Basic invariants
| Dimension: | $2$ |
| Group: | $S_3 \times C_3$ |
| Conductor: | $168= 2^{3} \cdot 3 \cdot 7 $ |
| Artin number field: | Splitting field of $f= x^{18} + 2 x^{16} - 6 x^{14} - 30 x^{12} - 19 x^{10} + 292 x^{8} + 337 x^{6} + 66 x^{4} + 540 x^{2} + 216 $ over $\Q$ |
| Size of Galois orbit: | 2 |
| Smallest containing permutation representation: | $S_3\times C_3$ |
| Parity: | Odd |
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 19 }$ to precision 10.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 19 }$: $ x^{6} + 17 x^{3} + 17 x^{2} + 6 x + 2 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ | $=$ | $ 3 a^{5} + 9 a^{4} + 5 a^{3} + 9 a^{2} + 11 a + 17 + \left(3 a^{4} + 4 a^{3} + 7 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 19 + \left(17 a^{5} + 18 a^{4} + 7 a^{3} + 17 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 19^{2} + \left(16 a^{5} + 10 a^{4} + 3 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 19^{3} + \left(10 a^{5} + 7 a^{4} + 3 a^{3} + 8 a^{2} + a + 2\right)\cdot 19^{4} + \left(5 a^{5} + 3 a^{4} + 12 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 19^{5} + \left(6 a^{5} + 3 a^{4} + 4 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 18\right)\cdot 19^{6} + \left(14 a^{5} + 9 a^{4} + 15 a^{3} + 16 a^{2} + 10 a + 16\right)\cdot 19^{7} + \left(9 a^{5} + 14 a^{4} + a^{3} + 7 a^{2} + a + 12\right)\cdot 19^{8} + \left(8 a^{5} + 7 a^{4} + 11 a^{3} + 8 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 19^{9} +O\left(19^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ | $=$ | $ 11 a^{5} + 13 a^{4} + 5 a^{3} + 17 a^{2} + 7 a + 1 + \left(15 a^{5} + 3 a^{4} + 11 a^{3} + 10 a^{2} + 11 a\right)\cdot 19 + \left(5 a^{5} + 8 a^{4} + 15 a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 19^{2} + \left(5 a^{5} + 13 a^{4} + 4 a^{3} + 11 a^{2} + 18 a + 16\right)\cdot 19^{3} + \left(3 a^{5} + 7 a^{4} + 10 a^{3} + 4 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 19^{4} + \left(9 a^{5} + 10 a^{4} + 8 a^{3} + 16 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 19^{5} + \left(18 a^{5} + 13 a^{4} + 18 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 16\right)\cdot 19^{6} + \left(12 a^{5} + 6 a^{4} + 10 a^{3} + 12 a^{2} + 12 a + 18\right)\cdot 19^{7} + \left(13 a^{5} + 12 a^{4} + 3 a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 13\right)\cdot 19^{8} + \left(6 a^{5} + 9 a^{4} + 14 a^{3} + 6 a^{2} + 16 a\right)\cdot 19^{9} +O\left(19^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ | $=$ | $ 8 a^{5} + 2 a^{3} + 14 a + \left(10 a^{5} + 12 a^{4} + 5 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 13\right)\cdot 19 + \left(4 a^{5} + 18 a^{4} + 6 a^{3} + a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 19^{2} + \left(8 a^{5} + 9 a^{4} + 14 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a\right)\cdot 19^{3} + \left(13 a^{5} + 15 a^{4} + 4 a^{3} + a^{2} + a + 8\right)\cdot 19^{4} + \left(14 a^{5} + 15 a^{4} + 18 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 18\right)\cdot 19^{5} + \left(12 a^{5} + 8 a^{4} + 6 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 19^{6} + \left(4 a^{5} + 13 a^{4} + 15 a^{3} + 11 a^{2} + 2\right)\cdot 19^{7} + \left(18 a^{5} + 3 a^{4} + 11 a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 19^{8} + \left(14 a^{5} + 8 a^{4} + 15 a^{3} + 14 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 19^{9} +O\left(19^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ | $=$ | $ 18 a^{5} + 18 a^{4} + 12 a^{3} + 17 a^{2} + 14 a + 16 + \left(14 a^{5} + 12 a^{4} + 6 a^{3} + 10 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 19 + \left(5 a^{5} + 18 a^{4} + 3 a^{3} + 3 a^{2} + 18 a + 12\right)\cdot 19^{2} + \left(17 a^{5} + 17 a^{4} + 18 a^{3} + a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 19^{3} + \left(18 a^{4} + 5 a^{3} + 13 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 19^{4} + \left(17 a^{5} + 9 a^{4} + 2 a^{3} + 4 a^{2} + 13 a + 15\right)\cdot 19^{5} + \left(7 a^{4} + a^{3} + 2 a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 19^{6} + \left(a^{5} + 15 a^{4} + 13 a^{3} + 18 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 19^{7} + \left(11 a^{5} + 17 a^{4} + 4 a^{3} + 2 a^{2} + 12 a + 18\right)\cdot 19^{8} + \left(6 a^{5} + 7 a^{4} + 3 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 19^{9} +O\left(19^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ | $=$ | $ 4 a^{5} + 12 a^{4} + 18 a^{3} + 9 a^{2} + 14 a + 5 + \left(4 a^{5} + 8 a^{4} + 9 a^{3} + a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 19 + \left(18 a^{5} + a^{4} + 18 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 19^{2} + \left(18 a^{5} + a^{4} + 11 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 19^{3} + \left(10 a^{5} + 4 a^{4} + 12 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 19^{4} + \left(5 a^{5} + 16 a^{4} + 5 a^{3} + 15 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 19^{5} + \left(14 a^{5} + 3 a^{4} + 2 a^{3} + 18 a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 19^{6} + \left(11 a^{5} + 4 a^{4} + 14 a^{3} + 2 a^{2} + 14 a + 1\right)\cdot 19^{7} + \left(5 a^{5} + 16 a^{4} + 12 a^{3} + 13 a^{2} + 11 a + 13\right)\cdot 19^{8} + \left(16 a^{5} + a^{3} + 2 a^{2} + 18 a + 16\right)\cdot 19^{9} +O\left(19^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ | $=$ | $ 9 a^{5} + 3 a^{4} + 15 a^{3} + 17 a + 7 + \left(14 a^{5} + 17 a^{4} + 10 a^{3} + 15 a^{2} + 5 a + 13\right)\cdot 19 + \left(5 a^{5} + a^{4} + 17 a^{3} + 14 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 19^{2} + \left(10 a^{5} + 3 a^{3} + 4 a^{2} + a\right)\cdot 19^{3} + \left(13 a^{5} + 12 a^{4} + 14 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 19^{4} + \left(14 a^{5} + 9 a^{4} + 11 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 16\right)\cdot 19^{5} + \left(a^{5} + 9 a^{4} + 4 a^{3} + 15 a^{2} + 14 a + 3\right)\cdot 19^{6} + \left(2 a^{5} + 8 a^{4} + 14 a^{3} + 16 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 19^{7} + \left(14 a^{5} + 5 a^{4} + 3 a^{3} + 13 a^{2} + 15\right)\cdot 19^{8} + \left(3 a^{5} + a^{4} + 6 a^{3} + 8 a^{2} + 18 a + 6\right)\cdot 19^{9} +O\left(19^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ | $=$ | $ 15 a^{5} + 5 a^{4} + 9 a^{3} + 2 a + 15 + \left(9 a^{5} + 2 a^{4} + 2 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 19 + \left(4 a^{5} + 10 a^{4} + 9 a^{3} + 8 a^{2} + a + 11\right)\cdot 19^{2} + \left(a^{5} + 14 a^{4} + 9 a^{3} + 11 a + 7\right)\cdot 19^{3} + \left(11 a^{5} + 7 a^{4} + 10 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 19^{4} + \left(3 a^{5} + 15 a^{4} + 12 a^{3} + 10 a^{2} + 15 a + 6\right)\cdot 19^{5} + \left(14 a^{5} + 2 a^{4} + 8 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 19^{6} + \left(11 a^{5} + 3 a^{4} + 17 a^{3} + 17 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 19^{7} + \left(15 a^{5} + 9 a^{4} + 12 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a\right)\cdot 19^{8} + \left(14 a^{5} + 6 a^{4} + 4 a^{3} + 18 a^{2} + 16 a + 10\right)\cdot 19^{9} +O\left(19^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ | $=$ | $ 16 a^{5} + 8 a^{4} + 3 a^{3} + 5 a + 3 + \left(13 a^{5} + 7 a^{4} + 6 a^{3} + 15 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 19 + \left(5 a^{5} + 12 a^{4} + a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 19^{2} + \left(3 a^{5} + 4 a^{4} + 18 a^{3} + 13 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 19^{3} + \left(11 a^{5} + 4 a^{4} + 9 a^{3} + 10 a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 19^{4} + \left(3 a^{5} + 9 a^{4} + 5 a^{3} + 18 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 19^{5} + \left(3 a^{5} + 3 a^{4} + 6 a^{3} + 14 a^{2} + 17 a + 1\right)\cdot 19^{6} + \left(9 a^{5} + 17 a^{4} + 16 a^{3} + 3 a^{2} + 14 a + 12\right)\cdot 19^{7} + \left(11 a^{5} + 10 a^{4} + 4 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a\right)\cdot 19^{8} + \left(3 a^{5} + 18 a^{4} + 14 a^{3} + 12 a^{2} + 5 a + 14\right)\cdot 19^{9} +O\left(19^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 9 }$ | $=$ | $ 8 a^{5} + 8 a^{4} + 6 a^{3} + 12 a^{2} + 15 a + 17 + \left(8 a^{5} + 4 a^{4} + 16 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 19 + \left(9 a^{5} + 18 a^{4} + 9 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 19^{2} + \left(12 a^{5} + 8 a^{4} + 12 a^{3} + a^{2} + 1\right)\cdot 19^{3} + \left(12 a^{5} + 18 a^{4} + 14 a^{3} + 14 a^{2} + 5 a + 14\right)\cdot 19^{4} + \left(14 a^{4} + 11 a^{3} + 14 a^{2} + a\right)\cdot 19^{5} + \left(10 a^{5} + 17 a^{4} + 8 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 19^{6} + \left(a^{5} + 4 a^{4} + 14 a^{3} + 5 a^{2} + 9\right)\cdot 19^{7} + \left(3 a^{5} + 8 a^{3} + 13 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 19^{8} + \left(2 a^{4} + 17 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 19^{9} +O\left(19^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 10 }$ | $=$ | $ 16 a^{5} + 10 a^{4} + 14 a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + 2 + \left(18 a^{5} + 15 a^{4} + 14 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 19 + \left(a^{5} + 11 a^{3} + a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 19^{2} + \left(2 a^{5} + 8 a^{4} + 15 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 19^{3} + \left(8 a^{5} + 11 a^{4} + 15 a^{3} + 10 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 19^{4} + \left(13 a^{5} + 15 a^{4} + 6 a^{3} + 11 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 19^{5} + \left(12 a^{5} + 15 a^{4} + 14 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a\right)\cdot 19^{6} + \left(4 a^{5} + 9 a^{4} + 3 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 19^{7} + \left(9 a^{5} + 4 a^{4} + 17 a^{3} + 11 a^{2} + 17 a + 6\right)\cdot 19^{8} + \left(10 a^{5} + 11 a^{4} + 7 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 19^{9} +O\left(19^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 11 }$ | $=$ | $ 8 a^{5} + 6 a^{4} + 14 a^{3} + 2 a^{2} + 12 a + 18 + \left(3 a^{5} + 15 a^{4} + 7 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 18\right)\cdot 19 + \left(13 a^{5} + 10 a^{4} + 18 a^{3} + 3 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 19^{2} + \left(13 a^{5} + 5 a^{4} + 14 a^{3} + 7 a^{2} + 2\right)\cdot 19^{3} + \left(15 a^{5} + 11 a^{4} + 8 a^{3} + 14 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 19^{4} + \left(9 a^{5} + 8 a^{4} + 10 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 19^{5} + \left(5 a^{4} + 16 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 19^{6} + \left(6 a^{5} + 12 a^{4} + 8 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a\right)\cdot 19^{7} + \left(5 a^{5} + 6 a^{4} + 15 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 19^{8} + \left(12 a^{5} + 9 a^{4} + 4 a^{3} + 12 a^{2} + 2 a + 18\right)\cdot 19^{9} +O\left(19^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 12 }$ | $=$ | $ 11 a^{5} + 17 a^{3} + 5 a + \left(8 a^{5} + 7 a^{4} + 13 a^{3} + 17 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 19 + \left(14 a^{5} + 12 a^{3} + 17 a^{2} + 13 a + 7\right)\cdot 19^{2} + \left(10 a^{5} + 9 a^{4} + 4 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 18\right)\cdot 19^{3} + \left(5 a^{5} + 3 a^{4} + 14 a^{3} + 17 a^{2} + 17 a + 10\right)\cdot 19^{4} + \left(4 a^{5} + 3 a^{4} + 15 a^{2} + 8 a\right)\cdot 19^{5} + \left(6 a^{5} + 10 a^{4} + 12 a^{3} + 13 a^{2} + 13 a + 8\right)\cdot 19^{6} + \left(14 a^{5} + 5 a^{4} + 3 a^{3} + 7 a^{2} + 18 a + 16\right)\cdot 19^{7} + \left(15 a^{4} + 7 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 19^{8} + \left(4 a^{5} + 10 a^{4} + 3 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 19^{9} +O\left(19^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 13 }$ | $=$ | $ a^{5} + a^{4} + 7 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 3 + \left(4 a^{5} + 6 a^{4} + 12 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 19 + \left(13 a^{5} + 15 a^{3} + 15 a^{2} + 6\right)\cdot 19^{2} + \left(a^{5} + a^{4} + 17 a^{2} + 15 a + 14\right)\cdot 19^{3} + \left(18 a^{5} + 13 a^{3} + 5 a^{2} + 16 a + 8\right)\cdot 19^{4} + \left(a^{5} + 9 a^{4} + 16 a^{3} + 14 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 19^{5} + \left(18 a^{5} + 11 a^{4} + 17 a^{3} + 16 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 19^{6} + \left(17 a^{5} + 3 a^{4} + 5 a^{3} + 15 a + 13\right)\cdot 19^{7} + \left(7 a^{5} + a^{4} + 14 a^{3} + 16 a^{2} + 6 a\right)\cdot 19^{8} + \left(12 a^{5} + 11 a^{4} + 15 a^{3} + 8 a^{2} + 15 a + 11\right)\cdot 19^{9} +O\left(19^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 14 }$ | $=$ | $ 15 a^{5} + 7 a^{4} + a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 14 + \left(14 a^{5} + 10 a^{4} + 9 a^{3} + 17 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 19 + \left(17 a^{4} + 6 a^{2} + 15 a + 10\right)\cdot 19^{2} + \left(17 a^{4} + 7 a^{3} + 13 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 19^{3} + \left(8 a^{5} + 14 a^{4} + 6 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 19^{4} + \left(13 a^{5} + 2 a^{4} + 13 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 15\right)\cdot 19^{5} + \left(4 a^{5} + 15 a^{4} + 16 a^{3} + 2 a + 7\right)\cdot 19^{6} + \left(7 a^{5} + 14 a^{4} + 4 a^{3} + 16 a^{2} + 4 a + 17\right)\cdot 19^{7} + \left(13 a^{5} + 2 a^{4} + 6 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 19^{8} + \left(2 a^{5} + 18 a^{4} + 17 a^{3} + 16 a^{2} + 2\right)\cdot 19^{9} +O\left(19^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 15 }$ | $=$ | $ 4 a^{5} + 14 a^{4} + 10 a^{3} + 17 a + 4 + \left(9 a^{5} + 16 a^{4} + 18 a^{3} + 17 a^{2} + 7 a + 13\right)\cdot 19 + \left(14 a^{5} + 8 a^{4} + 9 a^{3} + 10 a^{2} + 17 a + 7\right)\cdot 19^{2} + \left(17 a^{5} + 4 a^{4} + 9 a^{3} + 18 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 19^{3} + \left(7 a^{5} + 11 a^{4} + 18 a^{3} + 8 a^{2} + 13 a + 7\right)\cdot 19^{4} + \left(15 a^{5} + 3 a^{4} + 6 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 19^{5} + \left(4 a^{5} + 16 a^{4} + 10 a^{3} + 14 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 19^{6} + \left(7 a^{5} + 15 a^{4} + a^{3} + a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 19^{7} + \left(3 a^{5} + 9 a^{4} + 6 a^{3} + 16 a^{2} + 7 a + 18\right)\cdot 19^{8} + \left(4 a^{5} + 12 a^{4} + 14 a^{3} + 2 a + 8\right)\cdot 19^{9} +O\left(19^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 16 }$ | $=$ | $ 10 a^{5} + 16 a^{4} + 4 a^{3} + 2 a + 12 + \left(4 a^{5} + a^{4} + 8 a^{3} + 4 a^{2} + 13 a + 5\right)\cdot 19 + \left(13 a^{5} + 17 a^{4} + a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 19^{2} + \left(8 a^{5} + 18 a^{4} + 15 a^{3} + 14 a^{2} + 17 a + 18\right)\cdot 19^{3} + \left(5 a^{5} + 6 a^{4} + 4 a^{3} + 16 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 19^{4} + \left(4 a^{5} + 9 a^{4} + 7 a^{3} + 7 a^{2} + 16 a + 2\right)\cdot 19^{5} + \left(17 a^{5} + 9 a^{4} + 14 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 15\right)\cdot 19^{6} + \left(16 a^{5} + 10 a^{4} + 4 a^{3} + 2 a^{2} + 14 a + 12\right)\cdot 19^{7} + \left(4 a^{5} + 13 a^{4} + 15 a^{3} + 5 a^{2} + 18 a + 3\right)\cdot 19^{8} + \left(15 a^{5} + 17 a^{4} + 12 a^{3} + 10 a^{2} + 12\right)\cdot 19^{9} +O\left(19^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 17 }$ | $=$ | $ 3 a^{5} + 11 a^{4} + 16 a^{3} + 14 a + 16 + \left(5 a^{5} + 11 a^{4} + 12 a^{3} + 4 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 19 + \left(13 a^{5} + 6 a^{4} + 17 a^{3} + 16 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 19^{2} + \left(15 a^{5} + 14 a^{4} + 5 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 19^{3} + \left(7 a^{5} + 14 a^{4} + 9 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 19^{4} + \left(15 a^{5} + 9 a^{4} + 13 a^{3} + 11 a + 14\right)\cdot 19^{5} + \left(15 a^{5} + 15 a^{4} + 12 a^{3} + 4 a^{2} + a + 17\right)\cdot 19^{6} + \left(9 a^{5} + a^{4} + 2 a^{3} + 15 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 19^{7} + \left(7 a^{5} + 8 a^{4} + 14 a^{3} + 10 a^{2} + 16 a + 18\right)\cdot 19^{8} + \left(15 a^{5} + 4 a^{3} + 6 a^{2} + 13 a + 4\right)\cdot 19^{9} +O\left(19^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 18 }$ | $=$ | $ 11 a^{5} + 11 a^{4} + 13 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 2 + \left(10 a^{5} + 14 a^{4} + 2 a^{3} + 14 a^{2} + 10 a + 16\right)\cdot 19 + \left(9 a^{5} + 9 a^{3} + 16 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 19^{2} + \left(6 a^{5} + 10 a^{4} + 6 a^{3} + 17 a^{2} + 18 a + 17\right)\cdot 19^{3} + \left(6 a^{5} + 4 a^{3} + 4 a^{2} + 13 a + 4\right)\cdot 19^{4} + \left(18 a^{5} + 4 a^{4} + 7 a^{3} + 4 a^{2} + 17 a + 18\right)\cdot 19^{5} + \left(8 a^{5} + a^{4} + 10 a^{3} + 7 a^{2} + 16 a + 16\right)\cdot 19^{6} + \left(17 a^{5} + 14 a^{4} + 4 a^{3} + 13 a^{2} + 18 a + 9\right)\cdot 19^{7} + \left(15 a^{5} + 18 a^{4} + 10 a^{3} + 5 a^{2} + 13 a + 8\right)\cdot 19^{8} + \left(18 a^{5} + 16 a^{4} + a^{3} + 8 a^{2} + 13 a + 8\right)\cdot 19^{9} +O\left(19^{ 10 }\right)$ |
Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 18 }$
| Cycle notation |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on $r_1, \ldots, r_{ 18 }$ | Character values | |
| $c1$ | $c2$ | |||
| $1$ | $1$ | $()$ | $2$ | $2$ |
| $3$ | $2$ | $(1,3)(2,11)(4,8)(5,14)(6,16)(7,18)(9,15)(10,12)(13,17)$ | $0$ | $0$ |
| $1$ | $3$ | $(1,4,15)(2,5,16)(3,8,9)(6,11,14)(7,10,13)(12,17,18)$ | $2 \zeta_{3}$ | $-2 \zeta_{3} - 2$ |
| $1$ | $3$ | $(1,15,4)(2,16,5)(3,9,8)(6,14,11)(7,13,10)(12,18,17)$ | $-2 \zeta_{3} - 2$ | $2 \zeta_{3}$ |
| $2$ | $3$ | $(1,2,12)(3,10,11)(4,5,17)(6,9,7)(8,13,14)(15,16,18)$ | $-1$ | $-1$ |
| $2$ | $3$ | $(1,5,18)(2,17,15)(3,13,6)(4,16,12)(7,11,8)(9,10,14)$ | $-\zeta_{3}$ | $\zeta_{3} + 1$ |
| $2$ | $3$ | $(1,18,5)(2,15,17)(3,6,13)(4,12,16)(7,8,11)(9,14,10)$ | $\zeta_{3} + 1$ | $-\zeta_{3}$ |
| $3$ | $6$ | $(1,8,15,3,4,9)(2,14,16,11,5,6)(7,12,13,18,10,17)$ | $0$ | $0$ |
| $3$ | $6$ | $(1,9,4,3,15,8)(2,6,5,11,16,14)(7,17,10,18,13,12)$ | $0$ | $0$ |