Basic invariants
| Dimension: | $2$ |
| Group: | $S_3 \times C_6$ |
| Conductor: | $216= 2^{3} \cdot 3^{3} $ |
| Artin number field: | Splitting field of $f= x^{18} - 8 x^{15} - 12 x^{14} - 12 x^{13} - 6 x^{12} + 24 x^{11} + 18 x^{10} + 42 x^{9} - 6 x^{8} - 55 x^{6} - 6 x^{4} + 2 x^{3} + 30 x^{2} - 12 x + 1 $ over $\Q$ |
| Size of Galois orbit: | 2 |
| Smallest containing permutation representation: | $C_6\times S_3$ |
| Parity: | Odd |
| Determinant: | 1.2e3_3e2.6t1.3c1 |
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 23 }$ to precision 10.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 23 }$: $ x^{6} + x^{4} + 9 x^{3} + 9 x^{2} + x + 5 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ | $=$ | $ 15 a^{5} + 15 a^{4} + 4 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 17 + \left(13 a^{5} + 2 a^{4} + 5 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 19\right)\cdot 23 + \left(9 a^{5} + 3 a^{4} + 13 a^{3} + 9 a^{2} + 19 a + 13\right)\cdot 23^{2} + \left(4 a^{5} + 12 a^{4} + 8 a^{3} + 20 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 23^{3} + \left(17 a^{4} + 4 a^{3} + 7 a^{2} + 18 a + 1\right)\cdot 23^{4} + \left(22 a^{4} + 19 a^{3} + 19 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 23^{5} + \left(15 a^{5} + 12 a^{4} + 14 a^{3} + 17 a^{2} + 1\right)\cdot 23^{6} + \left(16 a^{5} + 12 a^{4} + 8 a^{3} + 17 a^{2} + 14 a + 1\right)\cdot 23^{7} + \left(21 a^{5} + 3 a^{4} + 4 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 23^{8} + \left(17 a^{5} + 21 a^{4} + 10 a^{3} + 3 a^{2} + 19 a + 20\right)\cdot 23^{9} +O\left(23^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ | $=$ | $ 17 a^{5} + 4 a^{4} + 21 a^{3} + 10 a^{2} + 19 a + 8 + \left(20 a^{5} + 12 a^{4} + 10 a^{3} + a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 23 + \left(7 a^{5} + 4 a^{4} + 5 a^{3} + 12 a^{2} + 2 a + 22\right)\cdot 23^{2} + \left(22 a^{5} + 21 a^{4} + 7 a^{3} + 19 a^{2} + 22 a + 4\right)\cdot 23^{3} + \left(11 a^{5} + 11 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 23^{4} + \left(18 a^{5} + 8 a^{4} + 12 a^{3} + 15 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 23^{5} + \left(4 a^{5} + 17 a^{4} + 17 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 18\right)\cdot 23^{6} + \left(20 a^{5} + 15 a^{4} + 18 a^{3} + 21 a^{2} + 18 a + 3\right)\cdot 23^{7} + \left(4 a^{5} + 16 a^{4} + 2 a^{3} + 3 a^{2} + 22 a + 4\right)\cdot 23^{8} + \left(a^{5} + 6 a^{4} + 21 a^{3} + 7 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 23^{9} +O\left(23^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ | $=$ | $ 14 a^{5} + 4 a^{4} + 21 a^{3} + 8 a^{2} + 19 a + 12 + \left(11 a^{5} + 8 a^{4} + 6 a^{3} + 14 a^{2} + 2 a + 13\right)\cdot 23 + \left(5 a^{5} + 15 a^{4} + 4 a^{3} + a^{2} + a + 2\right)\cdot 23^{2} + \left(19 a^{5} + 12 a^{4} + 7 a^{3} + 6 a^{2} + 20 a + 7\right)\cdot 23^{3} + \left(10 a^{5} + 4 a^{4} + 7 a^{3} + 11 a^{2} + 16 a + 5\right)\cdot 23^{4} + \left(4 a^{5} + 15 a^{4} + 14 a^{3} + 11 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 23^{5} + \left(3 a^{5} + 15 a^{4} + 13 a^{3} + 20 a^{2} + 13 a + 17\right)\cdot 23^{6} + \left(9 a^{5} + 17 a^{4} + 18 a^{3} + 6 a^{2} + 13 a + 17\right)\cdot 23^{7} + \left(19 a^{5} + 2 a^{4} + 19 a^{3} + 14 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 23^{8} + \left(3 a^{5} + 18 a^{4} + 14 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a + 14\right)\cdot 23^{9} +O\left(23^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ | $=$ | $ 3 a^{5} + 6 a^{4} + 20 a^{3} + 17 a + 16 + \left(10 a^{5} + 18 a^{4} + 5 a^{3} + 21 a^{2} + 6 a + 18\right)\cdot 23 + \left(13 a^{5} + 16 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 23^{2} + \left(a^{5} + 18 a^{4} + 10 a^{3} + 22 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 23^{3} + \left(17 a^{5} + 13 a^{4} + 6 a^{3} + 22 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 23^{4} + \left(6 a^{5} + 13 a^{4} + 2 a^{3} + 6 a^{2} + 22 a + 15\right)\cdot 23^{5} + \left(5 a^{5} + 10 a^{4} + 5 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 23^{6} + \left(18 a^{5} + 2 a^{4} + 15 a^{3} + a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 23^{7} + \left(a^{5} + 11 a^{4} + 14 a^{3} + 20 a^{2} + 12 a + 15\right)\cdot 23^{8} + \left(19 a^{5} + 5 a^{4} + 18 a^{3} + 11 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 23^{9} +O\left(23^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ | $=$ | $ 17 a^{5} + 8 a^{4} + 19 a^{3} + a^{2} + 15 a + 18 + \left(18 a^{5} + 14 a^{4} + 15 a^{3} + 17 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 23 + \left(5 a^{5} + 21 a^{4} + 13 a^{3} + 15 a^{2} + 10\right)\cdot 23^{2} + \left(18 a^{5} + 20 a^{4} + 15 a^{3} + a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 23^{3} + \left(7 a^{5} + 11 a^{4} + 10 a^{3} + 7 a^{2} + 16 a + 4\right)\cdot 23^{4} + \left(12 a^{5} + 15 a^{4} + 20 a^{3} + 6 a^{2} + 13 a + 5\right)\cdot 23^{5} + \left(8 a^{5} + 7 a^{4} + 13 a^{3} + 18 a^{2} + 3 a + 15\right)\cdot 23^{6} + \left(a^{5} + 12 a^{4} + 6 a^{3} + 17 a^{2} + 21\right)\cdot 23^{7} + \left(20 a^{5} + 5 a^{4} + 13 a^{3} + 15 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 23^{8} + \left(7 a^{5} + 14 a^{4} + 7 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 23^{9} +O\left(23^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ | $=$ | $ 3 a^{5} + 9 a^{4} + 7 a^{3} + 22 a^{2} + 14 a + 1 + \left(17 a^{5} + 13 a^{4} + a^{3} + 7 a^{2} + 6 a\right)\cdot 23 + \left(3 a^{5} + 16 a^{3} + a^{2} + 20 a + 14\right)\cdot 23^{2} + \left(3 a^{5} + 7 a^{4} + 19 a^{3} + 22 a^{2} + a\right)\cdot 23^{3} + \left(21 a^{5} + 20 a^{4} + 5 a^{3} + 15 a^{2} + 20 a + 13\right)\cdot 23^{4} + \left(3 a^{5} + 16 a^{4} + 9 a^{2} + 9 a + 17\right)\cdot 23^{5} + \left(9 a^{5} + 4 a^{4} + 4 a^{3} + 16 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 23^{6} + \left(3 a^{5} + 8 a^{4} + a^{3} + 3 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 23^{7} + \left(a^{5} + 6 a^{4} + 18 a^{3} + 10 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 23^{8} + \left(19 a^{5} + 3 a^{4} + 3 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 18\right)\cdot 23^{9} +O\left(23^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ | $=$ | $ 14 a^{5} + 12 a^{4} + 5 a^{3} + a^{2} + 18 a + 22 + \left(16 a^{5} + a^{4} + 18 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 23 + \left(a^{5} + 6 a^{4} + 16 a^{3} + a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 23^{2} + \left(2 a^{5} + 10 a^{4} + 21 a^{3} + 7 a^{2} + 21 a + 7\right)\cdot 23^{3} + \left(14 a^{5} + 17 a^{4} + 20 a^{3} + 19 a^{2} + 20 a\right)\cdot 23^{4} + \left(5 a^{5} + 4 a^{4} + 14 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 23^{5} + \left(8 a^{5} + 4 a^{4} + 3 a^{3} + 19 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 23^{6} + \left(20 a^{5} + a^{4} + 10 a^{3} + 14 a^{2} + 10 a + 17\right)\cdot 23^{7} + \left(10 a^{5} + 9 a^{4} + 4 a^{3} + 11 a^{2} + 22 a + 9\right)\cdot 23^{8} + \left(11 a^{5} + 6 a^{4} + 11 a^{3} + 21\right)\cdot 23^{9} +O\left(23^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ | $=$ | $ 7 a^{5} + 17 a^{4} + 5 a^{3} + 20 a^{2} + 5 a + 4 + \left(14 a^{5} + 11 a^{4} + 13 a^{3} + 18 a^{2} + 14 a + 18\right)\cdot 23 + \left(3 a^{5} + 9 a^{4} + 11 a^{3} + 4 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 23^{2} + \left(7 a^{5} + 3 a^{4} + 10 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a + 20\right)\cdot 23^{3} + \left(18 a^{5} + 3 a^{4} + 3 a^{3} + 16 a^{2} + 13 a + 12\right)\cdot 23^{4} + \left(18 a^{5} + 2 a^{4} + 3 a^{3} + 13 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 23^{5} + \left(2 a^{5} + 21 a^{4} + 4 a^{3} + 15 a^{2} + 12\right)\cdot 23^{6} + \left(17 a^{5} + 13 a^{4} + 8 a^{3} + 10 a^{2} + 22 a + 17\right)\cdot 23^{7} + \left(22 a^{4} + 5 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 22\right)\cdot 23^{8} + \left(2 a^{5} + a^{4} + a^{3} + a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 23^{9} +O\left(23^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 9 }$ | $=$ | $ 3 a^{5} + 5 a^{4} + 18 a^{3} + 20 a^{2} + 13 a + 17 + \left(7 a^{5} + 4 a^{4} + 13 a^{3} + 9 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 23 + \left(a^{5} + 10 a^{4} + 10 a^{3} + 13 a^{2} + 12 a + 14\right)\cdot 23^{2} + \left(16 a^{5} + 6 a^{4} + 17 a^{3} + 13 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 23^{3} + \left(14 a^{5} + 18 a^{3} + 20 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 23^{4} + \left(4 a^{5} + 19 a^{4} + 9 a^{3} + 12 a^{2} + a + 16\right)\cdot 23^{5} + \left(14 a^{5} + 18 a^{4} + 18 a^{3} + 11 a^{2} + 3 a + 19\right)\cdot 23^{6} + \left(9 a^{5} + 7 a^{4} + 7 a^{3} + 20 a^{2} + 18 a + 6\right)\cdot 23^{7} + \left(13 a^{5} + 12 a^{4} + 22 a^{3} + 21 a\right)\cdot 23^{8} + \left(7 a^{4} + 11 a^{3} + 20 a + 8\right)\cdot 23^{9} +O\left(23^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 10 }$ | $=$ | $ 18 a^{4} + 15 a^{3} + 8 a^{2} + 14 a + 5 + \left(22 a^{5} + 22 a^{4} + 19 a^{3} + 5 a^{2} + 18 a + 1\right)\cdot 23 + \left(15 a^{5} + 4 a^{4} + 12 a^{3} + 19 a^{2} + 21 a + 18\right)\cdot 23^{2} + \left(a^{5} + 6 a^{4} + a^{3} + 15 a^{2} + 5 a + 17\right)\cdot 23^{3} + \left(7 a^{5} + 16 a^{4} + 4 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 23^{4} + \left(3 a^{5} + 3 a^{4} + 18 a^{3} + 22 a^{2} + 16 a + 2\right)\cdot 23^{5} + \left(2 a^{5} + 5 a^{4} + 18 a^{3} + 8 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 23^{6} + \left(8 a^{5} + 5 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 23^{7} + \left(3 a^{5} + 12 a^{4} + 3 a^{3} + 12 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 23^{8} + \left(15 a^{5} + 13 a^{4} + 11 a^{3} + a^{2} + 20 a + 18\right)\cdot 23^{9} +O\left(23^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 11 }$ | $=$ | $ 18 a^{5} + 9 a^{4} + 21 a^{3} + a^{2} + 2 a + 20 + \left(18 a^{5} + 14 a^{4} + 3 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 17\right)\cdot 23 + \left(13 a^{5} + 10 a^{4} + 16 a^{3} + 18 a^{2} + 21 a + 11\right)\cdot 23^{2} + \left(17 a^{5} + 3 a^{4} + 21 a^{3} + a^{2} + 5 a + 13\right)\cdot 23^{3} + \left(5 a^{5} + 12 a^{4} + 13 a^{3} + 22 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 23^{4} + \left(6 a^{5} + 18 a^{4} + 10 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 23^{5} + \left(3 a^{5} + 4 a^{4} + 18 a^{3} + 12 a^{2} + 17 a + 7\right)\cdot 23^{6} + \left(a^{5} + 3 a^{4} + 16 a^{3} + 11 a^{2} + 8 a + 14\right)\cdot 23^{7} + \left(3 a^{5} + 22 a^{4} + 2 a^{3} + 16 a^{2} + 13 a + 2\right)\cdot 23^{8} + \left(9 a^{5} + 15 a^{4} + 12 a^{2} + 15 a + 22\right)\cdot 23^{9} +O\left(23^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 12 }$ | $=$ | $ 19 a^{5} + 2 a^{4} + 4 a^{3} + 6 a^{2} + 21 a + 10 + \left(4 a^{5} + 3 a^{4} + 15 a^{3} + 14 a^{2} + 20 a + 20\right)\cdot 23 + \left(19 a^{5} + 12 a^{4} + 8 a^{3} + 16 a^{2} + 20 a + 22\right)\cdot 23^{2} + \left(12 a^{5} + 6 a^{4} + 19 a^{3} + 21 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 23^{3} + \left(2 a^{5} + 11 a^{4} + 17 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 16\right)\cdot 23^{4} + \left(4 a^{5} + 11 a^{4} + 8 a^{3} + 16 a^{2} + 8 a + 22\right)\cdot 23^{5} + \left(12 a^{5} + 16 a^{4} + 8 a^{3} + 18 a^{2} + 19 a + 12\right)\cdot 23^{6} + \left(20 a^{5} + 6 a^{4} + 22 a^{3} + 13 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 23^{7} + \left(2 a^{5} + 7 a^{4} + 19 a^{3} + 14 a^{2} + 4\right)\cdot 23^{8} + \left(4 a^{5} + 4 a^{4} + 9 a^{2} + 15 a + 7\right)\cdot 23^{9} +O\left(23^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 13 }$ | $=$ | $ 21 a^{5} + 10 a^{4} + 7 a^{3} + 15 a^{2} + 6 a + 16 + \left(7 a^{5} + 4 a^{4} + a^{3} + 19 a^{2} + 6 a + 20\right)\cdot 23 + \left(8 a^{5} + a^{4} + 14 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 23^{2} + \left(20 a^{5} + 21 a^{4} + 17 a^{2} + 18 a + 8\right)\cdot 23^{3} + \left(16 a^{5} + 7 a^{4} + 5 a^{3} + 13 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 23^{4} + \left(5 a^{5} + 3 a^{4} + 8 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 20\right)\cdot 23^{5} + \left(22 a^{5} + 17 a^{4} + 11 a^{3} + 10 a^{2} + 18 a + 4\right)\cdot 23^{6} + \left(2 a^{5} + 16 a^{4} + 8 a^{3} + 5 a^{2} + a\right)\cdot 23^{7} + \left(18 a^{5} + 13 a^{4} + 21 a^{3} + 8 a^{2} + 21 a + 17\right)\cdot 23^{8} + \left(18 a^{5} + 22 a^{4} + 10 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 23^{9} +O\left(23^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 14 }$ | $=$ | $ 3 a^{5} + 12 a^{4} + 15 a^{3} + 12 a + 10 + \left(5 a^{5} + 5 a^{4} + 18 a^{3} + 16 a^{2} + 21 a + 2\right)\cdot 23 + \left(10 a^{5} + 2 a^{4} + 18 a^{3} + 17 a^{2} + 18 a + 19\right)\cdot 23^{2} + \left(a^{5} + 19 a^{4} + 4 a^{3} + 7 a^{2} + 20\right)\cdot 23^{3} + \left(5 a^{5} + 4 a^{4} + 16 a^{3} + 17 a^{2} + 13 a + 18\right)\cdot 23^{4} + \left(3 a^{5} + 13 a^{4} + 18 a^{3} + 22 a^{2} + 21 a\right)\cdot 23^{5} + \left(11 a^{5} + 5 a^{4} + 11 a^{3} + 13 a^{2} + a + 14\right)\cdot 23^{6} + \left(21 a^{5} + 4 a^{4} + 12 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 23^{7} + \left(6 a^{5} + 21 a^{4} + 7 a^{3} + 21 a^{2} + 15 a + 6\right)\cdot 23^{8} + \left(15 a^{5} + 10 a^{4} + 7 a^{3} + 11 a + 19\right)\cdot 23^{9} +O\left(23^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 15 }$ | $=$ | $ 13 a^{5} + 13 a^{4} + 19 a^{3} + 15 a + 5 + \left(14 a^{5} + 3 a^{4} + 6 a^{3} + 9 a^{2} + 19 a + 4\right)\cdot 23 + \left(6 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a\right)\cdot 23^{2} + \left(13 a^{5} + 16 a^{4} + 11 a^{3} + 5 a + 17\right)\cdot 23^{3} + \left(8 a^{5} + 8 a^{4} + 22 a^{3} + a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 23^{4} + \left(15 a^{5} + 13 a^{4} + 22 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 23^{5} + \left(5 a^{5} + 6 a^{4} + 13 a^{3} + 22 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 23^{6} + \left(13 a^{5} + 13 a^{4} + 4 a^{3} + 22 a^{2} + 18 a + 19\right)\cdot 23^{7} + \left(21 a^{5} + 18 a^{4} + 22 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 23^{8} + \left(4 a^{5} + 2 a^{4} + 8 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 23^{9} +O\left(23^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 16 }$ | $=$ | $ 18 a^{5} + 11 a^{4} + 5 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 13 + \left(9 a^{4} + 9 a^{3} + 11 a + 18\right)\cdot 23 + \left(18 a^{5} + 8 a^{3} + 5 a^{2} + 13 a + 14\right)\cdot 23^{2} + \left(15 a^{5} + 9 a^{4} + 16 a^{3} + 15 a^{2} + 6 a + 17\right)\cdot 23^{3} + \left(7 a^{5} + 18 a^{4} + 20 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 20\right)\cdot 23^{4} + \left(11 a^{5} + a^{4} + 17 a^{3} + 22 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 23^{5} + \left(16 a^{5} + 17 a^{4} + 2 a^{3} + 18 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 23^{6} + \left(14 a^{5} + 6 a^{4} + 14 a^{3} + 22 a^{2} + 13 a + 15\right)\cdot 23^{7} + \left(a^{5} + 3 a^{4} + 18 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 17\right)\cdot 23^{8} + \left(18 a^{5} + 16 a^{4} + 14 a^{3} + 10 a^{2} + 13 a + 17\right)\cdot 23^{9} +O\left(23^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 17 }$ | $=$ | $ 12 a^{5} + 4 a^{4} + 7 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 9 + \left(6 a^{5} + 15 a^{4} + 3 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 23 + \left(15 a^{5} + 3 a^{4} + 13 a^{3} + 8 a^{2} + a + 10\right)\cdot 23^{2} + \left(7 a^{5} + 10 a^{4} + 17 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 23^{3} + \left(8 a^{5} + 9 a^{3} + 10 a^{2} + a + 17\right)\cdot 23^{4} + \left(5 a^{5} + 5 a^{4} + 11 a^{3} + 2 a^{2} + 19 a + 11\right)\cdot 23^{5} + \left(12 a^{5} + 10 a^{4} + 4 a^{3} + 13 a^{2} + 19 a + 7\right)\cdot 23^{6} + \left(15 a^{5} + 2 a^{4} + 13 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 23^{7} + \left(12 a^{5} + 19 a^{4} + 3 a^{3} + 4 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 23^{8} + \left(a^{5} + 20 a^{4} + 15 a^{3} + 18 a^{2} + 18 a + 20\right)\cdot 23^{9} +O\left(23^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 18 }$ | $=$ | $ 10 a^{5} + 2 a^{4} + 17 a^{3} + 12 a^{2} + 21 a + 4 + \left(19 a^{5} + 19 a^{4} + 14 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 17\right)\cdot 23 + \left(6 a^{5} + 7 a^{4} + 3 a^{2} + 13 a + 9\right)\cdot 23^{2} + \left(22 a^{5} + 3 a^{4} + 18 a^{3} + 16 a^{2} + 18 a\right)\cdot 23^{3} + \left(5 a^{5} + 14 a^{4} + 7 a^{3} + 13 a^{2} + 4 a + 15\right)\cdot 23^{4} + \left(8 a^{5} + 18 a^{4} + 16 a^{3} + 9 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 23^{5} + \left(4 a^{5} + 10 a^{4} + 21 a^{3} + 18 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 23^{6} + \left(16 a^{5} + 15 a^{4} + 18 a^{3} + 19 a^{2} + 13 a + 7\right)\cdot 23^{7} + \left(19 a^{5} + 22 a^{4} + 6 a^{3} + a^{2} + 18 a + 19\right)\cdot 23^{8} + \left(13 a^{5} + 14 a^{4} + 21 a^{3} + 3 a^{2} + 18 a + 15\right)\cdot 23^{9} +O\left(23^{ 10 }\right)$ |
Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 18 }$
| Cycle notation |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on $r_1, \ldots, r_{ 18 }$ | Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $2$ |
| $1$ | $2$ | $(1,5)(2,6)(3,4)(7,14)(8,13)(9,11)(10,18)(12,16)(15,17)$ | $-2$ |
| $3$ | $2$ | $(1,5)(2,6)(3,4)(7,8)(9,17)(10,12)(11,15)(13,14)(16,18)$ | $0$ |
| $3$ | $2$ | $(1,13)(2,9)(3,10)(4,18)(5,8)(6,11)$ | $0$ |
| $1$ | $3$ | $(1,3,2)(4,6,5)(7,16,15)(8,18,11)(9,13,10)(12,17,14)$ | $-2 \zeta_{3} - 2$ |
| $1$ | $3$ | $(1,2,3)(4,5,6)(7,15,16)(8,11,18)(9,10,13)(12,14,17)$ | $2 \zeta_{3}$ |
| $2$ | $3$ | $(1,7,13)(2,15,9)(3,16,10)(4,12,18)(5,14,8)(6,17,11)$ | $-1$ |
| $2$ | $3$ | $(1,10,15)(2,13,16)(3,9,7)(4,11,14)(5,18,17)(6,8,12)$ | $\zeta_{3} + 1$ |
| $2$ | $3$ | $(1,15,10)(2,16,13)(3,7,9)(4,14,11)(5,17,18)(6,12,8)$ | $-\zeta_{3}$ |
| $1$ | $6$ | $(1,6,3,5,2,4)(7,17,16,14,15,12)(8,9,18,13,11,10)$ | $-2 \zeta_{3}$ |
| $1$ | $6$ | $(1,4,2,5,3,6)(7,12,15,14,16,17)(8,10,11,13,18,9)$ | $2 \zeta_{3} + 2$ |
| $2$ | $6$ | $(1,8,7,5,13,14)(2,11,15,6,9,17)(3,18,16,4,10,12)$ | $1$ |
| $2$ | $6$ | $(1,17,10,5,15,18)(2,12,13,6,16,8)(3,14,9,4,7,11)$ | $\zeta_{3}$ |
| $2$ | $6$ | $(1,18,15,5,10,17)(2,8,16,6,13,12)(3,11,7,4,9,14)$ | $-\zeta_{3} - 1$ |
| $3$ | $6$ | $(1,6,3,5,2,4)(7,11,16,8,15,18)(9,12,13,17,10,14)$ | $0$ |
| $3$ | $6$ | $(1,4,2,5,3,6)(7,18,15,8,16,11)(9,14,10,17,13,12)$ | $0$ |
| $3$ | $6$ | $(1,15,3,7,2,16)(4,14,6,12,5,17)(8,11,18)(9,10,13)$ | $0$ |
| $3$ | $6$ | $(1,16,2,7,3,15)(4,17,5,12,6,14)(8,18,11)(9,13,10)$ | $0$ |