Basic invariants
| Dimension: | $2$ |
| Group: | $S_3 \times C_3$ |
| Conductor: | $2888= 2^{3} \cdot 19^{2} $ |
| Artin number field: | Splitting field of $f= x^{18} - 6 x^{17} + 17 x^{16} - 60 x^{15} + 155 x^{14} - 142 x^{13} + 129 x^{12} - 470 x^{11} + 695 x^{10} - 1136 x^{9} + 637 x^{8} + 2310 x^{7} - 1637 x^{6} - 4340 x^{5} - 1276 x^{4} + 8536 x^{3} + 13300 x^{2} + 7392 x + 1432 $ over $\Q$ |
| Size of Galois orbit: | 2 |
| Smallest containing permutation representation: | $S_3\times C_3$ |
| Parity: | Odd |
| Determinant: | 1.2e3_19.6t1.4c1 |
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 41 }$ to precision 7.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 41 }$: $ x^{6} + 4 x^{4} + 33 x^{3} + 39 x^{2} + 6 x + 6 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ | $=$ | $ 3 a^{5} + 26 a^{4} + 29 a^{3} + 28 a^{2} + 36 a + 22 + \left(22 a^{5} + 6 a^{4} + 12 a^{3} + 26 a^{2} + 6 a + 17\right)\cdot 41 + \left(24 a^{5} + 5 a^{4} + 18 a^{3} + 28 a^{2} + 8 a + 21\right)\cdot 41^{2} + \left(9 a^{5} + 39 a^{4} + a^{3} + 11 a^{2} + 33 a + 30\right)\cdot 41^{3} + \left(11 a^{5} + 27 a^{4} + 3 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 33\right)\cdot 41^{4} + \left(19 a^{4} + 12 a^{2} + 2 a + 37\right)\cdot 41^{5} + \left(19 a^{5} + 2 a^{4} + a^{3} + 33 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 41^{6} +O\left(41^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ | $=$ | $ 34 a^{5} + 19 a^{4} + 25 a^{3} + 25 a^{2} + 39 a + 21 + \left(32 a^{5} + 33 a^{4} + 8 a^{3} + 17 a^{2} + 22 a + 2\right)\cdot 41 + \left(36 a^{5} + 6 a^{4} + 36 a^{3} + 10 a^{2} + 27 a + 12\right)\cdot 41^{2} + \left(4 a^{5} + 7 a^{4} + 40 a^{3} + 21 a^{2} + 35 a + 35\right)\cdot 41^{3} + \left(15 a^{5} + 32 a^{4} + 11 a^{3} + 40 a^{2} + 32 a + 12\right)\cdot 41^{4} + \left(11 a^{5} + 4 a^{4} + 23 a^{3} + 2 a^{2} + 26 a + 35\right)\cdot 41^{5} + \left(28 a^{5} + 11 a^{4} + 14 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 41^{6} +O\left(41^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ | $=$ | $ 21 a^{5} + 15 a^{4} + 6 a^{3} + 20 a^{2} + 14 a + 36 + \left(30 a^{5} + 15 a^{4} + 37 a^{2} + 32 a + 27\right)\cdot 41 + \left(32 a^{5} + 3 a^{4} + a^{3} + 36 a^{2} + 13 a + 23\right)\cdot 41^{2} + \left(a^{5} + 21 a^{4} + 6 a^{3} + 32 a^{2} + 37 a + 40\right)\cdot 41^{3} + \left(13 a^{5} + 4 a^{4} + 6 a^{3} + 15 a^{2} + 23 a + 21\right)\cdot 41^{4} + \left(18 a^{5} + 11 a^{4} + 38 a^{3} + 15 a^{2} + 40 a + 33\right)\cdot 41^{5} + \left(3 a^{5} + 20 a^{4} + 13 a^{3} + 32 a^{2} + 5 a + 39\right)\cdot 41^{6} +O\left(41^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ | $=$ | $ 29 a^{5} + 40 a^{4} + 34 a^{3} + 37 a^{2} + 31 a + 33 + \left(6 a^{5} + 29 a^{4} + 36 a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 34\right)\cdot 41 + \left(16 a^{5} + 14 a^{4} + 33 a^{3} + 2 a^{2} + 26 a + 37\right)\cdot 41^{2} + \left(7 a^{5} + 38 a^{3} + 37 a^{2} + 25 a + 4\right)\cdot 41^{3} + \left(20 a^{5} + 10 a^{3} + 23 a^{2} + 18 a + 20\right)\cdot 41^{4} + \left(27 a^{5} + 23 a^{4} + 33 a^{3} + 15 a^{2} + 3 a + 15\right)\cdot 41^{5} + \left(32 a^{5} + 20 a^{4} + 28 a^{3} + 27 a + 21\right)\cdot 41^{6} +O\left(41^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ | $=$ | $ 38 a^{5} + 5 a^{4} + 34 a^{3} + 27 a^{2} + 2 a + 5 + \left(34 a^{5} + 19 a^{4} + 30 a^{3} + 28 a^{2} + 13 a\right)\cdot 41 + \left(11 a^{5} + 8 a^{4} + 38 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 29\right)\cdot 41^{2} + \left(18 a^{5} + 31 a^{4} + 38 a^{3} + 20 a^{2} + 18 a + 17\right)\cdot 41^{3} + \left(23 a^{5} + 29 a^{4} + 12 a^{3} + 31 a^{2} + 21 a\right)\cdot 41^{4} + \left(30 a^{5} + 7 a^{4} + 9 a^{3} + 10 a^{2} + 19 a + 34\right)\cdot 41^{5} + \left(35 a^{5} + 39 a^{4} + 4 a^{3} + 19 a^{2} + 12 a + 37\right)\cdot 41^{6} +O\left(41^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ | $=$ | $ 22 a^{5} + 18 a^{4} + 30 a^{3} + 34 a^{2} + 10 a + 36 + \left(7 a^{5} + 40 a^{4} + 5 a^{3} + 26 a^{2} + 36 a + 33\right)\cdot 41 + \left(17 a^{5} + 10 a^{4} + 14 a^{3} + 22 a^{2} + 18 a + 19\right)\cdot 41^{2} + \left(10 a^{5} + 2 a^{4} + 4 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 41^{3} + \left(23 a^{5} + 20 a^{4} + 5 a^{3} + 27 a^{2} + 9 a + 20\right)\cdot 41^{4} + \left(12 a^{5} + 5 a^{4} + 16 a^{3} + 11 a^{2} + 32 a + 15\right)\cdot 41^{5} + \left(26 a^{5} + 11 a^{4} + 34 a^{3} + 11 a^{2} + 38 a + 26\right)\cdot 41^{6} +O\left(41^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ | $=$ | $ 14 a^{5} + 26 a^{4} + 19 a^{3} + 23 a^{2} + 13 a + 7 + \left(5 a^{5} + 24 a^{4} + 39 a^{2} + 18 a + 21\right)\cdot 41 + \left(26 a^{5} + 16 a^{4} + 34 a^{3} + 28 a^{2} + 39 a + 10\right)\cdot 41^{2} + \left(18 a^{5} + 39 a^{3} + 13 a^{2} + 40 a + 20\right)\cdot 41^{3} + \left(23 a^{5} + 14 a^{4} + 27 a^{3} + 14 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 41^{4} + \left(16 a^{5} + 5 a^{4} + 29 a^{3} + 30 a^{2} + 37 a + 6\right)\cdot 41^{5} + \left(28 a^{5} + 6 a^{4} + 17 a^{3} + a^{2} + 15 a + 24\right)\cdot 41^{6} +O\left(41^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ | $=$ | $ 12 a^{5} + 34 a^{4} + 7 a^{3} + 26 a^{2} + 32 a + 22 + \left(33 a^{5} + 39 a^{3} + 11 a^{2} + 14 a + 28\right)\cdot 41 + \left(25 a^{5} + 5 a^{4} + 15 a^{3} + 7 a^{2} + 22 a + 38\right)\cdot 41^{2} + \left(a^{5} + 31 a^{4} + 20 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 32\right)\cdot 41^{3} + \left(14 a^{5} + 22 a^{4} + 8 a^{3} + 4 a^{2} + 37 a + 9\right)\cdot 41^{4} + \left(16 a^{5} + 15 a^{4} + 15 a^{3} + 40 a^{2} + 14 a\right)\cdot 41^{5} + \left(24 a^{5} + 37 a^{4} + 13 a^{3} + 12 a^{2} + 26 a + 35\right)\cdot 41^{6} +O\left(41^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 9 }$ | $=$ | $ 22 a^{5} + 29 a^{4} + 38 a^{3} + 8 a^{2} + 32 a + 8 + \left(17 a^{5} + 13 a^{4} + 13 a^{3} + 40 a^{2} + 24 a + 22\right)\cdot 41 + \left(40 a^{5} + 6 a^{4} + 11 a^{3} + 26 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 41^{2} + \left(40 a^{5} + 38 a^{4} + 32 a^{3} + 32 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 41^{3} + \left(14 a^{5} + 24 a^{4} + 37 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 41^{4} + \left(20 a^{5} + 19 a^{4} + 33 a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 28\right)\cdot 41^{5} + \left(37 a^{5} + 32 a^{4} + 11 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 40\right)\cdot 41^{6} +O\left(41^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 10 }$ | $=$ | $ 38 a^{5} + 15 a^{4} + 12 a^{3} + 13 a^{2} + 5 a + 8 + \left(18 a^{5} + 34 a^{4} + 28 a^{3} + 14 a^{2} + 34 a + 34\right)\cdot 41 + \left(16 a^{5} + 35 a^{4} + 22 a^{3} + 12 a^{2} + 32 a + 2\right)\cdot 41^{2} + \left(31 a^{5} + a^{4} + 39 a^{3} + 29 a^{2} + 7 a + 22\right)\cdot 41^{3} + \left(29 a^{5} + 13 a^{4} + 37 a^{3} + 32 a^{2} + 35 a + 35\right)\cdot 41^{4} + \left(40 a^{5} + 21 a^{4} + 40 a^{3} + 28 a^{2} + 38 a + 25\right)\cdot 41^{5} + \left(21 a^{5} + 38 a^{4} + 39 a^{3} + 7 a^{2} + 30 a + 21\right)\cdot 41^{6} +O\left(41^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 11 }$ | $=$ | $ 35 a^{5} + 36 a^{4} + 10 a^{3} + 36 a^{2} + 3 a + 14 + \left(5 a^{5} + 21 a^{4} + 33 a^{3} + 10 a^{2} + 24 a + 27\right)\cdot 41 + \left(28 a^{5} + 7 a^{4} + 16 a^{3} + 22 a^{2} + 7 a + 16\right)\cdot 41^{2} + \left(29 a^{5} + 18 a^{4} + 20 a^{3} + 15 a^{2} + 6 a + 34\right)\cdot 41^{3} + \left(29 a^{5} + 35 a^{4} + 23 a^{3} + 33 a^{2} + 28 a + 11\right)\cdot 41^{4} + \left(26 a^{5} + 21 a^{4} + 27 a^{3} + 25 a^{2} + 20 a + 11\right)\cdot 41^{5} + \left(4 a^{5} + 39 a^{4} + 32 a^{3} + 32 a^{2} + 15 a + 10\right)\cdot 41^{6} +O\left(41^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 12 }$ | $=$ | $ 20 a^{5} + 26 a^{4} + 35 a^{3} + 21 a^{2} + 27 a + 35 + \left(10 a^{5} + 25 a^{4} + 40 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 23\right)\cdot 41 + \left(8 a^{5} + 37 a^{4} + 39 a^{3} + 4 a^{2} + 27 a\right)\cdot 41^{2} + \left(39 a^{5} + 19 a^{4} + 34 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 41^{3} + \left(27 a^{5} + 36 a^{4} + 34 a^{3} + 25 a^{2} + 17 a + 6\right)\cdot 41^{4} + \left(22 a^{5} + 29 a^{4} + 2 a^{3} + 25 a^{2} + 30\right)\cdot 41^{5} + \left(37 a^{5} + 20 a^{4} + 27 a^{3} + 8 a^{2} + 35 a + 35\right)\cdot 41^{6} +O\left(41^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 13 }$ | $=$ | $ 7 a^{5} + 40 a^{4} + 12 a^{3} + 16 a^{2} + 30 a + 25 + \left(33 a^{5} + 30 a^{4} + 4 a^{3} + 27 a^{2} + 38 a + 3\right)\cdot 41 + \left(40 a^{5} + 13 a^{4} + 8 a^{3} + 33 a^{2} + 36 a + 5\right)\cdot 41^{2} + \left(27 a^{5} + 17 a^{4} + 5 a^{3} + 29 a^{2} + 13 a + 6\right)\cdot 41^{3} + \left(17 a^{5} + 14 a^{4} + 21 a^{3} + 8 a^{2} + 18 a + 24\right)\cdot 41^{4} + \left(9 a^{5} + a^{4} + 11 a^{3} + 9 a^{2} + 16 a + 10\right)\cdot 41^{5} + \left(14 a^{5} + 11 a^{4} + 36 a^{3} + 24 a^{2} + 27 a + 9\right)\cdot 41^{6} +O\left(41^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 14 }$ | $=$ | $ 16 a^{5} + 22 a^{4} + 13 a^{3} + 35 a^{2} + 38 a + 14 + \left(8 a^{5} + 7 a^{4} + 9 a^{3} + 24 a^{2} + 21 a\right)\cdot 41 + \left(5 a^{5} + 18 a^{4} + 31 a^{3} + 2 a^{2} + 37 a\right)\cdot 41^{2} + \left(29 a^{5} + 25 a^{4} + 22 a^{3} + 25 a^{2} + 21 a + 24\right)\cdot 41^{3} + \left(13 a^{5} + 25 a^{4} + 33 a^{3} + 17 a^{2} + 40 a + 28\right)\cdot 41^{4} + \left(13 a^{5} + 6 a^{4} + 21 a^{3} + a^{2} + 14 a + 19\right)\cdot 41^{5} + \left(13 a^{5} + 33 a^{4} + 30 a^{3} + 20 a^{2} + 9 a + 37\right)\cdot 41^{6} +O\left(41^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 15 }$ | $=$ | $ 24 a^{5} + 25 a^{4} + 6 a^{3} + 36 a^{2} + 11 a + 1 + \left(34 a^{5} + 21 a^{4} + 35 a^{3} + 18 a^{2} + 38 a + 40\right)\cdot 41 + \left(7 a^{5} + a^{4} + 25 a^{3} + 23 a^{2} + 40 a + 35\right)\cdot 41^{2} + \left(36 a^{5} + 21 a^{4} + 33 a^{3} + 11 a^{2} + 39 a + 5\right)\cdot 41^{3} + \left(20 a^{5} + 6 a^{4} + 3 a^{3} + 22 a^{2} + 35 a + 30\right)\cdot 41^{4} + \left(32 a^{5} + 11 a^{4} + 21 a^{3} + 4 a^{2} + 29 a + 17\right)\cdot 41^{5} + \left(8 a^{5} + 39 a^{4} + 23 a^{3} + 5 a^{2} + 29 a + 31\right)\cdot 41^{6} +O\left(41^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 16 }$ | $=$ | $ 19 a^{5} + 31 a^{4} + 11 a^{3} + 26 a^{2} + 9 a + 4 + \left(34 a^{5} + 10 a^{4} + 34 a^{2} + 21 a + 15\right)\cdot 41 + \left(22 a^{5} + 10 a^{4} + 18 a^{3} + 8 a^{2} + 14 a + 2\right)\cdot 41^{2} + \left(21 a^{5} + 7 a^{4} + 18 a^{3} + 38 a^{2} + 2 a + 20\right)\cdot 41^{3} + \left(24 a^{5} + 39 a^{4} + 16 a^{3} + 26 a^{2} + 17 a + 3\right)\cdot 41^{4} + \left(25 a^{5} + 37 a^{4} + 17 a^{3} + 14 a^{2} + 31 a + 28\right)\cdot 41^{5} + \left(39 a^{5} + 12 a^{4} + 5 a^{3} + 16 a^{2} + 30 a + 5\right)\cdot 41^{6} +O\left(41^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 17 }$ | $=$ | $ 37 a^{5} + 32 a^{4} + 4 a^{3} + 7 a^{2} + 28 a + 21 + \left(8 a^{5} + 4 a^{4} + a^{3} + 37 a^{2} + 27 a + 6\right)\cdot 41 + \left(7 a^{5} + 9 a^{4} + 14 a^{3} + 36 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 41^{2} + \left(40 a^{5} + 2 a^{4} + 3 a^{3} + 26 a^{2} + 28 a + 38\right)\cdot 41^{3} + \left(19 a^{5} + 6 a^{4} + 29 a^{3} + 36 a^{2} + 20 a + 38\right)\cdot 41^{4} + \left(23 a^{5} + 23 a^{4} + 19 a^{3} + 37 a^{2} + 39 a + 24\right)\cdot 41^{5} + \left(30 a^{5} + 25 a^{4} + 4 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 23\right)\cdot 41^{6} +O\left(41^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 18 }$ | $=$ | $ 19 a^{5} + 12 a^{4} + 3 a^{3} + 33 a^{2} + 9 a + 22 + \left(23 a^{5} + 27 a^{4} + 27 a^{3} + 16 a + 29\right)\cdot 41 + \left(34 a^{4} + 29 a^{3} + 14 a^{2} + 29 a + 21\right)\cdot 41^{2} + \left(2 a^{4} + 8 a^{3} + 8 a^{2} + 28 a + 40\right)\cdot 41^{3} + \left(26 a^{5} + 16 a^{4} + 3 a^{3} + 35 a^{2} + 32 a + 18\right)\cdot 41^{4} + \left(20 a^{5} + 21 a^{4} + 7 a^{3} + 34 a^{2} + 28 a + 35\right)\cdot 41^{5} + \left(3 a^{5} + 8 a^{4} + 29 a^{3} + 36 a^{2} + 37 a + 34\right)\cdot 41^{6} +O\left(41^{ 7 }\right)$ |
Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 18 }$
| Cycle notation |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on $r_1, \ldots, r_{ 18 }$ | Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $2$ |
| $3$ | $2$ | $(1,2)(3,8)(4,6)(5,10)(7,17)(9,15)(11,14)(12,16)(13,18)$ | $0$ |
| $1$ | $3$ | $(1,3,9)(2,8,15)(4,14,7)(5,16,13)(6,11,17)(10,12,18)$ | $-2 \zeta_{3} - 2$ |
| $1$ | $3$ | $(1,9,3)(2,15,8)(4,7,14)(5,13,16)(6,17,11)(10,18,12)$ | $2 \zeta_{3}$ |
| $2$ | $3$ | $(1,13,17)(2,4,12)(3,5,6)(7,10,15)(8,14,18)(9,16,11)$ | $-\zeta_{3}$ |
| $2$ | $3$ | $(1,17,13)(2,12,4)(3,6,5)(7,15,10)(8,18,14)(9,11,16)$ | $\zeta_{3} + 1$ |
| $2$ | $3$ | $(1,5,11)(2,14,10)(3,16,17)(4,18,15)(6,9,13)(7,12,8)$ | $-1$ |
| $3$ | $6$ | $(1,4,3,14,9,7)(2,13,8,5,15,16)(6,12,11,18,17,10)$ | $0$ |
| $3$ | $6$ | $(1,7,9,14,3,4)(2,16,15,5,8,13)(6,10,17,18,11,12)$ | $0$ |