Basic invariants
| Dimension: | $2$ |
| Group: | $S_3 \times C_6$ |
| Conductor: | $288= 2^{5} \cdot 3^{2} $ |
| Artin number field: | Splitting field of $f= x^{18} + 9 x^{16} + 36 x^{14} + 97 x^{12} + 171 x^{10} + 189 x^{8} + 131 x^{6} + 54 x^{4} + 12 x^{2} + 1 $ over $\Q$ |
| Size of Galois orbit: | 2 |
| Smallest containing permutation representation: | $C_6\times S_3$ |
| Parity: | Odd |
| Determinant: | 1.2e3_3e2.6t1.3c1 |
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 19 }$ to precision 21.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 19 }$: $ x^{6} + 17 x^{3} + 17 x^{2} + 6 x + 2 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ | $=$ | $ a^{5} + 9 a^{4} + 18 a^{3} + 13 a^{2} + 9 a + 13 + \left(5 a^{5} + 10 a^{4} + 17 a^{3} + 9 a^{2} + 3 a + 14\right)\cdot 19 + \left(6 a^{4} + 18 a^{3} + 17 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 19^{2} + \left(17 a^{5} + 14 a^{4} + 17 a^{3} + 8 a^{2} + 1\right)\cdot 19^{3} + \left(3 a^{5} + 8 a^{4} + 8 a^{3} + 9 a^{2} + 14 a + 11\right)\cdot 19^{4} + \left(14 a^{5} + 7 a^{4} + 12 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 19^{5} + \left(13 a^{5} + 14 a^{4} + 7 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 19^{6} + \left(5 a^{5} + 15 a^{4} + 7 a^{3} + 18 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 19^{7} + \left(14 a^{5} + 8 a^{4} + 5 a^{3} + 14 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 19^{8} + \left(12 a^{5} + 14 a^{4} + 4 a^{3} + 18 a^{2} + 13 a + 7\right)\cdot 19^{9} + \left(7 a^{5} + a^{4} + 12 a^{3} + 13 a^{2} + 9 a + 13\right)\cdot 19^{10} + \left(15 a^{5} + 12 a^{4} + 16 a^{3} + 6 a^{2} + 15 a + 16\right)\cdot 19^{11} + \left(14 a^{5} + 16 a^{4} + 13 a^{3} + 17 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 19^{12} + \left(14 a^{5} + 5 a^{4} + 11 a^{3} + 18 a^{2} + 15 a + 15\right)\cdot 19^{13} + \left(11 a^{5} + 8 a^{4} + 17 a^{3} + 5 a^{2} + 16 a + 17\right)\cdot 19^{14} + \left(4 a^{5} + a^{4} + 18 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 19^{15} + \left(14 a^{5} + 15 a^{4} + 17 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 19^{16} + \left(14 a^{5} + 2 a^{4} + 14 a^{3} + 18 a^{2} + 2 a + 13\right)\cdot 19^{17} + \left(18 a^{5} + 7 a^{4} + 6 a^{2} + 17 a + 13\right)\cdot 19^{18} + \left(a^{5} + 16 a^{4} + 2 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a\right)\cdot 19^{19} + \left(11 a^{5} + 10 a^{4} + 11 a^{3} + 12 a^{2} + a + 7\right)\cdot 19^{20} +O\left(19^{ 21 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ | $=$ | $ 9 a^{5} + 16 a^{4} + 13 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 17 + \left(5 a^{5} + 12 a^{4} + 17 a^{3} + 12 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 19 + \left(15 a^{5} + 2 a^{4} + 11 a^{3} + 15 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 19^{2} + \left(a^{5} + 17 a^{4} + 13 a^{3} + 8 a^{2} + 15 a + 2\right)\cdot 19^{3} + \left(9 a^{5} + 13 a^{4} + 13 a^{3} + 10 a^{2} + 6\right)\cdot 19^{4} + \left(13 a^{5} + 4 a^{4} + 16 a^{3} + 18 a^{2} + 12 a\right)\cdot 19^{5} + \left(3 a^{5} + 17 a^{4} + 13 a^{3} + 8 a^{2} + 14 a + 9\right)\cdot 19^{6} + \left(10 a^{5} + 18 a^{4} + 2 a^{3} + 7 a^{2} + 3\right)\cdot 19^{7} + \left(15 a^{5} + 10 a^{4} + 3 a^{3} + 16 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 19^{8} + \left(3 a^{5} + 7 a^{4} + 6 a^{3} + 16 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 19^{9} + \left(4 a^{5} + 17 a^{4} + 2 a^{3} + 2 a^{2} + a + 13\right)\cdot 19^{10} + \left(4 a^{5} + 18 a^{4} + 9 a^{3} + 16 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 19^{11} + \left(2 a^{5} + 8 a^{4} + a^{3} + a^{2} + 18 a + 2\right)\cdot 19^{12} + \left(9 a^{5} + 2 a^{4} + 18 a^{3} + 7 a^{2} + 15\right)\cdot 19^{13} + \left(10 a^{5} + 15 a^{4} + 13 a^{3} + 12 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 19^{14} + \left(18 a^{5} + 11 a^{4} + 13 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 19^{15} + \left(2 a^{5} + 17 a^{4} + 18 a^{3} + 14 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 19^{16} + \left(a^{5} + 2 a^{4} + 8 a^{3} + a^{2} + 8 a + 17\right)\cdot 19^{17} + \left(9 a^{5} + 13 a^{4} + 12 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 19^{18} + \left(16 a^{5} + 7 a^{4} + 12 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 14\right)\cdot 19^{19} + \left(18 a^{5} + 17 a^{4} + 15 a^{3} + 16 a^{2} + 17 a + 6\right)\cdot 19^{20} +O\left(19^{ 21 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ | $=$ | $ 5 a^{5} + 11 a^{4} + 8 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a + 15 + \left(13 a^{5} + 13 a^{4} + 10 a^{3} + 16 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 19 + \left(16 a^{5} + 12 a^{4} + 6 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 17\right)\cdot 19^{2} + \left(11 a^{5} + 18 a^{4} + 18 a^{3} + 6 a^{2} + 13 a + 8\right)\cdot 19^{3} + \left(14 a^{5} + 11 a^{4} + 13 a^{3} + 18 a^{2} + 17 a + 1\right)\cdot 19^{4} + \left(16 a^{5} + 11 a^{4} + 5 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 19^{5} + \left(9 a^{5} + 10 a^{4} + 18 a^{3} + 12 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 19^{6} + \left(16 a^{5} + 10 a^{4} + 11 a^{3} + 17 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 19^{7} + \left(8 a^{5} + 18 a^{4} + 2 a^{3} + 8 a^{2} + 17 a + 1\right)\cdot 19^{8} + \left(13 a^{5} + 13 a^{4} + 5 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 16\right)\cdot 19^{9} + \left(18 a^{5} + 15 a^{4} + 18 a^{3} + 17 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 19^{10} + \left(2 a^{5} + 12 a^{4} + 6 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 19^{11} + \left(2 a^{5} + 14 a^{3} + 5 a^{2} + 14 a + 1\right)\cdot 19^{12} + \left(16 a^{5} + 6 a^{4} + 10 a^{3} + 15 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 19^{13} + \left(9 a^{5} + 18 a^{4} + 11 a^{3} + 12 a^{2} + 2 a + 16\right)\cdot 19^{14} + \left(11 a^{5} + 12 a^{4} + 16 a^{3} + 3 a^{2} + 18 a + 6\right)\cdot 19^{15} + \left(12 a^{5} + 6 a^{4} + 17 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 18\right)\cdot 19^{16} + \left(3 a^{5} + 14 a^{4} + 5 a^{3} + 17 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 19^{17} + \left(5 a^{5} + 11 a^{4} + 17 a^{3} + 2 a^{2} + 14 a + 8\right)\cdot 19^{18} + \left(3 a^{5} + 15 a^{4} + 9 a^{3} + 7 a^{2} + 14 a + 8\right)\cdot 19^{19} + \left(5 a^{5} + 9 a^{3} + 5 a^{2} + 18 a + 8\right)\cdot 19^{20} +O\left(19^{ 21 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ | $=$ | $ 3 a^{5} + 13 a^{4} + 5 a^{3} + 16 a^{2} + 7 a + 18 + \left(3 a^{5} + 8 a^{4} + 5 a^{3} + 18 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 19 + \left(9 a^{5} + 10 a^{4} + 14 a^{3} + a^{2} + 15 a + 13\right)\cdot 19^{2} + \left(10 a^{5} + 6 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 14\right)\cdot 19^{3} + \left(16 a^{4} + 13 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 19^{4} + \left(17 a^{5} + 7 a^{4} + 4 a^{3} + 14 a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 19^{5} + \left(3 a^{5} + 10 a^{4} + 9 a^{3} + 16 a^{2}\right)\cdot 19^{6} + \left(18 a^{5} + 7 a^{4} + 16 a^{3} + 8 a^{2} + 16 a\right)\cdot 19^{7} + \left(10 a^{5} + 14 a^{4} + 15 a^{3} + 17 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 19^{8} + \left(7 a^{5} + 7 a^{4} + 15 a^{3} + 17 a^{2} + 10 a\right)\cdot 19^{9} + \left(2 a^{5} + 14 a^{4} + 16 a^{3} + 13 a^{2} + 16 a + 8\right)\cdot 19^{10} + \left(15 a^{5} + 16 a^{4} + 12 a^{3} + 11 a^{2} + 17 a + 1\right)\cdot 19^{11} + \left(6 a^{5} + 8 a^{3} + 18 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 19^{12} + \left(10 a^{5} + 10 a^{4} + 12 a^{3} + 17 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 19^{13} + \left(5 a^{5} + 2 a^{3} + 15 a^{2} + 17 a + 18\right)\cdot 19^{14} + \left(7 a^{5} + 7 a^{4} + 6 a^{2} + 17 a + 15\right)\cdot 19^{15} + \left(16 a^{5} + 9 a^{4} + 8 a^{3} + 16 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 19^{16} + \left(17 a^{5} + 5 a^{4} + 18 a^{3} + 18 a^{2} + 16 a + 4\right)\cdot 19^{17} + \left(13 a^{5} + 16 a^{3} + 4 a^{2} + 8\right)\cdot 19^{18} + \left(11 a^{5} + 9 a^{4} + 15 a^{3} + 14 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 19^{19} + \left(11 a^{5} + 17 a^{4} + 16 a^{3} + 18 a^{2} + 3 a + 16\right)\cdot 19^{20} +O\left(19^{ 21 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ | $=$ | $ a^{5} + 5 a^{4} + 3 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 8 + \left(12 a^{5} + 6 a^{4} + 7 a^{3} + 11 a^{2} + 16 a + 8\right)\cdot 19 + \left(12 a^{5} + 7 a^{4} + 15 a^{3} + 6 a^{2} + 17 a + 1\right)\cdot 19^{2} + \left(14 a^{5} + 5 a^{4} + 3 a^{3} + 15 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 19^{3} + \left(5 a^{5} + 4 a^{4} + 8 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 19^{4} + \left(9 a^{4} + 5 a^{3} + 4 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 19^{5} + \left(5 a^{5} + 3 a^{4} + 15 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 19^{6} + \left(17 a^{5} + 12 a^{4} + 2 a^{3} + 13 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 19^{7} + \left(8 a^{5} + 18 a^{4} + 13 a^{3} + 16 a^{2} + 2 a + 16\right)\cdot 19^{8} + \left(13 a^{5} + 14 a^{4} + 10 a^{3} + 14 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 19^{9} + \left(10 a^{5} + 3 a^{4} + 3 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a\right)\cdot 19^{10} + \left(3 a^{5} + 14 a^{4} + 7 a^{3} + a^{2} + 13 a + 15\right)\cdot 19^{11} + \left(a^{5} + 14 a^{4} + 15 a^{2} + 3 a + 14\right)\cdot 19^{12} + \left(a^{5} + 18 a^{4} + 10 a^{3} + 12 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 19^{13} + \left(8 a^{5} + 18 a^{4} + 7 a^{3} + 5 a^{2} + 18 a + 15\right)\cdot 19^{14} + \left(a^{5} + 17 a^{4} + 14 a^{3} + 17 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 19^{15} + \left(2 a^{5} + 2 a^{4} + a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 19^{16} + \left(13 a^{5} + 17 a^{4} + 5 a^{3} + 15 a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 19^{17} + \left(2 a^{5} + 9 a^{4} + 4 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 19^{18} + \left(18 a^{5} + 9 a^{4} + 17 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 19^{19} + \left(2 a^{5} + 9 a^{4} + 17 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 19^{20} +O\left(19^{ 21 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ | $=$ | $ 6 a^{5} + 4 a^{4} + 6 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 6 + \left(3 a^{4} + 13 a^{3} + a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 19 + \left(12 a^{4} + 4 a^{3} + 16 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 19^{2} + \left(16 a^{5} + a^{4} + 2 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 19^{3} + \left(6 a^{5} + 8 a^{3} + 14 a^{2} + 14 a + 5\right)\cdot 19^{4} + \left(17 a^{5} + 8 a^{4} + 16 a^{3} + 4 a^{2} + 14 a + 16\right)\cdot 19^{5} + \left(3 a^{4} + 11 a^{3} + 17 a^{2} + 17 a + 4\right)\cdot 19^{6} + \left(a^{5} + a^{4} + 15 a^{3} + 9 a^{2} + 18 a + 15\right)\cdot 19^{7} + \left(2 a^{5} + 10 a^{4} + a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 19^{8} + \left(3 a^{5} + 15 a^{4} + 15 a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 19^{9} + \left(7 a^{5} + 4 a^{4} + 13 a^{3} + 7 a^{2} + 15 a + 11\right)\cdot 19^{10} + \left(6 a^{5} + 16 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 18\right)\cdot 19^{11} + \left(17 a^{5} + 6 a^{4} + 9 a^{3} + 12 a^{2} + 10 a + 13\right)\cdot 19^{12} + \left(10 a^{5} + 12 a^{4} + a^{3} + 2 a^{2} + 16 a + 10\right)\cdot 19^{13} + \left(8 a^{5} + 2 a^{4} + 10 a^{3} + a^{2} + 18 a + 6\right)\cdot 19^{14} + \left(14 a^{4} + 3 a^{3} + 16 a^{2} + 10 a + 18\right)\cdot 19^{15} + \left(5 a^{5} + 5 a^{4} + 4 a^{3} + 2 a^{2} + 16 a + 14\right)\cdot 19^{16} + \left(3 a^{5} + 18 a^{4} + 9 a^{3} + 18 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 19^{17} + \left(12 a^{5} + a^{4} + 11 a^{3} + 9 a + 6\right)\cdot 19^{18} + \left(17 a^{5} + 8 a^{4} + 11 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 19^{19} + \left(15 a^{5} + 16 a^{4} + a^{3} + 10 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 19^{20} +O\left(19^{ 21 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ | $=$ | $ 3 a^{5} + 17 a^{4} + 13 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 11 + \left(11 a^{5} + 10 a^{4} + 18 a^{3} + 11 a^{2} + a + 5\right)\cdot 19 + \left(4 a^{5} + 11 a^{4} + 15 a^{3} + 12 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 19^{2} + \left(a^{5} + 3 a^{4} + 9 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 13\right)\cdot 19^{3} + \left(11 a^{5} + 5 a^{4} + 13 a^{3} + 4 a^{2} + a + 13\right)\cdot 19^{4} + \left(a^{5} + 16 a^{4} + 15 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 18\right)\cdot 19^{5} + \left(14 a^{5} + 15 a^{4} + 6 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a\right)\cdot 19^{6} + \left(12 a^{5} + 18 a^{4} + 10 a^{3} + 14 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 19^{7} + \left(16 a^{5} + 3 a^{4} + a^{3} + 15 a^{2} + 7 a + 15\right)\cdot 19^{8} + \left(4 a^{5} + 11 a^{4} + 10 a^{3} + 3 a^{2} + 14 a + 2\right)\cdot 19^{9} + \left(15 a^{5} + 12 a^{4} + 10 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 17\right)\cdot 19^{10} + \left(18 a^{5} + 5 a^{4} + 12 a^{3} + 2 a^{2} + 15 a + 17\right)\cdot 19^{11} + \left(16 a^{5} + 4 a^{4} + 3 a^{3} + 3 a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 19^{12} + \left(8 a^{4} + a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 19^{13} + \left(13 a^{5} + 11 a^{4} + 17 a^{3} + a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 19^{14} + \left(17 a^{5} + 14 a^{4} + 8 a^{3} + 8 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 19^{15} + \left(12 a^{5} + 17 a^{4} + 13 a^{3} + 13 a^{2} + 11 a\right)\cdot 19^{16} + \left(7 a^{5} + 9 a^{4} + 7 a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 17\right)\cdot 19^{17} + \left(3 a^{5} + 12 a^{4} + 18 a^{3} + a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 19^{18} + \left(16 a^{5} + 4 a^{4} + 18 a^{3} + 4 a^{2} + 13\right)\cdot 19^{19} + \left(12 a^{5} + 10 a^{4} + 16 a^{3} + 18 a^{2} + 13 a + 17\right)\cdot 19^{20} +O\left(19^{ 21 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ | $=$ | $ 8 a^{5} + 5 a^{4} + 3 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 5 + \left(11 a^{5} + 11 a^{4} + 17 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 19 + \left(11 a^{5} + 8 a^{4} + 10 a^{3} + 14 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 19^{2} + \left(8 a^{5} + 3 a^{4} + 9 a^{3} + 7 a + 2\right)\cdot 19^{3} + \left(3 a^{5} + 8 a^{4} + a^{3} + 17 a^{2} + a + 15\right)\cdot 19^{4} + \left(4 a^{5} + 3 a^{4} + 17 a^{3} + 17 a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 19^{5} + \left(5 a^{5} + 9 a^{4} + 9 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 19^{6} + \left(7 a^{5} + 12 a^{4} + 4 a^{3} + 4 a + 13\right)\cdot 19^{7} + \left(6 a^{5} + a^{4} + 5 a^{3} + 13 a^{2} + 13 a + 9\right)\cdot 19^{8} + \left(18 a^{5} + 14 a^{4} + 5 a^{3} + 10 a^{2} + 14 a + 17\right)\cdot 19^{9} + \left(6 a^{5} + 10 a^{4} + 5 a^{3} + 10 a^{2} + 18 a + 1\right)\cdot 19^{10} + \left(9 a^{5} + 4 a^{4} + 11 a^{3} + 9 a^{2} + 3 a + 17\right)\cdot 19^{11} + \left(16 a^{5} + 7 a^{4} + 2 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 19^{12} + \left(13 a^{5} + 10 a^{4} + 18 a^{3} + 12 a + 18\right)\cdot 19^{13} + \left(9 a^{5} + 14 a^{4} + 4 a^{3} + 3 a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 19^{14} + \left(15 a^{5} + 7 a^{4} + 16 a^{3} + 3 a^{2} + 18 a + 18\right)\cdot 19^{15} + \left(9 a^{5} + 18 a^{4} + 17 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a\right)\cdot 19^{16} + \left(8 a^{5} + 14 a^{4} + 14 a^{3} + 10 a^{2} + 17 a + 13\right)\cdot 19^{17} + \left(8 a^{5} + 2 a^{4} + 8 a^{3} + 5 a^{2} + 16 a + 18\right)\cdot 19^{18} + \left(3 a^{5} + 14 a^{4} + 3 a^{3} + 16 a^{2} + 16\right)\cdot 19^{19} + \left(16 a^{5} + 6 a^{4} + 11 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 14\right)\cdot 19^{20} +O\left(19^{ 21 }\right)$ |
| $r_{ 9 }$ | $=$ | $ 7 a^{5} + 12 a^{4} + 7 a^{3} + a^{2} + 13 a + 12 + \left(16 a^{5} + 12 a^{4} + 9 a^{3} + 15 a^{2}\right)\cdot 19 + \left(3 a^{5} + 3 a^{4} + 6 a^{3} + 7 a^{2} + 13 a + 2\right)\cdot 19^{2} + \left(13 a^{5} + a^{4} + 6 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 13\right)\cdot 19^{3} + \left(18 a^{5} + 4 a^{4} + 17 a^{3} + 2 a^{2} + 17 a + 17\right)\cdot 19^{4} + \left(8 a^{5} + 15 a^{4} + 6 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 19^{5} + \left(8 a^{5} + 3 a^{3} + 13 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 19^{6} + \left(3 a^{5} + 5 a^{4} + 17 a^{3} + 2 a^{2} + a + 14\right)\cdot 19^{7} + \left(3 a^{5} + 16 a^{4} + 17 a^{3} + 15 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 19^{8} + \left(a^{5} + 15 a^{4} + 6 a^{3} + 13 a + 3\right)\cdot 19^{9} + \left(a^{5} + 16 a^{3} + a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 19^{10} + \left(18 a^{5} + 8 a^{4} + 10 a^{3} + 8 a^{2} + 18 a + 1\right)\cdot 19^{11} + \left(3 a^{5} + 12 a^{4} + 16 a^{3} + a^{2} + 17 a + 10\right)\cdot 19^{12} + \left(17 a^{5} + 13 a^{4} + 2 a^{2} + 14 a + 7\right)\cdot 19^{13} + \left(4 a^{5} + 15 a^{4} + 10 a^{3} + 14 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 19^{14} + \left(17 a^{4} + 6 a^{3} + 11 a^{2} + 14 a + 5\right)\cdot 19^{15} + \left(6 a^{5} + 4 a^{4} + 18 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 19^{16} + \left(2 a^{5} + 17 a^{4} + 16 a^{3} + 8 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 19^{17} + \left(9 a^{5} + 12 a^{4} + 7 a^{3} + 5 a^{2} + 18 a + 15\right)\cdot 19^{18} + \left(10 a^{5} + 8 a^{4} + 17 a^{3} + 16 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 19^{19} + \left(14 a^{5} + 18 a^{4} + 3 a^{3} + 15 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 19^{20} +O\left(19^{ 21 }\right)$ |
| $r_{ 10 }$ | $=$ | $ 18 a^{5} + 10 a^{4} + a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 6 + \left(13 a^{5} + 8 a^{4} + a^{3} + 9 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 19 + \left(18 a^{5} + 12 a^{4} + a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 19^{2} + \left(a^{5} + 4 a^{4} + a^{3} + 10 a^{2} + 18 a + 17\right)\cdot 19^{3} + \left(15 a^{5} + 10 a^{4} + 10 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 19^{4} + \left(4 a^{5} + 11 a^{4} + 6 a^{3} + 10 a^{2} + 16 a + 4\right)\cdot 19^{5} + \left(5 a^{5} + 4 a^{4} + 11 a^{3} + 13 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 19^{6} + \left(13 a^{5} + 3 a^{4} + 11 a^{3} + 15 a + 8\right)\cdot 19^{7} + \left(4 a^{5} + 10 a^{4} + 13 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 19^{8} + \left(6 a^{5} + 4 a^{4} + 14 a^{3} + 5 a + 11\right)\cdot 19^{9} + \left(11 a^{5} + 17 a^{4} + 6 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 19^{10} + \left(3 a^{5} + 6 a^{4} + 2 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 19^{11} + \left(4 a^{5} + 2 a^{4} + 5 a^{3} + a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 19^{12} + \left(4 a^{5} + 13 a^{4} + 7 a^{3} + 3 a + 3\right)\cdot 19^{13} + \left(7 a^{5} + 10 a^{4} + a^{3} + 13 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 19^{14} + \left(14 a^{5} + 17 a^{4} + 12 a^{2} + 13 a + 15\right)\cdot 19^{15} + \left(4 a^{5} + 3 a^{4} + a^{3} + 12 a^{2} + 14 a\right)\cdot 19^{16} + \left(4 a^{5} + 16 a^{4} + 4 a^{3} + 16 a + 5\right)\cdot 19^{17} + \left(11 a^{4} + 18 a^{3} + 12 a^{2} + a + 5\right)\cdot 19^{18} + \left(17 a^{5} + 2 a^{4} + 16 a^{3} + 12 a^{2} + 14 a + 18\right)\cdot 19^{19} + \left(7 a^{5} + 8 a^{4} + 7 a^{3} + 6 a^{2} + 17 a + 11\right)\cdot 19^{20} +O\left(19^{ 21 }\right)$ |
| $r_{ 11 }$ | $=$ | $ 10 a^{5} + 3 a^{4} + 6 a^{3} + 15 a^{2} + 8 a + 2 + \left(13 a^{5} + 6 a^{4} + a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 19 + \left(3 a^{5} + 16 a^{4} + 7 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 19^{2} + \left(17 a^{5} + a^{4} + 5 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a + 16\right)\cdot 19^{3} + \left(9 a^{5} + 5 a^{4} + 5 a^{3} + 8 a^{2} + 18 a + 12\right)\cdot 19^{4} + \left(5 a^{5} + 14 a^{4} + 2 a^{3} + 6 a + 18\right)\cdot 19^{5} + \left(15 a^{5} + a^{4} + 5 a^{3} + 10 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 19^{6} + \left(8 a^{5} + 16 a^{3} + 11 a^{2} + 18 a + 15\right)\cdot 19^{7} + \left(3 a^{5} + 8 a^{4} + 15 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 14\right)\cdot 19^{8} + \left(15 a^{5} + 11 a^{4} + 12 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 19^{9} + \left(14 a^{5} + a^{4} + 16 a^{3} + 16 a^{2} + 17 a + 5\right)\cdot 19^{10} + \left(14 a^{5} + 9 a^{3} + 2 a^{2} + 12 a + 16\right)\cdot 19^{11} + \left(16 a^{5} + 10 a^{4} + 17 a^{3} + 17 a^{2} + 16\right)\cdot 19^{12} + \left(9 a^{5} + 16 a^{4} + 11 a^{2} + 18 a + 3\right)\cdot 19^{13} + \left(8 a^{5} + 3 a^{4} + 5 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 19^{14} + \left(7 a^{4} + 5 a^{3} + 7 a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 19^{15} + \left(16 a^{5} + a^{4} + 4 a^{2} + 3 a + 15\right)\cdot 19^{16} + \left(17 a^{5} + 16 a^{4} + 10 a^{3} + 17 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 19^{17} + \left(9 a^{5} + 5 a^{4} + 6 a^{3} + 8 a^{2} + 11 a + 13\right)\cdot 19^{18} + \left(2 a^{5} + 11 a^{4} + 6 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 19^{19} + \left(a^{4} + 3 a^{3} + 2 a^{2} + a + 12\right)\cdot 19^{20} +O\left(19^{ 21 }\right)$ |
| $r_{ 12 }$ | $=$ | $ 14 a^{5} + 8 a^{4} + 11 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 4 + \left(5 a^{5} + 5 a^{4} + 8 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 19 + \left(2 a^{5} + 6 a^{4} + 12 a^{3} + 8 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 19^{2} + \left(7 a^{5} + 12 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 19^{3} + \left(4 a^{5} + 7 a^{4} + 5 a^{3} + a + 17\right)\cdot 19^{4} + \left(2 a^{5} + 7 a^{4} + 13 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 19^{5} + \left(9 a^{5} + 8 a^{4} + 6 a^{2} + 13 a + 10\right)\cdot 19^{6} + \left(2 a^{5} + 8 a^{4} + 7 a^{3} + a^{2} + 14 a + 9\right)\cdot 19^{7} + \left(10 a^{5} + 16 a^{3} + 10 a^{2} + a + 17\right)\cdot 19^{8} + \left(5 a^{5} + 5 a^{4} + 13 a^{3} + 14 a^{2} + 15 a + 2\right)\cdot 19^{9} + \left(3 a^{4} + a^{2} + 12 a + 16\right)\cdot 19^{10} + \left(16 a^{5} + 6 a^{4} + 12 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 19^{11} + \left(16 a^{5} + 18 a^{4} + 4 a^{3} + 13 a^{2} + 4 a + 17\right)\cdot 19^{12} + \left(2 a^{5} + 12 a^{4} + 8 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 19^{13} + \left(9 a^{5} + 7 a^{3} + 6 a^{2} + 16 a + 2\right)\cdot 19^{14} + \left(7 a^{5} + 6 a^{4} + 2 a^{3} + 15 a^{2} + 12\right)\cdot 19^{15} + \left(6 a^{5} + 12 a^{4} + a^{3} + 14 a^{2} + 12 a\right)\cdot 19^{16} + \left(15 a^{5} + 4 a^{4} + 13 a^{3} + a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 19^{17} + \left(13 a^{5} + 7 a^{4} + a^{3} + 16 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 19^{18} + \left(15 a^{5} + 3 a^{4} + 9 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 19^{19} + \left(13 a^{5} + 18 a^{4} + 9 a^{3} + 13 a^{2} + 10\right)\cdot 19^{20} +O\left(19^{ 21 }\right)$ |
| $r_{ 13 }$ | $=$ | $ 16 a^{5} + 6 a^{4} + 14 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 1 + \left(15 a^{5} + 10 a^{4} + 13 a^{3} + 7 a + 12\right)\cdot 19 + \left(9 a^{5} + 8 a^{4} + 4 a^{3} + 17 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 19^{2} + \left(8 a^{5} + 18 a^{4} + 12 a^{3} + 7 a^{2} + 13 a + 4\right)\cdot 19^{3} + \left(18 a^{5} + 2 a^{4} + 5 a^{3} + 12 a^{2} + 13 a + 9\right)\cdot 19^{4} + \left(a^{5} + 11 a^{4} + 14 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 19^{5} + \left(15 a^{5} + 8 a^{4} + 9 a^{3} + 2 a^{2} + 18 a + 18\right)\cdot 19^{6} + \left(11 a^{4} + 2 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 18\right)\cdot 19^{7} + \left(8 a^{5} + 4 a^{4} + 3 a^{3} + a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 19^{8} + \left(11 a^{5} + 11 a^{4} + 3 a^{3} + a^{2} + 8 a + 18\right)\cdot 19^{9} + \left(16 a^{5} + 4 a^{4} + 2 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 19^{10} + \left(3 a^{5} + 2 a^{4} + 6 a^{3} + 7 a^{2} + a + 17\right)\cdot 19^{11} + \left(12 a^{5} + 18 a^{4} + 10 a^{3} + 16 a + 8\right)\cdot 19^{12} + \left(8 a^{5} + 8 a^{4} + 6 a^{3} + a^{2} + 9 a + 13\right)\cdot 19^{13} + \left(13 a^{5} + 18 a^{4} + 16 a^{3} + 3 a^{2} + a\right)\cdot 19^{14} + \left(11 a^{5} + 11 a^{4} + 18 a^{3} + 12 a^{2} + a + 3\right)\cdot 19^{15} + \left(2 a^{5} + 9 a^{4} + 10 a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 16\right)\cdot 19^{16} + \left(a^{5} + 13 a^{4} + 2 a + 14\right)\cdot 19^{17} + \left(5 a^{5} + 18 a^{4} + 2 a^{3} + 14 a^{2} + 18 a + 10\right)\cdot 19^{18} + \left(7 a^{5} + 9 a^{4} + 3 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 17\right)\cdot 19^{19} + \left(7 a^{5} + a^{4} + 2 a^{3} + 15 a + 2\right)\cdot 19^{20} +O\left(19^{ 21 }\right)$ |
| $r_{ 14 }$ | $=$ | $ 18 a^{5} + 14 a^{4} + 16 a^{3} + 9 a^{2} + 14 a + 11 + \left(6 a^{5} + 12 a^{4} + 11 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 19 + \left(6 a^{5} + 11 a^{4} + 3 a^{3} + 12 a^{2} + a + 17\right)\cdot 19^{2} + \left(4 a^{5} + 13 a^{4} + 15 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 16\right)\cdot 19^{3} + \left(13 a^{5} + 14 a^{4} + 10 a^{3} + 14 a^{2} + 16 a + 4\right)\cdot 19^{4} + \left(18 a^{5} + 9 a^{4} + 13 a^{3} + 14 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 19^{5} + \left(13 a^{5} + 15 a^{4} + 3 a^{3} + 12 a^{2} + 10 a + 14\right)\cdot 19^{6} + \left(a^{5} + 6 a^{4} + 16 a^{3} + 5 a^{2} + 14 a + 17\right)\cdot 19^{7} + \left(10 a^{5} + 5 a^{3} + 2 a^{2} + 16 a + 2\right)\cdot 19^{8} + \left(5 a^{5} + 4 a^{4} + 8 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 17\right)\cdot 19^{9} + \left(8 a^{5} + 15 a^{4} + 15 a^{3} + 11 a^{2} + 13 a + 18\right)\cdot 19^{10} + \left(15 a^{5} + 4 a^{4} + 11 a^{3} + 17 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 19^{11} + \left(17 a^{5} + 4 a^{4} + 18 a^{3} + 3 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 19^{12} + \left(17 a^{5} + 8 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 19^{13} + \left(10 a^{5} + 11 a^{3} + 13 a^{2} + 3\right)\cdot 19^{14} + \left(17 a^{5} + a^{4} + 4 a^{3} + a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 19^{15} + \left(16 a^{5} + 16 a^{4} + 17 a^{3} + 15 a^{2} + 10 a + 14\right)\cdot 19^{16} + \left(5 a^{5} + a^{4} + 13 a^{3} + 3 a^{2} + 14 a\right)\cdot 19^{17} + \left(16 a^{5} + 9 a^{4} + 14 a^{3} + 15 a^{2} + 14 a + 9\right)\cdot 19^{18} + \left(9 a^{4} + a^{3} + 7 a^{2} + 14 a + 6\right)\cdot 19^{19} + \left(16 a^{5} + 9 a^{4} + a^{3} + 14 a^{2} + 13 a + 10\right)\cdot 19^{20} +O\left(19^{ 21 }\right)$ |
| $r_{ 15 }$ | $=$ | $ 13 a^{5} + 15 a^{4} + 13 a^{3} + 7 a^{2} + 15 a + 13 + \left(18 a^{5} + 15 a^{4} + 5 a^{3} + 17 a^{2} + 11 a + 16\right)\cdot 19 + \left(18 a^{5} + 6 a^{4} + 14 a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 19^{2} + \left(2 a^{5} + 17 a^{4} + 18 a^{3} + 16 a^{2} + 10 a + 16\right)\cdot 19^{3} + \left(12 a^{5} + 18 a^{4} + 10 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 19^{4} + \left(a^{5} + 10 a^{4} + 2 a^{3} + 14 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 19^{5} + \left(18 a^{5} + 15 a^{4} + 7 a^{3} + a^{2} + a + 14\right)\cdot 19^{6} + \left(17 a^{5} + 17 a^{4} + 3 a^{3} + 9 a^{2} + 3\right)\cdot 19^{7} + \left(16 a^{5} + 8 a^{4} + 17 a^{3} + 9 a^{2} + 16 a + 12\right)\cdot 19^{8} + \left(15 a^{5} + 3 a^{4} + 3 a^{3} + 16 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 19^{9} + \left(11 a^{5} + 14 a^{4} + 5 a^{3} + 11 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 19^{10} + \left(12 a^{5} + 18 a^{4} + 2 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a\right)\cdot 19^{11} + \left(a^{5} + 12 a^{4} + 9 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 19^{12} + \left(8 a^{5} + 6 a^{4} + 17 a^{3} + 16 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 19^{13} + \left(10 a^{5} + 16 a^{4} + 8 a^{3} + 17 a^{2} + 12\right)\cdot 19^{14} + \left(18 a^{5} + 4 a^{4} + 15 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a\right)\cdot 19^{15} + \left(13 a^{5} + 13 a^{4} + 14 a^{3} + 16 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 19^{16} + \left(15 a^{5} + 9 a^{3} + 15 a + 8\right)\cdot 19^{17} + \left(6 a^{5} + 17 a^{4} + 7 a^{3} + 18 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 19^{18} + \left(a^{5} + 10 a^{4} + 7 a^{3} + 13 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 19^{19} + \left(3 a^{5} + 2 a^{4} + 17 a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 19^{20} +O\left(19^{ 21 }\right)$ |
| $r_{ 16 }$ | $=$ | $ 16 a^{5} + 2 a^{4} + 6 a^{3} + 13 a^{2} + 15 a + 8 + \left(7 a^{5} + 8 a^{4} + 7 a^{2} + 17 a + 13\right)\cdot 19 + \left(14 a^{5} + 7 a^{4} + 3 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 19^{2} + \left(17 a^{5} + 15 a^{4} + 9 a^{3} + 9 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 19^{3} + \left(7 a^{5} + 13 a^{4} + 5 a^{3} + 14 a^{2} + 17 a + 5\right)\cdot 19^{4} + \left(17 a^{5} + 2 a^{4} + 3 a^{3} + 12 a^{2} + 13 a\right)\cdot 19^{5} + \left(4 a^{5} + 3 a^{4} + 12 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 18\right)\cdot 19^{6} + \left(6 a^{5} + 8 a^{3} + 4 a^{2} + 16 a + 17\right)\cdot 19^{7} + \left(2 a^{5} + 15 a^{4} + 17 a^{3} + 3 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 19^{8} + \left(14 a^{5} + 7 a^{4} + 8 a^{3} + 15 a^{2} + 4 a + 16\right)\cdot 19^{9} + \left(3 a^{5} + 6 a^{4} + 8 a^{3} + 6 a^{2} + 15 a + 1\right)\cdot 19^{10} + \left(13 a^{4} + 6 a^{3} + 16 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 19^{11} + \left(2 a^{5} + 14 a^{4} + 15 a^{3} + 15 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 19^{12} + \left(18 a^{5} + 10 a^{4} + 17 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 19^{13} + \left(5 a^{5} + 7 a^{4} + a^{3} + 17 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 19^{14} + \left(a^{5} + 4 a^{4} + 10 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 19^{15} + \left(6 a^{5} + a^{4} + 5 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 18\right)\cdot 19^{16} + \left(11 a^{5} + 9 a^{4} + 11 a^{3} + 11 a^{2} + 15 a + 1\right)\cdot 19^{17} + \left(15 a^{5} + 6 a^{4} + 17 a^{2} + 16 a + 17\right)\cdot 19^{18} + \left(2 a^{5} + 14 a^{4} + 14 a^{2} + 18 a + 5\right)\cdot 19^{19} + \left(6 a^{5} + 8 a^{4} + 2 a^{3} + 5 a + 1\right)\cdot 19^{20} +O\left(19^{ 21 }\right)$ |
| $r_{ 17 }$ | $=$ | $ 11 a^{5} + 14 a^{4} + 16 a^{3} + 17 a^{2} + 13 a + 14 + \left(7 a^{5} + 7 a^{4} + a^{3} + 6 a^{2} + 15 a + 17\right)\cdot 19 + \left(7 a^{5} + 10 a^{4} + 8 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 17\right)\cdot 19^{2} + \left(10 a^{5} + 15 a^{4} + 9 a^{3} + 18 a^{2} + 11 a + 16\right)\cdot 19^{3} + \left(15 a^{5} + 10 a^{4} + 17 a^{3} + a^{2} + 17 a + 3\right)\cdot 19^{4} + \left(14 a^{5} + 15 a^{4} + a^{3} + a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 19^{5} + \left(13 a^{5} + 9 a^{4} + 9 a^{3} + 9 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 19^{6} + \left(11 a^{5} + 6 a^{4} + 14 a^{3} + 18 a^{2} + 14 a + 5\right)\cdot 19^{7} + \left(12 a^{5} + 17 a^{4} + 13 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 19^{8} + \left(4 a^{4} + 13 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 19^{9} + \left(12 a^{5} + 8 a^{4} + 13 a^{3} + 8 a^{2} + 17\right)\cdot 19^{10} + \left(9 a^{5} + 14 a^{4} + 7 a^{3} + 9 a^{2} + 15 a + 1\right)\cdot 19^{11} + \left(2 a^{5} + 11 a^{4} + 16 a^{3} + 14 a^{2} + 12 a + 16\right)\cdot 19^{12} + \left(5 a^{5} + 8 a^{4} + 18 a^{2} + 6 a\right)\cdot 19^{13} + \left(9 a^{5} + 4 a^{4} + 14 a^{3} + 15 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 19^{14} + \left(3 a^{5} + 11 a^{4} + 2 a^{3} + 15 a^{2}\right)\cdot 19^{15} + \left(9 a^{5} + a^{3} + 13 a^{2} + 13 a + 18\right)\cdot 19^{16} + \left(10 a^{5} + 4 a^{4} + 4 a^{3} + 8 a^{2} + a + 5\right)\cdot 19^{17} + \left(10 a^{5} + 16 a^{4} + 10 a^{3} + 13 a^{2} + 2 a\right)\cdot 19^{18} + \left(15 a^{5} + 4 a^{4} + 15 a^{3} + 2 a^{2} + 18 a + 2\right)\cdot 19^{19} + \left(2 a^{5} + 12 a^{4} + 7 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 19^{20} +O\left(19^{ 21 }\right)$ |
| $r_{ 18 }$ | $=$ | $ 12 a^{5} + 7 a^{4} + 12 a^{3} + 18 a^{2} + 6 a + 7 + \left(2 a^{5} + 6 a^{4} + 9 a^{3} + 3 a^{2} + 18 a + 18\right)\cdot 19 + \left(15 a^{5} + 15 a^{4} + 12 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 16\right)\cdot 19^{2} + \left(5 a^{5} + 17 a^{4} + 12 a^{3} + 15 a^{2} + 13 a + 5\right)\cdot 19^{3} + \left(14 a^{4} + a^{3} + 16 a^{2} + a + 1\right)\cdot 19^{4} + \left(10 a^{5} + 3 a^{4} + 12 a^{3} + 10 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 19^{5} + \left(10 a^{5} + 18 a^{4} + 15 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 19^{6} + \left(15 a^{5} + 13 a^{4} + a^{3} + 16 a^{2} + 17 a + 4\right)\cdot 19^{7} + \left(15 a^{5} + 2 a^{4} + a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 19^{8} + \left(17 a^{5} + 3 a^{4} + 12 a^{3} + 18 a^{2} + 5 a + 15\right)\cdot 19^{9} + \left(17 a^{5} + 18 a^{4} + 2 a^{3} + 17 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 19^{10} + \left(10 a^{4} + 8 a^{3} + 10 a^{2} + 17\right)\cdot 19^{11} + \left(15 a^{5} + 6 a^{4} + 2 a^{3} + 17 a^{2} + a + 8\right)\cdot 19^{12} + \left(a^{5} + 5 a^{4} + 18 a^{3} + 16 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 19^{13} + \left(14 a^{5} + 3 a^{4} + 8 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 19^{14} + \left(18 a^{5} + a^{4} + 12 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 19^{15} + \left(12 a^{5} + 14 a^{4} + 6 a^{2} + 14 a + 17\right)\cdot 19^{16} + \left(16 a^{5} + a^{4} + 2 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 19^{17} + \left(9 a^{5} + 6 a^{4} + 11 a^{3} + 13 a^{2} + 3\right)\cdot 19^{18} + \left(8 a^{5} + 10 a^{4} + a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 19^{19} + \left(4 a^{5} + 15 a^{3} + 3 a^{2} + 14 a + 17\right)\cdot 19^{20} +O\left(19^{ 21 }\right)$ |
Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 18 }$
| Cycle notation |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on $r_1, \ldots, r_{ 18 }$ | Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $2$ |
| $1$ | $2$ | $(1,10)(2,11)(3,12)(4,13)(5,14)(6,15)(7,16)(8,17)(9,18)$ | $-2$ |
| $3$ | $2$ | $(1,12)(2,18)(3,10)(4,13)(5,6)(7,16)(8,17)(9,11)(14,15)$ | $0$ |
| $3$ | $2$ | $(1,4)(2,17)(5,7)(8,11)(10,13)(14,16)$ | $0$ |
| $1$ | $3$ | $(1,2,5)(3,9,15)(4,17,7)(6,12,18)(8,16,13)(10,11,14)$ | $-2 \zeta_{3} - 2$ |
| $1$ | $3$ | $(1,5,2)(3,15,9)(4,7,17)(6,18,12)(8,13,16)(10,14,11)$ | $2 \zeta_{3}$ |
| $2$ | $3$ | $(1,17,15)(2,7,3)(4,9,5)(6,10,8)(11,16,12)(13,18,14)$ | $\zeta_{3} + 1$ |
| $2$ | $3$ | $(1,15,17)(2,3,7)(4,5,9)(6,8,10)(11,12,16)(13,14,18)$ | $-\zeta_{3}$ |
| $2$ | $3$ | $(1,3,4)(2,9,17)(5,15,7)(6,16,14)(8,11,18)(10,12,13)$ | $-1$ |
| $1$ | $6$ | $(1,14,2,10,5,11)(3,6,9,12,15,18)(4,16,17,13,7,8)$ | $-2 \zeta_{3}$ |
| $1$ | $6$ | $(1,11,5,10,2,14)(3,18,15,12,9,6)(4,8,7,13,17,16)$ | $2 \zeta_{3} + 2$ |
| $2$ | $6$ | $(1,6,17,10,15,8)(2,12,7,11,3,16)(4,14,9,13,5,18)$ | $\zeta_{3}$ |
| $2$ | $6$ | $(1,8,15,10,17,6)(2,16,3,11,7,12)(4,18,5,13,9,14)$ | $-\zeta_{3} - 1$ |
| $2$ | $6$ | $(1,13,3,10,4,12)(2,8,9,11,17,18)(5,16,15,14,7,6)$ | $1$ |
| $3$ | $6$ | $(1,7,2,4,5,17)(3,15,9)(6,18,12)(8,10,16,11,13,14)$ | $0$ |
| $3$ | $6$ | $(1,17,5,4,2,7)(3,9,15)(6,12,18)(8,14,13,11,16,10)$ | $0$ |
| $3$ | $6$ | $(1,16,2,13,5,8)(3,6,9,12,15,18)(4,14,17,10,7,11)$ | $0$ |
| $3$ | $6$ | $(1,8,5,13,2,16)(3,18,15,12,9,6)(4,11,7,10,17,14)$ | $0$ |