Basic invariants
| Dimension: | $2$ |
| Group: | $C_6\times S_3$ |
| Conductor: | $980= 2^{2} \cdot 5 \cdot 7^{2} $ |
| Artin number field: | Splitting field of $f= x^{12} - 4 x^{11} + 3 x^{10} + 12 x^{9} - 38 x^{8} + 38 x^{7} + 27 x^{6} - 150 x^{5} + 284 x^{4} - 334 x^{3} + 325 x^{2} - 192 x + 99 $ over $\Q$ |
| Size of Galois orbit: | 2 |
| Smallest containing permutation representation: | $C_6\times S_3$ |
| Parity: | Odd |
| Determinant: | 1.5_7.6t1.2c1 |
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 13 }$ to precision 11.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 13 }$: $ x^{6} + 10 x^{3} + 11 x^{2} + 11 x + 2 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ | $=$ | $ 3 a^{5} + 5 a^{4} + 11 a^{3} + 8 a^{2} + 11 a + 9 + \left(8 a^{5} + 5 a^{4} + 9 a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 13 + \left(12 a^{5} + 9 a^{4} + 6 a^{3} + 12 a^{2} + 4\right)\cdot 13^{2} + \left(2 a^{5} + 7 a^{4} + 12 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 13^{3} + \left(5 a^{5} + 5 a^{4} + 7 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 13^{4} + \left(9 a^{5} + 12 a^{4} + 9 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 13^{5} + \left(5 a^{5} + 3 a^{4} + 4 a^{3} + 11 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 13^{6} + \left(6 a^{5} + 12 a^{4} + 5 a^{3} + 6\right)\cdot 13^{7} + \left(7 a^{5} + 11 a^{4} + 5 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 13^{8} + \left(3 a^{5} + 11 a^{4} + a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 13^{9} + \left(9 a^{5} + 10 a^{4} + a^{3} + 10 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 13^{10} +O\left(13^{ 11 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ | $=$ | $ 12 a^{5} + 9 a^{4} + 9 a^{3} + a^{2} + 9 a + 9 + \left(11 a^{5} + 6 a^{4} + a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13 + \left(4 a^{5} + 10 a^{4} + 7 a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 13^{2} + \left(3 a^{5} + 6 a^{4} + 7 a^{3} + 5 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 13^{3} + \left(2 a^{5} + 9 a^{4} + 4 a^{3} + a + 9\right)\cdot 13^{4} + \left(8 a^{5} + 3 a^{4} + 2 a^{3} + 12 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 13^{5} + \left(7 a^{5} + 12 a^{4} + 2 a^{3} + 12 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 13^{6} + \left(8 a^{5} + 8 a^{4} + 4 a^{3} + a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 13^{7} + \left(8 a^{5} + 5 a^{4} + 3 a^{3} + a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 13^{8} + \left(10 a^{5} + 7 a^{4} + a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 13^{9} + \left(6 a^{5} + 8 a^{3} + 12 a^{2} + 9\right)\cdot 13^{10} +O\left(13^{ 11 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ | $=$ | $ 4 a^{5} + 10 a^{4} + 5 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 1 + \left(7 a^{5} + 5 a^{4} + 4 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 13 + \left(11 a^{5} + 12 a^{4} + 7 a^{3} + 11 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 13^{2} + \left(4 a^{5} + 8 a^{4} + 7 a^{3} + 9 a^{2} + 9 a\right)\cdot 13^{3} + \left(2 a^{4} + 5 a^{2} + 12 a\right)\cdot 13^{4} + \left(6 a^{5} + 10 a^{4} + 5 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{5} + \left(2 a^{5} + 11 a^{4} + 6 a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 13^{6} + \left(8 a^{5} + 11 a^{4} + 12 a^{3} + 11 a^{2} + a + 12\right)\cdot 13^{7} + \left(6 a^{4} + 8 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 13^{8} + \left(2 a^{5} + 5 a^{4} + 12 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 13^{9} + \left(11 a^{4} + 4 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 13^{10} +O\left(13^{ 11 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ | $=$ | $ 4 a^{5} + 7 a^{4} + 2 a^{3} + 7 a^{2} + 11 a + 3 + \left(5 a^{5} + 6 a^{4} + 5 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 13 + \left(9 a^{5} + 10 a^{4} + 5 a^{3} + 9 a + 8\right)\cdot 13^{2} + \left(12 a^{5} + 2 a^{4} + 11 a^{3} + 10 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{3} + \left(12 a^{5} + 10 a^{4} + 4 a^{3} + 10 a^{2} + 10\right)\cdot 13^{4} + \left(7 a^{5} + 10 a^{4} + 3 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 13^{5} + \left(3 a^{5} + 5 a^{4} + a^{3} + 12 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 13^{6} + \left(5 a^{5} + a^{4} + 6 a^{3} + 3 a^{2}\right)\cdot 13^{7} + \left(7 a^{5} + 9 a^{4} + 5 a^{3} + 10 a^{2} + a + 6\right)\cdot 13^{8} + \left(11 a^{5} + 7 a^{4} + 3 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 13^{9} + \left(9 a^{5} + 9 a^{4} + a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 13^{10} +O\left(13^{ 11 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ | $=$ | $ 6 a^{5} + 6 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 3 + \left(9 a^{5} + 4 a^{4} + 6 a^{3} + 10 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 13 + \left(4 a^{5} + 11 a^{4} + 7 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 13^{2} + \left(6 a^{5} + 8 a^{4} + 6 a^{3} + a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 13^{3} + \left(3 a^{5} + 6 a^{4} + 10 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 13^{4} + \left(3 a^{5} + 3 a^{4} + 2 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 13^{5} + \left(7 a^{5} + 12 a^{4} + 10 a^{3} + 12 a + 8\right)\cdot 13^{6} + \left(9 a^{5} + 9 a^{4} + 8 a^{3} + 9 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 13^{7} + \left(8 a^{5} + a^{4} + 9 a^{3} + 8 a^{2} + a + 4\right)\cdot 13^{8} + \left(4 a^{5} + 6 a^{4} + 7 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 13^{9} + \left(8 a^{5} + 2 a^{4} + 4 a^{3} + 6 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 13^{10} +O\left(13^{ 11 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ | $=$ | $ 5 a^{5} + 5 a^{3} + 4 + \left(10 a^{5} + 10 a^{4} + a^{3} + 6 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 13 + \left(11 a^{4} + 9 a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 13^{2} + \left(11 a^{5} + 8 a^{4} + 4 a^{3} + 4 a^{2} + a + 3\right)\cdot 13^{3} + \left(a^{5} + 12 a^{4} + 12 a^{3} + 8 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 13^{4} + \left(2 a^{4} + a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 13^{5} + \left(9 a^{5} + 11 a^{4} + 11 a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 13^{6} + \left(11 a^{5} + 10 a^{4} + 6 a^{3} + 2 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 13^{7} + \left(12 a^{5} + 7 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 13^{8} + \left(a^{5} + 3 a^{3} + 2 a + 1\right)\cdot 13^{9} + \left(4 a^{5} + 2 a^{4} + 12 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 13^{10} +O\left(13^{ 11 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ | $=$ | $ 12 a^{5} + 8 a^{4} + a^{3} + 9 a^{2} + a + 5 + \left(8 a^{5} + 8 a^{4} + 5 a^{3} + a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 13 + \left(3 a^{5} + 2 a^{4} + 4 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 13^{2} + \left(4 a^{5} + 9 a^{4} + 2 a^{3} + a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 13^{3} + \left(12 a^{5} + 5 a^{4} + 11 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 13^{4} + \left(12 a^{5} + 6 a^{4} + 10 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 13^{5} + \left(9 a^{5} + 5 a^{4} + a^{3} + 7 a^{2} + 11\right)\cdot 13^{6} + \left(2 a^{5} + 5 a^{4} + 12 a^{3} + 2 a^{2} + a + 12\right)\cdot 13^{7} + \left(3 a^{5} + 11 a^{4} + 3 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 13^{8} + \left(4 a^{5} + 3 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 13^{9} + \left(4 a^{5} + 5 a^{4} + 9 a^{3} + 8 a^{2} + 8\right)\cdot 13^{10} +O\left(13^{ 11 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ | $=$ | $ 8 a^{5} + 2 a^{4} + 11 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 9 + \left(4 a^{5} + 7 a^{4} + 7 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 13 + \left(10 a^{5} + 9 a^{4} + 4 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 13^{2} + \left(8 a^{5} + 3 a^{4} + 9 a^{3} + 12 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 13^{3} + \left(11 a^{5} + a^{4} + 4 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 13^{4} + \left(8 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 13^{5} + \left(8 a^{5} + 10 a^{4} + 8 a^{3} + 2 a^{2} + a + 6\right)\cdot 13^{6} + \left(10 a^{5} + 2 a^{4} + 11 a^{3} + 2 a^{2}\right)\cdot 13^{7} + \left(8 a^{5} + 11 a^{4} + 3 a^{3} + 7 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 13^{8} + \left(7 a^{5} + 6 a^{4} + 11 a^{3} + a^{2} + a + 12\right)\cdot 13^{9} + \left(a^{5} + 11 a^{4} + 2 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 13^{10} +O\left(13^{ 11 }\right)$ |
| $r_{ 9 }$ | $=$ | $ 5 a^{4} + 2 a^{3} + 4 a^{2} + a + 8 + \left(11 a^{5} + 5 a^{4} + a^{3} + 9 a^{2} + a + 9\right)\cdot 13 + \left(8 a^{5} + 7 a^{4} + 9 a^{3} + 12 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 13^{2} + \left(a^{5} + 2 a^{4} + 12 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 13^{3} + \left(7 a^{5} + a^{4} + 9 a^{3} + 9 a^{2} + 6 a\right)\cdot 13^{4} + \left(a^{5} + 6 a^{4} + 8 a^{3} + 12 a + 3\right)\cdot 13^{5} + \left(5 a^{5} + 8 a^{4} + 3 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 13^{6} + \left(2 a^{5} + 10 a^{4} + 6 a^{3} + 6 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 13^{7} + \left(10 a^{5} + 4 a^{4} + 7 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 13^{8} + \left(10 a^{5} + 6 a^{4} + 10 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 13^{9} + \left(3 a^{5} + 12 a^{4} + 3 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 13^{10} +O\left(13^{ 11 }\right)$ |
| $r_{ 10 }$ | $=$ | $ 6 a^{5} + 12 a^{4} + 7 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 5 + \left(4 a^{5} + 10 a^{4} + 2 a^{3} + 3 a + 12\right)\cdot 13 + \left(2 a^{5} + a^{4} + 7 a^{3} + 5 a^{2} + a + 5\right)\cdot 13^{2} + \left(6 a^{5} + 11 a^{4} + 8 a^{3} + a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{3} + \left(8 a^{5} + a^{4} + 5 a^{3} + 2 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 13^{4} + \left(12 a^{5} + 2 a^{4} + 10 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 13^{5} + \left(4 a^{5} + 2 a^{4} + 5 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 13^{6} + \left(3 a^{5} + 8 a^{4} + 7 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 13^{7} + \left(7 a^{5} + 4 a^{4} + 11 a^{3} + a^{2} + 2\right)\cdot 13^{8} + \left(11 a^{5} + 4 a^{4} + a^{3} + a + 2\right)\cdot 13^{9} + \left(5 a^{5} + 3 a^{4} + a^{3} + 2 a^{2} + 6\right)\cdot 13^{10} +O\left(13^{ 11 }\right)$ |
| $r_{ 11 }$ | $=$ | $ 11 a^{5} + 5 a^{4} + 8 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 11 + \left(5 a^{5} + 4 a^{4} + 7 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 13 + \left(3 a^{5} + 4 a^{4} + 11 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{2} + \left(8 a^{5} + 3 a^{4} + 12 a^{3} + a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 13^{3} + \left(8 a^{5} + a^{4} + 5 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 13^{4} + \left(6 a^{5} + 3 a^{4} + 5 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 13^{5} + \left(7 a^{5} + 4 a^{4} + 7 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 13^{6} + \left(4 a^{5} + 9 a^{4} + a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 13^{7} + \left(8 a^{5} + 3 a^{4} + 9 a^{2} + a + 8\right)\cdot 13^{8} + \left(5 a^{5} + 8 a^{4} + 2 a^{3} + 9 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 13^{9} + \left(7 a^{5} + 10 a^{3} + 6\right)\cdot 13^{10} +O\left(13^{ 11 }\right)$ |
| $r_{ 12 }$ | $=$ | $ 7 a^{5} + 2 a^{4} + 11 a^{3} + 7 a + 2 + \left(3 a^{5} + 3 a^{4} + 2 a^{3} + 4 a^{2} + a + 9\right)\cdot 13 + \left(5 a^{5} + 12 a^{4} + 11 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 13^{2} + \left(7 a^{5} + 3 a^{4} + 7 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 13^{3} + \left(3 a^{5} + 6 a^{4} + 12 a^{3} + 10 a^{2} + 9\right)\cdot 13^{4} + \left(8 a^{5} + 3 a^{4} + a^{3} + 6 a\right)\cdot 13^{5} + \left(6 a^{5} + 3 a^{4} + 10 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 13^{6} + \left(4 a^{5} + 12 a^{4} + 8 a^{3} + a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 13^{7} + \left(7 a^{5} + 5 a^{4} + 4 a^{3} + 2 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 13^{8} + \left(3 a^{5} + 12 a^{4} + 7 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 13^{9} + \left(3 a^{5} + 7 a^{4} + 9 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 13^{10} +O\left(13^{ 11 }\right)$ |
Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 12 }$
| Cycle notation |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on $r_1, \ldots, r_{ 12 }$ | Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $2$ |
| $1$ | $2$ | $(1,7)(2,8)(3,9)(4,10)(5,11)(6,12)$ | $-2$ |
| $3$ | $2$ | $(1,12)(2,4)(3,5)(6,7)(8,10)(9,11)$ | $0$ |
| $3$ | $2$ | $(1,10)(2,5)(3,12)(4,7)(6,9)(8,11)$ | $0$ |
| $1$ | $3$ | $(1,9,2)(3,8,7)(4,12,11)(5,10,6)$ | $2 \zeta_{3}$ |
| $1$ | $3$ | $(1,2,9)(3,7,8)(4,11,12)(5,6,10)$ | $-2 \zeta_{3} - 2$ |
| $2$ | $3$ | $(1,2,9)(3,7,8)$ | $-\zeta_{3}$ |
| $2$ | $3$ | $(1,9,2)(3,8,7)$ | $\zeta_{3} + 1$ |
| $2$ | $3$ | $(1,2,9)(3,7,8)(4,12,11)(5,10,6)$ | $-1$ |
| $1$ | $6$ | $(1,8,9,7,2,3)(4,5,12,10,11,6)$ | $2 \zeta_{3} + 2$ |
| $1$ | $6$ | $(1,3,2,7,9,8)(4,6,11,10,12,5)$ | $-2 \zeta_{3}$ |
| $2$ | $6$ | $(1,3,2,7,9,8)(4,10)(5,11)(6,12)$ | $-\zeta_{3} - 1$ |
| $2$ | $6$ | $(1,8,9,7,2,3)(4,10)(5,11)(6,12)$ | $\zeta_{3}$ |
| $2$ | $6$ | $(1,3,2,7,9,8)(4,5,12,10,11,6)$ | $1$ |
| $3$ | $6$ | $(1,5,9,10,2,6)(3,4,8,12,7,11)$ | $0$ |
| $3$ | $6$ | $(1,6,2,10,9,5)(3,11,7,12,8,4)$ | $0$ |
| $3$ | $6$ | $(1,4,2,11,9,12)(3,6,7,10,8,5)$ | $0$ |
| $3$ | $6$ | $(1,12,9,11,2,4)(3,5,8,10,7,6)$ | $0$ |