Basic invariants
| Dimension: | $2$ |
| Group: | $S_3 \times C_3$ |
| Conductor: | $476= 2^{2} \cdot 7 \cdot 17 $ |
| Artin number field: | Splitting field of $f= x^{18} - 2 x^{17} - 11 x^{16} + 2 x^{15} + 95 x^{14} - 26 x^{13} - 85 x^{12} - 154 x^{11} + 1159 x^{10} - 2970 x^{9} - 4843 x^{8} - 4982 x^{7} + 12797 x^{6} + 18420 x^{5} + 54332 x^{4} + 85532 x^{3} + 82964 x^{2} + 37800 x + 46984 $ over $\Q$ |
| Size of Galois orbit: | 2 |
| Smallest containing permutation representation: | $S_3\times C_3$ |
| Parity: | Odd |
| Determinant: | 1.2e2_7_17.6t1.2c1 |
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 19 }$ to precision 8.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 19 }$: $ x^{6} + 17 x^{3} + 17 x^{2} + 6 x + 2 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ | $=$ | $ 16 a^{5} + 4 a^{4} + 3 a^{3} + 6 a^{2} + \left(10 a^{5} + 7 a^{4} + 10 a^{3} + 15 a + 1\right)\cdot 19 + \left(18 a^{5} + 7 a^{4} + 8 a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 19^{2} + \left(15 a^{5} + 7 a^{4} + 14 a^{3} + 5 a^{2} + 16 a + 18\right)\cdot 19^{3} + \left(4 a^{5} + 15 a^{4} + 9 a^{3} + 14 a + 16\right)\cdot 19^{4} + \left(13 a^{5} + 9 a^{4} + 7 a^{3} + 6 a^{2} + 14 a + 7\right)\cdot 19^{5} + \left(3 a^{5} + 5 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 19^{6} + \left(18 a^{5} + 16 a^{4} + 11 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 19^{7} +O\left(19^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ | $=$ | $ 18 a^{5} + 3 a^{4} + 4 a^{3} + 17 a^{2} + 10 a + 9 + \left(18 a^{5} + 3 a^{4} + 17 a^{3} + 16 a^{2} + 18 a + 3\right)\cdot 19 + \left(6 a^{5} + 8 a^{4} + 18 a^{3} + 18 a^{2} + 13 a + 8\right)\cdot 19^{2} + \left(9 a^{5} + 11 a^{4} + 3 a^{3} + 10 a^{2} + a + 6\right)\cdot 19^{3} + \left(14 a^{5} + 5 a^{4} + 4 a^{3} + a^{2} + 16 a + 5\right)\cdot 19^{4} + \left(9 a^{4} + 3 a^{3} + 14 a^{2} + 8\right)\cdot 19^{5} + \left(11 a^{5} + 9 a^{4} + 2 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 19^{6} + \left(6 a^{5} + 2 a^{4} + 14 a^{3} + 13 a^{2} + 14 a + 1\right)\cdot 19^{7} +O\left(19^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ | $=$ | $ 15 a^{5} + 3 a^{4} + 18 a^{3} + 13 a^{2} + 5 a + 8 + \left(4 a^{5} + 17 a^{4} + 18 a^{3} + 15 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 19 + \left(10 a^{5} + 18 a^{4} + 8 a^{3} + 12 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 19^{2} + \left(4 a^{5} + 15 a^{4} + 9 a^{3} + 16 a^{2} + 2\right)\cdot 19^{3} + \left(6 a^{4} + 14 a^{3} + 13 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 19^{4} + \left(8 a^{5} + 13 a^{4} + 13 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 19^{5} + \left(10 a^{5} + 2 a^{4} + 14 a^{3} + a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 19^{6} + \left(11 a^{5} + 11 a^{4} + 2 a^{3} + 15 a^{2} + 14 a + 4\right)\cdot 19^{7} +O\left(19^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ | $=$ | $ 13 a^{5} + a^{4} + 10 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 15 + \left(13 a^{5} + 10 a^{4} + 10 a^{3} + 16 a^{2} + 13 a + 12\right)\cdot 19 + \left(12 a^{5} + a^{4} + 13 a^{3} + 11 a^{2} + 16\right)\cdot 19^{2} + \left(11 a^{5} + 2 a^{4} + 4 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 19^{3} + \left(15 a^{5} + 11 a^{4} + 14 a^{3} + 3 a^{2} + 13 a + 5\right)\cdot 19^{4} + \left(14 a^{5} + 2 a^{4} + 14 a^{3} + 17 a^{2} + 2 a + 17\right)\cdot 19^{5} + \left(2 a^{5} + 2 a^{4} + 18 a^{3} + 17 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 19^{6} + \left(11 a^{5} + 7 a^{4} + 5 a^{3} + 15 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 19^{7} +O\left(19^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ | $=$ | $ 12 a^{5} + a^{4} + 13 a^{3} + a^{2} + 8 a + 17 + \left(10 a^{5} + 2 a^{4} + 3 a^{2} + 12 a + 17\right)\cdot 19 + \left(18 a^{5} + 5 a^{4} + 6 a^{3} + 13 a + 16\right)\cdot 19^{2} + \left(11 a^{5} + 2 a^{4} + 16 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 19^{3} + \left(15 a^{5} + 18 a^{4} + 5 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 19^{4} + \left(14 a^{5} + a^{4} + 15 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 19^{5} + \left(5 a^{5} + 11 a^{4} + 4 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 19^{6} + \left(6 a^{5} + 14 a^{4} + 2 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 19^{7} +O\left(19^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ | $=$ | $ 7 a^{5} + 10 a^{4} + a^{2} + 16 a + 12 + \left(6 a^{5} + 13 a^{4} + 17 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 19 + \left(17 a^{5} + 14 a^{4} + 15 a^{3} + 5 a^{2} + 15 a + 10\right)\cdot 19^{2} + \left(13 a^{5} + 6 a^{4} + 4 a^{3} + 18 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 19^{3} + \left(4 a^{5} + 6 a^{4} + 17 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 19^{4} + \left(4 a^{5} + 12 a^{4} + 8 a^{3} + a^{2} + 14 a + 7\right)\cdot 19^{5} + \left(7 a^{5} + a^{4} + 5 a^{3} + 9 a^{2} + 18 a + 15\right)\cdot 19^{6} + \left(16 a^{5} + 5 a^{4} + 2 a^{3} + 9 a^{2} + 9 a + 13\right)\cdot 19^{7} +O\left(19^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ | $=$ | $ 13 a^{5} + 5 a^{4} + 16 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 15 + \left(3 a^{5} + 4 a^{4} + 17 a^{3} + 5 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 19 + \left(13 a^{5} + 18 a^{4} + a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 19^{2} + \left(4 a^{5} + a^{4} + 16 a^{3} + 17 a^{2} + 8 a\right)\cdot 19^{3} + \left(13 a^{5} + 18 a^{4} + 12 a^{3} + 9 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 19^{4} + \left(6 a^{5} + 17 a^{4} + 3 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 19^{5} + \left(12 a^{5} + 12 a^{4} + 16 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 19^{6} + \left(15 a^{5} + 2 a^{4} + 2 a^{3} + 15 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 19^{7} +O\left(19^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ | $=$ | $ 2 a^{5} + 11 a^{4} + 12 a^{3} + 13 a^{2} + 10 a + 8 + \left(9 a^{5} + 15 a^{4} + 17 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 19 + \left(7 a^{5} + 7 a^{3} + 4 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 19^{2} + \left(17 a^{5} + 6 a^{4} + 3 a^{3} + 17 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 19^{3} + \left(13 a^{5} + 6 a^{4} + a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 19^{4} + \left(6 a^{5} + 6 a^{4} + 15 a^{3} + 17 a^{2} + 11 a + 18\right)\cdot 19^{5} + \left(5 a^{5} + 13 a^{4} + 10 a^{3} + 6 a^{2} + 15 a + 10\right)\cdot 19^{6} + \left(4 a^{5} + 18 a^{4} + 10 a^{3} + 6 a + 12\right)\cdot 19^{7} +O\left(19^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 9 }$ | $=$ | $ 18 a^{5} + 15 a^{4} + 17 a^{3} + 7 a^{2} + 13 + \left(6 a^{5} + 9 a^{4} + 16 a^{3} + 11 a^{2} + 4\right)\cdot 19 + \left(7 a^{5} + 3 a^{3} + 16 a + 3\right)\cdot 19^{2} + \left(4 a^{5} + 18 a^{4} + 17 a^{3} + 14 a^{2} + 14 a + 16\right)\cdot 19^{3} + \left(2 a^{5} + 10 a^{4} + 4 a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 16\right)\cdot 19^{4} + \left(2 a^{5} + 3 a^{4} + 7 a^{3} + a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 19^{5} + \left(9 a^{5} + a^{4} + 12 a^{3} + 4 a^{2} + 13 a + 2\right)\cdot 19^{6} + \left(10 a^{5} + 9 a^{4} + a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 19^{7} +O\left(19^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 10 }$ | $=$ | $ 15 a^{5} + 3 a^{4} + 3 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 9 + \left(6 a^{5} + 13 a^{4} + 16 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 19 + \left(2 a^{5} + a^{4} + 2 a^{3} + 11 a^{2} + 17\right)\cdot 19^{2} + \left(18 a^{5} + 4 a^{4} + 12 a^{3} + 13 a^{2} + 3 a + 16\right)\cdot 19^{3} + \left(3 a^{4} + 10 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 19^{4} + \left(8 a^{5} + 12 a^{4} + 8 a^{3} + 15 a^{2} + 12 a\right)\cdot 19^{5} + \left(7 a^{5} + a^{4} + 6 a^{3} + 5 a^{2} + 16 a + 2\right)\cdot 19^{6} + \left(5 a^{5} + 7 a^{4} + 17 a^{3} + 8 a^{2} + 15 a + 1\right)\cdot 19^{7} +O\left(19^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 11 }$ | $=$ | $ 6 a^{5} + 4 a^{4} + 4 a^{3} + 15 a^{2} + 13 a + 11 + \left(5 a^{5} + 15 a^{4} + 2 a^{3} + 17 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 19 + \left(4 a^{5} + 14 a^{3} + a^{2} + 7 a\right)\cdot 19^{2} + \left(18 a^{5} + 17 a^{4} + 10 a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 19^{3} + \left(7 a^{5} + 17 a^{4} + 12 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a + 18\right)\cdot 19^{4} + \left(5 a^{5} + a^{4} + 17 a^{3} + 7 a^{2} + 10 a + 13\right)\cdot 19^{5} + \left(15 a^{5} + 12 a^{4} + 10 a^{3} + 18 a^{2} + 13 a + 14\right)\cdot 19^{6} + \left(9 a^{5} + 16 a^{4} + 18 a^{3} + 2 a^{2} + 13 a + 12\right)\cdot 19^{7} +O\left(19^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 12 }$ | $=$ | $ 10 a^{5} + 17 a^{4} + 8 a^{3} + 6 a + 6 + \left(4 a^{5} + 10 a^{4} + 3 a^{3} + a^{2} + 9 a + 14\right)\cdot 19 + \left(15 a^{5} + 3 a^{4} + 12 a^{3} + 4 a^{2} + a + 2\right)\cdot 19^{2} + \left(14 a^{5} + 17 a^{4} + 13 a^{3} + 14 a^{2} + 2 a + 17\right)\cdot 19^{3} + \left(2 a^{5} + 17 a^{4} + 7 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a\right)\cdot 19^{4} + \left(17 a^{5} + 3 a^{4} + a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 19^{5} + \left(14 a^{5} + 10 a^{3} + 8 a^{2} + 15 a + 11\right)\cdot 19^{6} + \left(5 a^{5} + 7 a^{4} + 18 a^{3} + a^{2} + 8 a + 18\right)\cdot 19^{7} +O\left(19^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 13 }$ | $=$ | $ 2 a^{5} + 14 a^{4} + 16 a^{3} + 13 a^{2} + 11 a + \left(17 a^{5} + 5 a^{4} + 17 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 19 + \left(3 a^{5} + 18 a^{4} + 14 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 16\right)\cdot 19^{2} + \left(2 a^{5} + 11 a^{4} + 7 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 19^{3} + \left(8 a^{4} + 10 a^{2} + 5 a + 13\right)\cdot 19^{4} + \left(3 a^{5} + 12 a^{3} + 14 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 19^{5} + \left(7 a^{5} + 10 a^{4} + a^{3} + 10 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 19^{6} + \left(10 a^{5} + 18 a^{4} + 13 a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 19^{7} +O\left(19^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 14 }$ | $=$ | $ 10 a^{5} + 14 a^{4} + 11 a^{3} + 7 a^{2} + 10 a + 17 + \left(2 a^{5} + 5 a^{4} + 7 a^{3} + 10 a^{2} + a + 4\right)\cdot 19 + \left(6 a^{5} + 14 a^{4} + 3 a^{2} + 3 a + 14\right)\cdot 19^{2} + \left(8 a^{5} + 12 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 19^{3} + \left(5 a^{5} + 15 a^{4} + 6 a^{3} + 10 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 19^{4} + \left(a^{5} + 8 a^{4} + a^{3} + 18 a^{2} + 15 a + 14\right)\cdot 19^{5} + \left(11 a^{5} + 5 a^{4} + 2 a^{3} + 3 a + 7\right)\cdot 19^{6} + \left(12 a^{4} + 5 a^{3} + a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 19^{7} +O\left(19^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 15 }$ | $=$ | $ 4 a^{5} + 6 a^{4} + 6 a^{3} + 16 a^{2} + 9 + \left(13 a^{5} + 17 a^{4} + 12 a^{3} + 13 a + 14\right)\cdot 19 + \left(3 a^{5} + 13 a^{4} + a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 17\right)\cdot 19^{2} + \left(14 a^{5} + 18 a^{4} + 2 a^{3} + 3 a^{2} + 18 a + 17\right)\cdot 19^{3} + \left(8 a^{5} + 12 a^{4} + 11 a^{3} + 16 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 19^{4} + \left(11 a^{5} + 3 a^{4} + 10 a^{3} + 6 a^{2} + 11 a + 13\right)\cdot 19^{5} + \left(6 a^{5} + 17 a^{4} + 12 a^{3} + 18 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 19^{6} + \left(17 a^{5} + 5 a^{4} + 14 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a\right)\cdot 19^{7} +O\left(19^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 16 }$ | $=$ | $ 5 a^{5} + 15 a^{4} + 12 a^{3} + 5 a^{2} + 16 a + 10 + \left(10 a^{5} + a^{4} + 16 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 19 + \left(4 a^{5} + 2 a^{4} + 9 a^{3} + a^{2} + 10\right)\cdot 19^{2} + \left(15 a^{5} + 15 a^{4} + 17 a^{3} + 15 a + 11\right)\cdot 19^{3} + \left(16 a^{4} + 18 a^{3} + 10 a^{2} + 16 a + 14\right)\cdot 19^{4} + \left(4 a^{5} + 18 a^{4} + 11 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 19^{5} + \left(16 a^{5} + 6 a^{4} + 18 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 19^{6} + \left(10 a^{5} + 18 a^{4} + 11 a^{3} + 11 a + 3\right)\cdot 19^{7} +O\left(19^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 17 }$ | $=$ | $ 15 a^{5} + 11 a^{4} + 12 a^{3} + 9 a^{2} + a + 16 + \left(7 a^{5} + 16 a^{4} + 7 a^{3} + 5 a^{2} + 15 a + 16\right)\cdot 19 + \left(7 a^{5} + 13 a^{4} + 18 a^{3} + 18 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 19^{2} + \left(6 a^{5} + 3 a^{4} + 17 a^{3} + 17 a^{2} + 14 a + 17\right)\cdot 19^{3} + \left(5 a^{5} + 6 a^{4} + 18 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 19^{4} + \left(7 a^{5} + 11 a^{4} + 13 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 19^{5} + \left(16 a^{5} + 9 a^{4} + a^{3} + 11 a^{2} + 18 a + 7\right)\cdot 19^{6} + \left(13 a^{5} + 13 a^{4} + 10 a^{2} + 16 a + 10\right)\cdot 19^{7} +O\left(19^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 18 }$ | $=$ | $ 9 a^{5} + 15 a^{4} + 6 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 17 + \left(18 a^{5} + a^{4} + 17 a^{3} + 15 a^{2} + 6\right)\cdot 19 + \left(10 a^{5} + 8 a^{4} + 10 a^{3} + 9 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 19^{2} + \left(17 a^{5} + 10 a^{4} + 17 a^{3} + 6 a^{2} + 18 a + 2\right)\cdot 19^{3} + \left(15 a^{5} + 11 a^{4} + 9 a^{3} + 4 a^{2} + 16 a + 8\right)\cdot 19^{4} + \left(3 a^{5} + 13 a^{4} + 18 a^{3} + 7 a^{2} + 18 a + 2\right)\cdot 19^{5} + \left(8 a^{5} + 14 a^{4} + 16 a^{3} + a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 19^{6} + \left(15 a^{5} + 3 a^{4} + 11 a^{3} + 12 a^{2} + 15 a + 18\right)\cdot 19^{7} +O\left(19^{ 8 }\right)$ |
Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 18 }$
| Cycle notation |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on $r_1, \ldots, r_{ 18 }$ | Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $2$ |
| $3$ | $2$ | $(1,11)(2,17)(3,7)(4,9)(5,18)(6,12)(8,10)(13,14)(15,16)$ | $0$ |
| $1$ | $3$ | $(1,16,18)(2,6,14)(3,4,8)(5,11,15)(7,9,10)(12,13,17)$ | $2 \zeta_{3}$ |
| $1$ | $3$ | $(1,18,16)(2,14,6)(3,8,4)(5,15,11)(7,10,9)(12,17,13)$ | $-2 \zeta_{3} - 2$ |
| $2$ | $3$ | $(1,2,8)(3,16,6)(4,18,14)(5,9,13)(7,12,15)(10,17,11)$ | $-1$ |
| $2$ | $3$ | $(1,3,14)(2,16,4)(5,17,7)(6,18,8)(9,11,12)(10,15,13)$ | $-\zeta_{3}$ |
| $2$ | $3$ | $(1,14,3)(2,4,16)(5,7,17)(6,8,18)(9,12,11)(10,13,15)$ | $\zeta_{3} + 1$ |
| $3$ | $6$ | $(1,5,16,11,18,15)(2,13,6,17,14,12)(3,10,4,7,8,9)$ | $0$ |
| $3$ | $6$ | $(1,15,18,11,16,5)(2,12,14,17,6,13)(3,9,8,7,4,10)$ | $0$ |