(5 a^{5} + 4 a^{4} + 5 a^{2} + 15 a + 13\right)\cdot 19^{6} + \left(9 a^{5} + 2 a^{4} + 18 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 19^{7} + \left(12 a^{5} + 10 a^{4} + 15 a^{3} + 14 a^{2} + 13 a + 1\right)\cdot 19^{8} + \left(14 a^{5} + 16 a^{4} + 16 a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + 15\right)\cdot 19^{9} + \left(9 a^{5} + a^{4} + 10 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 19^{10} + \left(6 a^{5} + 16 a^{4} + 15 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 19^{11} + \left(12 a^{5} + 14 a^{4} + 9 a^{3} + 14 a^{2} + 17 a + 18\right)\cdot 19^{12} + \left(12 a^{5} + 7 a^{4} + 16 a^{3} + 7 a^{2} + 13 a + 18\right)\cdot 19^{13} + \left(8 a^{5} + 13 a^{4} + 14 a^{3} + 14 a^{2} + 13 a + 16\right)\cdot 19^{14} + \left(4 a^{5} + 18 a^{4} + 11 a^{2} + 1\right)\cdot 19^{15} + \left(8 a^{5} + 2 a^{4} + 16 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 14\right)\cdot 19^{16} + \left(7 a^{5} + 9 a^{4} + 14 a^{3} + 11 a^{2} + 15 a + 13\right)\cdot 19^{17} + \left(5 a^{5} + 7 a^{4} + 14 a^{3} + 12 a^{2} + 18 a + 15\right)\cdot 19^{18} + \left(12 a^{5} + 9 a^{4} + 8 a^{3} + 12 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 19^{19} + \left(9 a^{5} + 15 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 19^{20} + \left(9 a^{5} + 13 a^{4} + 16 a^{3} + 18 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 19^{21} + \left(12 a^{5} + 7 a^{4} + 13 a^{3} + 15 a^{2} + 13 a + 8\right)\cdot 19^{22} + \left(7 a^{5} + 16 a^{4} + 2 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 19^{23} + \left(17 a^{5} + 8 a^{4} + 18 a^{3} + 15 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 19^{24} + \left(13 a^{5} + 10 a^{4} + 14 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 19^{25} +O\left(19^{ 26 }\right)$ |
| $r_{ 15 }$ | $=$ | $ 5 a^{5} + 11 a^{4} + 15 a^{3} + 5 a^{2} + 16 a + 3 + \left(12 a^{5} + 16 a^{4} + 9 a^{3} + 14 a^{2} + 15 a + 14\right)\cdot 19 + \left(13 a^{5} + 16 a^{4} + 9 a^{3} + 13 a^{2} + 17 a + 7\right)\cdot 19^{2} + \left(5 a^{5} + 2 a^{4} + 17 a^{3} + 9 a^{2} + a + 9\right)\cdot 19^{3} + \left(8 a^{4} + 15 a^{3} + 14 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 19^{4} + \left(4 a^{5} + 12 a^{4} + 11 a^{3} + 4 a^{2} + 17 a + 14\right)\cdot 19^{5} + \left(4 a^{5} + 17 a^{4} + a^{3} + 17 a^{2} + 8 a + 17\right)\cdot 19^{6} + \left(13 a^{5} + 8 a^{4} + 16 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 16\right)\cdot 19^{7} + \left(8 a^{4} + 4 a^{3} + 15 a^{2} + 17 a + 17\right)\cdot 19^{8} + \left(5 a^{5} + 15 a^{4} + a^{3} + 10 a^{2} + 14 a + 16\right)\cdot 19^{9} + \left(13 a^{5} + 3 a^{4} + 12 a^{3} + 13 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 19^{10} + \left(9 a^{5} + 18 a^{4} + 6 a^{3} + 18 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 19^{11} + \left(13 a^{5} + 7 a^{4} + 2 a^{3} + 15 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 19^{12} + \left(18 a^{5} + 4 a^{4} + a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 19^{13} + \left(15 a^{5} + 2 a^{4} + 18 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 19^{14} + \left(18 a^{5} + 18 a^{4} + 11 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 19^{15} + \left(15 a^{5} + a^{4} + 2 a^{3} + 11 a^{2} + 18 a + 8\right)\cdot 19^{16} + \left(7 a^{5} + 9 a^{4} + 18 a^{3} + 18 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 19^{17} + \left(a^{5} + 8 a^{4} + 9 a^{3} + 10 a^{2} + 13 a + 10\right)\cdot 19^{18} + \left(2 a^{5} + 18 a^{4} + 12 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 19^{19} + \left(17 a^{5} + 16 a^{4} + 14 a^{3} + 11 a^{2} + a + 15\right)\cdot 19^{20} + \left(4 a^{5} + 2 a^{4} + 14 a^{3} + 7 a^{2} + 17 a + 8\right)\cdot 19^{21} + \left(3 a^{5} + 16 a^{4} + 4 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 19^{22} + \left(12 a^{5} + 5 a^{4} + 11 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 19^{23} + \left(2 a^{5} + 2 a^{4} + 17 a^{3} + 18 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 19^{24} + \left(17 a^{5} + 15 a^{4} + 8 a^{3} + 8 a^{2} + a + 11\right)\cdot 19^{25} +O\left(19^{ 26 }\right)$ |
| $r_{ 16 }$ | $=$ | $ 17 a^{5} + 7 a^{4} + 12 a^{3} + 14 a^{2} + 4 a + 18 + \left(4 a^{5} + 10 a^{4} + 9 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 19 + \left(7 a^{5} + 9 a^{4} + 18 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 19^{2} + \left(18 a^{5} + 5 a^{4} + 12 a^{3} + 16 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 19^{3} + \left(17 a^{5} + 6 a^{4} + 9 a^{3} + 6 a + 3\right)\cdot 19^{4} + \left(2 a^{5} + 18 a^{4} + 7 a^{3} + 17 a + 11\right)\cdot 19^{5} + \left(7 a^{5} + 13 a^{4} + 7 a^{3} + 14 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 19^{6} + \left(18 a^{5} + a^{4} + 6 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 19^{7} + \left(18 a^{5} + 7 a^{4} + 15 a^{3} + 17 a^{2} + 14 a + 10\right)\cdot 19^{8} + \left(18 a^{5} + 9 a^{4} + 12 a^{3} + a\right)\cdot 19^{9} + \left(5 a^{5} + 10 a^{4} + 14 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 19^{10} + \left(7 a^{5} + 14 a^{4} + 9 a^{3} + 4 a^{2} + a + 3\right)\cdot 19^{11} + \left(17 a^{5} + 2 a^{3} + 15 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 19^{12} + \left(16 a^{5} + 8 a^{4} + 18 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 19^{13} + \left(13 a^{5} + 4 a^{4} + a^{3} + 16 a^{2} + 5 a + 16\right)\cdot 19^{14} + \left(3 a^{5} + 2 a^{4} + 15 a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 19^{15} + \left(7 a^{4} + 12 a^{3} + 2 a^{2} + 16 a + 18\right)\cdot 19^{16} + \left(a^{5} + 9 a^{4} + 13 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 19^{17} + \left(5 a^{5} + 2 a^{4} + 7 a^{3} + 17 a^{2} + 11\right)\cdot 19^{18} + \left(14 a^{5} + 6 a^{4} + 5 a^{3} + 11 a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 19^{19} + \left(8 a^{5} + 16 a^{4} + 5 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 19^{20} + \left(2 a^{5} + 10 a^{4} + 3 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 19^{21} + \left(12 a^{4} + 8 a^{3} + 13 a^{2} + 3 a\right)\cdot 19^{22} + \left(9 a^{5} + 5 a^{4} + 9 a^{3} + 10 a^{2} + 18 a + 14\right)\cdot 19^{23} + \left(5 a^{5} + 2 a^{4} + 4 a^{3} + 17 a^{2} + 16 a + 14\right)\cdot 19^{24} + \left(13 a^{5} + 2 a^{4} + 14 a^{3} + 17 a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 19^{25} +O\left(19^{ 26 }\right)$ |
| $r_{ 17 }$ | $=$ | $ 5 a^{5} + 9 a^{4} + 13 a^{3} + 18 a^{2} + 2 a + 5 + \left(17 a^{4} + 8 a^{3} + 7 a^{2} + 11 a + 18\right)\cdot 19 + \left(11 a^{5} + 5 a^{4} + 4 a^{3} + 13 a^{2} + 17 a + 4\right)\cdot 19^{2} + \left(2 a^{4} + 12 a^{3} + 17 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 19^{3} + \left(14 a^{5} + 14 a^{4} + 11 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 19^{4} + \left(5 a^{5} + 7 a^{4} + 6 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 19^{5} + \left(16 a^{5} + 4 a^{4} + 17 a^{3} + 5 a^{2} + a + 8\right)\cdot 19^{6} + \left(4 a^{5} + 17 a^{4} + 2 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 18\right)\cdot 19^{7} + \left(13 a^{5} + 18 a^{4} + 18 a^{2} + 18 a + 11\right)\cdot 19^{8} + \left(17 a^{5} + 8 a^{4} + 11 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 19^{9} + \left(a^{5} + a^{4} + 2 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 19^{10} + \left(17 a^{5} + 13 a^{4} + 3 a^{3} + 14 a^{2} + 13 a + 7\right)\cdot 19^{11} + \left(6 a^{5} + 18 a^{4} + 6 a^{3} + 11 a + 13\right)\cdot 19^{12} + \left(12 a^{5} + 13 a^{4} + 14 a^{3} + 10 a^{2} + 18 a + 2\right)\cdot 19^{13} + \left(a^{5} + 11 a^{4} + 14 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 19^{14} + \left(9 a^{5} + 10 a^{4} + 11 a^{3} + 6 a^{2} + 15 a + 14\right)\cdot 19^{15} + \left(13 a^{5} + 10 a^{4} + 14 a^{3} + 3 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 19^{16} + \left(12 a^{5} + 11 a^{4} + 12 a^{3} + 18 a^{2} + 11\right)\cdot 19^{17} + \left(4 a^{5} + 14 a^{4} + 4 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a\right)\cdot 19^{18} + \left(11 a^{5} + 4 a^{4} + 2 a^{3} + 14 a^{2} + 12 a + 17\right)\cdot 19^{19} + \left(2 a^{5} + 16 a^{4} + 10 a^{3} + 8 a^{2} + 17\right)\cdot 19^{20} + \left(5 a^{5} + 18 a^{4} + 2 a^{3} + 7 a^{2} + 13 a + 16\right)\cdot 19^{21} + \left(7 a^{5} + 18 a^{4} + 9 a^{3} + 8 a^{2} + a + 15\right)\cdot 19^{22} + \left(11 a^{5} + 5 a^{4} + 2 a^{3} + 13 a^{2} + a + 11\right)\cdot 19^{23} + \left(9 a^{5} + 16 a^{4} + a^{3} + 2 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 19^{24} + \left(18 a^{5} + 15 a^{4} + 11 a^{3} + 9 a^{2} + 16 a\right)\cdot 19^{25} +O\left(19^{ 26 }\right)$ |
| $r_{ 18 }$ | $=$ | $ 10 a^{5} + 5 a^{4} + 12 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 1 + \left(18 a^{4} + 14 a^{3} + 8 a^{2} + a + 3\right)\cdot 19 + \left(18 a^{5} + 4 a^{4} + 8 a^{3} + 4 a^{2} + 14 a + 18\right)\cdot 19^{2} + \left(6 a^{5} + 17 a^{4} + 14 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 19^{3} + \left(5 a^{5} + 7 a^{4} + 8 a^{3} + 2 a^{2} + 18 a + 6\right)\cdot 19^{4} + \left(18 a^{5} + 13 a^{4} + 8 a^{3} + 18 a^{2} + 18 a + 17\right)\cdot 19^{5} + \left(11 a^{5} + 14 a^{4} + 13 a^{3} + 11 a^{2} + 15\right)\cdot 19^{6} + \left(15 a^{5} + 12 a^{4} + 10 a^{3} + 4 a^{2} + 14 a + 7\right)\cdot 19^{7} + \left(7 a^{5} + 17 a^{4} + 17 a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 19^{8} + \left(15 a^{5} + 17 a^{4} + 6 a^{3} + 12 a^{2} + 14 a + 18\right)\cdot 19^{9} + \left(15 a^{5} + 7 a^{4} + 3 a^{3} + 18 a^{2} + 18 a + 2\right)\cdot 19^{10} + \left(4 a^{5} + a^{4} + 2 a^{3} + 9 a^{2} + a + 1\right)\cdot 19^{11} + \left(3 a^{5} + 12 a^{4} + 5 a^{3} + 5 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 19^{12} + \left(a^{5} + 6 a^{4} + 3 a^{3} + 4 a^{2} + 18 a + 17\right)\cdot 19^{13} + \left(8 a^{5} + a^{4} + 4 a^{3} + 11 a^{2} + 18\right)\cdot 19^{14} + \left(7 a^{5} + 12 a^{4} + 10 a^{3} + 12 a^{2} + a + 8\right)\cdot 19^{15} + \left(11 a^{4} + 14 a^{3} + 14 a^{2} + 3 a + 14\right)\cdot 19^{16} + \left(13 a^{5} + 2 a^{4} + 4 a^{3} + 17 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 19^{17} + \left(18 a^{5} + 17 a^{4} + 13 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 19^{18} + \left(8 a^{5} + 17 a^{4} + 2 a^{3} + 14 a^{2} + 9\right)\cdot 19^{19} + \left(9 a^{5} + 6 a^{4} + 8 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 19^{20} + \left(11 a^{5} + 15 a^{4} + 16 a^{3} + 8 a + 7\right)\cdot 19^{21} + \left(11 a^{5} + 15 a^{4} + 14 a^{3} + a^{2} + 14 a + 2\right)\cdot 19^{22} + \left(16 a^{5} + 17 a^{4} + 6 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 19^{23} + \left(a^{5} + 10 a^{4} + 6 a^{3} + 14 a^{2} + 17\right)\cdot 19^{24} + \left(3 a^{5} + 4 a^{4} + 15 a^{3} + 13 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 19^{25} +O\left(19^{ 26 }\right)$ |
Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 18 }$
| Cycle notation |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on $r_1, \ldots, r_{ 18 }$ | Character values | |
| $c1$ | $c2$ | |||
| $1$ | $1$ | $()$ | $2$ | $2$ |
| $1$ | $2$ | $(1,4)(2,5)(3,6)(7,13)(8,14)(9,15)(10,16)(11,17)(12,18)$ | $-2$ | $-2$ |
| $3$ | $2$ | $(1,12)(2,14)(3,16)(4,18)(5,8)(6,10)$ | $0$ | $0$ |
| $3$ | $2$ | $(1,4)(2,5)(3,6)(7,8)(9,10)(11,12)(13,14)(15,16)(17,18)$ | $0$ | $0$ |
| $1$ | $3$ | $(1,2,3)(4,5,6)(7,9,17)(8,10,18)(11,13,15)(12,14,16)$ | $2 \zeta_{3}$ | $-2 \zeta_{3} - 2$ |
| $1$ | $3$ | $(1,3,2)(4,6,5)(7,17,9)(8,18,10)(11,15,13)(12,16,14)$ | $-2 \zeta_{3} - 2$ | $2 \zeta_{3}$ |
| $2$ | $3$ | $(1,9,14)(2,17,16)(3,7,12)(4,15,8)(5,11,10)(6,13,18)$ | $\zeta_{3} + 1$ | $-\zeta_{3}$ |
| $2$ | $3$ | $(1,14,9)(2,16,17)(3,12,7)(4,8,15)(5,10,11)(6,18,13)$ | $-\zeta_{3}$ | $\zeta_{3} + 1$ |
| $2$ | $3$ | $(1,12,17)(2,14,7)(3,16,9)(4,18,11)(5,8,13)(6,10,15)$ | $-1$ | $-1$ |
| $1$ | $6$ | $(1,6,2,4,3,5)(7,11,9,13,17,15)(8,12,10,14,18,16)$ | $2 \zeta_{3} + 2$ | $-2 \zeta_{3}$ |
| $1$ | $6$ | $(1,5,3,4,2,6)(7,15,17,13,9,11)(8,16,18,14,10,12)$ | $-2 \zeta_{3}$ | $2 \zeta_{3} + 2$ |
| $2$ | $6$ | $(1,11,12,4,17,18)(2,13,14,5,7,8)(3,15,16,6,9,10)$ | $1$ | $1$ |
| $2$ | $6$ | $(1,10,7,4,16,13)(2,18,9,5,12,15)(3,8,17,6,14,11)$ | $-\zeta_{3} - 1$ | $\zeta_{3}$ |
| $2$ | $6$ | $(1,13,16,4,7,10)(2,15,12,5,9,18)(3,11,14,6,17,8)$ | $\zeta_{3}$ | $-\zeta_{3} - 1$ |
| $3$ | $6$ | $(1,10,2,18,3,8)(4,16,5,12,6,14)(7,11,9,13,17,15)$ | $0$ | $0$ |
| $3$ | $6$ | $(1,8,3,18,2,10)(4,14,6,12,5,16)(7,15,17,13,9,11)$ | $0$ | $0$ |
| $3$ | $6$ | $(1,16,2,12,3,14)(4,10,5,18,6,8)(7,17,9)(11,15,13)$ | $0$ | $0$ |
| $3$ | $6$ | $(1,14,3,12,2,16)(4,8,6,18,5,10)(7,9,17)(11,13,15)$ | $0$ | $0$ |