Basic invariants
| Dimension: | $2$ |
| Group: | $S_3 \times C_6$ |
| Conductor: | $1296= 2^{4} \cdot 3^{4} $ |
| Artin number field: | Splitting field of $f= x^{18} - 9 x^{16} + 33 x^{14} - 60 x^{12} + 72 x^{10} - 81 x^{8} + 75 x^{6} - 45 x^{4} + 18 x^{2} - 3 $ over $\Q$ |
| Size of Galois orbit: | 2 |
| Smallest containing permutation representation: | $C_6\times S_3$ |
| Parity: | Odd |
| Determinant: | 1.3e2.6t1.1c1 |
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 19 }$ to precision 10.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 19 }$: $ x^{6} + 17 x^{3} + 17 x^{2} + 6 x + 2 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ | $=$ | $ 7 a^{5} + 16 a^{4} + 17 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 3 + \left(4 a^{5} + 16 a^{4} + 12 a^{3} + 3 a^{2} + 15\right)\cdot 19 + \left(12 a^{5} + 3 a^{3} + 14 a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 19^{2} + \left(9 a^{5} + 13 a^{4} + a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 19^{3} + \left(9 a^{5} + 18 a^{4} + 15 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 19^{4} + \left(10 a^{5} + 6 a^{4} + 11 a^{3} + 17 a^{2} + 15 a + 13\right)\cdot 19^{5} + \left(16 a^{5} + 9 a^{4} + 11 a^{3} + 8 a^{2} + 13 a + 2\right)\cdot 19^{6} + \left(6 a^{5} + 8 a^{4} + 3 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 19^{7} + \left(11 a^{5} + 15 a^{4} + a^{3} + 15 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 19^{8} + \left(8 a^{5} + 10 a^{4} + a^{3} + 10 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 19^{9} +O\left(19^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ | $=$ | $ 7 a^{5} + 4 a^{4} + 2 a^{3} + 17 a^{2} + 11 a + 15 + \left(9 a^{5} + 12 a^{4} + 11 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 16\right)\cdot 19 + \left(7 a^{5} + 12 a^{4} + 5 a^{3} + 11 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 19^{2} + \left(16 a^{5} + 10 a^{4} + 7 a^{3} + 9 a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 19^{3} + \left(16 a^{5} + 4 a^{4} + 3 a^{3} + 17 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 19^{4} + \left(7 a^{5} + 6 a^{4} + 11 a^{3} + 16 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 19^{5} + \left(2 a^{5} + 14 a^{4} + 6 a^{3} + 6 a^{2} + 14 a + 18\right)\cdot 19^{6} + \left(10 a^{5} + 15 a^{4} + 3 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 16\right)\cdot 19^{7} + \left(13 a^{5} + 8 a^{4} + 11 a^{3} + 8 a^{2} + a + 18\right)\cdot 19^{8} + \left(16 a^{5} + 16 a^{4} + 5 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 19^{9} +O\left(19^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ | $=$ | $ 9 a^{5} + 17 a^{4} + 10 a^{3} + 18 a^{2} + 10 a + 6 + \left(17 a^{4} + 17 a^{3} + 17 a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 19 + \left(5 a^{5} + 9 a^{3} + 13 a^{2} + 14 a + 18\right)\cdot 19^{2} + \left(17 a^{5} + 12 a^{4} + 5 a^{3} + 17 a^{2} + 14 a + 6\right)\cdot 19^{3} + \left(8 a^{5} + 6 a^{3} + 8 a^{2} + a + 13\right)\cdot 19^{4} + \left(2 a^{5} + 9 a^{4} + 16 a^{3} + 6 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 19^{5} + \left(10 a^{5} + 13 a^{4} + 10 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 19^{6} + \left(15 a^{5} + 7 a^{4} + 5 a^{3} + 12 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 19^{7} + \left(8 a^{5} + 18 a^{4} + 5 a^{3} + 3 a + 3\right)\cdot 19^{8} + \left(3 a^{5} + 4 a^{4} + 15 a^{3} + 17 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 19^{9} +O\left(19^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ | $=$ | $ 6 a^{5} + 10 a^{4} + 12 a^{3} + 13 a^{2} + 3 a + 11 + \left(11 a^{5} + 3 a^{3} + 15 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 19 + \left(18 a^{5} + 16 a^{4} + 13 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 19^{2} + \left(3 a^{4} + 15 a^{3} + 8 a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 19^{3} + \left(12 a^{4} + 4 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 14\right)\cdot 19^{4} + \left(a^{5} + 13 a^{4} + 8 a^{3} + 3 a + 1\right)\cdot 19^{5} + \left(11 a^{5} + 12 a^{4} + 7 a^{3} + 8 a^{2} + a + 6\right)\cdot 19^{6} + \left(3 a^{5} + 17 a^{4} + 2 a^{3} + 14 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 19^{7} + \left(8 a^{5} + 4 a^{4} + 16 a^{3} + 13 a^{2} + 5 a + 15\right)\cdot 19^{8} + \left(9 a^{5} + 2 a^{4} + 12 a^{3} + 2 a^{2} + 17 a + 7\right)\cdot 19^{9} +O\left(19^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ | $=$ | $ 16 a^{5} + 18 a^{4} + 15 a^{3} + 9 a^{2} + 18 a + 3 + \left(13 a^{5} + 6 a^{4} + 10 a^{3} + 16 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 19 + \left(6 a^{5} + 15 a^{4} + 15 a^{3} + 11 a + 17\right)\cdot 19^{2} + \left(4 a^{5} + 14 a^{4} + 15 a^{3} + 17 a^{2} + 14 a + 16\right)\cdot 19^{3} + \left(16 a^{5} + 10 a^{4} + 5 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 19^{4} + \left(11 a^{5} + 10 a^{4} + 12 a^{3} + 4 a + 11\right)\cdot 19^{5} + \left(4 a^{5} + 4 a^{4} + 9 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 19^{6} + \left(7 a^{5} + 10 a^{4} + 15 a^{3} + 16 a^{2} + 13 a + 18\right)\cdot 19^{7} + \left(9 a^{5} + 2 a^{4} + 6 a^{3} + 7 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 19^{8} + \left(12 a^{4} + 18 a^{3} + 13 a^{2} + 2 a + 17\right)\cdot 19^{9} +O\left(19^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ | $=$ | $ 10 a^{5} + 11 a^{4} + 9 a^{3} + 17 a^{2} + 8 a + 1 + \left(18 a^{5} + 9 a^{4} + 7 a^{3} + 9 a^{2} + a + 5\right)\cdot 19 + \left(4 a^{5} + 12 a^{4} + 17 a^{3} + 15 a^{2} + 7\right)\cdot 19^{2} + \left(16 a^{5} + 9 a^{4} + 13 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 19^{3} + \left(3 a^{5} + 12 a^{4} + 16 a^{3} + 18 a^{2} + 18 a + 5\right)\cdot 19^{4} + \left(14 a^{5} + 15 a^{4} + 18 a^{3} + 16 a^{2} + 18 a + 16\right)\cdot 19^{5} + \left(9 a^{5} + 3 a^{4} + 8 a^{3} + 8 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 19^{6} + \left(10 a^{5} + 18 a^{4} + 7 a^{3} + 12 a^{2} + 15\right)\cdot 19^{7} + \left(4 a^{5} + 8 a^{4} + 11 a^{3} + 14 a^{2} + 18 a + 5\right)\cdot 19^{8} + \left(5 a^{5} + 6 a^{4} + 11 a^{3} + 17 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 19^{9} +O\left(19^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ | $=$ | $ 10 a^{5} + 5 a^{4} + 8 a^{3} + 9 a^{2} + 14 a + 10 + \left(17 a^{5} + 14 a^{4} + 13 a^{3} + 18 a^{2} + 14 a + 5\right)\cdot 19 + \left(4 a^{4} + 18 a^{3} + 15 a^{2} + 14 a + 5\right)\cdot 19^{2} + \left(2 a^{5} + 17 a^{4} + 2 a^{3} + 11 a^{2} + 14 a + 6\right)\cdot 19^{3} + \left(16 a^{5} + 10 a^{4} + 15 a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 19^{4} + \left(14 a^{5} + 9 a^{4} + 9 a^{3} + 16 a^{2} + 8 a + 15\right)\cdot 19^{5} + \left(12 a^{5} + 9 a^{4} + a^{3} + 5 a^{2} + 11 a\right)\cdot 19^{6} + \left(3 a^{5} + 12 a^{4} + 8 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 19^{7} + \left(5 a^{4} + 6 a^{3} + 6 a^{2} + 18 a + 18\right)\cdot 19^{8} + \left(4 a^{5} + 15 a^{3} + 14 a^{2} + 4\right)\cdot 19^{9} +O\left(19^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ | $=$ | $ 17 a^{5} + 5 a^{4} + 3 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 12 + \left(17 a^{5} + 16 a^{4} + 6 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 19 + \left(18 a^{5} + 3 a^{4} + 3 a^{3} + 16 a^{2} + a + 14\right)\cdot 19^{2} + \left(2 a^{5} + a^{3} + 11 a^{2} + 14 a + 17\right)\cdot 19^{3} + \left(16 a^{5} + 5 a^{4} + 15 a^{3} + 11 a^{2} + 18 a + 5\right)\cdot 19^{4} + \left(4 a^{5} + 2 a^{4} + 17 a^{3} + 18 a^{2} + 14\right)\cdot 19^{5} + \left(18 a^{5} + 4 a^{4} + a^{3} + 16 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 19^{6} + \left(9 a^{5} + 15 a^{4} + 5 a^{3} + 16 a^{2} + 15 a + 15\right)\cdot 19^{7} + \left(5 a^{5} + 7 a^{4} + 17 a^{3} + 3 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 19^{8} + \left(13 a^{5} + a^{4} + 13 a^{3} + 15 a^{2} + 11 a + 13\right)\cdot 19^{9} +O\left(19^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 9 }$ | $=$ | $ 17 a^{5} + 12 a^{4} + 16 a^{3} + 9 a^{2} + 18 a + 15 + \left(4 a^{5} + 10 a^{4} + 5 a^{3} + 13 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 19 + \left(6 a^{5} + 11 a^{4} + 7 a^{3} + 17 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 19^{2} + \left(12 a^{5} + 7 a^{4} + 4 a^{3} + 18 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 19^{3} + \left(a^{5} + 10 a^{4} + 15 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 19^{4} + \left(7 a^{5} + 15 a^{4} + 16 a^{3} + 12 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 19^{5} + \left(12 a^{5} + 16 a^{4} + 14 a^{3} + 9 a + 8\right)\cdot 19^{6} + \left(a^{5} + 15 a^{4} + 5 a^{3} + a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 19^{7} + \left(17 a^{5} + 6 a^{4} + 16 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 19^{8} + \left(15 a^{5} + 13 a^{4} + 3 a^{3} + 7 a^{2} + 18 a + 12\right)\cdot 19^{9} +O\left(19^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 10 }$ | $=$ | $ 12 a^{5} + 3 a^{4} + 2 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 16 + \left(14 a^{5} + 2 a^{4} + 6 a^{3} + 15 a^{2} + 18 a + 3\right)\cdot 19 + \left(6 a^{5} + 18 a^{4} + 15 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 19^{2} + \left(9 a^{5} + 5 a^{4} + 17 a^{3} + 10 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 19^{3} + \left(9 a^{5} + 3 a^{3} + 16 a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 19^{4} + \left(8 a^{5} + 12 a^{4} + 7 a^{3} + a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 19^{5} + \left(2 a^{5} + 9 a^{4} + 7 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 16\right)\cdot 19^{6} + \left(12 a^{5} + 10 a^{4} + 15 a^{3} + 7 a^{2} + 16 a + 12\right)\cdot 19^{7} + \left(7 a^{5} + 3 a^{4} + 17 a^{3} + 3 a^{2} + 15 a + 17\right)\cdot 19^{8} + \left(10 a^{5} + 8 a^{4} + 17 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 19^{9} +O\left(19^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 11 }$ | $=$ | $ 12 a^{5} + 15 a^{4} + 17 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 4 + \left(9 a^{5} + 6 a^{4} + 7 a^{3} + 14 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 19 + \left(11 a^{5} + 6 a^{4} + 13 a^{3} + 7 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 19^{2} + \left(2 a^{5} + 8 a^{4} + 11 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 19^{3} + \left(2 a^{5} + 14 a^{4} + 15 a^{3} + a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 19^{4} + \left(11 a^{5} + 12 a^{4} + 7 a^{3} + 2 a^{2} + 15 a + 13\right)\cdot 19^{5} + \left(16 a^{5} + 4 a^{4} + 12 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a\right)\cdot 19^{6} + \left(8 a^{5} + 3 a^{4} + 15 a^{3} + 15 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 19^{7} + \left(5 a^{5} + 10 a^{4} + 7 a^{3} + 10 a^{2} + 17 a\right)\cdot 19^{8} + \left(2 a^{5} + 2 a^{4} + 18 a^{3} + 13 a^{2} + 7 a + 13\right)\cdot 19^{9} +O\left(19^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 12 }$ | $=$ | $ 10 a^{5} + 2 a^{4} + 9 a^{3} + a^{2} + 9 a + 13 + \left(18 a^{5} + a^{4} + a^{3} + a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 19 + \left(13 a^{5} + 18 a^{4} + 9 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a\right)\cdot 19^{2} + \left(a^{5} + 6 a^{4} + 13 a^{3} + a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 19^{3} + \left(10 a^{5} + 18 a^{4} + 12 a^{3} + 10 a^{2} + 17 a + 5\right)\cdot 19^{4} + \left(16 a^{5} + 9 a^{4} + 2 a^{3} + 12 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 19^{5} + \left(8 a^{5} + 5 a^{4} + 8 a^{3} + 13 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 19^{6} + \left(3 a^{5} + 11 a^{4} + 13 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 15\right)\cdot 19^{7} + \left(10 a^{5} + 13 a^{3} + 18 a^{2} + 15 a + 15\right)\cdot 19^{8} + \left(15 a^{5} + 14 a^{4} + 3 a^{3} + a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 19^{9} +O\left(19^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 13 }$ | $=$ | $ 13 a^{5} + 9 a^{4} + 7 a^{3} + 6 a^{2} + 16 a + 8 + \left(7 a^{5} + 18 a^{4} + 15 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 17\right)\cdot 19 + \left(2 a^{4} + 18 a^{3} + 5 a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 19^{2} + \left(18 a^{5} + 15 a^{4} + 3 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 19^{3} + \left(18 a^{5} + 6 a^{4} + 14 a^{3} + 7 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 19^{4} + \left(17 a^{5} + 5 a^{4} + 10 a^{3} + 18 a^{2} + 15 a + 17\right)\cdot 19^{5} + \left(7 a^{5} + 6 a^{4} + 11 a^{3} + 10 a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 19^{6} + \left(15 a^{5} + a^{4} + 16 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 19^{7} + \left(10 a^{5} + 14 a^{4} + 2 a^{3} + 5 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 19^{8} + \left(9 a^{5} + 16 a^{4} + 6 a^{3} + 16 a^{2} + a + 11\right)\cdot 19^{9} +O\left(19^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 14 }$ | $=$ | $ 3 a^{5} + a^{4} + 4 a^{3} + 10 a^{2} + a + 16 + \left(5 a^{5} + 12 a^{4} + 8 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 19 + \left(12 a^{5} + 3 a^{4} + 3 a^{3} + 18 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 19^{2} + \left(14 a^{5} + 4 a^{4} + 3 a^{3} + a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 19^{3} + \left(2 a^{5} + 8 a^{4} + 13 a^{3} + 10 a^{2} + 15 a + 13\right)\cdot 19^{4} + \left(7 a^{5} + 8 a^{4} + 6 a^{3} + 18 a^{2} + 14 a + 7\right)\cdot 19^{5} + \left(14 a^{5} + 14 a^{4} + 9 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 17\right)\cdot 19^{6} + \left(11 a^{5} + 8 a^{4} + 3 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a\right)\cdot 19^{7} + \left(9 a^{5} + 16 a^{4} + 12 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 19^{8} + \left(18 a^{5} + 6 a^{4} + 5 a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 19^{9} +O\left(19^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 15 }$ | $=$ | $ 9 a^{5} + 8 a^{4} + 10 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 18 + \left(9 a^{4} + 11 a^{3} + 9 a^{2} + 17 a + 13\right)\cdot 19 + \left(14 a^{5} + 6 a^{4} + a^{3} + 3 a^{2} + 18 a + 11\right)\cdot 19^{2} + \left(2 a^{5} + 9 a^{4} + 5 a^{3} + 13 a^{2} + 13 a + 7\right)\cdot 19^{3} + \left(15 a^{5} + 6 a^{4} + 2 a^{3} + 13\right)\cdot 19^{4} + \left(4 a^{5} + 3 a^{4} + 2 a^{2} + 2\right)\cdot 19^{5} + \left(9 a^{5} + 15 a^{4} + 10 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 15\right)\cdot 19^{6} + \left(8 a^{5} + 11 a^{3} + 6 a^{2} + 18 a + 3\right)\cdot 19^{7} + \left(14 a^{5} + 10 a^{4} + 7 a^{3} + 4 a^{2} + 13\right)\cdot 19^{8} + \left(13 a^{5} + 12 a^{4} + 7 a^{3} + a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 19^{9} +O\left(19^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 16 }$ | $=$ | $ 9 a^{5} + 14 a^{4} + 11 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 9 + \left(a^{5} + 4 a^{4} + 5 a^{3} + 4 a + 13\right)\cdot 19 + \left(18 a^{5} + 14 a^{4} + 3 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 19^{2} + \left(16 a^{5} + a^{4} + 16 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 19^{3} + \left(2 a^{5} + 8 a^{4} + 3 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 19^{4} + \left(4 a^{5} + 9 a^{4} + 9 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 19^{5} + \left(6 a^{5} + 9 a^{4} + 17 a^{3} + 13 a^{2} + 7 a + 18\right)\cdot 19^{6} + \left(15 a^{5} + 6 a^{4} + 10 a^{3} + 12 a^{2} + 14 a + 11\right)\cdot 19^{7} + \left(18 a^{5} + 13 a^{4} + 12 a^{3} + 12 a^{2}\right)\cdot 19^{8} + \left(14 a^{5} + 18 a^{4} + 3 a^{3} + 4 a^{2} + 18 a + 14\right)\cdot 19^{9} +O\left(19^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 17 }$ | $=$ | $ 2 a^{5} + 14 a^{4} + 16 a^{3} + 11 a^{2} + 9 a + 7 + \left(a^{5} + 2 a^{4} + 12 a^{3} + 9 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 19 + \left(15 a^{4} + 15 a^{3} + 2 a^{2} + 17 a + 4\right)\cdot 19^{2} + \left(16 a^{5} + 18 a^{4} + 17 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 19^{3} + \left(2 a^{5} + 13 a^{4} + 3 a^{3} + 7 a^{2} + 13\right)\cdot 19^{4} + \left(14 a^{5} + 16 a^{4} + a^{3} + 18 a + 4\right)\cdot 19^{5} + \left(14 a^{4} + 17 a^{3} + 2 a^{2} + 16 a + 10\right)\cdot 19^{6} + \left(9 a^{5} + 3 a^{4} + 13 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 19^{7} + \left(13 a^{5} + 11 a^{4} + a^{3} + 15 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 19^{8} + \left(5 a^{5} + 17 a^{4} + 5 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 19^{9} +O\left(19^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 18 }$ | $=$ | $ 2 a^{5} + 7 a^{4} + 3 a^{3} + 10 a^{2} + a + 4 + \left(14 a^{5} + 8 a^{4} + 13 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 19 + \left(12 a^{5} + 7 a^{4} + 11 a^{3} + a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 19^{2} + \left(6 a^{5} + 11 a^{4} + 14 a^{3} + 8 a + 11\right)\cdot 19^{3} + \left(17 a^{5} + 8 a^{4} + 3 a^{3} + 8 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 19^{4} + \left(11 a^{5} + 3 a^{4} + 2 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 19^{5} + \left(6 a^{5} + 2 a^{4} + 4 a^{3} + 18 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 19^{6} + \left(17 a^{5} + 3 a^{4} + 13 a^{3} + 17 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 19^{7} + \left(a^{5} + 12 a^{4} + 18 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 19^{8} + \left(3 a^{5} + 5 a^{4} + 15 a^{3} + 11 a^{2} + 6\right)\cdot 19^{9} +O\left(19^{ 10 }\right)$ |
Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 18 }$
| Cycle notation |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on $r_1, \ldots, r_{ 18 }$ | Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $2$ |
| $1$ | $2$ | $(1,10)(2,11)(3,12)(4,13)(5,14)(6,15)(7,16)(8,17)(9,18)$ | $-2$ |
| $3$ | $2$ | $(1,4)(3,6)(8,9)(10,13)(12,15)(17,18)$ | $0$ |
| $3$ | $2$ | $(1,2)(3,14)(4,13)(5,12)(6,15)(7,17)(8,16)(9,18)(10,11)$ | $0$ |
| $1$ | $3$ | $(1,17,3)(2,7,14)(4,18,6)(5,11,16)(8,12,10)(9,15,13)$ | $2 \zeta_{3}$ |
| $1$ | $3$ | $(1,3,17)(2,14,7)(4,6,18)(5,16,11)(8,10,12)(9,13,15)$ | $-2 \zeta_{3} - 2$ |
| $2$ | $3$ | $(1,11,4)(2,13,10)(3,5,6)(7,9,8)(12,14,15)(16,18,17)$ | $-1$ |
| $2$ | $3$ | $(1,5,18)(2,15,8)(3,16,4)(6,17,11)(7,13,12)(9,10,14)$ | $\zeta_{3} + 1$ |
| $2$ | $3$ | $(1,18,5)(2,8,15)(3,4,16)(6,11,17)(7,12,13)(9,14,10)$ | $-\zeta_{3}$ |
| $1$ | $6$ | $(1,8,3,10,17,12)(2,16,14,11,7,5)(4,9,6,13,18,15)$ | $-2 \zeta_{3}$ |
| $1$ | $6$ | $(1,12,17,10,3,8)(2,5,7,11,14,16)(4,15,18,13,6,9)$ | $2 \zeta_{3} + 2$ |
| $2$ | $6$ | $(1,13,11,10,4,2)(3,15,5,12,6,14)(7,17,9,16,8,18)$ | $1$ |
| $2$ | $6$ | $(1,9,5,10,18,14)(2,17,15,11,8,6)(3,13,16,12,4,7)$ | $\zeta_{3}$ |
| $2$ | $6$ | $(1,14,18,10,5,9)(2,6,8,11,15,17)(3,7,4,12,16,13)$ | $-\zeta_{3} - 1$ |
| $3$ | $6$ | $(1,18,3,4,17,6)(2,7,14)(5,11,16)(8,15,10,9,12,13)$ | $0$ |
| $3$ | $6$ | $(1,6,17,4,3,18)(2,14,7)(5,16,11)(8,13,12,9,10,15)$ | $0$ |
| $3$ | $6$ | $(1,7,3,2,17,14)(4,9,6,13,18,15)(5,10,16,12,11,8)$ | $0$ |
| $3$ | $6$ | $(1,14,17,2,3,7)(4,15,18,13,6,9)(5,8,11,12,16,10)$ | $0$ |