Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in $\Q_{ 67 }$ to precision 14.
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 1 + 45\cdot 67 + 34\cdot 67^{2} + 42\cdot 67^{3} + 9\cdot 67^{4} + 37\cdot 67^{5} + 20\cdot 67^{6} + 15\cdot 67^{7} + 12\cdot 67^{8} + 14\cdot 67^{9} + 63\cdot 67^{10} + 39\cdot 67^{11} + 58\cdot 67^{12} + 38\cdot 67^{13} +O\left(67^{ 14 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 7 + 18\cdot 67 + 27\cdot 67^{2} + 55\cdot 67^{3} + 45\cdot 67^{4} + 29\cdot 67^{5} + 6\cdot 67^{7} + 49\cdot 67^{8} + 37\cdot 67^{9} + 67^{10} + 49\cdot 67^{11} + 60\cdot 67^{12} + 58\cdot 67^{13} +O\left(67^{ 14 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 28 + 28\cdot 67 + 51\cdot 67^{2} + 5\cdot 67^{3} + 55\cdot 67^{4} + 33\cdot 67^{5} + 24\cdot 67^{6} + 39\cdot 67^{7} + 15\cdot 67^{8} + 21\cdot 67^{9} + 29\cdot 67^{10} + 39\cdot 67^{11} + 21\cdot 67^{12} + 55\cdot 67^{13} +O\left(67^{ 14 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 29 + 14\cdot 67 + 49\cdot 67^{2} + 62\cdot 67^{3} + 18\cdot 67^{4} + 67^{5} + 62\cdot 67^{6} + 2\cdot 67^{7} + 22\cdot 67^{8} + 65\cdot 67^{9} + 67^{10} + 7\cdot 67^{11} + 43\cdot 67^{12} + 30\cdot 67^{13} +O\left(67^{ 14 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 38 + 52\cdot 67 + 17\cdot 67^{2} + 4\cdot 67^{3} + 48\cdot 67^{4} + 65\cdot 67^{5} + 4\cdot 67^{6} + 64\cdot 67^{7} + 44\cdot 67^{8} + 67^{9} + 65\cdot 67^{10} + 59\cdot 67^{11} + 23\cdot 67^{12} + 36\cdot 67^{13} +O\left(67^{ 14 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 39 + 38\cdot 67 + 15\cdot 67^{2} + 61\cdot 67^{3} + 11\cdot 67^{4} + 33\cdot 67^{5} + 42\cdot 67^{6} + 27\cdot 67^{7} + 51\cdot 67^{8} + 45\cdot 67^{9} + 37\cdot 67^{10} + 27\cdot 67^{11} + 45\cdot 67^{12} + 11\cdot 67^{13} +O\left(67^{ 14 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 60 + 48\cdot 67 + 39\cdot 67^{2} + 11\cdot 67^{3} + 21\cdot 67^{4} + 37\cdot 67^{5} + 66\cdot 67^{6} + 60\cdot 67^{7} + 17\cdot 67^{8} + 29\cdot 67^{9} + 65\cdot 67^{10} + 17\cdot 67^{11} + 6\cdot 67^{12} + 8\cdot 67^{13} +O\left(67^{ 14 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 66 + 21\cdot 67 + 32\cdot 67^{2} + 24\cdot 67^{3} + 57\cdot 67^{4} + 29\cdot 67^{5} + 46\cdot 67^{6} + 51\cdot 67^{7} + 54\cdot 67^{8} + 52\cdot 67^{9} + 3\cdot 67^{10} + 27\cdot 67^{11} + 8\cdot 67^{12} + 28\cdot 67^{13} +O\left(67^{ 14 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Cycle notation |
| $(1,8)(2,7)(3,6)(4,5)$ |
| $(1,5,2,6,8,4,7,3)$ |
| $(1,7,8,2)(3,4,6,5)$ |
| $(1,6,8,3)(2,5,7,4)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $2$ |
| $1$ | $2$ | $(1,8)(2,7)(3,6)(4,5)$ | $-2$ |
| $4$ | $2$ | $(1,2)(4,5)(7,8)$ | $0$ |
| $2$ | $4$ | $(1,2,8,7)(3,5,6,4)$ | $0$ |
| $4$ | $4$ | $(1,3,8,6)(2,4,7,5)$ | $0$ |
| $2$ | $8$ | $(1,5,2,6,8,4,7,3)$ | $\zeta_{8}^{3} + \zeta_{8}$ |
| $2$ | $8$ | $(1,4,2,3,8,5,7,6)$ | $-\zeta_{8}^{3} - \zeta_{8}$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
