Basic invariants
| Dimension: | $2$ |
| Group: | $S_3 \times C_3$ |
| Conductor: | $648= 2^{3} \cdot 3^{4} $ |
| Artin number field: | Splitting field of $f= x^{18} + 6 x^{16} - 12 x^{15} + 21 x^{14} - 72 x^{13} + 144 x^{12} - 282 x^{11} + 462 x^{10} - 620 x^{9} + 864 x^{8} - 1122 x^{7} + 1206 x^{6} - 948 x^{5} + 549 x^{4} - 228 x^{3} + 66 x^{2} - 12 x + 1 $ over $\Q$ |
| Size of Galois orbit: | 2 |
| Smallest containing permutation representation: | $S_3\times C_3$ |
| Parity: | Odd |
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 23 }$ to precision 8.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 23 }$: $ x^{6} + x^{4} + 9 x^{3} + 9 x^{2} + x + 5 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ | $=$ | $ 13 a^{5} + 16 a^{4} + 6 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 2 + \left(20 a^{5} + 13 a^{4} + 10 a^{3} + 18 a^{2} + a + 8\right)\cdot 23 + \left(13 a^{5} + 11 a^{4} + 7 a^{3} + 19 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 23^{2} + \left(12 a^{5} + 9 a^{4} + 11 a^{3} + 17 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 23^{3} + \left(8 a^{5} + 21 a^{3} + 6 a^{2} + 2 a + 17\right)\cdot 23^{4} + \left(10 a^{5} + a^{4} + a^{3} + 22 a^{2} + 9 a + 21\right)\cdot 23^{5} + \left(4 a^{5} + 15 a^{4} + 16 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 23^{6} + \left(15 a^{5} + a^{4} + 8 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 23^{7} +O\left(23^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ | $=$ | $ 7 a^{5} + 11 a^{4} + 18 a^{3} + 14 a^{2} + 7 a + 17 + \left(8 a^{5} + 20 a^{4} + 15 a^{3} + 9 a^{2} + a\right)\cdot 23 + \left(9 a^{5} + 21 a^{4} + a^{3} + 2 a^{2} + 13 a + 1\right)\cdot 23^{2} + \left(3 a^{5} + a^{4} + 4 a^{3} + 14 a^{2} + 2 a + 19\right)\cdot 23^{3} + \left(2 a^{5} + 18 a^{4} + 22 a^{3} + a^{2} + 16 a + 19\right)\cdot 23^{4} + \left(15 a^{5} + 10 a^{4} + 15 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 15\right)\cdot 23^{5} + \left(20 a^{4} + 3 a^{3} + 17 a^{2} + 17 a + 3\right)\cdot 23^{6} + \left(14 a^{5} + 3 a^{4} + 22 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 23^{7} +O\left(23^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ | $=$ | $ 21 a^{5} + 13 a^{3} + 20 a^{2} + 21 a + 12 + \left(15 a^{5} + 8 a^{4} + 12 a^{3} + 13 a^{2} + 15\right)\cdot 23 + \left(4 a^{5} + 4 a^{4} + 16 a^{3} + 9 a^{2} + a + 13\right)\cdot 23^{2} + \left(8 a^{5} + 8 a^{4} + 13 a^{3} + 4 a^{2} + 22 a + 13\right)\cdot 23^{3} + \left(8 a^{5} + 4 a^{4} + 21 a^{3} + 15 a^{2} + 18 a + 4\right)\cdot 23^{4} + \left(8 a^{5} + 14 a^{4} + 10 a^{3} + a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 23^{5} + \left(a^{5} + 4 a^{4} + 21 a^{3} + 22 a^{2} + 17 a + 14\right)\cdot 23^{6} + \left(20 a^{5} + 21 a^{4} + 21 a^{3} + 18 a^{2} + 13 a + 6\right)\cdot 23^{7} +O\left(23^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ | $=$ | $ 22 a^{5} + 9 a^{4} + 6 a^{3} + 8 a^{2} + 13 a + 17 + \left(17 a^{5} + 8 a^{4} + 11 a^{3} + 20 a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 23 + \left(16 a^{5} + 8 a^{4} + 14 a^{3} + 5 a^{2} + 22 a + 6\right)\cdot 23^{2} + \left(8 a^{5} + 11 a^{4} + 6 a^{3} + 3 a^{2} + 17 a + 7\right)\cdot 23^{3} + \left(18 a^{5} + 4 a^{4} + 18 a^{3} + 21 a^{2} + 13 a + 2\right)\cdot 23^{4} + \left(14 a^{5} + 10 a^{4} + 5 a^{3} + 2 a^{2} + 15 a + 16\right)\cdot 23^{5} + \left(4 a^{5} + 2 a^{4} + 5 a^{3} + 15 a^{2} + 17 a + 8\right)\cdot 23^{6} + \left(14 a^{5} + 20 a^{4} + 12 a^{2} + 19 a + 16\right)\cdot 23^{7} +O\left(23^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ | $=$ | $ 11 a^{5} + 17 a^{4} + 2 a^{3} + 4 a^{2} + 9 + \left(10 a^{5} + 6 a^{4} + 11 a^{3} + 15 a^{2} + 17 a + 15\right)\cdot 23 + \left(6 a^{5} + a^{4} + 12 a^{3} + 8 a^{2} + 18 a + 19\right)\cdot 23^{2} + \left(10 a^{5} + 12 a^{4} + 18 a^{3} + 3 a^{2} + a\right)\cdot 23^{3} + \left(a^{5} + 7 a^{4} + 14 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 23^{4} + \left(3 a^{5} + 5 a^{4} + 15 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 20\right)\cdot 23^{5} + \left(a^{5} + 14 a^{4} + 6 a^{3} + 15 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 23^{6} + \left(2 a^{5} + 7 a^{4} + 22 a^{3} + 22 a^{2} + 8 a + 18\right)\cdot 23^{7} +O\left(23^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ | $=$ | $ 3 a^{5} + 12 a^{4} + 19 a^{3} + 22 a + 16 + \left(5 a^{5} + 7 a^{4} + 10 a^{3} + 4 a^{2} + 20 a + 12\right)\cdot 23 + \left(2 a^{5} + 6 a^{4} + 12 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 15\right)\cdot 23^{2} + \left(2 a^{5} + 11 a^{3} + 21 a^{2} + 16 a + 3\right)\cdot 23^{3} + \left(20 a^{5} + 15 a^{4} + 19 a^{3} + 22 a^{2} + 7 a + 21\right)\cdot 23^{4} + \left(19 a^{4} + 14 a^{3} + 12 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 23^{5} + \left(10 a^{5} + 9 a^{4} + 11 a^{3} + 4 a^{2} + 19 a + 11\right)\cdot 23^{6} + \left(9 a^{5} + 20 a^{4} + 20 a^{3} + 11 a^{2} + 13 a + 7\right)\cdot 23^{7} +O\left(23^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ | $=$ | $ 4 a^{4} + 22 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 18 + \left(16 a^{5} + 12 a^{3} + 17 a^{2} + 3 a + 19\right)\cdot 23 + \left(5 a^{5} + 15 a^{4} + 19 a^{3} + 3 a^{2} + 21 a + 9\right)\cdot 23^{2} + \left(22 a^{5} + 22 a^{4} + 2 a^{3} + 8 a^{2} + 19 a + 22\right)\cdot 23^{3} + \left(2 a^{5} + 21 a^{4} + 16 a^{3} + 21 a^{2} + 14 a + 11\right)\cdot 23^{4} + \left(10 a^{5} + 4 a^{4} + 10 a^{3} + 18 a^{2} + 3\right)\cdot 23^{5} + \left(3 a^{5} + 11 a^{4} + 11 a^{3} + 9 a^{2} + 22 a + 11\right)\cdot 23^{6} + \left(2 a^{5} + 4 a^{4} + 10 a^{3} + 11 a^{2} + 13 a + 8\right)\cdot 23^{7} +O\left(23^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ | $=$ | $ 10 a^{5} + 4 a^{4} + 10 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 4 + \left(15 a^{5} + 6 a^{4} + 22 a^{3} + 14 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 23 + \left(11 a^{5} + 5 a^{4} + 17 a^{3} + 8 a^{2} + 22 a + 16\right)\cdot 23^{2} + \left(10 a^{5} + 9 a^{4} + 22 a^{3} + 19 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 23^{3} + \left(11 a^{5} + 8 a^{4} + a^{3} + 6 a^{2} + 17 a + 14\right)\cdot 23^{4} + \left(9 a^{5} + 4 a^{4} + 10 a^{3} + 9 a^{2} + 20 a + 10\right)\cdot 23^{5} + \left(17 a^{5} + 5 a^{4} + 11 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 23^{6} + \left(5 a^{5} + 4 a^{4} + 10 a^{3} + 17 a^{2} + 11 a + 16\right)\cdot 23^{7} +O\left(23^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 9 }$ | $=$ | $ 2 a^{5} + 18 a^{4} + 15 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 3 + \left(18 a^{5} + 8 a^{4} + 21 a^{3} + 18 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 23 + \left(22 a^{5} + 18 a^{4} + 17 a^{3} + a^{2} + 7 a + 14\right)\cdot 23^{2} + \left(16 a^{5} + 12 a^{4} + 2 a^{3} + 4 a^{2} + 17 a + 10\right)\cdot 23^{3} + \left(18 a^{5} + 3 a^{4} + 19 a^{3} + 16 a^{2} + 14 a + 3\right)\cdot 23^{4} + \left(15 a^{5} + 7 a^{4} + 16 a^{3} + 15 a^{2} + 19 a + 9\right)\cdot 23^{5} + \left(18 a^{5} + 22 a^{4} + 7 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 23^{6} + \left(8 a^{5} + 11 a^{4} + 7 a^{3} + 4 a^{2} + 19 a + 17\right)\cdot 23^{7} +O\left(23^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 10 }$ | $=$ | $ 11 a^{5} + 20 a^{4} + 22 a^{3} + 22 a^{2} + 8 a + 16 + \left(19 a^{5} + 7 a^{4} + 11 a^{3} + 18 a^{2} + 13 a + 1\right)\cdot 23 + \left(5 a^{5} + 7 a^{4} + 13 a^{3} + 8 a^{2} + 18 a + 5\right)\cdot 23^{2} + \left(19 a^{5} + a^{4} + 17 a^{3} + 14 a^{2} + 22 a + 5\right)\cdot 23^{3} + \left(12 a^{5} + 12 a^{4} + 8 a^{3} + a^{2} + 21 a + 11\right)\cdot 23^{4} + \left(10 a^{5} + 6 a^{4} + 8 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a + 16\right)\cdot 23^{5} + \left(6 a^{5} + 7 a^{4} + 15 a^{3} + 20 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 23^{6} + \left(6 a^{5} + 2 a^{4} + 17 a^{3} + 12 a^{2} + a + 20\right)\cdot 23^{7} +O\left(23^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 11 }$ | $=$ | $ 7 a^{5} + 19 a^{4} + 13 a^{3} + 16 a^{2} + 9 a + 6 + \left(3 a^{5} + 21 a^{4} + a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 18\right)\cdot 23 + \left(15 a^{5} + 13 a^{4} + 2 a^{3} + a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 23^{2} + \left(7 a^{5} + 8 a^{4} + 14 a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 23^{3} + \left(17 a^{5} + 15 a^{4} + 21 a^{3} + 5 a^{2} + a + 5\right)\cdot 23^{4} + \left(18 a^{5} + 12 a^{4} + 5 a^{3} + 15 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 23^{5} + \left(10 a^{5} + 6 a^{4} + 11 a^{3} + 17 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 23^{6} + \left(21 a^{5} + 11 a^{4} + 17 a^{2} + 11 a + 17\right)\cdot 23^{7} +O\left(23^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 12 }$ | $=$ | $ 2 a^{5} + 10 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 16 + \left(7 a^{5} + 15 a^{4} + 10 a^{3} + 9 a^{2} + 22 a + 14\right)\cdot 23 + \left(18 a^{5} + 18 a^{4} + 6 a^{3} + 13 a^{2} + 21 a + 9\right)\cdot 23^{2} + \left(14 a^{5} + 14 a^{4} + 9 a^{3} + 18 a^{2} + 3\right)\cdot 23^{3} + \left(14 a^{5} + 18 a^{4} + a^{3} + 7 a^{2} + 4 a\right)\cdot 23^{4} + \left(14 a^{5} + 8 a^{4} + 12 a^{3} + 21 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 23^{5} + \left(21 a^{5} + 18 a^{4} + a^{3} + 5 a + 2\right)\cdot 23^{6} + \left(2 a^{5} + a^{4} + a^{3} + 4 a^{2} + 9 a\right)\cdot 23^{7} +O\left(23^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 13 }$ | $=$ | $ a^{5} + 14 a^{4} + 17 a^{3} + 15 a^{2} + 10 a + 11 + \left(5 a^{5} + 14 a^{4} + 11 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 23 + \left(6 a^{5} + 14 a^{4} + 8 a^{3} + 17 a^{2} + 16\right)\cdot 23^{2} + \left(14 a^{5} + 11 a^{4} + 16 a^{3} + 19 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 23^{3} + \left(4 a^{5} + 18 a^{4} + 4 a^{3} + a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 23^{4} + \left(8 a^{5} + 12 a^{4} + 17 a^{3} + 20 a^{2} + 7 a + 13\right)\cdot 23^{5} + \left(18 a^{5} + 20 a^{4} + 17 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 23^{6} + \left(8 a^{5} + 2 a^{4} + 22 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 23^{7} +O\left(23^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 14 }$ | $=$ | $ 12 a^{5} + 6 a^{4} + 21 a^{3} + 19 a^{2} + 19 + \left(12 a^{5} + 16 a^{4} + 11 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 23 + \left(16 a^{5} + 21 a^{4} + 10 a^{3} + 14 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 23^{2} + \left(12 a^{5} + 10 a^{4} + 4 a^{3} + 19 a^{2} + 21 a + 16\right)\cdot 23^{3} + \left(21 a^{5} + 15 a^{4} + 8 a^{3} + 11 a^{2} + 18 a + 21\right)\cdot 23^{4} + \left(19 a^{5} + 17 a^{4} + 7 a^{3} + 16 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 23^{5} + \left(21 a^{5} + 8 a^{4} + 16 a^{3} + 7 a^{2} + 13 a + 15\right)\cdot 23^{6} + \left(20 a^{5} + 15 a^{4} + 14 a + 11\right)\cdot 23^{7} +O\left(23^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 15 }$ | $=$ | $ 6 a^{5} + 4 a^{4} + 19 a^{3} + 16 a^{2} + 8 a + 2 + \left(6 a^{5} + 19 a^{4} + 17 a^{3} + 4 a^{2} + 15 a + 7\right)\cdot 23 + \left(19 a^{5} + 3 a^{4} + 6 a^{3} + 8 a^{2} + 12 a + 18\right)\cdot 23^{2} + \left(9 a^{5} + 12 a^{4} + 16 a^{3} + 4 a^{2} + 14 a + 19\right)\cdot 23^{3} + \left(6 a^{5} + 20 a^{4} + 5 a^{3} + 16 a^{2} + 20 a + 17\right)\cdot 23^{4} + \left(11 a^{5} + 2 a^{4} + 9 a^{3} + 9 a^{2} + 13 a + 9\right)\cdot 23^{5} + \left(a^{5} + 9 a^{4} + 19 a^{3} + 6 a^{2} + 19 a + 11\right)\cdot 23^{6} + \left(a^{5} + 10 a^{4} + 2 a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 23^{7} +O\left(23^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 16 }$ | $=$ | $ 8 a^{5} + 22 a^{4} + 11 a^{3} + a^{2} + 15 a + 10 + \left(a^{5} + 4 a^{4} + 16 a^{3} + 18 a + 20\right)\cdot 23 + \left(19 a^{5} + 22 a^{4} + a^{3} + 10 a^{2} + 19 a + 9\right)\cdot 23^{2} + \left(3 a^{5} + a^{4} + 19 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 23^{3} + \left(2 a^{5} + a^{4} + a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 23^{4} + \left(4 a^{5} + 10 a^{4} + 3 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 23^{5} + \left(20 a^{5} + 8 a^{4} + 4 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 23^{6} + \left(9 a^{5} + 22 a^{4} + 10 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 23^{7} +O\left(23^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 17 }$ | $=$ | $ 5 a^{5} + 16 a^{4} + 3 a^{3} + 6 a^{2} + 9 + \left(13 a^{5} + 11 a^{4} + 17 a^{3} + 14 a^{2} + 21 a + 10\right)\cdot 23 + \left(9 a^{5} + 3 a^{4} + 6 a^{3} + 5 a + 9\right)\cdot 23^{2} + \left(9 a^{5} + 12 a^{4} + a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + 14\right)\cdot 23^{3} + \left(6 a^{5} + 14 a^{4} + 3 a^{3} + 8 a^{2} + a + 11\right)\cdot 23^{4} + \left(22 a^{5} + 3 a^{4} + 22 a^{3} + 15 a^{2} + 14 a\right)\cdot 23^{5} + \left(4 a^{5} + 21 a^{4} + 18 a^{3} + 13 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 23^{6} + \left(5 a^{5} + 14 a^{4} + 14 a^{3} + 4 a^{2} + 14 a + 7\right)\cdot 23^{7} +O\left(23^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 18 }$ | $=$ | $ 20 a^{5} + 15 a^{4} + 3 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 20 + \left(10 a^{5} + 15 a^{4} + 2 a^{3} + 13 a^{2} + 5 a + 22\right)\cdot 23 + \left(3 a^{5} + 8 a^{4} + 7 a^{3} + 15 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 23^{2} + \left(20 a^{5} + 22 a^{4} + 14 a^{3} + 9 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 23^{3} + \left(5 a^{5} + 6 a^{4} + 19 a^{3} + 21 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 23^{4} + \left(9 a^{5} + 8 a^{4} + 18 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 15\right)\cdot 23^{5} + \left(16 a^{5} + a^{4} + 22 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 23^{6} + \left(15 a^{5} + 7 a^{4} + 12 a^{3} + 17\right)\cdot 23^{7} +O\left(23^{ 8 }\right)$ |
Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 18 }$
| Cycle notation |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on $r_1, \ldots, r_{ 18 }$ | Character values | |
| $c1$ | $c2$ | |||
| $1$ | $1$ | $()$ | $2$ | $2$ |
| $3$ | $2$ | $(1,10)(2,11)(3,12)(4,13)(5,14)(6,15)(7,16)(8,17)(9,18)$ | $0$ | $0$ |
| $1$ | $3$ | $(1,7,11)(2,10,16)(3,13,5)(4,14,12)(6,18,8)(9,17,15)$ | $2 \zeta_{3}$ | $-2 \zeta_{3} - 2$ |
| $1$ | $3$ | $(1,11,7)(2,16,10)(3,5,13)(4,12,14)(6,8,18)(9,15,17)$ | $-2 \zeta_{3} - 2$ | $2 \zeta_{3}$ |
| $2$ | $3$ | $(1,15,4)(2,13,18)(3,6,16)(5,8,10)(7,9,14)(11,17,12)$ | $\zeta_{3} + 1$ | $-\zeta_{3}$ |
| $2$ | $3$ | $(1,4,15)(2,18,13)(3,16,6)(5,10,8)(7,14,9)(11,12,17)$ | $-\zeta_{3}$ | $\zeta_{3} + 1$ |
| $2$ | $3$ | $(1,9,12)(2,5,6)(3,18,10)(4,7,17)(8,16,13)(11,15,14)$ | $-1$ | $-1$ |
| $3$ | $6$ | $(1,2,7,10,11,16)(3,14,13,12,5,4)(6,17,18,15,8,9)$ | $0$ | $0$ |
| $3$ | $6$ | $(1,16,11,10,7,2)(3,4,5,12,13,14)(6,9,8,15,18,17)$ | $0$ | $0$ |