LMFDB - Galois orbit of Artin representations 2.336.12t18.b

Basic invariants

Dimension:	$2$
Group:	$C_6\times S_3$
Conductor:	$336$$\medspace = 2^{4} \cdot 3 \cdot 7 $
Artin number field:	Galois closure of 12.0.114709561344.1
Galois orbit size:	$2$
Smallest permutation container:	$C_6\times S_3$
Parity:	odd
Projective image:	$S_3$
Projective field:	Galois closure of 3.1.588.1

Galois action

Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 17 }$ to precision 9.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 17 }$: $ x^{6} + 2x^{4} + 10x^{2} + 3x + 3 $

Roots:

$r_{ 1 }$	$=$	$ 5 a^{4} + 13 a^{3} + 7 a^{2} + 5 + \left(4 a^{5} + 14 a^{4} + 9 a^{3} + 13 a^{2} + 14 a + 11\right)\cdot 17 + \left(10 a^{5} + 16 a^{4} + 2 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 17^{2} + \left(14 a^{5} + 11 a^{4} + 9 a^{3} + 3 a^{2} + 13 a + 12\right)\cdot 17^{3} + \left(9 a^{5} + 3 a^{4} + 9 a^{3} + 15 a^{2} + a + 9\right)\cdot 17^{4} + \left(2 a^{5} + 4 a^{4} + 4 a^{3} + 15 a^{2} + 14 a + 2\right)\cdot 17^{5} + \left(4 a^{5} + 12 a^{4} + 15 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 17^{6} + \left(7 a^{5} + 13 a^{4} + 11 a^{3} + a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 17^{7} + \left(11 a^{5} + 13 a^{2} + a + 11\right)\cdot 17^{8} +O(17^{9})$ 5a^4 + 13a^3 + 7a^2 + 5 + (4a^5 + 14a^4 + 9a^3 + 13a^2 + 14a + 11)17 + (10a^5 + 16a^4 + 2a^3 + 8a^2 + 4a + 1)17^2 + (14a^5 + 11a^4 + 9a^3 + 3a^2 + 13a + 12)17^3 + (9a^5 + 3a^4 + 9a^3 + 15a^2 + a + 9)17^4 + (2a^5 + 4a^4 + 4a^3 + 15a^2 + 14a + 2)17^5 + (4a^5 + 12a^4 + 15a^3 + 6a^2 + 4a + 13)17^6 + (7a^5 + 13a^4 + 11a^3 + a^2 + 10a + 8)17^7 + (11a^5 + 13a^2 + a + 11)17^8+O(17^9)
$r_{ 2 }$	$=$	$ a^{5} + 14 a^{4} + 11 a^{3} + 4 a^{2} + 7 + \left(10 a^{5} + 4 a^{4} + 16 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 17 + \left(9 a^{5} + 5 a^{4} + 6 a^{3} + a^{2} + 10 a + 13\right)\cdot 17^{2} + \left(12 a^{5} + 9 a^{4} + 7 a^{3} + 13 a + 1\right)\cdot 17^{3} + \left(a^{5} + 9 a^{4} + 16 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 17^{4} + \left(14 a^{5} + 2 a^{4} + 4 a^{2} + 8 a + 15\right)\cdot 17^{5} + \left(10 a^{5} + 10 a^{4} + 11 a^{3} + 11 a^{2} + 13 a + 2\right)\cdot 17^{6} + \left(2 a^{5} + 11 a^{4} + 10 a^{3} + 2 a^{2} + a + 9\right)\cdot 17^{7} + \left(11 a^{5} + 11 a^{4} + 11 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 17^{8} +O(17^{9})$ a^5 + 14a^4 + 11a^3 + 4a^2 + 7 + (10a^5 + 4a^4 + 16a^3 + 2a^2 + 6a + 14)17 + (9a^5 + 5a^4 + 6a^3 + a^2 + 10a + 13)17^2 + (12a^5 + 9a^4 + 7a^3 + 13a + 1)17^3 + (a^5 + 9a^4 + 16a^3 + 9a^2 + 4a + 4)17^4 + (14a^5 + 2a^4 + 4a^2 + 8a + 15)17^5 + (10a^5 + 10a^4 + 11a^3 + 11a^2 + 13a + 2)17^6 + (2a^5 + 11a^4 + 10a^3 + 2a^2 + a + 9)17^7 + (11a^5 + 11a^4 + 11a^3 + 4a^2 + 3a + 12)17^8+O(17^9)
$r_{ 3 }$	$=$	$ 7 a^{5} + 16 a^{4} + 14 a^{3} + 7 a^{2} + 10 a + 16 + \left(13 a^{5} + a^{4} + 13 a^{3} + 9 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 17 + \left(7 a^{5} + 11 a^{4} + 10 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 17^{2} + \left(7 a^{5} + 6 a^{4} + 9 a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 17^{3} + \left(14 a^{5} + 4 a^{4} + 16 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 17^{4} + \left(10 a^{5} + 11 a^{4} + 3 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 17^{5} + \left(a^{4} + 3 a^{3} + 12 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 17^{6} + \left(2 a^{5} + 9 a^{4} + 4 a^{3} + 14 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 17^{7} + \left(a^{5} + 2 a^{4} + 16 a^{3} + 13 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 17^{8} +O(17^{9})$ 7a^5 + 16a^4 + 14a^3 + 7a^2 + 10a + 16 + (13a^5 + a^4 + 13a^3 + 9a^2 + 15a + 5)17 + (7a^5 + 11a^4 + 10a^3 + 2a^2 + 6a + 3)17^2 + (7a^5 + 6a^4 + 9a^3 + 7a^2 + 3a + 2)17^3 + (14a^5 + 4a^4 + 16a^3 + 9a^2 + 10a + 1)17^4 + (10a^5 + 11a^4 + 3a^2 + 12a + 10)17^5 + (a^4 + 3a^3 + 12a^2 + 8a + 16)17^6 + (2a^5 + 9a^4 + 4a^3 + 14a^2 + 16a + 13)17^7 + (a^5 + 2a^4 + 16a^3 + 13a^2 + 4a + 6)17^8+O(17^9)
$r_{ 4 }$	$=$	$ 7 a^{5} + 13 a^{4} + 11 a^{3} + a^{2} + 15 a + 9 + \left(11 a^{5} + 9 a^{4} + 9 a^{3} + 2 a^{2} + 1\right)\cdot 17 + \left(8 a^{5} + a^{4} + 3 a^{3} + 6 a^{2} + 16 a + 12\right)\cdot 17^{2} + \left(10 a^{5} + 4 a^{4} + 12 a^{3} + 10 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 17^{3} + \left(9 a^{5} + 11 a^{4} + 9 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 17^{4} + \left(14 a^{5} + 6 a^{4} + 3 a^{3} + a^{2} + 16 a + 2\right)\cdot 17^{5} + \left(16 a^{5} + 5 a^{4} + 12 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 17^{6} + \left(16 a^{5} + 9 a^{4} + 7 a^{3} + 10 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 17^{7} + \left(16 a^{4} + 14 a^{3} + 15 a^{2} + a\right)\cdot 17^{8} +O(17^{9})$ 7a^5 + 13a^4 + 11a^3 + a^2 + 15a + 9 + (11a^5 + 9a^4 + 9a^3 + 2a^2 + 1)17 + (8a^5 + a^4 + 3a^3 + 6a^2 + 16a + 12)17^2 + (10a^5 + 4a^4 + 12a^3 + 10a^2 + 16a + 9)17^3 + (9a^5 + 11a^4 + 9a^3 + 4a^2 + 2a + 1)17^4 + (14a^5 + 6a^4 + 3a^3 + a^2 + 16a + 2)17^5 + (16a^5 + 5a^4 + 12a^3 + 9a^2 + 7a + 8)17^6 + (16a^5 + 9a^4 + 7a^3 + 10a^2 + 16a + 15)17^7 + (16a^4 + 14a^3 + 15a^2 + a)*17^8+O(17^9)
$r_{ 5 }$	$=$	$ a^{5} + 13 a^{4} + 13 a^{3} + 7 a^{2} + 7 a + 2 + \left(14 a^{5} + 12 a^{4} + 3 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 17 + \left(4 a^{5} + 10 a^{4} + 10 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 17^{2} + \left(15 a^{5} + 10 a^{4} + 4 a^{3} + 11 a^{2} + 13 a\right)\cdot 17^{3} + \left(9 a^{5} + 4 a^{3} + 13 a^{2} + 15\right)\cdot 17^{4} + \left(3 a^{4} + 14 a^{3} + 11 a^{2} + 14 a + 16\right)\cdot 17^{5} + \left(12 a^{5} + 15 a^{4} + 8 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 17^{6} + \left(5 a^{5} + 9 a^{4} + 9 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 17^{7} + \left(6 a^{5} + 10 a^{3} + 13 a^{2} + 13 a\right)\cdot 17^{8} +O(17^{9})$ a^5 + 13a^4 + 13a^3 + 7a^2 + 7a + 2 + (14a^5 + 12a^4 + 3a^3 + 10a^2 + 3a + 12)17 + (4a^5 + 10a^4 + 10a^2 + 3a + 10)17^2 + (15a^5 + 10a^4 + 4a^3 + 11a^2 + 13a)17^3 + (9a^5 + 4a^3 + 13a^2 + 15)17^4 + (3a^4 + 14a^3 + 11a^2 + 14a + 16)17^5 + (12a^5 + 15a^4 + 8a^3 + 8a^2 + 8a + 9)17^6 + (5a^5 + 9a^4 + 9a^3 + 12a^2 + 6a + 14)17^7 + (6a^5 + 10a^3 + 13a^2 + 13a)*17^8+O(17^9)
$r_{ 6 }$	$=$	$ 7 a^{4} + a^{3} + 16 a^{2} + 2 a + 12 + \left(10 a^{5} + 14 a^{4} + a^{3} + 11 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 17 + \left(4 a^{5} + 14 a^{4} + 3 a^{3} + 14 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 17^{2} + \left(14 a^{5} + 15 a^{4} + 3 a^{3} + 11 a^{2} + 16 a + 3\right)\cdot 17^{3} + \left(5 a^{5} + 4 a^{4} + 4 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a\right)\cdot 17^{4} + \left(2 a^{5} + 9 a^{4} + 15 a^{3} + 8 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 17^{5} + \left(6 a^{5} + 13 a^{4} + 3 a^{3} + 7 a^{2} + 6\right)\cdot 17^{6} + \left(12 a^{5} + 11 a^{4} + 7 a^{3} + 15 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 17^{7} + \left(6 a^{5} + 9 a^{4} + a^{3} + 3 a^{2} + 14 a + 16\right)\cdot 17^{8} +O(17^{9})$ 7a^4 + a^3 + 16a^2 + 2a + 12 + (10a^5 + 14a^4 + a^3 + 11a^2 + 9a + 6)17 + (4a^5 + 14a^4 + 3a^3 + 14a^2 + 5a + 10)17^2 + (14a^5 + 15a^4 + 3a^3 + 11a^2 + 16a + 3)17^3 + (5a^5 + 4a^4 + 4a^3 + 7a^2 + 4a)17^4 + (2a^5 + 9a^4 + 15a^3 + 8a^2 + 16a + 13)17^5 + (6a^5 + 13a^4 + 3a^3 + 7a^2 + 6)17^6 + (12a^5 + 11a^4 + 7a^3 + 15a^2 + 15a + 3)17^7 + (6a^5 + 9a^4 + a^3 + 3a^2 + 14a + 16)17^8+O(17^9)
$r_{ 7 }$	$=$	$ 16 a^{5} + 3 a^{4} + 6 a^{3} + 13 a^{2} + 10 + \left(6 a^{5} + 12 a^{4} + 14 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 17 + \left(7 a^{5} + 11 a^{4} + 10 a^{3} + 15 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 17^{2} + \left(4 a^{5} + 7 a^{4} + 9 a^{3} + 16 a^{2} + 3 a + 15\right)\cdot 17^{3} + \left(15 a^{5} + 7 a^{4} + 7 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 17^{4} + \left(2 a^{5} + 14 a^{4} + 16 a^{3} + 12 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 17^{5} + \left(6 a^{5} + 6 a^{4} + 5 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 14\right)\cdot 17^{6} + \left(14 a^{5} + 5 a^{4} + 6 a^{3} + 14 a^{2} + 15 a + 7\right)\cdot 17^{7} + \left(5 a^{5} + 5 a^{4} + 5 a^{3} + 12 a^{2} + 13 a + 4\right)\cdot 17^{8} +O(17^{9})$ 16a^5 + 3a^4 + 6a^3 + 13a^2 + 10 + (6a^5 + 12a^4 + 14a^2 + 11a + 2)17 + (7a^5 + 11a^4 + 10a^3 + 15a^2 + 6a + 3)17^2 + (4a^5 + 7a^4 + 9a^3 + 16a^2 + 3a + 15)17^3 + (15a^5 + 7a^4 + 7a^2 + 12a + 12)17^4 + (2a^5 + 14a^4 + 16a^3 + 12a^2 + 8a + 1)17^5 + (6a^5 + 6a^4 + 5a^3 + 5a^2 + 3a + 14)17^6 + (14a^5 + 5a^4 + 6a^3 + 14a^2 + 15a + 7)17^7 + (5a^5 + 5a^4 + 5a^3 + 12a^2 + 13a + 4)17^8+O(17^9)
$r_{ 8 }$	$=$	$ 12 a^{4} + 4 a^{3} + 10 a^{2} + 12 + \left(13 a^{5} + 2 a^{4} + 7 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 17 + \left(6 a^{5} + 14 a^{3} + 8 a^{2} + 12 a + 15\right)\cdot 17^{2} + \left(2 a^{5} + 5 a^{4} + 7 a^{3} + 13 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 17^{3} + \left(7 a^{5} + 13 a^{4} + 7 a^{3} + a^{2} + 15 a + 7\right)\cdot 17^{4} + \left(14 a^{5} + 12 a^{4} + 12 a^{3} + a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 17^{5} + \left(12 a^{5} + 4 a^{4} + a^{3} + 10 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 17^{6} + \left(9 a^{5} + 3 a^{4} + 5 a^{3} + 15 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 17^{7} + \left(5 a^{5} + 16 a^{4} + 16 a^{3} + 3 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 17^{8} +O(17^{9})$ 12a^4 + 4a^3 + 10a^2 + 12 + (13a^5 + 2a^4 + 7a^3 + 3a^2 + 3a + 5)17 + (6a^5 + 14a^3 + 8a^2 + 12a + 15)17^2 + (2a^5 + 5a^4 + 7a^3 + 13a^2 + 3a + 4)17^3 + (7a^5 + 13a^4 + 7a^3 + a^2 + 15a + 7)17^4 + (14a^5 + 12a^4 + 12a^3 + a^2 + 2a + 14)17^5 + (12a^5 + 4a^4 + a^3 + 10a^2 + 12a + 3)17^6 + (9a^5 + 3a^4 + 5a^3 + 15a^2 + 6a + 8)17^7 + (5a^5 + 16a^4 + 16a^3 + 3a^2 + 15a + 5)*17^8+O(17^9)
$r_{ 9 }$	$=$	$ 10 a^{5} + 4 a^{4} + 6 a^{3} + 16 a^{2} + 2 a + 8 + \left(5 a^{5} + 7 a^{4} + 7 a^{3} + 14 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 17 + \left(8 a^{5} + 15 a^{4} + 13 a^{3} + 10 a^{2} + 4\right)\cdot 17^{2} + \left(6 a^{5} + 12 a^{4} + 4 a^{3} + 6 a^{2} + 7\right)\cdot 17^{3} + \left(7 a^{5} + 5 a^{4} + 7 a^{3} + 12 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 17^{4} + \left(2 a^{5} + 10 a^{4} + 13 a^{3} + 15 a^{2} + 14\right)\cdot 17^{5} + \left(11 a^{4} + 4 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 17^{6} + \left(7 a^{4} + 9 a^{3} + 6 a^{2} + 1\right)\cdot 17^{7} + \left(16 a^{5} + 2 a^{3} + a^{2} + 15 a + 16\right)\cdot 17^{8} +O(17^{9})$ 10a^5 + 4a^4 + 6a^3 + 16a^2 + 2a + 8 + (5a^5 + 7a^4 + 7a^3 + 14a^2 + 16a + 15)17 + (8a^5 + 15a^4 + 13a^3 + 10a^2 + 4)17^2 + (6a^5 + 12a^4 + 4a^3 + 6a^2 + 7)17^3 + (7a^5 + 5a^4 + 7a^3 + 12a^2 + 14a + 15)17^4 + (2a^5 + 10a^4 + 13a^3 + 15a^2 + 14)17^5 + (11a^4 + 4a^3 + 7a^2 + 9a + 8)17^6 + (7a^4 + 9a^3 + 6a^2 + 1)17^7 + (16a^5 + 2a^3 + a^2 + 15a + 16)*17^8+O(17^9)
$r_{ 10 }$	$=$	$ 10 a^{5} + a^{4} + 3 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 1 + \left(3 a^{5} + 15 a^{4} + 3 a^{3} + 7 a^{2} + a + 11\right)\cdot 17 + \left(9 a^{5} + 5 a^{4} + 6 a^{3} + 14 a^{2} + 10 a + 13\right)\cdot 17^{2} + \left(9 a^{5} + 10 a^{4} + 7 a^{3} + 9 a^{2} + 13 a + 14\right)\cdot 17^{3} + \left(2 a^{5} + 12 a^{4} + 7 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 17^{4} + \left(6 a^{5} + 5 a^{4} + 16 a^{3} + 13 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 17^{5} + \left(16 a^{5} + 15 a^{4} + 13 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a\right)\cdot 17^{6} + \left(14 a^{5} + 7 a^{4} + 12 a^{3} + 2 a^{2} + 3\right)\cdot 17^{7} + \left(15 a^{5} + 14 a^{4} + 3 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 17^{8} +O(17^{9})$ 10a^5 + a^4 + 3a^3 + 10a^2 + 7a + 1 + (3a^5 + 15a^4 + 3a^3 + 7a^2 + a + 11)17 + (9a^5 + 5a^4 + 6a^3 + 14a^2 + 10a + 13)17^2 + (9a^5 + 10a^4 + 7a^3 + 9a^2 + 13a + 14)17^3 + (2a^5 + 12a^4 + 7a^2 + 6a + 15)17^4 + (6a^5 + 5a^4 + 16a^3 + 13a^2 + 4a + 6)17^5 + (16a^5 + 15a^4 + 13a^3 + 4a^2 + 8a)17^6 + (14a^5 + 7a^4 + 12a^3 + 2a^2 + 3)17^7 + (15a^5 + 14a^4 + 3a^2 + 12a + 10)17^8+O(17^9)
$r_{ 11 }$	$=$	$ 10 a^{4} + 16 a^{3} + a^{2} + 15 a + 5 + \left(7 a^{5} + 2 a^{4} + 15 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 17 + \left(12 a^{5} + 2 a^{4} + 13 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 17^{2} + \left(2 a^{5} + a^{4} + 13 a^{3} + 5 a^{2} + 13\right)\cdot 17^{3} + \left(11 a^{5} + 12 a^{4} + 12 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 16\right)\cdot 17^{4} + \left(14 a^{5} + 7 a^{4} + a^{3} + 8 a^{2} + 3\right)\cdot 17^{5} + \left(10 a^{5} + 3 a^{4} + 13 a^{3} + 9 a^{2} + 16 a + 10\right)\cdot 17^{6} + \left(4 a^{5} + 5 a^{4} + 9 a^{3} + a^{2} + a + 13\right)\cdot 17^{7} + \left(10 a^{5} + 7 a^{4} + 15 a^{3} + 13 a^{2} + 2 a\right)\cdot 17^{8} +O(17^{9})$ 10a^4 + 16a^3 + a^2 + 15a + 5 + (7a^5 + 2a^4 + 15a^3 + 5a^2 + 7a + 10)17 + (12a^5 + 2a^4 + 13a^3 + 2a^2 + 11a + 6)17^2 + (2a^5 + a^4 + 13a^3 + 5a^2 + 13)17^3 + (11a^5 + 12a^4 + 12a^3 + 9a^2 + 12a + 16)17^4 + (14a^5 + 7a^4 + a^3 + 8a^2 + 3)17^5 + (10a^5 + 3a^4 + 13a^3 + 9a^2 + 16a + 10)17^6 + (4a^5 + 5a^4 + 9a^3 + a^2 + a + 13)17^7 + (10a^5 + 7a^4 + 15a^3 + 13a^2 + 2a)*17^8+O(17^9)
$r_{ 12 }$	$=$	$ 16 a^{5} + 4 a^{4} + 4 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 15 + \left(2 a^{5} + 4 a^{4} + 13 a^{3} + 6 a^{2} + 13 a + 4\right)\cdot 17 + \left(12 a^{5} + 6 a^{4} + 16 a^{3} + 6 a^{2} + 13 a + 6\right)\cdot 17^{2} + \left(a^{5} + 6 a^{4} + 12 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 16\right)\cdot 17^{3} + \left(7 a^{5} + 16 a^{4} + 12 a^{3} + 3 a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 17^{4} + \left(16 a^{5} + 13 a^{4} + 2 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a\right)\cdot 17^{5} + \left(4 a^{5} + a^{4} + 8 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 17^{6} + \left(11 a^{5} + 7 a^{4} + 7 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 17^{7} + \left(10 a^{5} + 16 a^{4} + 6 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 16\right)\cdot 17^{8} +O(17^{9})$ 16a^5 + 4a^4 + 4a^3 + 10a^2 + 10a + 15 + (2a^5 + 4a^4 + 13a^3 + 6a^2 + 13a + 4)17 + (12a^5 + 6a^4 + 16a^3 + 6a^2 + 13a + 6)17^2 + (a^5 + 6a^4 + 12a^3 + 5a^2 + 3a + 16)17^3 + (7a^5 + 16a^4 + 12a^3 + 3a^2 + 16a + 1)17^4 + (16a^5 + 13a^4 + 2a^3 + 5a^2 + 2a)17^5 + (4a^5 + a^4 + 8a^3 + 8a^2 + 8a + 7)17^6 + (11a^5 + 7a^4 + 7a^3 + 4a^2 + 10a + 2)17^7 + (10a^5 + 16a^4 + 6a^3 + 3a^2 + 3a + 16)*17^8+O(17^9)

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 12 }$

Cycle notation
$(2,6,4)(7,11,9)$
$(1,8)(2,7)(3,10)(4,9)(5,12)(6,11)$
$(1,6)(2,3)(4,5)(7,10)(8,11)(9,12)$
$(1,12,3,8,5,10)(2,9,6,7,4,11)$

Character values on conjugacy classes

Size	Order	Action on $r_1, \ldots, r_{ 12 }$	Character values
			$c1$	$c2$
$1$	$1$	$()$	$2$	$2$
$1$	$2$	$(1,8)(2,7)(3,10)(4,9)(5,12)(6,11)$	$-2$	$-2$
$3$	$2$	$(1,6)(2,3)(4,5)(7,10)(8,11)(9,12)$	$0$	$0$
$3$	$2$	$(1,11)(2,10)(3,7)(4,12)(5,9)(6,8)$	$0$	$0$
$1$	$3$	$(1,5,3)(2,6,4)(7,11,9)(8,12,10)$	$-2 \zeta_{3} - 2$	$2 \zeta_{3}$
$1$	$3$	$(1,3,5)(2,4,6)(7,9,11)(8,10,12)$	$2 \zeta_{3}$	$-2 \zeta_{3} - 2$
$2$	$3$	$(1,3,5)(2,6,4)(7,11,9)(8,10,12)$	$-1$	$-1$
$2$	$3$	$(2,6,4)(7,11,9)$	$-\zeta_{3}$	$\zeta_{3} + 1$
$2$	$3$	$(2,4,6)(7,9,11)$	$\zeta_{3} + 1$	$-\zeta_{3}$
$1$	$6$	$(1,10,5,8,3,12)(2,9,6,7,4,11)$	$-2 \zeta_{3}$	$2 \zeta_{3} + 2$
$1$	$6$	$(1,12,3,8,5,10)(2,11,4,7,6,9)$	$2 \zeta_{3} + 2$	$-2 \zeta_{3}$
$2$	$6$	$(1,12,3,8,5,10)(2,9,6,7,4,11)$	$1$	$1$
$2$	$6$	$(1,8)(2,11,4,7,6,9)(3,10)(5,12)$	$\zeta_{3}$	$-\zeta_{3} - 1$
$2$	$6$	$(1,8)(2,9,6,7,4,11)(3,10)(5,12)$	$-\zeta_{3} - 1$	$\zeta_{3}$
$3$	$6$	$(1,4,5,2,3,6)(7,10,11,8,9,12)$	$0$	$0$
$3$	$6$	$(1,6,3,2,5,4)(7,12,9,8,11,10)$	$0$	$0$
$3$	$6$	$(1,11,5,9,3,7)(2,8,6,12,4,10)$	$0$	$0$
$3$	$6$	$(1,7,3,9,5,11)(2,10,4,12,6,8)$	$0$	$0$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Related objects

Downloads

Learn more

Basic invariants

Galois action

Roots of defining polynomial

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 12 }$

Character values on conjugacy classes

This project is supported by grants from the US National Science Foundation, the UK Engineering and Physical Sciences Research Council, and the Simons Foundation.

Label	2.336.12t18.b
Dimension	$2$
Group	$C_6\times S_3$
Conductor	$336$
Indicator	$0$

$r_{ 1 }$	$=$	\( 5 a^{4} + 13 a^{3} + 7 a^{2} + 5 + \left(4 a^{5} + 14 a^{4} + 9 a^{3} + 13 a^{2} + 14 a + 11\right)\cdot 17 + \left(10 a^{5} + 16 a^{4} + 2 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 17^{2} + \left(14 a^{5} + 11 a^{4} + 9 a^{3} + 3 a^{2} + 13 a + 12\right)\cdot 17^{3} + \left(9 a^{5} + 3 a^{4} + 9 a^{3} + 15 a^{2} + a + 9\right)\cdot 17^{4} + \left(2 a^{5} + 4 a^{4} + 4 a^{3} + 15 a^{2} + 14 a + 2\right)\cdot 17^{5} + \left(4 a^{5} + 12 a^{4} + 15 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 17^{6} + \left(7 a^{5} + 13 a^{4} + 11 a^{3} + a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 17^{7} + \left(11 a^{5} + 13 a^{2} + a + 11\right)\cdot 17^{8} +O(17^{9})\) 5a^4 + 13a^3 + 7a^2 + 5 + (4a^5 + 14a^4 + 9a^3 + 13a^2 + 14a + 11)17 + (10a^5 + 16a^4 + 2a^3 + 8a^2 + 4a + 1)17^2 + (14a^5 + 11a^4 + 9a^3 + 3a^2 + 13a + 12)17^3 + (9a^5 + 3a^4 + 9a^3 + 15a^2 + a + 9)17^4 + (2a^5 + 4a^4 + 4a^3 + 15a^2 + 14a + 2)17^5 + (4a^5 + 12a^4 + 15a^3 + 6a^2 + 4a + 13)17^6 + (7a^5 + 13a^4 + 11a^3 + a^2 + 10a + 8)17^7 + (11a^5 + 13a^2 + a + 11)17^8+O(17^9)
$r_{ 2 }$	$=$	\( a^{5} + 14 a^{4} + 11 a^{3} + 4 a^{2} + 7 + \left(10 a^{5} + 4 a^{4} + 16 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 17 + \left(9 a^{5} + 5 a^{4} + 6 a^{3} + a^{2} + 10 a + 13\right)\cdot 17^{2} + \left(12 a^{5} + 9 a^{4} + 7 a^{3} + 13 a + 1\right)\cdot 17^{3} + \left(a^{5} + 9 a^{4} + 16 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 17^{4} + \left(14 a^{5} + 2 a^{4} + 4 a^{2} + 8 a + 15\right)\cdot 17^{5} + \left(10 a^{5} + 10 a^{4} + 11 a^{3} + 11 a^{2} + 13 a + 2\right)\cdot 17^{6} + \left(2 a^{5} + 11 a^{4} + 10 a^{3} + 2 a^{2} + a + 9\right)\cdot 17^{7} + \left(11 a^{5} + 11 a^{4} + 11 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 17^{8} +O(17^{9})\) a^5 + 14a^4 + 11a^3 + 4a^2 + 7 + (10a^5 + 4a^4 + 16a^3 + 2a^2 + 6a + 14)17 + (9a^5 + 5a^4 + 6a^3 + a^2 + 10a + 13)17^2 + (12a^5 + 9a^4 + 7a^3 + 13a + 1)17^3 + (a^5 + 9a^4 + 16a^3 + 9a^2 + 4a + 4)17^4 + (14a^5 + 2a^4 + 4a^2 + 8a + 15)17^5 + (10a^5 + 10a^4 + 11a^3 + 11a^2 + 13a + 2)17^6 + (2a^5 + 11a^4 + 10a^3 + 2a^2 + a + 9)17^7 + (11a^5 + 11a^4 + 11a^3 + 4a^2 + 3a + 12)17^8+O(17^9)
$r_{ 3 }$	$=$	\( 7 a^{5} + 16 a^{4} + 14 a^{3} + 7 a^{2} + 10 a + 16 + \left(13 a^{5} + a^{4} + 13 a^{3} + 9 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 17 + \left(7 a^{5} + 11 a^{4} + 10 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 17^{2} + \left(7 a^{5} + 6 a^{4} + 9 a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 17^{3} + \left(14 a^{5} + 4 a^{4} + 16 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 17^{4} + \left(10 a^{5} + 11 a^{4} + 3 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 17^{5} + \left(a^{4} + 3 a^{3} + 12 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 17^{6} + \left(2 a^{5} + 9 a^{4} + 4 a^{3} + 14 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 17^{7} + \left(a^{5} + 2 a^{4} + 16 a^{3} + 13 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 17^{8} +O(17^{9})\) 7a^5 + 16a^4 + 14a^3 + 7a^2 + 10a + 16 + (13a^5 + a^4 + 13a^3 + 9a^2 + 15a + 5)17 + (7a^5 + 11a^4 + 10a^3 + 2a^2 + 6a + 3)17^2 + (7a^5 + 6a^4 + 9a^3 + 7a^2 + 3a + 2)17^3 + (14a^5 + 4a^4 + 16a^3 + 9a^2 + 10a + 1)17^4 + (10a^5 + 11a^4 + 3a^2 + 12a + 10)17^5 + (a^4 + 3a^3 + 12a^2 + 8a + 16)17^6 + (2a^5 + 9a^4 + 4a^3 + 14a^2 + 16a + 13)17^7 + (a^5 + 2a^4 + 16a^3 + 13a^2 + 4a + 6)17^8+O(17^9)
$r_{ 4 }$	$=$	\( 7 a^{5} + 13 a^{4} + 11 a^{3} + a^{2} + 15 a + 9 + \left(11 a^{5} + 9 a^{4} + 9 a^{3} + 2 a^{2} + 1\right)\cdot 17 + \left(8 a^{5} + a^{4} + 3 a^{3} + 6 a^{2} + 16 a + 12\right)\cdot 17^{2} + \left(10 a^{5} + 4 a^{4} + 12 a^{3} + 10 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 17^{3} + \left(9 a^{5} + 11 a^{4} + 9 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 17^{4} + \left(14 a^{5} + 6 a^{4} + 3 a^{3} + a^{2} + 16 a + 2\right)\cdot 17^{5} + \left(16 a^{5} + 5 a^{4} + 12 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 17^{6} + \left(16 a^{5} + 9 a^{4} + 7 a^{3} + 10 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 17^{7} + \left(16 a^{4} + 14 a^{3} + 15 a^{2} + a\right)\cdot 17^{8} +O(17^{9})\) 7a^5 + 13a^4 + 11a^3 + a^2 + 15a + 9 + (11a^5 + 9a^4 + 9a^3 + 2a^2 + 1)17 + (8a^5 + a^4 + 3a^3 + 6a^2 + 16a + 12)17^2 + (10a^5 + 4a^4 + 12a^3 + 10a^2 + 16a + 9)17^3 + (9a^5 + 11a^4 + 9a^3 + 4a^2 + 2a + 1)17^4 + (14a^5 + 6a^4 + 3a^3 + a^2 + 16a + 2)17^5 + (16a^5 + 5a^4 + 12a^3 + 9a^2 + 7a + 8)17^6 + (16a^5 + 9a^4 + 7a^3 + 10a^2 + 16a + 15)17^7 + (16a^4 + 14a^3 + 15a^2 + a)*17^8+O(17^9)
$r_{ 5 }$	$=$	\( a^{5} + 13 a^{4} + 13 a^{3} + 7 a^{2} + 7 a + 2 + \left(14 a^{5} + 12 a^{4} + 3 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 17 + \left(4 a^{5} + 10 a^{4} + 10 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 17^{2} + \left(15 a^{5} + 10 a^{4} + 4 a^{3} + 11 a^{2} + 13 a\right)\cdot 17^{3} + \left(9 a^{5} + 4 a^{3} + 13 a^{2} + 15\right)\cdot 17^{4} + \left(3 a^{4} + 14 a^{3} + 11 a^{2} + 14 a + 16\right)\cdot 17^{5} + \left(12 a^{5} + 15 a^{4} + 8 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 17^{6} + \left(5 a^{5} + 9 a^{4} + 9 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 17^{7} + \left(6 a^{5} + 10 a^{3} + 13 a^{2} + 13 a\right)\cdot 17^{8} +O(17^{9})\) a^5 + 13a^4 + 13a^3 + 7a^2 + 7a + 2 + (14a^5 + 12a^4 + 3a^3 + 10a^2 + 3a + 12)17 + (4a^5 + 10a^4 + 10a^2 + 3a + 10)17^2 + (15a^5 + 10a^4 + 4a^3 + 11a^2 + 13a)17^3 + (9a^5 + 4a^3 + 13a^2 + 15)17^4 + (3a^4 + 14a^3 + 11a^2 + 14a + 16)17^5 + (12a^5 + 15a^4 + 8a^3 + 8a^2 + 8a + 9)17^6 + (5a^5 + 9a^4 + 9a^3 + 12a^2 + 6a + 14)17^7 + (6a^5 + 10a^3 + 13a^2 + 13a)*17^8+O(17^9)
$r_{ 6 }$	$=$	\( 7 a^{4} + a^{3} + 16 a^{2} + 2 a + 12 + \left(10 a^{5} + 14 a^{4} + a^{3} + 11 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 17 + \left(4 a^{5} + 14 a^{4} + 3 a^{3} + 14 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 17^{2} + \left(14 a^{5} + 15 a^{4} + 3 a^{3} + 11 a^{2} + 16 a + 3\right)\cdot 17^{3} + \left(5 a^{5} + 4 a^{4} + 4 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a\right)\cdot 17^{4} + \left(2 a^{5} + 9 a^{4} + 15 a^{3} + 8 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 17^{5} + \left(6 a^{5} + 13 a^{4} + 3 a^{3} + 7 a^{2} + 6\right)\cdot 17^{6} + \left(12 a^{5} + 11 a^{4} + 7 a^{3} + 15 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 17^{7} + \left(6 a^{5} + 9 a^{4} + a^{3} + 3 a^{2} + 14 a + 16\right)\cdot 17^{8} +O(17^{9})\) 7a^4 + a^3 + 16a^2 + 2a + 12 + (10a^5 + 14a^4 + a^3 + 11a^2 + 9a + 6)17 + (4a^5 + 14a^4 + 3a^3 + 14a^2 + 5a + 10)17^2 + (14a^5 + 15a^4 + 3a^3 + 11a^2 + 16a + 3)17^3 + (5a^5 + 4a^4 + 4a^3 + 7a^2 + 4a)17^4 + (2a^5 + 9a^4 + 15a^3 + 8a^2 + 16a + 13)17^5 + (6a^5 + 13a^4 + 3a^3 + 7a^2 + 6)17^6 + (12a^5 + 11a^4 + 7a^3 + 15a^2 + 15a + 3)17^7 + (6a^5 + 9a^4 + a^3 + 3a^2 + 14a + 16)17^8+O(17^9)
$r_{ 7 }$	$=$	\( 16 a^{5} + 3 a^{4} + 6 a^{3} + 13 a^{2} + 10 + \left(6 a^{5} + 12 a^{4} + 14 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 17 + \left(7 a^{5} + 11 a^{4} + 10 a^{3} + 15 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 17^{2} + \left(4 a^{5} + 7 a^{4} + 9 a^{3} + 16 a^{2} + 3 a + 15\right)\cdot 17^{3} + \left(15 a^{5} + 7 a^{4} + 7 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 17^{4} + \left(2 a^{5} + 14 a^{4} + 16 a^{3} + 12 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 17^{5} + \left(6 a^{5} + 6 a^{4} + 5 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 14\right)\cdot 17^{6} + \left(14 a^{5} + 5 a^{4} + 6 a^{3} + 14 a^{2} + 15 a + 7\right)\cdot 17^{7} + \left(5 a^{5} + 5 a^{4} + 5 a^{3} + 12 a^{2} + 13 a + 4\right)\cdot 17^{8} +O(17^{9})\) 16a^5 + 3a^4 + 6a^3 + 13a^2 + 10 + (6a^5 + 12a^4 + 14a^2 + 11a + 2)17 + (7a^5 + 11a^4 + 10a^3 + 15a^2 + 6a + 3)17^2 + (4a^5 + 7a^4 + 9a^3 + 16a^2 + 3a + 15)17^3 + (15a^5 + 7a^4 + 7a^2 + 12a + 12)17^4 + (2a^5 + 14a^4 + 16a^3 + 12a^2 + 8a + 1)17^5 + (6a^5 + 6a^4 + 5a^3 + 5a^2 + 3a + 14)17^6 + (14a^5 + 5a^4 + 6a^3 + 14a^2 + 15a + 7)17^7 + (5a^5 + 5a^4 + 5a^3 + 12a^2 + 13a + 4)17^8+O(17^9)
$r_{ 8 }$	$=$	\( 12 a^{4} + 4 a^{3} + 10 a^{2} + 12 + \left(13 a^{5} + 2 a^{4} + 7 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 17 + \left(6 a^{5} + 14 a^{3} + 8 a^{2} + 12 a + 15\right)\cdot 17^{2} + \left(2 a^{5} + 5 a^{4} + 7 a^{3} + 13 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 17^{3} + \left(7 a^{5} + 13 a^{4} + 7 a^{3} + a^{2} + 15 a + 7\right)\cdot 17^{4} + \left(14 a^{5} + 12 a^{4} + 12 a^{3} + a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 17^{5} + \left(12 a^{5} + 4 a^{4} + a^{3} + 10 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 17^{6} + \left(9 a^{5} + 3 a^{4} + 5 a^{3} + 15 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 17^{7} + \left(5 a^{5} + 16 a^{4} + 16 a^{3} + 3 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 17^{8} +O(17^{9})\) 12a^4 + 4a^3 + 10a^2 + 12 + (13a^5 + 2a^4 + 7a^3 + 3a^2 + 3a + 5)17 + (6a^5 + 14a^3 + 8a^2 + 12a + 15)17^2 + (2a^5 + 5a^4 + 7a^3 + 13a^2 + 3a + 4)17^3 + (7a^5 + 13a^4 + 7a^3 + a^2 + 15a + 7)17^4 + (14a^5 + 12a^4 + 12a^3 + a^2 + 2a + 14)17^5 + (12a^5 + 4a^4 + a^3 + 10a^2 + 12a + 3)17^6 + (9a^5 + 3a^4 + 5a^3 + 15a^2 + 6a + 8)17^7 + (5a^5 + 16a^4 + 16a^3 + 3a^2 + 15a + 5)*17^8+O(17^9)
$r_{ 9 }$	$=$	\( 10 a^{5} + 4 a^{4} + 6 a^{3} + 16 a^{2} + 2 a + 8 + \left(5 a^{5} + 7 a^{4} + 7 a^{3} + 14 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 17 + \left(8 a^{5} + 15 a^{4} + 13 a^{3} + 10 a^{2} + 4\right)\cdot 17^{2} + \left(6 a^{5} + 12 a^{4} + 4 a^{3} + 6 a^{2} + 7\right)\cdot 17^{3} + \left(7 a^{5} + 5 a^{4} + 7 a^{3} + 12 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 17^{4} + \left(2 a^{5} + 10 a^{4} + 13 a^{3} + 15 a^{2} + 14\right)\cdot 17^{5} + \left(11 a^{4} + 4 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 17^{6} + \left(7 a^{4} + 9 a^{3} + 6 a^{2} + 1\right)\cdot 17^{7} + \left(16 a^{5} + 2 a^{3} + a^{2} + 15 a + 16\right)\cdot 17^{8} +O(17^{9})\) 10a^5 + 4a^4 + 6a^3 + 16a^2 + 2a + 8 + (5a^5 + 7a^4 + 7a^3 + 14a^2 + 16a + 15)17 + (8a^5 + 15a^4 + 13a^3 + 10a^2 + 4)17^2 + (6a^5 + 12a^4 + 4a^3 + 6a^2 + 7)17^3 + (7a^5 + 5a^4 + 7a^3 + 12a^2 + 14a + 15)17^4 + (2a^5 + 10a^4 + 13a^3 + 15a^2 + 14)17^5 + (11a^4 + 4a^3 + 7a^2 + 9a + 8)17^6 + (7a^4 + 9a^3 + 6a^2 + 1)17^7 + (16a^5 + 2a^3 + a^2 + 15a + 16)*17^8+O(17^9)
$r_{ 10 }$	$=$	\( 10 a^{5} + a^{4} + 3 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 1 + \left(3 a^{5} + 15 a^{4} + 3 a^{3} + 7 a^{2} + a + 11\right)\cdot 17 + \left(9 a^{5} + 5 a^{4} + 6 a^{3} + 14 a^{2} + 10 a + 13\right)\cdot 17^{2} + \left(9 a^{5} + 10 a^{4} + 7 a^{3} + 9 a^{2} + 13 a + 14\right)\cdot 17^{3} + \left(2 a^{5} + 12 a^{4} + 7 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 17^{4} + \left(6 a^{5} + 5 a^{4} + 16 a^{3} + 13 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 17^{5} + \left(16 a^{5} + 15 a^{4} + 13 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a\right)\cdot 17^{6} + \left(14 a^{5} + 7 a^{4} + 12 a^{3} + 2 a^{2} + 3\right)\cdot 17^{7} + \left(15 a^{5} + 14 a^{4} + 3 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 17^{8} +O(17^{9})\) 10a^5 + a^4 + 3a^3 + 10a^2 + 7a + 1 + (3a^5 + 15a^4 + 3a^3 + 7a^2 + a + 11)17 + (9a^5 + 5a^4 + 6a^3 + 14a^2 + 10a + 13)17^2 + (9a^5 + 10a^4 + 7a^3 + 9a^2 + 13a + 14)17^3 + (2a^5 + 12a^4 + 7a^2 + 6a + 15)17^4 + (6a^5 + 5a^4 + 16a^3 + 13a^2 + 4a + 6)17^5 + (16a^5 + 15a^4 + 13a^3 + 4a^2 + 8a)17^6 + (14a^5 + 7a^4 + 12a^3 + 2a^2 + 3)17^7 + (15a^5 + 14a^4 + 3a^2 + 12a + 10)17^8+O(17^9)
$r_{ 11 }$	$=$	\( 10 a^{4} + 16 a^{3} + a^{2} + 15 a + 5 + \left(7 a^{5} + 2 a^{4} + 15 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 17 + \left(12 a^{5} + 2 a^{4} + 13 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 17^{2} + \left(2 a^{5} + a^{4} + 13 a^{3} + 5 a^{2} + 13\right)\cdot 17^{3} + \left(11 a^{5} + 12 a^{4} + 12 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 16\right)\cdot 17^{4} + \left(14 a^{5} + 7 a^{4} + a^{3} + 8 a^{2} + 3\right)\cdot 17^{5} + \left(10 a^{5} + 3 a^{4} + 13 a^{3} + 9 a^{2} + 16 a + 10\right)\cdot 17^{6} + \left(4 a^{5} + 5 a^{4} + 9 a^{3} + a^{2} + a + 13\right)\cdot 17^{7} + \left(10 a^{5} + 7 a^{4} + 15 a^{3} + 13 a^{2} + 2 a\right)\cdot 17^{8} +O(17^{9})\) 10a^4 + 16a^3 + a^2 + 15a + 5 + (7a^5 + 2a^4 + 15a^3 + 5a^2 + 7a + 10)17 + (12a^5 + 2a^4 + 13a^3 + 2a^2 + 11a + 6)17^2 + (2a^5 + a^4 + 13a^3 + 5a^2 + 13)17^3 + (11a^5 + 12a^4 + 12a^3 + 9a^2 + 12a + 16)17^4 + (14a^5 + 7a^4 + a^3 + 8a^2 + 3)17^5 + (10a^5 + 3a^4 + 13a^3 + 9a^2 + 16a + 10)17^6 + (4a^5 + 5a^4 + 9a^3 + a^2 + a + 13)17^7 + (10a^5 + 7a^4 + 15a^3 + 13a^2 + 2a)*17^8+O(17^9)
$r_{ 12 }$	$=$	\( 16 a^{5} + 4 a^{4} + 4 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 15 + \left(2 a^{5} + 4 a^{4} + 13 a^{3} + 6 a^{2} + 13 a + 4\right)\cdot 17 + \left(12 a^{5} + 6 a^{4} + 16 a^{3} + 6 a^{2} + 13 a + 6\right)\cdot 17^{2} + \left(a^{5} + 6 a^{4} + 12 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 16\right)\cdot 17^{3} + \left(7 a^{5} + 16 a^{4} + 12 a^{3} + 3 a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 17^{4} + \left(16 a^{5} + 13 a^{4} + 2 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a\right)\cdot 17^{5} + \left(4 a^{5} + a^{4} + 8 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 17^{6} + \left(11 a^{5} + 7 a^{4} + 7 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 17^{7} + \left(10 a^{5} + 16 a^{4} + 6 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 16\right)\cdot 17^{8} +O(17^{9})\) 16a^5 + 4a^4 + 4a^3 + 10a^2 + 10a + 15 + (2a^5 + 4a^4 + 13a^3 + 6a^2 + 13a + 4)17 + (12a^5 + 6a^4 + 16a^3 + 6a^2 + 13a + 6)17^2 + (a^5 + 6a^4 + 12a^3 + 5a^2 + 3a + 16)17^3 + (7a^5 + 16a^4 + 12a^3 + 3a^2 + 16a + 1)17^4 + (16a^5 + 13a^4 + 2a^3 + 5a^2 + 2a)17^5 + (4a^5 + a^4 + 8a^3 + 8a^2 + 8a + 7)17^6 + (11a^5 + 7a^4 + 7a^3 + 4a^2 + 10a + 2)17^7 + (10a^5 + 16a^4 + 6a^3 + 3a^2 + 3a + 16)*17^8+O(17^9)