Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in $\Q_{ 83 }$ to precision 16.
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 2 + 55\cdot 83 + 12\cdot 83^{2} + 9\cdot 83^{3} + 69\cdot 83^{4} + 4\cdot 83^{5} + 58\cdot 83^{6} + 36\cdot 83^{7} + 57\cdot 83^{8} + 37\cdot 83^{9} + 31\cdot 83^{10} + 56\cdot 83^{11} + 19\cdot 83^{12} + 49\cdot 83^{13} + 62\cdot 83^{14} + 19\cdot 83^{15} +O\left(83^{ 16 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 5 + 26\cdot 83 + 83^{2} + 29\cdot 83^{3} + 10\cdot 83^{4} + 30\cdot 83^{5} + 38\cdot 83^{6} + 36\cdot 83^{7} + 61\cdot 83^{8} + 62\cdot 83^{9} + 69\cdot 83^{10} + 74\cdot 83^{11} + 59\cdot 83^{12} + 31\cdot 83^{13} + 10\cdot 83^{14} + 43\cdot 83^{15} +O\left(83^{ 16 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 21 + 17\cdot 83 + 59\cdot 83^{2} + 62\cdot 83^{3} + 73\cdot 83^{4} + 68\cdot 83^{5} + 26\cdot 83^{6} + 18\cdot 83^{7} + 6\cdot 83^{8} + 75\cdot 83^{9} + 6\cdot 83^{10} + 70\cdot 83^{11} + 42\cdot 83^{12} + 74\cdot 83^{13} + 63\cdot 83^{14} + 30\cdot 83^{15} +O\left(83^{ 16 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 24 + 25\cdot 83 + 51\cdot 83^{2} + 24\cdot 83^{3} + 33\cdot 83^{4} + 62\cdot 83^{5} + 59\cdot 83^{6} + 20\cdot 83^{7} + 74\cdot 83^{8} + 67\cdot 83^{9} + 60\cdot 83^{10} + 72\cdot 83^{11} + 83^{12} + 82\cdot 83^{13} + 21\cdot 83^{14} + 38\cdot 83^{15} +O\left(83^{ 16 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 59 + 57\cdot 83 + 31\cdot 83^{2} + 58\cdot 83^{3} + 49\cdot 83^{4} + 20\cdot 83^{5} + 23\cdot 83^{6} + 62\cdot 83^{7} + 8\cdot 83^{8} + 15\cdot 83^{9} + 22\cdot 83^{10} + 10\cdot 83^{11} + 81\cdot 83^{12} + 61\cdot 83^{14} + 44\cdot 83^{15} +O\left(83^{ 16 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 62 + 65\cdot 83 + 23\cdot 83^{2} + 20\cdot 83^{3} + 9\cdot 83^{4} + 14\cdot 83^{5} + 56\cdot 83^{6} + 64\cdot 83^{7} + 76\cdot 83^{8} + 7\cdot 83^{9} + 76\cdot 83^{10} + 12\cdot 83^{11} + 40\cdot 83^{12} + 8\cdot 83^{13} + 19\cdot 83^{14} + 52\cdot 83^{15} +O\left(83^{ 16 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 78 + 56\cdot 83 + 81\cdot 83^{2} + 53\cdot 83^{3} + 72\cdot 83^{4} + 52\cdot 83^{5} + 44\cdot 83^{6} + 46\cdot 83^{7} + 21\cdot 83^{8} + 20\cdot 83^{9} + 13\cdot 83^{10} + 8\cdot 83^{11} + 23\cdot 83^{12} + 51\cdot 83^{13} + 72\cdot 83^{14} + 39\cdot 83^{15} +O\left(83^{ 16 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 81 + 27\cdot 83 + 70\cdot 83^{2} + 73\cdot 83^{3} + 13\cdot 83^{4} + 78\cdot 83^{5} + 24\cdot 83^{6} + 46\cdot 83^{7} + 25\cdot 83^{8} + 45\cdot 83^{9} + 51\cdot 83^{10} + 26\cdot 83^{11} + 63\cdot 83^{12} + 33\cdot 83^{13} + 20\cdot 83^{14} + 63\cdot 83^{15} +O\left(83^{ 16 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Cycle notation |
| $(1,8)(2,7)(3,6)(4,5)$ |
| $(1,3,8,6)(2,4,7,5)$ |
| $(2,3)(4,5)(6,7)$ |
| $(1,5,8,4)(2,3,7,6)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $2$ |
| $1$ | $2$ | $(1,8)(2,7)(3,6)(4,5)$ | $-2$ |
| $4$ | $2$ | $(2,3)(4,5)(6,7)$ | $0$ |
| $2$ | $4$ | $(1,5,8,4)(2,3,7,6)$ | $0$ |
| $4$ | $4$ | $(1,3,8,6)(2,4,7,5)$ | $0$ |
| $2$ | $8$ | $(1,2,5,3,8,7,4,6)$ | $-\zeta_{8}^{3} - \zeta_{8}$ |
| $2$ | $8$ | $(1,7,5,6,8,2,4,3)$ | $\zeta_{8}^{3} + \zeta_{8}$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
