Basic invariants
| Dimension: | $2$ |
| Group: | $D_{12}$ |
| Conductor: | $1936= 2^{4} \cdot 11^{2} $ |
| Artin number field: | Splitting field of $f= x^{12} + 22 x^{8} - 55 x^{4} + 176 $ over $\Q$ |
| Size of Galois orbit: | 2 |
| Smallest containing permutation representation: | $D_{12}$ |
| Parity: | Odd |
| Determinant: | 1.2e2.2t1.1c1 |
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 61 }$ to precision 11.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 61 }$: $ x^{4} + 3 x^{2} + 40 x + 2 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ | $=$ | $ 56 a^{3} + 35 a^{2} + 45 a + 55 + \left(29 a^{3} + 25 a^{2} + 7 a + 20\right)\cdot 61 + \left(16 a^{3} + 14 a^{2} + 46 a + 28\right)\cdot 61^{2} + \left(16 a^{3} + 50 a^{2} + 8 a + 14\right)\cdot 61^{3} + \left(40 a^{3} + 12 a^{2} + 41 a + 7\right)\cdot 61^{4} + \left(6 a^{3} + 11 a^{2} + 44 a + 3\right)\cdot 61^{5} + \left(20 a^{3} + 45 a^{2} + 37 a\right)\cdot 61^{6} + \left(13 a^{3} + 20 a^{2} + 28 a + 4\right)\cdot 61^{7} + \left(48 a^{3} + a^{2} + 21 a + 15\right)\cdot 61^{8} + \left(48 a^{3} + 46 a^{2} + 18 a + 38\right)\cdot 61^{9} + \left(53 a^{3} + 18 a^{2} + 14 a + 25\right)\cdot 61^{10} +O\left(61^{ 11 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ | $=$ | $ 2 a^{3} + 47 a^{2} + 43 a + 39 + \left(14 a^{3} + 51 a^{2} + 55 a + 10\right)\cdot 61 + \left(56 a^{3} + 3 a^{2} + 15\right)\cdot 61^{2} + \left(19 a^{3} + 30 a^{2} + 53 a + 2\right)\cdot 61^{3} + \left(52 a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 18\right)\cdot 61^{4} + \left(37 a^{3} + 9 a^{2} + 19 a + 51\right)\cdot 61^{5} + \left(10 a^{3} + 12 a^{2} + 14 a + 31\right)\cdot 61^{6} + \left(29 a^{3} + 4 a^{2} + 47 a + 27\right)\cdot 61^{7} + \left(16 a^{3} + 44 a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 61^{8} + \left(17 a^{3} + 8 a^{2} + 48 a + 43\right)\cdot 61^{9} + \left(58 a^{3} + 52 a^{2} + 39 a + 57\right)\cdot 61^{10} +O\left(61^{ 11 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ | $=$ | $ 4 a^{3} + 33 a^{2} + 25 a + 17 + \left(16 a^{3} + 4 a^{2} + 36 a + 31\right)\cdot 61 + \left(36 a^{3} + 7 a^{2} + 22 a\right)\cdot 61^{2} + \left(25 a^{3} + 22 a^{2} + 55 a + 8\right)\cdot 61^{3} + \left(28 a^{3} + 30 a^{2} + 12 a + 44\right)\cdot 61^{4} + \left(41 a^{3} + 47 a^{2} + 43 a + 3\right)\cdot 61^{5} + \left(25 a^{3} + 58 a^{2} + 10 a + 35\right)\cdot 61^{6} + \left(21 a^{3} + 44 a^{2} + a + 8\right)\cdot 61^{7} + \left(59 a^{3} + 52 a^{2} + 38 a + 60\right)\cdot 61^{8} + \left(42 a^{3} + 15 a^{2} + 29 a + 31\right)\cdot 61^{9} + \left(36 a^{3} + 18 a^{2} + 17 a + 30\right)\cdot 61^{10} +O\left(61^{ 11 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ | $=$ | $ 6 a^{3} + 19 a^{2} + 7 a + 56 + \left(30 a^{3} + 56 a^{2} + 31 a + 41\right)\cdot 61 + \left(31 a^{3} + 10 a^{2} + 23 a + 15\right)\cdot 61^{2} + \left(45 a^{3} + 52 a^{2} + 47 a + 10\right)\cdot 61^{3} + \left(19 a^{3} + 32 a^{2} + 20 a + 1\right)\cdot 61^{4} + \left(18 a^{3} + 56 a^{2} + a + 55\right)\cdot 61^{5} + \left(36 a^{3} + 9 a^{2} + 25 a + 5\right)\cdot 61^{6} + \left(50 a^{3} + 49 a^{2} + 48 a + 36\right)\cdot 61^{7} + \left(14 a^{3} + 35 a^{2} + 51 a + 10\right)\cdot 61^{8} + \left(60 a^{3} + 24 a^{2} + 16 a + 14\right)\cdot 61^{9} + \left(33 a^{3} + 9 a^{2} + 57 a + 27\right)\cdot 61^{10} +O\left(61^{ 11 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ | $=$ | $ 22 a^{3} + 29 a^{2} + 46 a + 2 + \left(54 a^{3} + 49 a^{2} + 48 a + 58\right)\cdot 61 + \left(12 a^{3} + 14 a^{2} + 20 a + 42\right)\cdot 61^{2} + \left(26 a^{3} + 49 a^{2} + 41 a + 36\right)\cdot 61^{3} + \left(54 a^{3} + 27 a^{2} + 23 a + 27\right)\cdot 61^{4} + \left(9 a^{3} + 55 a^{2} + 44\right)\cdot 61^{5} + \left(15 a^{3} + 39 a^{2} + 9 a + 26\right)\cdot 61^{6} + \left(32 a^{3} + 2 a^{2} + 19 a + 56\right)\cdot 61^{7} + \left(2 a^{3} + 15 a^{2} + 21 a + 6\right)\cdot 61^{8} + \left(27 a^{3} + 55 a^{2} + 6 a + 40\right)\cdot 61^{9} + \left(2 a^{3} + 25 a^{2} + 20\right)\cdot 61^{10} +O\left(61^{ 11 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ | $=$ | $ 44 a^{3} + 58 a^{2} + 31 a + 4 + \left(37 a^{3} + 46 a^{2} + 4 a + 43\right)\cdot 61 + \left(31 a^{3} + 31 a^{2} + 55 a + 50\right)\cdot 61^{2} + \left(18 a^{3} + 22 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 61^{3} + \left(27 a^{3} + 20 a^{2} + 57 a + 26\right)\cdot 61^{4} + \left(44 a^{3} + 55 a^{2} + 15 a + 13\right)\cdot 61^{5} + \left(25 a^{3} + 36 a^{2} + 14 a + 34\right)\cdot 61^{6} + \left(15 a^{3} + 37 a^{2} + 13 a\right)\cdot 61^{7} + \left(10 a^{3} + 44 a^{2} + 18 a + 39\right)\cdot 61^{8} + \left(46 a^{3} + 20 a^{2} + 36 a + 43\right)\cdot 61^{9} + \left(4 a^{3} + 16 a^{2} + 46 a + 14\right)\cdot 61^{10} +O\left(61^{ 11 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ | $=$ | $ 5 a^{3} + 26 a^{2} + 16 a + 6 + \left(31 a^{3} + 35 a^{2} + 53 a + 40\right)\cdot 61 + \left(44 a^{3} + 46 a^{2} + 14 a + 32\right)\cdot 61^{2} + \left(44 a^{3} + 10 a^{2} + 52 a + 46\right)\cdot 61^{3} + \left(20 a^{3} + 48 a^{2} + 19 a + 53\right)\cdot 61^{4} + \left(54 a^{3} + 49 a^{2} + 16 a + 57\right)\cdot 61^{5} + \left(40 a^{3} + 15 a^{2} + 23 a + 60\right)\cdot 61^{6} + \left(47 a^{3} + 40 a^{2} + 32 a + 56\right)\cdot 61^{7} + \left(12 a^{3} + 59 a^{2} + 39 a + 45\right)\cdot 61^{8} + \left(12 a^{3} + 14 a^{2} + 42 a + 22\right)\cdot 61^{9} + \left(7 a^{3} + 42 a^{2} + 46 a + 35\right)\cdot 61^{10} +O\left(61^{ 11 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ | $=$ | $ 59 a^{3} + 14 a^{2} + 18 a + 22 + \left(46 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 50\right)\cdot 61 + \left(4 a^{3} + 57 a^{2} + 60 a + 45\right)\cdot 61^{2} + \left(41 a^{3} + 30 a^{2} + 7 a + 58\right)\cdot 61^{3} + \left(8 a^{3} + 58 a^{2} + 53 a + 42\right)\cdot 61^{4} + \left(23 a^{3} + 51 a^{2} + 41 a + 9\right)\cdot 61^{5} + \left(50 a^{3} + 48 a^{2} + 46 a + 29\right)\cdot 61^{6} + \left(31 a^{3} + 56 a^{2} + 13 a + 33\right)\cdot 61^{7} + \left(44 a^{3} + 16 a^{2} + 47 a + 49\right)\cdot 61^{8} + \left(43 a^{3} + 52 a^{2} + 12 a + 17\right)\cdot 61^{9} + \left(2 a^{3} + 8 a^{2} + 21 a + 3\right)\cdot 61^{10} +O\left(61^{ 11 }\right)$ |
| $r_{ 9 }$ | $=$ | $ 57 a^{3} + 28 a^{2} + 36 a + 44 + \left(44 a^{3} + 56 a^{2} + 24 a + 29\right)\cdot 61 + \left(24 a^{3} + 53 a^{2} + 38 a + 60\right)\cdot 61^{2} + \left(35 a^{3} + 38 a^{2} + 5 a + 52\right)\cdot 61^{3} + \left(32 a^{3} + 30 a^{2} + 48 a + 16\right)\cdot 61^{4} + \left(19 a^{3} + 13 a^{2} + 17 a + 57\right)\cdot 61^{5} + \left(35 a^{3} + 2 a^{2} + 50 a + 25\right)\cdot 61^{6} + \left(39 a^{3} + 16 a^{2} + 59 a + 52\right)\cdot 61^{7} + \left(a^{3} + 8 a^{2} + 22 a\right)\cdot 61^{8} + \left(18 a^{3} + 45 a^{2} + 31 a + 29\right)\cdot 61^{9} + \left(24 a^{3} + 42 a^{2} + 43 a + 30\right)\cdot 61^{10} +O\left(61^{ 11 }\right)$ |
| $r_{ 10 }$ | $=$ | $ 55 a^{3} + 42 a^{2} + 54 a + 5 + \left(30 a^{3} + 4 a^{2} + 29 a + 19\right)\cdot 61 + \left(29 a^{3} + 50 a^{2} + 37 a + 45\right)\cdot 61^{2} + \left(15 a^{3} + 8 a^{2} + 13 a + 50\right)\cdot 61^{3} + \left(41 a^{3} + 28 a^{2} + 40 a + 59\right)\cdot 61^{4} + \left(42 a^{3} + 4 a^{2} + 59 a + 5\right)\cdot 61^{5} + \left(24 a^{3} + 51 a^{2} + 35 a + 55\right)\cdot 61^{6} + \left(10 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 24\right)\cdot 61^{7} + \left(46 a^{3} + 25 a^{2} + 9 a + 50\right)\cdot 61^{8} + \left(36 a^{2} + 44 a + 46\right)\cdot 61^{9} + \left(27 a^{3} + 51 a^{2} + 3 a + 33\right)\cdot 61^{10} +O\left(61^{ 11 }\right)$ |
| $r_{ 11 }$ | $=$ | $ 39 a^{3} + 32 a^{2} + 15 a + 59 + \left(6 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 61 + \left(48 a^{3} + 46 a^{2} + 40 a + 18\right)\cdot 61^{2} + \left(34 a^{3} + 11 a^{2} + 19 a + 24\right)\cdot 61^{3} + \left(6 a^{3} + 33 a^{2} + 37 a + 33\right)\cdot 61^{4} + \left(51 a^{3} + 5 a^{2} + 60 a + 16\right)\cdot 61^{5} + \left(45 a^{3} + 21 a^{2} + 51 a + 34\right)\cdot 61^{6} + \left(28 a^{3} + 58 a^{2} + 41 a + 4\right)\cdot 61^{7} + \left(58 a^{3} + 45 a^{2} + 39 a + 54\right)\cdot 61^{8} + \left(33 a^{3} + 5 a^{2} + 54 a + 20\right)\cdot 61^{9} + \left(58 a^{3} + 35 a^{2} + 60 a + 40\right)\cdot 61^{10} +O\left(61^{ 11 }\right)$ |
| $r_{ 12 }$ | $=$ | $ 17 a^{3} + 3 a^{2} + 30 a + 57 + \left(23 a^{3} + 14 a^{2} + 56 a + 17\right)\cdot 61 + \left(29 a^{3} + 29 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 61^{2} + \left(42 a^{3} + 38 a^{2} + 50 a + 51\right)\cdot 61^{3} + \left(33 a^{3} + 40 a^{2} + 3 a + 34\right)\cdot 61^{4} + \left(16 a^{3} + 5 a^{2} + 45 a + 47\right)\cdot 61^{5} + \left(35 a^{3} + 24 a^{2} + 46 a + 26\right)\cdot 61^{6} + \left(45 a^{3} + 23 a^{2} + 47 a + 60\right)\cdot 61^{7} + \left(50 a^{3} + 16 a^{2} + 42 a + 21\right)\cdot 61^{8} + \left(14 a^{3} + 40 a^{2} + 24 a + 17\right)\cdot 61^{9} + \left(56 a^{3} + 44 a^{2} + 14 a + 46\right)\cdot 61^{10} +O\left(61^{ 11 }\right)$ |
Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 12 }$
| Cycle notation |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on $r_1, \ldots, r_{ 12 }$ | Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $2$ |
| $1$ | $2$ | $(1,7)(2,8)(3,9)(4,10)(5,11)(6,12)$ | $-2$ |
| $6$ | $2$ | $(1,3)(2,5)(4,12)(6,10)(7,9)(8,11)$ | $0$ |
| $6$ | $2$ | $(2,9)(3,8)(4,10)(5,6)(11,12)$ | $0$ |
| $2$ | $3$ | $(1,6,5)(2,10,3)(4,9,8)(7,12,11)$ | $-1$ |
| $2$ | $4$ | $(1,10,7,4)(2,11,8,5)(3,12,9,6)$ | $0$ |
| $2$ | $6$ | $(1,11,6,7,5,12)(2,9,10,8,3,4)$ | $1$ |
| $2$ | $12$ | $(1,8,12,10,5,9,7,2,6,4,11,3)$ | $\zeta_{12}^{3} - 2 \zeta_{12}$ |
| $2$ | $12$ | $(1,9,11,10,6,8,7,3,5,4,12,2)$ | $-\zeta_{12}^{3} + 2 \zeta_{12}$ |