Basic invariants
| Dimension: | $2$ |
| Group: | $S_3 \times C_6$ |
| Conductor: | $1800= 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2} $ |
| Artin number field: | Splitting field of $f= x^{18} + 18 x^{16} - 24 x^{15} + 147 x^{14} - 342 x^{13} + 996 x^{12} - 2514 x^{11} + 5586 x^{10} - 11958 x^{9} + 22581 x^{8} - 40962 x^{7} + 66838 x^{6} - 97902 x^{5} + 124314 x^{4} - 128200 x^{3} + 101529 x^{2} - 54078 x + 15931 $ over $\Q$ |
| Size of Galois orbit: | 2 |
| Smallest containing permutation representation: | $C_6\times S_3$ |
| Parity: | Odd |
| Determinant: | 1.2e3_3e2.6t1.3c2 |
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 23 }$ to precision 8.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 23 }$: $ x^{6} + x^{4} + 9 x^{3} + 9 x^{2} + x + 5 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ | $=$ | $ 18 a^{5} + 18 a^{4} + 14 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 1 + \left(12 a^{5} + 6 a^{4} + 13 a^{3} + 14 a^{2} + 12 a\right)\cdot 23 + \left(10 a^{5} + 11 a^{4} + 12 a^{3} + 10 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 23^{2} + \left(19 a^{5} + 4 a^{4} + 4 a^{3} + 20 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 23^{3} + \left(5 a^{5} + 21 a^{4} + 7 a^{3} + 2 a^{2} + 20 a + 22\right)\cdot 23^{4} + \left(21 a^{5} + 19 a^{4} + 2 a^{3} + 12 a^{2} + 7 a\right)\cdot 23^{5} + \left(18 a^{5} + 11 a^{4} + 18 a^{3} + 22 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 23^{6} + \left(22 a^{5} + 14 a^{4} + 3 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 23^{7} +O\left(23^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ | $=$ | $ 2 a^{5} + 14 a^{4} + 16 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a + 4 + \left(11 a^{4} + 7 a^{3} + a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 23 + \left(2 a^{5} + 8 a^{4} + 15 a^{3} + 11 a + 19\right)\cdot 23^{2} + \left(8 a^{5} + 11 a^{4} + 15 a^{3} + 7 a^{2} + a + 2\right)\cdot 23^{3} + \left(17 a^{5} + 11 a^{4} + a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 21\right)\cdot 23^{4} + \left(3 a^{5} + 20 a^{4} + 15 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 23^{5} + \left(11 a^{5} + 9 a^{4} + 16 a^{3} + 10 a^{2} + 18 a + 10\right)\cdot 23^{6} + \left(14 a^{5} + 7 a^{4} + 4 a^{3} + 22 a^{2} + 14 a + 16\right)\cdot 23^{7} +O\left(23^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ | $=$ | $ 3 a^{5} + 14 a^{4} + 16 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 18 + \left(10 a^{5} + 4 a^{4} + a^{3} + 7 a^{2} + 22 a + 10\right)\cdot 23 + \left(10 a^{5} + 3 a^{4} + 18 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 22\right)\cdot 23^{2} + \left(18 a^{5} + 7 a^{4} + 2 a^{3} + 18 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 23^{3} + \left(22 a^{5} + 13 a^{4} + 14 a^{3} + 11 a^{2} + 15 a + 2\right)\cdot 23^{4} + \left(20 a^{5} + 5 a^{4} + 5 a^{3} + 7 a^{2} + 11 a + 19\right)\cdot 23^{5} + \left(15 a^{5} + a^{4} + 11 a^{3} + 13 a^{2} + 16 a + 5\right)\cdot 23^{6} + \left(8 a^{5} + a^{4} + 14 a^{3} + 18 a^{2} + 5 a\right)\cdot 23^{7} +O\left(23^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ | $=$ | $ 6 a^{5} + 18 a^{4} + 14 a^{3} + 21 a^{2} + 5 a + 17 + \left(11 a^{5} + 5 a^{4} + a^{3} + 22 a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 23 + \left(10 a^{5} + a^{4} + 12 a^{3} + a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 23^{2} + \left(16 a^{5} + 16 a^{4} + a^{3} + 9 a^{2} + 19 a + 14\right)\cdot 23^{3} + \left(4 a^{5} + 20 a^{4} + 16 a^{3} + 5 a^{2} + a + 6\right)\cdot 23^{4} + \left(9 a^{5} + 21 a^{3} + a^{2} + 19 a + 7\right)\cdot 23^{5} + \left(19 a^{5} + 17 a^{4} + 15 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 23^{6} + \left(21 a^{5} + 8 a^{4} + 13 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 23^{7} +O\left(23^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ | $=$ | $ 6 a^{5} + 12 a^{4} + 17 a^{3} + 11 a + 1 + \left(3 a^{5} + 4 a^{4} + 4 a^{3} + 3 a^{2} + 22 a + 7\right)\cdot 23 + \left(6 a^{5} + 13 a^{4} + 2 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 23^{2} + \left(20 a^{5} + 14 a^{4} + 18 a^{3} + 12 a^{2} + 17 a + 21\right)\cdot 23^{3} + \left(16 a^{5} + 3 a^{4} + 16 a^{3} + a^{2} + 21 a + 10\right)\cdot 23^{4} + \left(6 a^{5} + 17 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 14\right)\cdot 23^{5} + \left(22 a^{5} + 3 a^{4} + 12 a^{3} + 8 a + 2\right)\cdot 23^{6} + \left(16 a^{5} + 9 a^{4} + 21 a^{3} + 15 a^{2} + 6\right)\cdot 23^{7} +O\left(23^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ | $=$ | $ 11 a^{5} + 16 a^{4} + 15 a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 5 + \left(8 a^{5} + 12 a^{4} + 16 a^{3} + 20 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 23 + \left(6 a^{5} + 8 a^{4} + 8 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 23^{2} + \left(9 a^{5} + 15 a^{4} + 3 a^{3} + a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 23^{3} + \left(a^{5} + 21 a^{4} + 13 a^{3} + 16 a^{2} + 22 a + 5\right)\cdot 23^{4} + \left(7 a^{5} + 21 a^{4} + 6 a^{3} + 16 a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 23^{5} + \left(4 a^{5} + 2 a^{4} + 17 a^{3} + 20 a^{2} + 4 a + 19\right)\cdot 23^{6} + \left(7 a^{5} + 5 a^{4} + 10 a^{3} + 13 a + 6\right)\cdot 23^{7} +O\left(23^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ | $=$ | $ 14 a^{5} + 21 a^{4} + 16 a^{3} + 5 a^{2} + a + 15 + \left(21 a^{5} + 5 a^{4} + 14 a^{3} + 15 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 23 + \left(22 a^{5} + 14 a^{4} + 19 a^{3} + 20 a^{2} + 15 a + 19\right)\cdot 23^{2} + \left(14 a^{5} + 15 a^{4} + 17 a^{3} + 20 a^{2} + 13 a + 6\right)\cdot 23^{3} + \left(16 a^{5} + 20 a^{4} + 18 a^{3} + 8 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 23^{4} + \left(22 a^{5} + 11 a^{4} + 16 a^{3} + 6 a^{2} + 1\right)\cdot 23^{5} + \left(15 a^{5} + 22 a^{4} + 5 a^{3} + 16 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 23^{6} + \left(20 a^{5} + 20 a^{4} + 22 a^{3} + 10 a^{2} + 17 a + 19\right)\cdot 23^{7} +O\left(23^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ | $=$ | $ 5 a^{5} + 14 a^{4} + 4 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 5 + \left(3 a^{5} + 6 a^{4} + 10 a^{3} + 12 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 23 + \left(a^{5} + 12 a^{4} + 15 a^{3} + 7 a^{2} + 7\right)\cdot 23^{2} + \left(9 a^{5} + 17 a^{4} + 12 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 23^{3} + \left(9 a^{5} + 17 a^{4} + 14 a^{3} + 16 a^{2} + 12 a + 20\right)\cdot 23^{4} + \left(22 a^{5} + 7 a^{4} + 21 a^{3} + 12 a + 22\right)\cdot 23^{5} + \left(2 a^{5} + 12 a^{4} + 22 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 23^{6} + \left(12 a^{5} + a^{4} + 11 a^{3} + 10 a^{2} + 21 a + 4\right)\cdot 23^{7} +O\left(23^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 9 }$ | $=$ | $ 16 a^{5} + 14 a^{4} + 17 a^{3} + 17 a^{2} + 10 a + 5 + \left(15 a^{5} + 22 a^{4} + 18 a^{3} + 12 a^{2} + 5 a + 16\right)\cdot 23 + \left(9 a^{5} + 14 a^{4} + 21 a^{3} + 14 a^{2} + 15 a\right)\cdot 23^{2} + \left(12 a^{5} + a^{4} + 8 a^{3} + 19 a^{2} + 18 a + 4\right)\cdot 23^{3} + \left(9 a^{5} + 18 a^{4} + 20 a^{3} + 20 a^{2} + 14 a + 7\right)\cdot 23^{4} + \left(12 a^{5} + 15 a^{4} + 14 a^{3} + 16 a^{2} + 21 a + 10\right)\cdot 23^{5} + \left(20 a^{5} + 20 a^{4} + 22 a^{3} + 14 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 23^{6} + \left(16 a^{5} + 17 a^{4} + 3 a^{3} + 9 a^{2} + 9 a + 21\right)\cdot 23^{7} +O\left(23^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 10 }$ | $=$ | $ 22 a^{5} + 10 a^{4} + 7 a^{3} + 22 a^{2} + 18 a + 14 + \left(2 a^{5} + 22 a^{4} + 22 a^{3} + 13 a^{2} + 1\right)\cdot 23 + \left(7 a^{5} + 9 a^{4} + 14 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 23^{2} + \left(18 a^{5} + 3 a^{4} + 4 a^{3} + 9 a^{2} + 11 a + 17\right)\cdot 23^{3} + \left(20 a^{5} + 11 a^{4} + 2 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 23^{4} + \left(18 a^{5} + 12 a^{4} + 12 a^{3} + 13 a^{2} + 18 a + 7\right)\cdot 23^{5} + \left(3 a^{5} + 10 a^{4} + 2 a^{3} + a^{2} + 2 a + 19\right)\cdot 23^{6} + \left(14 a^{5} + 18 a^{4} + 6 a^{3} + 13 a^{2} + 4 a + 22\right)\cdot 23^{7} +O\left(23^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 11 }$ | $=$ | $ 21 a^{4} + 15 a^{3} + 14 + \left(6 a^{5} + 17 a^{4} + 3 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 23 + \left(15 a^{5} + 7 a^{4} + 13 a^{3} + 6 a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 23^{2} + \left(10 a^{5} + 2 a^{4} + a^{3} + 8 a^{2} + 19 a + 5\right)\cdot 23^{3} + \left(a^{5} + 14 a^{4} + 19 a^{2} + 10 a\right)\cdot 23^{4} + \left(14 a^{5} + 16 a^{4} + 17 a^{3} + 15 a^{2} + 5 a + 17\right)\cdot 23^{5} + \left(6 a^{5} + 11 a^{4} + 22 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 23^{6} + \left(18 a^{5} + 10 a^{4} + 22 a^{3} + 22 a + 14\right)\cdot 23^{7} +O\left(23^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 12 }$ | $=$ | $ 21 a^{5} + 6 a^{4} + 20 a^{3} + 8 a^{2} + 15 a + 2 + \left(17 a^{5} + 7 a^{3} + 3 a^{2} + 14 a + 22\right)\cdot 23 + \left(20 a^{5} + 21 a^{4} + 18 a^{3} + 16 a^{2} + 21 a + 10\right)\cdot 23^{2} + \left(10 a^{5} + 4 a^{4} + 15 a^{3} + 2 a^{2} + 19\right)\cdot 23^{3} + \left(2 a^{5} + 8 a^{4} + 15 a^{2} + 21 a + 22\right)\cdot 23^{4} + \left(9 a^{5} + 19 a^{4} + 12 a^{3} + 12 a^{2} + 11 a + 22\right)\cdot 23^{5} + \left(10 a^{5} + 5 a^{4} + 9 a^{3} + 6 a^{2} + a + 4\right)\cdot 23^{6} + \left(4 a^{5} + 11 a^{4} + 4 a^{3} + 16 a^{2} + 16 a + 17\right)\cdot 23^{7} +O\left(23^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 13 }$ | $=$ | $ 7 a^{5} + 11 a^{4} + 14 a^{3} + 6 a^{2} + 13 a + 4 + \left(a^{5} + 5 a^{4} + 6 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 23 + \left(21 a^{5} + 11 a^{3} + 2 a^{2} + 19 a + 7\right)\cdot 23^{2} + \left(22 a^{5} + 19 a^{4} + 12 a^{3} + 18 a^{2} + 7 a + 13\right)\cdot 23^{3} + \left(11 a^{5} + 13 a^{4} + 2 a^{3} + 5 a^{2} + 20 a + 15\right)\cdot 23^{4} + \left(19 a^{5} + 13 a^{4} + 14 a^{3} + 13 a^{2} + 18 a + 18\right)\cdot 23^{5} + \left(18 a^{5} + 13 a^{4} + 19 a^{2} + a + 2\right)\cdot 23^{6} + \left(10 a^{5} + 17 a^{4} + 19 a^{3} + 12 a^{2} + 14 a + 10\right)\cdot 23^{7} +O\left(23^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 14 }$ | $=$ | $ 12 a^{5} + 20 a^{4} + 2 a^{3} + 16 a^{2} + 10 a + 17 + \left(16 a^{5} + 11 a^{4} + 8 a^{3} + 7 a^{2} + 21 a + 3\right)\cdot 23 + \left(15 a^{5} + 20 a^{4} + 5 a^{3} + 6 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 23^{2} + \left(16 a^{5} + 13 a^{4} + 15 a^{3} + 8 a^{2} + 19 a + 8\right)\cdot 23^{3} + \left(19 a^{5} + a^{4} + 14 a^{3} + 5 a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 23^{4} + \left(16 a^{5} + 15 a^{4} + 6 a^{3} + 17 a^{2} + 8\right)\cdot 23^{5} + \left(20 a^{5} + 7 a^{4} + 10 a^{3} + 15 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 23^{6} + \left(16 a^{5} + 12 a^{4} + 12 a^{3} + 20 a^{2} + a + 12\right)\cdot 23^{7} +O\left(23^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 15 }$ | $=$ | $ 12 a^{5} + 14 a^{4} + 15 a^{3} + 8 a + 17 + \left(17 a^{5} + 16 a^{4} + 13 a^{3} + 19 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 23 + \left(2 a^{5} + 19 a^{4} + 11 a^{3} + 20 a^{2} + 3 a + 18\right)\cdot 23^{2} + \left(14 a^{5} + 16 a^{4} + 9 a^{3} + 5 a^{2} + 16 a + 7\right)\cdot 23^{3} + \left(7 a^{5} + 6 a^{4} + 18 a^{3} + 22 a^{2} + 10 a + 16\right)\cdot 23^{4} + \left(12 a^{5} + 10 a^{4} + 5 a^{3} + 16 a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 23^{5} + \left(6 a^{5} + 13 a^{4} + 5 a^{3} + 8 a^{2} + 5\right)\cdot 23^{6} + \left(6 a^{5} + 13 a^{4} + 15 a^{3} + 8 a^{2} + 11 a + 18\right)\cdot 23^{7} +O\left(23^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 16 }$ | $=$ | $ 13 a^{5} + 20 a^{4} + a^{3} + 22 a^{2} + 21 a + 4 + \left(11 a^{5} + 10 a^{4} + 7 a^{3} + 11 a^{2} + 9 a + 20\right)\cdot 23 + \left(9 a^{5} + 4 a^{4} + 22 a^{3} + 10 a + 8\right)\cdot 23^{2} + \left(18 a^{5} + 4 a^{4} + 14 a^{3} + 12 a^{2} + 2 a + 18\right)\cdot 23^{3} + \left(13 a^{4} + 7 a^{3} + 2 a^{2} + 13 a + 8\right)\cdot 23^{4} + \left(20 a^{5} + 11 a^{4} + 4 a^{3} + 16 a^{2} + 10 a + 14\right)\cdot 23^{5} + \left(14 a^{5} + 9 a^{4} + 3 a^{3} + 15 a + 7\right)\cdot 23^{6} + \left(a^{5} + 22 a^{4} + 6 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 16\right)\cdot 23^{7} +O\left(23^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 17 }$ | $=$ | $ 20 a^{5} + 11 a^{4} + 15 a^{3} + 18 a^{2} + 14 a + 14 + \left(6 a^{5} + 17 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 23 + \left(20 a^{5} + 12 a^{4} + 14 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 23^{2} + \left(16 a^{5} + 13 a^{4} + 18 a^{3} + 19 a^{2} + 16 a + 8\right)\cdot 23^{3} + \left(21 a^{5} + 18 a^{4} + 8 a^{3} + 14 a^{2} + 19 a + 20\right)\cdot 23^{4} + \left(10 a^{5} + 22 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 23^{5} + \left(10 a^{4} + 12 a^{3} + 20 a^{2} + 19 a + 7\right)\cdot 23^{6} + \left(19 a^{5} + 11 a^{4} + 8 a^{3} + 3 a^{2} + 17 a + 8\right)\cdot 23^{7} +O\left(23^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 18 }$ | $=$ | $ 19 a^{5} + 22 a^{4} + 12 a^{3} + 17 a^{2} + 3 a + 4 + \left(16 a^{5} + 16 a^{4} + 13 a^{3} + 19 a^{2} + 20 a + 9\right)\cdot 23 + \left(14 a^{5} + 15 a^{3} + 4 a^{2} + 17 a + 8\right)\cdot 23^{2} + \left(18 a^{5} + 2 a^{4} + 5 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 23^{3} + \left(15 a^{5} + 17 a^{4} + 6 a^{3} + 2 a^{2} + 16\right)\cdot 23^{4} + \left(4 a^{5} + 2 a^{4} + 12 a^{3} + 9 a^{2} + 15 a + 15\right)\cdot 23^{5} + \left(16 a^{5} + 20 a^{3} + 14 a^{2} + 11 a + 16\right)\cdot 23^{6} + \left(19 a^{5} + 3 a^{4} + 4 a^{3} + 22 a^{2} + 20 a + 18\right)\cdot 23^{7} +O\left(23^{ 8 }\right)$ |
Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 18 }$
| Cycle notation |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on $r_1, \ldots, r_{ 18 }$ | Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $2$ |
| $1$ | $2$ | $(1,6)(2,4)(3,5)(7,12)(8,11)(9,10)(13,18)(14,17)(15,16)$ | $-2$ |
| $3$ | $2$ | $(1,9)(2,13)(3,11)(4,18)(5,8)(6,10)$ | $0$ |
| $3$ | $2$ | $(1,10)(2,18)(3,8)(4,13)(5,11)(6,9)(7,12)(14,17)(15,16)$ | $0$ |
| $1$ | $3$ | $(1,3,2)(4,6,5)(7,15,17)(8,18,10)(9,11,13)(12,16,14)$ | $2 \zeta_{3}$ |
| $1$ | $3$ | $(1,2,3)(4,5,6)(7,17,15)(8,10,18)(9,13,11)(12,14,16)$ | $-2 \zeta_{3} - 2$ |
| $2$ | $3$ | $(1,15,9)(2,7,13)(3,17,11)(4,12,18)(5,14,8)(6,16,10)$ | $-1$ |
| $2$ | $3$ | $(1,11,7)(2,9,17)(3,13,15)(4,10,14)(5,18,16)(6,8,12)$ | $-\zeta_{3}$ |
| $2$ | $3$ | $(1,7,11)(2,17,9)(3,15,13)(4,14,10)(5,16,18)(6,12,8)$ | $\zeta_{3} + 1$ |
| $1$ | $6$ | $(1,4,3,6,2,5)(7,14,15,12,17,16)(8,9,18,11,10,13)$ | $2 \zeta_{3} + 2$ |
| $1$ | $6$ | $(1,5,2,6,3,4)(7,16,17,12,15,14)(8,13,10,11,18,9)$ | $-2 \zeta_{3}$ |
| $2$ | $6$ | $(1,12,11,6,7,8)(2,14,9,4,17,10)(3,16,13,5,15,18)$ | $-\zeta_{3} - 1$ |
| $2$ | $6$ | $(1,8,7,6,11,12)(2,10,17,4,9,14)(3,18,15,5,13,16)$ | $\zeta_{3}$ |
| $2$ | $6$ | $(1,16,9,6,15,10)(2,12,13,4,7,18)(3,14,11,5,17,8)$ | $1$ |
| $3$ | $6$ | $(1,18,3,10,2,8)(4,11,6,13,5,9)(7,14,15,12,17,16)$ | $0$ |
| $3$ | $6$ | $(1,8,2,10,3,18)(4,9,5,13,6,11)(7,16,17,12,15,14)$ | $0$ |
| $3$ | $6$ | $(1,11,2,9,3,13)(4,10,5,18,6,8)(7,15,17)(12,16,14)$ | $0$ |
| $3$ | $6$ | $(1,13,3,9,2,11)(4,8,6,18,5,10)(7,17,15)(12,14,16)$ | $0$ |