Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in $\Q_{ 113 }$ to precision 12.
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 4 + 37\cdot 113 + 107\cdot 113^{2} + 39\cdot 113^{3} + 32\cdot 113^{4} + 72\cdot 113^{5} + 112\cdot 113^{6} + 89\cdot 113^{7} + 66\cdot 113^{8} + 32\cdot 113^{9} + 103\cdot 113^{10} + 76\cdot 113^{11} +O\left(113^{ 12 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 7 + 64\cdot 113 + 50\cdot 113^{2} + 18\cdot 113^{3} + 83\cdot 113^{4} + 93\cdot 113^{5} + 75\cdot 113^{6} + 107\cdot 113^{7} + 50\cdot 113^{8} + 21\cdot 113^{9} + 5\cdot 113^{10} + 67\cdot 113^{11} +O\left(113^{ 12 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 14 + 14\cdot 113 + 41\cdot 113^{2} + 98\cdot 113^{3} + 6\cdot 113^{4} + 54\cdot 113^{5} + 36\cdot 113^{6} + 58\cdot 113^{7} + 27\cdot 113^{8} + 70\cdot 113^{9} + 16\cdot 113^{10} + 110\cdot 113^{11} +O\left(113^{ 12 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 48 + 64\cdot 113 + 7\cdot 113^{2} + 61\cdot 113^{3} + 88\cdot 113^{4} + 12\cdot 113^{5} + 50\cdot 113^{6} + 41\cdot 113^{7} + 3\cdot 113^{8} + 81\cdot 113^{9} + 71\cdot 113^{10} + 63\cdot 113^{11} +O\left(113^{ 12 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 66 + 48\cdot 113 + 105\cdot 113^{2} + 51\cdot 113^{3} + 24\cdot 113^{4} + 100\cdot 113^{5} + 62\cdot 113^{6} + 71\cdot 113^{7} + 109\cdot 113^{8} + 31\cdot 113^{9} + 41\cdot 113^{10} + 49\cdot 113^{11} +O\left(113^{ 12 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 100 + 98\cdot 113 + 71\cdot 113^{2} + 14\cdot 113^{3} + 106\cdot 113^{4} + 58\cdot 113^{5} + 76\cdot 113^{6} + 54\cdot 113^{7} + 85\cdot 113^{8} + 42\cdot 113^{9} + 96\cdot 113^{10} + 2\cdot 113^{11} +O\left(113^{ 12 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 107 + 48\cdot 113 + 62\cdot 113^{2} + 94\cdot 113^{3} + 29\cdot 113^{4} + 19\cdot 113^{5} + 37\cdot 113^{6} + 5\cdot 113^{7} + 62\cdot 113^{8} + 91\cdot 113^{9} + 107\cdot 113^{10} + 45\cdot 113^{11} +O\left(113^{ 12 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 110 + 75\cdot 113 + 5\cdot 113^{2} + 73\cdot 113^{3} + 80\cdot 113^{4} + 40\cdot 113^{5} + 23\cdot 113^{7} + 46\cdot 113^{8} + 80\cdot 113^{9} + 9\cdot 113^{10} + 36\cdot 113^{11} +O\left(113^{ 12 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Cycle notation |
| $(1,8)(2,7)(3,6)(4,5)$ |
| $(1,6)(2,4)(3,8)(5,7)$ |
| $(1,2,8,7)$ |
| $(1,2,8,7)(3,5,6,4)$ |
| $(1,8)(2,7)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $2$ |
| $1$ | $2$ | $(1,8)(2,7)(3,6)(4,5)$ | $-2$ |
| $2$ | $2$ | $(1,8)(2,7)$ | $0$ |
| $4$ | $2$ | $(1,6)(2,4)(3,8)(5,7)$ | $0$ |
| $1$ | $4$ | $(1,2,8,7)(3,5,6,4)$ | $2 \zeta_{4}$ |
| $1$ | $4$ | $(1,7,8,2)(3,4,6,5)$ | $-2 \zeta_{4}$ |
| $2$ | $4$ | $(1,2,8,7)$ | $\zeta_{4} + 1$ |
| $2$ | $4$ | $(1,7,8,2)$ | $-\zeta_{4} + 1$ |
| $2$ | $4$ | $(1,8)(2,7)(3,5,6,4)$ | $\zeta_{4} - 1$ |
| $2$ | $4$ | $(1,8)(2,7)(3,4,6,5)$ | $-\zeta_{4} - 1$ |
| $2$ | $4$ | $(1,7,8,2)(3,5,6,4)$ | $0$ |
| $4$ | $4$ | $(1,6,8,3)(2,4,7,5)$ | $0$ |
| $4$ | $8$ | $(1,6,2,4,8,3,7,5)$ | $0$ |
| $4$ | $8$ | $(1,4,7,6,8,5,2,3)$ | $0$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
