Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in $\Q_{ 109 }$ to precision 11.
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 35 + 48\cdot 109 + 42\cdot 109^{2} + 31\cdot 109^{3} + 68\cdot 109^{4} + 3\cdot 109^{5} + 85\cdot 109^{6} + 38\cdot 109^{7} + 70\cdot 109^{8} + 31\cdot 109^{9} + 56\cdot 109^{10} +O\left(109^{ 11 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 36 + 44\cdot 109 + 68\cdot 109^{2} + 108\cdot 109^{3} + 23\cdot 109^{4} + 5\cdot 109^{5} + 70\cdot 109^{6} + 64\cdot 109^{7} + 47\cdot 109^{8} + 14\cdot 109^{9} + 49\cdot 109^{10} +O\left(109^{ 11 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 40 + 12\cdot 109 + 71\cdot 109^{2} + 100\cdot 109^{3} + 45\cdot 109^{4} + 54\cdot 109^{5} + 105\cdot 109^{6} + 59\cdot 109^{7} + 2\cdot 109^{8} + 64\cdot 109^{9} + 78\cdot 109^{10} +O\left(109^{ 11 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 51 + 51\cdot 109 + 18\cdot 109^{2} + 14\cdot 109^{3} + 33\cdot 109^{4} + 96\cdot 109^{5} + 52\cdot 109^{6} + 54\cdot 109^{7} + 18\cdot 109^{8} + 55\cdot 109^{9} + 72\cdot 109^{10} +O\left(109^{ 11 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 58 + 57\cdot 109 + 90\cdot 109^{2} + 94\cdot 109^{3} + 75\cdot 109^{4} + 12\cdot 109^{5} + 56\cdot 109^{6} + 54\cdot 109^{7} + 90\cdot 109^{8} + 53\cdot 109^{9} + 36\cdot 109^{10} +O\left(109^{ 11 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 69 + 96\cdot 109 + 37\cdot 109^{2} + 8\cdot 109^{3} + 63\cdot 109^{4} + 54\cdot 109^{5} + 3\cdot 109^{6} + 49\cdot 109^{7} + 106\cdot 109^{8} + 44\cdot 109^{9} + 30\cdot 109^{10} +O\left(109^{ 11 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 73 + 64\cdot 109 + 40\cdot 109^{2} + 85\cdot 109^{4} + 103\cdot 109^{5} + 38\cdot 109^{6} + 44\cdot 109^{7} + 61\cdot 109^{8} + 94\cdot 109^{9} + 59\cdot 109^{10} +O\left(109^{ 11 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 74 + 60\cdot 109 + 66\cdot 109^{2} + 77\cdot 109^{3} + 40\cdot 109^{4} + 105\cdot 109^{5} + 23\cdot 109^{6} + 70\cdot 109^{7} + 38\cdot 109^{8} + 77\cdot 109^{9} + 52\cdot 109^{10} +O\left(109^{ 11 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Cycle notation |
| $(1,8)(2,7)(3,6)(4,5)$ |
| $(1,2,8,7)(3,5,6,4)$ |
| $(1,6,8,3)(2,5,7,4)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Character values |
| | |
$c1$ |
| $1$ |
$1$ |
$()$ |
$2$ |
| $1$ |
$2$ |
$(1,8)(2,7)(3,6)(4,5)$ |
$-2$ |
| $2$ |
$4$ |
$(1,2,8,7)(3,5,6,4)$ |
$0$ |
| $2$ |
$4$ |
$(1,6,8,3)(2,5,7,4)$ |
$0$ |
| $2$ |
$4$ |
$(1,5,8,4)(2,3,7,6)$ |
$0$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
