Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in $\Q_{ 127 }$ to precision 15.
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 5 + 83\cdot 127 + 34\cdot 127^{2} + 7\cdot 127^{3} + 18\cdot 127^{4} + 11\cdot 127^{5} + 94\cdot 127^{6} + 106\cdot 127^{7} + 117\cdot 127^{8} + 72\cdot 127^{9} + 125\cdot 127^{10} + 52\cdot 127^{11} + 34\cdot 127^{12} + 61\cdot 127^{13} + 3\cdot 127^{14} +O\left(127^{ 15 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 23 + 27\cdot 127 + 121\cdot 127^{2} + 124\cdot 127^{3} + 89\cdot 127^{4} + 17\cdot 127^{5} + 66\cdot 127^{6} + 3\cdot 127^{7} + 116\cdot 127^{8} + 27\cdot 127^{9} + 84\cdot 127^{10} + 107\cdot 127^{11} + 64\cdot 127^{12} + 13\cdot 127^{13} + 51\cdot 127^{14} +O\left(127^{ 15 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 44 + 61\cdot 127 + 113\cdot 127^{2} + 6\cdot 127^{3} + 72\cdot 127^{4} + 86\cdot 127^{5} + 62\cdot 127^{6} + 47\cdot 127^{7} + 75\cdot 127^{8} + 11\cdot 127^{9} + 81\cdot 127^{10} + 98\cdot 127^{11} + 51\cdot 127^{12} + 53\cdot 127^{13} + 74\cdot 127^{14} +O\left(127^{ 15 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 47 + 38\cdot 127 + 116\cdot 127^{2} + 19\cdot 127^{3} + 62\cdot 127^{4} + 19\cdot 127^{5} + 55\cdot 127^{6} + 72\cdot 127^{7} + 98\cdot 127^{8} + 96\cdot 127^{9} + 93\cdot 127^{10} + 102\cdot 127^{11} + 73\cdot 127^{12} + 90\cdot 127^{13} + 23\cdot 127^{14} +O\left(127^{ 15 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 80 + 88\cdot 127 + 10\cdot 127^{2} + 107\cdot 127^{3} + 64\cdot 127^{4} + 107\cdot 127^{5} + 71\cdot 127^{6} + 54\cdot 127^{7} + 28\cdot 127^{8} + 30\cdot 127^{9} + 33\cdot 127^{10} + 24\cdot 127^{11} + 53\cdot 127^{12} + 36\cdot 127^{13} + 103\cdot 127^{14} +O\left(127^{ 15 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 83 + 65\cdot 127 + 13\cdot 127^{2} + 120\cdot 127^{3} + 54\cdot 127^{4} + 40\cdot 127^{5} + 64\cdot 127^{6} + 79\cdot 127^{7} + 51\cdot 127^{8} + 115\cdot 127^{9} + 45\cdot 127^{10} + 28\cdot 127^{11} + 75\cdot 127^{12} + 73\cdot 127^{13} + 52\cdot 127^{14} +O\left(127^{ 15 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 104 + 99\cdot 127 + 5\cdot 127^{2} + 2\cdot 127^{3} + 37\cdot 127^{4} + 109\cdot 127^{5} + 60\cdot 127^{6} + 123\cdot 127^{7} + 10\cdot 127^{8} + 99\cdot 127^{9} + 42\cdot 127^{10} + 19\cdot 127^{11} + 62\cdot 127^{12} + 113\cdot 127^{13} + 75\cdot 127^{14} +O\left(127^{ 15 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 122 + 43\cdot 127 + 92\cdot 127^{2} + 119\cdot 127^{3} + 108\cdot 127^{4} + 115\cdot 127^{5} + 32\cdot 127^{6} + 20\cdot 127^{7} + 9\cdot 127^{8} + 54\cdot 127^{9} + 127^{10} + 74\cdot 127^{11} + 92\cdot 127^{12} + 65\cdot 127^{13} + 123\cdot 127^{14} +O\left(127^{ 15 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Cycle notation |
| $(1,8)(2,7)(3,6)(4,5)$ |
| $(1,6,7,4,8,3,2,5)$ |
| $(1,2)(4,5)(7,8)$ |
| $(1,2,8,7)(3,4,6,5)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $2$ |
| $1$ | $2$ | $(1,8)(2,7)(3,6)(4,5)$ | $-2$ |
| $4$ | $2$ | $(1,2)(4,5)(7,8)$ | $0$ |
| $2$ | $4$ | $(1,7,8,2)(3,5,6,4)$ | $0$ |
| $4$ | $4$ | $(1,6,8,3)(2,4,7,5)$ | $0$ |
| $2$ | $8$ | $(1,6,7,4,8,3,2,5)$ | $-\zeta_{8}^{3} - \zeta_{8}$ |
| $2$ | $8$ | $(1,3,7,5,8,6,2,4)$ | $\zeta_{8}^{3} + \zeta_{8}$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
